PO - aula 1.pptx

PESQUISA OPERACIONAL
Prof. Me. Verônica Tabim

Ementa
Programação Linear: formulação, solução gráfica, solução algébrica.
Método simplex. Transportes. Atribuição. Programação de Projetos:
PERT/CPM, conceitos fundamentais. Montagem de redes. Análise do
caminho crítico. Durações probabilísticas. Utilização do Computador.
Introdução à Simulação. Formulação de Modelos: Método SIMPLEX:
tableau e forma visada, algoritmo primal-dual, análise de pós-
otimalidade, problemas de transporte e de atribuição. Programação
Inteira: Algoritmo de Balas, Branch-and-Bound. Modelos de Estoque.

Unidades de Ensino
UNIDADE 1 – PROGRAMAÇÃO LINEAR
UNIDADE 2 – SOLUÇÃO ÓTIMA
UNIDADE 3 – PROGRAMAÇÃO DE PROJETOS

O QUE É PESQUISA
OPERACIONAL?

Pesquisa Operacional (PO) é a área de conhecimento que
estuda, desenvolve e aplica métodos analíticos avançados
para auxiliar na tomada de melhores decisões nas mais
diversas áreas de atuação humana.
BRASIL (SOBRAPO, 2020)
Pesquisa Operacional é uma área que faz uso de métodos
analíticos para auxílio na tomada de decisão. Utilizando-se de
técnicas de programação matemática, estatística e ciências
matemáticas a Pesquisa Operacional tenta chegar a soluções
ótimas ou quase-ótimas para problemas complexos. É uma
área eminentemente interdisciplinar que envolve técnicas
utilizadas na matemática, estatística, ciências da computação,
economia, administração, entre outras.
Informações mais detalhadas podem ser obtidas em:
EUA (INFORMS 2020)

Pesquisa Operacional
• Pesquisa sobre...
– Operações, atividades
– Ou... Como coordená-las...
– Para maximizar ganho ou minimizar perda

• Há pesquisa operacional em nosso dia a dia
– Qual a melhor forma de ir até um lugar?
• Minimizar distância, tempo ou gasto
• Há pesquisa operacional nas empresas?

Exemplos de Áreas de Aplicação
• Manufatura
– Seleção de produtos, organização da produção
• Logística e Transportes
– Estoque, redução de custos e tempo de transporte

• Telecomunicações
– Planej. de linhas de comun., alocação de recursos
• Planejamento econômico
– Seleção de investimentos, análise de mercado

• Saúde
– Alocação de recursos, dist. de órgãos (transplante)
• Construção e serviços públicos
– Organização financeira, da construção e operação,
redução de custos operacionais

Distribuição
Envolve o transporte de cargas entre uma (ou mais) fonte(s) e um
(ou mais) destino(s). Conhecidos os custos de transporte entre cada
fonte e cada destino, conhecidas as capacidades de produção das
fontes e as capacidades de estoque dos destinos, deseja-se
determinar o custo mínimo dos transportes.

Demanda do Produto 1 para os próximos 12 meses
Demanda do Produto 2 para os próximos 12 meses
DIMENSIONAMENTO DE LOTES

ROTEIRIZAÇÃO DE VEÍCULOS

• Usada para tratar de problemas “grandes”
– Distribuição de pacotes de transportadora
• Mais rápido, menos caminhões, menos entregadores...
– Distribuição de bebidas
– Distribuição de jornais (ainda se faz?)
• No geral
– Aplicação de métodos analítico
– Para encontrar soluções ótimas
– E auxiliar na tomada de decisão

Em Resumo...
• Disciplina Técnica de Engenharia de Produção
• Permite determinar (dentre outras coisas)
– Forma mais econômica de uso de recursos
– Forma mais rápida de produzir
– Soluções para problemas complexos
• Baseada em...
– Matemática
– Informática

ORIGEM DA PESQUISA
OPERACIONAL

Um Pouco de História
• Início do século XX
• 1939: termo Operations Research
• Uso intenso na 2ª Guerra Mundial
– Após fim da guerra, usos civis

Um Pouco de História
• Segunda Guerra Mundial
• Os envolvidos tiveram que criar uma visão mais acurada para
resolução dos problemas enfrentados na guerra
• Patrick M. S. Blackett se destacou por conduzir e desenvolver
conhecimentos na área da pesquisa operacional, sobre ele
Peinado e Graelm (2007, p. 62) ensinam:
“A técnica de pesquisa operacional se desenvolveu na Inglaterra,
com Blackett dirigindo um grupo de especialistas dedicados a
análise de operações militares.

Dois eventos motivaram o rápido desenvolvimento da PO
• Desenvolvimento de um algoritmo
simples para solucionar problemas de
programação linear (isto é, problemas
determinísticos de PO), denominado
algoritmo simplex e proposto por
George Dantzig em 1947
• Tal algoritmo permitiu a resolução
manual de diversos problemas de PO,
especialmente aqueles de baixa
complexidade.

Dois eventos motivaram o rápido desenvolvimento da PO
• Proliferação dos
microcomputadores
e o rápido aumento
em sua velocidade
de processamento.

Sociedades Profissionais
• Área muito ativa com muitas associações
• The Operational Research Society
– https://www.theorsociety.com/
• Operations Research and the Management
Sciences – Informs
– https://www.informs.org/
• Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional
– Sobrapo
– https://www.sobrapo.org.br/

O PROCESSO DA
PESQUISA OPERACIONAL

Processo em 5 Etapas
1. Definição do Problema
– O que se deseja atingir? Quais são as restrições?
2. Formulação do Modelo Quantitativo
– Definir equações e inequações
3. Resolução do Modelo
– Valores relevantes: variáveis de decisão
4. Validação e Consideração do Imponderável
– Deve ser aplicável à realidade
5. Implementação da Solução
– Transição suave

Tipos de Problema
• Estratégicos
– Devo construir uma nova fábrica?
– Devo construir um novo centro de distribuição?
• Táticos
– Devo modificar minha frota?
– Deve mudar a alocação da produção?
• Operacionais
– Qual o mix de produtos com as máquinas atuais?
– Como ordenar melhor minha linha de produção?

Definição do Problema
• Exemplo: problema de operação
– Maximizar ou Minimizar
– Recursos finitos / limitados
– Múltiplas maneiras de executar/organizar

Para Que um Modelo?
• Problema na forma “real”: muito complexo
– Informações desnecessárias/pouco relevantes
– Multiplicidade de alternativas de solução
– Difícil tratar de maneira sistemática
• Caso a caso
• Como resolver isso?
– Criando um modelo...
• Modelo
– Simplificação da realidade
– Mantendo aspectos relevantes

Conceito de Modelo
• Modelo: abstração da realidade
– Conceitual, físico ou matemático
– Reproduzir para análise
• Importância
– Complexidade do problema
– Dimensão do problema
– Multiplicidade de interações

Conceito de Modelo
• Modelo deve ser realista
– Adequado à aplicação
• Fundamento Teórico → causa e efeito (estado da arte)
• Variáveis explicativas relevantes
• Nível de detalhe
– Produz resultados consistentes
• Disponibilidade de dados
• Calibrar
• Validar

TIPOS DE MODELAGEM
PARA
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS
DE OTIMIZAÇÃO

Tipos de Modelagem
• Modelos de Programação Linear (LP)
– F.O. e restrições são LINEARES
• Todas as variáveis grau igual a 1
• Modelos de Programação Linear Inteira
– Como os Modelos LP, mas todas as variáveis
devem possuir valor inteiro
• Modelos de Programação Linear Inteira Mista
– Como os Modelos LP, mas algumas variáveis
devem possuir valor inteiro
• Modelos de Programação Não Linear
– Há nas expressões variável de grau diferente de 1
3.𝑛 ≤ 60
3. 𝑛2 ≤ 60

CRIANDO UM
MODELO MATEMÁTICO
DE PROGRAMAÇÃO
LINEAR

Definição do Problema
• Antes de criar qualquer modelo matemático
– Precisamos compreender o problema
• O que pretendemos atingir
• E quais são os recursos para isso

Definição do Problema - Exemplo
• A esteira de uma seção de uma fábrica possui 60
metros. Sabendo que cada peça ocupa 3 metros,
maximize o número de peças que serão
colocadas na esteira.
• O que queremos?
– Maximizar o número de peças.
– Vamos chamar isso de n
• Há alguma limitação?
– Sim, o tamanho da esteira: 60m
• Quanto ocupa cada peça?
– Cada peça ocupa 3m

Criação do Modelo Matemático
– Quanto ocupa 1 peça?
– Quanto ocupa 2 peças?
– Quanto ocupa 3 peças?
– Quanto ocupa n peças?
• CTP = 3.n
• Maximizar o número de peças, n. 𝑚𝑎𝑥 𝑛
• Esteira limitada em 60m. 𝐶𝑇𝑃 ≤ 60
3.1 = 3
3.2 = 6
3.3 = 9
3.n
• CTP = comprimento total das peças 3. 𝑛 ≤ 60
– Quanto vale?
• Cada peça ocupa 3m

Criação do Modelo Matemático
• A esteira de uma seção de uma fábrica possui
60 metros. Sabendo que cada peça ocupa 3
metros, maximize o número de peças que
serão colocadas na esteira.
• Onde n é o número de peças na esteira
𝑚𝑎𝑥 𝑛
Sujeito à:
3. 𝑛 ≤ 60
Função Objetivo
Restrição
Valores que se deseja determinar
Dados fornecidos como entrada

SOLUÇÕES VIÁVEIS
E
INVIÁVEIS

Solução Viável x Inviável
• Uma solução viável é aquela cujos valores das
variáveis de decisão são possíveis na prática
– Não violam nenhuma restrição
• Onde n é o número de peças
𝑚𝑎𝑥 𝑛
3. 𝑛 ≤ 60
F.O.:
S.A.:
Valor de n É viável?
0 Sim!
15 Sim!
25 Não!
-10 Sim! Sério?

• Nova versão do modelo
• Resolveu?
𝑚𝑎𝑥 𝑛
F.O.:
S.A.:
Sério?
3. 𝑛 ≤ 60
𝑛 ≥ 0
20 Sim!
25 Não!
-10 Não!
10,5 Sim!
Condição de não-negatividade

• Novíssima versão do modelo
• Resolveu?
𝑚𝑎𝑥 𝑛
F.O.:
S.A.: 3. 𝑛 ≤ 60
𝑛 ≥ 0, 𝑐𝑜𝑚 𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜
20 Sim!
25 Não!
-10 Não!
10,5 Não!

Mix de Transporte
• Um navio da classe Panamax tem as
seguintes limitações de carga: 70.000 m³ e
60.000 toneladas. Considerando há dois tipos
de produtos a transportar, A e B, defina
quanto deve ser transportado de cada um
para maximizar a receita total.
Carga Receita
(R$/tonelada)
Fator Estiva
(m3/tonelada)
Disponibilidade
(toneladas)
A 40 3 30.000
B 30 4 -

Mix de Transporte
Carga Receita
(R$/tonelada)
Fator Estiva
(m3/tonelada)
Disponibilidade
(toneladas)
A 40 3 30.000
B 30 4 -
• Um navio da classe Panamax tem as seguintes limitações de carga:
70.000 m³ e 60.000 toneladas. Considerando há dois tipos de produtos a
transportar, A e B, defina quanto deve ser transportado de cada um para
maximizar a receita total.
• Qual o objetivo?
– Maximizar receita
• Quais as variáveis?
– Quantidade de A – xA – e quantidade de B – xB
• Qual a função objetivo?
𝑚𝑎𝑥 40. 𝑥𝐴 + 30. 𝑥𝐵
• Há restrições?
– Peso (60.000t), volume (70.000m³) e disponibilidade

Mix de Transporte
F.O.:
Carga Receita
(R$/t)
Estiva
(m3/t)
Dispon. (t)
A 40 3 30.000
B 30 4 -
𝑚𝑎𝑥 40. 𝑥 + 30. 𝑥
𝐴 𝐵
Peso (60.000t), volume (70.000m³)
Onde: xA – quantidade de toneladas a transportar de A
xB – quantidade de toneladas a transportar de B
• Restrição de Peso (em função de xA e xB)
– Peso total ≤ 60000... Peso total?
– Peso total = xA + xB
1. 𝑥𝐴 + 1. 𝑥𝐵 ≤ 60.000

Mix de Transporte
F.O.:
S.A.:
Carga Receita
(R$/t)
Estiva
(m3/t)
Dispon. (t)
A 40 3 30.000
B 30 4 -
Peso (60.000t), volume (70.000m³)
𝑚𝑎𝑥 40. 𝑥𝐴 + 30. 𝑥𝐵
1. 𝑥𝐴 + 1. 𝑥𝐵 ≤ 60.000
• Restrição de Volume (em função de xA e xB)
– Volume total ≤ 70000... Volume total?
– Volume total = 3.xA + 4.xB
3. 𝑥𝐴 + 4. 𝑥𝐵 ≤ 70.000

Mix de Transporte
F.O.:
S.A.:
Carga Receita
(R$/t)
Estiva
(m3/t)
Dispon. (t)
A 40 3 30.000
B 30 4 -
Peso (60.000t), volume (70.000m³)
𝑚𝑎𝑥 40. 𝑥𝐴 + 30. 𝑥𝐵
1. 𝑥𝐴 + 1. 𝑥𝐵 ≤ 60.000
3. 𝑥𝐴 + 4. 𝑥𝐵 ≤ 70.000
• Restrição de Disponibilidade (em função de xA e xB)
– Peso total de A ≤ 30000...?
1. 𝑥𝐴 ≤ 30.000

Mix de Transporte
F.O.:
S.A.:
Carga Receita
(R$/t)
Estiva
(m3/t)
Dispon. (t)
A 40 3 30.000
B 30 4 -
Peso (60.000t), volume (70.000m³)
𝑚𝑎𝑥 40. 𝑥𝐴 + 30. 𝑥𝐵
1. 𝑥𝐴 + 1. 𝑥𝐵 ≤ 60.000
3. 𝑥𝐴 + 4. 𝑥𝐵 ≤ 70.000
1. 𝑥𝐴 ≤ 30.000
• Restrições de não negatividade
𝑥𝐴 ≥ 0
𝑥𝐵 ≥ 0

Mix de Transporte
• Um navio da classe Panamax tem as seguintes limitações de carga:
70.000 m³ e 60.000 toneladas. Considerando há dois tipos de produtos a
transportar, A e B, defina quanto deve ser transportado de cada um para
maximizar a receita total.
• Modelo Final
Carga Receita
(R$/tonelada)
Fator Estiva
(m3/tonelada)
Disponibilidade
(toneladas)
A 40 3 30.000
B 30 4 -
F.O.: 𝑚𝑎𝑥 40. 𝑥𝐴 + 30. 𝑥𝐵
S.A.: 1. 𝑥𝐴 + 1. 𝑥𝐵 ≤ 60.000
3. 𝑥𝐴 + 4. 𝑥𝐵 ≤ 70.000
≤ 30.000
1. 𝑥𝐴
1. 𝑥𝐴 ≥ 0
1. 𝑥𝐵 ≥ 0
Receita
Peso
Volume
Disponibilidade
Não Negatividade

ENCONTRANDO
A SOLUÇÃO
ÓTIMA

Objetivo da Programação Linear
• Encontrar uma solução ótima
• O que é uma solução?
– Conjunto de valores para as variáveis de decisão
• O que é solução ótima?
– A que atende à especificação da função objetivo
– Toda solução ótima deve ser viável
• O que é solução viável?
– Aquela que é aplicável na prática
– Aquela que respeita todas as restrições

Técnicas de Solução
• Cada tipo de problema tem suas técnicas
• Programação Linear
– Método gráfico (para poucas variáveis!)
– Método Simplex
– Métodos específicos
• Programação Inteira
• Programação Não Linear
• Programação Estocástica
• Programação Dinâmica

INTERPRETAÇÃO GRÁFICA
DE UM MODELO DE
PROGRAMAÇÃO LINEAR

Gráficos de Funções
• Existe uma representação gráfica para isso?
4𝑥 + 2𝑦 = 24
• Sim... Como fazer?
24 − 4𝑥
𝑦 =
2
→ 𝒚 = 𝟏𝟐 − 𝟐𝒙
X Y
0 12
1 10
2 8
3 6
4 4
5 2

• Gráfico de: 4𝑥 + 2𝑦 = 24
X Y
0 12
1 10
2 8
3 6
4 4
5 2
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 17 18 19 20
x
O (x,y) u
de q alquer
ponto nessa linha
satisfaz a i
g ualdade!
Chocolate custa R$4,00 e o Bombom Custa
R$2,00... E quero gastar R$ 24,00!
y
R :
eta equação LINEAR

Gráficos de Inequações
• Gráfico de: 4𝑥 + 2𝑦 ≤ 24
X Y
0 12
1 10
2 8
3 6
4 4
5 2
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 17 18 19 20
R$2,00... E quero gastar até R$ 24,00!
y

• Gráfico de: 4𝑥 + 2𝑦 ≥ 24
X Y
0 12
1 10
2 8
3 6
4 4
5 2
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 17 18 19 20
R$2,00... E quero gastar acima de R$ 24,00!
y

• Gráfico de:
X Y
0 12
1 10
2 8
3 6
4 4
5 2
y
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 1516 17 18 19 20
4𝑥 + 2𝑦 = 24
4𝑥 + 2𝑦 ≥ 24
4𝑥 + 2𝑦 ≤ 24

• Gráfico de:
X Y
0 12
1 10
2 8
3 6
4 4
5 2
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 17 18 19 20
x
y
4𝑥 + 2𝑦 = 12
X Y
0 6
1 4
2 2
3 0
4 -2
5 -4
4𝑥 + 2𝑦 = 24
4𝑥 + 2𝑦 = 36
X Y
0 18
1 16
2 14
3 12
4 10
5 8
A parte da
esquerda defin e
a
incl o
inaçã da reta
A parte da direita
define a posição
da reta
Para a dire
i
ta, o valor cresce;
Para a esquerda, o valor diminui!

Mix de Produção
• Uma fábrica produz dois produtos, A e B. Cada um deve ser processado
por duas máquinas, M1 e M2. Devido à programação de outros produtos
que também usam estas máquinas, estão disponíveis para os produtos A
e B apenas 24 horas da máquina M1 e 16 horas da máquina M2.
• Para produzir uma unidade do produto A, são necessárias 4 horas em
cada uma das máquinas e para produzir uma unidade do produto B, são
necessárias 6 horas em M1 e 2 horas em M2. Cada unidade de A
vendida gera um lucro de R$ 80,00 e cada unidade de B vendida gera
um lucro de R$ 60,00.
• Existe uma previsão de demanda máxima de 3 unidades para B, mas
nenhuma restrição de demanda para A. Deseja-se saber: quanto
produzir de cada produto para maximizar o lucro?

Mix de Produção
• Disponibilidade de Máquina: 24h de M1 e 16h de M2.
• Produção de unidade A: 4h de M1 e 4h de M2
• Produção de unidade B: 6h de M1 e 2h de M2.
• Lucro: A: R$ 80,00 e B: R$ 60,00.
• Demanda máxima: 3 unidades de B
• Objetivo: quanto de A e B para maximizar o lucro?
• Variáveis de decisão?
– xA – quantidade de A a produzir e xB – quantidade de B a produzir
• F.O.:
• S.A.:
𝑚𝑎𝑥 80. 𝑥𝐴 + 60. 𝑥𝐵
4. 𝑥𝐴 +6. 𝑥𝐵 ≤ 24
4. 𝑥𝐴 +2. 𝑥𝐵 ≤ 16
1. 𝑥𝐵 ≤ 3
1. 𝑥𝐴 ≥ 0
1. 𝑥𝐵 ≥ 0

Mix de Produção
• F.O.: 𝑚𝑎𝑥 80. 𝑥 + 60. 𝑥
• S.A.:
𝐴 𝐵
4. 𝑥 +6. 𝑥
𝐴 𝐵 ≤ 24 𝐴
1. 𝑥 ≥ 0
1. 𝑥𝐵 ≥ 0
4. 𝑥𝐴 +2. 𝑥𝐵 ≤ 16
1. 𝑥𝐵 ≤ 3
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xA
xB
xA xB xA xB
0 4 0 8
6 0 4 0
Área de
Soluções
Viáveis
Ponto
Extremo
xA xB
Função Objetivo
80*xA + 60*xB
1 0 0 0
2 4 0 320
3 3 2 360
4 1,5 3 300
5 0 3 180

Mix de Produção –Forma Gráfica
• F.O.:
• S.A.: 1. 𝑥𝐴 ≥ 0
1. 𝑥𝐵 ≥ 0
𝒎𝒂𝒙 𝟖𝟎. 𝒙𝑨 + 𝟔𝟎. 𝒙𝑩
4. 𝑥𝐴 +6. 𝑥𝐵 ≤ 24
4. 𝑥𝐴 +2. 𝑥𝐵 ≤ 16
1. 𝑥𝐵 ≤ 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xA
xB xA xB
0 4
3 0
𝟖𝟎. 𝒙𝑨 + 𝟔𝟎. 𝒙𝑩 = 𝟐𝟒𝟎
𝟖𝟎. 𝒙𝑨 + 𝟔𝟎. 𝒙𝑩 = 𝟒𝟖𝟎
xA xB
0 8
6 0
MAX
10
9
8
7
MIN6
5
4
3
2
1
0

Forma Padrão
• Variáveis de decisão
• Método matemático: restrições → igualdades!
– É possível?
• F.O.: 𝑚𝑎𝑥 80. 𝑥𝐴 + 60. 𝑥𝐵
• S.A.: 1. 𝑥𝐴 ≥ 0
1. 𝑥𝐵 ≥ 0
4. 𝑥𝐴 +6. 𝑥𝐵 ≤ 24
4. 𝑥𝐴 +2. 𝑥𝐵 ≤ 16
1. 𝑥𝐵 ≤ 3

Forma Padrão
4. 𝑥𝐴 +6. 𝑥𝐵 ≤ 24
Horas da máquina usada
para o produto A
• Vejamos uma das restrições
Horas da máquina usada
para o produto B
Total de Horas da
Máquina

Forma Padrão
• Vejamos uma das restrições
4. 𝑥𝐴 +6. 𝑥𝐵 ≤ 24
• Definindo xS número de horas que sobram:
4. 𝑥𝐴 +6. 𝑥𝐵 +1. 𝑥𝑠 = 24

Noções do Método Simplex
• Premissas:
– Problema Linear
– Espaço de soluções limitado
– Logo: ao menos um dos vértices é ótimo global
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xA
xB
10
9
8
7
6
5
4
3

Lógica do Simplex
• Solução ótima está em um dos vértices...
• ...basta testar um por um...

Lógica do Simplex
• Calcular todos os vértices pode ser inviável!
• Sem percorrer todos...
– Tem como saber se já achei o melhor?
• Ideia do Simplex
– Determinar uma solução viável (primeiro vértice)
– Se deslocar inteligentemente p/ próximo vértice
– Parar quando se verifica que está no ótimo.

Algoritmo do Método Simplex
Determinar uma
Solução Básica
Testar Otimalidade
É solução
ótima?
Determinar Solução
Básica Melhor
Sim
Fim!
Não

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