Geodésia

1. Exercício de Transformação de
coordenadas geodésica em
Topográficas Locais
Objetivo: Cálculo de área de imóvel
rural
Prof. Dr. Carlos Aurélio Nadal

2. Foram determinadas as coordenadas geodésicas no
sistema SIRGAS2000, de quatro vértices da poligonal
delimitadora de um imóvel rural, mostrada na tabela
abaixo. Calcular a área do imóvel num sistema
topográfico local. Calcular ainda os outros elementos
cartográficos necessários para a confecção da planta
topográfica.
VÉRTICE latitude longitude Altitude
geométrica (m)
CARNM00049 25°22´24,6978" 51°25´46,1655" 1133,95
CARNM00050 25°22´31,2218" 51°25´46,5398" 1141,02
CARNM00051 25°22´31,7541" 51°25´56,0555“ 1140,25
CARNM00052 25°22´22,1761" 51°25´46,6385" 1137,89

3. 1) Cálculo das coordenadas cartesianas geodésicas
tridimensionais dos vértices e da origem (média das
coordenadas dos outros vértices).
vértice X(m) Y(m) Z(m)
ORIGEM 3595782,221 -4509237,036 -2717082,802
CARNM00049 3595861,200 -4509215,693 -2717004,068
CARNM00050 3595803,353 -4509159,938 -2717188,518
CARNM00051 3595590,515 -4509319,787 -2717202,990
CARNM00052 3595873,815 -4509252,724 -2716935,632
SIRGAS2000 GRS80
a= 6378137m f=1/298,257222101 e2= 2f – f2
Ni= a / (1- e2 sen2i) Xi = (Ni + hi) cos i cos i
Yi = (Ni + hi) cos i sen i
Zi = [Ni (1 – e2) + hi) sen i

4. 2) Cálculo das coordenadas topográficas locais dos vértices
ei 1 0 0 -senλ0 cosλ0 0 Xi – X0
ni = 0 senɸ0 cosɸ0 -cosλ0 -senλ0 0 Yi – Y0
ui 0 -cosɸ0 senɸ0 0 0 1 Zi – Z0
vértice e(m) n(m) u(m)
ORIGEM 0,000 0,000 0,000
CARNM00049 75,056 85,089 -4,327
CARNM00050 64,590 -115,703 2,743
CARNM00051 -201,478 -132,087 1,970
CARNM00052 61,832 162,700 -0,388
A NBR14166 sugere que se some 150000m na
coordenada “e” e 250000m na coordenada “n”

5. Para o cálculo sugere-se o desenvolvimento do sistemas
de equações:
ei -senλ0 cosλ0 0 Xi – X0
ni = -senɸ0 cosλ0 -senɸ0 senλ0 cosɸ0 Yi – Y0
ui cosɸ0 cosλ0 cosɸ0 senλ0 senɸ0 Zi – Z0
ou,
ei =-senλ0 (Xi – X0)+cosλ0 (Yi – Y0)
ni =-senɸ0 cosλ0 (Xi–X0)-senɸ0 senλ0 (Yi–Y0)+cosɸ0(Zi–Z0)
ui =cosɸ0 cosλ0 (Xi–X0)+cosɸ0 senλ0 (Yi–Y0)+senɸ0(Zi – Z0)

6. 3) Cálculo da área do imóvel
Fórmula dos trapézios
1 n
S =   [(ni+1 + ni) (ei+1 - ei )]
2 i=1
Ou ,
S=0,5 x [(n2 + n1) (e2 – e1 ) + (n3 + n2) (e3 – e2) +
+ (n4 + n3) (e4 – e3 ) + (n1 + n4) (e1 – e4 )]
S= 38793,44469 m2

7. 4) Coordenadas UTM dos vértices. Todos situam-se no
fuso UTM 22, cuja longitude do meridiano central
λ0= 51°W. Para tanto utilizou-se o software PROGRID
fornecido pelo IBGE
http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/geodesia/param_transf/default_param_transf.shtm
vértice E(m) N(m)
CARNM00049 456791,934 7193621,682
CARNM00050 456782,119 7193420,970
CARNM00051 456516,253 7193403,739
CARNM00052 456778,466 7193699,207
Área do imóvel no plano UTM: 38750,4001m2

8. 5) Azimute plano UTM utilizado na orientação da planta
topográfica
E50 – E49
A CARNM00049- CARNM00050 = arc tg ----------------
N50 – N49
Analise do numerador e do denominador
obtém-se que o azimute é do 3º quadrante
A CARNM00049- CARNM00050 = 182° 47´ 58,5"

9. 6) Azimute geodésico utilizado nos cálculos.
Utilizou-se o software “inverse” disponibilizado em:
http://www.ngs.noaa.gov/PC_PROD/Inv_Fwd/
A CARNM00049- CARNM00050 = 182° 59´ 01,3“
A convergência meridiana no ponto CARNM00049 resulta
em:
ϒ = 0° 11´ 02,5696“
E o fator de escala UTM em:
k= 0,999623054