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Análise do comportamento eletroaeroelástico de uma seção típica para geração piezelétrica de energia
- 1. Análise do comportamento eletroaeroelástico de uma seção típica para geração piezelétrica de energia Vagner Candido de Sousa Orientador: Prof. Dr. Carlos De Marqui Jr. Departamento de Engenharia Aeronáutica Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo Defesa de Mestrado (Engenharia Mecânica)
- 2. Sumário • Produção de eletricidade a partir de vibrações – Vibrações induzidas pelo escoamento de ar – Trabalhos relevantes na área • Seção típica aeroelástica piezeletricamente acoplada – Linear (interação resposta aeroelástica e geração de potência elétrica) – Não linear (oscilações persistentes para geração em ampla faixa de velocidades) • Análises de estabilidade • Previsões no domínio do tempo (resposta aeroelástica + elétrica) • Efeitos da condição de contorno elétrica (circuito gerador) • Influência de parâmetros eletromecânicos • Conclusões e tópicos finais 2/42
- 3. Energy harvesting é a conversão (ou coleta) de energia disponível no ambiente em eletricidade • Algumas formas de energia que podem ser exploradas – Solar, eólica, ruído acústico, bioconversão, vibrações e outras • Motivações – Consumo reduzido de pequenos dispositivos eletrônicos – Aplicações em locais remotos (bases árticas, aeroespaciais, florestas) – Fonte de energia adicional (ou principal) e por longos períodos – Minimizar o uso e a necessidade de substituição de baterias • Exemplos de aplicações aeronáuticas – Alimentar sistemas embarcados em UAVs – Sistemas de verificação de integridade estrutural (SHM) • Transdução piezelétrica (efeito direto) Direto – Elevada densidade de potência Energia mecânica efeito Energia elétrica Inverso – Facilidade de uso 3/42
- 4. Os geradores piezelétricos mais comuns são baseados em vigas • Modelo de viga ou placa engastada – Completa ou parcialmente coberta – Uma ou mais camadas piezelétricas – Excitação de base ou escoamento • Excitação pelo escoamento: flutter De Marqui et al., 2011 (JVA) – Velocidade mínima de oscilação persistente – Oscilações autoexcitadas, de amplitude crescente e potencialmente destrutivas • Alternativa para oscilações persistentes – Modelos não lineares • LCOs aceitáveis quando U∞ < ULF e U∞ > ULF Tang e Dowell, 2002 (JA) 4/42
- 5. Diversos trabalhos recentes coletam energia do escoamento utilizando transdução piezelétrica Bryant e Garcia, 2011 (JVA) (Numérico + experimental) Bibo et al., 2011 (JIMSS) (Numérico + experimental) Kwon, 2010 (APL) (Experimental) 5/42
- 6. Outros geradores eletroaeroelásticos promissores • Transdução piezelétrica + • Transdução eletromagnética galloping aeroelástico Air flow Sirohi e Mahadik, 2011 (JIMSS) Zhu et al., 2010 (IEEE Conference on Sensors) 6/42
- 7. Seção típica piezeletricamente acoplada para geração de energia • Piezoaeroelasticidade: interação entre – forças aerodinâmicas, elásticas e inerciais – efeitos piezelétricos • 2-GDL (h, α) • 3-GDL (h, α, β) • Acoplamento eletromecânico (h) Tang e Dowell, 2010 (AIAA J.) 7/42
- 8. As equações de Lagrange são deduzidas a partir do Princípio de Hamilton para um sistema eletroaeroelástico t2 T U Wie Wnce Wnca Wsd dt 0 t1 Contribuição da massa adicional das fixações d T T U Wie Qi (i 1, , n) dt qi qi qi qi 1 2 T mh 2mx bh 2m x bh m f h 2 I 2 I 2 2 d T T U Wie M d U 1 kh h 2 k 2 k 2 hv dt 2 l eq d T T U Wie 1 Cp 2 M d Wie v vh dt 2 l l Q Wnce v d T T U Wie l L dhh dt h h h h Wnca L h M M Efeitos dissipativos como Wsd dh h h d d d T T U Wie Q “forças não conservativas” dt v v v v l 8/42
- 9. Resolver as equações de Lagrange leva às equações de movimento (lineares) da seção típica piezelétrica I ( I (c a)m x b 2 ) mx bh d k Aeroelasticidade M Piezoaeroelasticidade (I (c a)m x b 2 ) I m x bh d k M m, b mx b m x b (m m f )h d h h kh h v L t l h v d d C v eq h 0 h p dt d Rl x hx x 2 x • Que podem ser expressas de maneira adimensional h r2 r 2 (c a ) x x h 2 2 r M r 2 (c a ) x r 2 x h 2 2 r M 1 ( mb 2 2 h ) x x h h h h v L 2 1 (mb h ) 1 v v h 0 v* (mb 2l 3 h ) 1 sistema / 1 classe de sistemas (Hemati, 1995) 9/42
- 10. E então modificadas para o caso mais geral aqui considerado: uma seção típica piezelétrica 3-GDL não linear r2 r 2 (c a ) x x h 2 2 r f b( ) f c( ) M r 2 (c a ) x r2 x h 2 2 r f b( ) M x x h h h h v L 1 v v h 0 2 2 r s s Momento f b( ) 0 bilinear de s s 2 2 rotação do r s s aerofólio 2 2 cr ( s )3 s Momento cúbico de f c( ) 0 s s rotação do 2 2 3 cr ( s ) s aerofólio 2 2 r s s Momento bilinear de f b( ) 0 s s rotação da 2 2 r s s superfície de controle Sousa et al., 2011 (SMS) 10/42
- 11. As não linearidades também afetam as características do movimento da seção típica • Os movimentos podem ser arbitrários (inclusive caóticos) • O modelo aerodinâmico deve considerar estes movimentos – Theodorsen: limitado à movimento harmônico – Wagner: difícil de ser representado em espaço de estados • Solução: aproximação de Jones (1940) para a função indicial de Wagner 0.0455 s 0.3 s ( s ) 1 0.165e 0.335e Dois novos estados são acrescentados ao modelo U U2 U (Edwards, 1977) xa S1x S 2 x 1 2 1 2 xa b b b No tempo 2 adimensional 1 U 1 U U xa 2 S1x S2x 1 2 2 1 2 xa h h b h h b hb 11/42
- 12. As equações resultantes (adimensionais e não lineares) são representadas em espaço de estados I 0 0 0 x 0 I 0 0 x 0 0 0 0 x* 0 M 0 0 x K B D θs x K 0 0 0 0 nl 0 0 I 0 xa E E F 0 xa 0 0 0 0 0 1 2 p 0 0 0 v 0 θe 0 1 v 0 0 0 0 0 • De maneira compacta, Resolvido no tempo com RK4 + método ˆ x ˆ ˆ Ax ax* de Hénon (1982) • onde 0 I 0 0 0 0 0 0 M 1K M 1B M 1D M 1θs M 1K nl 0 0 0 A a I 1E 1 I 1E 2 I 1F p 0 0 0 0 0 0 (1 )θe 0 1( ) 0 0 0 0 12/42
- 13. Um sistema experimental 2-GDL eletromecanicamente acoplado foi construído para verificar o modelo proposto 13/42
- 14. Os parâmetros do gerador com 2-GDL foram determinados experimentalmente • Cinco resistores foram considerados • Parâmetros experimentais Rl 102 , 103 , 10 4 , 105 e 106 o que equivale a diversas condições desde próximo de curto-circuito à Parâmetros próximo de circuito aberto adimensionais são obtidos Erturk e Inman, 2008 • Para cada resistor, aumenta-se U∞ até se observar oscilações autossustentadas Capacitância equiv. // • No caso linear, coletam-se os dados Portanto, os resultados apresentados a seguir quando U∞ ≈ ULF são adimensionais 14/42
- 15. Estudos de caso – seção típica geradora 2-GDL • Sistema 2-GDL linear (verificação numérica e experimental) • Sistema 2-GDL não linear – Freeplay em pitch (experimental) • Motivação: antecipar LCOs – Freeplay + cúbica em pitch (numérica) • Antecipar LCOs + oscilação persistente acima da ULF (ampla faixa de velocidades) 15/42
- 16. A primeira investigação numérica é uma análise de estabilidade para o sistema 2-GDL linear • Autovalores aeroelásticos – A parte real é associada ao amortecimento – O limiar de estabilidade neutra é interceptado na velocidade linear de flutter (u U b) • A condição de contorno elétrica h modifica a resposta aeroelástica • Há uma velocidade de flutter • A velocidade mais elevada particular para cada carga (2.5%) ocorre quando considerada Rl 105 (ou 1.7E+8) 16/42
- 17. A resposta no tempo prevê as deformações elásticas e a voltagem produzida nos terminais da carga considerada 2-GDL linear • Curto-circuito – ULF exp. = 12 m/s – ULF mod. = 11.6 m/s • Para Rl = 105 Ω – ULF exp. = 12 m/s – ULF mod. = 11.8 m/s • O modelo prevê com sucesso a resposta piezoaeroelástica – Amplitudes – Frequências 17/42
- 18. Aplicando a lei de Ohm, calcula-se a potência elétrica transferida à cada carga resistiva • Rl = 105 Ω é a carga ótima entre as consideradas – Experimental: 9.3 mW – Numérica: 10.1 mW • A verificação numérica (para várias cargas) conferiu um caráter contínuo à curva P V2 R – Uma carga ótima global foi identificada p* v 2 • No entanto, oscilações persistentes em uma única velocidade limita o envelope de operação do gerador eletroaeroelástico 18/42
- 19. A mola linear de pitch é substituída por uma mola bilinear • No caso linear – U∞ < ULF: oscilações amortecidas – U ∞ >= ULF: oscilações de amplitude crescente – U ∞ = ULF: ideal para energy harvesting (porém, impraticável) • Não linearidades podem induzir LCOs do tipo subcrítico – Oportunidade de conversão quando U∞ < ULF • Mola bilinear 2 2 r s s Sousa et al., 2011 (SMS) f b( ) 0 s s 2 2 r s s Gap: 2.8° 19/42
- 20. Os ensaios experimentais e simulações são repetidos para o caso 2-GDL não linear com freeplay em pitch 2-GDL não linear • ULF exp. (Rl → 0) = 10 m/s • ULF mod. (Rl → 0) = 10.1 m/s • ULF exp. (Rl = 105 Ω) = 10 m/s • ULF mod. (Rl = 105 Ω) = 10.3 m/s • Primeira LCO em velocidade 16% menor que a ULF • Oscilações com grandes amplitudes 20/42
- 21. A potência elétrica convertida no caso não linear é superior à potência do caso linear • Para Rl = 105 Ω, a potência • Salta de 10 mW (linear) elétrica • para quase 30 mW (não linear) – Experimental é 27.5 mW – Numérica é 28.6 mW p* v 2 • Porém, as amplitudes crescem quando U∞ ≈ ULF 21/42
- 22. Uma mola cúbica é considerada com o intuito de se obter oscilações de amplitudes aceitáveis quando U∞ > ULF • Cenário ideal para energy harvesting • Solução: não linearidade – LCOs desde abaixo da ULF combinada – Até acima da ULF – Mola bilinear + mola cúbica • Mola cúbica hardening – Exerce momento elástico proporcional ao cubo do deslocamento • Define-se a razão entre a rigidez da mola cúbica e a rigidez linear de pitch knl k Sousa et al., 2011 (SMS) 22/42
- 23. A mola cúbica é combinada com a mola bilinear no GDL de rotação da seção típica • O comportamento é verificado para várias η aumenta razões η (quando Rl → 0) Rl 0 • As amplitudes diminuem conforme η aumenta • η = 100 mantém as η aumenta amplitudes aceitáveis na maior faixa de velocidades Rl 0 knl k U U LF 23/42
- 24. A potência elétrica convertida é investigada quando a não linearidade combinada é considerada • Admite-se a razão de rigidez η = 100 – Rl = 105 Ω propicia a máxima conversão – Previsão de 120 mW em 18 m/s (com amplitudes aceitáveis) 100 U U LF 24/42
- 25. Influência da condição de contorno elétrica na resposta aeroelástica do modelo com não linearidade combinada • As amplitudes de vibração são pouco sensíveis à variação de resistência – Mesmo para a carga ótima, a redução é pouco significativa • Acoplamento eletromecânico é pouco evidente (efeito em termos de amortecimento é da ordem do amortecimento mecânico – Erturk e Inman, 2011) • Acoplamento piezelétrico é mais efetivo em plunge; forte não linearidade em pitch 100 100 U U LF U U LF 25/42
- 26. E se os parâmetros eletromecânicos fossem diferentes? • Como o comportamento piezoaeroelástico é modificado pelos parâmetros eletromecânicos quando – variam-se a carga resistiva e o acoplamento eletromecânico – variam-se a carga resistiva e a capacitância equivalente • Como a velocidade linear de flutter e a potência gerada são afetadas? • Conhecer a influência destes parâmetros na resposta do sistema pode auxiliar no projeto de geradores eletroaeroelásticos otimizados 26/42
- 27. Uma análise da influência dos parâmetros eletromecânicos (quando a capacitância é mantida fixa) é apresentada • Variam-se a carga resistiva e o acoplamento eletromecânico – Para cada acoplamento, existe uma carga ótima correspondente – Para qualquer carga, a velocidade aumenta quando o acoplamento aumenta • A potência elétrica (obtida na ULF de cada combinação de λ e χ) apresenta um comportamento similar ao da velocidade – É maior em velocidades mais elevadas 27/42
- 28. A conversão também melhora quando a capacitância equivalente das piezocerâmicas diminui • Neste caso, o acoplamento eletromecânico é mantido fixo – Para cada capacitância, existe uma carga ótima correspondente – Para qualquer carga, a velocidade aumenta quando a capacitância diminui • A potência elétrica (obtida na ULF de cada combinação de λ e ψ), aumenta com o aumento de velocidade 28/42
- 29. Em seguida, uma seção típica com 3-GDL é investigada • Estudos de caso • Motivação: reduzir a velocidade em que oscilações persistentes ocorrem (em relação ao caso 2-GDL) – Sistema 3-GDL linear – Sistema 3-GDL não linear • Freeplay superfície de controle – Antecipar LCOs • Freeplay s.c. + cúbica em pitch – Antecipar LCOs + oscilação persistente acima da ULF • Previsão numérica apenas – Modelo (3-GDL) verificado a partir de dados da literatura 29/42
- 30. Incluir uma superfície de controle reduziu a velocidade linear de flutter 18% em relação ao caso 2-GDL • ULF = 9.8 m/s (curto-circuito) 3-GDL linear • ULF = 10 m/s (carga resistiva ótima) 30/42
- 31. A resposta piezoaeroelástica 3-GDL linear é similar à do caso 2- GDL não linear • Potência prevista: 11 mW para a carga resistiva ótima 31/42
- 32. Espera-se que o caso 3-GDL também apresente LCOs em baixas velocidades quando uma mola bilinear é considerada • Freeplay é considerado na mola da superfície de controle – Gap nominal = 2.8° (simétrico) r2 r 2 (c a ) x x h 2 2 r M r 2 (c a ) x r2 x h 2 2 r f b( ) M x x h h h h v L 1 v v h 0 2 2 r s s f b( ) 0 s s 2 2 r s s 32/42
- 33. LCOs ocorreram em velocidades mais baixas quando freeplay foi considerado na superfície de controle • LCOs entre 70% e 98% da ULF (curto-circuito) • Potência entre 5.5 µW e 32.6 mW (carga ótima) 3-GDL não linear 7 m/s 33/42
- 34. Não linearidade combinada pode permitir geração desde abaixo até acima da velocidade linear de flutter 3-GDL r2 r 2 (c a ) x x h 2 2 r f c( ) M r 2 (c a ) x r2 x h 2 2 r f b( ) M x x h h h h v L 1 v v h 0 2 2 cr ( s )3 s Momento cúbico de f c( ) 0 s s 2 2 rotação do cr ( s )3 s aerofólio 2 2 r s s Momento bilinear de f b( ) 0 s s rotação da 2 2 superfície r s s de controle 34/42
- 35. O caso com mola cúbica em pitch e mola bilinear na superfície de controle é investigado (Rl → 0) • κ é a razão entre a rigidez da mola cúbica e a rigidez κ aumenta linear de pitch knl k • As amplitudes diminuem 3-GDL quando κ aumenta U U LF combinada • κ = 100 mantém as amplitudes aceitáveis na maior faixa de velocidades Rl 0 0.7 < ULF < 1.4 U U LF U U LF 35/42
- 36. Potência produzida pelo caso com mola cúbica em pitch e mola bilinear na superfície de controle 3-GDL combinada Rl 105 U U LF • Oscilações persistentes • Em relação à 2-GDL combinada – 0.7 < ULF < 1.4 – Metade da potência elétrica – 5 µW < Potência < 60 mW – Porém, faixa mais ampla 36/42
- 37. Conclusões • Comportamento eletroaeroelástico linear e não linear de geradores piezelétricos de energia baseados em seção típica com 2-GDL e 3-GDL • Acoplamento piezelétrico é inserido no GDL de deslocamento linear • Uma carga resistiva é considerada no domínio elétrico • Não linearidades concentradas são modeladas no GDL de rotação do aerofólio ou da superfície de controle • Modelo numérico por parâmetros concentrados eletromecanicamente acoplado obtido a partir do Princípio de Hamilton para corpos eletroaeroelásticos • Aerodinâmica não estacionária para movimentos arbitrários modelada com a aproximação de Jones para a função indicial de Wagner • Modelo não linear representado em espaço de estados + método de Hénon 37/42
- 38. Conclusões • O modelo 2-GDL foi verificado com sucesso experimentalmente • O modelo 3-GDL foi verificado com dados da literatura Velocidade 2-GDL (m/s) 3-GDL (m/s) Linear 12 10 Freeplay 10 ~ 12 7 ~ 10 Combinada 10 ~ 18 7 ~ 14 Potência elétrica 2-GDL (mW) 3-GDL (mW) Linear 10 11 Freeplay 28 30 Combinada 120 60 38/42
- 39. 3-GDL Potência Combinada 60 mW Linear Freeplay 30 mW 11 mW 5 µW 7 m/s 10 m/s 14 m/s U∞ 39/42
- 40. Sugestões para trabalhos futuros • Experimentos em túnel de vento com não linearidades combinadas para o sistema 2-GDL; • Experimentos em túnel de vento para um sistema 3-GDL; • Aplicação de técnicas para solução de problemas não lineares com o objetivo de otimizar a geração piezoaeroelástica de energia utilizando seção típica; • Combinar diferentes mecanismos de transdução e realizar a conversão a partir de diferentes GDLs simultaneamente; • Investigar a possibilidade da utilização de molas com memória de forma para o ajuste do comportamento aeroelástico do sistema para diferentes velocidades do escoamento; • Investigar a possibilidade de redução de escala dos sistemas aqui estudados visando o projeto de geradores portáteis. 40/42
- 41. Publicações decorrentes deste trabalho • V C SOUSA; M M ANICÉZIO; C DE MARQUI JR; A ERTURK – Enhanced aeroelastic energy harvesting by exploiting combined nonlinearities: theory and experiment. Smart Verificação (numérica + Materials and Structures, v.20, p.094007, August 2011. experimental) 2-GDL DOI: 10.1088/0964-1726/20/9/094007. Disponível em: <stacks.iop.org/SMS/20/094007> • V C SOUSA; C DE MARQUI JR Verificação 3-GDL com – Modeling and analysis of a broadband piezoaeroelastic dados da literatura energy harvester. In: Proceedings of COBEM, Brazilian Congress of Mechanical Engineering. Oct. 24-28 – Natal, RN, Brazil, 2011 • V C SOUSA; D D’ASSUNÇÃO; C DE MARQUI JR Influência de parâmetros – Piezoaeroelastic typical section for wind energy harvesting. aeroelásticos 3-GDL na conversão elétrica In: Proceedings of IMAC XXX, A Conference and Exposition on Structural Dynamics. Jan. 30-Feb. 2 – Jacksonville, FL, USA, 2012 41/42
- 42. Muito obrigado! • Agradecimentos – Ao Prof. Dr. Carlos De Marqui – Ao departamento de Engenharia Aeronáutica, EESC-USP – À banca examinadora – A todos os presentes – Ao CNPq 42/42
Notas do Editor
- Boa tarde, meu nome é Vagner C..., sou aluno de mestrado no Dep. Eng. Aero, meu orientador é o Prof. Dr. Carlos...; Hoje vou apresentar uma “Análise do comportamento...”; Eu gostaria de agradecer aos membros da banca examinadora, Prof. Dr. (do ITA), Prof. Dr. Flávio Marques e Prof. Dr. Carlos De Marqui (EESC) e a todos os presentes;
- os tópicos aqui tratados estão relacionados à conversão de vibrações induzidas pelo escoamento em eletricidade; vou mencionar alguns trabalhos relevantes na área, os fenômenos aeroelásticos mais explorados e os mecanismos de transdução mais utilizados; em seguida, vou apresentar um modelo por parâmetros concentrados para geração de energia; uma seção típica aeroelástica com acoplamento piezelétrico em um de seus GDLs; diversos estudos de caso serão apresentados; modelos lineares e não lineares de uma ST com 2- e 3-GDL; em alguns casos, previsões numéricas serão comparadas com resultados experimentais; De maneira geral, os estudos compreendem “Análises...” (no slide)
- A conversão de energia disponível no ambiente em eletricidade é uma possibilidade atraente para sistemas remotamente operados e com fontes limitadas de energia; pode ser uma alternativa à substituição periódica de baterias (quando a substituição é possível); alguns sistemas têm sua vida útil limitada pela duração de sua fonte de energia (aplicações em que a substituição de baterias é inviável); coletar energia do próprio ambiente pode extender a vida útil de dispositivos de baixo consumo (como sensores sem fio) ou torná-los energeticamente autônomos;Um sistema de conversão/coleta de energia a partir de vibrações pode operar por anos (promissor para aplicações remotas, de difícil acesso – bases árticas, estruturas aeroespaciais); desde o trabalho de Williams e Yates (1995), a conversão de vibrações em eletricidade vem recebendo cada vez mais atenção; os mecanismos de transdução mais comuns são o eletromagnético, o eletrostático e o piezelétrico; trabalhos de revisão (Beeby et al. (2006); Cook-Chennault et al. (2008)) mostram que a transdução piezelétrica tem recebido mais atenção (as principais vantagens são a elevada densidade de potência e a facilidade de uso); um material piezelétrico possui a capacidade de intercâmbio entre energia mecânica e elétrica;
- Os geradores piezelétricos mais simples são modelados como vigas ou placas metálicas engastadas; a estrutura é completa ou parcialmente coberta por uma ou mais camadas de material piezelétrico; a excitação da estrutura se dá por movimento de base ou pela ação do escoamento*; os geradores excitados pelo escoamento (mais frequentemente encontrados) baseiam-se no fenômeno aeroelástico dinâmico “flutter”; desta maneira, uma velocidade do escoamento mínima (particular do sistema) define quando o gerador apresenta conversão persistente de energia; ao mesmo tempo, quando o escoamento atinge esta velocidade “crítica” (vel. linear de flutter), as vibrações passam a ser autossustentadas e de amplitude crescente (potencialmente destrutivas); assim sendo, muitos trabalhos têm investigado maneiras alternativas de se obter conversão persistente em velocidades do escoamento inferiores à velocidade linear de flutter; a literatura mostra que não linearidades estruturais (geralmente encontradas em qualquer sistema aeronáutico) podem induzir oscilações persistentes (e de amplitudes aceitáveis) abaixo da ULF; portanto, um dos objetivos deste trabalho é a investigação de sistemas não lineares para conversão persistente de energia em baixas velocidades do escoamento;
- Muitos trabalhos recentes utilizam transdução piezelétrica para conversão de energia do escoamento; Bryant e Garcia (2011) apresentam um aerofólio articulado pelo seu bordo de ataque à extremidade livre de uma viga elástica engastada. Material piezelétrico é colado na região do engaste (onde as deflexões elásticas são mais significativas); o modelo aerodinâmico considera o estol dinâmico devido ao elevado ângulo de ataque que o aerofólio atinge; Bibo et al. (2011) propuseram um microgerador baseado no princípio de funcionamento dos órgãos musicais; uma viga piezelétrica unimorph posicionada em uma cavidade é sujeita ao escoamento (~~ 1 mW @ 12.5 m/s, 50 kR); as oscilações observadas são do tipo supercrítica; o dispositivo em forma de T proposto por Kwon (2010) é sujeito ao escoamento axialmente, e apresenta oscilações persistentes em baixas velocidades (em torno de 4 m/s) mesmo quando o dispositivo é reproduzido em menor escala;
- Contrastando com a maioria dos trabalhos recentes, Sihori e Mahadik propuseram um gerador piezelétrico baseado no fenômeno aeroelástico “galloping” (e mostraram que esta também é uma opção viável para alimentar sensores sem fio); (protótipo ~ 16x25 cm, 53 mW @ 18 m/s); Zhu et al. (2010) propuseram um gerador excitado pelo escoamento baseado no princípio da indução eletromagnética; conforme o aerofólio vibra, ele é sujeito ao escoamento livre e à esteira do corpo rombudo de maneira alternada, o que provoca um desbalanceamento de forças no sistema e induz movimento persistente; o imã é vinculado ao aerofólio e se desloca em relação à bobina, fixada no sistema estacionário, produzindo eletricidade;
- a nossa solução para um gerador excitado pelo escoamento: uma seção típica aeroelástica com acoplamento piezelétrico;“piezoaeroelasticidade”: interação entre forças aerodinâmicas, elásticas e inerciais e efeitos piezelétricos; primeiro, uma ST com 2-GDL (estruturais) é considerada: a ST pode realizar deslocamentos de translação (linear) e rotação em torno do eixo elástico; em seguida, uma ST com 3-GDL é considerada: os deslocamentos possíveis são o movimento linear, rotação em torno do eixo elástico e posição de uma superfície de controle; o acoplamento piezelétrico sempre é considerado no GDL de deslocamento linear;
- (para deslocamentos virtuais arbitrários,) o princípio de Hamilton extendido para um sistema eletroelástico se reduz às equações eletromecânicas de Lagrange; os efeitos mecânicos dissipativos são introduzidos como forças não conservativas (Erturk e Inman, 2011); princípio de Hamilton para um sistema eletroaeroelástico permite obter as equações piezoaeroelásticas de Lagrange; das equações de Lagrange, determinam-se as equações de movimento da seção típica piezelétrica; Princípio de Hamilton extendido para uma seção típica piezoeletricamente acoplada e especializada para geração de energia (sinal negativo no termo de acoplamento eletromecânico); Elementos: primeira variação da: energia cinética (T): é importante considerar a massa adicional das fixações do sistema experimental no GDL de deslocamento linear (que é significativa); energia potencial (U): além das contribuições das molas de cada GDL, o acoplamento eletromecânico modifica as propriedades de rigidez do sistema; energia elétrica interna (Wie): relacionada à capacitância equivalente das camadas piezocerâmicas e ao acoplamento eletromecânico; (componente não conservativa) carga elétrica; (componente não conservativa) carregamento aerodinâmico; (componente não conservativa) amortecimento estrutural;
- As equações de movimento para a seção típica piezeletricamente acoplada são obtidas resolvendo-se as equações eletromecânicas de Lagrange; ainda, a equação elétrica é derivada no tempo para que a carga resistiva seja introduzida no modelo; em seguida, as equações de movimento são adimensionalizadas; desta maneira é possível analisar uma classe de sistemas ao invés de apenas um sistema em particular (Hemati, 1995);
- Como o modelo é desenvolvido em sua forma mais geral, todas as não linearidades possíveis neste trabalho são introduzidas nas equações de movimento; no GDL de rotação do aerofólio (pitch), a não linearidade freeplay (modelada como uma mola bilinear) pode ocorrer de maneira isolada ou combinada com uma mola cúbica do tipo hardening; no GDL de posição da superfície de controle, somente a não linearidade freeplay é considerada; no entanto, é possível combinar freeplay na superfície de controle com mola cúbica em pitch; nenhuma não linearidade é considerada no GDL de deslocamento linear (plunge) ou no domínio elétrico do problema;
- O modelo aerodinâmico não estacionário de Theodorsen é limitado à movimento harmônico; (a função/operador de Theodorsen, que introduz no modelo os atrasos relativos ao desprendimento de vórtices no bordo de fuga da seção típica, depende somente da frequência reduzida k=wb/U e, portanto, é limitada à movimento harmônico); a função de carregamento indicial de Wagner, formulada considerando-se uma entrada (mudança em?) degrau no ângulo de ataque e que o movimento inicia-se em t=0 (e não em t=-infinito como no modelo de Theodorsen), é capaz de representar movimentos arbitrários de aerofólio, sendo, portanto, conveniente para se determinar o carregamento aerodinâmico não estácionário de modelos não lineares; embora a solução da função de Wagner seja relativamente simples, sua representação no espaço de estados não é tão trivial; Jones (1940) mostrou que a função (acima, no slide) reproduz quase que exatamente a curva obtida com a função de Wagner; a aproximação de Jones é mais facilmente representada no espaço de estados, e acrescenta apenas 2 novos estados ao modelo;
- As submatrizes de massa, rigidez e amortecimento são compostas por uma contribuição estrutural e outra aerodinâmica; cada contribuição aerodinâmica pode, ainda, ser classificada em circulatória ou não circulatória; as submatrizes que constituem os 2 estados adicionais (do modelo aerodinâmico não estacionário) são puramente geométricas e definidas em termos das constantes de Theodorsen, estas, por sua vez, dependem apenas da posição do eixo elástico da seção típica e do eixo de articulação da superfície de controle (se 3-GDL); pode-se investigar a estabilidade do sistema linear por análise de autovalores; observando-se a variação dos autovalores conforme a velocidade do escoamento, é possível prever a velocidade linear de flutter para cada carga resistiva considerada; tendo-se a vel. flutter de cada resistor, o sistema pode ser resolvido no tempo para fornecer previsões das deflexões aeroelásticas de cada GDL e a voltagem produzida pelo circuito gerador; da aplicação da Lei de Ohm, podemos estimar a potência elétrica gerada; por fim, conhecendo-se a interação entre potência produzida e comportamento aeroelástico para cada carga resistiva investigada, é possível identificar uma carga em particular que propicia, simultaneamente, a vel. flutter mais elevada (devido ao efeito de shunt damping associado à geração de potência – os elementos do circuito elétrico gerador podem modificar a estabilidade em torno da condição de flutter) e a máxima quantidade de potência elétrica;
- no sistema experimental, o acoplamento piezelétrico é introduzido no GDL de deslocamento linear; as piezocerâmicas são coladas na região do engaste das vigas de aço-mola que atribuem rigidez ao GDL de deslocamento linear; um fio-mola também atribui rigidez ao GDL de rotação;
- Estes são os parâmetros experimentais, expressos em termos de grandezas dimensionais e adimensionais; Parâmetros experimentais para a seção típica 2-GDL
- Uma análise de estabilidade por autovalores é apresentada para a ST 2-GDL; É possível investigar a estabilidade do sistema quando a velocidade do escoamento aumenta observando-se a parte real dos autovalores aeroelásticos (associada ao amortecimento); Quando o limiar de estabilidade neutra é interceptado, tem-se a velocidade linear de flutter (ou velocidade crítica) do sistema piezoaeroelástico; A condição de contorno elétrica é considerada desde próximo da condição de curto-circuito (Rl -> 0) até circuito aberto (Rl -> inf); É possível observar que a condição de contorno elétrica modifica a resposta aeroelástica da seção típica; pelo detalhe, constata-se a existência de uma carga resistiva (entre as consideradas) que leva à velocidade de flutter mais elevada; tendo-se a velocidade de flutter de cada carga considerada, as equações de movimento (representadas em espaço de estados) são então resolvidas no tempo;
- a resposta piezoaeroelástica no tempo prevê as deformações elásticas em cada GDL, além da voltagem produzida entre os terminais da carga resistiva considerada; as figuras mostram que o modelo numérico prevê com sucesso os resultados experimentais; aplicando a lei de Ohm, calculamos a potência elétrica transferida à cada carga resistiva; (gancho p/ próximo slide)
- novamente, é possível identificar uma carga (entre as consideradas) que propicia a máxima conversão de energia das vibrações em eletricidade; esta carga, que produz a maior quantidade de potência e leva à velocidade de flutter mais elevada (devido ao efeito de shunt damping de geração resistiva de potência), é geralmente chamada de carga ótima; ainda, é possível prever a existência de uma carga ótima global para o circuito gerador;
- Ufree = ULF é uma situação impossível para aplicações práticas, as oscilações são sempre amortecidas ou de amplitude crescente) (envelope de operação do gerador é muito restrito); Sabe-se que não linearidades (estruturais) podem induzir oscilações persistentes em velocidades do escoamento inferiores à velocidade linear de flutter (oscilações subcríticas); Em geral, todos os sistemas apresentam não linearidades intrínsecas; Se as oscilações são persistentes e de amplitudes aceitáveis (e ocorrem em uma “faixa” de velocidades), então temos uma oportunidade (promissora) de coleta de energia disponível no ambiente; O ideal é obter geração persistente a partir da velocidade do escoamento mais baixa possível, de maneira que o gerador seja “portátil” e (ainda assim) acionado pelo vento natural;
- Novamente, as equações de movimento são resolvidas no tempo com o intuito de se estimar as deformações aeroelásticas e a voltagem produzida por cada carga resistiva considerada;- O modelo numérico também prevê com sucesso os resultados experimentais;
- - A potência convertida no caso não linear (~ 28 mW) é 3x superior à potência do caso linear (~ 11 mW), para a mesma carga elétrica;
- Quando uma mola cúbica (do tipo hardening) também é considerada no GDL de rotação, as amplitudes de oscilação tendem a diminuir conforme a razão entre a rigidez não linear e a rigidez linear aumenta; Portanto, a não linearidade cúbica pode limitar a amplitude de oscilação à valores aceitáveis em velocidades do escoamento acima da velocidade crítica;
- considerando-se uma razão de rigidez (eta = 100), a potência convertida é investigada para cada carga resistiva considerada e, novamente, a carga Rl = 10^5 R é a que propicia a maior conversão de energia;
- As amplitudes de vibração (de deslocamento linear e pitch) são pouco afetadas pela condição de contorno elétrica (carga resistiva utilizada no circuito gerador); Mesmo quando a carga ótima é considerada, o controle passivo de vibrações é pouco significativo (embora exista);
- Mencionar q os estudos anteriores foram realizados com os dados experimentais (os dados q possuimos)... Para se ter um conhecimento mais amplo (global) do sistema, é importante analisar a influência de alguns parâmetros sobre o comportamento piezoaeroelástico ...
- - A conversão de energia melhora quando o acoplamento eletromecânico aumenta;
- Motivação do caso 3-GDL: reduzir a velocidade na qual oscilações autossustentadas ocorrem;
- redução da ULF de 11.6 m/s para ~9.8 m/s (18%);
- 11 mW p/ pequena perturbação inicial; 30 mW p/ perturbações iniciais maiores (~ = 2-gdl não linear);
- Com a mola bilinear na sup. controle, LCOs ocorrem entre 70% e 98% da ULF (3-GDL); As amplitudes são pequenas e aumentam linearmente até ~1.42; entre 1.42 e 1.49 as amplitudes aumentam rápido até a amplitude da perturbação inicial; < 70% oscilações amortecidas, > 98% oscilações de amplitude crescente;
- Quando uma mola cúbica é considerada em pitch e uma mola bilinear é considerada na superfície de controle, as amplitudes tendem a diminuir conforme a razão de rigidez da não linearidade cúbica aumenta; as oscilações apresentam maiores amplitudes quando a velocidade do escoamento é aproximadamente igual à velocidade linear de flutter, quando a potência gerada passa a ser mais significativa;
- Quando uma mola cúbica é considerada em pitch e uma mola bilinear é considerada na superfície de controle, as amplitudes tendem a diminuir conforme a razão de rigidez da não linearidade cúbica aumenta; as oscilações apresentam maiores amplitudes quando a velocidade do escoamento é aproximadamente igual à velocidade linear de flutter, quando a potência gerada passa a ser mais significativa;