Diagrama de características y geometría de masas

Diagrama de Características y
Geometría de Masas
Trazado de Diagramas de Características
El presente trabajo es un sumario de repaso de conceptos teóricos de la materia Estabilidad Ib (64.11)
correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.
Ing. Gabriel Pujol
Año de edición 2016

Diagrama de Características y Geometría de Masas
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 1 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Tabla de contenido
GEOMETRÍA DE MASAS 3
BARICENTRO DE UNA SUPERFICIE 3
MOMENTO ESTÁTICO DE UNA SUPERFICIE 4
MOMENTOS DE SEGUNDO ORDEN DE UNA SUPERFICIE 5
TRANSPOSICIÓN ANGULAR 6
EJES PRINCIPALES DE INERCIA 7
CONSTRUCCIÓN DEL CÍRCULO DE MOHR-LAND 8
RADIO DE GIRO 9
MÓDULO RESISTENTE 9
DIAGRAMAS DE CARACTERÍSTICAS 10
DEFINICIONES 10
DETERMINACIÓN GRÁFICA DE LOS DIAGRAMAS DE CARACTERÍSTICAS 10
TRAZADO DE DIAGRAMAS DE CARACTERÍSTICAS 11
EJERCICIO DE APLICACIÓN 18
BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 31

Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 2 Estabilidad IIB – 64.12

Geometría de masas
Baricentro de una Superficie
En Resistencia de Materiales interesa, entre otras cosas, la determinación del Centro de Gravedad o
Baricentro de superficies planas. Sus coordenadas podemos calcularlas como sigue:
F
xF
x
n
i
ii
G


 1
(1)
F
yF
y
n
i
ii
G


 1
(2)
1. Determinación Gráfica de Baricentros de figuras geométricas
El Centro de Gravedad o Baricentro de superficies planas estará en la intersección de dos o más ejes de
simetría de dichas superficies (en el caso que los tuvieran):
2. Determinación Gráfica de Baricentros de figuras compuestas (figuras sin ejes de
simetría que pueden ser descompuestas en figuras simples) mediante el Polígono
Funicular
Dado un conjunto de fuerzas en el plano, un polígono funicular para ese sistema de fuerzas es una línea
poligonal (no necesariamente cerrada) cuyos vértices recaen sobre las líneas de acción de la fuerzas y los
ángulos que forman en cada vértice el polígono funicular dependen de la magnitud de la fuerza. Cabe
destacar que el polígono funicular no es único, sino que para un conjunto de fuerzas pueden dibujarse
muchos polígonos funiculares que cumplan las condiciones anteriores.
Consideremos una sección homogénea (peso específico constante) donde el área sea proporcional a la
masa de la misma. Sea su superficie una tal como la indicada en la figura (ver al dorso), a la cual
podemos subdividirla en figuras simples (rectángulos 1, 2 y 3) de baricentros G1, G2 y G3 conocidos y
superficies A1, A2 y A3 también conocidas. Con estas condiciones podremos considerar a estas superficies
parciales proporcionales a las fuerzas de masa aplicadas en los centros de gravedad G1, G2 y G3.
Tendremos así un sistema finito de n fuerzas coplanares, y el polígono funicular que las mismas
determinan constará de n+1 lados. Para determinar dicho polígono funicular se dibuja un diagrama de
fuerzas paralelas y se procede a encontrar la fuerza resultante. Para ello se siguen los siguientes pasos:
1. Se llevan en una escala conveniente las fuerzas, una a continuación de la otra y se define de este
modo el módulo de la resultante “R1”.
2. Se selecciona un punto arbitrario del diagrama de fuerzas al que llamaremos polo O1.
3. Se trazan los llamados radios polares que unen los extremos de las fuerzas con el punto O1, al
existir n fuerzas existirán n+1 extremos y por tanto el mismo número de radios polares.

4. Se toma el primero de los radios
polares y se dibuja una semirrecta
paralela al mismo que intersecte la
recta de acción de la primera fuerza.
5. Se consideran el segundo, tercero,
..., n-ésimo radio polar y se dibujan
segmentos paralelos entre las rectas
de acción de las fuerzas originales,
uno a continuación de otro.
6. Se toma en (n+1)-ésimo radio polar
y se dibuja una semirrecta
empezando desde el extremo del
último segmento dibujado.
Así los n+1 radios polares del diagrama de
fuerzas constituyen una línea poligonal
continua, que es precisamente el polígono
funicular asociado a la elección del polo O1.
Nótese que si se toma un polo diferente O1'
y se repite el procedimiento de 6 pasos
anteriores se obtiene un polígono funicular
diferente, pero que es igualmente válido
para calcular un punto de paso de la recta
de acción de la resultante.
“La resultante obtenida con la ayuda del funicular correspondiente determina una recta a la cual
pertenece el baricentro G.”
Haciendo girar las superficies A1, A2 y A3 en 90º se obtiene una
resultante R1 cuya recta de acción intercepta a la R1 (vertical)
en el punto G.
Momento Estático de una Superficie
Los numeradores de las ecuaciones (1) y (2), que indicaremos
SY y SX y que calculamos como:
  dFxSdFyS YX ;
se denominan Momentos Estáticos de la superficie respecto de
los ejes “x” e “y” respectivamente. También podrá escribirse:
GYGX xFSyFS  ;
Si una superficie de área A, se subdivide en otras de áreas
A’ y A”, cuyos momentos estáticos son conocidos, el
momento estático total, SX, iguala a la suma algebraica de
los momentos estáticos parciales:



 XXX SSS
Si la sección total de área A está formada por partes llenas

A’ y partes huecas de áreas A”, el momento estático de la parte llena es igual al momento estático de SX
de la sección total disminuido del momento estático de las partes huecas SX ”:



XXX SSS
“El momento estático de una superficie plana resulta nulo para cualquier eje baricéntrico” o
también:
“La anulación del momento estático respecto de un eje es condición necesaria y suficiente para
que dicho eje sea baricéntrico”.
Momentos de segundo orden de una superficie
Momento de Inercia de una Superficie
Llamaremos Momentos de Inercia de una superficie respecto un eje, a la suma de los productos de cada
elemento de área por el cuadrado de su distancia a dicho eje.
  dFxJdFyJ YX
22
;
Momento de Inercia Centrífugo
Llamaremos Momentos de Inercia Centrífugo de una superficie respecto dos ejes, a la suma de los
productos de cada elemento de área por su distancia a dichos ejes.
  dFyxJXY
Cuando el Momento Centrífugo es nulo, JXY = 0, los eje se llaman conjugados de inercia.
Momento de Inercia Polar
Llamaremos Momentos de Inercia Polar de una superficie respecto de un punto “O”, a la suma de los
productos de cada elemento de área por el cuadrado de su distancia a dicho punto.
  dFrJO
2
y siendo
222
yxr  resulta:
  YXO JJdFydFxdFyxJ  
2222
“La suma de los momentos de inercia de una sección respecto a cualquier par de ejes normales
entre sí, que tengan el mismo origen “O”, es constante e igual al momento de inercia polar de la
sección con respecto al punto “O” intersección de ambos ejes.”
Regla de Steiner
Sea “gg” un eje baricéntrico y “xx” un eje paralelo al anterior,
situado a la distancia “d”. El momento de inercia de la
sección con respecto al eje “xx” está expresado por la
siguiente ecuación:
2
dFJJ GX 
“El momento de inercia de una sección con respecto a
un eje es igual al momento de inercia de la sección con
respecto al eje baricéntrico paralelo al anterior, más el

producto del área de la sección por el cuadrado de la distancia entre ambos ejes”.
Momentos de Inercia de algunas superficies
1. Rectángulo:
El momento de inercia del rectángulo con respecto al eje “gg” está expresado por:
123
32
2
32
2
2
2
2
2
2
2
2
hbyb
dyybJ
dyybdAyJ
h
h
h
h
G
h
h
h
h
G















2. Triángulo:
El momento de inercia de un triángulo con respecto a un eje que pasa por un vértice y es paralelo al lado
opuesto, está expresado por:
363
2
2
44
;
32
3
00
3
0
2
hb
Jh
hb
JJpero
hby
h
b
dyy
h
b
J
h
b
yx
h
y
b
x
pero
dyxdAdAyJ
GGX
hh
X
h
X
















3. Círculo:
El momento de inercia polar de un círculo respecto al polo “G” coincidente con su centro, está expresado
por:
642
1
;
32444
4
44
2
0
42
0
4
d
JJJ
JJJJJ
drr
d
r
J
GYX
YXYXG
G






 





Transposición angular
Sean los eje “u” y “v” normales entre sí, teniendo el mismo origen “O” que los eje “x” e “y”, también
normales entre sí. Nos proponemos determinar JU, JV y JUV en función de JX, JY y JXY supuestos
conocidos.
Un elemento de área dF tendrá como coordenadas:








cossin
sincos
yxv
yxu
Puede demostrarse que:
     
     





2sincossin
2sinsincos
222
222
XYYXV
XYYXU
JJJdFuJ
JJJdFvJ
sumando ambas ecuaciones se obtiene:
OYXVU JJJJJ 
Para el momento de inercia centrífugo hacemos:
    

  2cos2sin
2
XY
YX
UV J
JJ
dFvuJ
Ejes Principales de Inercia
El valor de los momentos de inercia JU y JV será función del valor que adopte el ángulo “”, habiendo un
valor para el cual estos serán máximos o mínimos.
El ángulo “” que deben formar los ejes “u” y “v” con los ejes “x” y “y” para obtener los valores máximos y
mínimos de JU y JV podremos obtenerlo, haciendo la derivada respecto de “” del momento de inercia JU
nulo.
    02cos2sin
2


 UVXY
YXU
JJ
JJ
d
dJ



O sea que la posición de los ejes principales de inercia queda determinada por la condición JUV = 0, por lo
que ambos ejes son conjugados de inercia.
Si el punto “O” es el centro de gravedad de la sección, se llaman ejes baricéntricos principales de
inercia. Si la sección tiene un eje de simetría, este es un eje baricéntrico principal de inercia, mientras que
el otro estará orientado a 90º respecto de éste.
 
XY
XY
JJ
J
tg



2
2 
Construcción del Círculo de Mohr-Land
Sea la sección de la figura y supondremos haber calculado los valores de JX, JY y JXY.
Sobre un semieje, por ejemplo el “+y”, llevamos en escala el valor de JX determinando el punto A; en la
misma escala llevamos a continuación el valor de JY determinando el punto B.
Con centro en el punto medio de GB tracemos un círculo que pase por G y por B. Su diámetro será el
momento de inercia polar respecto del centro G.
YXG JJJ 
Sobre la perpendicular levantada por A a la recta GB llevemos en escala, y con su signo, el valor de JXY,
determinando el punto P, llamado punto central de inercia o polo. Si el signo del momento centrífugo es
positivo, las coordenadas del punto P tendrán el mismo signo, y si es
negativo, signos contrarios.
Determinación de los momentos de inercia con respecto a
dos ejes baricéntricos:
Tracemos el círculo de Mohr y determinemos su polo P y sean dos
ejes baricéntricos cualquiera “ss” y “tt”. La cuerda AB queda
determinado por los puntos en que los ejes “ss” y “tt” cortan a la
circunferencia.
El valor de JST, momento de inercia centrífugo, está medido por la
longitud del segmento de perpendicular trazado del punto P a la
cuerda AB.

El valor de JS, momento de inercia medido respecto del eje “ss”, está medido por la longitud del segmento
de perpendicular trazado del punto P a la tangente a la circunferencia en el punto A.
El valor de JT, momento de inercia medido respecto del eje “tt”,
está medido por la longitud del segmento de perpendicular trazado
del punto P a la tangente a la circunferencia en el punto B.
Dado un eje baricéntrico cualquiera, hallar su
conjugado de inercia:
Tracemos el círculo de Mohr y determinemos su polo P y sea
“c1c1” un eje baricéntrico cualquiera, que corta a la circunferencia
en el punto B.
Tracemos la secante determinada por los puntos P y B, que cortan
a la circunferencia en el punto A.
El eje “c2c2” determinado por los puntos G y A será el eje
conjugado de inercia del eje “c1c1”.
Trazado de los ejes Principales de Inercia:
Tracemos el círculo de Mohr y determinemos su polo P.
Tracemos el diámetro que pasa por P y corta a la circunferencia en
los puntos E y N.
El eje “” determinado por los puntos E y G y el eje “”,
determinado por los puntos N y G, son los ejes principales de
inercia. El momento de inercia máximo corresponde al eje “”, y
su valor estará medido por el segmento EP.
Radio de Giro
Se denomina radio de giro de una sección con respecto a un eje a
una longitud “i” que, elevada al cuadrado y multiplicada por el área,
nos da el valor del momento de inercia respecto del mismo eje.
A
J
iJAi X
XXX 2
Módulo Resistente
Se llama módulo resistente de una sección, con respecto al
eje baricéntrico, al cociente resultante entre el momento de
inercia de la misma respecto a dicho eje y la distancia del
punto más alejado de la sección respecto al eje en
cuestión.
 3
max
cm
v
J
W X
X 

Diagramas de Características
Definiciones
Momento Flexor
En la sección S de una viga sometida a la acción de cargas
exteriores RA, P1, P2, P3, P4, y RB, es el momento de todas las
fuerzas exteriores actuantes a la izquierda de S respecto del
baricentro de S, o a la derecha con signo contrario.
Esfuerzo de Corte
exteriores RA, P1, P2, P3, P4, y RB, es la componente vertical de
todas las fuerzas exteriores aplicada a la izquierda de S, o a la
derecha con signo contrario.
Esfuerzo de Axil
exteriores RA, P1, P2, P3, P4, y RB, es la componente horizontal
de todas las fuerzas exteriores aplicada a la izquierda de S
respecto del baricentro de S, o a la derecha. Es positiva si es
de tracción y negativa si es de compresión.
Determinación Gráfica de los diagramas de Características
Sea la viga AB simplemente apoyada, solicitada por las cargas P1, P2, y P3.
Determinemos las reacciones
de vínculo RA y RB que
equilibran el sistema por medio
de un funicular de polo O1
elegido de modo que la línea de
cierre “5” sea horizontal.
El diagrama trazado con los
lados 1, 2, 3 y 4 del funicular, es
el diagrama de momentos
flexores en escala de momentos
que se construye multiplicando
la escala lineal por la escala de
fuerzas por la distancia polar “h”
del funicular.
Como todas las fuerzas
exteriores son verticales, en
este caso, el esfuerzo axil N
resulta nulo; el esfuerzo
cortante Q también será vertical
y su diagrama lo obtenemos
proyectando el vectorial del
funicular.

Relaciones entre Carga, Esfuerzo Cortante y Momento Flexor
Sea la viga AB simplemente apoyada, solicitada por un sistema de cargas. Determinemos las reacciones
de vínculo RA y RB que equilibran el sistema.
Al pasar de C a C1 el incremento del esfuerzo cortante proviene de:
  p
dx
dQ
p
x
Q
xpQ
xx 



 00 limlim
“La carga específica “p” es, numéricamente, la derivada respecto de “x”del esfuerzo cortante.”
(salvo el signo).
Al pasar de C a C1 el incremento del momento
flexor proviene de la fuerza Q y de la carga p.x:
2
x
xpxQM


Q
dx
dMx
pQ
x
M
xx 




 




2
limlim 00
“El esfuerzo de corte es la derivada respecto de
“x” del momento flexor”, por lo tanto, “El
momento flexor es máximo en las secciones en
que el esfuerzo cortante resulta nulo o pasa por
el valor cero” (cambie de signo).
Derivando M dos veces respecto de x será:
p
dx
Md
dx
dQ
dx
dM
dx
d
dx
Md






 2
2
2
2
O sea que la derivada segunda del momento flexor respecto de x dos veces es igual, numéricaente, a la
carga específica “p” (salvo el signo).
Trazado de diagramas de características
Conceptos e ideas que debemos recordar:
a. Los esfuerzos característicos son las solicitaciones producidas por las cargas que actúan sobre la
estructura que se analiza y que habrán de ser las causas condicionantes (al margen de otras
variables) del dimensionamiento de las secciones transversales de las distintas partes que la
componen.
b. Las acciones exteriores (cargas) han sido expresadas por medio de funciones (carga concentrada
–incluyendo pares– y fuerzas distribuidas). Por lo tanto los esfuerzos característicos (que de ellas
derivan) serán también funciones y el trazado de los diagramas de características se reduce, en
definitiva, a graficar como varía un esfuerzo determinado (variable dependiente) a lo largo del eje
de la barra para la cual se dibuja (variable independiente):

c. Relaciones diferenciales: son expresiones matemáticas que se deducen estudiando el equilibrio
de un elemento de barra, sometido a la acción de las fuerzas exteriores y de los esfuerzos
característicos, que facilitan el análisis de las funciones que se quiere graficar (M, Q, N) y el
mismo trazado.
Terna Izquierda Terna Derecha
 
     1
0
0)1
zq
dz
zdN
dzqdN
NdzqdNNP
z
z
z
zz


  
     4
0
0)1
xq
dx
xdN
dxqdN
NdxqdNNP
x
x
x
xx



 
 
   2
0
0)2
zq
dz
zdQ
dzqdQ
NdzqdQQP
y
y
y
yy


  
 
   5
0
0)2
xq
dx
zdQ
dxqdQ
NdxqdQQP
y
y
y
yy



   
     3
0
:superiorordendemosinfinitésidodesprecian
0
2
0)3
1
1
zQ
dz
zdM
dzQdM
dz
dzqM
dzdQQdMMM
M
y
x
y
G
G







   
     6
0
:superiorordendemosinfinitésidodesprecian
0
2
0)3
2
2
xQ
dx
xdM
dxQdM
dx
dxqM
dxdQQdMMM
M
y
z
y
G
G








d. Concepto de esfuerzo característico: Partimos de la idea de un cuerpo (chapa en nuestro caso)
en estado de equilibrio:
0  iPR
Ahora seleccionamos una sección trasversal cualquiera, con lo cual el cuerpo queda dividido en dos
partes (izquierda y derecha) que admitirán sendas resultantes parciales Ri y Rd, que deben ser fuerzas
opuestas: Ri = - Rd, de modo que se cumpla que Ri y Rd = R = 0
1
Si Rd es la resultante de las fuerzas que actúan sobre la parte derecha, Ri puede interpretarse como la
“colaboración” que le suministra la parte izquierda para que se mantenga en equilibrio y viceversa.
Si analizamos ahora el equilibrio de la parte derecha tendremos:
1
Nota: dado que Ri y Rd constituyen un sistema equivalente para las fuerzas actuantes sobre cada parte, no deben coexistir
con ellas; aquí se lo ha hecho a sólo efecto de recordar ideas.

Dado que Ri = - Rd, sobre la cara izquierda de la sección 1-1 se obtendrán fuerzas opuestas a las
anteriores con lo cual será:
Las fuerzas Q1, N1, y M1, corresponden a la descomposición
de Rd en la dirección de los ejes coordenados x, y, z y son las
que se grafican cuando se usa la terna DERECHA.
Las fuerzas Q1, N1, y M1, corresponden a la descomposición
de Ri en la dirección de los ejes coordenados x, y, z y son las
que se grafican cuando se usa la terna IZQUIERDA.






11
1
1
QNR
eRM
i
ii

e. Ternas de referencia global y Locales
i. Terna Global: se emplea para referir a ella la geometría de la estructura y para
determinar R y las reacciones de vínculo externas (RVE).
ii. Ternas Locales: a ellas se refieren los esfuerzos característicos.
iii. Ejemplos:
2
f. Ternas locales / Los cuatro casos posibles: la disposición de una barra en la composición de una
estructura admite que se la asocie con alguno de los cuatro casos posibles que se muestran a
continuación, tanto para terna izquierda como para derecha:
2
Nota: en principio, las ternas Global y Locales no tiene por qué ser del mismo tipo (derecha o izquierda), pero todas las
locales sí deben serlo (derecha o izquierda).

i. Terna local izquierda:
3
3
Nota: ver que de los casos 1 a 4 se pasa mediante un giro continuo de la barra en el sentido horario.

i. Terna local derecha:
4
4
Nota: ver que de los casos 1 a 4 se pasa mediante un giro continuo de la barra en el sentido anti horario.

g. Caras Positivas: son aquellas que, de acuerdo con la terna local adoptada, nos da el signo de los
esfuerzos que van a graficarse:
Ejercicio de aplicación
Trazar los diagramas de características de la siguiente estructura plana, empleando terna izquierda:
a. Diagramas:

b. Comentarios
i. Análisis Cualitativo en base a las Relaciones Diferenciales
La integración miembro a miembro de las relaciones diferenciales (3 o (4 a 6)) nos muestra
que la función que figura en el primer miembro es de un grado superior a la que lo hace en el
segundo:
       
 
     
       





2
1
2
1
2
1
z
z
yxy
x
z
z
yyy
y
z
z
zzz
z
dzzQzMzQ
dz
zdM
dzzqzQzq
dz
zdQ
dzzqzNzq
dz
zdN
Por lo tanto en nuestro caso se tiene lo siguiente:
Entre las secciones 1 y 21:
   
   
    grado2deparabólicafunciónlinealfunción)
linealfunciónconstante)
constante0)



zMzQc
zQzqb
zNzqa
xy
yy
zz
   
   
    linealfunciónconstante)
constante0)
n/caso)en(ceroconstante0)



zMzQc
zQzqb
zNzqa
xy
yy
zz
   
   
    linealfunciónconstante)
constante0)
constante0)



zMzQc
zQzqb
zNzqa
xy
yy
zz
c. Cálculo de los esfuerzos característicos en cada sección clave

Por lo tanto, H1 y V1 componen Ri, mientras que todo el resto de las fuerzas (q.3m; H4 = 10 t;
VA = 30 t; M3 = 10 t.m y V3 = 22,08 t) componen Rd = -Ri .
Pregunta 1: ¿En qué consiste la mecánica del cálculo de los esfuerzos característicos en
cualquier sección?
Rta: en reducir al baricentro de la sección que se analiza la resultante Ri (da el signo de las
características con terna izquierda) o Rd.
Pregunta 2: ¿Es necesario determinar Ri o (Rd) previamente?
Rta: no, porque según vimos oportunamente, la proyección de la resultante de un sistema de
fuerzas sobre un eje (“z” para hallar Nz e “y” para hallar Qy) es igual a la suma de las
proyecciones de las fuerzas componentes sobre el mismo eje y, además, el momento de la
resultante de un sistema de fuerzas con respecto a un punto (el baricentro G de la sección en
este caso) es igual a la suma de los momentos de las fuerzas componentes con respecto al
mismo punto. Se tiene entonces: Ri1 = H1 + V1.

 







3344
11
y;;dencomposició
3
izquierdaladesde
21
21
MVVHR
mqVHR
d
i
En consecuencia, al reducir las fuerzas que actúan sobre la parte izquierda al baricentro de la sección 21,
se tiene:
 
     
         























mtmm
m
t
mtMM
tm
m
t
tQP
tHP
xx
yy
zz
26,4650,135392,22
92,73592,22
10
izquierdaladesde
21
21
21

 







33
4411
ydencomposició
3
izquierdaladesde
23
23
MVR
VHmqVHR
d
i
En G23 se tiene:
   
       
     

















mtmtMMM
ttm
m
t
tQP
ttNP
xxx
yy
zz
26,56110
08,22303592,22
01010
izquierdaladesde
2123
23
23

 







33
4411
ydencomposició
3
izquierdaladesde
3
3
MVR
VHmqVHR
d
i
En G3 se tiene:
   
       
   

















mtmQMMM
ttm
m
t
tQP
NttP
yxxx
yy
zz
103
08,22303592,22
01010
izquierdaladesde
23233
3
3

  







44
3311 concomp.3
izquierdaladesde
24
24
VHR
MVmqVHR
d
i
En G24 se tiene:
       
 
         
       































mtmtmt
mtmm
m
t
mtMM
tHQP
ttm
m
t
tNP
xx
yy
zz
1098,9392,22
105,135392,22
10
3008,223592,22
izquierdaladesde
24
24
24
1

Para la Sección 4, en este único caso se procede a determinar los esfuerzos característicos a partir de Rd
(debemos cambiar su signo para dibujarlas).
En G4 (izquierda) se tiene:
   
   













0
1010
n)(compresió3030
derechaladesde
44
44
44
zxx
yyy
zzz
dHMM
tQtQP
tNtNP
Vemos ahora, rápidamente, que sucede si planteamos terna derecha (recordemos que el signo de los
esfuerzos que deben graficarse son los que se obtienen descomponiendo la resultante derecha Rd en la
dirección de los 3 ejes coordenados de referencia):

a. Diagrama de características (terna derecha)

b. Algunas consideraciones finales
Haremos algunas consideraciones finales sobre el signo de las pendientes de las tangentes de los
diagramas de esfuerzos de corte y momento flexor, así como acerca de las concavidades de éste
último cunado la función es parabólica (aunque formalmente está relacionado íntimamente con el primer
tema).
Lo haremos para el caso de terna izquierda analizando los
diagramas de Qy y Mx de la barra 1-2. Para ello debemos
recordar que:
 
   
     3
2


zQ
dz
zdM
zq
dz
zdQ
y
x
y
y
La expresión (2) nos dice que la pendiente de la recta tangente a la función Qy en cualquier punto
(posicionado mediante la abscisa “z”) viene dada por la ordenada de carga qy (que corresponde a ese
mismo punto) cambiada de signo.
Del mismo modo la expresión (3) nos dice que la pendiente de la recta tangente a la función Mx en un
punto cualquiera viene dada por el valor del esfuerzo de corte en ese mismo punto.
En el primer caso qy debe medirse en la escala de fuerzas empleada para graficar los esfuerzos de corte;
en el segundo caso, Qy debe medirse en la escala adoptada para el diagrama de momentos flexores.
En resumen, los diagramas de qy(z); Qy(z) y Mx(z) están íntimamente relacionados:

Por último podemos dar la siguiente regla práctica para verificar si la concavidad de la curva
representativa del diagrama de momentos flexores (de cargas distribuidas) es correcta:
“Se supone que la línea de cierre del diagrama de momentos es la vela de una embarcación y que la
carga distribuida representa la acción del viento, la concavidad correspondiente a la deformación de la
vela coincidirá con la del diagrama de momentos flexores.”
Bibliografía Recomendada
 Estabilidad I - E. Fliess
 Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
 Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
 Sistemas de Alma Llena Planos – Trazado de Diagramas de Características – C. Giacoia

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