Estudo de vibrações mecânicas

1. Vibrações Forçadas Sem
Amortecimento
Fundamentos para Engenharia
Mecânica
Bem-vindos ao estudo das vibrações forçadas sem amortecimento, um
conceito fundamental para engenheiros mecânicos. Nesta aula,
exploraremos como sistemas mecânicos respondem a forças externas
periódicas quando não há dissipação de energia por amortecimento.

2. Vibração Livre vs Vibração Forçada
Vibração Livre
O sistema oscila após uma perturbação inicial, sem forças
externas contínuas. O movimento é determinado apenas
pelas propriedades do sistema.
Vibração Forçada
O sistema é continuamente excitado por uma força externa
periódica, resultando em um comportamento oscilatório
mantido.
Nosso foco hoje: vibração forçada sem amortecimento, um
modelo idealizado essencial para compreender fenômenos
de ressonância.

3. Modelo Matemático: Sistema
Massa-Mola Sem
Amortecimento
Equação do Movimento
Onde: m = massa, k = rigidez da mola, F_0 = amplitude da força, ω =
frequência da força.
Solução Completa
A resposta total do sistema é a soma de:
• Resposta livre (transitória)
• Resposta forçada (regime permanente)
A resposta transitória eventualmente desaparece.

4. Resposta no Regime Permanente
Após o desaparecimento da resposta transitória, o sistema
vibra exclusivamente na frequência da força aplicada, não
na sua frequência natural.
A amplitude da vibração em regime permanente é dada
por:
Onde: omega_n = sqrt{k/m} é a frequência natural do sistema.
Observação crucial: Sem amortecimento, quando a
frequência da força se aproxima da frequência natural (
omega approx omega_n), a amplitude tende ao infinito -
fenômeno conhecido como ressonância.

5. Exemplo Numérico de
Aplicação I
Problema
Uma máquina de 100 kg está apoiada sobre molas com rigidez total
de 40.000 N/m. Um componente rotativo gera uma força periódica
de 500 N a 15 Hz.
Determine a amplitude de vibração em regime permanente.
Dados
• Massa (m) = 100 kg
• Rigidez (k) = 40.000 N/m
• Amplitude da força (F₀) = 500 N
• Frequência da força (f) = 15 Hz ω = 2πf = 94,2 rad/s
→

6. Exemplo Numérico de Aplicação II
Passo 1: Calcular a
frequência natural
Passo 2: Calcular a razão de
frequências
Passo 3: Calcular a
amplitude
A amplitude negativa indica fase
oposta à força aplicada.

7. Exemplo Numérico de Aplicação III
Dados do Sistema
• Massa (m) = 10 kg
• Rigidez (k) = 1000 N/m
• Amplitude da força (F₀) = 50 N
• Frequência natural (ωₙ) = 10 rad/s
Cálculo para duas frequências
Para ω = 8 rad/s:
Para ω = 10 rad/s (ressonância):
Conclusão: Na ressonância, sem amortecimento, a
amplitude tende ao infinito teoricamente!

8. Visualização Gráfica
Fator de Amplificação
O gráfico mostra o fator de amplificação dinâmica (frac{X}{F_0/k})
versus razão de frequências (frac{omega}{omega_n}).
Região de Ressonância
Quando frac{omega}{omega_n} approx 1, o denominador se
aproxima de zero, causando um pico teórico infinito na
amplitude.
Regiões de Fase
Para frac{omega}{omega_n} < 1, o sistema vibra em fase com a força apl
Para frac{omega}{omega_n} > 1, o sistema vibra em fase oposta
(defasagem de 180°).

9. Conclusão e Próximos Passos
As vibrações forçadas sem
amortecimento formam a base
teórica para entender fenômenos
mais complexos em engenharia
mecânica.
A ressonância é um fenômeno
crítico que pode levar a falhas
catastróficas em estruturas e
máquinas quando não controlada.
No mundo real, sempre existe
algum amortecimento, que será
nosso próximo tópico de estudo.
Próximos Estudos
• Vibrações forçadas com
amortecimento
• Métodos de isolamento de vibrações
• Controle ativo e passivo de vibrações
• Análise de sistemas com múltiplos
graus de liberdade
Aplicação prática: Na próxima aula,
realizaremos experimentos laboratoriais
para visualizar o fenômeno da
ressonância.