2015年度秋学期　応用数学（解析）　第６回　変数分離形の変形 (2015. 11. 5)

A.Asano,KansaiUniv.
2015年度秋学期応用数学（解析）
浅野晃
関西大学総合情報学部
第２部・基本的な微分方程式
変数分離形の変形
第６回

A.Asano,KansaiUniv.
変数分離形（復習）

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
変数分離形
一般には
両辺それぞれを
積分すると
離形の微分方程式は，一般には
g(x)x′
= f(t)
x′
=
dx
dt
として上記のやりかたで変形すると
g(x)dx = f(t)dt
て
g(x)dx = f(t)dt + C
とすると
，この形にできる微分方程式を変数分離形といいます。
数分離形の微分方程式は，一般には
g(x)x′
= f(t)
れを，x′
=
dx
dt
g(x)dx = f(t)dt
積分して
g(x)dx = f(t)dt + C
C は積分定数です。初期値が x(t0) = x0 である場合は，求められた
C の値を定め，特殊解を求めます。
れを，x′
=
dx
dt
として上記のやりかたで変形す
g(x)dx = f(t)dt
積分して
g(x)dx = f(t)dt + C
C は積分定数です。初期値が x(t0) = x0 であ
て C の値を定め，特殊解を求めます。
。これを，x′
=
dx
dt
g(x)dx = f(t)dt
ぞれ積分して
g(x)dx = f(t)dt + C
す。C は積分定数です。初期値が x(t0) = x0 であ
して C の値を定め，特殊解を求めます。
一般解に含まれる積分定数 C は，
初期値を代入して定まり，特殊解が得られる

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
変数分離形
一般には
両辺それぞれを
積分すると
離形の微分方程式は，一般には
g(x)x′
= f(t)
x′
=
dx
dt
g(x)dx = f(t)dt
て
g(x)dx = f(t)dt + C
とすると
，この形にできる微分方程式を変数分離形といいます。
数分離形の微分方程式は，一般には
g(x)x′
= f(t)
れを，x′
=
dx
dt
g(x)dx = f(t)dt
積分して
g(x)dx = f(t)dt + C
C は積分定数です。初期値が x(t0) = x0 である場合は，求められた
C の値を定め，特殊解を求めます。
れを，x′
=
dx
dt
g(x)dx = f(t)dt
積分して
g(x)dx = f(t)dt + C
C は積分定数です。初期値が x(t0) = x0 であ
て C の値を定め，特殊解を求めます。
。これを，x′
=
dx
dt
g(x)dx = f(t)dt
ぞれ積分して
g(x)dx = f(t)dt + C
す。C は積分定数です。初期値が x(t0) = x0 であ
して C の値を定め，特殊解を求めます。
一般解に含まれる積分定数 C は，
初期値を代入して定まり，特殊解が得られる
今日は，変形によって変数分離形に持ち込める方程式です

A.Asano,KansaiUniv.
１．同次形

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
同次形
一般には
の微分方程式とは，次の形のものをいいます。
dx
dt
= f(
x
t
).
と x = ut ですから，
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
。
k

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
同次形
一般には
dx
dt
= f(
x
t
).
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
。
k
x/t の式になっている

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
同次形
一般には
dx
dt
= f(
x
t
).
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
。
k
とおくと
) についての同次形の微分方程式とは，次の形のものをい
dx
dt
= f(
x
t
).
式は，
x
t
= u とおくと x = ut ですから，
dx
dt
= t
du
dt
+ u と
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
離形に変形できます。
で，関数 M(x, t) が M(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数
数 x(t) についての微分方程式が
dx
=
M(x, t)
と表される
についての同次形の微分方程式とは，次の形のものをい
dx
dt
= f(
x
t
).
は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u と
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
形に変形できます。
，関数 M(x, t) が M(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関
dx M(x, t)

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
同次形
一般には
dx
dt
= f(
x
t
).
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
。
k
とおくと
dx
dt
= f(
x
t
).
式は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u と
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx
=
M(x, t)
と表される
dx
dt
= f(
x
t
).
は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u と
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx M(x, t)
この両辺を微分

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
同次形
一般には
dx
dt
= f(
x
t
).
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
。
k
とおくと
dx
dt
= f(
x
t
).
式は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u と
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx
=
M(x, t)
と表される
dx
dt
= f(
x
t
).
は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u と
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx M(x, t)

x(t) についての同次形の微分方程式とは，次の形のものをい
dx
dt
= f(
x
t
).
程式は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u と
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
分離形に変形できます。
ろで，関数 M(x, t) が M(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数
関数 x(t) についての微分方程式が
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
と表される

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
同次形
一般には
dx
dt
= f(
x
t
).
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
。
k
とおくと
dx
dt
= f(
x
t
).
式は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u と
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx
=
M(x, t)
と表される
dx
dt
= f(
x
t
).
は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u と
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx M(x, t)

dx
dt
= f(
x
t
).
程式は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u と
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
と表される
積の微分

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
同次形
一般には
dx
dt
= f(
x
t
).
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
。
k
とおくと
dx
dt
= f(
x
t
).
式は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u と
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx
=
M(x, t)
と表される
dx
dt
= f(
x
t
).
は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u と
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx M(x, t)

dx
dt
= f(
x
t
).
程式は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u と
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
と表される
よって
積の微分

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
同次形
一般には
dx
dt
= f(
x
t
).
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
。
k
とおくと
dx
dt
= f(
x
t
).
式は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u と
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx
=
M(x, t)
と表される
dx
dt
= f(
x
t
).
は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u と
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx M(x, t)

dx
dt
= f(
x
t
).
程式は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u と
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
と表される
よって
次形の微分方程式とは，次の形のものをいいます。
dx
dt
= f(
x
t
).
くと x = ut ですから，
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
す。
が M(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数 M は k 次の同次関
の微分方程式が
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
と表される時，もしも M, N が
積の微分

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
同次形
一般には
dx
dt
= f(
x
t
).
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
。
k
とおくと
dx
dt
= f(
x
t
).
式は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u と
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx
=
M(x, t)
と表される
dx
dt
= f(
x
t
).
は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u と
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx M(x, t)

dx
dt
= f(
x
t
).
程式は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u と
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
と表される
よって
dx
dt
= f(
x
t
).
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
す。
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
の同次形の微分方程式とは，次の形のものをいいます。
dx
dt
= f(
x
t
).
u とおくと x = ut ですから，
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
できます。
(x, t) が M(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数 M は k 次
dx M(x, t)
積の微分

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
同次形
一般には
変数分離形になった
dx
dt
= f(
x
t
).
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
。
k
とおくと
dx
dt
= f(
x
t
).
式は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u と
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx
=
M(x, t)
と表される
dx
dt
= f(
x
t
).
は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u と
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx M(x, t)

dx
dt
= f(
x
t
).
程式は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u と
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
と表される
よって
dx
dt
= f(
x
t
).
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
す。
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
の同次形の微分方程式とは，次の形のものをいいます。
dx
dt
= f(
x
t
).
u とおくと x = ut ですから，
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
できます。
(x, t) が M(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数 M は k 次
dx M(x, t)
積の微分

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
同次関数
f(u) − u t
数分離形に変形できます。
ころで，関数 M(x, t) が M(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数 M は k 次の
。関数 x(t) についての微分方程式が
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
と表される時，もしも M
なら，x = ut とすると
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
=
tkM(u, 1)
tkN(u, t)
=
M(u, 1)
N(u, 1)
=
M(x
t , 1)
N(x
t , 1)
り，(1) 式の形になります。同次形という名前はここからきています。
数 x(t) についての微分方程式 x′
=
t − x
t + x
の一般解を求めてください。
解答）右辺の分母分子を t で割ると
x
f(u) − u
du =
t
dt
できます。
x, t) が M(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数 M は k
いての微分方程式が
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
と表される時，もし
すると
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
=
tkM(u, 1)
tkN(u, t)
=
M(u, 1)
N(u, 1)
=
M(x
t , 1)
N(x
t , 1)
なります。同次形という名前はここからきています。
関数が k 次の同次関数であるとは
の形になっていること

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
同次関数
f(u) − u t
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
=
tkM(u, 1)
tkN(u, t)
=
M(u, 1)
N(u, 1)
=
M(x
t , 1)
N(x
t , 1)
=
t − x
t + x
x
f(u) − u
du =
t
dt
できます。
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
すると
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
=
tkM(u, 1)
tkN(u, t)
=
M(u, 1)
N(u, 1)
=
M(x
t , 1)
N(x
t , 1)
tk をくくり出せる

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
同次関数
f(u) − u t
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
=
tkM(u, 1)
tkN(u, t)
=
M(u, 1)
N(u, 1)
=
M(x
t , 1)
N(x
t , 1)
=
t − x
t + x
x
f(u) − u
du =
t
dt
できます。
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
すると
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
=
tkM(u, 1)
tkN(u, t)
=
M(u, 1)
N(u, 1)
=
M(x
t , 1)
N(x
t , 1)
微分方程式が
M, N がどちらも k 次の同次関数なら，x = ut とおいて
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
形できます。
M(x, t) が M(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数 M は k 次の同次関数
ついての微分方程式が
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
とすると
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
=
tkM(u, 1)
tkN(u, t)
=
M(u, 1)
N(u, 1)
=
M(x
t , 1)
N(x
t , 1)
形になります。同次形という名前はここからきています。
の形で

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
同次関数
f(u) − u t
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
=
tkM(u, 1)
tkN(u, t)
=
M(u, 1)
N(u, 1)
=
M(x
t , 1)
N(x
t , 1)
=
t − x
t + x
x
f(u) − u
du =
t
dt
できます。
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
すると
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
=
tkM(u, 1)
tkN(u, t)
=
M(u, 1)
N(u, 1)
=
M(x
t , 1)
N(x
t , 1)
微分方程式が
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
形できます。
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
とすると
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
=
tkM(u, 1)
tkN(u, t)
=
M(u, 1)
N(u, 1)
=
M(x
t , 1)
N(x
t , 1)
の形で
とおくと x = ut ですから，
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
きます。
t) が M(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数 M は k 次の同次関数であると
ての微分方程式が
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
と表される時，もしも M, N が同じk 次の
ると
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
=
tkM(u, 1)
tkN(u, 1)
=
M(u, 1)
N(u, 1)
=
M(x
t , 1)
N(x
t , 1)
ります。同次形という名前はここからきています。

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
同次関数
前ページの
形になる
f(u) − u t
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
=
tkM(u, 1)
tkN(u, t)
=
M(u, 1)
N(u, 1)
=
M(x
t , 1)
N(x
t , 1)
=
t − x
t + x
x
f(u) − u
du =
t
dt
できます。
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
すると
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
=
tkM(u, 1)
tkN(u, t)
=
M(u, 1)
N(u, 1)
=
M(x
t , 1)
N(x
t , 1)
微分方程式が
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
形できます。
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
とすると
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
=
tkM(u, 1)
tkN(u, t)
=
M(u, 1)
N(u, 1)
=
M(x
t , 1)
N(x
t , 1)
の形で
とおくと x = ut ですから，
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
きます。
t) が M(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数 M は k 次の同次関数であると
ての微分方程式が
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
と表される時，もしも M, N が同じk 次の
ると
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
=
tkM(u, 1)
tkN(u, 1)
=
M(u, 1)
N(u, 1)
=
M(x
t , 1)
N(x
t , 1)

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
例題
を解いて，一般解を求めよ。方程式 x′
=
t − x
t + x
を t で割ると
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
式は同次形です。そこで
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，与
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1 1

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
例題
=
t − x
t + x
を t で割ると
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，与
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1 1
分母分子を t でわると
いての微分方程式 x′
=
t − x
t + x
の分母分子を t で割ると
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
，この方程式は同次形です。そこで
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1 1

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
例題
=
t − x
t + x
を t で割ると
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，与
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1 1
=
t − x
t + x
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1 1
同次形

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
例題
=
t − x
t + x
を t で割ると
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，与
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1 1
=
t − x
t + x
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1 1
同次形
とおくと
程式の解を積分によって求める方法を求積法といいます。今回は，式変形
，求積法で解ける形の方程式を紹介します。
の微分方程式
x(t) についての同次形の微分方程式とは，次の形のものをいいます。
dx
dt
= f(
x
t
).
程式は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
ろで，関数 M(x, t) が M(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数 M は k 次の
dx
=
M(x, t)
し，求積法で解ける形の方程式を紹介します。
形の微分方程式
数 x(t) についての同次形の微分方程式とは，次の形のものをいいます。
dx
dt
= f(
x
t
).
方程式は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
ころで，関数 M(x, t) が M(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数 M は k 次
dx M(x, t)
より
前回は，変数分離形の微分方程式と，それを積分によって解く方法を説明しました
分方程式の解を積分によって求める方法を求積法といいます。今回は，式変形によ
着し，求積法で解ける形の方程式を紹介します。
次形の微分方程式
関数 x(t) についての同次形の微分方程式とは，次の形のものをいいます。
dx
dt
= f(
x
t
).
の方程式は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
変数分離形に変形できます。
ところで，関数 M(x, t) が M(ut, t) = tkM(u, 1) となるとき，関数 M は k 次の同次
す。関数 x(t) についての微分方程式が
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
と表される時，もしも M, N

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
例題
=
t − x
t + x
を t で割ると
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，与
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1 1
=
t − x
t + x
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1 1
同次形
とおくと
の微分方程式
dx
dt
= f(
x
t
).
程式は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx
=
M(x, t)
dx
dt
= f(
x
t
).
方程式は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx M(x, t)
より
dx
dt
= f(
x
t
).
の方程式は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
よって
方程式 x′
=
t − x
t + x
を t で割ると
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
(4)
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，与えられた
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
(5)

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
例題
=
t − x
t + x
を t で割ると
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，与
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1 1
=
t − x
t + x
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1 1
同次形
とおくと
の微分方程式
dx
dt
= f(
x
t
).
程式は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx
=
M(x, t)
dx
dt
= f(
x
t
).
方程式は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx M(x, t)
より
dx
dt
= f(
x
t
).
の方程式は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
よって
方程式 x′
=
t − x
t + x
を t で割ると
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
(4)
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
(5)
程式 x′
=
t − x
t + x
t で割ると
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
は同次形です。そこで
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，与えら
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
例題
=
t − x
t + x
を t で割ると
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，与
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1 1
=
t − x
t + x
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1 1
同次形
とおくと
の微分方程式
dx
dt
= f(
x
t
).
程式は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx
=
M(x, t)
dx
dt
= f(
x
t
).
方程式は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx M(x, t)
より
dx
dt
= f(
x
t
).
の方程式は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
よって
方程式 x′
=
t − x
t + x
を t で割ると
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
(4)
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
(5)
程式 x′
=
t − x
t + x
t で割ると
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
t と u を分離

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
例題
=
t − x
t + x
を t で割ると
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，与
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1 1
=
t − x
t + x
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1 1
同次形
とおくと
の微分方程式
dx
dt
= f(
x
t
).
程式は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx
=
M(x, t)
dx
dt
= f(
x
t
).
方程式は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx M(x, t)
より
dx
dt
= f(
x
t
).
の方程式は，
x
t
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，
t
du
dt
+ u = f(u)
1
f(u) − u
du =
1
t
dt
dx
dt
=
M(x, t)
N(x, t)
よって
方程式 x′
=
t − x
t + x
を t で割ると
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
(4)
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
(5)
程式 x′
=
t − x
t + x
t で割ると
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
微分方程式 x′
=
t − x
t + x
子を t で割ると
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
(4)
程式は同次形です。そこで
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
(5)
t と u を分離

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
例題
=
t − x
t + x
を t で割ると
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，与
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1 1
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
（解析）（2014 年度秋学期）第６回 (2014. 10. 30) http://racco.

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
例題
=
t − x
t + x
を t で割ると
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，与
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1 1
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
微分の関係に
なっている

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
例題
=
t − x
t + x
を t で割ると
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，与
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1 1
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
ここでます。ここで
d
du
(u2
+ 2u − 1) = 2(u + 1) ですから，(5) 式の両辺を積分する
1
2
log(|u2
+ 2u − 1|) = − log |t| + C (6)
の定数 A を使って
log(|u2
+ 2u − 1|) = log(A|t|−2
)
t2
(u2
+ 2u − 1) = A
(7)
1 x 2 2
の微分が形になります。ここで
d
du
(u2
+ 2u − 1) = 2(u + 1) ですから，(5) 式の両辺を
数として
1
2
log(|u2
+ 2u − 1|) = − log |t| + C
て，別の定数 A を使って
log(|u2
+ 2u − 1|) = log(A|t|−2
)
t2
(u2
+ 2u − 1) = A
1 x 2
になるから，
微分の関係に
なっている

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
例題
=
t − x
t + x
を t で割ると
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，与
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1 1
上の式の両辺を積分すると
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
d
du
(u2
1
2
log(|u2
+ 2u − 1|) = − log |t| + C (6)
log(|u2
+ 2u − 1|) = log(A|t|−2
)
t2
(u2
+ 2u − 1) = A
(7)
1 x 2 2
d
du
(u2
+ 2u − 1) = 2(u + 1) ですから，(5) 式の両辺を
数として
1
2
log(|u2
+ 2u − 1|) = − log |t| + C
log(|u2
+ 2u − 1|) = log(A|t|−2
)
t2
(u2
+ 2u − 1) = A
1 x 2
になるから，
微分の関係に
なっている

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
例題
=
t − x
t + x
を t で割ると
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，与
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1 1
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
d
du
(u2
1
2
log(|u2
+ 2u − 1|) = − log |t| + C (6)
log(|u2
+ 2u − 1|) = log(A|t|−2
)
t2
(u2
+ 2u − 1) = A
(7)
1 x 2 2
d
du
(u2
+ 2u − 1) = 2(u + 1) ですから，(5) 式の両辺を
数として
1
2
log(|u2
+ 2u − 1|) = − log |t| + C
log(|u2
+ 2u − 1|) = log(A|t|−2
)
t2
(u2
+ 2u − 1) = A
1 x 2
になるから，
微分の関係に
なっている
形になります。ここで
d
du
(u2
+ 2u − 1) = 2(u + 1) ですから，(5) 式の両
数として
1
2
log(|u2
+ 2u − 1|) = − log |t| + C
って，別の定数 A を使って
log(|u2
+ 2u − 1|) = log(A|t|−2
)
t2
(u2
+ 2u − 1) = A
1 x 2

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
例題
=
t − x
t + x
を t で割ると
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，与
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1 1
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
d
du
(u2
1
2
log(|u2
+ 2u − 1|) = − log |t| + C (6)
log(|u2
+ 2u − 1|) = log(A|t|−2
)
t2
(u2
+ 2u − 1) = A
(7)
1 x 2 2
d
du
(u2
+ 2u − 1) = 2(u + 1) ですから，(5) 式の両辺を
数として
1
2
log(|u2
+ 2u − 1|) = − log |t| + C
log(|u2
+ 2u − 1|) = log(A|t|−2
)
t2
(u2
+ 2u − 1) = A
1 x 2
になるから，
微分の関係に
なっている
d
du
(u2
+ 2u − 1) = 2(u + 1) ですから，(5) 式の両
数として
1
2
log(|u2
+ 2u − 1|) = − log |t| + C
log(|u2
+ 2u − 1|) = log(A|t|−2
)
t2
(u2
+ 2u − 1) = A
1 x 2
d
du
(u2
+ 2u − 1) = 2(u + 1) ですから，(5) 式の両
数として
1
2
log(|u2
+ 2u − 1|) = − log |t| + C
log(|u2
+ 2u − 1|) = log(A|t|−2
)
t2
(u2
+ 2u − 1) = A
ができます 1。u =
x
t
ですからこれを代入すると，この方程式の解は x2 +

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
例題
=
t − x
t + x
を t で割ると
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，与
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1 1
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
d
du
(u2
1
2
log(|u2
+ 2u − 1|) = − log |t| + C (6)
log(|u2
+ 2u − 1|) = log(A|t|−2
)
t2
(u2
+ 2u − 1) = A
(7)
1 x 2 2
d
du
(u2
+ 2u − 1) = 2(u + 1) ですから，(5) 式の両辺を
数として
1
2
log(|u2
+ 2u − 1|) = − log |t| + C
log(|u2
+ 2u − 1|) = log(A|t|−2
)
t2
(u2
+ 2u − 1) = A
1 x 2
になるから，
微分の関係に
なっている
d
du
(u2
+ 2u − 1) = 2(u + 1) ですから，(5) 式の両
数として
1
2
log(|u2
+ 2u − 1|) = − log |t| + C
log(|u2
+ 2u − 1|) = log(A|t|−2
)
t2
(u2
+ 2u − 1) = A
1 x 2
d
du
(u2
+ 2u − 1) = 2(u + 1) ですから，(5) 式の両
数として
1
2
log(|u2
+ 2u − 1|) = − log |t| + C
log(|u2
+ 2u − 1|) = log(A|t|−2
)
t2
(u2
+ 2u − 1) = A
x
t
対数の和→
真数の積

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
例題
=
t − x
t + x
を t で割ると
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，与
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1 1
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
d
du
(u2
1
2
log(|u2
+ 2u − 1|) = − log |t| + C (6)
log(|u2
+ 2u − 1|) = log(A|t|−2
)
t2
(u2
+ 2u − 1) = A
(7)
1 x 2 2
d
du
(u2
+ 2u − 1) = 2(u + 1) ですから，(5) 式の両辺を
数として
1
2
log(|u2
+ 2u − 1|) = − log |t| + C
log(|u2
+ 2u − 1|) = log(A|t|−2
)
t2
(u2
+ 2u − 1) = A
1 x 2
になるから，
微分の関係に
なっている
d
du
(u2
+ 2u − 1) = 2(u + 1) ですから，(5) 式の両
数として
1
2
log(|u2
+ 2u − 1|) = − log |t| + C
log(|u2
+ 2u − 1|) = log(A|t|−2
)
t2
(u2
+ 2u − 1) = A
1 x 2
d
du
(u2
+ 2u − 1) = 2(u + 1) ですから，(5) 式の両
数として
1
2
log(|u2
+ 2u − 1|) = − log |t| + C
log(|u2
+ 2u − 1|) = log(A|t|−2
)
t2
(u2
+ 2u − 1) = A
x
t
対数の和→
真数の積
対数の⃝倍→
真数の⃝乗

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
例題
=
t − x
t + x
を t で割ると
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，与
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1 1
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
d
du
(u2
1
2
log(|u2
+ 2u − 1|) = − log |t| + C (6)
log(|u2
+ 2u − 1|) = log(A|t|−2
)
t2
(u2
+ 2u − 1) = A
(7)
1 x 2 2
d
du
(u2
+ 2u − 1) = 2(u + 1) ですから，(5) 式の両辺を
数として
1
2
log(|u2
+ 2u − 1|) = − log |t| + C
log(|u2
+ 2u − 1|) = log(A|t|−2
)
t2
(u2
+ 2u − 1) = A
1 x 2
になるから，
微分の関係に
なっている
d
du
(u2
+ 2u − 1) = 2(u + 1) ですから，(5) 式の両
数として
1
2
log(|u2
+ 2u − 1|) = − log |t| + C
log(|u2
+ 2u − 1|) = log(A|t|−2
)
t2
(u2
+ 2u − 1) = A
1 x 2
d
du
(u2
+ 2u − 1) = 2(u + 1) ですから，(5) 式の両
数として
1
2
log(|u2
+ 2u − 1|) = − log |t| + C
log(|u2
+ 2u − 1|) = log(A|t|−2
)
t2
(u2
+ 2u − 1) = A
x
t
対数の和→
真数の積
対数の⃝倍→
真数の⃝乗
定数は任意なので，絶対値が外れる

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
例題
=
t − x
t + x
を t で割ると
dx
dt
=
1 − x
t
1 + x
t
x
t
= u とおくと
dx
dt
= t
du
dt
+ u となり，与
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1 1
t
du
dt
+ u =
1 − u
1 + u
1
1−u
1+u − u
du =
1
t
dt
u + 1
u2 + 2u − 1
du = −
1
t
dt
d
du
(u2
1
2
log(|u2
+ 2u − 1|) = − log |t| + C (6)
log(|u2
+ 2u − 1|) = log(A|t|−2
)
t2
(u2
+ 2u − 1) = A
(7)
1 x 2 2
d
du
(u2
+ 2u − 1) = 2(u + 1) ですから，(5) 式の両辺を
数として
1
2
log(|u2
+ 2u − 1|) = − log |t| + C
log(|u2
+ 2u − 1|) = log(A|t|−2
)
t2
(u2
+ 2u − 1) = A
1 x 2
になるから，
微分の関係に
なっている
d
du
(u2
+ 2u − 1) = 2(u + 1) ですから，(5) 式の両
数として
1
2
log(|u2
+ 2u − 1|) = − log |t| + C
log(|u2
+ 2u − 1|) = log(A|t|−2
)
t2
(u2
+ 2u − 1) = A
1 x 2
d
du
(u2
+ 2u − 1) = 2(u + 1) ですから，(5) 式の両
数として
1
2
log(|u2
+ 2u − 1|) = − log |t| + C
log(|u2
+ 2u − 1|) = log(A|t|−2
)
t2
(u2
+ 2u − 1) = A
x
t
対数の和→
真数の積
対数の⃝倍→
真数の⃝乗
定数は任意なので，絶対値が外れる
という変数分離形になります。ここで
d
du
(u2
+ 2u − 1) = 2(u + 1) ですか
と，C を積分定数として
1
2
log(|u2
+ 2u − 1|) = − log |t| + C
となります。よって，別の定数 A を使って
log(|u2
+ 2u − 1|) = log(A|t|−2
)
t2
(u2
+ 2u − 1) = A
とあらわすことができます 1。u =
x
t
ですからこれを代入すると，この方程
となります。■
に戻すと
2u − 1|) = − log |t| + C (6)
2u − 1|) = log(A|t|−2
)
2u − 1) = A
(7)
らこれを代入すると，この方程式の解は x2 + 2tx − t2 = A

A.Asano,KansaiUniv.
２．１階線形

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
１階線形微分方程式
一般にはの形になっているもの
ての１階微分方程式が
dx
dt
+ P(t)x = Q(t)
，この方程式を１階線形微分方程式といいます。
p(t) = exp P(t)dt とおくと，(p(t)x)′ が
(p(t)x)′
= (p(t))′
x + p(t)x′
= exp P(t)dt
′
x + p(t)x′
= p(t)P(t)x + p(t)x′
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
C を積分定数として
p(t)x = p(t)Q(t)dt + C

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
dx
dt
+ P(t)x = Q(t)
(p(t)x)′
= (p(t))′
x + p(t)x′
= exp P(t)dt
′
x + p(t)x′
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
と置くと，
一般解は
) についての１階微分方程式が
dx
dt
+ P(t)x = Q(t)
けるとき，この方程式を１階線形微分方程式といいます。
程式は，p(t) = exp P(t)dt とおくと，(p(t)x)′ が
(p(t)x)′
= (p(t))′
x + p(t)x′
= exp P(t)dt
′
x + p(t)x′
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
とから，C を積分定数として
x =
1
p(t)Q(t)dt + C
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
となることから，C を積分定数として
x =
1
p(t)
p(t)Q(t)dt + C
と解くことができます。
例題
関数 x(t) についての微分方程式 x′
+ x = t の一般解を求めてください。
（解答）この方程式は１階線形微分方程式で，(8) 式にあてはめると P(
1
定数には適宜 ± をつけてよいので，絶対値が外れることに注意してください。

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
dx
dt
+ P(t)x = Q(t)
(p(t)x)′
= (p(t))′
x + p(t)x′
= exp P(t)dt
′
x + p(t)x′
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
と置くと，
一般解は
dx
dt
+ P(t)x = Q(t)
(p(t)x)′
= (p(t))′
x + p(t)x′
= exp P(t)dt
′
x + p(t)x′
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
x =
1
p(t)Q(t)dt + C
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
x =
1
p(t)
p(t)Q(t)dt + C
例題
1
なぜならば
式
dx
dt
+ P(t)x = Q(t) (8)
(t) = exp P(t)dt とおくと，(p(t)x)′ が
(p(t)x)′
= (p(t))′
x + p(t)x′
= exp P(t)dt
′
x + p(t)x′
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
(9)
を積分定数として

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
dx
dt
+ P(t)x = Q(t)
(p(t)x)′
= (p(t))′
x + p(t)x′
= exp P(t)dt
′
x + p(t)x′
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
と置くと，
一般解は
dx
dt
+ P(t)x = Q(t)
(p(t)x)′
= (p(t))′
x + p(t)x′
= exp P(t)dt
′
x + p(t)x′
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
x =
1
p(t)Q(t)dt + C
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
x =
1
p(t)
p(t)Q(t)dt + C
例題
1
なぜならば
式
dx
dt
+ P(t)x = Q(t) (8)
(p(t)x)′
= (p(t))′
x + p(t)x′
= exp P(t)dt
′
x + p(t)x′
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
(9)
積の微分

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
dx
dt
+ P(t)x = Q(t)
(p(t)x)′
= (p(t))′
x + p(t)x′
= exp P(t)dt
′
x + p(t)x′
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
と置くと，
一般解は
dx
dt
+ P(t)x = Q(t)
(p(t)x)′
= (p(t))′
x + p(t)x′
= exp P(t)dt
′
x + p(t)x′
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
x =
1
p(t)Q(t)dt + C
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
x =
1
p(t)
p(t)Q(t)dt + C
例題
1
なぜならば
式
dx
dt
+ P(t)x = Q(t) (8)
(p(t)x)′
= (p(t))′
x + p(t)x′
= exp P(t)dt
′
x + p(t)x′
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
(9)
積の微分
指数の合成関数の微分

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
dx
dt
+ P(t)x = Q(t)
(p(t)x)′
= (p(t))′
x + p(t)x′
= exp P(t)dt
′
x + p(t)x′
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
と置くと，
一般解は
dx
dt
+ P(t)x = Q(t)
(p(t)x)′
= (p(t))′
x + p(t)x′
= exp P(t)dt
′
x + p(t)x′
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
x =
1
p(t)Q(t)dt + C
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
x =
1
p(t)
p(t)Q(t)dt + C
例題
1
なぜならば
式
dx
dt
+ P(t)x = Q(t) (8)
(p(t)x)′
= (p(t))′
x + p(t)x′
= exp P(t)dt
′
x + p(t)x′
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
(9)
積の微分
指数の合成関数の微分
dx
dt
+ P(t)x = Q(t)
の形に書けるとき，この方程式を１階線形微分方程式といいます。
この方程式は，p(t) = exp P(t)dt とおくと，(p(t)x)′ が
(p(t)x)′
= (p(t))′
x + p(t)x′
= exp P(t)dt
′
x + p(t)x
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
1
よって，両辺を積分して

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
例題
を解いて，一般解を求めよ。程式 x′
線形微分方程式で，(8) 式にあてはめると P(t) ≡
ので，絶対値が外れることに注意してください。
度秋学期）第６回 (2014. 10. 30) http://racc

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
例題
程式が
dx
dt
+ P(t)x = Q(t) (8)
１階線形微分方程式といいます。
(t)dt とおくと，(p(t)x)′ が
t)x)′
= (p(t))′
x + p(t)x′
= exp P(t)dt
′
x + p(t)x′
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
(9)
して
にあてはめると

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
例題
程式が
dx
dt
+ P(t)x = Q(t) (8)
t)x)′
= (p(t))′
x + p(t)x′
= exp P(t)dt
′
x + p(t)x′
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
(9)
して
す。
の微分方程式 x′
式は１階線形微分方程式で，(8) 式にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t です。よっ
けてよいので，絶対値が外れることに注意してください。
（2014 年度秋学期）第６回 (2014. 10. 30) http://racco.mikeneko.jp/ 2/3 ペー

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
例題
程式が
dx
dt
+ P(t)x = Q(t) (8)
t)x)′
= (p(t))′
x + p(t)x′
= exp P(t)dt
′
x + p(t)x′
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
(9)
して
す。
よって
関数 x(t) についての１階微分方程式が
dx
dt
+ P(t)x = Q(t)
(p(t)x)′
= (p(t))′
x + p(t)x′
= exp P(t)dt
′
x + p(t)x′
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
x =
1
p(t)
p(t)Q(t)dt + C
とすると

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
例題
程式が
dx
dt
+ P(t)x = Q(t) (8)
t)x)′
= (p(t))′
x + p(t)x′
= exp P(t)dt
′
x + p(t)x′
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
(9)
して
す。
て p(t) = exp 1dt = et で
と求められます。■
よって
dx
dt
+ P(t)x = Q(t)
(p(t)x)′
= (p(t))′
x + p(t)x′
= exp P(t)dt
′
x + p(t)x′
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
x =
1
p(t)
p(t)Q(t)dt + C
とすると

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
例題
程式が
dx
dt
+ P(t)x = Q(t) (8)
t)x)′
= (p(t))′
x + p(t)x′
= exp P(t)dt
′
x + p(t)x′
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
(9)
して
す。
前ページの式から
dt
(p(t)x)′
= (p(t))′
x + p(t)x′
= exp P(t)dt
′
x + p(t)x′
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
x =
1
p(t)
p(t)Q(t)dt + C
(
例題
（解答）この方程式は１階線形微分方程式で，(8) 式にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t です。よ
よって
dx
dt
+ P(t)x = Q(t)
(p(t)x)′
= (p(t))′
x + p(t)x′
= exp P(t)dt
′
x + p(t)x′
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
x =
1
p(t)
p(t)Q(t)dt + C
とすると

2015年度秋学期
A.Asano,KansaiUniv.
例題
程式が
dx
dt
+ P(t)x = Q(t) (8)
t)x)′
= (p(t))′
x + p(t)x′
= exp P(t)dt
′
x + p(t)x′
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
(9)
して
す。
dt = et で，一般解は (10) 式から，C を定数として
et
x = et
tdt + C
= et
t − et
dt + C
= et
t − et
+ C
x = t − 1 + Ce−t
前ページの式から
dt
(p(t)x)′
= (p(t))′
x + p(t)x′
= exp P(t)dt
′
x + p(t)x′
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
x =
1
p(t)
p(t)Q(t)dt + C
(
例題
（解答）この方程式は１階線形微分方程式で，(8) 式にあてはめると P(t) ≡ 1, Q(t) = t です。よ
よって
dx
dt
+ P(t)x = Q(t)
(p(t)x)′
= (p(t))′
x + p(t)x′
= exp P(t)dt
′
x + p(t)x′
= p(t) P(t)x + x′
= p(t)Q(t)
x =
1
p(t)
p(t)Q(t)dt + C
とすると

2015年度秋学期　応用数学（解析）　第６回　変数分離形の変形 (2015. 11. 5)

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