Presentation of my Master's Thesis

Distancia entre dos elipses
Distancia “closest-approach”

Closed formulae for distance functions
involving ellipses
Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses

Gema R. Quintana Portilla

Tesis del Máster en Matemáticas y Computación
Dirigida por D. Fernando Etayo y D. Laureano Glez-Vega
Curso 2008-2009

Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09


Objetivo

Estudiaremos dos problemas relacionados con la obtención de
fórmulas cerradas para la determinación de la función distancia
entre objetos deﬁnidos por ecuaciones de grado bajo:
Determinación de una fórmula cerrada para el cálculo de
la distancia mínima entre dos elipses
Determinación de una fórmula cerrada para el cálculo de
la denominada closest approach entre dos elipses o
elipsoides
Ambos problemas son de gran interés en el ámbito del
modelado geométrico y en CAGD



Índice

1 Distancia entre dos elipses
Problema
Nuestra aproximación
Ejemplo
Trabajo futuro

2 Distancia “closest-approach”
Problema
Distancia de “closest approach” de dos elipses
Distancia de “closest approach” de dos elipsoides
Trabajo futuro


Problema
Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación
Distancia “closest-approach” Ejemplo
Trabajo futuro

Índice

Problema
Ejemplo
Trabajo futuro

Problema
Trabajo futuro


Problema
Trabajo futuro

Introducción

Queremos calcular la distancia entre dos elipses coplanarias

La distancia mínima entre un punto y una elipse es un número
real positivo: buscamos obtenerlo como la raíz real de un
polinomio

Esta forma de caracterizar la distancia es independiente de los
llamados “footpoints” y proporciona la distancia de forma
directa, pudiendo ser usada para analizar el caso dinámico


Problema
Trabajo futuro

Aplicaciones

El cálculo de la mínima distancia entre dos elipses es un
problema fundamental en varios campos:
Detección de colisiones en robótica
Análisis de interferencias en CAD/CAM
Interacciones en Realidad Virtual
Juegos de ordenador
Análisis de órbitas (elipses no coplanarias)
Interferencias entre moléculas en física computacional y
química
...


Problema
Trabajo futuro

Trabajos previos

I. Z. E MIRIS , E. T SIGARIDAS , G. M. T ZOUMAS . The
predicates for the Voronoi diagram of ellipses. Proc. ACM
Symp. Comput. Geom., 2006
I. Z. E MIRIS , G. M. T ZOUMAS . A Real-time and Exact
Implementation of the predicates for the Voronoi Diagram
for parametric ellipses. Proc. ACM Symp. Solid Physical
Modelling, 2007
C. L ENNERZ , E. S CHÖMER . Efﬁcient Distance
Computation for Quadratic Curves and Surfaces.
Geometric Modelling and Processing Proceedings, 2002


Problema
Trabajo futuro

Trabajos previos

J.-K. S EONG , D. E. J OHNSON , E. C OHEN . A Higher
Dimensional Formulation for Robust and Interactive
Distance Queries. Proc. ACM Solid and Physical
Modeling, 2006
K.A. S OHN , B. J ÜTTLER , M.S. K IM , W. WANG .
Computing the Distance Between Two Surfaces via Line
Geometry. Proc. Tenth Paciﬁc Conference on Computer
Graphics and Applications, 236-245, IEEE Press, 2002
Aspecto común: el problema se resuelve previo cálculo de los
“footpoints”


Problema
Trabajo futuro


El cálculo de la distancia mínima no depende de los
“footpoints”. Estudiamos el problema analizando el polinomio
univariado asociado a la distancia

Parámetros del problema: coordenadas del centro, longitud de
los ejes, inclinación de los mismos


Problema
Trabajo futuro



¿Alguna ventaja?


Problema
Trabajo futuro



¿Alguna ventaja?

La distancia se comporta de forma continua, mientras que los
“footpoints” no


Problema
Trabajo futuro

Distancia punto-elipse

Sean las ecuaciones paramétricas de la elipse ε0 :
√ √
x = a cos t, y = b sin t, t ∈ [0, 2π)

Construyamos la función fd cuyo mínimo positivo, d, nos
proporcione el cuadrado de la distancia entre el punto (x0 , y0 ) y
la elipse:
√ √
fd := (x0 − a cos t)2 + (y0 − b sin t)2 − d


Problema
Trabajo futuro


Queremos resolver el sistema:

 fd (t) = 0
∂fd
(t) =0

∂t


Problema
Trabajo futuro


Queremos resolver el sistema:

 fd (t) = 0
∂fd
(t) =0

∂t

Hay dos posibilidades para el cambio de variable:
racional
complejo


Problema
Trabajo futuro


Cambio de variable racional:
1−t2
cos t = 1+t2

2t
sin t = 1+t2

Desventaja: más complicado


Problema
Trabajo futuro


1
Como z = cos t + i sin t, z = z , luego podemos usar el cambio:
1
z− z
sin t = 2i

1
z+ z
cos t = 2


Problema
Trabajo futuro


El nuevo sistema resulta:

√ √ √ √
 (b − a)z 4 + 2(x0 √a − iy0 √b)z 3 − 2(x0 a + iy0 b)z + a − b = 0


(b − a)z 4 − 4(x0 a − iy0 b)z 3 − 2(2(x2 + y0 − d))z 2 +
0
2
√
√
+4(x0 a + iy0 b)z + b − a = 0


Usando resultantes eliminamos la veriable z


Problema
Trabajo futuro


Teorema
Si d0 es la distancia del punto (x0 , y0√a la elipse ε0 con centro
)
√
(0, 0) y semiejes de longitudes a y b entonces d = d2 es la0
[x0 ,y ]
menor raíz no negativa del polinomio F[a,b] 0 (d)


Problema
Trabajo futuro

[x ,y ]
F[a,b] 0 (d) =
0

= (a − b)2 d4
+2(a − b)(b2 + 2x2 b + y0 b − 2ay0 − a2 − x2 a)d3
0
2 2
0
+(y0 b − 8y0 ba − 6b a + 6a y0 − 2x2 a3 + a4 + 6x2 y0 b2 − 2y0 b3
4 2 2 2 2 2 3 2
0 0
2 2
4 2 2 2 3 2 2 2 3 4 2 2
+6y0 a + 4x0 a b + 2b a + 6x0 y0 a + 2a b − 6x0 ab + 4y0 b a
+6x4 b2 + 4x4 a2 + 6b3 x2 − 10x2 y0 ab + b4 − 8x2 ab2 − 6y0 ab)d2
0 0 0 0
2
0
4
4 4 2 3 4 6 2 2 6 3 2 2 4
−2(ab + y0 − a b + a b + 2y0 a + 2b x0 − a b − bx0 ay0
4 2 2 2 2 2 2 2 6 2 4 2 4 3
−bx0 ay0 + 3x0 ay0 b + 3x0 a y0 b − by0 a + b y0 x0 + 3x0 b
+3y0 a3 + x2 b4 + x4 a2 y0 − bx6 a − 5x4 ab2 + 3b2 y0 x4 + 3y0 ab2
4
0 0
2
0 0
2
0
4

−2x2 a3 u2 + 3x4 a2 b + 3x2 b2 y0 − 2x2 ab3 − 2y0 a3 b − 3y0 ab3
0 0 0 0
2
0
2 2

−3x2 a3 b − 2x2 b3 y0 − 5y0 a2 b + 4x2 a2 b2 + 4y0 a2 b2 )d
0 0
2 4
0
2

+(x4 + 2x2 b + b2 − 2x2 a − 2ba + a2 + y0 + 2x2 y0 − 2y0 b + 2ay0 )·
0 0 0
4
0
2 2 2

(bx2 + ay0 − ba)2 =
0
2
4 [a,b]
= k=0 hk (x0 , y0 )dk


Problema
Trabajo futuro

Aclaraciones al teorema
[x ,y ]
La mayor raíz real de F[a,b] 0 (d) es el cuadrado de la
0

distancia máxima entre (x0 , y0 ) y ε0 .
Si x0 es un foco de ε0
√
[ a−b,0]
F[a,b] (d) = (a − b)2 d2 (d2 + 2(b − 2a)d + b2 )
√ √ √ √
⇒ d = ( a − a − b)2 , ( a + a − b)2

En el caso de una circunferencia a = b = R2 y si
d = d2
0
√
[ a−b,0]
F[a,b] (d2 ) = R4 (y0 + x2 )2 ·
0
2
0
2 + 2Rd + R2 − y 2 − x2 )(d2 − 2Rd + R2 − y 2 − x2 )
· (d0 0 0 0 0 0 0 0
⇒ d0 = R − y0 + x2
2
0


Problema
Trabajo futuro


Sea ε1 una elipse disjunta con ε0 , dada por la parametrización
x = α(s), y = β(s), s ∈ [0, 2π). Entonces

d(ε0 , ε1 ) = min{ (x1 − x0 )2 + (y1 − y0 )2 : (xi , yi ) ∈ εi , i = 1, 2}

es la raíz cuadrada de la menor raíz no negativa de la
[α(s),β(s)]
familia de polinomios univariados F[a,b] (d)


Problema
Trabajo futuro


Para hallar d(ε0 , ε1 ) consideramos dos posibilidades:
d es el menor real positivo tal que existe s ∈ [0, 2π)
solución de
[α(s),β(s)] 4 [a,b]
F[a,b] = k=0 hk (α(s), β(s))dk = 0
¯ [α(s),β(s)] :=
F[a,b]
4 ∂ [a,b]
(α(s), β(s))dk =
k=0 ∂s hk 0

d se determina a través del análisis de la curva
[α(s),β(s)]
implícita F[a,b] =0


Problema
Trabajo futuro

Primer caso

Como α(s) y β(s) son lineales en cos(s) y sin(s) la pregunta se
convierte en un problema algebraico (al igual que en el caso
punto-elipse) mediante el cambio de variable

1 1 1 1
cos s = w+ , sin s = w−
2 w 2i w

y luego usando resultantes para eliminar w.
Obtenemos un polinomio univariado de grado 60, Gε1 , cuya
ε0
menor raíz positiva es el cuadrado de d(ε0 , ε1 ).
Gε1 depende sólo de los parámetros que deﬁnen ε0 y ε1
ε0


Problema
Trabajo futuro

Segundo caso

d se determina a través del análisis de la curva implícita
[α(s),β(s)]
F[a,b] = 0 en la región d ≥ 0 y s ∈ [0, 2π). Para aplicar el
algoritmo dado en L. G ONZALEZ -V EGA , I. N ÉCULA , Efﬁcient
topology determination of implicitly deﬁned algebraic plane
curves. Computer Aided Geometric Design, 19: 719-743, 2002,
usamos el cambio de coordenadas:
1 − u2 2u
cos s = 2
sin s =
1+u 1 + u2
[α(s),β(s)]
y la curva algebraica plana ral F[a,b] = 0 se estudia en
d ≥ 0, u ∈ R


Problema
Trabajo futuro

Ejemplo

Consideremos ε0 y ε1 . ε0 con centro (0, 0) y semiejes de
longitudes 3 y 2. ε1 centrada en (2, −3) y semiejes, paralelos a
los ejes coordenados, con longitudes 2 y 1


Problema
Trabajo futuro

Ejemplo


Problema
Trabajo futuro

Ejemplo

La mínima distancia se obtiene calculando las raíces reales del
polinomio:
Gε1 (d) = k1 d4 (d12 −216d11 +...)(d2 −54d+1053)2 (d2 −52d+1700)2 (k2 d12 +k3 d11 +...)3
ε0

donde los ki son números reales

El factor simple de grado 12 es el que aporta la mayor y
menor raíz real de Gε1 (d). Aún no está claro el carácter
ε0
general de esta descomposición


Problema
Trabajo futuro

Trabajo futuro

Estudio del caso dinámico
Generalización a elipsoides
Elipses no-coplanarias
Análisis de otras cónicas


Problema
Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses
Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides
Trabajo futuro

Índice

Problema
Ejemplo
Trabajo futuro

Problema
Trabajo futuro


Problema
Trabajo futuro

Problema

La distancia de “closest approach” de dos elipses (resp.
elipsoides) es la distancia existente entre sus centros cuando
éstas son tangentes exteriores, después de moverlas a lo largo
de la recta determinada por sus centros


Problema
Trabajo futuro

Problema

La distancia de “closest approach” de dos elipses (resp.
elipsoides) es la distancia existente entre sus centros cuando
éstas son tangentes exteriores, después de moverlas a lo largo
de la recta determinada por sus centros

Aparece en el estudio del problema del cálculo de la distancia
del “closest approach of hard particles” que es un problema
clave en algunas áreas de la Física como la modelización y
simulación de sistemas de partículas anisométricas, como los
cristales líquidos, o en el caso del análisis de interferencias
entre moléculas


Problema
Trabajo futuro

Trabajo previo

Un método que resuelve el problema anterior en el caso de dos
elipses rígidas está descrito en

X. Z HENG , P. PALFFY-M UHORAY, Distance of closest
approach of two arbitrary hard ellipses in two dimensions,
Physical Review, E 75, 061709,2007

Se obtiene una expresión analítica para la distancia “closest
approach” en función de su orientación relativa respecto de la
recta determinada por los centros


Problema
Trabajo futuro

Trabajo previo

Se aﬁrma que: “[...]this problem seems simple enough for a
highschool geometry homework assignment. Further
consideration shows, however, that it is not simple at all. A prize
for its solution was informally announced at the Liquid Crystal
Gordon Conference in 1983 attended by W. M. Gelbart and R.
B. Meyer; this, however, did not generate a solution. J. Vieillard-
Baron, an early worker on this problem, was reportedly greatly
disturbed by the difﬁculties he encountered[...]”


Problema
Trabajo futuro

Trabajo previo
Pasos del método:
1 Se consideran dos elipses separadas
2 Se traslada una hacia la otra a lo largo de la recta
determinanda por ambos centros hasta que son tangentes
exteriores
3 PROBLEMA: hallar la distancia d entre los centros en
dicho instante
4 Transformación de las dos elipses tangentes en un círculo
y una elipse
5 Cálculo de la distancia d de “closest approach” entre el
círculo y la elipse
6 Obtención de la distancia d de “closest approach” de las
elipses iniciales mediante la transformación inversa

Problema
Trabajo futuro

Trabajo previo
Pasos del método:
1 Se consideran dos elipses separadas
2 Se traslada una hacia la otra a lo largo de la recta
determinanda por ambos centros hasta que son tangentes
exteriores
3 PROBLEMA: hallar la distancia d entre los centros en
dicho instante
4 Transformación de las dos elipses tangentes en un círculo
y una elipse⇒ “Anisotropic scaling”
5 Cálculo de la distancia d de “closest approach” entre el
círculo y la elipse
6 Obtención de la distancia d de “closest approach” de las
elipses iniciales mediante la transformación inversa

Problema
Trabajo futuro

Trabajo previo

Trabajar con “anisotropic scaling” y la transformación inversa
requiere del cálculo de los vectores y valores propios de la
matriz de la transformación

Buscamos evitar dicho cálculo


Problema
Trabajo futuro


Usamos los resultados mostrados en:
F. E TAYO, L. G ONZÁLEZ -V EGA , N. DEL R ÍO, A new approach to
characterizing the relative position of two ellipses depending on
one parameter, Computed Aided Geometric Desing 23,
324-350, 2006
W. WANG , R. K RASAUSKAS, Interference analysis of conics and
quadrics, Contemporary Math. 334, 25-36,2003
W. WANG , J. WANG , M. S. K IM, An algebraic condition for the
separation of two ellipsoids, Computer Aided Geometric Desing
18, 531-539, 2001


Problema
Trabajo futuro


Siguiendo la notación de los autores, deﬁnimos el polinomio
característico del haz determinado por dos elipses (resp.
elipsoides)
Deﬁnición
Sean A y B dos elipses (resp. elipsoides) dadas por las
ecuaciones X T AX = 0 y X T BX = 0 resp. El polinomio de
grado 3 (resp. 4)
f (λ) = det(λA + B)
se denomina polinomio característico del haz λA + B


Problema
Trabajo futuro


W. WANG , R. K RASAUSKAS, Interference analysis of conics and
quadrics, Contemporary Math. 334, 25-36,2003
W. WANG , J. WANG , M. S. K IM, An algebraic condition for the
separation of two ellipsoids, Computer Aided Geometric Desing
18, 531-539, 2001

Caracterizan completamente la intersección de dos elipsoides en
términos del signo de las raíces reales del polinomio característico
en el caso que ambos elipsoides puedan ser separados por un plano


Problema
Trabajo futuro


Más aún:

Dos elipsoides están separados si y sólo si su polinomio
característico tiene dos raíces reales positivas distintas
Su ecuación característica siempre tiene al menos dos
raíces negativas
Los elipsoides son tangentes exteriores si y sólo si la
ecuación característica tiene una raíz doble positiva


Problema
Trabajo futuro


F. E TAYO, L. G ONZÁLEZ -V EGA , N. DEL R ÍO, A new approach to
characterizing the relative position of two ellipses depending on one
parameter, Computed Aided Geometric Desing 23, 324-350, 2006

Proporciona una caracterización equivalente para el caso de dos elipses

De hecho se caracterizan las diez posiciones relativas de dos elipses
mediante herramientas de Geometría Algebraica Real, Álgebra
Computacional y Geometría Proyectiva (sucesiones de Sturm-Habitch y la
clasiﬁcacion de haces de cónicas en P2 (R)). Cada una se determina
mediante un conjunto de igualdades y desigualdades que dependen sólo de
las matrices de las cónicas


Problema
Trabajo futuro


Empleamos la anterior caracterización para resolver el
problema

Obtenemos una fórmula cerrada para el polinomio S(t)
(dependiente sólo de los parámetros de la elipse) cuya menor
raíz real proporcione la distancia “closest approach”. Veremos
que esto es generalizable de forma natural al caso de los
elipsoides


Problema
Trabajo futuro

Consideremos dos elipses coplanarias dadas por las
ecuaciones:

x2 y2
E1 = (x, y) ∈ R2 : + −1=0
a b

E2 = (x, y) ∈ R2 : a11 x2 + a22 y 2 + 2a12 xy + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0


Problema
Trabajo futuro

Conﬁguración de las elipses


Problema
Trabajo futuro

Ecuación de una elipse que se mueve E1 (t) a lo largo de la
recta deﬁnida por los centros:

(x − pt)2 (y − qt)2
E1 (t) = (x, y) ∈ R2 : + −1=0
a b
donde
a22 a13 − a12 a23
p=
a2 − a11 a22
12
a11 a23 − a12 a13
q=
a2 − a11 a22
12


Problema
Trabajo futuro

El polinomio característico del haz λA2 + A1 (t):

H(t; λ) = det(λA2 + A1 (t)) = h3 (t)λ3 + h2 (t)λ2 + h1 (t)λ + h0 (t)

La situación de tangencia exterior tiene lugar cuando H(t; λ)
tiene una raíz real positiva doble: la ecuación que nos
proporciona el valor buscado de t, t0 , es S(t) = 0 donde

S(t) = discλ H(t; λ) = s8 t8 +s7 t7 +s6 t6 +s5 t5 +s4 t4 +s3 t6 +s2 t4 +s1 t2 +s0


Problema
Trabajo futuro

Distancia “closest approach” de dos elipses separadas

Teorema
Dadas dos elipses separadas E1 y E2 la distancia “closest
approach” es
d = t0 p2 + q 2
donde t0 es la menor raíz real positiva de S(t) = discλ H(t; λ),
H(t; λ) es el polinomio característico del haz que deﬁnen, y
(p, q) es el centro de E2


Problema
Trabajo futuro

Ejemplo

Sean A y B las elipses:

1
A := (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 − 1 = 0
2

B := (x, y) ∈ R2 : 9x2 + 4y 2 − 54x − 32y + 109 = 0

1
A centrada en el origen y semiejes de longitudes 1 y √ .
2

B con centro en (3, 4) y semiejes de longitudes 2 y 3


Problema
Trabajo futuro

Posición de las elipses A (azul) y B (verde)


Problema
Trabajo futuro

Ejemplo

Hacemos que el centro de la primera se mueva a lo largo de la
recta que pasa por los centros

(y − 4t)2
A(t) := (x, y) ∈ R2 : (x − 3t)2 + −1=0
2

Polinomio característico del haz λB + A(t):
B
HA(t) (t; λ) = λ3 + − 17 t2 + 18 t − 24 λ2 +
36
17 5
23 145 2 145 1
− 648 − 2592 t + 1296 t λ + 2592


Problema
Trabajo futuro

Ejemplo

Polinomio cuya menor raíz real positiva proporciona el instante
t = t0 cuando las elipses son tangentes exteriores:

251243 115599091 1478946641
SA(t) (t) = − 80621568 t + 8707129344 t2 + 34828517376 t4 −
B
266704681 3 55471163 6 158971867 5
8707129344 t + 2902376448 t − 4353564672 t +
6076225 8 6076225 7 40111
8707129344 t − 1088391168 t + 136048896


Problema
Trabajo futuro

Ejemplo

Polinomio cuya menor raíz real positiva proporciona el instante
t = t0 cuando las elipses son tangentes exteriores:

251243 115599091 1478946641
SA(t) (t) = − 80621568 t + 8707129344 t2 + 34828517376 t4 −
B
266704681 3 55471163 6 158971867 5
8707129344 t + 2902376448 t − 4353564672 t +
6076225 8 − 6076225 t7 + 40111
8707129344 t 1088391168 136048896

B
Las cuatro raíces reales de SA(t) (t) son:

t0 = 0.2589113100, t1 = 0.7450597195,
t2 = 1.254940281, t3 = 1.741088690


Problema
Trabajo futuro

Posiciones de A(t) (azul) y B (verde)

t = t0 t = t1


Problema
Trabajo futuro

Positions of A(t) (blue) and B (green)

t = t2 t = t3


Problema
Trabajo futuro

Sean A1 y A2 dos matrices simétricas deﬁnidas positivas que deﬁnen
los elipsoides separados E1 y E2 como X T A1 X = 0 y X T A2 X = 0
donde X T = (x, y, z, 1), y

1
   
a 0 0 0 a11 a12 a13 a14
1  a12
 0
b 0 0  a22 a23 a24 
A1 =  1
 A2 = 
 a13

 0 0 c 0  a23 a33 a34 
0 0 0 −1 a14 a24 a34 a44

i.e.,

x2 y2 z2
E1 = (x, y, z) ∈ R3 : + + −1=0
a b c

a11 x2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz+
E2 = (x, y, z) ∈ R3 :
2a23 yz + 2a14 x + 2a24 y + 2a34 z + a44 = 0


Problema
Trabajo futuro

Conﬁguración de los elipsoides


Problema
Trabajo futuro

Polinomio característico

(x − txc )2 (y − tyc )2 (z − tzc )2
E1 (t) = (x, y, z) ∈ R3 : + + −1=0
a b c

Para encontrar el valor de t, t0 , en el que los elipsoides son
tangentes exteriores, tenemos que comprobar si el polinomio
H(t; λ) = det(E1 (t) + λE2 ), de grado 4, tiene una raíz real doble.
Esto es, calcular las raíces de un polinomio de grado 12:

S(t) = discλ (H(t, λ)) = s12 t12 + ... + s0


Problema
Trabajo futuro

Distancia “closest approach” de dos elipsoides

Teorema
Dados dos elipsoides E1 y E2 separados, la distancia “closest
approach” está dada por

d = t0 x 2 + yc + zc
c
2 2

donde t0 es la menor raíz real positiva de S(t) = discλ H(t; λ),
H(t; λ) es el polinomio característico del haz que deﬁnen, y
(xc , yc , zc ) es el centro de E2


Problema
Trabajo futuro

Ejemplo

Sean E1 (t) y E2 los elipsoides:

1 2 1 2
E1 := (x, y, z) ∈ R3 : x + y + z2 − 1 = 0
4 2

1 2 1 51 1
E2 := (x, y, z) ∈ R3 : x − 2 x + y2 − 3 y + + z2 − 5 z = 0
5 4 2 2

1 2 1 2 5 197 2
E1 (t) := (x, y, z) ∈ R3 : x + y + z 2 − tx − 6 ty − 10 tz − 1 + t =0
4 2 2 4


Problema
Trabajo futuro

Conﬁguración de los elipsoides E1 (azul) y E2 (verde)


Problema
Trabajo futuro

Ejemplo

Polinomio característico de E2 y E1 (t):

E2
HE1 (t) (t; λ) = λ4 − 43 λ3 − 197 λ3 t2 − 301 λ2 − 659 λ2 t2 +
4 2 4
197
2 λ3 t−
237
2 λ − 265 λ t2 + 659 λ2 t + 5 + 265 λ t
2 2


Problema
Trabajo futuro

Ejemplo

E2
Polinomio SE1 (t) (t) cuya menor raíz real corresponde al instante t = t0
cuando los elipsoides son tangentes:

E (t)
2
SE1 (t) = 16641
1024
− 1)4 (2725362025t8 − 21802896200t7 + 75970256860t6 −
(t
150580994360t5 + 185680506596t4 − 145836126384t3 +
71232102544t2 − 19777044480t + 2388833408)
E2
Las cuatro raíces reales de SE1 (t) (t) que determinan los cuatro puntos de
tangencia provienen todas del factor de grado 8:

t0 = 0.6620321914, t1 = 0.6620321914
t2 = 1.033966297, t3 = 1.337967809


Problema
Trabajo futuro

Posiciones de E1 (azul) y E2 (verde) t = t0


Problema
Trabajo futuro



Problema
Trabajo futuro

Algunas conﬁguraciones geométricas de las cuádricas y
cónicas objeto de nuestro estudio parecen estar relacionadas
con descomposiciones especialmente simétricas o simples de
los polinomios involucrados en el cálculo de las distancias
entre ellas

Estamos trabajando en la interpretación algebraico-geométrica
de dichas situaciones


Problema
Trabajo futuro

¡Muchas gracias!


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