Primera parte de un curso de matemática básica. Conoce más en https://elaulacero.blogspot.cl/

1. Matemática Básica
Matemática
Básica
Profesor Ociel López Jara

2. Matemática Básica
Objetivo de curso:
• Podrá afrontar las exigencias del curso con
una base suficiente en la disciplina de las
matemática y estadística requeridas por los
otros ramos.
• Conocer herramientas básicas de la
aritmética, el álgebra, los conjuntos y las
proporciones.
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3. Matemática Básica
UNIDAD 1
Conjuntos numéricos
• Definición de conjunto y operaciones básicas.
• Conjunto de los números Naturales, sus
operaciones básicas y propiedades.
• Conjunto de los números Enteros, sus operaciones
básicas y propiedades.
• Conjunto de los números Racionales, sus
operaciones básicas y propiedades.
• Conjunto de los números Irracionales, sus
operaciones básicas y propiedades.
• Conjunto de los números Reales, sus operaciones
básicas y propiedades.
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4. Matemática Básica
UNIDAD 2
Razones y proporciones
• Concepto de Razón
• Concepto de proporción
• Proporción Directa
• Proporción Inversa
• Porcentaje, aplicación.
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5. Matemática Básica
UNIDAD 3
Funciones Lineales
• Concepto de relación
• Concepto de Función
• Dominio y recorrido de una Función
• Funciones Lineales
• Representación grafica de una función lineal
• Regresión Lineal
• Correlación lineal.
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6. Matemática Básica
UNIDAD 1
Conjuntos Numéricos
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7. Matemática Básica
La idea de Conjunto…
En el lenguaje cotidiano, decimos
un curso de Algebra, un montón de
libros de matemática, un cajón de
ropa, la ciudad de Concepción , etc.,
es decir, usamos muchas palabras
para expresar una misma idea.
Los matemáticos prefieren la
palabra Conjunto para expresar lo
mismo.
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8. Matemática Básica
Conjunto es toda colección, lista, agrupación,
clasificación de objetos bien definidos.
Estos objetos se llaman elementos del conjunto.
Ejemplos:
A ={ Jugadores de la Selección chilena año 2010 }
B={ a, e, i, o, u }
C={ números naturales mayores que 2 y menores que 6 }
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9. Matemática Básica
a  {las vocales}, se lee: a pertenece al
conjunto de las vocales.
2  {3, 5, 7, 9, 11}, se lee: 2 no pertenece al
conjunto de los números impares mayores de 1 y
menores de 13.
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10. Matemática Básica
Conjunto vacío 
Es el conjunto que no tiene elementos.
El conjunto { 0 } tiene un único elemento
que es el número cero, por lo tanto no es
vacío.
{ 0 } ≠ 
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11. Matemática Básica
Conjuntos disjuntos:
Son los que NO tienen ningún elementos en común
13 15
14 17
19 11
A
B
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12. Matemática Básica
Definición de un Conjunto:
por extensión, cuando se define nombrando
todos sus elementos.
Por ejemplo: el conjunto de las vocales se
expresaría por extensión así:
A={a, e, i, o, u}
por comprensión, cuando se define indicando
una cualidad de los elementos que lo forman.
Por Ejemplo: A={las vocales}, o bien A={x| x
es vocal}
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13. Matemática Básica
Subconjunto:
Los elementos del conjunto X están (todos) en
el conjunto Y, por lo tanto X es subconjunto de
Y.
En símbolos: X  Y
A
G
A D E
G H T
V
X
Y
D H T
E V
A G
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14. Matemática Básica
Intersección de conjuntos
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15. Matemática Básica
Unión de conjuntos:
es el conjunto de todos los elementos que
pertenecen a A o a B o a ambos (los elementos
repetidos se consideran sólo una vez).
Se simboliza A  B.
A B
A U B
1
3
5 2
4
6
1 5 3
4 2 6
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16. Matemática Básica
Conjuntos Numéricos
La idea de número ha evolucionado de la mano
con el desarrollo del hombre.
En un inicio el hombre necesitaba “contar” sus
animales: uno, dos, tres, etc.
Luego fue necesitando “mejorar” la idea de
número a medida que fue desarrollando su
conocimiento. Necesitó medir distancias, medir
el tiempo, dividir los campos, etc…
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17. Matemática Básica
Conjunto de los números naturales
Al conjunto de los números que sirven para contar {1,
2, 3, 4, ...} los llamaremos números naturales y lo
notaremos con la letra N.
Están ordenados y se pueden representar:
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18. Matemática Básica
2 + 5 = 7
12 + 23 = 35
3 + 20 = 23
La suma de dos números naturales da siempre
como resultado un número natural
Operaciones en los naturales El resultado en un
número NATURAL
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19. Matemática Básica
La multiplicación
2 * 7 = 14
5 * 8 = 40
10 * 3= 30
La multiplicación de dos números naturales
da siempre como resultado un número natural
El resultado
es un número
NATURAL
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20. Matemática Básica
La resta
8 – 3 = 5
20 – 7 = 13
7 – 20 = ?
5 – 5 = ?
La resta de dos números naturales no siempre
da un número natural
Es un número Natural
Este resultado NO
es un número
NATURAL
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21. Matemática Básica
Conjunto de los números enteros
El conjunto de los números naturales, sus
opuestos negativos y el cero constituyen el
conjunto de los números enteros, que se
indica con la letra Z.
Se debe tener presente que N  Z, es decir, el
conjunto de los naturales es subconjunto de los
enteros.
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22. Matemática Básica
Con la definición de los números enteros
podemos redefinir la resta de dos números
naturales como la suma de dos enteros.
23 - 30= ?
23 + (-30) = - 7
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23. Matemática Básica
Orden de los números enteros
Todo número entero situado en la recta
numérica y a la derecha de otro es mayor que
él.
1 es mayor que -5
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24. Matemática Básica
La suma de números enteros
Para sumar dos números enteros de igual
signo, se suman sus valores y se conserva el
signo de ellos.
Ejemplo:
(+ 4) + (+10) = +14
(- 6) + (- 8) = - 14
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25. Matemática Básica
Para sumar dos números enteros de distinto
signo, se restan sus valores y se conserva el
signo del mayor de ellos.
Ejemplo:
(+4) + (-20)  20 – 4 = 16  16
( 12) + (+ 30)  30  12 = 18  +18
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26. Matemática Básica
La resta de números enteros
La sustracción de dos números enteros "a" y "b" es
igual a la suma de "a" y el inverso aditivo de "b", es
decir:
Ejemplo:
(+5) – (+4) = (+5) + (- 4) = +1
(- 3) – (- 15) = (- 3) + (+ 15) = + 12
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27. Matemática Básica
La multiplicación de números enteros
Para la multiplicación se debe tener presente la
siguiente regla:
Ejemplo:
(- 12) * (- 4) = +48
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28. Matemática Básica
La división de números enteros
Al dividir dos números enteros, su resultado no
siempre es otro número entero:
Z
3
5
35
Z 248
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29. Matemática Básica
Conjunto de los números racionales
El conjunto de los números racionales, Q, es el que
contiene todos los números que se pueden escribir de
la forma m/n, donde n≠0 y m, n  Z.
Ejemplo: el número 2,5 se puede escribir de la
siguiente forma:
Luego 2,5 es un número racional.
2
5
5,2 
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30. Matemática Básica
Sea a y b dos números enteros, entonces:
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31. Matemática Básica
Los números racionales también se pueden representar
en una recta numérica:
Por supuesto, los números enteros están incluidos en
Q. Así, el número entero 3 puede tomar la forma
racional 3/1 o bien 6/2 o 9/3 etc.
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32. Matemática Básica
Ejemplo de números racionales
• 7/5 es racional pues 7 es entero y 5 es entero.
• -4/3 es racional pues –4 es entero y 3 es entero.
• 4 es racional pues 4/1 = 4 y 4 y 1 son enteros.
• 0,3 es la expresión decimal de un número racional
porque 0,3 =3/10 con 3 y 10 enteros.
• es la expresión decimal de un número racional
porque = 5/9 y 5 y 9 son enteros.
• es la expresión decimal de un número racional
porque = (15-1)/90 = 14/90 donde 14 y 90 son
enteros.
5,0
5,0
51,0
51,0
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33. Matemática Básica
Todo número racional puede escribirse como una
expresión decimal cuya parte decimal puede ser
periódica, pura o mixta, con un número finito de cifras.
Así, por ejemplo:
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34. Matemática Básica
Cuando el numerador y el denominador de una fracción
se multiplican por un mismo número se obtiene otra
fracción equivalente, esto se llama amplificar la
fracción, por ejemplo:
La fracción 2/3 amplificada por 3 es igual
9
6
3
3
*
3
2

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35. Matemática Básica
Cuando el numerador y el denominador de una fracción
se dividen por un mismo número se obtiene otra
fracción equivalente, esto se llama simplificar la
fracción, por ejemplo:
La fracción 9/24 simplificada por 3, resulta
8
3
3
3
24
9



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36. Matemática Básica
Dos fracciones son equivalentes (son iguales) si
y sólo si,
Definimos el inverso de un número a (≠ 0) como el
número racional que multiplicado por a nos dé 1, es
decir:
n
m
y
q
p
mqnp ** 
1
1

a
a
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37. Matemática Básica
Operaciones en los racionales
La suma y resta:
Si los denominadores son iguales, entonces se conserva y se
suman o restan los numeradores.
La multiplicación:
La división:
db
cbda
d
c
b
a
*
** 

db
ca
d
c
b
a
*
*
* 
1
**








d
c
b
a
c
d
b
a
d
c
b
a
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38. Matemática Básica
Conjunto de los números irracionales
El conjunto de los números Irracionales I está formado por
todos los números que no se pueden expresar en la forma
p/q, con p y q enteros.
Por ejemplo:
No existe un p y un q que permita escribir la raíz de 2 como p/q
...41421356,12 
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39. Matemática Básica
Conjunto de los números reales
El conjunto formado por los racionales y los irracionales
se llama conjunto de números reales, y se designa por
R.
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40. Matemática Básica
Potenciación, Radicación y Logaritmo en los
REALES.
Frente a esta igualdad se pueden dar tres situaciones
que dan origen a tres operaciones diferentes. A saber:
Potenciación, radicación y logaritmo.
Ca
n

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41. Matemática Básica
Potenciación
Cuando a y n son conocidas, se define la operación de
“potenciación” donde se debe encontrar el valor de c.
Si a es un número real y n es un número natural, entonces
decimos que an se obtiene multiplicando n veces el factor a, es
decir:
Ca
n

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42. Matemática Básica
Propiedades de potencia
Sean a, b números reales, m, n números enteros,
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43. Matemática Básica
Radicación.
La radicación es una operación inversa de la potenciación.
Se llama raíz enésima de un número a, al número b tal que la
potencia enésima de b es igual a a. En símbolos:
Ejemplo:
ab
n

4224 22

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44. Matemática Básica
Propiedades de la radicación
Sean a, b números reales positivos y n, m naturales:
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45. Matemática Básica
Logaritmo.
ab
c
Cuando en la expresión
se necesita conocer c, que es el exponente al cual
se debe elevar b para obtener a, entonces se
define una operación llamada logaritmo.
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46. Matemática Básica
Ejemplo: ¿Cuál es el exponente qué debemos elevar 2
para que resulte 8?
8238log2
 x
x
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47. Matemática Básica
En la práctica hay dos bases de interés especial: 10 y e
= 2,7182... El logaritmo en base 10 de un número a,
llamado logaritmo vulgar, se denota log a, es decir
log10a = log a, mientras que el logaritmo en base e de
a, llamado logaritmo natural o neperiano, se denota ln
a, es decir log e a = ln a.
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48. Matemática Básica
Propiedades de los logaritmo
Cambio de base
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