3. Chương 1
Olympic toán các nước
1.1 Bulgaria
Bài 1
Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n ≥ 3 tồn tại các số tự
nhiên lẻ (x,y) sao cho x2
+ y2
= 2n
Bài 2
Đường tròn k1, k2 với tâm O1, O2 tiếp xúc ngoài tại điểm C.
Đường tròn k tâm O tiếp xúc ngoài với cả hai đường tròn trên.
Gọi l là tiếp tuyến chung của O1, O2 tại điểm C và AB là đường
kính của k vuông góc với đường thẳng l. Giả sử O và A cùng nằm
về một phía của đường thẳng l. Chứng minh rằng AO1, BO1 và
l đồng quy.
Bài 3
Cho a, b, c là các số thực và M là giá trị lớn nhất của hàm
y = |4x3
+ ax2
+ bx + c| (1.1)
trên đoạn [−1, 1].
Chứng minh rằng M ≥ 1 và tìm tất cả các trường hợp dấu đẳng
thức xảy ra.
2
4. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 3
Bài 4
Các số thực a1, a2, . . . , an (n ≥ 3) tạo thành một cấp số cộng.
Tồn tại một hoán vị ai1 , ai2 , . . . , ain của a1, a2, . . . , an là một cấp
số nhận. Tìm các số a1, a2, . . . , an biết chúng đôi một khác nhau
và số lớn nhất là 1996
Bài 5
Cho tứ giác lồi ABCD có ∠ABC +∠BCD < 180 ◦
. E là giao
điểm của đường thẳng AB và CD. Chứng minh rằng ∠ABC =
∠ADC khi và chỉ khi AC2
= CD.CE + AB.AE
Bài 6
Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho pq chia hết (5p
−
2q
)(5q
− 2p
)
Bài 7
Tìm độ dài cạnh nhỏ nhất có thể của một tam giác đều mà
trong đó có thể đặt 3 cái đĩa đường kính 2, 3, 4 không chồng lên
nhau.
Bài 8
Đa thức bậc hai hệ số thực f và g thỏa mãn tính chất: với
x > 0 nếu g(x) nguyên thì g(x) cũng nguyên. Chứng minh rằng
tồn tại 2 số nguyên m, n sao cho f(x) = mg(x) + n với mọi x.
Bài 9
Dãy số {an}∞
n=1 xác định bởi
a1 = 1, an+1 =
an
n
+
n
an
, n ≥ 1
Chứng minh rằng với n ≥ 4 thì [a2
n] = n
Bài 10
Tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn. Đường thẳng
AB và CD giao nhau tại E, đường chéo AC và BD giao nhau tại
F. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác AFD và BFC giao nhau
tại điểm thứ hai H. Chứng minh rằng ∠EHF = 90 ◦
.
5. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 4
Bài 11
Cho một bàn cờ 7x7 đã bị bỏ đi 4 ô ở 4 góc.
(a) Số ít nhất các ô có thể tô màu đen sao cho không thể tìm
thấy một hình chữ thập tạo bởi 5 ô không được tô màu là bao
nhiêu?
(b) Chứng tỏ rằng có thể viết vào mỗi ô vuông một số nguyên
sao cho tổng của 5 số nguyên viết trong 5 ô của một hình chữ
thập bất kì tạo bởi 5 ô vuông là một số âm trong khi tổng tất
cả các số viết trên bàn cờ là một số dương.
6. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 5
1.2 Canada
Bài 1
Cho α, β, γ là các nghiệm của phương trình x3
− x − 1 =0 .
Tính
1−α
1+α
+ 1−β
1+β
+ 1−γ
1+γ
Bài 2
Tìm tất cả các nghiệm của hệ sau
4x2
1+4x2 = y
4y2
1+4y2 = z
4z2
1+4z2 = x
Bài 3
Gọi f(n) là số các hoán vị của a1, a2, . . . , an thỏa mãn
(i) a1=1;
(ii)|ai − ai+1| ≤ 2, i = 1, 2, . . . , n − 1
f(1996) có chia hết cho 3 hay không?
Bài 4
Tam giác ABC cân tại A. Giả sử đường phân giác của góc B
cắt AD tại D và BC = BD + AD Xác định góc A.
Bài 5
r1, r2, . . . , rm là các số hữu tỉ dương cho trước có tổng bằng
1. Hàm f xác định bởi f(n) = n − m
k=1[rkn] với mỗi số nguyên
dương n. Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(n).
7. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 6
1.3 Trung Quốc
Bài 1
Cho H là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Tiếp tuyến kẻ
từ A của đường tròn đường kính BC tiếp xúc với đường tròn tại
P, Q. Chứng minh rằng H, P, Q thẳng hàng.
Bài 2
Tìm số nguyên dương K nhỏ nhất có tính chất: mỗi tập con
gồm K phần tử bất kì của tập 1; 1; . . . ; 50 đều chứa 2 phần tử
phân biệt a, b sao cho a + b chia hết ab
Bài 3
Cho f : R → R thỏa mãn: với mọi x, y ∈ R
f(x3
+ y3
) = (x + y)(f(x)2
− f(x)f(y) + f(y)2
).
Chứng minh rằng với mọi x ∈ R, f(1996x) = 1996f(x).
Bài 4
Tám ca sĩ tham gia một hội diễn nghệ thuật. Tại đó có m bài
hát được biểu diễn. Mỗi bài hát được 4 ca sĩ trình bày và số bài
hát từng cặp ca sĩ trình bày chung là giống nhau. Tìm số m nhỏ
nhất để điều này có thể xảy ra.
Bài 5
Giả sử n là số tự nhiên, x0 = 0, xi > 0 với mọi i = 1, 2, . . . , n
và n
i=1 xi = 1. Chứng tỏ rằng
1 ≤
n
i=1
xi
√
1 + x0 + · · · + xi−1.
√
xi + · · · + xn
<
π
2
Bài 6
Trong tam giác ABC: ∠C = 90 ◦
,∠A = 30 ◦
và BC = 1. Tìm
độ dài nhỏ nhất của cạnh lớn nhất của tam giác nội tiếp tam giác
ABC (tam giác có các đỉnh khác nhau nằm trên các cạnh khác
nhau của tam giác ABC)
8. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 7
1.4 Cộng hòa Czech và Slovak
Bài 1
Chứng minh rằng nếu dãy các số nguyên G(n)∞
n=0 thỏa mãn
G(0) = 0
G(n) = n − G(G(n)) (n = 1, 2, 3, . . .)
thì
(a) G(k) ≥ G(k − 1) với mọi k nguyên dương
(b)Không tồn tại số nguyên dương k nào thỏa mãn G(k − 1) =
G(k) = G(k + 1).
Bài 2
Cho tam giác nhọn ABC với các đường cao AP, BQ, CR.
Chứng minh rằng với mỗi điểm V thuộc miền trong tam giác
PQR luôn tồn tại một tứ diện ABCD sao cho V là điểm của
mặt ABC có khoảng cách đến D lớn nhất (khoảng cách được đo
dọc theo các mặt của tứ diện)
Bài 3
Cho sáu tập con mỗi tập gồm 3 phần tử của một tập hữu hạn
X. Chứng minh rằng có thể tô màu các phần tử của X bởi 2 màu
sao cho không có tập hợp nào trong số các tập con đã cho trên
chỉ có một màu.
Bài 4
Cho một góc nhọn XCY và một các điểm A, B trên tia
CX, CY tương ứng sao cho |CX| < |CA| = |CB| < |CY |. Hãy
chỉ ra cách dựng đường thẳng cắt tia CX, các đoạn AB, BC tại
các điểm K, L, M tương ứng sao cho
KA.Y B = XA.MB = LA.LB = 0
Bài 5
Với số k nào thì tồn tại hàm f : R → N thỏa mãn
(a)f(1995) = 1996 và
(b)f(xy) = f(x) + f(y) + kf(gcd(x, y)) với mọi
x, y ∈ N?
(ở đây gcd(x, y) là kí hiệu ước chung lớn nhất của x và y
9. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 8
Bài 5
Cho tam giác ABC và các điểm K, L, M tương ứng trên cách
cạnh AB, BC, CA sao cho
AK
AB
=
BL
BC
=
CM
CA
=
1
3
Chứng tỏ rằng nếu các đường tròn ngoại tiếp các tam giác
AKM, BLK, CML bằng nhau thì các đường tròn nội tiếp các
tam giác này cũng bằng nhau.
10. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 9
1.5 Pháp
Bài 1
Cho tam giác ABC. Dựng ra phía ngoài tam giác các hình
vuông ABED, BCGF, ACHI. Chứng minh rằng các điểm D, E, F,
G, H, I cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi tam giác
ABC đều hoặc vuông cân.
Bài 2
Cho a, b là 2 số nguyên dương với a lẻ. Xác định dãy un như
sau: u0 = b, và với n ∈ N
un+1
1
2
un nếu un chẵn
un + a nếu un lẻ
(a) Chứng tỏ rằng un ≤ a với n nào đó thuộc R (b) Chứng minh
rằng dãy un kể từ một số hạng nào đó trở đi sẽ tuần hoàn.
Bài 4
(a) Tìm giá trị nhỏ nhất của xx
với x là số thực dương.
(b) Nếu x và y là hai số thực dương, chứng minh rằng xy
+yx
> 1
Bài 4
Cho n là một số nguyên dương. Ta nói một số nguyên dương
k thỏa mãn điều kiện Cn nếu tồn tại 2k số nguyên dương phân
biệt a1, b1,. . . ,ak, bk sao cho các tổng a1 + b1,. . . , ak + bk là các số
phân biệt và nhỏ hơn n
(a) Chứng minh rằng nếu k thỏa mãn điều kiện Cn thì
k ≤ (2n − 3)/5.
(b) Chứng minh rằng 5 thỏa mãn điều kiện C14
(c) Giả sử (2n − 3)/5 là số nguyên. Chứng minh rằng
(2n − 3)/5 thỏa mãn điều kiện Cn
11. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 10
1.6 Đức
Bài 1
Một hòn đá di chuyển trên mặt phẳng tọa độ từ điểm (1,1)
theo quy tắc sau:
(i) Từ điểm (a, b) hòn đá có thể di chuyển tới điểm
(2a, b) hoặc (a, 2b).
(ii) Từ điểm (a, b) hòn đá có thể di chuyển tới điểm
(a − b, b) nếu a > b hoặc tới điểm (a, b − a) nếu
a < b.
Với những x, y nguyên dương nào hòn đá có thể di chuyển đến
điểm (x, y)?
Bài 2
Giả sử S là hợp của nhiều vô hạn các khoảng con của đoạn
[0,1] sao cho không có 2 điểm nào thuộc S có khoảng cách 1/10.
Chứng minh rằng tổng độ dài các khoảng tạo thành S lớn nhất
là 1/2.
Bài 3
Mỗi đường chéo của một ngũ giác lồi song song với một cạnh
của ngũ giác. Chứng minh rằng tỉ số giữa độ dài của một đường
chéo với độ dài cạnh tương ứng với nó như nhau với cả 5 đường
chéo và hãy tính tỉ số đó.
Bài 1
Chứng minh rằng mỗi số nguyên k > 1 có một bội số nhỏ hơn
k4
mà dạng biểu diễn thập phân của nó có nhiều nhất 4 chữ số
phân biệt.
12. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 11
1.7 Hy Lạp
Bài 1
Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, Z, H, O lần lượt là trung
điểm của các đoạn thẳng BC, AD, BD, ED, EZ. Gọi I là giao
điểm của BE và AC, và K là giao điểm của HO và AC. Chứng
minh rằng:
(a) AK = 3CK
(b) HK = 3HO
(c) BE = 3EI
(d) Diện tích tam giác ABC bằng 32 lần diện tích tam
giác EOH
Bài 2
Cho ABD là một tam giác nhọn, AD, BE, CZ là các đường
cao và H là trực tâm. AI, AO là các phân giác trong và phân giác
ngoài của bóc A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AH.
Chứng minh rằng
(a) MN vuông góc với EZ
(b) Nếu MN cắt đoạn AI, AO tại các điểm K, L thì
KL = AH
Bài 3
Cho 81 số tự nhiên mà các ước nguyên tố của chúng thuộc
tập hợp {2, 3, 5}. Chứng minh rằng trong đó có 4 số mà tích của
chúng là lũy thừa bậc 4 của một số nguyên.
Bài 4
Tìm số các hàm f : {1, 2, . . . , n} → {1995, 1996} thỏa mãn
f(1) + f(2) + · · · + f(1996) lẻ.
13. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 12
1.8 Iran
Bài 1
Chứng minh bất đẳng thức sau với x, y, z là các số thực dương:
(xy + yz + zx)
1
(x + y)2
+
1
(y + z)2
+
1
(z + x)2
≥
9
4
.
Bài 2
Chứng minh rằng với mỗi cặp số tự nhiên m, k, m có duy nhất
một cách biểu diễn dạng
m =
ak
k
+
ak−1
k − 1
+ · · · +
at
t
,
trong đó ak > ak−1 > · · · > at ≥ t ≥ 1.
Bài 3
Tam giác ABC có ∠A = 60 ◦
. Gọi O, H, I, I là tâm đường
tròn ngoại tiếp, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường
tròn bàng tiếp góc A. Gọi B , C là các điểm trên đoạn AC, AB
thỏa mãn AB = AB , AC = AC . Chứng minh rằng
(a) Tám điểm B, C, H, O, I, I , B , C cùng nằm trên
một đường tròn.
(b) Nếu OH cắt AB và AC lần lượt tại E vàF thì chu
vi tam giác AEF bằng AB + AC.
(c) OH = |AB − AC|
Bài 4
Giả sử ABC là một tam giác không cân. Các trung tuyến
kẻ từ A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại điểm thứ 2
L, M, N. Nếu LM = LN, chứng tỏ rằng 2BC2
= AB2
+ AC2
Bài 5
Đề nghị tham khảo bản tiếng Anh.
14. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 13
Bài 6
Tìm tất cả các số thực không âm a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an thỏa
mãn:
n
i=1
ai = 96,
n
i=1
ai
2
= 144,
n
i=1
ai
3
= 216.
Bài 7
Điểm D và E nằm trên cạnh AB và AC của tam giác ABC sao
cho DE BC. P là một điểm bất kì trong tam giác ABC. Đường
thẳng PB và PC giao với DE tại F và G tương ứng. Gọi O1 là
tâm đường trong ngoại tiếp tam giác PDG và O2 là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác PFE. Chứng minh rằng AP ⊥ O1O2
Bài 8
Cho P(x) là đa thức với các hệ số hữu tỉ thỏa mãn P−1
(Q) ⊆
Q. Chứng minh rằng P là tuyến tính.
15. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 14
1.9 Ireland
Bài 1
Với mỗi số nguyên dương n tìm ước chung lớn nhất của n!+1
và (n + 1)!
Bài 2
Với mỗi số nguyên dương n gọi S(n) là tổng các chữ số trong
biểu diễn thập phân của n. Chứng minh rằng với mọi n
S(2n) ≤ 2S(n) ≤ 10S(2n)
và hãy chứng tỏ rằng tồn tại n mà S(n) = 1996S(3n).
Bài 3
Cho f : [0, 1] → R thỏa mãn
(i) f(1) =1
(ii) f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ [0, 1],
(iii) nếux, y và x + y đều nằm trong [0,1] thì f(x + y) ≥ f(x) + f(y)
Chứng minh rằng f(x) ≤ 2x với mọi x ∈ [0, 1]
Bài 4
Gọi F là trung điểm cạnh BC của tam giác ABC. Dựng ra
phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABD và ACE vuông cân
tại D và E. Chứng minh rằng DEF là một tam giác vuông cân.
Bài 5
Chỉ ra và chứng minh cách cắt một hình vuông thành nhiều
nhất 5 mảnh mà các mảnh đó có thể ghép lại để tạo thành 3 hình
vuông không cùng diện tích.
16. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 15
Bài 6
Kí hiệu Fn là dãy Fibonaci: F0 = F1 = 1 và Fn+2 = Fn+1 +Fn
với n ≥ 0. Chứng minh rằng:
(i) Mệnh đề "Fn+k − Fn chia hết cho 10 với mọi số
nguyên dương n "đúng với k = 60 và sai với mọi số
tự nhiên k < 60;
(ii) Mệnh đề "Fn+t − Fn chia hết cho 100 với mọi số tự
nhiên n" đúng nếu t = 300 và sai với mọi 0 < t <
300
Bài 7
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n,
21/2
.41/4
· · · (2n
)1/2n
< 4.
Bài 8
Cho p là một số nguyên tố và a, n là các số nguyên dương.
Chứng minh rằng nếu
2p
+ 3p
= an
,
thì n = 1
Bài 9
Cho ABC là một tam giác nhọn và D, E, F lần lượt là chân
các đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C. Gọi P, Q, R tương ứng là chân
các đường vuông góc kẻ từ A, B, C đến EF, FD, DE. Chứng minh
rằng các đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy.
Bài 9
Trong một bàn cờ hình chữ nhật 5 × 9 người ta chơi trò chơi
sau. Ban đầu một số cái đĩa được đặt ngẫu nhiên trên một số
hình vuông, không có hình vuông nào có nhiều hơn 1 đĩa. Một
bước chuyển bao gồm việc di chuyển các đĩa tuân theo quy tắc
sau:
17. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 16
(i) Mỗi đĩa được dịch chuyển lên hình vuông ở trên,
dưới, bên phải hoặc bên trái
(ii) Nếu một đĩa đươc di chuyển lên hoặc xuống trong
một bước thì nó phải đươc di chuyển sang phải hoặc
sang trái trong bước kế tiếp và ngược lại
(iii) Sau khi kết thúc mỗi bước chuyển không hình
vuông nào có nhiều hơn 1 đĩa
Trò chơi kết thúc khi không thể tiếp tục thực hiện phép dịch
chuyển được nữa. Chứng tỏ rằng nếu ban đầu có 33 cái đĩa trên
bàn cờ thì trò chơi cuối cùng sẽ phải kết thúc, và có thể đặt 32
đĩa sao cho trò chơi không bao giờ kết thúc.
18. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 17
1.10 Italy
Bài 1
Trong các tam giác có một cạnh có độ dài l và diện tích S
cho trước tìm tất cả các tam giác có tích độ dài ba đường cao lớn
nhất.
Bài 2
Chứng minh rằng phương trình a2
+ b2
= c2
+ 3 có vô số
nghiệm nguyên {a, b, c}
Bài 3
Cho A và B là các đỉnh đối diện của một hình lập phương
cạnh 1. Tìm bán kính của hình cầu có tâm nằm trong hình lập
phương, tiếp xúc với 3 mặt giao nhau tại A và tiếp xúc với ba
cạnh giao nhau tại B
Bài 4
Cho một bảng chữ cái gồm 3 mẫu tự a, b, c. Tìm tất cả các từ
n chữ cái chứa một số chẵn các chữ a.
Bài 5
Cho một đường tròn C và một điểm A nằm ngoài C. Với mỗi
điểm P trên C dựng hình vuông APQR, thứ tự các đỉnh ngược
chiều kim đồng hồ. Tìm quỹ tích của Q khi P chạy trên C.
Bài 6
Số nhỏ nhất các hình vuông một người cần vẽ trên một tờ giấy
trắng là bao nhiêu để có thể thu được một lưới ô vuông n × n
hoàn chỉnh?
19. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 18
1.11 Nhật Bản
Bài 1
Xét một phép tam giác đạc trên mặt phẳng, nói cách khác
là một phép phủ mặt phẳng bởi các tam giác sao cho không có
hai tam giác nào có phần trong chồng lên nhau và không có đỉnh
nào thuộc phần trong hay trên cạnh của tam giác khác. Giả sử
A, B, C là 3 đỉnh của phép tam giác đạc và θ là góc nhỏ nhất
trong tam giác ABC. Giả sử rằng không có đỉnh nào của phép
tam giác đạc nằm trong đường trong ngoại tiếp tam giác ABC.
Chứng minh rằng có một tam giác σ của phép tam giác đạc sao
cho σ ∩ ABC = ∅ và mọi góc của σ đều lớn hơn θ.
Bài 2
Cho m, n là các số nguyên dương với gcd(m, n) = 1. Tính
gcd(5m
+ 7m
, 5n
+ 7n
). gcd(m, n) là kí hiệu ước chung lớn nhất
của m và n.)
Bài 3
Cho x là một số thực lớn hơn 1, không nguyên. Với n =
1, 2, 3, . . ., đặt an = xn+1
− x xn
. Chứng minh rằng dãy {an}
không tuần hoàn.
Bài 4
Gọi θ là góc lớn nhất trong sáu góc tạo bởi các cạnh của hình
tứ diện đều với một mặt phẳng cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất
của θ.
Bài 5
Cho q là một số thực với (1 +
√
5)/2 < q < 2. Với một số
nguyên n có dạng biểu diễn nhị phân
n = 2k
+ ak−1.2k−1
+ · · · + a1.2 + a0
với ai ∈ {0, 1}, ta xác định pn như sau:
pn = qk
+ ak−1qk−1
+ · · · + a1q + a0.
Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương k sao cho không
tồn tại số nguyên dương l thỏa mãn p2k < pl < p2k+1.
20. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 19
1.12 Ba Lan
Bài 1
Tìm tất cả các cặp số (n, r) với n là một số nguyên dương và
r là một số thực để đa thức (x + 1)n
− r chia hết cho đa thức
2x2
+ 2x + 1.
Bài 1
Cho tam giác ABC và một điểm P nằm trong tam giác sao
cho ∠PBC= ∠PCA<∠PAB. Đường thẳng PB cắt đường trọn
ngoại tiếp tam giác ABC tại B và E, và đường thẳng CE cắt
đường tròn ngoại tiếp tam giác APE tại E và F. Hãy chứng tỏ
rằng tỉ số diện tích của tứ giác APEF và tam giác APB không
phụ thuộc vào việc chọn điểm P.
Bài 3
Cho n>2 là một số tự nhiên cố định và a1, a2, . . . , an là các
số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng với các số dương
x1, x2, . . . , xn có tổng bằng 1 ta có :
2
i<j
xixj ≤
n − 2
n − 1
+
n
i=1
aix2
1 − ai
và xác định khi nào xảy ra dấu đẳng thức.
Bài 4
Cho ABCD là một tứ diện với ∠BAC = ∠ACD và ∠ABD =
∠BDC. Chứng tỏ rằng cạnh AB và CD có cùng độ dài.
Bài 5
Với mỗi số tự nhiên k kí hiệu p(k) là số nguyên tố nhỏ nhất
không là ước của k. Nếu p(k)>2, gọi q(k) là tích của tất cả các
số nguyên tố nhỏ hơn p(k), nếu không đặt q(k) = 1. Xét dãy:
x0 = 1, xn+1 =
xnp(xn)
q(xn)
n = 0, 1, 2, . . .
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho xn=111111.
21. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 20
Bài 6
Từ tập tất cả các hoán vị f của {1, 2, . . . , n} thỏa mãn điều
kiện
f(i) ≥ i − 1 i = 1, 2, . . . , n,
một phần tử được chọn ngẫu nhiên. Gọi pn là xác suất để chọn
được hoán vị f thỏa mãn
f(i) ≤ i + 1 i = 1, 2, . . . , n.
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho pn>1/3.
22. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 21
1.13 Romania
Bài 1
Cho n > 2 là một số nguyên và hàm f : R → R2
thỏa mãn
với mọi đa giác đều n cạnh A1A2 . . . An,
f(A1) + f(A2) + · · · + f(An) = 0.
Chứng minh rằng f đồng nhất bằng 0.
Bài 2
Tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho tồn tại n số nguyên
không âm x1, x2, . . . , xn, tất cả không cùng bằng 0, thỏa mãn :
với dãy bất kì 1, 2, . . . , n của các phần tử thuộc tập {-1,0,1},
tất cả không cùng bằng không, n = 3 không chia hết 1x1 + 2x2 +
· · · + nxn.
Bài 3
Với các số thực x, y, chứng tỏ rằng nếu tập hợp
{cos(nπx) + cos(nπy)|n ∈ N}
hữu hạn thì x, y ∈ Q.
Bài 4
Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp và M là tập các tâm đường
tròn nội tiếp và bàng tiếp của các tam giác BCD, CDA, DAB,
ABD (tổng cộng 16 điểm). Chứng minh rằng tồn tại hai tập hợp
các đường thẳng song song K và L, mỗi tập gồm 4 đường thẳng
sao cho mỗi đường thẳng thuộc tập K ∪ L chứa đúng 4 điểm của
M.
Bài 5
Cho a ∈ R và các hàm f1, f2, . . . , fn : R → R cộng tính thỏa
mãn: f1(x)f2(x) · · · fn(x) = axn
với mọi x ∈ R. Chứng minh rằng
tồn tại b ∈ R và i ∈ {1, 2, . . . , n} sao cho fi(x) = bx với mọi
x ∈ R
23. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 22
Bài 6
Dãy {an}n≥2 được xác định như sau: nếu p1, p2, . . . , pk là các
ước nguyên tố phân biệt của n thì an = p−1
1 + p−1
2 + · · · + p−1
k .
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương N ≥ 2,
N
n=2
a2a3 · · · an < 1.
Bài 7
Cho số tự nhiên n ≥ 3 và x1, x2, . . . , xn−1 nguyên không âm
thỏa mãn:
x1 + x2 + · · · + xn−1 = n
x1 + 2x2 + · · · + (n − 1)xn−1 = 2n − 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng :
F(x1, x2, . . . , xn−1) =
n−1
k=1
kxk(2n − k).
Bài 8
Cho n, r là các số nguyên dương và A là một tập của lưới các
điểm trên mặt phẳng sao cho một hình tròn mở bất kì bán kính r
chứa một điểm của A. Chứng minh rằng với mọi cách tô màu các
điểm của A bằng n màu luôn tồn tại 4 điểm cùng màu là đỉnh
của một hình chữ nhật.
Bài 9
Tìm tất cả các cặp số nguyên tố p, q sao cho đồng dư thức
α3pq
≡ α( mod 3pq)
đúng với mọi số nguyên α.
24. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 23
Bài 10
Cho số tự nhiên n ≥ 3 và số nguyên tố p ≥ 2n − 3. Giả sử
M là một tập gồm n điểm trên mặt phẳng, không có 3 điểm nào
thẳng hàng, và hàm f : M → {0, 1, . . . , p − 1} thỏa mãn
(i) Chỉ có một điểm của M có ảnh là 0, và
(ii) Nếu A, B, C là các điểm phân biệt của M và k là
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì :
P∈M∩k
f(P) ≡ 0( mod p).
Hãy chứng tỏ rằng tất cả các điểm của M đều nằm trên một
đường tròn.
Bài 11
Cho x1, x2, . . . , xn, xn+1 là các số thực dương thỏa mãn x1 +
x2 + · · · + xn = xn+1. Chứng minh rằng:
n
i=1
xi(xn+i − xi) ≥
n
i=1
xn+1(xn+1 − xi).
Bài 12
Cho x, y, z là các số thực. Chứng minh rằng các mệnh đề sau
tương đương:
(i) x, y, z>0 và 1
x
+ 1
y
+ 1
z
≤ 1.
(ii) Với mọi tứ giác cạnh a, b, c, d : a2
x + b2
y + c2
z > d2
25. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 24
1.14 Nga
Bài 1
Số nào có nhiều hơn trong các số tự nhiên trong khoảng 1 đến
1000000 : các số có thể biểu diễn dưới dạng tổng của một bình
phương và một lập phương hay các số không biểu diễn được như
vậy?
Bài 2
Tâm O1, O2, O3 của ba đường tròn cùng bán kính không giao
nhau tạo thành 3 đỉnh của một tam giác. Từ mỗi điểm O1, O2, O3
kẻ các tiếp tuyến đến hai đường tròn còn lại. Biết rằng giao điểm
của các đường thẳng này tạo thành một lục giác lồi. Các cạnh
của lục giác được tô luân phiên các bởi màu đỏ và xanh. Chứng
minh rằng tổng độ dài của các cạnh màu xanh bằng tổng độ dài
của các cạnh màu đỏ.
Bài 3
Cho x, y, n, p, k là các số tự nhiên thỏa mãn:
xn
+ yn
= pk
Chứng minh rằng nếu n > 1 là số lẻ và p là một số nguyên tố lẻ
thì n là một lũy thừa của p.
Bài 4
Trong nghị viện có 1600 nghị viên, tạo thành 16000 ủy ban,
mỗi ủy ban gồm 80 người. Chứng minh rằng có thể tìm được hai
ủy ban có chung không ít hơn 4 thành viên.
Bài 5
Chứng minh rằng một cấp số cộng với số hạng đầu tiên là 1
và công sai 729 có vô số lũy thừa của 10.
Bài 6
Trong tam giác cân ABC(AC = BC) điểm O là tâm đường
tròn ngoại tiếp và I là tâm đường tròn nội tiếp và D nằm trên
BC sao cho đường thẳng OD và BI vuông góc. Chứng minh rằng
ID và AC song song.
26. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 25
Bài 7
Có hai đống tiền xu trên bàn. Biết rằng tổng khối lượng các
đồng xu ở 2 đống bằng nhau và với mọi số tự nhiên k không vượt
quá số đồng xu của mỗi đống, tổng khối lượng của k đồng nặng
nhất của đống thứ nhất không lớn hơn tổng khối lượng k đồng
xu nặng nhất của đống thứ hai. Chứng minh rằng với mọi số tự
nhiên x, nếu mỗi đồng tiền khối lương không vượt quá x ở mỗi
đống được thay bởi một đồng tiền khối lượng x thì đống thứ nhất
sẽ không nhẹ hơn đống thứ hai.
Bài 8
Một bàn cờ 5 × 7 có thể được phủ bởi các hình chữ L (tạo bởi
hình vuông 2x2 bỏ đi một góc 1x1), không vượt ra ngoài bàn cờ,
tạo thành nhiều lớp mà mỗi hình vuông của bàn cờ được phủ bởi
cùng một số lượng chữ L?
Bài 9
Cho điểm E, F trên cạnh BC của tứ giác lồi ABCD (E gần B
hơn F). Biết rằng ∠BAE = ∠CDF và ∠EAF = ∠FDE. Chứng
minh ∠FAC = ∠EDB.
Bài 10
Trên mặt phẳng tọa độ đặt 4 cái máy đếm, mỗi cái có tâm ở
các tọa độ nguyên. Người ta có thể di chuyển một cái máy đếm
theo vector nối tâm của 2 máy đếm khác. Chứng minh rằng hai
máy đếm bất kì cho trước đều có thể đưa về trùng vị trí sau một
số hữu hạn bước dịch chuyển.
Bài 11
Tìm tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn: tồn tại hai số nguyên
tố cùng nhau x và y và một số nguyên k > 1 thỏa mãn phương
trình 3n
= xk
+ yk
.
27. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 26
Bài 12
Chứng minh rằng nếu a1, a2, . . . , am khác 0 và với mọi k =1,2,. . .,m
(n < m − 1),
a1 + a22k
+ a33k
+ · · · + ammk
= 0,
thì dãy a1, a2, . . . , am chứa ít nhất n + 1 cặp số hạng liên tiếp
ngược dấu nhau.
Bài 13
Tại các đỉnh của một hình lập phương viết 8 số tự nhiên phân
biệt và trên mỗi cạnh viết ước chung lớn nhất của các số ở hai
đầu của nó. Có thể xảy ra tổng các số trên các cạnh bằng tổng
các số viết trên các đỉnh?
Bài 14
Có 3 tham mưu và một số binh sĩ trong một tiểu đội. Các
tham mưu phải lên kế hoạch công việc. Chỉ thị của chỉ huy như
sau:
(a) Mỗi ngày ít nhất phải có một nhiệm vụ cho một
binh sĩ
(b) Không binh sĩ nào có nhiều hơn hai nhiệm vụ hoặc
nhận nhiều hơn một nhiệm vụ một ngày
(c) Danh sách các binh sĩ đã nhận nhiệm vụ trong hai
ngày khác nhau không được giống nhau
(d) Tham mưu đầu tiên vi phạm chỉ thị trên sẽ bị bỏ
tù.
Liệu có thể có ít nhất một vị tham mưu, không thảo luận trước
với những người còn lại, có thể đưa ra nhiệm vụ cho các binh sĩ
theo đúng chỉ thị và không bị bỏ tù?
Bài 15
Cho một đa giác lồi, không có hai cạnh nào song song. Với
mỗi cạnh ta xét góc được nhìn từ đỉnh xa cạnh đó nhất. Chứng
minh rằng tổng các góc này bằng 180 ◦
28. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 27
Bài 16
Goodnik viết 10 số lên bảng và Nogoodnik viết thêm 10 số
nữa, tổng cộng là 20 số dương phân biệt Liệu Goodnik có thể chọn
10 số của mình sao mà dù cho Nogoodnik viết số gì đi nữa anh
ta cũng có thể chọn được 10 tam thức bậc hai dạng x2
+ px + q,
các hệ số p, q lấy từ các số được viết sao cho các nghiệm thực của
các tam thức này gồm đúng 11 giá trị?
Bài 17
Liệu một số nhận được bằng cách viết các số từ 1 đến n
(n>1)theo thứ tự có thể giống nhau khi đọc từ phải qua trái hay
từ trái qua phải.
Bài 18
Một số người leo núi đi với vận tốc không đổi trên một con
đường thẳng. Biết rằng trong một khoảng thời gian nào đó, tổng
các khoảng cách tương đối của họ với nhau đơn điệu giảm. Chứng
minh rằng có một người leo núi mà khoảng cách của anh ta đến
các người leo núi khác đơn điệu giảm trong khoảng thời gian đó.
Bài 19
Chứng minh rằng với n ≥ 5, một thiết diện của một hình
chóp đáy là một đa giác đều n cạnh không thể là một đa giác đều
n + 1 cạnh.
Bài 20
Có tồn tại hay không 3 số tự nhiên lớn hơn 1 sao cho bình
phương của mỗi số trừ đi 1 chia hết cho hai số còn lại?
Bài 21
Trong một tam giác ABC(AB = CD) vẽ đường phân giác
CD. Dường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
và vuông góc với CD cắt BC tại E. đường thẳng qua E song
song với CD cắt AB tại F. Chứng minh rằng BE = FD.
29. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 28
Bài 22
Tồn tại hay không tập hữu hạn M của các số thực khác 0
thỏa mãn: với mọi số tự nhiên n và một đa thức bậc không nhỏ
hơn n với các hệ số trong M mọi nghiệm của đa thức nào đều
thực và thuộc M.
Bài 23
Các số từ 1 đến 10 được viết thưo một thứ tự không cho trước.
Một người có thể hỏi về 50 số bất kì và tìm được thứ tự tương
đối của chúng. Số câu hỏi ít nhất cần thiết để tìm được thứ tự
của cả 100 số là bao nhiêu?
30. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 29
1.15 Tây Ban Nha
Bài 1
Các số tự nhiên a và b thỏa mãn
a + 1
b
+
b + 1
a
là số nguyên. Chứng minh rằng ước chung lớn nhât của a và b
không vượt quá
√
a + b.
Bài 2
Cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng
nếu AB + GC = AC + GB thì tam giác ABC là tam giác cân.
Bài 3
a, b, c là các số thực. Xét hàm
f(x) = ax2
+ bx + c, g(x) = cx2
+ bx + a.
Cho
|f(−1)| ≤ 1, |f(0) ≤ 1|, |f(1) ≤ 1|,
Chứng minh rằng với −1 ≤ x ≤ 1,
|f(x)| ≤
5
4
và |g(x)| ≤ 2.
Bài 4
Tìm tất cả các nghiệm thực của phương trình
x2 − p + 2
√
x2 − 1 = x
với mỗi giá trị thực của p.
Bài 5
Tại cảng Aventura có 16 mật thám. Mỗi mật thám theo dõi
một hoặc nhiều hơn các mật thám khác, nhưng không có 2 viên
mật thám nào theo dõi lẫn nhau. Hơn nữa bất kì 10 viên mật
thám nào cũng có thể được sắp thứ tự sao cho người thứ nhất
theo dõi người thứ hai, người thứ hai theo dõi người thứ ba,...,
và người cuối cùng theo dõi người thứ nhất. Chứng minh rằng 11
viên mật thám bất kì cũng có thể được sắp xếp như vậy.
31. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 30
Bài 6
Trên mỗi cạnh của một hình ngũ giác đều dựng ra phía ngoài
năm hình ngũ giác đều cạnh 1. Hình này được gấp lại và hai cạnh
gặp nhau tại đỉnh của hình ngũ giác ban đầu nhưng không thuộc
hình ngũ giác đó được dán lại với nhau. Xác định thể tích nước
lớn nhất có thể cho vào hộp thu được ở trên mà không bị tràn ra
ngoài.
32. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 31
1.16 Thổ Nhĩ Kì
Bài 1
Cho
1996
n=1
(1 + nx3n
) = 1 + a1xk1
+ · · · + amxkm
,
ở đó a1, a2, . . . , am không âm và k1 < k2 < · · · < km. Tìm a1996.
Bài 2
Trong một hình bình hành ABCD với ∠A < 90 ◦
, đường tròn
đường kính AC cắt đường thẳng CB và CD lần thứ hai tại E và
F tương ứng, và tiếp tuyến với đường tròn này tại A cắt BD tại
P. Hãy chứng tỏ rằng P, E, F thẳng hàng.
Bài 3
Cho các số thực 0 = x1 < x2 < · · · < x2n < x2n+1 = 1 với
xi+1 − xi ≤ h với mọi 1 ≤ i ≤ 2n. Chứng minh rằng:
1 − h
2
<
n
i=1
x2i(x2i+1 − x2i−1) <
1 + h
2
.
Bài 4
Trong một tứ giác lồi ABCD, tam giác ABC và ADC có cùng
diện tích. Gọi E là giao điểm của AC và BD, và giả sử đường
thẳng qua E và song song với các đường thẳng AD, DC, CB, BA
gặp AB, BC, CD, DA lần lượt tại K, L, M, N. Tính tỉ số diện
tích các tứ giác KLMN và ABCD.
Bài 5
Tìm số lớn nhất các tập đôi một không giao nhau dạng
Sa,b = {n2
+ an + b : n ∈ Z}
với a, b ∈ Z
33. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 32
Bài 6
Với cặp số (a, b) có thứ tự nào thì giới hạn của một dãy {xn}
bất kì thỏa mãn điều kiện
lim
n→∞
(axn+1 − bxn) = 0
bằng 0?
34. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 33
1.17 Vương quốc Anh
Bài 1
Xét cặp số tự nhiên có bốn chữ số
(M, N) = (3600, 2500)
Chú ý rằng M và N đều là các số chính phương với 2 chữ số bằng
nhau ở 2 vị trí và các chữ số khác nhau ở hai vị trí còn lại. Hơn
nữa, khi các chữ số khác nhau thì chữ số của M lớn hơn chữ số ở
vị trí tương ứng của N 1 đơn vị. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên
có bốn chữ số thỏa mãn các tính chất trên.
Bài 2
Hàm f xác định trên tập tất cả các số nguyên dương thỏa
mãn f(1)=1996 và
f(1) + f(2) + · · · + f(n) = n2
f(n) (n > 1).
Tính f(1996).
Bài 3
Cho tam giác ABC với tâm đường tròn ngoại tiếp O. Kí hiệu
S là đường tròn qua A, B, O. Đường thẳng CA và CB gặp S lần
thứ hai tại P và Q tương ứng. Chứng minh rằng hai đường thẳng
CO và PQ vuông góc với nhau.
Bài 4
Gọi
q(n) =
n
√
n
(n = 1, 2, . . .)
Xác định tất cả các số nguyên dương n sao cho q(n) > q(n + 1).
Bài 5
Cho a, b, c là các số thực dương.
(a) Chứng minh rằng 4(a3
+ b3
) ≥ (a + b)3
.
(b) Chứng minh rằng 9(a3
+ b3
+ c3
) ≥ (a + b + c)3
.
35. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 34
Bài 6
Tìm tất cả các nghiệm nguyên không âm (x, y, z)của phương
trình:
2x
+ 3y
= z2
.
Bài 7
Các cạnh a, b, c và u, v, w của hai tam giác ABC và UV W
liên hệ với nhau bởi hệ thức:
u(v + w − u) = a2
,
v(w + u − v) = b2
,
w(u + v − w) = c2
.
Chứng minh tam giác ABC nhọn và biểu diễn các góc U, V, W
theo A, B, C.
Bài 8
Hai đường tròn S1, S2 tiếp xúc ngoài với nhau tại K, và cùng
tiếp xúc ngoài với đường tròn S tại A1, A2. Gọi P là một giao
điểm của S với tiếp tuyến chung của S1 và S2 tại K. Đường
thẳng PA1 cắt S1 lần thứ hai tại B1 và PA2 gặp S2 lần nữa tại
B2. Chứng minh rằng B1B2 là tiếp tuyến chung của S1 và S2.
Bài 9
Tìm tất cả các ngiệm thực dương của hệ phương trình sau:
a + b + c + d = 12
abcd = 27 + ab + ac + ad + bc + bd + cd.
36. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 35
1.18 Hoa Kì
Bài 1
Chứng minh rằng giá trị trung bình của các số n sin n ◦
(n =
2, 4, 6, . . . , 180) bằng cotan1 ◦
.
Bài 2
Với mỗi tập S khác rỗng các số thực , kí hiệu σ(S) là tổng các
phần tử của S. Cho một tập A gồm n số tự nhiên, xét họ tất cả
các tổng phân biệt σ(S) khi S chạy qua tất cả các tập con khác
rỗng của A. Chứng minh họ các tổng này có thể được chia thành
n lớp sao cho trong mỗi lớp tỉ số giữa tổng lớn nhất và tổng nhỏ
nhất không vượt quá 2.
Bài 3
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng tồn tại một đường
thẳng l trong mặt phẳng tam giác ABC sao cho giao của phần
trong của tam giác ABC và phần trong của tam giác A B C đối
xứng với tam giác ABC qua l có diện tích lớn hơn 2/3 diện tích
tam giác ABC.
Bài 4
Một dãy n số hạng (x1, x2, . . . , xn) trong đó mỗi số hạng bằng
0 hoặc 1 gọi là một dãy nhị phân độ dài n. Gọi an là số các dãy
nhị phân độ dài n không chứa 3 số hạng liên tiếp dạng 0,1,0 theo
thứ tự. Gọi bn là số các dãy nhị phân độ dài n không chứa 4 số
hạng liên tiếp dạng 0,0,1,1 hay 1,1,0,0 theo thứ tự. Chứng minh
rằng bn+1 = 2an với mọi số nguyên dương n.
Bài 5
Tam giác ABC có tính chất sau: có điểm trong P sao cho
∠PAB = 10 ◦
,∠PBA = 20 ◦
,∠PCA = 30 ◦
và ∠PAC = 40 ◦
.
Chứng minh rằng tam giác ABC cân.
Bài 6
Xác định (kèm chứng minh) có tồn tại hay không một tập X
các số nguyên thỏa mãn tính chất sau: với mỗi số nguyên n tồn
tại duy nhất một nghiệm của phương trình a + 2bn với a, b ∈ X.
37. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 36
1.19 Việt Nam
Bài 1
Giải hệ phương trình:
√
3x(1 +
1
x + y
) = 2
7y(1 −
1
x + y
) = 4
√
2.
Bài 2
Cho tứ diện ABCD với AB = AC = AD và tâm đường tròn
ngoại tiếp O. Gọi G là trọng tâm tam giác ACD, E là trung điểm
của BG và F là trung điểm của AE. Chứng minh rằng OF vuông
góc với BG nếu và chỉ nếu OD vuông góc với AC.
Bài 3
Xác định theo n số các hoán vị của tập {1, 2, . . . , n} thỏa mãn
không có 3 trong 4 số 1,2,3,4 xuất hiện liên tiếp.
Bài 4
Tìm tất cả các hàm số f : N → N thỏa mãn với mọi n ∈ N
f(n) + f(n + 1) = f(n + 2)f(n + 3) − 1996.
Bài 5
Trong các tam giác ABC có BC =1 và ∠BAC có số đo không
đổi α > π/3 xác định dạng tam giác có khoảng cách giữa trọng
tâm và tâm đường tròn nội tiếp nhỏ nhất và tính khoảng cách
này theo α.
Bài 6
Cho a, b, c, d là bốn số thực không âm thỏa mãn điều kiện sau:
2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) + abc + abd + acd + bcd = 16.
Chứng minh rằng:
a + b + c + d ≥
2
3
(ab + ac + ad + bc + bd + cd)
và xác định khi nào xảy ra dấu bằng.
38. Chương 2
Olympic toán khu vực
2.1 Olympic Châu á - Thái Bình Dương
Bài 1
Cho tứ giác ABCD với AB = BC = CD = DA. Gọi MN và
PQ là hai đoạn thẳng vuông vóc với đường chéo BD thỏa mãn
khoảng cách giữa chúng là d > BD/2, với M ∈ AD, N ∈ DC và
P ∈ AB và Q ∈ BC. Chứng minh rằng chu vi lục giác AMNCQP
không phụ thuộc vào vị trí của MN và PQ khi khoảng cách giữa
chúng không đổi.
Bài 2
Cho m và n là hai số nguyên dương thỏa mãn n ≤ m. Chứng
minh rằng
2n
n! ≤
(m + n)!
(m − n)!
≤ (m2
+ m)n
.
Bài 3
Cho P1, P2, P3, P4 là bốn điểm trên một đường tròn, và I1 là
tâm đường tròn nội tiếp tam giác P1P2P3, I2 là tâm đường tròn
nội tiếp tam giác P1P3P4, I3 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
P1P2P4, và I4 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác P1P2P3. Chứng
minh rằng I1, I2, I3, I4 là các đỉnh của một hình chữ nhật.
37
39. CHƯƠNG 2. OLYMPIC TOÁN KHU VỰC 38
Bài 4
Uỷ ban hôn nhân quốc gia muốn mời n cặp để tạo thành 17
nhóm thảo luận dưới các điều kiện sau:
(a) Tất cả các thành viên của một nhóm phải cùng giới
tính, nói cách khác, họ phải cùng là nam hoặc nữ.
(b) Các nhóm chỉ hơn kém nhau cùng lắm một người.
(c) Mỗi nhóm có ít nhất một thành viên.
(d) Mỗi người thuộc về một nhóm và chỉ một nhóm.
Tìm tất cả các giá trị của n, n ≤ 1996, để điều này có thể xảy
ra. Chứng minh câu trả lời của bạn.
Bài 5
Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh
rằng
√
a + b − c +
√
b + c − a +
√
c + a − b ≤
√
a +
√
b +
√
c
và xác định khi nào xảy ra dấu bằng.
40. CHƯƠNG 2. OLYMPIC TOÁN KHU VỰC 39
2.2 Aó - Ba Lan
Bài 1
Cho k ≥ 1 là một số nguyên. Chứng minh rằng có đúng 3k−1
số nguyên dương n thỏa mãn các tính chất sau:
(a) Biểu diễn thập phân của n có đúng k chữ số.
(b) Tất cả các chữ số của k đều lẻ.
(c) n chia hết cho 5.
(d) Số m = n/5 có k chữ số (thập phân)lẻ.
Bài 2
Một lục giác lồi ABCDEF thỏa mãn các điều kiện sau:
(a) Các cặp cạnh đối diện song song
(b) Khoảng cách giữa các cặp cạnh đối diện bằng nhau
(c) Góc ∠FAB và ∠CDE vuông.
Chứng minh rằng hai đường chéo BE và CF cắt nhau dưới một
góc 45 ◦
.
Bài 3
Các đa thức Pn(x) được xác định bởi: P0(x) = 0, P1(x) = x
và
Pn(x) = xPn−1(x) + (1 − x)Pn−2(x) n ≥ 2.
Với mỗi số tự nhiên n ≥ 1, tìm tất cả các số thực x thỏa mãn
phương trình Pn(x) = 0.
Bài 4
Các số thực x, y, z, t thỏa mãn đẳng thức x + y + z + t = 0 và
x2
+ y2
+ z2
+ t2
= 1. Chứng minh rằng:
−1 ≤ xy + yz + zt + tx ≤ 0.
Bài 5
Một khối đa diện P và một hình cầu S được đặt trong không
gian sao cho S chắn mỗi cạnh AB của P một đoạn XY với AX
= XY = Y B = 1
3
AB. Chứng minh rằng tồn tại một hình cầu T
tiếp xúc với tất cả các cạnh của P.
41. CHƯƠNG 2. OLYMPIC TOÁN KHU VỰC 40
Bài 6
Cho các số tự nhiên n, k thỏa mãn 1 < k < n. Giải hệ n
phương trình:
x3
i (x2
i + · · · + x2
i+k−1) = x2
i−1 1 ≤ i ≤ n
theo các ẩn x1, . . . , xn. (Chú ý: x0 = x = n, x1 = xn+1,. . . )
Bài 7
Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên không âm k và
m thỏa mãn k! + 48 = 48(k + 1)m
.
Bài 8
Chứng minh rằng không tồn tại đa thức P(x) bậc 998 với các
hệ số thực thỏa mãn phương trình P(x)2
−1 = P(x2
+1) với mọi
số thực x.
Bài 9
Cho một chồng gạch, không có viên nào có hình lập phương.
Độ dài các cạnh đều là số nguyên. Với mỗi bộ ba số nguyên dương
(a, b, c) không bằng nhau, có các viên gạch có kích thước a×b×c.
Giả sử rằng các viên gạch này chất kín một hộp 10 × 10 × 10.
(a) Giả sử rằng có ít nhất 100 viên gạch được sử dụng.
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai viên gạch xếp
song song với nhau, nghĩa là nếu AB là một cạnh
của một viên gạch, A B là một cạnh của viên kia
và AB A B thì AB = A B .
(b) Chứng minh cùng một phát biểu với 100 được thay
bởi một số nhỏ hơn, càng nhỏ càng tốt.
42. CHƯƠNG 2. OLYMPIC TOÁN KHU VỰC 41
2.3 Olympic vùng Ban Căng
Bài 1
Cho O và G là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm tam
giác ABC. Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp và r là bán
kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, chứng minh rằng:
OG ≤ R(R − 2r).
Bài 2
Cho số nguyên tố p > 5 và X = {p − n2
|n ∈ N, n2
< p}.
Chứng minh rằng X chứa 2 phần tử phân biệt x, y thỏa mãn
x = 1 và x là ước của y.
Bài 3
Cho ABCDE là một ngũ giác lồi, và M, N, P, Q, R là các
trung điểm các cạnh AB, BC, CD, CE, EA tương ứng. Nếu các
đoạn thẳng AP, BQ, CR, DM đồng quy, chứng minh rằng điểm
đồng quy này cũng thuộc EN.
Bài 4
Chứng minh rằng tồn tại một tập con A của tập{1, 2, . . . , 21996
}1
có các tính chất sau:
(a) 1, 21996
− 1 ∈ A;
(b) Mọi phần tử của A, trừ 1, là tổng của hai phần tử
(không nhất thiết phân biệt) của A;
(c) A chứa nhiều nhất 2012 phần tử.
1
Trong đề bài viết là tập các số từ 1 đến 1996 nhưng căn cứ theo nội dung thì có lẽ
phải là 21996
mới đúng nên tôi sửa thành như trên. Các bạn có thể tham khảo thêm bản
tiếng Anh và lời giải để biết chính xác (N.V.H).
43. CHƯƠNG 2. OLYMPIC TOÁN KHU VỰC 42
2.4 Czech và Slovak
Bài 1
Kí hiệu Z∗
là tập các số nguyên khác 0. Chứng minh rằng một
số nguyên p > 3 là số nguyên tố khi và chỉ khi với mỗi a, b ∈ Z∗
chỉ có duy nhất một trong các số sau thuộc Z∗
:
N1 = a + b − 6ab +
p − 1
6
, N2 = a + b + 6ab +
p + 1
6
.
Bài 2
Cho M là một tập khác rỗng và * là một toán tử hai ngôi trên
M.Nghĩa là, với mỗi cặp (a, b) ∈ M × M ta đặt cho tương ứng
với một phần tử a ∗ b. Giả sử rằng với mỗi a, b bất kì thuộc M,
(a ∗ b) ∗ b = a và a ∗ (a ∗ b) = b.
(a) Chứng minh rằng a ∗ b = b ∗ a với mọi a, b ∈ M.
(b) Với tập M hữu hạn nào thì tồn tại một toán tử hai
ngôi như vậy?
Bài 3
Cho một hình chóp pi đáy là một hình vuông cạnh 2a mà các
cạnh cạnh bên bằng nhau có chiều dài a
√
17. Gọi M là một điểm
trong hình chóp, và với mỗi mặt của π xét hình chóp đồng dạng
với π có đỉnh M và đáy nằm trên mặt phẳng chứa mặt đó. Chứng
minh rằng tổng diện tích các mặt của 5 hình chóp này lớn hơn
hoặc bằng 1/5 diện tích bề mặt của π và xác định M để đẳng
thức xảy ra.
Bài 4
Xác định khi nào tồn tại môt hàm f : Z → Z thỏa mãn với mỗi
k = 0, 1, . . . , 1996 và với mỗi m ∈ Z phương trình f(x) + bx = m
có ít nhất một nghiệm x ∈ Z.
44. CHƯƠNG 2. OLYMPIC TOÁN KHU VỰC 43
Bài 5
Cho A, B là hai tập hợp của các khoảng (đoạn) trên đường
thẳng. Tập A chứa 2m − 1 khoảng (đoạn), hai khoảng(đoạn) bất
kì có một điểm trong chung. Hơn nữa, mỗi khoảng (đoạn) của
A chứa ít nhất 2 khoảng (đoạn) không giao nhau của B. Chứng
minh rằng tồn tại một khoảng (đoạn) của B thuộc ít nhất m
khoảng (đoạn) của A.
Bài 6
Các điểm E và D nằm trên các cạnh AC và BC của tam giác
ABC (không trùng với các đầu mút). Gọi F là giao của đường
thẳng AD và BE. Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC và
ABF thỏa mãn:
SABC
SABF
=
|AC|
|AE|
+
|BC|
|BD|
− 1.
45. CHƯƠNG 2. OLYMPIC TOÁN KHU VỰC 44
2.5 Olympic Châu Mĩ La tinh
Bài 1
Cho số tự nhiên n. Một hình lập phương cạnh n có thể chia
thành 1996 hình lập phương mà độ dài các cạnh đều là số tự
nhiên. Xác định giá trị nhỏ nhất có thể của n.
Bài 2
Gọi M là trung điểm của trung tuyến AD của tam giác ABC.
Đường thẳng BM cắt cạnh AC tại điểm N. Chứng minh rằn AB
tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam NBC khi và chỉ khi
BM
MN
=
BC2
BN2
2
Bài 3
Chúng ta có một bảng hình vuông gồm k2
− k + 1 hàng và
k2
− k + 1 cột, với k = p + 1, p nguyên tố. Với mỗi số nguyên tố p
hãy chỉ ra một phương pháp phân bố các số 0 và 1, mỗi số trong
một hình vuông của bảng sao cho trong mỗi hàng và mỗi cột có
đúng k số 0 và không hình chữ nhật nào với các cạnh song song
với các cạnh của bảng lại có các số 0 ở bốn góc.
Bài 4
Cho một số tự nhiên n ≥ 2, xét tất cả các phân số dạng 1
ab
với a, b là các số nguyên tố cùng nhau thỏa mãn a < b < n và
a + b < n. Chứng minh rằng tổng của các phân số này bằng 1/2.
Bài 5
Ba cái máy đếm A, B, C được đặt ở các góc của của một tam
giác đều cạnh n. Tam giác được chia thành các tam giác cạnh
1. Ban đầu tất cả các đường thẳng trong hình đều được tô màu
xanh. Những cái máy đếm này di chuyển dọc theo các đường
thẳng, vẽ đường đi của chúng bằng màu đỏ theo các quy tắc sau:
2
đề bài bằng tiếng Anh viết thiếu chính xác, so sánh với lời giải tôi sửa lại như trên.
Tham khảo thêm bản tiếng Anh để biết thêm chi tiết
46. CHƯƠNG 2. OLYMPIC TOÁN KHU VỰC 45
(i) Đầu tiên A di chuyển rồi đến B, C và lại A, cứ thế
tiếp tục. Trong mỗi lần di chuyển, mỗi cái máy này
đi hết một cạnh của một tam giác nhỏ.
(ii) Không có cái máy nào đi lại đường đã được tô màu
đỏ, nhưng nó có thể dừng lại trên một đỉnh mà đỏ,
ngay cả khi cái máy khác đang ở đó.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n > 0 có thể tô màu tất cả
các đoạn thành đỏ theo cách này.
Bài 6
Trong mặt phẳng cho n điểm phân biệt A1, A2, . . . , An, mỗi
điểm Ai được gán cho một số thực khác không λi thỏa mãn:
(AiAj)2
= λi + λj với mọi i = j. Chứng minh rằng
(a) n ≤ 4;
(b) Nếu n = 4 thì 1
λ1
+ 1
λ2
+ 1
λ3
+ 1
λ4
= 0.
