1. O documento apresenta uma introdução à estatística e econometria, abordando conceitos como correlação, casualidade, teste t de Student e regressão linear múltipla. 2. A parte teórica discute a diferença entre correlação e casualidade e quando usar o teste t, enquanto a parte prática inclui análise descritiva, inferência estatística e regressão. 3. O documento fornece uma base conceitual para entender métodos estatísticos comuns usados em econometria.

1. UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE
Faculdade de Ciências
Deparamento de Matemática e Informática
vi™en™i—tur— em ist—tísti™—
i™onometri—
Análise de Regressão linear múltipla - Extensão à
outras formas funcionais
ho™enteX
hrF rerl—nder x—mui™heD ws™F
his™entesX
eri—no wilh—res w—tinoY
pern—ndo em—r—l pilipe tuniorY
€into pern—ndo wudum˜eY
yrnelle toel xh—™—
w—putoD w—rço de PHIS

2. UEM-DMI Trabalho prático I - Econometria P
Conteúdo
1 Parte I: Teoria 3
IFI gorrel—ção vsF g—su—lid—de F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Q
IFP O facto de que 50% dos pacientes internados no hospital X morrerem im-
plica que o hospital esteja a trabalhar mal. F F F F F F F F F F F F F F F F F Q
IFQ „este t @studentA F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F R
IFQFI gon™eito F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F R
IFQFP u—ndo us—r o teste F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F R
IFQFQ g—r—™teristi™—s F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F R
IFQFR irros envolvidos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F R
IFQFS ‚egr— α e v—lor ™rití™o F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F S
IFQFT „este unil—ter—l vsF fil—ter—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F T
IFR invies—mento vs gonsistên™i— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F T
IFS welhor estim—dor vine—r não envies—do F F F F F F F F F F F F F F F F F F F T
2 Parte II: Prática 8
PFI enálise dis™ritiv— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F V
PFP snferên™i— est—tísti™— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F W
PFQ enálise de ‚egressão F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F W
3 Códigos em STATA 13

3. UEM-DMI Trabalho prático I - Econometria Q
1 Parte I: Teoria
1.1 Correlação vs. Casualidade
ys ™on™eitos de ™orrel—ção versus ™—su—lid—de são o tópi™o se não o —ssunto de v—ri—s
dis™ussões —™tu—lment— n— est—tísti™—F e™orrel—ção entre du—s v—riáveis ou eventos
não impli™— ne™ess—ri—mente um— rel—ção de ™—su—lid—deD ou sej—D o eento e ™—usou —
o™orrên™i— de f @vi™eEvers—AF xo ent—nto há que sustenter o f—™to de que se dois eventos
ou v—riáveis —present— um— rel—ção de ™—su—lid—de os mesmos são t—m˜ém ™orrel—™ion—dos
@re™ipro™o não é válidoAF
Conceito 1 (Correlação) refere-se a parte comun ou seja a ligação que um par de dados
ou eventos têm em comun.
Conceito 2 (Casualidade) se um par de dados ou eventos apresenta correlação, isto é
se A e B são correlacionados e A (B) é sucientemente capaz de explicar B (A), então os
dois pares apresenta uma relação de casualidade.
he form— — sustent—r os ™on™eitos —™m— tomemos o seguinte exemploX tom—Ese um— —mostr
de pesso—sD —not—Ese o número diário de hor—s que —s pesso—s veem televisão e medeEse os
seus pesos e —ltur—sF gheg—Ese — ™on™lusão de que existe um— rel—çãoentre —s du—s v—riáveisD
4quanto mais horas cam diante de TV, mais obesas sãoF ixiste um— relção m—temáti™—
entre o número de hor—s n— „† e o ex™esso de pesoF
im˜or— que ver „† estej— ™orrel—™ion—do — o˜esid—deD não é su(™iente per— inferir
que um @—A ™—us— o outro @—AD poisD existirão outros f—™tores diferentes dos já men™ion—dosF
1.2 O facto de que 50% dos pacientes internados no hospital X
morrerem implica que o hospital esteja a trabalhar mal.
e —(rm—ção em —nálise vem sustent—r — —rgument—ção feit— no exer™i™io —nteriorD pelo
que não ™on™ord—mos ™om — mesm—F é de se f—zer referên™i— — existên™i— de um— rel—ção
entre —m˜os —spe™tosF xo ent—nto p—r— —(rm—mos um— situ—ção de ™—su—lid—de há que
lev—r em ™onsider—ção outros f—™tores que poss—m est—r envolvidos n— morte dos p—™ientesF

4. UEM-DMI Trabalho prático I - Econometria R
1.3 Teste t (student)
1.3.1 Conceito
„r—t—Ese de um teste de hipótese que us— ™on™eitos est—tísti™os p—r— rejeit—r ou não um—
hipótese nul—D desde que o o˜je™to de teste sig— distri˜uição t de studentF
1.3.2 Quando usar o teste
• u—ndo não se s—˜e o desvio p—drão d—s popul—çõesY
• sdenti(™—r o t—m—nho d— áre— o˜tid— — p—rtir d— função de densid—de de pro˜lem—
d— distri˜uição t de studentY
• g—l™ul—r o v—lor d— v—riável tF
1.3.3 Caracteristicas
e distri˜uição t é um— distri˜uição de pro˜—˜ilid—de teóri™—F É simétri™—D ™—mp—niformeD
e semelh—nte — distri˜uição norm—l p—drãoD porém ™om ™—ud—s m—is l—rg—sD ou sej—D um—
simul—ção de t de student pode ger—r v—lores m—is extremos que um— simul—ção d— norm—lF
y úni™o p—râmetro v que de(ne e ™—r—™teriz— — su— form— é o número de graus de liberdadeF
u—nto m—ior for esse p—râmetroD m—is próximo d— norm—l el— seráF
1.3.4 Erros envolvidos
Natureza do estado
ripótese nul— é verd—deir— ripótese nul— é p—ls—
se ™on™lui que H0 é †erd—deir— he™isão ™orre™t— irro do „ipo ss
he™isão @xão rejeit—r H0A
se ™on™lui que H0 é p—ls— irro do tipo s he™isão gorre™t—
@‚ejeit—r H0A
„—˜el— IX u—dro de™isório
hevido —o poten™i—l erro —mostr—lD dois possíveis erros podem o™orrer —o f—zer o teste
de hipoteses ™om ˜—se no teste „F esses erros mostr—m — rel—™—ção entre o —™tu—l est—do e
— de™isão — o˜ter —tr—véz d— —mostr—F

5. UEM-DMI Trabalho prático I - Econometria S
essim ™omo qu—lquer outro testeD —o não rejeit—mos — hiótese nul— em momento —lgum
isso signi(™—ri— 4—™eit—r — hipotese4D pelo que no (m — noss— ™on™lusão deve ™onsistir
em rejeit—r@não rejeit—rA — hipotese nul—F f—l—r do teste „ qu—nto — rejeição ou não d—
hipótese nul— f—zEse refeên™i— —™er™— d— su— ro˜ustez no que t—nge —o erro do tipo sF im˜or—
o mesmo sej— sugerido —pli™—r ™om o não ™onhe™imento d— v—riân™i— popul—™ion—l um
—umento signi(™—tivo d— —mostr— ™onduzEnos — um— ro˜utez quer p—r— o erro do Tipo I
—ssim ™omo do Tipo IIF
1.3.5 Regra α e valor critíco
y o˜je™tivo do teste de hipóteses e f—zer o uso d— inform—ção ™ontid— n— —mostr— pr—
di™idir se rejeit—mos ou n£q—o — hipoteEse nul— so˜re o p—râmetro poupul—™ion—lF xo ent—nto
— mesm— de™isão ˜—sei—Ese em um— regr— —ssente no tipo de distri˜uição em ™—us—F
Conceito 3 (nível de signicância (α)) É a probabilidade maxima adimissivel de co-
meter o erro do tipo I
Conceito 4 (Valor crítico) É o valor correspondente ao nível de signicância que de-
termina se o teste estatístico tem como respósta a rejeição ou não da hipótese nula.
• ƒe o v—lor do tcalculado em —˜soluto for superior —o v—lor do tcrtico ™om ˜—se —o nível
de signi(™ân™i— es™olhido não rejeit—Ese H0F
• ƒe o tcalculado em —˜soluto for infriorimente igu—l —o tcrtico ˜—sei—do no nível de signiE
(™ân™i— rejeit—mos H0
Conceito 5 (p-value) O p-value (valor de probabilidade), associado ao valor calculado do
teste estatístico é denido como o mais baixo nível de signicância com o qual a hipótese
nula pode ser rejeitada, dado o valor calculado teste em causa.
• ƒe o pEv—lue ™—l™ul—do p—r— — —mostr— é menor que o nível de signi(™ân™i— es™olhido
αD rejeit—Ese — hipoteEse nul— — esse nível de sigini(™ân™i—F
pEv—lue ` α =⇒ rejeit—r H0 — esse nível de signi(™ân™i—F
• ƒe o pEv—lue ™—l™ul—do p—r— — —mostr— é m—ior ou igu—l —o nível de signi(™ân™i—
es™olhido α m—ntenEse @iFeF há não rejeição de H0A — esse nível de signi(™ân™i—F
pEv—lue ≥ α =⇒ m—ntenEse H0 — esse nível de signi(™ân™i—

6. UEM-DMI Trabalho prático I - Econometria T
1.3.6 Teste unilateral vs. Bilateral
Conceito 6 (Unilateral) Verca-se tal situação se a região de rejeição está somente em
uma das caudas de rejeição. H0 : µ1 = µ2 vs. H1 : µ1 ()µ2
Conceito 7 (Bilateral) Verca-se tal situação se a região de rejeição se distribui igual-
mente em ambas as caudas de distribuição. H0 : µ1 = µ2 vs. H1 : µ1 = µ2
essimD se estivermos interess—dos em mostr—r que um p—râmetro é signi(™—tiv—mente
superior ou inferior — um determin—do v—lorD teremos que re—liz—r um teste unil—ter—l e
teremos um— úni™— região de rejeiçãoD do t—m—nho do nível de signi(™ân™i— (x—doF w—s seD
no ent—ntoD estivermos interess—dos em mostr—r que um determin—do p—râmetro é diferente
de um determin—do v—lor @sem espe™i(™—r se inferior ou superiorA teremos que re—liz—r um
teste ˜il—ter—l e — região de rejeição será dividid— em du—s p—rtes igu—isD n—s extremid—des
d— ™urv— do testeD em que ™—d— região de rejeição terá met—de do nível de signi(™ân™i—F
1.4 Enviesamento vs Consistência
hizer que um estim—dor é envies—do signi(™— que — su— distri˜uição não está ™entr—d— em
volt— do p—râmetro de interesseF
E(ˆβ) = βF
…m estim—dor ™onsistente é —quele que — su— distri˜uição (™— tot—lmente ™entr—d— —o
p—râmetro popul—™ion—l qu—ndo —ument—mos o t—m—nho d— —mostr—D isto éD qu—ndo n tende
p—r— o in(nito Xlim(ˆβ) = βF …m— ™ondição p—r— que isso —™onteç— @™ondição ne™essári— m—s
não su(™ienteA é port—nto que V ar(ˆβ) = 0 n −→∝F
…m— not— import—nte é que um estim—dor pode ser envies—do m—s se ™om o —umento
do t—m—nho n— —mostr— nD ele (™— ™entr—do dizemos que é ™onsistenteD port—ntoD não há
nenhum— interdependên™i— entre —s du—s propried—desF
1.5 Melhor estimador Linear não enviesado
essumindo que os v—lores xIDFFFDxn sej—m ™onhe™idos e (xosF i —ind— v—lores yIDFFFDyn
o˜serv—dos de v—riáveis —le—óri—s não ™orrel—™ion—d—s ‰IDFFFD‰nF e rel—™ão line—r —ssumid—

7. UEM-DMI Trabalho prático I - Econometria U
entre —s v—riáveis x9s e y9s éX
EYi = α + βxi
D i = 1, · · · , n
™om v—riân™i— V arYi = σ2
xão existe ™on™ordân™i— em σ2
porque de —ntemão —ssumimos que p—r— todos YisD teE
mos — mesm— v—riân™i— @des™onhe™id—AF —s suposições —™er™— dos dois primeiros momentos
dos Yis são —s uni™—s suposições ne™essári—s de modo — pro™eder ™om — deriv—çãoF
€or exemplo não pre™is—mos espe™i(™—r — distri˜uição de pro˜—˜ili—dde p—r— os YisF o
mesmo modelo pode ser es™rito —ssumindo — existên™i— de f—™tores não mensur—dos pel—s
v—riáveis que o ™ompõemD isto e¡X
EYi = α + βxi
+ εiD i = 1, · · · , n
™om V arεi = σ2
e Eεi
= 0
ys erros são —le—tóriosF desde que Yi depend—m dos erros e os mesmos não ™orrel—™iE
on—dosD os Yi são t—m˜ém não ™orrel—™ion—dosF im sum—D —o ™onstruir estim—dores p—r—
α e βD restringimos — —tenção — ™l—sse dos estim—dores line—resF
ys estim—dores serão 4melhores4D se tiverem — menor v—riân™i— entre todos os estiE
m—dores não envies—dosF ƒimil—rmente serão ™onsider—dos os β9s em wy os melhores
estim—dores line—res não envies—dos @fv…i E ˜est line—r un˜i—sed estim—torA se tr—t—rEse
do estim—dor line—r ™om in(m— v—riân™i— de entre os dem—isF

8. UEM-DMI Trabalho prático I - Econometria V
2 Parte II: Prática
2.1 Análise discritiva
†—ri—˜le y˜s we—n ƒtdF hevF win w—x
pri™e QPI WTIHHFTT RQPPQFUQ PTHHH QHHHHH
„—˜el— PX hes™rição d— v—riável preço
ys v—lores —™im— lev—mEnos — ™rer n— possível existên™i— de v—lores —típi™os —o que
t—nge —o preço d—s ™—s—s pois p—r— um— médi— WTIHHFTT em˜or— m—ior que o preço minímo
existe em ™ontr—p—rtid— um v—lor rel—tiv—mente —lto p—r— o preço m—xímo o que nos lev—
— ™rer que — de(nição do mesmo lev— em ™ont— vários f—™toresF
IWUVD
IWVI preqF
IWUV IUW
IWVI IRP
„—˜el— QX xúmero de ™—s—s vendid—s por —no
ys result—dos em „—˜el— QD mostr—m ™l—r—mente que — vend— de ™—s—s foi m—ior em
IWUVF
b ye—r a IWUV
†—ri—˜le y˜s we—n ƒtdF hevF win w—x
pri™e IUW UTTPVFHR QHTPTFRR PTHHH QHHHHH
b ye—r a IWVI
†—ri—˜le y˜s we—n ƒtdF hevF win w—x
pri™e IRP IPHTRUFI RRQSWFVW RIHHH PUHHHH
„—˜el— RX hes™rição dos perços por —no de vend—
ys result—dos mostr—m que em IWUV vendeuEse m—is ™—s—s — um preço rel—tiv—mente
m—ior em ™omp—r—ção —o —no de IWVI quer em v—lores médios —im ™omo ™omp—r—ndos os
seus v—lores m—xímos de vend—F †—lores referentes —o desvio p—drão lev—m — ™rer que —s

9. UEM-DMI Trabalho prático I - Econometria W
™—s—s em˜o˜or— ™om m—ior número de vend—s est—v—m rel—tiv—mente m—is ™—r—s qu—ndo
™omp—r—do —o —no de IWVIF
2.2 Inferência estatística
ƒej— n = 321D µ = 96100.66 Dσ = 43223.73D α = 0.05 test—ndoX
H0X y preço médio de vend— d—s ™—s—s do ™onjunto de d—dos não é diferente de 6IHHFHHH
H1X y preço médio de vend— em o ™onjunto de d—dos é menor que 6IHHFHHHF
tcalculado =
µteste − µ
σ2
n
essim tcalculado = 1.6162 o que — um α = 0.05D o˜serv—Ese que tcalculado = 1.6162 menor
que tcritco = 1.649614D deste modo não rejeit—mos — hipótese nul— de que y preço médio de
vend— d—s ™—s—s do ™onjunto de d—dos não é diferente de 6IHHFHHHF
egor— im—ginemos — possi˜ilid—de de ™omp—r—ção d— médi— dos preços de vend— p—r—
os dois —nos —o mesmo nível de signi(™ân™i— (x—do —nteriorimenteX
qroup y˜s we—n ƒtdF irrF ƒtdF hevF ‘WS7 gonfF snterv—l“
IWUV IUW UTTPVFHR PPVWFIPV QHTPTFRR UPIIHFUP VIIRSFQT
IWVI IRP IPHTRUFI QUPPFT RRQSWFVW IIQPVUFV IPVHHTFS
™om˜ined QPI WTIHHFTT PRIPFSIQ RQPPQFUQ WIQSRFPU IHHVRUFI
di' ERRHIWFHW RIWRFSQ ESPPUIFSQ EQSUTTFTT
„—˜el— SX „este t p—r— diferenç—s d—s médi—s
roX di' a H vs r—X di' 3a H t a EIHFRWRR €r@|„| b |t|A a HFHHHH
€elos result—dos em „—˜el— SD existêm evidên™i—s su(™ientes p—r— — reijeção d— hótese
nul—D isto é — médi— dos preços de vend— de ™—s—s p—r— os dois —nos é diferenteF
2.3 Análise de Regressão
„endo em ™onsider—ção—s v—riáveis em —nálise —s que supost—ente podêm ter in)uên™i—
so˜re o preço de vend— sãoX

10. UEM-DMI Trabalho prático I - Econometria IH
• sd—de d— ™—s— @—geAY
• xúmero de qu—rtos n— ™—s— @roomsAY
• e distân™i— —té — termin—l de tr—nsportes @™˜dA
es v—riáveis es™olhid—s são — primeir— instân™i— sus™eptíveis — —ument—r o preço d— ™—s—F
xo ent—nto o mesmo não se pode dizer —™er™— d— v—riável 4—ge4D pois é de esper—r que ™—s—s
™om menor id—de estej—m m—is ™—r—s em rel—ção —s de m—ior id—deF wesm— —nálise podeEse
esper—r d— v—riável 4™˜d4D poisD qu—nto menor for — distân™i— d— ™—s— —té — termin—l de
tr—nsportes m—ior será o seu preço de vend—F
pigur— IX qrá(™o de dispersão p—r— —s v—riáveis es™olhid—s
y grá(™o —o l—do serve de refeên™i— n—quilo que seri— — —nálise de tendên™i—s p—r— — disE
tri˜uição dos d—dos e o ™omport—mento @—sso™i—ção dos d—dosAF É de o˜serv—r — —sso™i—ão
™l—r— entre o preço de vend— e —s dem—is v—riáveisD no ent—nto mesm— —nálise não se pode
f—zer —o preço vsF numeros de qu—rtosD isto é — disposição dos d—dos rel—tivos — ess— v—riável
não é de f—™il —nálise gr—(™—F

11. UEM-DMI Trabalho prático I - Econometria II
pri™e rooms ™˜d —ge
pri™e IFHHHH
rooms HFRRQI IFHHHH
HFHHHH
™˜d HFPPHT HFQHRI IFHHHH
HFHHHI HFHHHH
—ge EHFQQIW EHFHSIP EHFQWHQ IFHHHH
HFHHHH HFQTHT HFHHHH
„—˜el— TX gorrel—ções e su— signi(™ân™i—
€elos result—dos em „—˜el— TD not—Ese — um nível de signi(™ân™i— de α = 0.05D —s
v—riáveis es™olhid—s são ™orrel—™ion—d—s ™om o preço de vend— d— ™—s—D poisD os v—lores dos
seus sig9s são menores qu—ndo ™omp—r—dos ™om αF
xum˜er of o˜s QPI
p@ QD QIUA RQFVV
€ro˜ b p HFHHHH
‚Esqu—red HFPWQR
edj ‚Esqu—red HFPVTV
‚oot wƒi QTSHR
ys result—dos mostr—m que — um nível signi(™ân™i— de S7D que os ™oe(™ientes
pri™e goefF ƒtdF irrF t €bt ‘WS7 gonfF snterv—l“
—ge ERQIFPSUW TVFPTISW ETFQP HFHHH ESTSFSTHW EPWTFWSRW
™˜d EFIWHTQQR FPSWVVVS EHFUQ HFRTR EFUHIWSUU FQPHTWHV
rooms PIHQIFVV PQVQFWW VFVP HFHHH ITQRIFRR PSUPPFQP
•™ons EQITPSFQV ISIUIFUQ EPFHV HFHQV ETIRUSFR EIUUSFQUI
„—˜el— UX wodelo de regressão estim—do
dos modelo são est—tisti™—mente signi(™—tivosD ex™epto p—r— — v—riável 4™˜d4™omo er— de
esper—r — v—riável 4—ge4—present— um ™oe(™iente de el—sti™id—de neg—tivo semelh—nte —o
sin—l d— su— ™orrel—ção ™om — v—ri—ável em estudoD mesmo espe™t—tiv— tinh—Ese so˜re o

12. UEM-DMI Trabalho prático I - Econometria IP
™oe(™iente de el—sti™id—de d— v—riável 4™˜d4D no ent—nto esse result—do em˜or— neg—tivo o
mesmo ™ontr—diz —o que t—nge —o sin—l de seu ™oe(™iente de ™orrel—çãoF
y modelo em —nálise expli™— PVFT7 d—quilo é o preço de vend— d—s ™—s—sD o mesmo
poder sustent—do ™om v—lor d— est—tísti™— pD que — um nível de signi(™ân™i— de S7 v—lores
est—tísti™—mente signi(™—tivosF

13. UEM-DMI Trabalho prático I - Econometria IQ
3 Códigos em STATA
sum pri™e
t—˜le ye—r
t—˜le ye—r pri™e
˜y ye—rD sort X summ—rize pri™e
ttest pri™eD ˜y@ye—rA unequ—l
ttest pri™eD ˜y@ye—rA
regress pri™e rooms —ge ™˜d
gr—ph m—trix —ge ™˜d pri™e rooms