Rotações

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Apresentação sobre rotações para a disciplina de Computação Gráfica com prof. Edilson Aguiar (CEUNES-UFES, 2011)

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Rotações

  1. 1. Computação Gráfica prof. Edilson Aguiar Universidade Federal do Espírito Santo Centro Universitário Norte do Espírito Santo Eliezer de Souza da Silva
  2. 2. Visualização de objetos 3D. Animação (key framing): • Computador faz a interpolação entre os key frames. Translações podem ser feitas com interpolação linear ou splines.splines. Rotações são mais complicadas. Problema: que estrutura matemática captura de maneira ideal operações de rotação no espaço, facilitando a implementação computacional?
  3. 3. Teorema de Euler [2,3]: • “Dados dois pontos no espaço existe um eixo no espaço e um ângulo de rotação que leva um ponto ao outro” ou “o movimento de um corpo rígido no espaço com um ponto fixo é uma rotação”.
  4. 4. Fórmula de Rodrigues [2,3,5]
  5. 5. Ângulos de Euler utilizando matriz de rotação: parametrização do espaço através de três eixos de rotação. • Esta parametrização é ambígua.• Esta parametrização é ambígua. Quaternions: encapsula diretamente o Teorema de Euler.
  6. 6. Euler utilizou inicialmente para resolver as equações de movimento (separação de variáveis) [1]. • Pressuposto: o espaço de rotações pode ser totalmente parametrizado por três operações de rotação em eixos perpendiculares.
  7. 7. Exemplo 2D
  8. 8. Implementação das rotações associadas a cada eixo através de uma matriz de rotação. • Coordenadas homogêneas: permite a representação de transformações afins na forma matricial (possibilita a composição de rotações e outras operações afins naturalmente).outras operações afins naturalmente).
  9. 9. Desvantagens: • A escolha dos eixos é arbitrária e existem diversas possibilidades de multiplicação das matrizes de rotação e nem todas são geometricamente intuitivas. • A representação do espaço de rotações através de ângulos de Euler é ambígua (problema inverso não é bem formulado – rotação gerada por diferentes triplas de ângulos de Euler).ângulos de Euler). • Gimball-Lock: degeneração dos graus de liberdade. • A interpolação não é boa, nem fácil (cada eixo é interpolado de modo independente). Vantagens: • Matemática das matrizes é bem conhecida e estudada, além de ter bastante implementações. • Coordenadas homogêneas permite representação de todas as transformações afins básicas
  10. 10. Trata-se de uma álgebra descoberta por Sir Willian Hamilton como uma generalização dos complexos para espaços de ordens maiores.espaços de ordens maiores.
  11. 11. Espaço de Rotações do R3: SO(3) (Matrizes Ortonormais) Espaço da esfera unitária de quaternions S3 tem um mapeamente 2 por 1 em SO(3). (q e –q correspondem ao mesmo ponto)[1,2] Utilizando a esfera unitária obtemos diretamente a fórmula de Rodrigues. Temos uma implementação direta de uma rotação de p em θ graus ao longo do eixo v utilizando quaternions.
  12. 12. Spherical Linear Interpolation [1]: • Não-comutativo. • Velocidade constante na esfera. • Geodésico (Torque mínimo).• Geodésico (Torque mínimo).
  13. 13. É ótimo somente entre dois pontos [1,2] • Shoemake sugere um esquema parecido com a geração de curvas de Bezier sobre a superfície da esfera.
  14. 14. Squad (Spherical Spline Quaternion Interpolation) [2] Nlerp (Normalized Quaternion Slerp): • Comutativo, geodésico, mas não tem velocidade constante.
  15. 15. Quaternions apresentam problemas caso eu tenho que ser derivado (controle diferencial, ou otimizador, por exemplo). • D(q) pertence ao plano tangente à esfera unitária.• D(q) pertence ao plano tangente à esfera unitária. Preciso controlar para impedir que ele “saia”.[4] Mapas exponenciais: • Sabemos onde se encontram as singularidades (evitamos-as)[4]. • R3 → S3 ; S3 → SO(3) • Inverso: log map
  16. 16. Representação de rotações: • Quaternion é superior a ângulos de Euler. • Mapas Exponenciais podem ser alternativas em outras situações.outras situações. Interpolações commutativ e constant velocity torque- minimal quaternion slerp No! Yes Yes quaternion nlerp Yes No! Yes log- quaternion lerp Yes Yes No!
  17. 17. [1] SHOEMAKE, K. Animating Rotations with Quaternion Curves. Computer Graphics (SIGGRAPH ’85 Proceedings), volume 19, pages 245-254, July 1985. [2] DAM, E.B; KOCH, M. and LILLHOLM, M. Quaternions,Interpolation and Animation.Technical Report DIKU-TR-98/5. University of Copenhagen. 1998. Denmark. [3] GOLDSTEIN, H; POOLE, C; SAFKO, J. Classical Mechanics, 3rd Edition. Addison-Wesley. 2000. New York. [4] GRASSIA,F.S. Practical parameterization of rotations using the exponential map,[4] GRASSIA,F.S. Practical parameterization of rotations using the exponential map, Journal of GraphicsTools, volume 3.3, 1998. Disponível em http://graphics.snu.ac.kr/OpenGL2003/10(1112)/expmap.pdf (31/05/2011) [5]VINCE, J. RotationTransforms For Computer Graphics. Springer-Verlag. London (UK). 2011. [6]ANGEL, E. Interactive Computer Graphics –ATop Down Approach Using OpenGL, 3rd Edition.Addison-Wesley. 2003. [7] Jonathan Blow. Understanding Slerp,Then Not Using It.Disponível em http://number- none.com/product/Understanding%20Slerp,%20Then%20Not%20Using%20It

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