engenharia

1. Modelos de Probabilidade e de
Inferência
Instituto Educacional Santo Agostinho
Engenharia Ambiental e Sanitária
Modelos de Sistemas Ambientais
Setembro 2016

3. Probabilidade
• Fornecer o arcabouço teórico para o estudo dos
fenômenos ou experimentos aleatórios.
• Criar modelos teóricos que reproduzam de maneira
razoável a distribuição de frequências dos
fenômenos ou experimentos aleatórios.
• Tais modelos são chamados modelos probabilísticos.

4. Probabilidade
• Muitos fenômenos que ocorrem na natureza podem
ser estudados como se estes passassem por uma
sequência de estados
• a transição de um determinado estado para o
seguinte ocorre segundo uma certa probabilidade.

5. Probabilidade
• No caso em que essa probabilidade de transição
dependa apenas do estado em que o fenômeno se
encontra e do estado seguinte, o processo é
chamado de: processo de Markov
• e uma sequência de estados seguindo esse processo
é denominada de Cadeia de Markov

6. Cadeia de Markov
• Cadeia de Markov trata-se de um processo estocástico
que:
a) possui um número finito de estados;
b) atende a propriedade Markoviana, ou seja, a
probabilidade de transição depende apenas do estado
em que o fenômeno se encontra e do estado
seguinte;
c) possui uma matriz estacionária; e
d) tem uma probabilidade inicial associada a cada
estado.

7. Cadeia de Markov
• O modelo da matriz de transição está fundamentado
no conceito de estado, ou seja, na situação em que
um indivíduo pode ser encontrada
Portanto, o indivíduo encontrando-se em um estado
ela pode permanecer nele ou mover-se para outro
A B

8. Cadeia de Markov
• As mudanças de estado do sistema são chamadas
transições.
• As probabilidades associadas com várias mudanças
de estado são chamados de probabilidades de
transição.
O processo é caracterizado por:
• uma matriz de transição → descreve as
probabilidades de transições
• um estado inicial (ou a distribuição inicial)

9. Cadeia de Markov
• Uma cadeia de Markov é uma sequência X1, X2, X3, ...
de variáveis aleatórias.
• O conjunto de valores que estas variáveis podem
assumir, é chamado de espaço de estados, onde:
• Xn denota o estado do processo no tempo n.
• Como a Xn+1 é uma função apenas de Xn, então:
• onde x é o estado do processo.
A identidade acima define a propriedade de Markov.

10. • Os movimentos de um estado para outro são
calculados pelas probabilidades de transição (pij).
Cadeia de Markov
Exemplo: classes de DAP
de árvores

11. • A matriz de transição da Cadeia de Markov, é uma
matriz (P) quadrada de k x k com elementos pij:
Cadeia de Markov
Tempo
Estados

12. Probabilidade
Exemplo:
• Probabilidade de chuvas em uma determinada
região

14. Condições para previsão a longo
prazo
1. Matriz de probabilidades de transição é regular?
i. As potências Tn aproximam-se de uma matriz P
ii. Todas as colunas de P são iguais, sendo dadas
por um vetor-coluna
iii. Para qualquer vetor de probabilidade inicial, o
vetor de probabilidades TnV aproxima-se de V
iv. O vetor V é o único que satisfaz V = TV

15. Cadeia de Markov
A matriz de transição permite:
• Analisar a dinâmica da paisagem pela forma como as
classes de uso variam em 2 instantes de tempo,
considerando-se o primeiro deles como tempo inicial ou
base desse “passo”.
• Realizar simulações (projeções) dos estados da paisagem
para datas futuras.
• Avaliar a percentagem de área original das classes que
foram cedidas para outras classes
• Facilidade e simplicidade operacional e matemática do
modelo, que podem ser aplicadas a dados provenientes de
Sensoriamento Remoto
• Não necessitam de grande quantidade de dados antigos
para prever o futuro.

16. Exercício
• Numa cidade industrial, os dados sobre a qualidade do ar
são classificados como
Satisfatório (S) e insatisfatório (I)
Assuma que:
• Se num dia é registrado S, a probabilidade de se ter S no
dia seguinte é de 2/5, e
• Uma vez registrado I, tem-se 1/5 de probabilidade de
ocorrer S no dia seguinte.
a) Qual é a probabilidade de ocorrer S, se o primeiro dia é
I?
b) O que se pode dizer a longo prazo sobre a possibilidade
de termos dias S ou I?