1) O documento discute o conceito de centro de massa para sistemas de pontos materiais.
2) O centro de massa é definido como o ponto em que a soma dos momentos de força de cada ponto material é nula, e também como o ponto em que, se suspendido um sistema de pontos, este fica em equilíbrio.
3) As coordenadas cartesianas do centro de massa são dadas por médias ponderadas das coordenadas de cada ponto material, onde os pesos são as respectivas massas.
1) O documento apresenta 10 exercícios sobre sistemas de partículas, incluindo o cálculo da velocidade do centro de massa, posição do centro de massa, quantidade de movimento e energia cinética de sistemas de duas ou mais partículas.
2) Os exercícios abordam conceitos como velocidade e aceleração do centro de massa, velocidade das partículas em relação ao centro de massa, quantidade de movimento e energia cinética em relação ao centro de massa.
3
O documento apresenta os conceitos fundamentais de vetores e operações vetoriais, como adição, subtração e decomposição de vetores. É introduzido o produto escalar para determinar o ângulo entre vetores e a projeção de um vetor sobre outro. Métodos para resolver problemas envolvendo forças coplanares são explicados, incluindo a determinação da resultante de um sistema de forças.
O Movimento Down acaba de lançar a versão revisada e ampliada do
Guia de Estimulação para Bebês com Síndrome de Down.
Essa publicação traz novos exercícios, propostos pela fisioterapeuta Adriana Lima (Cresce Down) e com consultoria técnica da também fisioterapeuta Munique Dias (Rede Lucy Montoro).
O Guia de Estimulação para Bebês com Síndrome de Down (de 0 a 12 meses) pode ser baixado gratuitamente aqui.
O lançamento do guia aconteceu durante o 3º Cobrafin – Congresso Brasileiro de Fisioterapia Neurofuncional, realizado em Belo Horizonte, MG. O evento reuniu, entre os dias 17 e 19 de outubro de 2014, fisioterapeutas e estudantes de diferentes partes do país.
Parabéns!
Exame unificado de física 2011 2 solution17535069649
1) O documento apresenta 10 questões sobre física, cobrindo tópicos como mecânica clássica, relatividade, termodinâmica, eletromagnetismo e física quântica.
2) As questões envolvem cálculos de velocidades, energias e momentos após colisões elásticas, equações de movimento em um cone, propriedades de moléculas diatômicas, propagação de ondas em plasma, equações de Maxwell, e derivação da lei de Stefan-Boltzmann usando termodinâ
La Unión Europea ha acordado un paquete de sanciones contra Rusia por su invasión de Ucrania. Las sanciones incluyen restricciones a los bancos rusos, la prohibición de exportaciones de alta tecnología a Rusia y la congelación de activos de oligarcas rusos. Los líderes de la UE esperan que estas medidas disuadan a Rusia de continuar su agresión militar contra Ucrania.
O documento discute a importância da antropometria na ergonomia para dimensionar espaços de trabalho e equipamentos de forma a proporcionar conforto e saúde aos trabalhadores, levando em conta as medidas e capacidades físicas da população. A antropometria inclui medidas morfológicas e funcionais do corpo humano estático e em movimento para adequar postos de trabalho à maioria dos trabalhadores.
Este documento resume os principais conceitos de força e movimento da física:
1) Define força, inércia, equilíbrio e as três leis de Newton;
2) Explica impulso, quantidade de movimento e o teorema do impulso;
3) Apresenta exemplos de exercícios sobre esses conceitos.
Este arquivo faz parte do banco de materiais do Blog Física no Enem: http://fisicanoenem.blogspot.com/ . A ideia é aumentar este banco, aos poucos e na medida do possível. Para isto, querendo ajudar, se houver erros, avise-nos: serão corrigidos. Lembre-se que em Word costumam ocorrer problemas de formatação. Se quiser contribuir ainda mais para o banco, envie a sua contribuição, em Word, o mais detalhada possível para ser capaz de Ensinar a quem precisa Aprender. Ela será disponibilizada também, com a devida referência ao autor. Pode ser uma questão resolvida, uma apostila, uma aula em PowerPoint, o link de onde você a colocou, se já estiver na rede. Comente à vontade no blog. Afinal, é justamente assim que ensinamos a nossos alunos.
1) O documento apresenta 10 exercícios sobre sistemas de partículas, incluindo o cálculo da velocidade do centro de massa, posição do centro de massa, quantidade de movimento e energia cinética de sistemas de duas ou mais partículas.
2) Os exercícios abordam conceitos como velocidade e aceleração do centro de massa, velocidade das partículas em relação ao centro de massa, quantidade de movimento e energia cinética em relação ao centro de massa.
3
O documento apresenta os conceitos fundamentais de vetores e operações vetoriais, como adição, subtração e decomposição de vetores. É introduzido o produto escalar para determinar o ângulo entre vetores e a projeção de um vetor sobre outro. Métodos para resolver problemas envolvendo forças coplanares são explicados, incluindo a determinação da resultante de um sistema de forças.
O Movimento Down acaba de lançar a versão revisada e ampliada do
Guia de Estimulação para Bebês com Síndrome de Down.
Essa publicação traz novos exercícios, propostos pela fisioterapeuta Adriana Lima (Cresce Down) e com consultoria técnica da também fisioterapeuta Munique Dias (Rede Lucy Montoro).
O Guia de Estimulação para Bebês com Síndrome de Down (de 0 a 12 meses) pode ser baixado gratuitamente aqui.
O lançamento do guia aconteceu durante o 3º Cobrafin – Congresso Brasileiro de Fisioterapia Neurofuncional, realizado em Belo Horizonte, MG. O evento reuniu, entre os dias 17 e 19 de outubro de 2014, fisioterapeutas e estudantes de diferentes partes do país.
Parabéns!
Exame unificado de física 2011 2 solution17535069649
1) O documento apresenta 10 questões sobre física, cobrindo tópicos como mecânica clássica, relatividade, termodinâmica, eletromagnetismo e física quântica.
2) As questões envolvem cálculos de velocidades, energias e momentos após colisões elásticas, equações de movimento em um cone, propriedades de moléculas diatômicas, propagação de ondas em plasma, equações de Maxwell, e derivação da lei de Stefan-Boltzmann usando termodinâ
La Unión Europea ha acordado un paquete de sanciones contra Rusia por su invasión de Ucrania. Las sanciones incluyen restricciones a los bancos rusos, la prohibición de exportaciones de alta tecnología a Rusia y la congelación de activos de oligarcas rusos. Los líderes de la UE esperan que estas medidas disuadan a Rusia de continuar su agresión militar contra Ucrania.
O documento discute a importância da antropometria na ergonomia para dimensionar espaços de trabalho e equipamentos de forma a proporcionar conforto e saúde aos trabalhadores, levando em conta as medidas e capacidades físicas da população. A antropometria inclui medidas morfológicas e funcionais do corpo humano estático e em movimento para adequar postos de trabalho à maioria dos trabalhadores.
Este documento resume os principais conceitos de força e movimento da física:
1) Define força, inércia, equilíbrio e as três leis de Newton;
2) Explica impulso, quantidade de movimento e o teorema do impulso;
3) Apresenta exemplos de exercícios sobre esses conceitos.
Este arquivo faz parte do banco de materiais do Blog Física no Enem: http://fisicanoenem.blogspot.com/ . A ideia é aumentar este banco, aos poucos e na medida do possível. Para isto, querendo ajudar, se houver erros, avise-nos: serão corrigidos. Lembre-se que em Word costumam ocorrer problemas de formatação. Se quiser contribuir ainda mais para o banco, envie a sua contribuição, em Word, o mais detalhada possível para ser capaz de Ensinar a quem precisa Aprender. Ela será disponibilizada também, com a devida referência ao autor. Pode ser uma questão resolvida, uma apostila, uma aula em PowerPoint, o link de onde você a colocou, se já estiver na rede. Comente à vontade no blog. Afinal, é justamente assim que ensinamos a nossos alunos.
2024 State of Marketing Report – by HubspotMarius Sescu
https://www.hubspot.com/state-of-marketing
· Scaling relationships and proving ROI
· Social media is the place for search, sales, and service
· Authentic influencer partnerships fuel brand growth
· The strongest connections happen via call, click, chat, and camera.
· Time saved with AI leads to more creative work
· Seeking: A single source of truth
· TLDR; Get on social, try AI, and align your systems.
· More human marketing, powered by robots
ChatGPT is a revolutionary addition to the world since its introduction in 2022. A big shift in the sector of information gathering and processing happened because of this chatbot. What is the story of ChatGPT? How is the bot responding to prompts and generating contents? Swipe through these slides prepared by Expeed Software, a web development company regarding the development and technical intricacies of ChatGPT!
Product Design Trends in 2024 | Teenage EngineeringsPixeldarts
The realm of product design is a constantly changing environment where technology and style intersect. Every year introduces fresh challenges and exciting trends that mold the future of this captivating art form. In this piece, we delve into the significant trends set to influence the look and functionality of product design in the year 2024.
How Race, Age and Gender Shape Attitudes Towards Mental HealthThinkNow
Mental health has been in the news quite a bit lately. Dozens of U.S. states are currently suing Meta for contributing to the youth mental health crisis by inserting addictive features into their products, while the U.S. Surgeon General is touring the nation to bring awareness to the growing epidemic of loneliness and isolation. The country has endured periods of low national morale, such as in the 1970s when high inflation and the energy crisis worsened public sentiment following the Vietnam War. The current mood, however, feels different. Gallup recently reported that national mental health is at an all-time low, with few bright spots to lift spirits.
To better understand how Americans are feeling and their attitudes towards mental health in general, ThinkNow conducted a nationally representative quantitative survey of 1,500 respondents and found some interesting differences among ethnic, age and gender groups.
Technology
For example, 52% agree that technology and social media have a negative impact on mental health, but when broken out by race, 61% of Whites felt technology had a negative effect, and only 48% of Hispanics thought it did.
While technology has helped us keep in touch with friends and family in faraway places, it appears to have degraded our ability to connect in person. Staying connected online is a double-edged sword since the same news feed that brings us pictures of the grandkids and fluffy kittens also feeds us news about the wars in Israel and Ukraine, the dysfunction in Washington, the latest mass shooting and the climate crisis.
Hispanics may have a built-in defense against the isolation technology breeds, owing to their large, multigenerational households, strong social support systems, and tendency to use social media to stay connected with relatives abroad.
Age and Gender
When asked how individuals rate their mental health, men rate it higher than women by 11 percentage points, and Baby Boomers rank it highest at 83%, saying it’s good or excellent vs. 57% of Gen Z saying the same.
Gen Z spends the most amount of time on social media, so the notion that social media negatively affects mental health appears to be correlated. Unfortunately, Gen Z is also the generation that’s least comfortable discussing mental health concerns with healthcare professionals. Only 40% of them state they’re comfortable discussing their issues with a professional compared to 60% of Millennials and 65% of Boomers.
Race Affects Attitudes
As seen in previous research conducted by ThinkNow, Asian Americans lag other groups when it comes to awareness of mental health issues. Twenty-four percent of Asian Americans believe that having a mental health issue is a sign of weakness compared to the 16% average for all groups. Asians are also considerably less likely to be aware of mental health services in their communities (42% vs. 55%) and most likely to seek out information on social media (51% vs. 35%).
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdfmarketingartwork
Creative operations teams expect increased AI use in 2024. Currently, over half of tasks are not AI-enabled, but this is expected to decrease in the coming year. ChatGPT is the most popular AI tool currently. Business leaders are more actively exploring AI benefits than individual contributors. Most respondents do not believe AI will impact workforce size in 2024. However, some inhibitions still exist around AI accuracy and lack of understanding. Creatives primarily want to use AI to save time on mundane tasks and boost productivity.
Organizational culture includes values, norms, systems, symbols, language, assumptions, beliefs, and habits that influence employee behaviors and how people interpret those behaviors. It is important because culture can help or hinder a company's success. Some key aspects of Netflix's culture that help it achieve results include hiring smartly so every position has stars, focusing on attitude over just aptitude, and having a strict policy against peacocks, whiners, and jerks.
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024Neil Kimberley
PepsiCo provided a safe harbor statement noting that any forward-looking statements are based on currently available information and are subject to risks and uncertainties. It also provided information on non-GAAP measures and directing readers to its website for disclosure and reconciliation. The document then discussed PepsiCo's business overview, including that it is a global beverage and convenient food company with iconic brands, $91 billion in net revenue in 2023, and nearly $14 billion in core operating profit. It operates through a divisional structure with a focus on local consumers.
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)contently
This document provides an overview of content methodology best practices. It defines content methodology as establishing objectives, KPIs, and a culture of continuous learning and iteration. An effective methodology focuses on connecting with audiences, creating optimal content, and optimizing processes. It also discusses why a methodology is needed due to the competitive landscape, proliferation of channels, and opportunities for improvement. Components of an effective methodology include defining objectives and KPIs, audience analysis, identifying opportunities, and evaluating resources. The document concludes with recommendations around creating a content plan, testing and optimizing content over 90 days.
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024Albert Qian
The document provides guidance on preparing a job search for 2024. It discusses the state of the job market, focusing on growth in AI and healthcare but also continued layoffs. It recommends figuring out what you want to do by researching interests and skills, then conducting informational interviews. The job search should involve building a personal brand on LinkedIn, actively applying to jobs, tailoring resumes and interviews, maintaining job hunting as a habit, and continuing self-improvement. Once hired, the document advises setting new goals and keeping skills and networking active in case of future opportunities.
A report by thenetworkone and Kurio.
The contributing experts and agencies are (in an alphabetical order): Sylwia Rytel, Social Media Supervisor, 180heartbeats + JUNG v MATT (PL), Sharlene Jenner, Vice President - Director of Engagement Strategy, Abelson Taylor (USA), Alex Casanovas, Digital Director, Atrevia (ES), Dora Beilin, Senior Social Strategist, Barrett Hoffher (USA), Min Seo, Campaign Director, Brand New Agency (KR), Deshé M. Gully, Associate Strategist, Day One Agency (USA), Francesca Trevisan, Strategist, Different (IT), Trevor Crossman, CX and Digital Transformation Director; Olivia Hussey, Strategic Planner; Simi Srinarula, Social Media Manager, The Hallway (AUS), James Hebbert, Managing Director, Hylink (CN / UK), Mundy Álvarez, Planning Director; Pedro Rojas, Social Media Manager; Pancho González, CCO, Inbrax (CH), Oana Oprea, Head of Digital Planning, Jam Session Agency (RO), Amy Bottrill, Social Account Director, Launch (UK), Gaby Arriaga, Founder, Leonardo1452 (MX), Shantesh S Row, Creative Director, Liwa (UAE), Rajesh Mehta, Chief Strategy Officer; Dhruv Gaur, Digital Planning Lead; Leonie Mergulhao, Account Supervisor - Social Media & PR, Medulla (IN), Aurelija Plioplytė, Head of Digital & Social, Not Perfect (LI), Daiana Khaidargaliyeva, Account Manager, Osaka Labs (UK / USA), Stefanie Söhnchen, Vice President Digital, PIABO Communications (DE), Elisabeth Winiartati, Managing Consultant, Head of Global Integrated Communications; Lydia Aprina, Account Manager, Integrated Marketing and Communications; Nita Prabowo, Account Manager, Integrated Marketing and Communications; Okhi, Web Developer, PNTR Group (ID), Kei Obusan, Insights Director; Daffi Ranandi, Insights Manager, Radarr (SG), Gautam Reghunath, Co-founder & CEO, Talented (IN), Donagh Humphreys, Head of Social and Digital Innovation, THINKHOUSE (IRE), Sarah Yim, Strategy Director, Zulu Alpha Kilo (CA).
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024Search Engine Journal
The search marketing landscape is evolving rapidly with new technologies, and professionals, like you, rely on innovative paid search strategies to meet changing demands.
It’s important that you’re ready to implement new strategies in 2024.
Check this out and learn the top trends in paid search advertising that are expected to gain traction, so you can drive higher ROI more efficiently in 2024.
You’ll learn:
- The latest trends in AI and automation, and what this means for an evolving paid search ecosystem.
- New developments in privacy and data regulation.
- Emerging ad formats that are expected to make an impact next year.
Watch Sreekant Lanka from iQuanti and Irina Klein from OneMain Financial as they dive into the future of paid search and explore the trends, strategies, and technologies that will shape the search marketing landscape.
If you’re looking to assess your paid search strategy and design an industry-aligned plan for 2024, then this webinar is for you.
5 Public speaking tips from TED - Visualized summarySpeakerHub
From their humble beginnings in 1984, TED has grown into the world’s most powerful amplifier for speakers and thought-leaders to share their ideas. They have over 2,400 filmed talks (not including the 30,000+ TEDx videos) freely available online, and have hosted over 17,500 events around the world.
With over one billion views in a year, it’s no wonder that so many speakers are looking to TED for ideas on how to share their message more effectively.
The article “5 Public-Speaking Tips TED Gives Its Speakers”, by Carmine Gallo for Forbes, gives speakers five practical ways to connect with their audience, and effectively share their ideas on stage.
Whether you are gearing up to get on a TED stage yourself, or just want to master the skills that so many of their speakers possess, these tips and quotes from Chris Anderson, the TED Talks Curator, will encourage you to make the most impactful impression on your audience.
See the full article and more summaries like this on SpeakerHub here: https://speakerhub.com/blog/5-presentation-tips-ted-gives-its-speakers
See the original article on Forbes here:
http://www.forbes.com/forbes/welcome/?toURL=http://www.forbes.com/sites/carminegallo/2016/05/06/5-public-speaking-tips-ted-gives-its-speakers/&refURL=&referrer=#5c07a8221d9b
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd Clark Boyd
Everyone is in agreement that ChatGPT (and other generative AI tools) will shape the future of work. Yet there is little consensus on exactly how, when, and to what extent this technology will change our world.
Businesses that extract maximum value from ChatGPT will use it as a collaborative tool for everything from brainstorming to technical maintenance.
For individuals, now is the time to pinpoint the skills the future professional will need to thrive in the AI age.
Check out this presentation to understand what ChatGPT is, how it will shape the future of work, and how you can prepare to take advantage.
The document provides career advice for getting into the tech field, including:
- Doing projects and internships in college to build a portfolio.
- Learning about different roles and technologies through industry research.
- Contributing to open source projects to build experience and network.
- Developing a personal brand through a website and social media presence.
- Networking through events, communities, and finding a mentor.
- Practicing interviews through mock interviews and whiteboarding coding questions.
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search IntentLily Ray
1. Core updates from Google periodically change how its algorithms assess and rank websites and pages. This can impact rankings through shifts in user intent, site quality issues being caught up to, world events influencing queries, and overhauls to search like the E-A-T framework.
2. There are many possible user intents beyond just transactional, navigational and informational. Identifying intent shifts is important during core updates. Sites may need to optimize for new intents through different content types and sections.
3. Responding effectively to core updates requires analyzing "before and after" data to understand changes, identifying new intents or page types, and ensuring content matches appropriate intents across video, images, knowledge graphs and more.
A brief introduction to DataScience with explaining of the concepts, algorithms, machine learning, supervised and unsupervised learning, clustering, statistics, data preprocessing, real-world applications etc.
It's part of a Data Science Corner Campaign where I will be discussing the fundamentals of DataScience, AIML, Statistics etc.
Time Management & Productivity - Best PracticesVit Horky
Here's my presentation on by proven best practices how to manage your work time effectively and how to improve your productivity. It includes practical tips and how to use tools such as Slack, Google Apps, Hubspot, Google Calendar, Gmail and others.
The six step guide to practical project managementMindGenius
The six step guide to practical project management
If you think managing projects is too difficult, think again.
We’ve stripped back project management processes to the
basics – to make it quicker and easier, without sacrificing
the vital ingredients for success.
“If you’re looking for some real-world guidance, then The Six Step Guide to Practical Project Management will help.”
Dr Andrew Makar, Tactical Project Management
2024 State of Marketing Report – by HubspotMarius Sescu
https://www.hubspot.com/state-of-marketing
· Scaling relationships and proving ROI
· Social media is the place for search, sales, and service
· Authentic influencer partnerships fuel brand growth
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· Time saved with AI leads to more creative work
· Seeking: A single source of truth
· TLDR; Get on social, try AI, and align your systems.
· More human marketing, powered by robots
ChatGPT is a revolutionary addition to the world since its introduction in 2022. A big shift in the sector of information gathering and processing happened because of this chatbot. What is the story of ChatGPT? How is the bot responding to prompts and generating contents? Swipe through these slides prepared by Expeed Software, a web development company regarding the development and technical intricacies of ChatGPT!
Product Design Trends in 2024 | Teenage EngineeringsPixeldarts
The realm of product design is a constantly changing environment where technology and style intersect. Every year introduces fresh challenges and exciting trends that mold the future of this captivating art form. In this piece, we delve into the significant trends set to influence the look and functionality of product design in the year 2024.
How Race, Age and Gender Shape Attitudes Towards Mental HealthThinkNow
Mental health has been in the news quite a bit lately. Dozens of U.S. states are currently suing Meta for contributing to the youth mental health crisis by inserting addictive features into their products, while the U.S. Surgeon General is touring the nation to bring awareness to the growing epidemic of loneliness and isolation. The country has endured periods of low national morale, such as in the 1970s when high inflation and the energy crisis worsened public sentiment following the Vietnam War. The current mood, however, feels different. Gallup recently reported that national mental health is at an all-time low, with few bright spots to lift spirits.
To better understand how Americans are feeling and their attitudes towards mental health in general, ThinkNow conducted a nationally representative quantitative survey of 1,500 respondents and found some interesting differences among ethnic, age and gender groups.
Technology
For example, 52% agree that technology and social media have a negative impact on mental health, but when broken out by race, 61% of Whites felt technology had a negative effect, and only 48% of Hispanics thought it did.
While technology has helped us keep in touch with friends and family in faraway places, it appears to have degraded our ability to connect in person. Staying connected online is a double-edged sword since the same news feed that brings us pictures of the grandkids and fluffy kittens also feeds us news about the wars in Israel and Ukraine, the dysfunction in Washington, the latest mass shooting and the climate crisis.
Hispanics may have a built-in defense against the isolation technology breeds, owing to their large, multigenerational households, strong social support systems, and tendency to use social media to stay connected with relatives abroad.
Age and Gender
When asked how individuals rate their mental health, men rate it higher than women by 11 percentage points, and Baby Boomers rank it highest at 83%, saying it’s good or excellent vs. 57% of Gen Z saying the same.
Gen Z spends the most amount of time on social media, so the notion that social media negatively affects mental health appears to be correlated. Unfortunately, Gen Z is also the generation that’s least comfortable discussing mental health concerns with healthcare professionals. Only 40% of them state they’re comfortable discussing their issues with a professional compared to 60% of Millennials and 65% of Boomers.
Race Affects Attitudes
As seen in previous research conducted by ThinkNow, Asian Americans lag other groups when it comes to awareness of mental health issues. Twenty-four percent of Asian Americans believe that having a mental health issue is a sign of weakness compared to the 16% average for all groups. Asians are also considerably less likely to be aware of mental health services in their communities (42% vs. 55%) and most likely to seek out information on social media (51% vs. 35%).
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdfmarketingartwork
Creative operations teams expect increased AI use in 2024. Currently, over half of tasks are not AI-enabled, but this is expected to decrease in the coming year. ChatGPT is the most popular AI tool currently. Business leaders are more actively exploring AI benefits than individual contributors. Most respondents do not believe AI will impact workforce size in 2024. However, some inhibitions still exist around AI accuracy and lack of understanding. Creatives primarily want to use AI to save time on mundane tasks and boost productivity.
Organizational culture includes values, norms, systems, symbols, language, assumptions, beliefs, and habits that influence employee behaviors and how people interpret those behaviors. It is important because culture can help or hinder a company's success. Some key aspects of Netflix's culture that help it achieve results include hiring smartly so every position has stars, focusing on attitude over just aptitude, and having a strict policy against peacocks, whiners, and jerks.
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024Neil Kimberley
PepsiCo provided a safe harbor statement noting that any forward-looking statements are based on currently available information and are subject to risks and uncertainties. It also provided information on non-GAAP measures and directing readers to its website for disclosure and reconciliation. The document then discussed PepsiCo's business overview, including that it is a global beverage and convenient food company with iconic brands, $91 billion in net revenue in 2023, and nearly $14 billion in core operating profit. It operates through a divisional structure with a focus on local consumers.
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)contently
This document provides an overview of content methodology best practices. It defines content methodology as establishing objectives, KPIs, and a culture of continuous learning and iteration. An effective methodology focuses on connecting with audiences, creating optimal content, and optimizing processes. It also discusses why a methodology is needed due to the competitive landscape, proliferation of channels, and opportunities for improvement. Components of an effective methodology include defining objectives and KPIs, audience analysis, identifying opportunities, and evaluating resources. The document concludes with recommendations around creating a content plan, testing and optimizing content over 90 days.
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024Albert Qian
The document provides guidance on preparing a job search for 2024. It discusses the state of the job market, focusing on growth in AI and healthcare but also continued layoffs. It recommends figuring out what you want to do by researching interests and skills, then conducting informational interviews. The job search should involve building a personal brand on LinkedIn, actively applying to jobs, tailoring resumes and interviews, maintaining job hunting as a habit, and continuing self-improvement. Once hired, the document advises setting new goals and keeping skills and networking active in case of future opportunities.
A report by thenetworkone and Kurio.
The contributing experts and agencies are (in an alphabetical order): Sylwia Rytel, Social Media Supervisor, 180heartbeats + JUNG v MATT (PL), Sharlene Jenner, Vice President - Director of Engagement Strategy, Abelson Taylor (USA), Alex Casanovas, Digital Director, Atrevia (ES), Dora Beilin, Senior Social Strategist, Barrett Hoffher (USA), Min Seo, Campaign Director, Brand New Agency (KR), Deshé M. Gully, Associate Strategist, Day One Agency (USA), Francesca Trevisan, Strategist, Different (IT), Trevor Crossman, CX and Digital Transformation Director; Olivia Hussey, Strategic Planner; Simi Srinarula, Social Media Manager, The Hallway (AUS), James Hebbert, Managing Director, Hylink (CN / UK), Mundy Álvarez, Planning Director; Pedro Rojas, Social Media Manager; Pancho González, CCO, Inbrax (CH), Oana Oprea, Head of Digital Planning, Jam Session Agency (RO), Amy Bottrill, Social Account Director, Launch (UK), Gaby Arriaga, Founder, Leonardo1452 (MX), Shantesh S Row, Creative Director, Liwa (UAE), Rajesh Mehta, Chief Strategy Officer; Dhruv Gaur, Digital Planning Lead; Leonie Mergulhao, Account Supervisor - Social Media & PR, Medulla (IN), Aurelija Plioplytė, Head of Digital & Social, Not Perfect (LI), Daiana Khaidargaliyeva, Account Manager, Osaka Labs (UK / USA), Stefanie Söhnchen, Vice President Digital, PIABO Communications (DE), Elisabeth Winiartati, Managing Consultant, Head of Global Integrated Communications; Lydia Aprina, Account Manager, Integrated Marketing and Communications; Nita Prabowo, Account Manager, Integrated Marketing and Communications; Okhi, Web Developer, PNTR Group (ID), Kei Obusan, Insights Director; Daffi Ranandi, Insights Manager, Radarr (SG), Gautam Reghunath, Co-founder & CEO, Talented (IN), Donagh Humphreys, Head of Social and Digital Innovation, THINKHOUSE (IRE), Sarah Yim, Strategy Director, Zulu Alpha Kilo (CA).
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024Search Engine Journal
The search marketing landscape is evolving rapidly with new technologies, and professionals, like you, rely on innovative paid search strategies to meet changing demands.
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You’ll learn:
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5 Public speaking tips from TED - Visualized summarySpeakerHub
From their humble beginnings in 1984, TED has grown into the world’s most powerful amplifier for speakers and thought-leaders to share their ideas. They have over 2,400 filmed talks (not including the 30,000+ TEDx videos) freely available online, and have hosted over 17,500 events around the world.
With over one billion views in a year, it’s no wonder that so many speakers are looking to TED for ideas on how to share their message more effectively.
The article “5 Public-Speaking Tips TED Gives Its Speakers”, by Carmine Gallo for Forbes, gives speakers five practical ways to connect with their audience, and effectively share their ideas on stage.
Whether you are gearing up to get on a TED stage yourself, or just want to master the skills that so many of their speakers possess, these tips and quotes from Chris Anderson, the TED Talks Curator, will encourage you to make the most impactful impression on your audience.
See the full article and more summaries like this on SpeakerHub here: https://speakerhub.com/blog/5-presentation-tips-ted-gives-its-speakers
See the original article on Forbes here:
http://www.forbes.com/forbes/welcome/?toURL=http://www.forbes.com/sites/carminegallo/2016/05/06/5-public-speaking-tips-ted-gives-its-speakers/&refURL=&referrer=#5c07a8221d9b
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd Clark Boyd
Everyone is in agreement that ChatGPT (and other generative AI tools) will shape the future of work. Yet there is little consensus on exactly how, when, and to what extent this technology will change our world.
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Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search IntentLily Ray
1. Core updates from Google periodically change how its algorithms assess and rank websites and pages. This can impact rankings through shifts in user intent, site quality issues being caught up to, world events influencing queries, and overhauls to search like the E-A-T framework.
2. There are many possible user intents beyond just transactional, navigational and informational. Identifying intent shifts is important during core updates. Sites may need to optimize for new intents through different content types and sections.
3. Responding effectively to core updates requires analyzing "before and after" data to understand changes, identifying new intents or page types, and ensuring content matches appropriate intents across video, images, knowledge graphs and more.
A brief introduction to DataScience with explaining of the concepts, algorithms, machine learning, supervised and unsupervised learning, clustering, statistics, data preprocessing, real-world applications etc.
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Centrodemassa
1. T EMA ESPECIAL — CENTRO DE MASSA 1
O s Fu n d a mentos da F í si ca
(8 a edição)
RAMALHO, NICOLAU E TOLEDO
Tema especial
CENTRO DE MASSA
1. Centro de gravidade e centro de massa, 1
2. Propriedade da concentração de massas, 3
3. Propriedade de simetria, 4
4. Velocidade do centro de massa, 7
5. Aceleração do centro de massa, 7
1. CENTRO DE GRAVIDADE E CENTRO DE MASSA
Considere dois pontos materiais, 1 e 2, de pesos P1 e P2, localizados num eixo horizontal Ox. Sejam
Editora Moderna Ltda.
x1 e x2, respectivamente, suas abscissas (figura 1). Vamos localizar um ponto C do eixo Ox, de abscissa xC,
em relação ao qual é nula a soma dos momentos de P1 e de P2.
x2
MP1 MP2 0
xC
P1d1 P2d2 0
x1
P1d1 P2d2
1 C 2
O m1 m2 x P1(xC x1) P2(x2 xC)
P2 (P1 P2)xC P1x1 P2x2
P1
d1 d2
P1x 1 P2 x 2
xC
Figura 1. P1 P2
O ponto C recebe o nome de centro de gravidade do sistema de pontos
materiais 1 e 2.
Se os pontos 1 e 2 estiverem localizados numa barra de peso desprezível, 1 C 2
m1 m2
suspendendo-se a barra pelo ponto C, o sistema fica em equilíbrio (figura 2).
Considerando no local o campo gravitacional uniforme, isto é, a acelera- P2
P1
ção da gravidade g constante, e sendo m1 e m2 as massas dos pontos 1 e 2,
respectivamente, temos: Figura 2.
P1 m 1g e P2 m 2g
Substituindo-se as expressões e na expressão , temos:
m1gx 1 m2 gx 2 m1x 1 m2 x 2
xC ⇒ xC
m1g m2 g m1 m2
Neste caso, o centro de gravidade chama-se também centro de massa.
2. 2 O S F U N DA M E N TO S DA FÍSICA
Dado um sistema de pontos materiais de massas m1, m2, ..., mi, ..., mn e de z
mn
coordenadas cartesianas (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), ..., (xi, yi, zi), ..., (xn, yn, zn) que m1
definem as posições desses pontos (figura 3), temos de modo geral que a posi- mi
ção do centro de massa C é definida pelas coordenadas cartesianas (xC, yC, zC), m2 zi
dadas por: 0
y
n
xi
m1x 1 m2 x 2 ... mi x i ... mn x n
∑m x
i 1
i i
x
yi
xC ou x C n
m1 m2 ... mi ... mn Figura 3.
∑m
i 1
i
n
m1y 1 m2 y 2 ... mi y i ... mn y n
∑m y
i 1
i i
yC ou y C n
m1 m2 ... mi ... mn
∑m
i 1
i
n
m1z1 m2 z 2 ... mi z i ... mn z n
∑m z
i 1
i i
zC ou z C n
m1 m2 ... mi ... mn
∑m
i 1
i
Editora Moderna Ltda.
Observe que cada coordenada do centro de massa é uma média ponderada das correspondentes
coordenadas dos pontos materiais e os pesos da média são as respectivas massas.
Exercício Resolvido
R.1 Três pontos materiais, A, B e D, de massas iguais a m estão situados nas posi-
y (cm)
ções indicadas na figura ao lado. Determine as coordenadas do centro de
massa do sistema de pontos materiais. Bm
3
2
1
A m D m
0 1 2 3 4 x (cm)
Solução:
A abscissa do centro de massa C é dada por:
mx A mx B mx D
xC
m m m
Sendo xA 0, xB 2 cm e xD 4 cm, vem:
m 0 m 2 m 4
xC ⇒ xC 2 cm
3m
Para a ordenada do centro de massa C, temos:
my A my B myD
yC
m m m
Sendo yA 0, yB 3 cm e yD 0, vem:
m 0 m 3 m 0
yC ⇒ yC 1 cm
3m
Resposta: C (2 cm; 1 cm)
3. T EMA ESPECIAL — CENTRO DE MASSA 3
Exercícios Propostos
P.1 Cinco pontos materiais de massas iguais a m estão situados nas posições indicadas na figura. Determine as
coordenadas do centro de massa do sistema constituído pelos cinco pontos materiais.
y (cm)
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 x (cm)
P.2 Determine a posição do centro de massa C do sistema formado por
mA mB
duas partículas de massas mA e mB, fixas nas extremidades de uma A B
barra de peso desprezível.
60 cm
Analise os casos:
a) mA mB
b) mA 2mB
c) mA 5mB
Editora Moderna Ltda.
2. PROPRIEDADE DA CONCENTRAÇÃO DE MASSAS
Seja um sistema de pontos materiais de massas m1, m2, ..., mi, mi 1, ..., mn e com centro de massa C.
Vamos separar este sistema em dois outros sistemas:
• Um de massas m1, m2, ..., mi, de centro de massa C’ e de massa total m’ m1 m2 ... mi.
• E outro de massas mi 1, ..., mn, de centro de massa C” e de massa total m” mi 1 ... mn.
O centro de massa C do sistema todo é obtido a partir dos centros de massa C’ e C”, considerando
concentradas nesses pontos as massas m’ e m”, respectivamente. De fato:
i n
n i n
∑ mi x i ∑m x i i
∑ mi x i ∑ mi x i ∑ mi x i m’ 1
m’
m” i 1
m”
xC i 1
n
1
i
i 1
n
⇒ xC
m’ m”
∑m
i 1
i ∑m ∑m
1
i
i 1
i
i i
∑
1
mi x i ∑m x
i 1
i i
Mas: x C’ e x C”
m’ m”
Logo, substituindo-se as expressões e na expressão , temos:
m’ x C ’ m” x C ”
xC
m’ m”
Analogamente, demonstra-se para as coordenadas yC e zC que:
m’ y C ’ m” y C ” m’ z C ’ m” z C ”
yC e zC
m’ m” m’ m”
4. 4 O S F U N DA M E N TO S DA FÍSICA
3. PROPRIEDADE DE SIMETRIA
Se um sistema de pontos materiais admite um elemento de simetria, então o centro de massa do
sistema pertence a esse elemento. O elemento de simetria pode ser um ponto (centro de simetria), um
eixo ou um plano.
Vamos supor que um ponto O seja um centro de simetria. Provemos que O coincide com o centro
de massa. Considere o sistema de pontos materiais situados num plano e seja Oxy um sistema cartesiano
com origem no ponto O (figura 4). Se existe mixi, existe também mi ( xi ). Logo:
∑m x
∑m x
i i
0 ⇒ 0
∑m
i i
i
De modo análogo, temos:
∑m y i i
0, indicando que o ponto O coincide com o centro de massa C.
∑m i
y
mi
yi
xi
xi O x
yi
mi
Figura 4.
Editora Moderna Ltda.
Na figura 5, com base na propriedade de simetria, apresentamos o centro de massa C de alguns
corpos homogêneos. Observe que ele coincide com o centro geométrico desses corpos.
C
C C C C
Figura 5.
Por meio das propriedades dos itens 2 e 3, podemos determinar o centro de massa de uma placa
homogênea, de espessura constante e de massa m, como por exemplo a indicada na figura 6a.
Para tanto, dividimos a placa em duas partes, e , de massas m’ e m”, e pela propriedade de si-
metria localizamos os centros de massa C’ e C” destas partes (figura 6b). Pela propriedade da concentra-
ção de massas, concluímos que o centro de massa C da placa toda coincide com o centro de massa dos
pontos C’ e C”, cujas massas m’ e m” estão concentradas neles (figura 6c).
y y y
1
C' (m')
C'
yC C
2
m m''
m' C'' C'' (m'')
O x O x O xC x
(a) (b) (c)
Figura 6. O centro de massa C da placa de massa m pertence ao segmento de reta que passa
pelos pontos C’ (de massa m’) e C”(de massa m”).
5. T EMA ESPECIAL — CENTRO DE MASSA 5
Exercício Resolvido
R.2 Determine as coordenadas do centro de massa da placa homogênea de espessura constante, cujas dimensões
estão indicadas na figura.
y (cm)
2a
a
2a
a
0 3a x (cm)
Solução:
Vamos dividir a placa em dois quadrados. O primeiro, de lado 2a e cujo centro de massa é o ponto A de coorde-
nadas (a, a), e o segundo, de lado a e de centro de massa B cujas coordenadas são (2,5 a, 0,5 a).
y (cm)
2a
a
A
2a
B
a
Editora Moderna Ltda.
0 2a a x (cm)
A abscissa do centro de massa da placa toda é dada por:
mA x A mB x B
xC
mA mB
Como a placa é homogênea e de espessura constante, temos que as massas são proporcionais às respectivas
áreas, ou seja:
mA K AA e mB K AB
em que K é a constante de proporcionalidade.
Assim, substituindo-se as expressões e na expressão , temos:
K AA x A K AB x B AA x A AB x B
xC ⇒ xC
K AA K AB AA AB
Sendo AA (2 a)2 4 a2, AB a2, xA a e xB 2,5 a, vem:
4a2 a a2 2,5 a
xC ⇒ xC 1,3 a
4a2 a2
Para a ordenada do centro de massa, temos:
AA y A AB y B
yC
AA AB
Sendo yA a e yB 0,5a, resulta:
4a2 a a2 0,5 a
yC ⇒ yC 0,9 a
4a2 a2
Resposta: C (1,3a; 0,9a)
6. 6 O S F U N DA M E N TO S DA FÍSICA
Exercícios Propostos
P.3 Determine as coordenadas do centro de massa da placa homogê- y
nea e de espessura constante, cujas dimensões estão indicadas na 30 cm
figura.
10 cm
30 cm
5cm
0 x
10 cm
P.4 Três placas circulares idênticas, homogêneas, de espessura uni- y
forme e de raio R estão dispostas conforme a figura.
Determine as coordenadas do centro de massa do sistema consti-
tuído pelas três placas. R
R
x
R
Editora Moderna Ltda.
P.5 A ordenada do centro de massa de uma y y
placa triangular, homogênea e de espes- a
sura constante é igual a um terço da al-
tura (figura 1). Determine a ordenada
do centro de massa de uma placa trape- h h
C h
zoidal, homogênea e de espessura
3
constante, em função da altura h do 0 x 0 b x
trapézio e de suas bases a e b (figura 2).
Figura 1. Figura 2.
P.6 A placa circular, homogênea e de espessura constante, tem raio R y
e possui um furo circular de raio r. Determine, em função de r e R,
as coordenadas do centro de massa da placa.
R
r
x
R
2
P.7 A massa da Terra é aproximadamente 80 vezes a massa da Lua. A 60 R
distância entre os centros da Terra e da Lua é 60 R, em que R é o
raio da Terra. Determine a distância do centro da Terra ao centro
de massa do sistema Terra-Lua. R
Lua
Terra
7. T EMA ESPECIAL — CENTRO DE MASSA 7
4. VELOCIDADE DO CENTRO DE MASSA
Considere um sistema de pontos materiais cujas massas são m1, m2, ..., mn, e sejam v1, v2, ..., vn, res-
pectivamente, suas velocidades num certo instante. Neste instante, o centro de massa possui velocidade
vC dada por uma média ponderada das velocidades dos pontos materiais do sistema, sendo os pesos
dessa média as respectivas massas, ou seja:
m1v 1 m2 v 2 ... mn v n
vC
m1 m2 ... mn
Chamemos de m a massa total do sistema, isto é:
m m1 m2 ... mn
Substituindo-se a expressão na expressão , resulta:
mvC m1v1 m2v2 ... mnvn
Mas m1v1 m2v2 ... mnvn representa a quantidade de movimento total do sistema de pontos
materiais (Qsistema ). Logo:
Qsistema mvC
Portanto:
A quantidade de movimento de um sistema de pontos materiais é igual à quantidade de movi-
mento do centro de massa, considerando que toda a massa do sistema está concentrada nele.
Editora Moderna Ltda.
5. ACELERAÇÃO DO CENTRO DE MASSA
Considere um sistema de pontos materiais m1, m2, ..., mn, e sejam a1, a2, ..., an, respectivamente, suas
acelerações num certo instante. Neste instante, o centro de massa possui aceleração aC dada por uma
média ponderada das acelerações dos pontos materiais do sistema, sendo os pesos dessa média as res-
pectivas massas, ou seja:
m1a1 m2 a 2 ... mn a n
aC
m1 m2 ... mn
Seja m a massa total do sistema, isto é:
m m1 m2 ... mn
Substituindo-se a expressão na expressão , resulta:
maC m1a1 m2a2 ... mnan
Mas m1a1, m2 a2, ..., mnan representam, respectivamente, as forças resultantes F1, F2, ..., Fn, que agem
nos pontos materiais. Portanto:
maC F1 F2 ... Fn
Entretanto, F1 F2 ... Fn representa a resultante de todas as forças externas que agem no siste-
ma de pontos materiais (Fext.), uma vez que a resultante das forças que uma partícula do sistema exerce
sobre as outras (forças internas) é nula, devido ao princípio da ação e reação. Assim, temos:
Fext. maC
Portanto:
O centro de massa se move como se fosse uma partícula de massa igual à massa total do sistema
e sob ação da resultante das forças externas que atuam no sistema.
8. 8 O S F U N DA M E N TO S DA FÍSICA
Por exemplo, considere um corpo lançado obliquamente nas proximidades da superfície terrestre
(figura 7). Embora seus pontos descrevam um movimento complexo, o centro de massa (ponto marca-
do em vermelho) desloca-se como se fosse um ponto material de massa igual à massa do corpo e sob
ação do peso do corpo. Nestas condições, o centro de massa descreve uma trajetória parabólica em
relação à Terra.
Figura 7.
Como conseqüência das considerações anteriores, concluímos que:
As forças internas não alteram o movimento do centro de massa.
Quando um atleta pula de um trampolim, realizan-
do um salto ornamental, ele movimenta seus braços,
pernas e cabeça, alterando a posição do centro de mas-
Editora Moderna Ltda.
sa de seu corpo. As forças responsáveis por estas altera-
ções são internas e não alteram o movimento do centro
de massa, que descreve uma trajetória parabólica em
relação à Terra (figura 8).
Figura 8.
Exercícios Resolvidos
R.3 As partículas A e B, de massas m e 2 m, deslocam-se ao longo do eixo Ox,
vA vB
com velocidades escalares vA 5,0 m/s e vB 8,0 m/s.
Qual é a velocidade escalar do centro de massa? A B
Solução: Eixo adotado
A velocidade do centro de massa C é dada por:
mA v A mB v B
vC
mA mB
Como as velocidades vA e vB têm a mesma direção, a igualdade vetorial anterior transforma-se numa igualdade
escalar. Assim, vem:
mAv A m Bv B m 5,0 2m 8,0
vC ⇒ vC ⇒ vC 7,0 m/s
mA mB m 2m
Resposta: 7,0 m/s
9. T EMA ESPECIAL — CENTRO DE MASSA 9
R.4 As partículas A e B, de massas 1,5 kg e 1,0 kg, deslocam-se com velocidades vA e vB perpendi- A vA
mA
culares entre si e de módulos vA 2,0 m/s e vB 4,0 m/s.
Calcule o módulo da velocidade do centro de massa do sistema constituído pelas duas par-
tículas.
Solução:
vB
A quantidade de movimento de um sistema de pontos materiais é a quantidade de movimento
do centro de massa, considerando que toda massa do sistema está concentrada nele, ou seja:
Qsistema mvC mB
Vamos, inicialmente, determinar o módulo da quantidade de movimento do sistema em que: B
Qsistema QA QB
Cálculo de QA:
QA mAvA ⇒ QA 1,5 2,0 ⇒ QA 3,0 kg m/s
a
m
Cálculo de QB:
te
sis
QB 4,0 Kg m/s Q
QB mBvB ⇒ QB 1,0 4,0 ⇒ QB 4,0 kg m/s
No triângulo destacado na figura ao lado, temos:
Q2sistema QA QB ⇒ Q 2
2 2
sistema (3,0)2 (4,0)2 ⇒ Qsistema 5,0 kg m/s
Mas Qsistema mvC, em que m 1,5 kg 1,0 kg 2,5 kg QA 3,0 Kg m/s
Portanto: 5,0 2,5 vC ⇒ vC 2,0 m/s
Resposta: 2,0 m/s
R.5 As esferas A e B possuem massas m e 3m, respectivamente. A esfera A é abandonada de uma altura h 0,45 m
do solo e B está em repouso.
Seja g 10 m/s2 a aceleração da gravidade. Determine:
a) o módulo da aceleração do centro de massa do sistema constituído pelas esferas A e B, enquanto A estiver
em queda livre.
b) o módulo da velocidade do centro de massa do sistema, no instante em que a esfera A atinge o solo.
Editora Moderna Ltda.
A v0 0
g
h
B
Solução:
a) A aceleração do centro de massa é dada por:
mA a A mB a B
aC
mA mB
Sendo mA m, mB 3m, aA g e aB 0, vem:
mg mg g
aC ⇒ aC ⇒ aC
m 3m 4m 4
g 10
Em módulo, temos: aC ⇒ aC ⇒ aC 2,5 m/s2
4 4
b) A velocidade da esfera A no instante em que atinge o solo é:
vA 2gh ⇒ v A 2 10 0,45 ⇒ vA 3,0 m/s
A velocidade do centro de massa é dada por:
mA v A mB v B
vC
mA mB
Sendo vB 0, temos, em módulo:
m 3,0 3,0m
vC ⇒ vC ⇒ vC 0,75 m/s
m 3m 4m
Respostas: a) 2,5 m/s2; b) 0,75 m/s
10. 10 O S F U N DA M E N TO S DA FÍSICA
R.6 Duas partículas, A e B, de massas mA 0,1 kg e mB 0,4 kg, são abandona- A t 0 B
das no instante t 0, na posição indicada na figura.
a) Localize a posição do centro de massa das partículas no instante t 0. d 3m
b) Sabendo-se que as partículas se atraem, pois foram eletrizadas com
cargas elétricas de sinais opostos, a que distância da posição inicial da
partícula A ocorrerá a colisão? Considere o sistema isolado de forças
externas.
Solução:
a) Sendo xA 0 e xB 3 m, temos para o centro de massa C : A B
mA x A mB x B 0,1 0 0,4 3
xC ⇒ xC ⇒ xC 2,4 m 0 3 x (m)
mA mB 0,1 0,4
b) O sistema de partículas está isolado de forças externas. Como o centro de massa estava inicialmente em
repouso, pois as partículas foram abandonadas, ele permanece em repouso. Logo, a colisão ocorre exata-
mente na posição do centro de massa, isto é, a 2,4 m da posição inicial da partícula A:
A B
C
t 0
A B
C
t
A B
Instante
C da colisão
Editora Moderna Ltda.
Respostas: a) 2,4 m; b) 2,4 m
Exercícios Propostos
P.8 As partículas A e B, de massas m e 3m, deslocam-se na direção do eixo Ox, com velocidades de módulos
vA 10 m/s e vB 2,0 m/s. Determine o módulo da velocidade do centro de massa para cada um dos casos
abaixo:
a) vA v B
b) vA vB
A B A B
x x
P.9 (UFC-CE) Um conjunto de três partículas, todas de igual massa m, está situado na origem de um sistema de
coordenadas cartesianas xy. Em dado instante, uma delas é atirada na direção x, com velocidade constante
de módulo VX 9,0 m/s e outra é atirada na direção y, com velocidade constante de módulo Vy 12,0 m/s, fi-
cando a terceira em repouso na origem. Determine o módulo da velocidade do centro de massa do conjunto.
P.10 Num certo instante, duas partículas A e B possuem velocidades indicadas na figura. As partículas possuem
mesma massa e suas velocidades são iguais, em módulo, a 10 m/s. Determine, no instante considerado, o
módulo da velocidade do centro de massa do sistema constituído pelas duas partículas.
B m
60° vB
vA
60° 60°
A
m
11. T EMA ESPECIAL — CENTRO DE MASSA 11
P.11 (FEI-SP) Duas esferas, A e B, de massas MA 0,10 kg e MB 0,20 kg constituem um sistema físico A B
e não interagem entre si. Na esfera B atua uma força externa F constante e de intensidade 30 N.
Calcule:
a) Os módulos das acelerações das esferas A e B. F
b) O módulo da aceleração do centro de massa do sistema (AB).
P.12 (PUC-RJ) Duas partículas carregadas A e B estão inicialmente em repouso. A partícula B está à distância d 6,0 cm
da partícula A, que está na origem do sistema de coordenadas, como mostra a figura.
A B
0 6,0 d (cm)
A partícula A tem carga q e massa m.
A partícula B tem carga q e massa 2 m.
Considere as partículas constituindo um sistema físico isolado de forças externas.
A que distância da origem elas colidirão?
Exercícios Propostos de recapitulação
M
P.13 (UFPE) Duas partículas, de massa M1 M e M2 , estão presas por uma haste de comprimento L 48 cm
2
e massa desprezível, conforme a figura. Qual a distância, em centímetros, do centro de massa do sistema em
relação à posição da partícula de massa M1?
M1 M2
Editora Moderna Ltda.
L
P.14 (UFPE) A figura mostra uma estrutura vertical formada por três barras iguais, homogêneas e de espessuras
desprezíveis. Se o comprimento de cada barra é 90 cm, determine a altura, em centímetros, do centro de mas-
sa do sistema, em relação ao solo.
90 cm
P.15 (UnB) Na figura abaixo, que representa uma placa homogênea, admita que cada quadrado tenha lado igual a
10 cm. Determine, em centímetros, a soma das coordenadas do ponto correspondente ao centro de massa da
placa, caso exista.
y
0 x
12. 12 O S F U N DA M E N TO S DA FÍSICA
P.16 (UnB) Admitindo-se, no sistema de coordenadas da figura abaixo, que cada quadradinho tenha 10 cm de lado,
determine as coordenadas do centro de massa do sistema constituído de duas placas homogêneas, uma circu-
lar e outra triangular, cujas massas são iguais. Calcule, em centímetros, o valor da soma das coordenadas obti-
das e despreze a parte fracionária de seu resultado, caso exista.
y
60
30
30 60 x
P.17 (UFC-CE) Dois discos, de densidades uniformes e espessuras desprezíveis, são colocados no plano xy, confor-
me mostra a figura. Se R 10 2 cm, calcule, em centímetros, a distância entre o centro de massa do conjunto
e a origem, do sistema cartesiano xy.
y
Editora Moderna Ltda.
4m
2R
R
0 2R x
R
m
P.18 (UFC-CE) Três discos de raios R1 21 cm, R2 2R1 e R3 4R1 são feitos de um mesmo material, todos eles com
densidade uniforme e com mesma espessura. Os discos são empilhados sobre o plano xy conforme se mostra
na figura. Note que o centro de cada disco tem projeção sobre o eixo x. Determine a coordenada x do centro de
massa do conjunto.
y
0 x
13. T EMA ESPECIAL — CENTRO DE MASSA 13
P.19 (UFC-CE) A figura ao lado mostra uma peça metálica plana, de espessura e densidade uniformes. A parte hori-
zontal tem comprimento L e largura D e os ramos verticais têm comprimento C e largura D, cada um deles. Se
L 98 cm e D 16 cm, determine o valor do comprimento C, em centímetros, sabendo que o centro de massa
da peça está sobre a linha MN. Veja a figura.
D D
C C
M N
D
L
P.20 (Fuvest-SP) Uma placa retangular de comprimento L é constituída pela união de duas partes 1 e 2, como mos-
tra a figura abaixo. A parte 1 é feita de material de massa específica ρ1 e a parte 2 de material de massa especí-
fica ρ2. Suspendendo-se a placa pelo ponto P, de acordo com a figura (AB horizontal), ela permanece em equilí-
2L
brio. Sabe-se que AP .
9
A P B
1 2
Editora Moderna Ltda.
D C
L 2L
3 3
a) A que distância do lado AD encontra-se o centro de massa da placa?
ρ1
b) Determine a razão .
ρ2
P.21 Duas pequenas esferas, A e B, de mesma massa, deslocam-se ao A 5,0 m/s B 3,0 m/s
longo do eixo Ox, com velocidades indicadas na figura. Entre as m m
esferas ocorre uma colisão frontal, cujo coeficiente de restitui- x
ção vale 0,5. Determine:
a) a velocidade do centro de massa do sistema constituído pelas duas esferas, antes de ocorrer a colisão;
b) as velocidades das esferas após a colisão;
c) a velocidade do centro de massa do sistema, após a colisão.
P.22 (UFC-CE) Dois pequenos blocos, um de massa m1 e outro de massa m2 2 m1, são abandonados simultanea-
mente no instante t 0 na parte superior de dois planos inclinados, conjugados, como mostra a figura abaixo.
m1
m2
30° 60°
Determine, em m/s, o módulo da componente horizontal da velocidade do centro de massa, no instante
t 12 3 s . Considere os planos sem atrito e suficientemente longos de modo a garantir que os blocos ainda
estarão sobre eles no instante considerado.
1 3
São dados: g 10 m/s2; sen 30° cos 60° e sen 60° cos 30°
2 2
14. 14 O S F U N DA M E N TO S DA FÍSICA
P.23 (Fundação Carlos Chagas) Na figura abaixo estão representadas as velocidades vetoriais de duas pequenas esferas
idênticas que constituem um sistema isolado. Qual a intensidade da velocidade do centro de massa do sistema?
A 1,0 cm/s
1,0 cm/s
B
P.24 (UFC-CE) Dois homens A e B, ambos de massa M, estão nas extremidades de uma plataforma homogênea, de
comprimento L 2,16 m e massa 5M, que pode se deslocar sobre uma superfície horizontal plana sem atrito. O
M
homem A joga uma bola de massa para o homem B, que a segura firmemente. Determine, em centímetros,
5
o deslocamento da plataforma com relação à posição inicial.
P.25 (UFC-CE) Um homem de massa m está de pé sobre uma superfície horizontal perfeitamente lisa, separado de
uma distância d de um bloco pesado de massa M. O homem tenta puxar para si o bloco por meio de uma corda
inextensível de massa desprezível. Ele dá um rápido puxão na corda e ambos deslizam um para o outro até se
encontrarem em certo ponto. Determine, em função da distância d e das massas m e M, a posição de encontro
entre o homem e o bloco a partir da posição inicial do homem.
P.26 (UnB)
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Figura I. Figura II.
Figura III.
Com base nas três figuras acima, que mostram imagens do movimento de três diferentes atletas saltando de
uma prancha, nas quais os pontos indicados representam os respectivos centros de massa dos atletas, julgue
os itens a seguir, considerando que a aceleração da gravidade é igual nas situações mostradas.
1) Desprezando-se as forças dissipativas, as trajetórias dos centros de massa dos atletas nos três casos são
parabólicas.
2) O tempo durante o qual cada atleta permanece no ar é diretamente proporcional à aceleração da gravi-
dade.
3) Se as massas dos três atletas forem iguais e as trajetórias dos seus centros de massas forem idênticas, en-
tão a energia mecânica total do atleta na figura I será igual à do atleta na figura II.
4) Na figura III, a trajetória da cabeça do atleta é uma parábola.
15. T EMA ESPECIAL — CENTRO DE MASSA 15
Testes Propostos
T.1 (ITA-SP) Dadas 3 partículas e suas respectivas y (cm)
posições, m(x; y), em que m é a massa em quilo-
gramas, x e y as posições em metros, tais que
2 (3; 6), 4 (4; 4), 2 (1; 2).
80
y (cm)
60 Disco 1 Disco 2
m1 m2
6
40
A B
4 20 Disco 4 Disco 3
D m4 m3
C E
2
0 20 40 60 80 x (cm)
A distribuição de massa em cada disco é homo-
0 2 4 6 x (cm) gênea. As coordenadas (x, y) do centro de massa
desse conjunto de discos são dadas, em centíme-
Indique qual dos pontos do gráfico representa o tros, pelo par ordenado:
centro de massa do sistema. a) (40, 40)
a) A b) (20, 32)
b) B c) (20, 60)
c) C d) (40, 32)
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d) D e) (40, 20)
e) E
T.4 (FCMSC-SP) Na figura a seguir, C é o centro de
T.2 (Vunesp-SP) Duas esferas homogêneas, de raios massa de um sistema constituído por três esferas
R1 e R2 e massas m1 e m2, foram fixadas uma à (e1, e2 e e3 ) de mesma massa.
outra de modo a formar um sistema rígido, indi-
cado na figura a seguir. Y (cm)
5
O1 O2
R2 4
R1
m2
m1 e2
3
C
2
m2
Sendo R1 2R2 e m1 , o centro do sistema e1
2 1
assim constituído encontra-se:
a) no centro da esfera maior. 0 1 2 3 4 5 6 X (cm)
b) no centro da esfera menor.
c) no ponto de fixação das esferas.
A terceira esfera não aparece na figura. X e Y são
d) a meia distância entre o centro O1 e o ponto
de fixação. eixos de um sistema de referência. Quais são as
e) a meia distância entre o centro O2 e o ponto coordenadas Xc e Yc do centro da esfera e3?
de fixação. (Os centros de massa das três esferas estão con-
tidos no plano XY.)
T.3 (UFC-CE) Quatro discos, 1, 2, 3 e 4, todos de mes- a) Xc 5,0 e Yc 2,5
mo raio R 20 cm, e de massas m 1 1 kg, b) Xc 5,0 e Yc 2,5
m2 2 kg, m3 3 kg, e m4 4 kg estão arruma- c) Xc 2,5 e Yc 2,5
dos no plano horizontal, xy, conforme mostra a d) Xc 2,5 e Yc 2,5
figura a seguir. e) Xc 2,5 e Yc 2,5
16. 16 O S F U N DA M E N TO S DA FÍSICA
T.5 (Cesgranrio) Seis peças de um jogo de dominó T.8 (UFPA) Um corpo esférico de massa 6m rola so-
estão dispostas como na figura. Dos pontos indi- bre um plano horizontal sem atrito em direção a
cados (F, G, H, I, J ) o que melhor localiza o cen- outro corpo esférico em repouso e de massa m,
tro de massa desse conjunto é: com velocidade v constante. Quando os dois cor-
pos estão separados por uma distância d, o cen-
F tro de massa do sistema estará situado a uma dis-
tância da esfera maior dada por:
G 6m m
v
H
I Repouso
d 6d d
J a) c) e)
11 7 5
d d
a) F b) G c) H d) I e) J b) d)
9 7
T.6 (Uerj) A forma de uma raquete de tênis pode ser T.9 (UFPA) Na questão anterior a velocidade do cen-
esquematizada por um aro circular de raio R e tro de massa é:
massa m1, preso a um cabo de comprimento L
6v v
e massa m2. a) d)
L 7 7
Quando R e m1 m2, a distância do centro de
4 7v
b) v e)
massa da raquete ao centro do aro circular vale: 6
R 3R v
a) c) c)
2 2 6
b) R d) 2R
T.10 (ITA) Uma haste rígida e de massa desprezível pos-
sui presas em suas extremidades duas massas
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T.7 (ITA) Uma bola de 0,50 kg é abandonada a partir
do repouso a uma altura de 25 m acima do chão. idênticas m. Este conjunto acha-se sobre uma su-
No mesmo instante, uma segunda bola, com mas- perfície horizontal perfeitamente lisa (sem atrito).
sa de 0,25 kg, é lançada verticalmente para cima, a Uma terceira partícula também de massa m e ve-
partir do chão, com uma velocidade inicial de locidade v desliza sobre esta superfície numa di-
módulo 15 m/s. As duas bolas movem-se ao longo reção perpendicular à haste e colide com uma
de linhas muito próximas, mas que não se tocam. das massas da haste, ficando colada à mesma
Adote g 10 m/s2 e despreze o efeito de resistên- após a colisão.
cia do ar.
m
0,5 kg
m v
m
Podemos afirmar que a velocidade do centro de
25 m
massa vCM (antes e após a colisão) bem como o
movimento do sistema após a colisão serão:
Movimento
vCM(antes) vCM(após) subseqüente
do sistema
0,25 kg a) 0 0 circular e uniforme.
v
b) 0 translacional e rotacional.
Após 2,0 segundos, a velocidade do centro de 3
massa do sistema constituído pelas duas bolas
v
tem módulo igual a: c) 0 só translacional.
3
a) 11 m/s, e é dirigida para baixo.
b) 11 m/s, e é dirigida para cima. V v
d) translacional e rotacional.
c) 15 m/s, e é dirigida para baixo. 3 3
d) 15 m/s, e é dirigida para cima. V
e) 20 m/s, e é dirigida para baixo. e) 0 só rotacional.
3
17. T EMA ESPECIAL — CENTRO DE MASSA 17
T.11 (ITA) Nas extremidades de uma haste homogê- T.13 (ITA) As massas m1 3,0 kg e m2 1,0 kg foram fi-
nea, de massa desprezível e comprimento L, xadas nas extremidades de uma haste homogênea,
acham-se presas as massas m1 e m2. Num dado de massa desprezível e 40 cm de comprimento.
instante, as velocidades dessas massas são, res-
m1
pectivamente, v1 e v2, ortogonais à haste.
v1
L m2
m1 40 cm
v2
Seja vCM a velocidade do centro da massa, em re-
m2
lação ao laboratório, e seja ω o módulo da veloci-
dade angular com que a haste se acha girando em P
torno de um eixo que passa pelo centro de mas- Este sistema foi colocado verticalmente sobre
sa. Pode-se mostrar que: uma superfície plana, perfeitamente lisa, confor-
vCM ω me mostra a figura, e abandonado. A massa m1
m1v 1 m2 v 2 v1 v2 colidirá com a superfície a uma distância x do
a)
m1 m2 L ponto P dada por:
a) x 0 (no ponto P)
m2 v 2 m1v 1 v2 v1 b) x 10 cm
b)
m1 m2 L c) x 20 cm
d) x 30 cm
m1v 1 m2 v 2 v1 v2
c) e) x 40 cm
m1 m2 L
m1v 1 m2 v 2 ( v1 v2 ) T.14 Uma pedra está em repouso sobre uma superfície
d) horizontal perfeitamente lisa. Em seu interior há
L
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m1 m2
uma pequena bomba, que, ao explodir, estilhaça
m1v 1 m2 v 2 ( v1 v2 ) a pedra em três pedaços de massas diferentes,
e)
m1 m2 L que passam a deslizar sobre a superfície horizon-
tal. Nessas condições, após a explosão, o que
T.12 (Fundação Carlos Chagas-SP) A figura abaixo re- acontece com o centro de massa da pedra?
presenta um corpo B preso a um corpo A por in- a) Desaparece.
termédio de uma mola M. b) Movimenta-se com velocidade do pedaço de
maior massa.
c) Permanece em repouso.
f d) Movimenta-se com velocidade igual à soma
das velocidades escalares dos três pedaços.
A e) Realiza MRU.
M T.15 (Fundação Carlos Chagas-SP) Um núcleo N desin-
tegra-se em três partículas: um novo núcleo N ’,
B um elétron e um neutrino. Não há forças externas
atuando. A velocidade do centro de massa N no
O conjunto está preso ao teto por um fio f e o cor- instante que precedeu a desintegração era igual
po B está oscilando verticalmente. Em determi- a v, em relação ao sistema do laboratório. Pode-
nado instante, o fio f arrebenta e o conjunto cai. se dizer que, em relação ao mesmo sistema:
Desprezando-se a resistência do ar, podemos afir- a) o centro de massa do sistema das três partí-
mar corretamente que, durante a queda, culas produzidas após a desintegração conti-
a) a velocidade do centro de massa do conjunto nua com a mesma velocidade e mesma traje-
é constante. tória que o centro de massa da partícula ini-
b) a aceleração do centro de massa do conjunto cial N.
é constante. b) a velocidade de N é ainda v.
c) a quantidade de movimento do corpo A é c) as trajetórias descritas pelas três partículas
constante. finais e pela inicial são sempre coplanares.
d) a quantidade de movimento do corpo B é d) não há necessariamente conservação da
constante. quantidade de movimento, antes e depois
e) as acelerações dos corpos A e B são cons- da desintegração.
tantes. e) nada do que se afirmou é correto.
18. 18 O S F U N DA M E N TO S DA FÍSICA
T.16 (F. M. Taubaté-SP) Um objeto de massa M, inicial- c) Somente a afirmativa III é verdadeira.
mente em repouso, explode em duas partes A e d) As afirmativas I e II são verdadeiras.
1 2 e) As afirmativas II e III são verdadeiras.
B, com massas de e , respectivamente, da
3 3
massa do objeto inicial. Sabendo que a distância T.18 (F. M. Itajubá-MG) Uma granada é lançada com
entre elas em um instante t é de 30 m, então a dis- uma velocidade inicial v0 formando ângulo θ com
tância do corpo B ao ponto de explosão será: a vertical, e, após descrever a trajetória da figu-
a) 10 m c) 15 m e) n.d.a. ra, ela explode.
b) 20 m d) 18 m y
T.17 (U. E. Londrina-PR) Uma das armas utilizadas v0
pela forças especiais dos Estados Unidos da
América e da Inglaterra contra as bases do
Talibã são os mísseis Tomahawk. Esses mísseis
podem ser lançados de navios ou aviões. Dirigi- 0 x
dos por satélite, viajam a 880 km/h, podendo al-
Após a explosão, o centro de massa dos fragmen-
cançar alvos situados a 1.600 km. Suponha que
tos da granada descreverá a trajetória:
um desses mísseis seja lançado do porta-aviões
a)
USS Carl Vinson, situado no Golfo Pérsico, em
direção a uma base Talibã situada em Shidand,
e descreva uma trajetória parabólica. Suponha
também que esse míssil possua um sensor com x
o qual se pode explodi-lo no ar, de modo que ele
se fragmente em pedacinhos pequenos, para b)
evitar, por exemplo, que atinja indevidamente a
população civil. No caso de haver uma explosão
como essa, no ar, e com respeito ao movimento
do centro de massa dos fragmentos após a ex- x
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plosão, considere as seguintes afirmativas, des-
prezando-se o efeito do ar: c)
I. O centro de massa dos fragmentos continua
descrevendo uma trajetória parabólica, por-
que a explosão representa somente o efeito
das forças internas. x
II. A energia mecânica não é conservada, pois ela
sofre um aumento, devido à conversão da ener- d)
gia química armazenada em energia mecânica;
mas a resultante das forças externas e o movi-
mento do centro de massa não se alteram.
III. O centro de massa dos fragmentos não conti- x
nua mais descrevendo uma trajetória parabó-
lica, pois a explosão fará com que os fragmen- e)
tos sigam trajetórias próprias.
Aponte a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa I é verdadeira.
b) Somente a afirmativa II é verdadeira. x
19. T EMA ESPECIAL — CENTRO DE MASSA 19
Respostas
Tema especial P.15 xC yC 27,5 50
xC yC 77,5 cm
Centro de Massa P.16 xC yC 20 20
Exercícios propostos xC yC 40 cm
P.17 28 cm
P.1 C (3 cm; 3,4 cm)
P.18 73 cm
P.2 a) AC 30 cm
b) AC 20 cm P.19 28 cm
c) AC 10 cm
2L ρ1
P.3 C (0, 25 cm) P.20 a) b) 16
9 ρ2
R 3 P.21 a) 4,0 m/s
P.4 C 0,
3 b) As velocidades das esferas A e B após a colisão são
respectivamente 3,5 m/s e 4,5 m/s.
h 2a b c) 4,0 m/s
P.5 yC
3 a b P.22 30 m/s
2 P.23 2,5 cm/s
Rr
P.6 xC 2 2 P.24 6 cm
2(R r )
yC 0 Md
P.25
P.7 0,74R M d
P.8 a) 4,0 m/s P.26 1-): correta. 2-), 3-) e 4-): erradas.
b) 1,0 m/s
Testes propostos
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P.9 5,0 m/s
T.1 b T.2 c T.3 d
P.10 5,0 m/s
2 T.4 c T.5 d T.6 c
P.11 a) zero; 150 m/s
b) 100 m/s2 T.7 c T.8 d T.9 a
P.12 As partículas A e B colidirão a 4,0 cm da origem. T.10 d T.11 d T.12 b
P.13 16 cm T.13 b T.14 c T.15 a
P.14 60 cm T.16 a T.17 d T.18 c