Modelagem e Controle de Robôs Móveis e Sistemas Multirrobôs

Modelagem e Compensa¸õ da Dinˆmica de Robˆs
ca a o
M´veis e sua Aplica¸õ em Controle de Forma¸õ
o ca ca

Felipe Nascimento Martins

6 de Mar¸o de 2009
c

Felipe Nascimento Martins () Modelagem e Compensa¸õ da Dinˆmica de Robˆs M´veis e suade 2009 õ em Controle
ca a o 6 o Mar¸o Aplica¸a
de c c 1 / 113

Tese de Doutorado em Engenharia El´trica - Automa¸õ
e ca

Universidade Federal do Esp´
ırito Santo - UFES
Programa de P´s-Gradua¸õ em Engenharia El´trica - PPGEE
o ca e
Laborat´rio de Automa¸õ Inteligente - LAI
o ca

Felipe Nascimento Martins

Orientadores:
Dr. M´rio Sarcinelli Filho - UFES
a
Dr. Teodiano Freire Bastos Filho - UFES
Dr. Ricardo Carelli - Universidad Nacional de San Juan, Argentina

de c c 2 / 113

Sum´rio
a

1 Introdu¸õ
ca
2 Modelo do Robˆ M´vel
o o
Modelo Cinem´tico
a
Modelo Dinˆmico
a
3 Compensa¸õ Adaptativa da Dinˆmica
ca a
Controlador Cinem´tico
a
Primeiro Controlador Dinˆmico
a
Segundo Controlador Dinˆmico
a
Considera¸˜es sobre a Robustez
co
Compara¸õ de Desempenho
ca
Experimentos
4 Controle de Sistemas Multirrobˆs com Comp. Dinˆmica
o a
Controle Descentralizado de Forma¸õ
ca
Controle Centralizado de Forma¸õ
ca
5 Conclus˜es
o

de c c 3 / 113

Introdu¸˜o
ca

Sum´rio
a

1 Introdu¸˜o
ca
o o
Modelo Cinem´tico
a
Modelo Dinˆmico
a
ca a
a
a
a
co
ca
Experimentos
o a
ca
ca
5 Conclus˜es
o

de c c 4 / 113

Introdu¸õ
ca

Introdu¸õ
ca

Robˆs: substituem o homem em tarefas repetitivas, perigosas ou de
o
grande precisõ;
a

de c c 5 / 113

Introdu¸õ
ca

Introdu¸õ
ca

o
grande precisõ;
a
Robˆs manipuladores: movimenta¸õ de material, pintura, soldagem,
o ca
etc.;

de c c 5 / 113

Introdu¸õ
ca

Introdu¸õ
ca

o
grande precisõ;
a
Robˆs manipuladores: movimenta¸õ de material, pintura, soldagem,
o ca
etc.;
Robˆs m´veis: transporte de material, assistˆncia dom´stica,
o o e e
assistˆncia a pessoas com deficiˆncia, busca e localiza¸õ,
e e ca
entretenimento, etc.

de c c 5 / 113

Introdu¸õ
ca

Robˆ M´vel
o o

Defini¸õ (Canudas de Wit, et. al., 1996)
ca
Ve´
ıculo capaz de movimenta¸õ autˆnoma, equipado com atuadores
ca o
controlados por um computador embarcado.

de c c 6 / 113

Introdu¸õ
ca

Robˆ M´vel
o o

Defini¸õ (Canudas de Wit, et. al., 1996)
ca
Ve´
ıculo capaz de movimenta¸õ autˆnoma, equipado com atuadores
ca o
controlados por um computador embarcado.

Meios de Deslocamento
No solo: atrav´s de rodas, esteiras, patas, etc.;
e
No ar: como aviõ, helic´ptero ou balõ;
a o a
Na ´gua: como um barco, navio ou submarino.
a

de c c 6 / 113

Introdu¸˜o
ca

Robˆ M´vel
o o

de c c 7 / 113

Introdu¸˜o
ca

Robˆ M´vel
o o

de c c 8 / 113

Introdu¸˜o
ca

Sistema Multirrobˆs
o

Atualmente existem diversas pesquisas envolvendo o controle coordenado
de v´rios robˆs m´veis: Sistemas Multirrobˆs.
a o o o

de c c 9 / 113

Introdu¸õ
ca

o

a o o o
Execu¸õ de tarefas de maneira mais eficiente, com custo mais baixo
ca
e com maior tolerˆncia a falhas;
a

de c c 9 / 113

Introdu¸õ
ca

o

a o o o
Execu¸õ de tarefas de maneira mais eficiente, com custo mais baixo
ca
e com maior tolerˆncia a falhas;
a
Exemplos: busca de uma aeronave perdida, localiza¸õ de pessoas em
ca
escombros, vigilˆncia de uma grande ´rea, localiza¸õ de minas
a a ca
terrestres, transporte de cargas, mapeamento de grandes ´reas,
a
sensoreamento de ´reas (redes de sensores m´veis), etc.
a o

de c c 9 / 113

Introdu¸õ
ca

o

Felipe Nascimento Martins () Modelagem e Compensa¸õ da Dinˆmica de Robˆs 6 de Mar¸sua Aplica¸õ em Controle
ca a o M´veis eco de 2009 ca 10 / 113
o

Introdu¸õ
ca

Defini¸õ do Problema
ca

o

Introdu¸˜o
ca

ca

Desenvolvimento de controladores que realizem a compensa¸˜o da
ca
dinˆmica de robˆs m´veis tipo uniciclo de forma adaptativa, gerando
a o o
velocidades como sinais de comando;

o

Introdu¸õ
ca

ca

ca
a o o
Controle coordenado de um grupo de robˆs m´veis tipo uniciclo para
o o
seguirem uma forma¸õ desejada, com compensa¸õ adaptativa da
ca ca
dinˆmica de cada um.
a

o

Introdu¸õ
ca

ca

ca
a o o
Controle coordenado de um grupo de robˆs m´veis tipo uniciclo para
o o
seguirem uma forma¸õ desejada, com compensa¸õ adaptativa da
ca ca
dinˆmica de cada um.
a

Dinˆmica (Fierro et.al, 2002)
a
Incertezas na dinˆmica do ve´
a ıculo causam degrada¸õ no sistema em malha
ca
fechada. O erro que ´ tolerado para um unico ve´
e ´ ıculo pode nõ ser aceit´vel
a a
quando os agentes de um sistema multirrobˆs necessitam navegar mantendo uma
o
forma¸õ.
ca

o

Modelo do Robˆ M´vel
o o

Sum´rio
a

1 Introdu¸˜o
ca
o o
Modelo Cinem´tico
a
Modelo Dinˆmico
a
ca a
a
a
a
co
ca
Experimentos
o a
ca
ca
5 Conclus˜es
o

o

o o Modelo Cinem´tico
a

Modelo Cinem´tico do Robˆ Uniciclo (n˜o-holonˆmico)
a o a o

Ponto de interesse no centro do eixo
virtual:

x
˙ = u cos ψ;
y = u sin ψ;
˙
˙
ψ = ω,

Ponto de interesse deslocado:

x
˙ = u cos ψ − aω sin ψ;
y = u sin ψ + aω cos ψ;
˙
˙
ψ = ω.

o

o o Modelo Dinˆmico
a

Modelo Dinˆmico (De La Cruz, 2006)
a

    
u cos ψ − aω sin ψ 0 0
  
x
˙ δx
 y  u sin ψ + aω cos ψ   0
˙  0  δy 
   u
˙ 0  ref +  0 
  
ψ  = 

   θ 2 θ ω  0
+  ω
1
0  ref
 
u  
˙ 3
ω − θ4 u   θ1  δu 

θ1 1
1
ω
˙ − θ5 uω − θ6 ω
θ θ 2
0
2 θ2 δω
uref , ωref : velocidades de referˆncia;
e
θ = [θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ6 ]T : vetor de parˆmetros (identiﬁcados) do
a
modelo.

o

a

a

Ra 1
θ1 = mr 2 + 2Ie + 2rkDT > 0 [s]
ka (2rkPT )
Ra 1
θ2 = Ie d 2 + 2r 2 Iz + mb 2 + 2rdkDR > 0 [s]
ka (2rdkPR )
Ra mbr
θ3 = 0 [sm/rad 2 ]
ka 2kPT
Ra ka kb 1
θ4 = + Be +1>0
ka Ra rkPT
Ra mbr
θ5 = 0 [s/m]
ka dkPR
Ra ka kb d
θ6 = + Be +1>0
ka Ra 2rkPR

o

a

Proposta de Representa¸˜o do Modelo Dinˆmico
ca a

    
  
x
˙ δx
 y  u sin ψ + aω cos ψ   0 0
˙ 
 δy 
   u
˙ 0  ref +  0 
 
ψ  = 
   θ 2 θ ω  0
+  ωref
 1  
θ1 ω − θ1 u 0
u   3 4  δu 
˙

 θ1
1
ω˙ − θ5 uω − θ6 ω
θ θ 2
0
2 θ2 δω

⇓
 
θ3 2 θ4
u
˙ ω − θ1 u 1
0 uref δ
=  θ1  + θ1 1 + u
ω
˙ − θ5 uω − θ6 ω 0 θ2 ωref δω
θ2 θ2

o

a

Proposta de Representa¸˜o do Modelo Dinˆmico
ca a

θ1 0 u
˙ θ4 −θ3 ω u u
+ = ref
0 θ2 ω
˙ θ5 ω θ6 ω ωref

⇓

∆ + Hv + C(v)v + F(v)v = vr ,
˙

onde
u u θ 0
v= , vr = ref , H = 1 ,
ω ωref 0 θ2
0 −θ3 ω θ 0
C(v) = , F(v) = 4 ,
θ3 ω 0 0 θ6 + (θ5 − I θ3 )u
I = 1 rad 2 /m2 .

o

a

Propriedades do Modelo Dinˆmico
a

1. A matriz H ´ sim´trica e deﬁnida positiva, ou seja H = HT > 0;
e e

o

a

a

e e
2. A inversa de H existe e tamb´m ´ deﬁnida positiva, ou seja
e e
∃ H−1 > 0;

o

a

a

e e
e e
∃ H−1 > 0;
3. A matriz F ´ sim´trica e deﬁnida positiva, ou seja F = FT > 0, se
e e
θ6 > −(θ5 − I θ3 )u;

o

a

a

e e
e e
∃ H−1 > 0;
e e
θ6 > −(θ5 − I θ3 )u;
4. A matriz H ´ constante;
e

o

a

a

e e
e e
∃ H−1 > 0;
e e
θ6 > −(θ5 − I θ3 )u;
e
5. A matriz C(v) ´ antissim´trica;
e e

o

a

a

e e
e e
∃ H−1 > 0;
e e
θ6 > −(θ5 − I θ3 )u;
e
5. A matriz C(v) ´ antissim´trica;
e e
6. A matriz F(v) pode ser considerada constante se θ6 |(θ5 − I θ3 )u|;

o

a

a

7. Teorema 1.: Considerando-se ∆ = 0 e θ6 > −(θ5 − I θ3 )u, e
assumindo-se que vr ∈ L2e e v ∈ L2e , o mapeamento vr → v do
modelo dinˆmico proposto ´ estritamente passivo de sa´
a e ıda.

o

a

Identiﬁca¸˜o de Parˆmetros
ca a

Realizada em quatro diferentes robˆs uniciclo: trˆs Pioneer (da
o e
empresa Mobile Robots) e uma cadeira de rodas rob´tica;
o

o

a

ca a

o e
o
Enviados sinais de referˆncia compostos por uma soma de 6
e
componentes senoidais de frequˆncias diferentes, enquanto as
e
velocidades desenvolvidas eram armazenadas;

o

a

ca a

o e
o
e
e
C´lculo dos parˆmetros foi realizado oﬀ-line por m´
a a ınimos quadrados;

o

a

ca a

o e
o
e
e
An´lise dos resultados mostrou que os parˆmetros s˜o linearmente
a a a
independentes;

o

a

ca a

o e
o
e
e
An´lise dos resultados mostrou que os parˆmetros s˜o linearmente
a a a
independentes;
Condi¸˜es θ6 > −(θ5 − I θ3 )u e θ6
co |(θ5 − I θ3 )u| foram veriﬁcadas.

o

a

ca a

o

a

Coment´rios sobre o Modelo
a

∆ + Hv + C(v)v + F(v)v = vr
˙

o

a

a

∆ + Hv + C(v)v + F(v)v = vr
˙

Entradas s˜o referˆncias de velocidade linear e angular: comuns em
a e
robˆs m´veis comerciais;
o o

o

a

a

∆ + Hv + C(v)v + F(v)v = vr
˙

a e
o o
Modelo inclui a dinˆmica dos atuadores e servos;
a

o

a

a

∆ + Hv + C(v)v + F(v)v = vr
˙

a e
o o
a
Propriedades s˜o uteis no desenvolvimento de controladores e an´lise
a ´ a
de estabilidade dos sistemas em malha fechada;

o

a

a

∆ + Hv + C(v)v + F(v)v = vr
˙

a e
o o
a
a ´ a
Possui estrutura similar ` representa¸˜o cl´ssica do modelo dinˆmico
a ca a a
(com entradas em torque), o que permite aproveitar t´cnicas de
e
projeto e adaptar controladores projetados com base naquele modelo;

o

a

a

∆ + Hv + C(v)v + F(v)v = vr
˙

a e
o o
a
a ´ a
Possui estrutura similar ` representa¸˜o cl´ssica do modelo dinˆmico
a ca a a
(com entradas em torque), o que permite aproveitar t´cnicas de
e
projeto e adaptar controladores projetados com base naquele modelo;
˙ e e a ˙
(H − 2C) ´ antissim´trica, j´ que H = 0.

o

Compensa¸˜o Adaptativa da Dinˆmica
ca a

Sum´rio
a

1 Introdu¸˜o
ca
o o
Modelo Cinem´tico
a
Modelo Dinˆmico
a
ca a
a
a
a
co
ca
Experimentos
o a
ca
ca
5 Conclus˜es
o

o

ca a Controlador Cinem´tico
a

a

Foi projetado um controlador de seguimento de trajet´rias, est´vel no
o a
sentido de Lyapunov;

o

a

a

o a
Tal controlador tamb´m pode ser usado num problema de
e
posicionamento;

o

a

a

o a
e
posicionamento;
A orienta¸õ final do robˆ nõ ´ controlada, podendo ser obtida por
ca o a e
meio de chaveamento de controladores;

o

a

a

o a
e
posicionamento;
A orienta¸õ final do robˆ nõ ´ controlada, podendo ser obtida por
ca o a e
meio de chaveamento de controladores;
Para uma trajet´ria desejada suave, com xd e yd limitados, o
o ˙ ˙
controlador projetado limita as a¸˜es de controle de forma a garantir
co
que os sinais enviados estejam dentro dos limites aceit´veis.
a

o

a

Simula¸˜es
co

Ganhos ajustados para percorrer uma trajet´ria circular;
o

o

a

Simula¸˜es
co

o
Apresentados resultados para trajet´rias em forma de oito: excita¸˜o
o ca
da dinˆmica;
a

o

a

Simula¸˜es
co

o
o ca
da dinˆmica;
a
Verificado que a orienta¸õ do robˆ nõ precisa ser controlada de
ca o a
forma expl´
ıcita para seguimento de trajet´ria (plataforma
o
nõ-holonˆmica);
a o

o

a

Simula¸˜es
co

o
o ca
da dinˆmica;
a
Verificado que a orienta¸õ do robˆ nõ precisa ser controlada de
ca o a
forma expl´
ıcita para seguimento de trajet´ria (plataforma
o
nõ-holonˆmica);
a o
Varia¸õ de carga simulada atrav´s da varia¸õ dos parˆmetros do
ca e ca a
modelo do robˆ.
o

o

a

Simula¸˜o - Trajet´ria em forma de oito sem carga
ca o

o

a

ca o

o

a

Simula¸˜o - Trajet´ria em forma de oito com carga
ca o

o

a

ca o

o

ca a Primeiro Controlador Dinˆmico
a

a

Projetado com base no modelo proposto por De La Cruz (2006);

o

a

a

Recebe referˆncias de velocidade vd e compensa a dinˆmica, gerando
e a
comandos de velocidade vr ao robˆ;o

o

a

a

e a
Flexibilidade: pode ser usado para compensar a dinˆmica do ve´
a ıculo
em conjunto com outros controladores cinem´ticos, como de
a
seguimento de caminhos ou posicionamento com orienta¸˜o ﬁnal.
ca

o

a

Diagrama Geral do Sistema

o

a

a

    
  
x
˙ δx
 y  u sin ψ + aω cos ψ   0 0 
˙ 
 δy 
  0 0  uref
 
˙
 
ψ  = 

   θ 2 θ ω +  ωref +  0 
  
 1
θ1 ω − θ1 u 0
u   3 4  δu 
˙  θ1
θ5 θ6 1
ω˙ − θ2 uω − θ2 ω 0 θ2 δω
 
u˙ ω − θ4 u + uθ1
θ3 2 ref

=  θ1 θ1

ω˙ θ5
− uω − ω +θ6 ωref
θ2 θ2 θ2

Parametriza¸˜o Linear:
ca

uref u 0 −ω 2 u 0 0
˙ T
= θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ6
ωref 0 ω
˙ 0 0 uω ω

o

a

Projeto do Controlador

−ω 2
» – » –» – » –
uref θ1 0 u
˙ 0 0 u 0 0 ˆ ˜T
= + θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ6 ,
ωref 0 θ2 ω
˙ 0 0 0 0 uω ω

Portanto, a dinˆmica pode ser representada por
a

vr = Hv + η.
˙

Baseado na dinˆmica inversa, a lei de controle proposta ´
a e
−ω 2
» – » –» – » –
uref θ1 0 σ1 0 0 u 0 0 ˆ ˜T
= + θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ6 ,
ωref 0 θ2 σ2 0 0 0 0 uω ω
ou
vr = Hσ + η.

o

a


vr = Hσ + η,
onde
˙c
σ1 = uref + ku u ,
˜ ku > 0,
˙c
σ2 = ωref + kω ω ,
˜ kω > 0,
c c
u = uref − u,
˜ ω = ωref − ω.
˜
A lei de controle tamb´m pode ser escrita como
e

vr = G(σ1 , σ2 , u, ω)θ,

onde
θ = [θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ6 ]T ,
σ1 0 −ω 2 u 0 0
G= .
0 σ2 0 0 uω ω
o

a

Projeto do Controlador - Incertezas Param´tricas
e

A lei de controle

vr = G(σ1 , σ2 , u, ω)θ = Hσ + η

n˜o considera incertezas param´tricas. Para consider´-las,
a e a

ˆ ˜ ˜
vr = Gθ = Gθ + Gθ = Hσ + η + Gθ

deve ser considerada, onde
˜ ˆ
θ =θ−θ
´ o vetor de erro param´trico.
e e

o

a

An´lise de Estabilidade
a

Considerando-se a fun¸˜o candidata de Lyapunov
ca
1 1˜ ˜
V = ˜T H˜ + θ T γ θ,
v v
2 2
e a lei de adapta¸˜o de parˆmetros
ca a
˙
θ = γ −1 GT˜,
ˆ v

conclui-se que
˙
V = −˜T HK˜
v v 0.
e ˙
˜ ˙
ˆ
onde γ > 0 ∈ R6×6 ´ uma matriz diagonal e θ = θ. Portanto, ˜ ∈ L∞ e
v
˜
θ ∈ L∞ . Ou seja, o equil´
ıbrio ´ est´vel.
e a

o

a

a

Tamb´m ´ poss´ concluir que ˜ ´ quadrado integr´vel, i.e., ˜ ∈ L2 .
e e ıvel ve a v
Considerando-se vr limitado, tem-se G ∈ L∞ .
˙
a v ˜
J´ que ˜ ∈ L∞ e θ ∈ L∞ , da equa¸˜o de erro do sistema
ca

˜ = −H−1 Gθ − K˜
˙
v ˜ v

˙
pode-se concluir que ˜ ∈ L∞ .
v
v v˙
Como ˜ ∈ L2 e ˜ ∈ L∞ , o Lema de Barbalat garante que ˜ → 0 com
v
t → ∞. Ou seja, o equil´ıbrio ´ assintoticamente est´vel.
e a

o

a

Diagrama Geral do Sistema com Adapta¸˜o de Parˆmetros
ca a

o

a

Adapta¸õ de Parˆmetros com Modifica¸õ-σ
ca a ca

Para tornar o sistema mais robusto na presen¸a de ru´
c ıdos, dist´rbios ou
u
erros de medi¸õ, um termo de modifica¸õ-σ foi inserido na lei de ajuste
ca ca
dos parˆmetros
a
˙
θ = γ −1 GT˜ − γ −1 Γθ,
ˆ v ˆ
˙
onde Γ > 0 ∈ R6×6 ´ uma matriz de ganhos diagonal. Substituindo em V
e
resulta
˙ ˜ ˜ ˜
V = −˜T HK˜ − θ T Γθ − θ T Γθ.
v v

o

a

ca a ca

e ıvel v ˜
Usando a mesma candidata de Lyapunov ´ poss´ concluir que ˜ e θ
s˜o ﬁnalmente limitados;
a

o

a

ca a ca

e ıvel v ˜
a
A modifica¸õ-σ torna a lei de adapta¸õ mais robusta, mas aumenta
ca ca
o limite de erro;

o

a

ca a ca

e ıvel v ˜
a
A modifica¸õ-σ torna a lei de adapta¸õ mais robusta, mas aumenta
ca ca
o limite de erro;
A fronteira do limite de erro depende do valor singular m´
ınimo da
matriz de ganhos Γ. Como seus valores sõ arbitr´rios, tal fronteira
a a
pode ser feita pequena: no limite, se Γ = 0, entõ ˜ → 0 quando
a v
t → ∞.

o

a

An´lise do Erro de Seguimento
a

˜
Pode-se mostrar que o erro de seguimento h diminui sempre que

˜ A˜v
h > ou |min(kx , ky )| > A˜ .
v
min(kx , ky )

ca ˆ˙
Quando se utiliza a lei de adapta¸õ θ = γ −1 GT˜, foi provado que
v
˜ → 0. Nesse caso, tal condi¸õ ´ assintoticamente verificada, o que
v ca e
˜
significa que h → 0 com t → ∞.

o

a

An´lise do Erro de Seguimento
a

˙
ˆ ˆ
Usando a lei de adapta¸õ mais robusta θ = γ −1 GT˜ − γ −1 Γθ, foi
ca v
provado que ˜ ´ finalmente limitado, o que significa que existe um limite R
ve
˜
numa norma do sinal. Logo, h tamb´m ´ finalmente limitado por
e e

R A
.
min(kx , ky )

o

a

Notas

˜
O controlador proposto nõ garante que θ → 0 com t → ∞. Isso
a
a ˜
nõ ´ um problema, j´ que θ → 0 nõ ´ requisito para que ˜ seja
a e a e v
finalmente limitado ou tenda a zero;

o

a

Notas

˜
a
a ˜
a e a e v
A plataforma n˜o-holonˆmica restringe a dire¸˜o de velocidade linear
a o ca
que pode ser desenvolvida pelo robˆ. O fato de que ˜ tende a um
o v
valor limitado indica que o robˆ deve estar orientado de forma
o
tangente ` trajet´ria;
a o

o

a

Notas

˜
a
a ˜
a e a e v
A plataforma nõ-holonˆmica restringe a dire¸õ de velocidade linear
a o ca
que pode ser desenvolvida pelo robˆ. O fato de que ˜ tende a um
o v
valor limitado indica que o robˆ deve estar orientado de forma
o
tangente ` trajet´ria;
a o
As leis de adapta¸õ consideram que o erro de seguimento de
ca
velocidade ´ gerado por erro no valor estimado dos parˆmetros
e a
dinˆmicos.
a

o

a

ca o

o

a

ca o

Parˆmetros Estimados
a Parˆm. Estimados - Longa Dura¸˜o
a ca

o

a

ca o

o

a

ca o

Parˆmetros Estimados
a Parˆm. Estimados - Longa Dura¸˜o
a ca

o

ca a Segundo Controlador Dinˆmico
a

a

Projetado com base no modelo Hv + C(v)v + F(v)v = vr ,
˙
considerando suas propriedades;

o

a

a

˙
e a

o

a

a

˙
e a
Flexibilidade: pode ser usado para compensar a dinˆmica do ve´
a ıculo
em conjunto com outros controladores cinem´ticos, como de
a
seguimento de caminhos ou posicionamento com orienta¸˜o ﬁnal.
ca

o

a


Lei de controle proposta:

vr = H(vd + T(˜)) + Cvd + Fvd ,
˙ v

onde ˜ = vd − v,
v

lu 0 tanh( ku u )
l ˜
u
T(˜) =
v kω ,
0 lω tanh( lω ω )
˜

sendo ku > 0 e kω > 0 ganhos constantes e lu ∈ R e lω ∈ R constantes de
satura¸˜o.
ca

o

a

a

Considerando-se a fun¸õ candidata de Lyapunov V = 1 ˜T H˜, e
ca 2v v
aplicando-se as propriedades 1 (que afirma que H ´ uma matriz sim´trica e
e e
definida positiva), 3 (que afirma que a matriz F ´ sim´trica e definida
e e
˙
positiva) e 5 (de antissimetria da matriz C), pode-se concluir que V < 0,
ou seja, ˜ ∈ L∞ e ˜ → 0 com t → ∞.
v v
Tamb´m ´ possivel verificar que ˜ ∈ L2 , ou seja, ˜ ´ um sinal quadrado
e e v ve
integr´vel.
a

o

a

Incerteza Param´trica
e

Considerando a incerteza param´trica, a lei de controle ´
e e

ˆ ˙ ˆ ˆ
vr = H(vd + T(˜)) + Cvd + Fvd ,
v

ˆ ˆ ˆ a
onde H, C, e F sõ estimativas de H, C, e F, respectivamente. Para
projetar a lei de adapta¸õ, a equa¸õ da lei de controle ´ reescrita em seu
ca ca e
formato de parametriza¸õ linear:
ca

ˆ σ1 0 −ωd ω ud 0 0 ˆ
vr = G θ = θ,
0 σ2 ud ω − uωd 0 uωd ωd

onde σ1 = ud + lu tanh( ku u ), e σ2 = ωd + lω tanh( kω ω ).
˙ l ˜
u
˙ l ˜
ω

o

a

Incerteza Param´trica
e

˜ ˆ ˜
Como θ = θ − θ, vr = Gθ + Gθ, ou

˜
vr = Hσ + Cvd + Fvd + Gθ,

˙ v a v ˙
onde σ = vd + T(˜). J´ que ˜ = vd − v, tem-se σ = ˜ + T(˜) + v.
v v ˙
Logo, em malha fechada,

˜ ˙
−Gθ = H(˜ + T(˜)) + C˜ + F˜.
v v v v

o

a

a

Considerando-se a fun¸˜o candidata de Lyapunov
ca
1 1
V = ˜T H˜ +
v v θ T γ −1 θ > 0,
˜ ˜
2 2
˙
assumindo que θ = 0, escolhendo a lei de ajuste de parˆmetros como
a
˙ = γGT˜ e usando as propriedades do modelo, pode-se concluir que
ˆ
θ v
˜
˜ ∈ L∞ , e θ ∈ L∞ .
v
˙
Como ˜ ∈ L∞ e ˜ ∈ L2 , o Lema de Barbalat garante que ˜ → 0 com
v v v
t → ∞, o que prova que o objetivo de controle ´ cumprido.
e

o

a

Adapta¸õ de Parˆmetros - Modifica¸õ-σ
ca a ca

Considerando-se a lei de adapta¸õ mais robusta
ca
˙
ˆ ˆ
θ = γGT˜ − γΓθ,
v

e fazendo um desenvolvimento similar ao que foi realizado para o primeiro
v ˜ a
controlador dinˆmico, pode-se concluir que ˜ e θ sõ finalmente limitados.
a
˜ ´ finalmente limitado.
Tamb´m conclui-se que h e
e

o

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