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- 1. Fuentes de Campos Magnéticos Clase 10 08-JULIO-2014
- 2. Fuentes de Campos Magnéticos • En el tema anterior se verificaba de un campo magnético por la fuerza que se ejercía sobre una carga eléctrica en movimiento. En este tema se resolverán problemas sobre la producción de campos magnéticos.
- 3. Ley de Biot-Savart •Después de muchas experiencias, se llego a al conclusión de que los campos magnéticos son producidos por cargas en movimiento, esto es, por corrientes eléctricas. Los físicos Biot y Savart dedujeron una relación matemática que permite conocer el campo magnético 𝑑𝐵 en un punto 𝑃 debido a un elemento de corriente 𝑑𝑆 que conduce una intensidad de corriente 𝐼 es: 𝒅𝑩 = 𝝁 𝟒𝝅 𝑰𝒅𝒔 × 𝒓 𝒓 𝟐
- 4. Ley de Biot-Savart •Donde: • 𝜇 es la permeabilidad magnética del medio, en el S.I. para el vacío: • 𝑟 es la distancia del punto al elemento de corriente. 𝝁 = 𝟒𝝅 × 𝟏𝟎−𝟕 𝑾𝒃 𝑨 ∙ 𝒎
- 5. Ley de Biot-Savart •Para calcular el campo magnético que produce un conductor que lleva una corriente, se debe integrar el vector 𝒅𝑩 en toda longitud del conductor.
- 6. Campo magnético creado por una carga eléctrica en movimiento •Se define el campo magnético creado por una carga 𝑞 que se mueve con una velocidad 𝑣 en un punto situado a una distancia 𝑟 de ella, mediante la expresión 𝑩 = 𝝁 𝟒𝝅 𝒒 𝒗 × 𝒓 𝒓 𝟑
- 7. Campo magnético de un alambre recto y largo •El campo magnético creado por una corriente rectilínea indefinida a una distancia 𝑎 se obtiene mediante 𝑩 = 𝝁𝑰 𝟐𝝅𝒂
- 8. Campo magnético creado por una espira circular conductora en su centro •Donde 𝑟es el radio de la espira e 𝐼 es la intensidad de corriente eléctrica que circula por la espira. 𝑩 = 𝝁𝑰 𝟐𝒓
- 9. Campo magnético en el interior de un solenoide •Donde 𝑁 es el número de espiras, 𝐿 es la longitud del solenoide, 𝐼 la intensidad de corriente que circula por él y 𝑛 es el número de espiras por unidad de longitud. 𝑩 = 𝝁 𝑵 𝑳 𝑰 = 𝝁𝒏𝑰
- 10. Fuerza entre dos corrientes paralelas •La fuerza por unidad de longitud con que se atraen o se repelen dos conductores rectilíneos y largos separados por una distancia 𝑑, y que transportan intensidades de corriente 𝐼1 𝑒 𝐼2 se calcula por: 𝑭 ℓ = 𝝁 𝟐𝝅 𝑰 𝟏 𝑰 𝟐 𝒅 𝐼1 𝐼2 𝐹1 𝐹2 𝐵1 𝐵2
- 11. Fuerza entre dos corrientes paralelas •Cuando las intensidades de corriente son del mismo sentido existen entre ellas fuerzas atractivas; cuando las intensidades de corriente son de sentido contrario, las fuerzas son repulsivas.
- 12. Definición del ampere •Se define el ampere como la intensidad de una corriente que, circulando en el mismo sentido por dos conductores rectilíneos y paralelos separados por el vacío por la distancia de un metro, origina en cada uno de ellos una fuerza atractiva de 2 × 10−7 𝑁 por metro de longitud.
- 13. Ley de Ampere (no generalizada) •Establece que la integral de línea de 𝐵 ∙ 𝑑𝑠 a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es igual a 𝜇𝐼 donde 𝐼 es una intensidad de corriente constante que pasa a través de cualquier superficie delimitada por la trayectoria cerrada. Matemáticamente se expresa por: 𝑩 ∙ 𝒅𝒔 = 𝝁𝑰
- 14. Problemas • Problema 1 • Un alambre de cobre desnudo del #10 puede conducir una intensidad de corriente de 50 A sin sobrecalentarse. Si se hace circular una intensidad de corriente de esta magnitud por una sección larga y recta de alambre del #10. ¿A que distancia del eje del alambre la magnitud del campo magnético resultante es igual a 10−3 𝑇?
- 15. Problemas 𝑰 𝒂 𝑷𝑩
- 16. Problemas • Solución • Datos 𝐼 = 50 𝐴, 𝐵 = 10−3 𝑇 • La magnitud del campo magnético debido a un alambre infinito a una distancia 𝑎, está dado por: 𝑩 = 𝝁 𝒐 𝑰 𝟐𝝅𝒂
- 17. Problemas • Despejando 𝑎 y sustituyendo valores, se tiene 𝑎 = 𝜇 𝑜 𝐼 2𝜋𝐵 = 4𝜋 × 10−7 50 2𝜋 10−3 𝑎 = 0.01 𝑚 ó 3.18 × 10−3 𝑚
- 18. Problemas •Problema 2 •Dos largos conductores paralelos conducen las corrientes 𝐼1 = 3𝐴 𝑒 𝐼2 = 3𝐴. Ambas dirigidas hacia adentro de la figura. Determine la magnitud y dirección del campo magnético resultante en P.
- 20. Problemas •Solución • 𝐼1 = 3𝐴 𝑒 𝐼2 = 3𝐴, 𝐵𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑃 =? 𝐵1 𝐵2 𝐵𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑥 𝑧 𝑦 𝐼1 𝐼2 5 13 12 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑁𝑜𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 P
- 21. Problemas •Solución •Por la ley de Biot Savart 𝑩 𝟏 𝒆𝒏 𝑷 = 𝝁 𝒐 𝑰 𝟏 𝟐𝝅 𝟎. 𝟎𝟓 = 𝟒𝝅 × 𝟏𝟎−𝟕 × 𝟑 𝟐𝝅 𝟎. 𝟎𝟓 = 𝟏𝟐 × 𝟏𝟎−𝟔 𝑻 𝑩 𝟐 𝒆𝒏 𝑷 = 𝝁 𝒐 𝑰 𝟐 𝟐𝝅 𝟎. 𝟏𝟐 = 𝟒𝝅 × 𝟏𝟎−𝟕 × 𝟑 𝟐𝝅 𝟎. 𝟏𝟐 = 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟔 𝑻
- 22. Problemas •Solución •Luego: • 𝐵 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑃 = 𝐵1 2 + 𝐵2 2 • 𝐵 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑃 = 12 × 10−6 2 + 5 × 10−6 2 • 𝐵 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑃 = 13 × 10−6 𝑇 (hacia abajo)
- 23. Problemas •Problema 3 •En la teoría de Bohr del átomo de hidrogeno puede pensarse que el electrón se mueve en una orbita circular de radio 5.3 × 10−11 𝑚 con una velocidad tangencial de 2.2 × 106 𝑚/𝑠. Calcule la magnitud del campo magnético producido por el movimiento del electrón en la posición del protón.
- 25. Problemas • Solución • Datos • 𝑞 = 1.6 × 10−19 𝐶, 𝑅 = 5.3 × 10−11 𝑚, 𝑣 = 2.2 × 106 𝑚/𝑠 • La magnitud del campo magnético en el centro de una espira circular que lleva una corriente, esta dado por • Por otro lado, al corriente se define como la cantidad de carga que pasa por una cierta región del espacio entre el intervalo de tiempo que tarda en pasar la cantidad de carga. Y como 𝑓 es el numero de veces que el electrón pasa por un punto dado por unidad de tiempo, la carga total que pasa por cierta región por unidad de tiempo esta dada por (que es la intensidad de corriente). 𝐵 = 𝜇 𝑜 𝐼 2𝑅 𝐼 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟ó𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑞 = 𝑓𝑞
- 26. Problemas • Solución • Pero 𝑓 es el inverso del periodo, 𝑇 y por la definición del periodo, se tiene • Sustituyendo la frecuencia en la expresión de la intensidad de corriente, se tiene 𝑓 = 1 𝑇 = 1 2𝜋𝑅 𝑣 = 𝑣 2𝜋𝑅 𝐼 = 𝑣𝑞 2𝜋𝑅
- 27. Problemas • Solución • sustituyendo la intensidad de corriente en al expresión del campo magnético y sustituyendo valores, se tiene 𝐵 = 𝜇 𝑜 𝑣𝑞 4𝜋𝑅2 = 4𝜋 × 10−7 2.2 × 106 1.6 × 10−19 4𝜋 5.3 × 10−11 2 = 12.53 × 10−12 𝑇
- 28. Problemas •Problema 4 • Un estudiante fabrica un electroimán con una bobina delgada de largo 4.8cm por donde circula una intensidad de corriente de 11.5 A. ¿Cuántas vueltas deberá tener la bobina para producir un campo magnético 6.3 mT en el centro? ℓ 𝐼
- 29. Problemas • Solución • Datos ℓ = 4.8 × 10−2 𝑚, I = 11.5 A, B = 6.3 × 10−3 𝑇 • La magnitud del campo magnético en el interior de una bobina esta dado por 𝑁 = 𝐵ℓ 𝜇 𝑜 𝐼 = 6.3 × 10−3 4.8 × 10−2 4𝜋 × 10−7 11.5 = 21 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠
- 30. Problemas • Problema 5 • A un alambre que conduce una corriente de 5A se le va a dar forma de una espira circular de una vuelta. Si el valor requerido del campo magnético en el centro de la espira es 10𝜇𝑇, ¿Cuál es el radio requerido?
- 31. Problemas • Solución 𝑑𝑠 𝑟𝐼 𝑂 𝑥 𝑧 𝑦 Datos 𝐼 = 5𝐴 𝐵 𝑒𝑛 0 = 10𝜇𝑇 𝑅 =?
- 32. Problemas • Solución • Sabemos que: • 𝑑𝐵 𝑒𝑛 0 = 𝜇 𝑜∙𝐼 4𝜋𝑅2 𝑑𝑠 × 𝑟 = 𝜇0∙𝐼∙𝑑𝑠 4𝜋𝑅2 • ⟹ 𝐵 𝑒𝑛 0 = 𝑑𝐵 = 𝜇0∙𝐼 4𝜋𝑅2 0 2𝜋 𝑅 ∙ 𝑑𝜃 • = 𝜇0 𝐼 4𝜋𝑅2 𝜃 0 2𝜋 • ∴ 𝑩 𝒆𝒏 𝟎 = 𝝁 𝟎 𝑰 𝟐𝑹
- 33. Problemas • Solución • Luego, reemplazando tenemos • 10 × 10−6 = 4𝜋×10−7× 5 2𝑅 • ∴ 𝑅 = 0.314 𝑚