Torre de hanoi

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Torre de hanoi

  1. 1. Torre de HanoiGrupo: Gabriel Araújo, Rafael Roberto, Pedro Lucas, Bruno Brunnet
  2. 2. HistóriaA torre de Hanói, também conhecida por torre de bramanismoou quebra-cabeças do fim do mundo, foi inventada e vendidacomo brinquedo, no ano de 1883, pelo matemático francêsEdouard Lucas. Segundo ele, o jogo que era popular na China eno Japão veio do Vietnã. O matemáticofoi inspirado por uma lenda Hindu, a qual falava de um temploem Benares, cidade Santa da Índia, onde existia uma torresagrada do bramanismo, cuja função era melhorar a disciplinamental dos jovens monges.
  3. 3. História e LendaDe acordo com a lenda, no grande templo de Benares, debaixo da cúpulaque marca o centro do mundo, há uma placa de bronze sobre a qual estãofixadas três hastes de diamante. Em uma dessas hastes, o deusBrama, no momento da criação do mundo, colocou 64 discos de ouropuro, de forma que o disco maior ficasse sobre a placa de bronze e os outrosdecrescendo até chegar ao topo. A atribuição que os monges receberam foide transferir a torre formada pelos discos, de uma haste para outra, usandoa terceira como auxiliar com as restrições de movimentar um disco por vez ede nunca colocar um disco maior sobre um menor. Os monges deveriamtrabalhar com eficiência noite e diae, quando terminassem o trabalho, o templo seria transformado em póe o mundo acabaria. O desaparecimento do mundopode ser discutido mas não há dúvida quanto ao desmoronamento dotemplo.
  4. 4. Regras em geralA Torre de Hanói é um "quebra-cabeça" que consiste em umabase contendo três pinos, em um dos quais são dispostosalguns discos uns sobre os outros, em ordem crescente dediâmetro, de cima para baixo. O problema consiste em passartodos os discos de um pino para outro qualquer, usando um dospinos como auxiliar, de maneira que um disco maior nunca fiqueem cima de outro menor em nenhuma situação. O número dediscos pode variar sendo que o mais simples contém apenastrês.A Torre de Hanói tem sido tradicionalmente considerada comoum procedimento para avaliação da capacidade de memória detrabalho, e principalmente de planejamento e solução deproblemas.
  5. 5. SoluçõesÉ interessante observar que o número mínimo de "movimentos" para conseguir transferirtodos os discos da primeira estaca à terceira é 2n-1, sendo n o número de discos. Logo:Para solucionar um Hanói de 4 discos, são necessários 15 movimentosPara solucionar um Hanói de 7 discos, são necessários 127 movimentosPara solucionar um Hanói de 15 discos, são necessários 32.767 movimentosPara solucionar um Hanói de 64 discos, como diz a lenda, são necessários18.446.744.073.709.551.615 movimentos.Para entender a lógica da Torre de Hanói é necessário analisar a construção de diferentesníveis da torre com o número mínimo de movimentos, tendo o nível anterior jáformado, sendo que esses níveis são o número de peças desintegradas da torre originalque irão formar outra torre com os menores discos.Para mover o primeiro disco da torre original, 1 movimento é gasto. Para mover o segundoda torre original, sendo que o primeiro já foi movido e será construída uma torre com os 2menores discos, são gastos 2 movimentos. Para deslocar o terceiro disco formando novatorre com os três menores discos, tendo a torre com os dois menores já formada, sãogastos 4 movimentos.Assim se sucede com os próximos discos até que o enésimo disco (o último) sejadeslocado compondo uma torre com os outros discos tendo uma torre com o penúltimodisco e os demais juntos já formada. A sucessão formada pela soma dos movimentos éuma sucessãoA fórmula é provinda da soma de uma progressão geométrica.Sabe-se que em uma progressão geométrica a soma de seus termos equivale a , onde "a"é o primeiro termo e "q" é a razão.Já que a razão é 2 e o primeiro termo é 1 temos que

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