Hipersuperfícies Weingarten em espaços de Lorentz

Objetivo
Enunciados dos resultados principais.
Preliminares
Demonstra¸õ dos Teoremas
ca
Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter
co c
Bibliografia

Hipersuperf´ tipo-espa¸o Weingarten linear
ıcie c
imersa em espa¸os localmente sim´tricos.*
c e
*em coopera¸õ com o Prof. Dr. Henrique Fernandes de Lima
ca

Joseilson Raimundo de Lima

14 de dezembro de 2012

Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME
e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliografia

1 Objetivo

2 Enunciados dos resultados principais.

3 Preliminares

4 Demonstra¸õ dos Teoremas
ca

5 Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter
co c

6 Bibliografia

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliografia

Objetivo
Nosso objetivo ´ estabelecer um teorema de caracteriza¸õ no que se re-
e ca
fere `s hipersuperf´
a ıcies tipo-espa¸o Weingarten lineares completas imer-
c
sas em um espa¸o de Lorentz localmente sim´trico, cuja curvatura seccio-
c e
nal obedece a certas condi¸˜es apropriadas. Sob uma condi¸õ adequada
co ca
no m´dulo da segunda forma fundamental, provamos que tal hipersu-
o
perf´ deve ser totalmente umb´
ıcie ılica ou, caso contr´rio, deve ser uma
a
hipersuperf´ isoparam´trica com duas curvaturas principais distintas
ıcie e
e que uma delas ´ simples. Depois estabelecemos, o mesmo resultado
e
no caso em que o espa¸o ambiente ´ um espa¸o de Einstein localmente
c e c
sim´trico.
e

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

Para constantes c1 e c2 , Choi et al. [1,2] introduziram a classe dos
espa¸os de Lorentz Ln+1 de dimens˜o n+1 que satisfazem as seguintes
c 1 a
duas condi¸˜es (onde K denota a curvatura seccional de Ln+1 ):
co 1

c1
K (u, v ) = − (1)
n
para quaisquer vetores tipo-espa¸o u e tipo-tempo v ; e
c

K (u, v ) ≥ c2 (2)

para quaisquer vetores tipo-espa¸o u e v .
c

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliografia

Nosso prop´sito ´ estudar a rigidez de hipersuperf´
o e ıcies tipo-espa¸o Wein-
c
garten lineares completas, isto ´, hipersuperf´
e ıcies tipo-espa¸o completas
c
cuja a curvatura m´dia H e a curvatura escalar normalizada R satisfa-
e
zem:
R = aH + b,
para algum a, b ∈ R. Nestas condi¸˜es, como uma aplica¸õ adequada
co ca
do princ´
ıpio do m´ximo forte de Hopf e sob restri¸˜es apropriadas no
a co
quadrado da norma S da segunda forma fundamental, conseguimos es-
tabelecer um teorema de caracteriza¸õ em rela¸õ a tal hipersuperf´
ca ca ıcie
tipo-espa¸o imersa em um espa¸o de Lorentz localmente sim´trico Ln+1 ,
c c e 1
o qual supomos satisfazer as condi¸˜es (1) e (2). Lembramos que um
co
espa¸o de Lorentz Ln+1 ´ dito ser localmente sim´trico se todas as com-
c 1 e e
¯
ponentes das derivadas covariantes RABCD;E do tensor curvatura de Ln+1
1
sõ identicamentes nulas.
a

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliografia

Para enunciar nossos resultados, precisamos de alguns fatos b´sicos. De-
a
¯
note por RCD as componentes do tensor de Ricci de Ln+1 satisfazendo
1
co a ¯
as condi¸˜es (1) e (2), entõ a curvatura escalar R de Ln+1 ´ dada por
e
1

n+1 n n n
¯
R= ¯
εA RAA = ¯
Rijji − 2 ¯
R(n+1)ii(n+1) = ¯
Rijji + 2c1 .
A=1 i,j=1 i=1 i,j=1

Al´m disso, ´ bem conhecido que a curvatura escalar de um espa¸o de Lo-
e e c
n ¯
rentz localmente sim´trico ´ constante. Consequentemente, i,j=1 Rijji
e e
´ uma constante naturalmente associada ao espa¸o de Lorentz local-
e c
mente sim´trico satisfazendo as condi¸˜es (1) e (2).
e co
Agora, estamos em condi¸õ de apresentar nossos resultados.
ca

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa


Theorem
Seja Ln+1 um espa¸o de Lorentz localmente sim´trico satisfazendo as
1 c e
condi¸oes (1) e (2), com c = c1 + 2c2 > 0. Seja M n uma
c˜ n
hipersuperf´ tipo-espa¸o Weingarten linear completa imersa em Ln+1 ,
ıcie c 1
1 ¯
tal que R = aH + b com b < n(n−1) i,j Rijji . Se H atinge o m´ximo
a
√
em M n e S ≤ 2 n − 1 c, ent˜o M n ´ totalmente umb´
a e ılica ou, caso
contr´rio, ´ uma hipersuperf´ isoparam´trica com duas curvaturas
a e ıcie e
principais distintas, uma das quais ´ simples.
e

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliografia

No caso de um espa¸o de Einstein localmente sim´trico temos o seguinte
c e
Theorem
n+1
Seja E1 um espa¸o-tempo de Einstein localmente sim´trico
c e
satisfazendo as condi¸˜es (1) e (2), com c = c1 + 2c2 > 0. Seja M n
co n
uma hipersuperf´ tipo-espa¸o Weingarten linear completa,
ıcie c
n+1
nõ-compacta, imersa em E1 , tal que R = aH + b com
a
2 2
(n − 1) a + 4 i,j R ¯ ijji − 4n(n − 1)b > 0. Se | H| ´ integr´vel a
e a
√
Lebesgue em M n e S ≤ 2 n − 1 c, entõ M n ´ totalmente umb´
a e ılica
ou, caso contr´rio, ´ uma hipersuperf´ isoparam´trica com duas
a e ıcie e
curvaturas principais distintas, uma das quais ´ simples.
e

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

Relacionado ao caso compacto, temos o seguinte
Theorem
n+1
Seja E1 um espa¸o-tempo de Einstein localmente sim´trico
c e
satisfazendo as condi¸˜es (1) e (2), com c = c1 + 2c2 > 0. Seja M n
co n
uma hipersuperf´ tipo-espa¸o Weingarten linear compacta imersa em
ıcie c
n+1
E1 , tal que R = aH + b com √
¯
(n − 1)2 a2 + 4 i,j Rijji − 4n(n − 1)b ≥ 0. Se S < 2 n − 1 c, ent˜o
a
M n ´ totalmente umb´
e ılica.

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliografia

Uma f´rmula tipo Simons em espa¸os de Lorentz
o c
localmente sim´tricos.
e
De agora em diante, consideraremos hipersuperf´ ıcies tipo-espa¸o com-
c
pletas M n imersas no espa¸o de Lorentz Ln+1 . Escolhemos um referencial
c 1
ortonormal semi-Riemanniano de campos locais {eA }1≤A≤n+1 em Ln+1 , 1
com correferencial dual {ωA }1≤A≤n+1 , tal que, em cada ponto de M n ,
e1 , . . . , en sõ tangentes a M n e en+1 ´ normal a M n . Usaremos a se-
a e
guinte conven¸õ para os ´
ca ındices:

1 ≤ A, B, C , . . . ≤ n + 1, 1 ≤ i, j, k, . . . ≤ n.

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliografia

o c
e
Sob estas condi¸˜es, denotando por {ωAB } as formas de conexõ de
co a
Ln+1 , temos que as equa¸˜es de estrutura de Ln+1 sõ dadas por:
1 co 1 a

dωA = − εB ωAB ∧ ωB , ωAB + ωBA = 0, εi = 1, εn+1 = −1, (3)
B

1 ¯
dωAB = − εC ωAC ∧ ωCB − εC εD RABCD ωC ∧ ωD . (4)
2
C C ,D

¯ ¯ ¯
Aqui, RABCD , RCD e R denotam, respectivamente, o tensor curvatura
Riemanniano, o tensor de Ricci e a curvatura escalar do espa¸o de Lorentz
c
Ln+1 .
1

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliografia

o c
e
Nesta configura¸õ, temos que
ca

¯
RCD = ¯
εB RBCDB , ¯
R= ¯
εA RAA .
B A

¯
Al´m disso, as componentes RABCD,E da derivada covariante do tensor
e
curvatura Riemanniana de Ln+1 sõ definidas por
1 a

¯
εE RABCD,E ωE = ¯
d RABCD − ¯
εE (REBCD ωEA
E E
¯ ¯ ¯
+RAECD ωEB + RABED ωEC + RABCE ωED ).

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

o c
e
Em seguida, restringimos todos os tensores para a hipersuperf´ tipo-
ıcie
espa¸o M n em Ln+1 . Antes de tudo, ωn+1 = 0 em M n , assim,
c 1
i ω(n+1)i ∧ ωi = dωn+1 = 0. Consequentemente, pelo Lema de Car-
tan[7], existem hij tais que

ω(n+1)i = hij ωj e hij = hji . (5)
j

Isto d´ a segunda forma fundamental de M n , h = i,j hij ωi ωj en+1 , e o
a
2
quadrado de sua norma S = i,j hij . Al´m disso, a curvatura m´dia H
e e
n 1
de M ´ deﬁneda por H = n i hii .
e

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliografia

o c
e
As formas de conexês {ωij } de M n sõ caracterizadas pelas equa¸˜es
o a co
de estrutura de M n :

dωi = − ωij ∧ ωj , ωij + ωji = 0, (6)
j

1
dωij = − ωik ∧ ωkj − Rijkl ωk ∧ ωl , (7)
2
k k,l

onde Rijkl sõ as componentes do tensor curvatura de M n .
a
Usando as equa¸˜es de estrutura, obtemos a equa¸õ de Gauss:
co ca
¯
Rijkl = Rijkl − (hik hjl − hil hjk ). (8)

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

o c
e
As componentes Rij do tensor de Ricci e a curvatura escalar R de M n
s˜o dadas, respectivamente, por
a

Rij = ¯
Rkijk − nHhij + hik hkj (9)
k k

e
n(n − 1)R = ¯
Rkjjk − n2 H 2 + S. (10)
j,k

As primeiras derivadas covariantes hijk de hij satisfazem

hijk ωk = dhij − hik ωkj − hjk ωki . (11)
k k k

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliografia

o c
e
Entõ, pela diferencia¸õ exterior de (5), obtemos a equa¸õ de Codazzi
a ca ca
¯
hijk − hikj = R(n+1)ijk . (12)

Analogamente, as segundas derivadas covariantes hijkl de hij sõ dadas
a
por

hijkl ωl = dhijk − hljk ωli − hilk ωlj − hijl ωlk . (13)
l l l l

Pela diferencia¸õ exterior de (11), podemos obter a seguinte f´rmula
ca o
de Ricci
hijkl − hijlk = − him Rmjkl − hjm Rmikl . (14)
m m

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

o c
e
¯ ¯
Restringindo a derivada covariante RABCD;E de RABCD em M n , temos
¯ (n+1)ijk;l ´ dado por
que R e

¯
R(n+1)ijk;l ¯ ¯
= R(n+1)ijkl + R(n+1)i(n+1)k hjl (15)
¯
+R(n+1)ij(n+1) hkl + ¯
Rmijk hml ,
m

¯ ¯
onde R(n+1)ijkl denota a derivada covariante de R(n+1)ijk como um tensor
em M n , de modo que

¯ ¯
R(n+1)ijkl ωl = d R(n+1)ijk − ¯
R(n+1)ljk ωli − ¯
R(n+1)ilk ωlj − ¯
R(n+1)ijl ωlk .
l l l l

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

o c
e
O Laplaciano ∆hij of hij ´ deﬁnido por ∆hij =
e hijkk . De (12), (14)
k
e (15), ap´s um c´lculo simples, obtemos
o a

∆hij = (nH)ij − nH hil hlj + Shij (16)
l

+ ¯ ¯
(R(n+1)ijk;k + R(n+1)kik;j )
k

− ¯ ¯
(hkk R(n+1)ij(n+1) + hij R(n+1)k(n+1)k )
k

− ¯ ¯ ¯
(2hkl Rlijk + hjl Rlkik + hil Rlkjk ).
k,l

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

o c
e
2
Como ∆S = 2 i,j,k hijk + i,j hij ∆hij , de (16) temos

1
∆S = S2 + 2
hijk + (nH)ij hij (17)
2
i,j,k i,j

+ ¯ ¯
(R(n+1)ijk;k + R(n+1)kik;j )hij
i,j,k

−( ¯
nHhij R(n+1)ij(n+1) + S ¯
R(n+1)k(n+1)k )
i,j k

−2 ¯ ¯
(hkl hij Rlijk + hil hij Rlkjk ) − nH hil hlj hij .
i,j,k,l i,j,l

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliografia

o c
e
Agora, seja φ = i,j φij ωi ωj um tensor sim´trico em M n definido por
e

φij = nHδij − hij .

De acordo com Cheng-Yau [3], introduzimos um operador associado
a φ agindo em qualquer fun¸õ suave f por
ca

f = φij fij = (nHδij − hij )fij . (18)
i,j i,j

Fazendo f = nH em (18) e tomando um referencial ortonormal (local)
{e1 , . . . , en } em M n tal que hij = λδij , da equa¸õ (10) obtemos que
ca

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

o c
e

1
(nH) = ∆(nH)2 − (nH)2 −
i λi (nH)ii (19)
2
i i
1
= ∆S − n2 | H|2 − λi (nH)ii
2
i
 
1  ¯
+ ∆ Rijji − n(n − 1)R  .
2
i,j

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliografia

Resultados auxiliares.
Para provar nossos teoremas precisaremos de alguns lemas.
Lemma
Sejam µ1 , ..., µn n´meros reais tais que
u µi = 0 e µ2 = β 2 , onde
i
i i
β ≥ 0. Entõ
a

(n − 2) (n − 2)
− β3 ≤ µ3 ≤
i β3, (20)
n(n − 1) i
n(n − 1)

e a igualdade vale se, e somente se, ao menos (n − 1) dos n´meros µi
u
sõ iguais.
a

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliografia

Agora, apresentamos nosso segundo lema auxiliar.
Lemma
Seja M n uma hipersuperf´ tipo-espa¸o Weingarten linear imersa em
ıcie c
um espa¸o de Lorentz localmente sim´trico Ln+1 , tal que R = aH + b.
c e 1
Suponha que

(n − 1)2 a2 + 4 ¯
Rijji − 4n(n − 1)b ≥ 0. (21)
i,j

Entõ,
a
2
hijk ≥ n2 | H|2 . (22)
i,j,k

Al´m disso, se a desigualdade (21) ´ estrita e a igualdade vale na
e e
equa¸õ (22) em M n , entõ H ´ constante em M n .
ca a e

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliografia

Agora, consideramos o operador modificado de Cheng-Yau
n−1
L= + a∆. (23)
2
Associado a tal operador, temos o seguinte crit´rio suficiente de elipti-
e
cidade.
Lemma
Seja M n uma hipersuperf´ tipo-espa¸o Weingarten linear imersa em
ıcie c
um espa¸o de Lorentz localmente sim´trico Ln+1 , tal que R = aH + b
c e 1
1 ¯
com b < n(n−1) i,j Rijji . Entõ, L ´ el´
a e ıptico.

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliografia

Caminha observou que ´ poss´ generalizar um resultado do Yau, ob-
e ıvel
tendo o seguinte
Lemma
Seja X um campo vetorial suave sobre uma variedade Riemanniana
orientada, completa, nõ-compacta, n-dimensional Σn , tal que divΣ X
a
nõ muda de sinal em Σn . Se |X | ∈ L1 (Σ), entõ divΣ X = 0.
a a

Temos tamb´m o seguinte resultado sobre o divergente das trans-
e
forma¸˜es de Newton.
co

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa


Lemma
Os divergentes das transforma¸˜es de Newton s˜o dados pelas
co a
seguintes f´rmulas indutivas:
o

divP0 = 0
n (24)
divPr = − N A(divPr −1 ) − N i=1 R(N, Pr −1 ei )ei

Equivalentemente, para todo campo x ∈ X(M), seque-se que:
r n
j
divPr , X = (− N) R(N, Pr −j ei )ei , Aj−1 X (25)
j=1 i=1

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

Demonstra¸˜o do Primeiro Teorema
ca
Inicialmente, observamos que a simetria local de Ln+1 implica que
1

¯ ¯
(R(n+1)ijk;k + R(n+1)kik;j )hij = 0.
i,j,k

Dessa forma, se escolhermos um referencial ortonormal (local)
{e1 , . . . , en } em M n tal que hij = λi δij , usando as equa¸˜es (17) e (19)
co
temos de (23) que

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

ca

L(nH) = hijk − n2 | H|2 + S 2 − nH
2
λ3
i (26)
i,j,k i

−2 ¯ ¯
(λi λk Rkiik + λ2 Rikik )
i
i,j,k,l

−( ¯
nHλi R(n+1)ii(n+1) + S ¯
R(n+1)k(n+1)k ).
i,j k

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

ca
Assim, do Lema 5, temos

L(nH) ≥ S 2 − nH λ3 − 2
i
¯ ¯
i (27)
i i,j,k,l

−( ¯
R(n+1)k(n+1)k ).
i,j k

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

ca
Assim, do Lema 5, temos

L(nH) ≥ S 2 − nH λ3 − 2
i
¯ ¯
i (27)
i i,j,k,l

−( ¯
R(n+1)k(n+1)k ).
i,j k

Agora, deﬁna Φij = hij − Hδij . Consideraremos o seguinte tensor sim´-
e
trico
Φ= Φij ωi ωj .
i,j

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliografia

ca
Seja |Φ|2 = ij
´ a
Φ2 o quadrado da norma de Φ. E fćil verificar que Φ ´
e
i,j
livre de tra¸o (isto ´, trΦ = 0) e
c e

|Φ|2 = S − nH 2 .

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliografia

ca
Seja |Φ|2 = ij
´ a
Φ2 o quadrado da norma de Φ. E fćil verificar que Φ ´
e
i,j
livre de tra¸o (isto ´, trΦ = 0) e
c e

|Φ|2 = S − nH 2 .

Se tomarmos um referencial (local) {e1 , . . . , en } em p ∈ M n , tal que

hij = λi δij e Φij = µi δij ,

´ simples verificar que
e

µi = 0, µ2 = |Φ|2 e
i µ3 =
i λ3 − 3H|Φ|2 − nH 3 .
i
i i i i

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

ca
Consequentemente, aplicando o Lema 4 aos n´meros reais µ1 , . . . , µn ,
u
temos

S 2 − nH λ3
i = (|Φ|2 + nH 2 )2 − n2 H 4 (28)
i

−3nH 2 |Φ|2 − nH λ3
i
i
n(n − 2)
≥ |Φ|4 − nH 2 |Φ|2 − H|Φ|3 .
n(n − 1)

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

ca
Usando as condi¸˜es (1) e (2), obtemos
co

−( ¯
R(n+1)k(n+1)k ) = c1 (S − nH 2 ) (29)
i,j k

e

−2 ¯ i
¯
(λi λk Rkiik + λ2 Rikik ) ≥ c2 (λi − λk )2 (30)
i,j,k,l i,k

= 2nc2 (S − nH 2 ).

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

ca
c1
Assim, tomando c = n + 2c2 , de (27), (28), (29) e (30) obtemos que

n(n − 2)
L(nH) ≥ |Φ|2 nc + S − 2nH 2 − H|Φ| . (31)
n(n − 1)

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

ca
c1
Assim, tomando c = n + 2c2 , de (27), (28), (29) e (30) obtemos que

n(n − 2)
L(nH) ≥ |Φ|2 nc + S − 2nH 2 − H|Φ| . (31)
n(n − 1)

Por outro lado, com um simples c´lculo veriﬁcamos que
a
1 √ √ √ 2
S − 2nH 2 = √ ( n − 1 + 1)|Φ| − ( n − 1 − 1) nH
2 n−1
n(n − 2) n
= H|Φ| − √ S.
n(n − 1) 2 n−1

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

ca
√
Assim, como supomos que S ≤ 2 n − 1 c, de (31) obtemos

n
L(nH) ≥ |Φ|2 nc − √ S ≥ 0. (32)
2 n−1

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

ca
√
Assim, como supomos que S ≤ 2 n − 1 c, de (31) obtemos

n
L(nH) ≥ |Φ|2 nc − √ S ≥ 0. (32)
2 n−1
Como o Lema 6 garante que L ´ el´
e ıptico e como estamos supondo que
H atinge seu m´ximo em M n , de (32) conclu´
a ımos que H ´ constante
e
em M n . Donde, considerando a equa¸˜o (26), obtemos i,j,k hijk =
ca 2

n2 | H|2 = 0, e segue-se que λi ´ constante para todo i = 1, . . . , n.
e
Al´m disso, de (32) temos
e

n
|Φ|2 nc − √ S = 0. (33)
2 n−1

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliografia

ca
√
Se S <√ n − 1 c, entõ |Φ|2 = 0 and M n ´ totalmente umb´
2 a e ılica. Se
S = 2 n − 1 c, como todas as desigualdade que obtivemos sõ, na
a
verdade, igualdades, verificamos facilmente que
√ √
( n − 1 − 1) n
|Φ| = √ H. (34)
n−1+1

Logo, no caso que n = 2, de (34) obtemos que |Φ|2 = 0. Sendo assim,
M 2 ´ totalmente umb´
e ılica. Finalmente, quando n ≥ 3, como a igualdade
vale em (20) do Lema 4, conclu´ ımos que M n ´ totalmente umb´
e ılica ou,
caso contr´rio, ´ uma hipersuperf´ isoparam´trica com duas curvaturas
a e ıcie e
principais distintas, uma das quais ´ simples.
e

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliografia

Demonstra¸õ do Segundo Teorema
ca
De (18) temos que
2
f = trace(P1 ◦ f ),
onde, denotando por I a identidade na ´lgebra dos campos vetoriais
a
suaves em M n , P1 = nHI − h e 2 f representa o operador linear auto-
adjunto metricamente equivalente ` hessiana de f . Assim, usando a
a
nota¸õ , para a m´trica (induzida) em M n , temos
ca e

f = P1 ( ei f ), ei ,
i

onde {e1 , . . . , en } ´ um referncial ortonormal local em M n .
e

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

ca
Consequentemente, temos que

div(P1 ( f )) = ( ei P1 )( f ), ei + P1 ( ei f ), ei (35)
i i
= divP1 , f + f .

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

ca
Consequentemente, temos que

div(P1 ( f )) = ( ei P1 )( f ), ei + P1 ( ei f ), ei (35)
i i
= divP1 , f + f .

n+1
Por outro lado, como E1 ´ um espa¸o-tempo de Einstein, existe um
e c
parˆmetro λ tal que Ric = λ , , onde Ric denota o tensor de Ricci de
a
n+1 n+1
E1 . Assim, denotando por R o tensor curvatura de E1 , do Lema 8
temos

divP1 , f = R(N, ei )ei , f = −Ric(N, f ) = −λ N, f = 0,
i

onde N representa a aplica¸˜o de Gauss de M n .
ca

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

ca
Assim, de (35), conclu´
ımos que

f = div(P1 ( f )). (36)

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

ca
ımos que

f = div(P1 ( f )). (36)

Agora, consideramos novamente o operador modiﬁcado de Cheng-Yau
n−1
L= + a∆. (37)
2

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

ca
ımos que

f = div(P1 ( f )). (36)

Agora, consideramos novamente o operador modiﬁcado de Cheng-Yau
n−1
L= + a∆. (37)
2

De (36), temos que

L(nH) = div(P( H)), (38)
n(n−1)
onde P = nP1 + 2 aI .

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

ca
Al´m disso, como S ´ suposta ser limitada, veriﬁcamos facilmente que
e e
o operador P ´ limitado. Dessa forma, como tamb´m assumimos que
e e
| H| ∈ L1 (M), obtemos que

|P( H)| ∈ L1 (M). (39)

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliografia

ca
Al´m disso, como S ´ suposta ser limitada, verificamos facilmente que
e e
o operador P ´ limitado. Dessa forma, como tamb´m assumimos que
e e
| H| ∈ L1 (M), obtemos que

|P( H)| ∈ L1 (M). (39)

n+1
Agora observamos que, da simetria local de E1 , podemos seguir os
passos da Demonstra¸õ do Teorema 1 para obter
ca

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

ca

L(nH) = hijk − n2 | H|2 + S 2 − nH
2
λ3
i (40)
i,j,k i

−2 ¯ ¯
i
i,k

−( ¯
R(n+1)k(n+1)k ).
i k

e
n
L(nH) ≥ |Φ|2 nc − √ S ≥ 0. (41)
2 n−1
onde
φ= φij ωi ωj ,
i,j

com φij = hij − Hδij .
e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

ca
Portando, tendo em conta as equa¸˜es (38), (39) and (41), podemos
co
aplicar o Lema 7 para cocluir que L(nH) = 0 e, da equa¸˜o (40), temos
ca

hijk = n2 | H|2 .
2

i,j,k

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

ca
Portando, tendo em conta as equa¸˜es (38), (39) and (41), podemos
co
aplicar o Lema 7 para cocluir que L(nH) = 0 e, da equa¸˜o (40), temos
ca

hijk = n2 | H|2 .
2

i,j,k

¯
Consequentemente, como assumimos que (n−1)2 a2 +4 i,j Rijji −4n(n−
1)b > 0, do Lema 5 segue que H ´ constante e, assim, λi ´ constante
e e
para todo i = 1, . . . , n. Al´m disso, de (41) temos
e

n
|Φ|2 nc − √ S = 0. (42)
2 n−1

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliografia

ca
√
Se S < 2 n − 1 c, entõ |Φ|2 = 0 e M n ´ totalmente umb´
√ a e ılica. Se
S = 2 n − 1 c, como todas as desigualdades que obtivemos sõ, de
a
fato, igualdades, verificamos facilmente que
√ √
( n − 1 − 1) n
|Φ| = √ H. (43)
n−1+1

Assim, no caso que n = 2, de (43), obtemos que |Φ|2 = 0. Portanto,
M 2 ´ totalmente umb´
e ılica.
Finalmente, quando n ≥ 3, como a igualdade vale em (20) do Lema 4,
ımos que M n ´ totalmente umb´
conclu´ e ılica ou uma hipersuperf´ iso-
ıcie
param´trica com duas curvaturas principais distintas e que uma delas ´
e e
simples.

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

Demonstra¸˜o do Terceiro Teorema
ca
De (38) e (41), aplicando o Teorema da Divergˆncia, temos
e

n
0= L(nH) ≥ |Φ|2 nc − √ S dM ≥ 0. (44)
M M 2 n−1
√
Consequentemente, como estamos supondo que S < 2 n − 1 c, de (44)
obtemos que |Φ| = 0 em M n e, assim, M n ´ totalmente umb´
e ılica.

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliografia

Aplica¸oes no espa¸o de De Sitter
c˜ c
Denotemos por Ln+2 o espa¸o de Lorentz-Minkowiski (n+2)-dimensional
c
(n ≥ 2), ou seja, o espa¸o vetorial real Rn+2 munido da m´trica
c e
n+1
v, w = vi wi − vn+2 wn+2 ,
i=1

para quaisquer v , w ∈ Rn+2 . Dessa forma, definimos o espa¸o de De
c
Sitter Sn+1 (n + 1)-dimensional como sendo a seguinte hiperqu´drica de
1 a
Ln+2 :
Sn+1 = {p ∈ Ln+2 ; p, p = 1}.
1

A m´trica induzida pela inclusõ i : Sn+1 → Ln+2 torna Sn+1 uma
e a 1 1
variedade de Lorentz com curvatura seccional constante igual a 1. Al´m
e
disso, para cada p ∈ Sn+1 , temos que o espa¸o tangente a Sn+1 em p ´
1 c 1 e
dado por
Tp (Sn+1 ) = {v ∈ Ln+2 ; v , p = 0}.
1

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliografia

c˜ c
Observemos que en+2 = (0, ..., 0, 1) ´ um campo de vetores tipo-tempo
e
unit´rio e globalmente definido em Ln+2 , determinando, assim, uma ori-
a
enta¸õ temporal em Ln+2 . Portanto, dada uma hipersuperf´ tipo-
ca ıcie
espa¸o no espa¸o de De Sitter ψ : M n → Sn+1 → Ln+2 , podemos
c c 1
escolher um unico campo normal unit´rio de vetores tipo-tempo N ao
´ a
longo de M n apontando para o passado em Ln+2 (i.e., N, en+2 > 0);
desta forma, podemos assumir que M n ´ orientada por N. Neste con-
e
texto, denotaremos por ◦ , ¯ e as conex˜es de Levi-Civita de Ln+2 ,
o
Sn+1 , e M n , respectivamente. Entõ, as f´rmulas de Gauss e Weingarten
1 a o
relativas a imersõ ψ : M n → Sn+1 → Ln+2 sõ dadas respectivamente
a 1 a
por

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

c˜ c

◦ ¯ vW − V, W ψ
V = (45)
= VW − AV , W N − V , W ψ

e
◦
A(V ) = − VN = − ¯ V N, (46)
para quaisquer campos de vetores tangentes V , W ∈ X (M), onde A
denota o operador de forma de M n em Sn+1 associado a N.
1

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

c˜ c

◦ ¯ vW − V, W ψ
V = (45)
= VW − AV , W N − V , W ψ

e
◦
A(V ) = − VN = − ¯ V N, (46)
para quaisquer campos de vetores tangentes V , W ∈ X (M), onde A
denota o operador de forma de M n em Sn+1 associado a N.
1
Do Teorema 2 e de acordo com o teorema cl´ssico de congruˆncia obtido
a e
por Abe, Koike e Yamaguchi, obtemos o seguinte resultado no espa¸o c
de De Sitter Sn+1 .
1

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliografia

c˜ c

Corollary

Seja M n uma hipersuperf´ tipo-espa¸o Weingarten completa,
ıcie c
nõ-compacta, imersa em Sn+1 , tal que R = aH + b com
a 1 √
(n − 1)a2 + 4n(1 − b) > 0. Se | H| ∈ L1 (M) e S ≤ 2 n − 1, entõ a
M n ´ totalmente umb´
e ılica ou, caso contr´rio, ´ isom´trica ao cilindro
a e e
hiperb´lico H1 (c1 ) × Sn−1 (c2 ), para R > 0, ou a Hn−1 (c1 ) × S1 (c2 ),
o
1 1
para R < 0, onde c1 < 0, c2 > 0 e + = 1.
c1 c2

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliografia

c˜ c

Observa¸õ
ca
Em [4], Montiel caracterizou os cilindros hiperb´licos como as unicas
o ´
ıcies tipo-espa¸o completas, nõ-compactas, em Sn+1 com
hipersuperf´ c √
a 1
curvatura m´dia constante H = 2 n e possuindo ao menos dois fins.
e n−1

Mais tarde, Brasil, Colares e Palmas [5] obtiveram uma espćie de
e
extensõ do resultado de Montiel, mostrando que os cilindros
a
hiperb´licos sõ as unicas hipersuperf´
o a ´ ıcies tipo-espa¸o completas em
c
Sn+1 com curvatura m´dia constante, curvatura de Ricci nõ-negativa
1 e a
e tendo ao menos dois fins. Eles tamb´m caracterizaram todas as
e
hipersuperf´
ıcies tipo-espa¸o completas de curvatura m´dia constante
c e
com duas curvaturas principais distintas como hipersuperf´ ıcies de
rota¸õ ou cilindros hiperb´licos generalizados Hk (c1 ) × Sn−k (c2 ), onde
ca o
1 < k < (n − 1), c1 < 0, c2 > 0 e c11 + c12 = 1.

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliografia

c˜ c
Finalmente, de acordo com a descri¸õ de hipersuperf´
ca ıcies tipo-espa¸o
c
totalmente umb´ılicas de Sn+1 dada por Montiel no Exemplo 1 de [6], do
1
Teorema 3, temos o seguinte
Corollary

Seja M n uma hipersuperf´ tipo-espa¸o Weingarten linear compacta
ıcie c
imersa em Sn+1 , tal que R = aH + b com (n − 1)a2 + 4n(1 − b) ≥ 0.
√ 1
Se S < 2 n − 1, entõ M n ´ isom´trica a Sn .
a e e

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

Bibliograﬁa
[1] S.M. Choi, S.M. Lyu, and Y.J. Such Complete space-like hypersur-
faces in a Lorentz manifold, Math. J. Toyama Univ. 22 (1999), 53-76.
[2] Y.J. Such, Y.S. Choi, and H.Y. Yang, On spacelike hypersurfaces
with constant mean curvature in a Lorentz manifold, Houston J. Math.
28 (2002), 47-70.
[3] S.Y. Cheng, and S.T. Yau, Hypersurfaces with constant scalar cur-
vature, Manuscrita Math. 95 (1998), 499-505.
[4] S. Montiel, A Caracterization of hyperbolic cylinders in the de Sitter
space, Tˆhoku Math. J. 48 (1996) 23-32.
o
[5] A. Brasil Jr., A.G. Colares, and O. Palmas Complete spacelike hy-
persurfaces with constant mean curvature in the de Sitter space: A gap
theorem, Illinois J. of Math. 47 (2003), 847-866.
[6] S. Montiel, An integral inequality for compact spacelike hypersufaces
in the de Sitter space and applications to the case of constant mean
curvature, Indiana Univ. Math. J. 37 (1988) 909-917.

e

Objetivo
Preliminares
ca
co c
Bibliograﬁa

Bibliograﬁa
´
[7] E. Cartan, Familles de surfaces isoparam´triques dans les especes `
e a
courbure constante, Ann. Mat. Pura Appl. 17 (1938) 177-191.

e

Hipersuperfícies Weingarten em espaços de Lorentz

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