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- 1. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 2. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Indice 1 Apresentações 2 Informações Relevantes 3 Matrizes 4 Operações com matrizes e propriedades 5 Sistemas de Equações Lineares 6 Existência e número de soluções 7 Sistema Homogêneo Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 3. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Nome: Luiz Gustavo Perona Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 4. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Nome: Luiz Gustavo Perona e-mail: lgperona@cefetmg.br Sala: 207-C - Prédio Principal - Campus II - Agendar horário Formação: Bacharelado em Matemática (2009) pela UFMG; Mestrado (2012) e Doutorado (2017) em matemática na área de Sistemas Dinâmicos pela UFMG. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 5. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Nome: Luiz Gustavo Perona e-mail: lgperona@cefetmg.br Sala: 207-C - Prédio Principal - Campus II - Agendar horário Formação: Bacharelado em Matemática (2009) pela UFMG; Mestrado (2012) e Doutorado (2017) em matemática na área de Sistemas Dinâmicos pela UFMG. Experiência Docente: PUC-MG (2016), CEFET-MG (2017), UFV - Campus Florestal (2017-2022) e CEFET-MG (2022 - Atual) Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 6. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Nome: Luiz Gustavo Perona e-mail: lgperona@cefetmg.br Sala: 207-C - Prédio Principal - Campus II - Agendar horário Formação: Bacharelado em Matemática (2009) pela UFMG; Mestrado (2012) e Doutorado (2017) em matemática na área de Sistemas Dinâmicos pela UFMG. Experiência Docente: PUC-MG (2016), CEFET-MG (2017), UFV - Campus Florestal (2017-2022) e CEFET-MG (2022 - Atual) Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 7. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Nome: Luiz Gustavo Perona e-mail: lgperona@cefetmg.br Sala: 207-C - Prédio Principal - Campus II - Agendar horário Formação: Bacharelado em Matemática (2009) pela UFMG; Mestrado (2012) e Doutorado (2017) em matemática na área de Sistemas Dinâmicos pela UFMG. Experiência Docente: PUC-MG (2016), CEFET-MG (2017), UFV - Campus Florestal (2017-2022) e CEFET-MG (2022 - Atual) E vocês?! Qual curso?? Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 8. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Plano Didático - Disponível no SIGAA. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 9. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Plano Didático - Disponível no SIGAA. Monitoria. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 10. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Um pouco sobre GAAV. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 11. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Um pouco sobre GAAV. Durante o curso serão apresentados conceitos matemáticos básicos, indispensáveis para o estudo de outros temas relevantes na formação de matemáticos, físicos, químicos, engenheiros, entre outros. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 12. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Um pouco sobre GAAV. Durante o curso serão apresentados conceitos matemáticos básicos, indispensáveis para o estudo de outros temas relevantes na formação de matemáticos, físicos, químicos, engenheiros, entre outros. O conteúdo da disciplina fornece suporte para a resolução de uma grande variedade de problemas aplicados. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 13. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Um pouco sobre GAAV. Durante o curso serão apresentados conceitos matemáticos básicos, indispensáveis para o estudo de outros temas relevantes na formação de matemáticos, físicos, químicos, engenheiros, entre outros. O conteúdo da disciplina fornece suporte para a resolução de uma grande variedade de problemas aplicados. Durante o curso será apresentado uma grande variedade de "seres matemáticos"algébricos e geométricos - matrizes, vetores, retas, planos, cônicas... Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 14. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Quando necessitamos trabalhar com uma grande quantidade de dados é indispensável encontrarmos uma forma de organizá-los de forma simples. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 15. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Quando necessitamos trabalhar com uma grande quantidade de dados é indispensável encontrarmos uma forma de organizá-los de forma simples. Exemplo (G4 - Brasileirão 2022) Pts J V E D SG Cruzeiro 78 38 23 9 6 31 Grêmio 65 38 17 14 7 24 Bahia 62 38 17 11 10 14 Vasco da Gama 62 38 17 11 10 12 (1) Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 16. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Quando necessitamos trabalhar com uma grande quantidade de dados é indispensável encontrarmos uma forma de organizá-los de forma simples. Exemplo (G4 - Brasileirão 2022) Pts J V E D SG Cruzeiro 78 38 23 9 6 31 Grêmio 65 38 17 14 7 24 Bahia 62 38 17 11 10 14 Vasco da Gama 62 38 17 11 10 12 (1) Existe um ser matemático que tem essa propriedade de simples organização: Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 17. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Quando necessitamos trabalhar com uma grande quantidade de dados é indispensável encontrarmos uma forma de organizá-los de forma simples. Exemplo (G4 - Brasileirão 2022) Pts J V E D SG Cruzeiro 78 38 23 9 6 31 Grêmio 65 38 17 14 7 24 Bahia 62 38 17 11 10 14 Vasco da Gama 62 38 17 11 10 12 (1) Existe um ser matemático que tem essa propriedade de simples organização: Definição Matriz é uma tabela de elementos composta por linhas e colunas. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 18. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Matematicamente denotamos a matriz anterior da seguinte forma: A4×6 = 78 38 23 9 6 31 65 38 17 14 7 24 62 38 17 11 10 14 62 38 17 11 10 12 ou A4×6 = 78 38 23 9 6 31 65 38 17 14 7 24 62 38 17 11 10 14 62 38 17 11 10 12 Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 19. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Matematicamente denotamos a matriz anterior da seguinte forma: A4×6 = 78 38 23 9 6 31 65 38 17 14 7 24 62 38 17 11 10 14 62 38 17 11 10 12 ou A4×6 = 78 38 23 9 6 31 65 38 17 14 7 24 62 38 17 11 10 14 62 38 17 11 10 12 Cada sequência de elementos dispostos na horizontal é uma linha da matriz. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 20. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Matematicamente denotamos a matriz anterior da seguinte forma: A4×6 = 78 38 23 9 6 31 65 38 17 14 7 24 62 38 17 11 10 14 62 38 17 11 10 12 ou A4×6 = 78 38 23 9 6 31 65 38 17 14 7 24 62 38 17 11 10 14 62 38 17 11 10 12 Cada sequência de elementos dispostos na horizontal é uma linha da matriz. Ex.: A segunda linha da matriz acima é [65 38 17 14 7 24]. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 21. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Matematicamente denotamos a matriz anterior da seguinte forma: A4×6 = 78 38 23 9 6 31 65 38 17 14 7 24 62 38 17 11 10 14 62 38 17 11 10 12 ou A4×6 = 78 38 23 9 6 31 65 38 17 14 7 24 62 38 17 11 10 14 62 38 17 11 10 12 Cada sequência de elementos dispostos na horizontal é uma linha da matriz. Ex.: A segunda linha da matriz acima é [65 38 17 14 7 24]. Cada sequência de elementos dispostos na vertical é uma coluna da matriz. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 22. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Matematicamente denotamos a matriz anterior da seguinte forma: A4×6 = 78 38 23 9 6 31 65 38 17 14 7 24 62 38 17 11 10 14 62 38 17 11 10 12 ou A4×6 = 78 38 23 9 6 31 65 38 17 14 7 24 62 38 17 11 10 14 62 38 17 11 10 12 Cada sequência de elementos dispostos na horizontal é uma linha da matriz. Ex.: A segunda linha da matriz acima é [65 38 17 14 7 24]. Cada sequência de elementos dispostos na vertical é uma coluna da matriz.Ex.: A primeira coluna da matriz acima é 78 65 62 62 Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 23. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Na notação (ou símbolo), Am×n, de uma matriz as letras m e n (ditas índices) subscritas à direita do nome da matriz (o nome da matriz é A), indicam a ordem da matriz, i.e., número de linhas e coluna da matriz A. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 24. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Na notação (ou símbolo), Am×n, de uma matriz as letras m e n (ditas índices) subscritas à direita do nome da matriz (o nome da matriz é A), indicam a ordem da matriz, i.e., número de linhas e coluna da matriz A. Um elemento da matriz é denotado (simbolizado) pela mesma letra que dá nome a matriz, porém minúscula, com dois índices que indicam a posição dele, linha e coluna, na matriz: aij - elemento situado na linha i e coluna j da matriz A. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 25. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Na notação (ou símbolo), Am×n, de uma matriz as letras m e n (ditas índices) subscritas à direita do nome da matriz (o nome da matriz é A), indicam a ordem da matriz, i.e., número de linhas e coluna da matriz A. Um elemento da matriz é denotado (simbolizado) pela mesma letra que dá nome a matriz, porém minúscula, com dois índices que indicam a posição dele, linha e coluna, na matriz: aij - elemento situado na linha i e coluna j da matriz A. Exemplo: a13 = 23, a31 = 62, a44 = 11, a46 = 12. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 26. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Na notação (ou símbolo), Am×n, de uma matriz as letras m e n (ditas índices) subscritas à direita do nome da matriz (o nome da matriz é A), indicam a ordem da matriz, i.e., número de linhas e coluna da matriz A. Um elemento da matriz é denotado (simbolizado) pela mesma letra que dá nome a matriz, porém minúscula, com dois índices que indicam a posição dele, linha e coluna, na matriz: aij - elemento situado na linha i e coluna j da matriz A. Exemplo: a13 = 23, a31 = 62, a44 = 11, a46 = 12. Também costuma-se denotar uma matriz A por [aij ]m×n. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 27. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Na notação (ou símbolo), Am×n, de uma matriz as letras m e n (ditas índices) subscritas à direita do nome da matriz (o nome da matriz é A), indicam a ordem da matriz, i.e., número de linhas e coluna da matriz A. Um elemento da matriz é denotado (simbolizado) pela mesma letra que dá nome a matriz, porém minúscula, com dois índices que indicam a posição dele, linha e coluna, na matriz: aij - elemento situado na linha i e coluna j da matriz A. Exemplo: a13 = 23, a31 = 62, a44 = 11, a46 = 12. Também costuma-se denotar uma matriz A por [aij ]m×n. Existem matrizes que recebem nomes especiais devido a alguma característica que possui. Por exemplo - uma matriz An×n é dita matriz quadrada. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 28. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Na notação (ou símbolo), Am×n, de uma matriz as letras m e n (ditas índices) subscritas à direita do nome da matriz (o nome da matriz é A), indicam a ordem da matriz, i.e., número de linhas e coluna da matriz A. Um elemento da matriz é denotado (simbolizado) pela mesma letra que dá nome a matriz, porém minúscula, com dois índices que indicam a posição dele, linha e coluna, na matriz: aij - elemento situado na linha i e coluna j da matriz A. Exemplo: a13 = 23, a31 = 62, a44 = 11, a46 = 12. Também costuma-se denotar uma matriz A por [aij ]m×n. Existem matrizes que recebem nomes especiais devido a alguma característica que possui. Por exemplo - uma matriz An×n é dita matriz quadrada. Outro exemplo, uma matriz O que tem todos elementos nulos é dita matriz nula. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 29. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Na notação (ou símbolo), Am×n, de uma matriz as letras m e n (ditas índices) subscritas à direita do nome da matriz (o nome da matriz é A), indicam a ordem da matriz, i.e., número de linhas e coluna da matriz A. Um elemento da matriz é denotado (simbolizado) pela mesma letra que dá nome a matriz, porém minúscula, com dois índices que indicam a posição dele, linha e coluna, na matriz: aij - elemento situado na linha i e coluna j da matriz A. Exemplo: a13 = 23, a31 = 62, a44 = 11, a46 = 12. Também costuma-se denotar uma matriz A por [aij ]m×n. Existem matrizes que recebem nomes especiais devido a alguma característica que possui. Por exemplo - uma matriz An×n é dita matriz quadrada. Outro exemplo, uma matriz O que tem todos elementos nulos é dita matriz nula.Outras matrizes especiais: matriz coluna, matriz linha, matriz diagonal, matriz triangular superior, matriz simétrica... Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 30. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Sejam A e B duas matrizes de ordem m × n e λ ∈ R. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 31. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Sejam A e B duas matrizes de ordem m × n e λ ∈ R. Adição e Multiplicação de uma matriz por um escalar Adição: A + B = [aij + bij ]m×n. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 32. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Sejam A e B duas matrizes de ordem m × n e λ ∈ R. Adição e Multiplicação de uma matriz por um escalar Adição: A + B = [aij + bij ]m×n. Ou seja, o elemento situado na posição i j da matriz A + B é obtido somando-se os elementos da posição i j das matrizes A e B. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 33. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Sejam A e B duas matrizes de ordem m × n e λ ∈ R. Adição e Multiplicação de uma matriz por um escalar Adição: A + B = [aij + bij ]m×n. Ou seja, o elemento situado na posição i j da matriz A + B é obtido somando-se os elementos da posição i j das matrizes A e B. M.P.Escalar: λ · A = [λ · aij ]m×n. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 34. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Sejam A e B duas matrizes de ordem m × n e λ ∈ R. Adição e Multiplicação de uma matriz por um escalar Adição: A + B = [aij + bij ]m×n. Ou seja, o elemento situado na posição i j da matriz A + B é obtido somando-se os elementos da posição i j das matrizes A e B. M.P.Escalar: λ · A = [λ · aij ]m×n. Ou seja, o elemento situado na posição i j da matriz λ · A é obtido multiplicando-se por λ o elemento da posição ij da matriz A. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 35. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Exemplo (Cotação de Preços) Após uma consulta de preço em um site internacional um pai de primeira viagem fez o seguinte levantamento de preços: Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 36. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Exemplo (Cotação de Preços) Após uma consulta de preço em um site internacional um pai de primeira viagem fez o seguinte levantamento de preços: Preço ( em dólar ) Babá Eletrônica 50, 00 Mamadeira 12, 50 Mochila 39, 90 Lenços Umedecidos 13, 00 (2) Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 37. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Exemplo (Cotação de Preços) Após uma consulta de preço em um site internacional um pai de primeira viagem fez o seguinte levantamento de preços: Preço ( em dólar ) Babá Eletrônica 50, 00 Mamadeira 12, 50 Mochila 39, 90 Lenços Umedecidos 13, 00 (2) Sabendo-se que $1 corresponde a R$4, 48, encontre uma matriz que represente a cotação de preços em reais. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 38. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Propriedades Operacionais Sejam A e B matrizes de ordem m × n e λ1, λ2 ∈ R. (i) A + B = B + A (comutatividade); Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 39. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Propriedades Operacionais Sejam A e B matrizes de ordem m × n e λ1, λ2 ∈ R. (i) A + B = B + A (comutatividade); (ii) (A + B) + C = A + (B + C) (associatividade); Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 40. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Propriedades Operacionais Sejam A e B matrizes de ordem m × n e λ1, λ2 ∈ R. (i) A + B = B + A (comutatividade); (ii) (A + B) + C = A + (B + C) (associatividade); (iii) A + O = A (elemento neutro na adição); Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 41. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Propriedades Operacionais Sejam A e B matrizes de ordem m × n e λ1, λ2 ∈ R. (i) A + B = B + A (comutatividade); (ii) (A + B) + C = A + (B + C) (associatividade); (iii) A + O = A (elemento neutro na adição); (iv) λ(A + B) = λA + λB (distributividade do escalar); Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 42. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Propriedades Operacionais Sejam A e B matrizes de ordem m × n e λ1, λ2 ∈ R. (i) A + B = B + A (comutatividade); (ii) (A + B) + C = A + (B + C) (associatividade); (iii) A + O = A (elemento neutro na adição); (iv) λ(A + B) = λA + λB (distributividade do escalar); (v) (λ1 + λ2)A = λ1A + λ2A (distributividade da matriz); Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 43. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Propriedades Operacionais Sejam A e B matrizes de ordem m × n e λ1, λ2 ∈ R. (i) A + B = B + A (comutatividade); (ii) (A + B) + C = A + (B + C) (associatividade); (iii) A + O = A (elemento neutro na adição); (iv) λ(A + B) = λA + λB (distributividade do escalar); (v) (λ1 + λ2)A = λ1A + λ2A (distributividade da matriz); (vi) 0 · A = O; Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 44. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Propriedades Operacionais Sejam A e B matrizes de ordem m × n e λ1, λ2 ∈ R. (i) A + B = B + A (comutatividade); (ii) (A + B) + C = A + (B + C) (associatividade); (iii) A + O = A (elemento neutro na adição); (iv) λ(A + B) = λA + λB (distributividade do escalar); (v) (λ1 + λ2)A = λ1A + λ2A (distributividade da matriz); (vi) 0 · A = O; (vii) (λ1λ2)A = λ1(λ2A). Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 45. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Definição Dadas duas matrizes Am×k e Bk×n, podemos definir a matriz produto Cm×n := A · B Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 46. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Definição Dadas duas matrizes Am×k e Bk×n, podemos definir a matriz produto Cm×n := A · B (note que o número de colunas da matriz que está à esquerda é igual ao número de linhas da matriz que está à direita). Os elemento da matriz produto, C = A · B, são obtidos da seguinte forma: cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + aik bkj = k X l=1 ail blj , (3) para i = 1, ..., m e j = 1, ..., n. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 47. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Definição Dadas duas matrizes Am×k e Bk×n, podemos definir a matriz produto Cm×n := A · B (note que o número de colunas da matriz que está à esquerda é igual ao número de linhas da matriz que está à direita). Os elemento da matriz produto, C = A · B, são obtidos da seguinte forma: cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + aik bkj = k X l=1 ail blj , (3) para i = 1, ..., m e j = 1, ..., n. Pergunta!!! Acima, definimos o produto Am×k · Bk×n. Podemos afirmar que o produto Bk×n · Am×k também está definido?! Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 48. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Exemplo Dadas as matrizes A = −1 0 1/2 2 −4/3 −3 0 1 π , B = 2 −5/2 0 1 1 −2 1 3 4 (4) (5) e C = 1 −2 5 1/8 0 1/7 0 √ 2 (6) quais produtos entre essas matrizes estão definidos? Calcule esses produtos! Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 49. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Propriedades do Produto Matricial (i) A(BC) = (AB)C (associatividade); Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 50. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Propriedades do Produto Matricial (i) A(BC) = (AB)C (associatividade); (ii) Para cada número natural k, existe uma matriz Ik = [δij ]k×k tal que δij = 1 se i = j 0 se i ̸= j (7) chamada matriz identidade de ordem k. Tal matriz satisfaz: Im · Am×n = Am×n e Am×n · In = Am×n. (8) Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 51. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Propriedades do Produto Matricial (i) A(BC) = (AB)C (associatividade); (ii) Para cada número natural k, existe uma matriz Ik = [δij ]k×k tal que δij = 1 se i = j 0 se i ̸= j (7) chamada matriz identidade de ordem k. Tal matriz satisfaz: Im · Am×n = Am×n e Am×n · In = Am×n. (8) (iii) A(B + C) = AB + AC e (B + C)A = BA + CA; Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 52. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Propriedades do Produto Matricial (i) A(BC) = (AB)C (associatividade); (ii) Para cada número natural k, existe uma matriz Ik = [δij ]k×k tal que δij = 1 se i = j 0 se i ̸= j (7) chamada matriz identidade de ordem k. Tal matriz satisfaz: Im · Am×n = Am×n e Am×n · In = Am×n. (8) (iii) A(B + C) = AB + AC e (B + C)A = BA + CA; (iv) α(AB) = (αA)B = A(αB); Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 53. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Definição A transposta de uma matriz A = (aij )m×n, definida pela matriz n × m B := At , é obtida trocando-se as linhas com as colunas, ou seja, bij = aji para i = 1, ..., n e j = 1, ..., m. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 54. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Definição A transposta de uma matriz A = (aij )m×n, definida pela matriz n × m B := At , é obtida trocando-se as linhas com as colunas, ou seja, bij = aji para i = 1, ..., n e j = 1, ..., m. Exemplo Sabendo que uma matriz quadrada, An, é dita simétrica se aij = aji , para todo 1 ≤ i, j ≤ n, Prove que: A é simétrica se, e somente se, At = A. (9) Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 55. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Propriedades da Transposição (i) (At )t = A; Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 56. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Propriedades da Transposição (i) (At )t = A; (ii) (A + B)t = At + Bt ; Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 57. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Propriedades da Transposição (i) (At )t = A; (ii) (A + B)t = At + Bt ; (iii) (AB)t = Bt At ; Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 58. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Propriedades da Transposição (i) (At )t = A; (ii) (A + B)t = At + Bt ; (iii) (AB)t = Bt At ; (iv) (αA)t = αAt ; Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 59. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Propriedades da Transposição (i) (At )t = A; (ii) (A + B)t = At + Bt ; (iii) (AB)t = Bt At ; (iv) (αA)t = αAt ; Definição Diferença entre matrizes: A − B := A + (−1)B; Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 60. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Propriedades da Transposição (i) (At )t = A; (ii) (A + B)t = At + Bt ; (iii) (AB)t = Bt At ; (iv) (αA)t = αAt ; Definição Diferença entre matrizes: A − B := A + (−1)B; Potência de uma matriz: Ak := A · A · ... · A | {z } kvezes , para k ∈ N e k 0. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 61. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Propriedades da Transposição (i) (At )t = A; (ii) (A + B)t = At + Bt ; (iii) (AB)t = Bt At ; (iv) (αA)t = αAt ; Definição Diferença entre matrizes: A − B := A + (−1)B; Potência de uma matriz: Ak := A · A · ... · A | {z } kvezes , para k ∈ N e k 0. E A0 = I. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 62. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Definição Uma equação linear em n variáveis é uma equação da forma a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = b, em que a1, a2, · · · , an, b ∈ R. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 63. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Definição Uma equação linear em n variáveis é uma equação da forma a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = b, em que a1, a2, · · · , an, b ∈ R. Definição Um Sistema linear é um conjunto de equações lineares da forma a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 . . . · · · . . . = . . . am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm (⋆) em que aij , bi ∈ R para todo i = 1, · · · , m e j = 1, · · · , n. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 64. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Definição Uma equação linear em n variáveis é uma equação da forma a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = b, em que a1, a2, · · · , an, b ∈ R. Definição Um Sistema linear é um conjunto de equações lineares da forma a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 . . . · · · . . . = . . . am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm (⋆) em que aij , bi ∈ R para todo i = 1, · · · , m e j = 1, · · · , n. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 65. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Exemplos; Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 66. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Exemplos; O SEL (⋆) pode ser visto como uma equação matricial AX = B, em que A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . · · · . . . am1 am2 · · · amn , X = x1 x2 . . . xn e B = b1 b2 . . . bm ; Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 67. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Exemplos; O SEL (⋆) pode ser visto como uma equação matricial AX = B, em que A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . · · · . . . am1 am2 · · · amn , X = x1 x2 . . . xn e B = b1 b2 . . . bm ; Uma Solução de AX = B é uma matriz S = s1 s2 . . . sn tal que todas as equações do SEL são satisfeitas substituindo x1 = s1, x2 = s2, · · · , xn = sn; Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 68. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Exemplos; O SEL (⋆) pode ser visto como uma equação matricial AX = B, em que A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . · · · . . . am1 am2 · · · amn , X = x1 x2 . . . xn e B = b1 b2 . . . bm ; Uma Solução de AX = B é uma matriz S = s1 s2 . . . sn tal que todas as equações do SEL são satisfeitas substituindo x1 = s1, x2 = s2, · · · , xn = sn; O conjunto solução de um SEL é o conjunto de todas as soluções do sistema; Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 69. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Por algum tempo alguns estudantes nutriam certa dose de antipatia pelos sistemas de equações lineares, porém o tema em questão tem ganhado grande popularidade e simpatia nos últimos anos, com o advento das redes sociais, sob a forma: Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 70. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Por algum tempo alguns estudantes nutriam certa dose de antipatia pelos sistemas de equações lineares, porém o tema em questão tem ganhado grande popularidade e simpatia nos últimos anos, com o advento das redes sociais, sob a forma: Figura 1: Grupo: Família Perona; Postado pela tia Luiza. Figura 2: Grupo: Família Perona; Postado pelo Bidu. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 71. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Segundo informações que circulam nas redes sociais, após esta aula de GAAL você fará parte de um grupo seleto (apenas 5% da população mundial estão nesse grupo): Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 72. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Segundo informações que circulam nas redes sociais, após esta aula de GAAL você fará parte de um grupo seleto (apenas 5% da população mundial estão nesse grupo): Figura 3: Grupo: Família Perona; Postado pelo tio Ademir. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 73. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Segundo informações que circulam nas redes sociais, após esta aula de GAAL você fará parte de um grupo seleto (apenas 5% da população mundial estão nesse grupo): Figura 3: Grupo: Família Perona; Postado pelo tio Ademir. Resolva o problema acima e faça parte de tal grupo seleto. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 74. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Para obtermos o conjunto solução de um S.E.L com um maior número de equações e incógnitas necessitaremos de uma técnica mais apurada. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 75. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Para obtermos o conjunto solução de um S.E.L com um maior número de equações e incógnitas necessitaremos de uma técnica mais apurada. Existem três operações que podemos efetuar sobre as equações de um S.E.L sem alterar o conjunto solução do sistema, apesar de alterar os coeficientes do sistema. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 76. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Para obtermos o conjunto solução de um S.E.L com um maior número de equações e incógnitas necessitaremos de uma técnica mais apurada. Existem três operações que podemos efetuar sobre as equações de um S.E.L sem alterar o conjunto solução do sistema, apesar de alterar os coeficientes do sistema. Operações Elementares Multiplicação de uma linha por um escalar k não nulo. Notação: Lj ← k · Lj . Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 77. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Para obtermos o conjunto solução de um S.E.L com um maior número de equações e incógnitas necessitaremos de uma técnica mais apurada. Existem três operações que podemos efetuar sobre as equações de um S.E.L sem alterar o conjunto solução do sistema, apesar de alterar os coeficientes do sistema. Operações Elementares Multiplicação de uma linha por um escalar k não nulo. Notação: Lj ← k · Lj . Troca de linhas; Notação: Lj ↔ Li . Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 78. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Para obtermos o conjunto solução de um S.E.L com um maior número de equações e incógnitas necessitaremos de uma técnica mais apurada. Existem três operações que podemos efetuar sobre as equações de um S.E.L sem alterar o conjunto solução do sistema, apesar de alterar os coeficientes do sistema. Operações Elementares Multiplicação de uma linha por um escalar k não nulo. Notação: Lj ← k · Lj . Troca de linhas; Notação: Lj ↔ Li . Soma de uma linha j com, uma linha i multiplicada por um escalar; Notação: Lj ← Lj + k · Li . Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 79. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo As operações elementares tem o poder de transformar um S.E.L em outro distinto, mais simples e com mesmo conjunto solução. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 80. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo As operações elementares tem o poder de transformar um S.E.L em outro distinto, mais simples e com mesmo conjunto solução. Exercício Prove a propriedade fundamental das operações elementares sobre linhas: operações elementares sobre linhas não altera o conjunto solução de um S.E.L. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 81. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Definição Dado S.E.L. AX = B, definimos por [A|B] = a11 a12 · · · a1n | b1 a21 a22 · · · a2n | b2 . . . . . . · · · . . . | . . . am1 am2 · · · amn | bm a matriz aumentada associada ao S.E.L. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 82. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Definição Dado S.E.L. AX = B, definimos por [A|B] = a11 a12 · · · a1n | b1 a21 a22 · · · a2n | b2 . . . . . . · · · . . . | . . . am1 am2 · · · amn | bm a matriz aumentada associada ao S.E.L. Teorema Se dois S.E.L. AX = B e CX = D são tais que a matriz aumentada [C|D] é obtida de A|B aplicando-se uma operação elementar, então os dois sistemas possuem as mesmas soluções. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 83. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Perguntas 1 Existe algum roteiro para simplificar um S.E.L? Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 84. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Perguntas 1 Existe algum roteiro para simplificar um S.E.L? 2 Como saberei se o sistema já está suficientemente simplificado? Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 85. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Perguntas 1 Existe algum roteiro para simplificar um S.E.L? 2 Como saberei se o sistema já está suficientemente simplificado? Antes de respondermos as perguntas acima, considere: Definição Chamamos de pivô da i-ésima linha de uma matriz o primeiro elemento não nulo dessa linha. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 86. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Respondendo a primeira pergunta!!! Abaixo iremos apresentar um roteiro para a simplificação de um SEL. Porém, antes disso, organize as linhas da matriz de tal modo que o pivô de cada linha não nula ocorra à direita do pivô da linha imediatamente acima. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 87. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Respondendo a primeira pergunta!!! Abaixo iremos apresentar um roteiro para a simplificação de um SEL. Porém, antes disso, organize as linhas da matriz de tal modo que o pivô de cada linha não nula ocorra à direita do pivô da linha imediatamente acima. (P1) Por meio de alguma operação elementar, transforme o primeiro pivô (de cima pra baixo) presente nessa coluna em 1. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 88. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Respondendo a primeira pergunta!!! Abaixo iremos apresentar um roteiro para a simplificação de um SEL. Porém, antes disso, organize as linhas da matriz de tal modo que o pivô de cada linha não nula ocorra à direita do pivô da linha imediatamente acima. (P1) Por meio de alguma operação elementar, transforme o primeiro pivô (de cima pra baixo) presente nessa coluna em 1. (P2) Anule todos os elementos abaixo desse pivô. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 89. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Respondendo a primeira pergunta!!! Abaixo iremos apresentar um roteiro para a simplificação de um SEL. Porém, antes disso, organize as linhas da matriz de tal modo que o pivô de cada linha não nula ocorra à direita do pivô da linha imediatamente acima. (P1) Por meio de alguma operação elementar, transforme o primeiro pivô (de cima pra baixo) presente nessa coluna em 1. (P2) Anule todos os elementos abaixo desse pivô. (P3) Se, após os passos anteriores, não surgiram linhas nulas, repitas os passos (P1) e (P2) na próxima coluna da matriz. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 90. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Respondendo a primeira pergunta!!! Abaixo iremos apresentar um roteiro para a simplificação de um SEL. Porém, antes disso, organize as linhas da matriz de tal modo que o pivô de cada linha não nula ocorra à direita do pivô da linha imediatamente acima. (P1) Por meio de alguma operação elementar, transforme o primeiro pivô (de cima pra baixo) presente nessa coluna em 1. (P2) Anule todos os elementos abaixo desse pivô. (P3) Se, após os passos anteriores, não surgiram linhas nulas, repitas os passos (P1) e (P2) na próxima coluna da matriz. Caso contrário, coloque as linhas nulas abaixo das linhas não nulas e depois repita os passos (P1) e (P2) na próxima coluna da matriz Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 91. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Respondendo a primeira pergunta!!! Abaixo iremos apresentar um roteiro para a simplificação de um SEL. Porém, antes disso, organize as linhas da matriz de tal modo que o pivô de cada linha não nula ocorra à direita do pivô da linha imediatamente acima. (P1) Por meio de alguma operação elementar, transforme o primeiro pivô (de cima pra baixo) presente nessa coluna em 1. (P2) Anule todos os elementos abaixo desse pivô. (P3) Se, após os passos anteriores, não surgiram linhas nulas, repitas os passos (P1) e (P2) na próxima coluna da matriz. Caso contrário, coloque as linhas nulas abaixo das linhas não nulas e depois repita os passos (P1) e (P2) na próxima coluna da matriz ⋆ O procedimento acima estará finalizado quando encontramos uma matriz com as seguintes propriedades: Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 92. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Ao final do roteiro, encontra-se uma matriz com a seguinte forma: Matriz na forma escalonada ou escada Cada linha nula deve estar abaixo de todas as linhas não nulas; Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 93. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Ao final do roteiro, encontra-se uma matriz com a seguinte forma: Matriz na forma escalonada ou escada Cada linha nula deve estar abaixo de todas as linhas não nulas; Todo pivô é igual a 1; Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 94. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Ao final do roteiro, encontra-se uma matriz com a seguinte forma: Matriz na forma escalonada ou escada Cada linha nula deve estar abaixo de todas as linhas não nulas; Todo pivô é igual a 1; O pivô de cada linha não nula ocorre à direita do pivô da linha imediatamente acima; Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 95. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Ao final do roteiro, encontra-se uma matriz com a seguinte forma: Matriz na forma escalonada ou escada Cada linha nula deve estar abaixo de todas as linhas não nulas; Todo pivô é igual a 1; O pivô de cada linha não nula ocorre à direita do pivô da linha imediatamente acima; Se uma coluna contém um pivô, todos os elementos abaixo do pivô nessa coluna, são iguais a zero. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 96. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Ao final do roteiro, encontra-se uma matriz com a seguinte forma: Matriz na forma escalonada ou escada Cada linha nula deve estar abaixo de todas as linhas não nulas; Todo pivô é igual a 1; O pivô de cada linha não nula ocorre à direita do pivô da linha imediatamente acima; Se uma coluna contém um pivô, todos os elementos abaixo do pivô nessa coluna, são iguais a zero. Observação: 1 O processo de simplificação de um S.E.L. por meio das operações elementares é dito escalonamento. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 97. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Ao final do roteiro, encontra-se uma matriz com a seguinte forma: Matriz na forma escalonada ou escada Cada linha nula deve estar abaixo de todas as linhas não nulas; Todo pivô é igual a 1; O pivô de cada linha não nula ocorre à direita do pivô da linha imediatamente acima; Se uma coluna contém um pivô, todos os elementos abaixo do pivô nessa coluna, são iguais a zero. Observação: 1 O processo de simplificação de um S.E.L. por meio das operações elementares é dito escalonamento. 2 Se substituímos o passo (P2) por: (P2’) Anule todos os elementos da coluna desse pivô, ao final do escalonamento teremos uma matriz escalonada na forma reduzida. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 98. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Matriz na forma escalonada (ou escada) reduzida Cada linha nula deve estar abaixo de todas as linhas não nulas; Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 99. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Matriz na forma escalonada (ou escada) reduzida Cada linha nula deve estar abaixo de todas as linhas não nulas; Todo pivô é igual a 1; Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 100. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Matriz na forma escalonada (ou escada) reduzida Cada linha nula deve estar abaixo de todas as linhas não nulas; Todo pivô é igual a 1; O pivô de cada linha não nula ocorre à direita do pivô da linha anterior; Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 101. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Matriz na forma escalonada (ou escada) reduzida Cada linha nula deve estar abaixo de todas as linhas não nulas; Todo pivô é igual a 1; O pivô de cada linha não nula ocorre à direita do pivô da linha anterior; Se uma coluna contém um pivô, todos os elementos dessa coluna são iguais a zero. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 102. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Matriz na forma escalonada (ou escada) reduzida Cada linha nula deve estar abaixo de todas as linhas não nulas; Todo pivô é igual a 1; O pivô de cada linha não nula ocorre à direita do pivô da linha anterior; Se uma coluna contém um pivô, todos os elementos dessa coluna são iguais a zero. Exemplos Encontre o conjunto solução dos seguintes sistemas: (S1) : x + y + z = 3 2x + 3y + 7z = 0 x + 3y − 2z = 17 (S2) : x + 2y + z = 3 3x − y − 3z = −1 2x + 3y + z = 4 Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 103. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Algumas definições Chama-se escalonamento ou Método de Gauss-Jordan o processo de simplificação de um SEL por meio de operações elementares sobre linhas. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 104. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Algumas definições Chama-se escalonamento ou Método de Gauss-Jordan o processo de simplificação de um SEL por meio de operações elementares sobre linhas. Uma matriz Am×n é dita linha equivalente à Bm×n, se uma pode ser obtida da outra por meio de operações elementares (note que toda operação elementar é inversível). Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 105. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Algumas definições Chama-se escalonamento ou Método de Gauss-Jordan o processo de simplificação de um SEL por meio de operações elementares sobre linhas. Uma matriz Am×n é dita linha equivalente à Bm×n, se uma pode ser obtida da outra por meio de operações elementares (note que toda operação elementar é inversível). Considere uma matriz Am×n e seja Bm×n uma matriz na forma escalonada (ou escalonada reduzida), linha equivalente à A. Definimos como posto de A, e simbolizamos por p(A), o número de linhas não nulas de B. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 106. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Algumas definições Chama-se escalonamento ou Método de Gauss-Jordan o processo de simplificação de um SEL por meio de operações elementares sobre linhas. Uma matriz Am×n é dita linha equivalente à Bm×n, se uma pode ser obtida da outra por meio de operações elementares (note que toda operação elementar é inversível). Considere uma matriz Am×n e seja Bm×n uma matriz na forma escalonada (ou escalonada reduzida), linha equivalente à A. Definimos como posto de A, e simbolizamos por p(A), o número de linhas não nulas de B. O grau de liberdade de um SEL de n incógnitas é definido sendo o número n − p(A). Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 107. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Exercícios Encontre o conjunto solução dos seguintes sistemas: x + y + z = 4 2x + 5y − 2z = 3 x + 7y − 7z = 5 x + 2y + 3z = 0 2x + y + 3z = 0 3x + 2y + z = 0 Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 108. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Vimos exemplos em que o S.E.L tinha única solução (Possível e determinado). Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 109. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Vimos exemplos em que o S.E.L tinha única solução (Possível e determinado). Exemplo Encontre o conjunto solução do S.E.L. abaixo: x + 3y + 13z = 9 y + 5z = 2 −2y − 10z = −8 Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 110. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Vimos exemplos em que o S.E.L tinha única solução (Possível e determinado). Exemplo Encontre o conjunto solução do S.E.L. abaixo: x + 3y + 13z = 9 y + 5z = 2 −2y − 10z = −8 Temos, em geral, que: Observação Um S.E.L. não tem solução (impossível) ⇕ a última linha não-nula da forma escalonada reduzida for da forma [0 · · · 0|b′ m] com b′ m ̸= 0. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 111. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Exemplo Encontre o conjunto solução do S.E.L. abaixo: 3z − 9w = 6 5x + 15y − 10z + 40w = −45 x + 3y − z + 5w = −7 Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 112. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Exemplo Encontre o conjunto solução do S.E.L. abaixo: 3z − 9w = 6 5x + 15y − 10z + 40w = −45 x + 3y − z + 5w = −7 As variáveis que não estão associadas a pivôs são variáveis livres. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 113. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Exemplo Encontre o conjunto solução do S.E.L. abaixo: 3z − 9w = 6 5x + 15y − 10z + 40w = −45 x + 3y − z + 5w = −7 As variáveis que não estão associadas a pivôs são variáveis livres. Portanto, sempre que temos variáveis livres o S.E.L. possui Infinitas Soluções (possível e indeterminado). Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 114. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Proposição Um S.E.L AX = B que possui duas soluções distintas X1 e X2, possui infinitas soluções. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 115. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Proposição Um S.E.L AX = B que possui duas soluções distintas X1 e X2, possui infinitas soluções. Exemplo Determine os valores de a para que o S.E.L. tenha única solução, infinitas soluções e nenhuma solução. x + 2y − 3z = 4 3x − y + 5z = 2 4x + y + (a2 − 14)z = a + 2 Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 116. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Definição Um S.E.L AX = B, em que Bm×1 = Om×1, é dito sistema de equações lineares homogêneo (S.E.L.H). Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 117. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Definição Um S.E.L AX = B, em que Bm×1 = Om×1, é dito sistema de equações lineares homogêneo (S.E.L.H). Observações: Seja AX = Om×1 um S.E.L.H. em que A é de ordem m × n. (i) AX = O possui pelo menos a n-upla (0, 0, ...0) como solução. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 118. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Definição Um S.E.L AX = B, em que Bm×1 = Om×1, é dito sistema de equações lineares homogêneo (S.E.L.H). Observações: Seja AX = Om×1 um S.E.L.H. em que A é de ordem m × n. (i) AX = O possui pelo menos a n-upla (0, 0, ...0) como solução. (ii) AX = O possui única solução ou infinitas soluções. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 119. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Definição Um S.E.L AX = B, em que Bm×1 = Om×1, é dito sistema de equações lineares homogêneo (S.E.L.H). Observações: Seja AX = Om×1 um S.E.L.H. em que A é de ordem m × n. (i) AX = O possui pelo menos a n-upla (0, 0, ...0) como solução. (ii) AX = O possui única solução ou infinitas soluções. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 120. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Observação Dado um Sistema Homogêneo a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0 . . . . . . · · · . . . . . . . . . am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0 sua matriz aumentada é: [A|0] = a11 a12 · · · a1n | 0 a21 a22 · · · a2n | 0 . . . . . . · · · . . . | . . . am1 am2 · · · amn | 0 Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 121. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Teorema Se A = (aij )m×n, com m n, então o Sistema homogêneo AX = 0 tem infinitas soluções. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 122. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Teorema Se A = (aij )m×n, com m n, então o Sistema homogêneo AX = 0 tem infinitas soluções. Exemplo Encontre o conjunto solução do Sistema homogêneo −2x + y = 0 x − y + z = 0 y − 2z = 0 Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 123. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Proposição Seja A = (aij )m×n. Temos que: (i) Se X e Y são soluções de AX = 0 então X + Y também é solução; Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear
- 124. Apresentações Informações Relevantes Matrizes Operações com matrizes e propriedades Sistemas de Equações Lineares Existência e número de soluções Sistema Homogêneo Proposição Seja A = (aij )m×n. Temos que: (i) Se X e Y são soluções de AX = 0 então X + Y também é solução; (ii) Se X é solução de AX = 0 então αX também é solução para todo α ∈ R. Prof. Luiz Gustavo GAAL - Geometria Analítica e Álgebra Linear