O documento discute o axioma da escolha e seus teoremas relacionados. Ele define o que é uma função de escolha e afirma que todo sistema finito de conjuntos possui uma função de escolha. O axioma da escolha estabelece que existe uma função de escolha para todo sistema de conjuntos. Ele também lista três afirmações equivalentes ao axioma da escolha e apresenta vários teoremas sobre conjuntos contáveis e infinitos.

1. o axioma da escolha
(the axiom of choice)

2. Seja S um sistema de conjuntos. Uma
função g definida em S é uma função
de escolha para S se g(X) ∈ X para
todo X ∈ S não vazio.
(let S be a system of sets. A function g defined on S
is called a choice function for S if g(X) ∈ X for all
nonempty X ∈ S)

3. Teorema: Um conjunto A é bem
ordenado se e somente se o conjunto
℘(a) possui uma funcão de escolha.
(A set A can be well-ordered if and only if the set
℘(a) of all subsets of A has a choice function)

4. Teorema: Todo sistema finito de
conjuntos possui uma função de
escolha.
(every finite system of sets has a choice function)

5. Axioma da Escolha: Existe uma
função de escolha para todo sistema
de conjuntos.
(Axiom of Choice: There exists a choice function for
every system of sets)

6. Teorema: Os axiomas a seguir são
equivalentes:
(the following statements are equivalents:)

7. (a)(O axioma da escolha) Existe uma função
de escolha para todo sistema de conjuntos.
(b)Toda partição possui um conjunto de
representantes.
(c)Se ⟨Xi | i ∈ I⟩ é um sistema indexado de
conjuntos não vazios, então existe uma
função f tal que f(i) ∈ Xi para todo i ∈ I.
(a) (The axiom of choice) There exists a choice function for every
system of sets. (b) Every partition has a set of representatives. (c) if ⟨Xi
| i ∈ I⟩ is an indexed system of nonempty sets, then there is a function
f such that f(i) ∈ Xi for all i ∈ I.

8. Teorema: Todo conjunto infinito possui
um subconjunto contável.
(every infinite set has a countable subset)

9. Teorema: Para todo conjunto infinito S
existe um único aleph ‫א‬α tal que |S|=‫א‬α.
(for every infinite set S there exists a unique aleph ‫א‬α
such that |S|=‫א‬α)

10. Teorema: Para quaisquer conjuntos A e
B, |A| ≤ |B| ou |B| ≤ |A|.
(for any sets A and B either |A| ≤ |B| or |B| ≤ |A|)

11. Teorema: A união de uma coleção
contável de conjuntos contáveis é
contável.
(the union of a countable collection of countable sets
is countable)

12. ...