Índice.                            Capitulo 1. (Noções e proposições primitivas)Ponto, Reta e Plano                       ...
Recíproco do teorema de Pitágoras.              .............................................................................
Gráfico da função seno.                           ...........................................................................
Elementos da elipseEquação da elipse com centro na origem.     ..............................................................
Capitulo 1.       Noções e proposições primitivas       As noções (conceitos, termos, entes) geométricas são estabelecidas...
Reta _ letras minúsculas latinas: a, b, c, ... Plano _ letras gregas minúsculas: α , β, ϒ, ... b)      Notações gráficas.O...
Os pontos A, B e C são colineares.            Os pontos R, S, e T não são colineares.       Postulado da determinação da r...
Solução: Sejam r e s as duas retas, P um ponto de S e ߙ o plano (r, P). As retas r e sdeterminam um plano ߙ′. Temos, então...
Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta está contida nesse mesmoplano.                              ...
Basicamente consiste em estabelecer a correspondência entre pontos de um plano e pares ordenadosde números reais associado...
ሺ‫ܨܧ‬ሻଶ ൌ ሺ‫ܥܧ‬ሻଶ ൅ ሺ‫ܥܨ‬ሻଶ ou ሺ‫ܨܧ‬ሻଶ ൌ ሺ‫ݔ‬ி െ ‫ݔ‬ா ሻଶ ൅ ሺ‫ݕ‬ி െ ‫ݕ‬ா ሻଶTemos que:                       ݀ாி ൌ ඥሺ‫ݔ‬ி െ ...
Ângulos       Definição:       Chama-se ângulo à reunião interna ou externa compreendida entre duas semi-retas demesma ori...
Ângulos Opostos Pelo Vértice (O.P.V.)       Dois ângulos são opostos pelo vértice se, e somente se, oslados de um deles sã...
Unidade de medida de um ângulo.          Um ângulo não tem comprimento, nem largura nem espessura. Ele só tem uma medidach...
Se você juntar os dois ângulo terá um ângulo de 90˚.       Calcule o complementar do ângulo de 35˚       Solução:       Se...
Colaterais: 1 e 8, 2 e 7, 3 e 6, 4 e 5.        Observações:        i) Com mais detalhes podemos ter:           alternos	i...
Capitulo 3.       Triângulos       Definição       Dados três pontos ‫ ܤ ,ܣ‬e ‫ ܥ‬não colineares, à                      ത...
Acutângulos: se, e somente se, têm ângulos agudos, ou seja, os três ângulos com medidamenores do que 90˚.       Obtusângul...
‫ܯܣ‬ଵ é a mediana relativa ao lado ‫.ܥܤ‬       ‫ܯܣ‬ଵ é a mediana relativa ao vértice ‫.ܣ‬       Bissetriz interna de um tr...
Tales.       Tales é considerado um importante filósofo e matemático, nasceu na Grécia antiga, maisprecisamente na cidade ...
Sistematizando a ideia de tales.       Utilizando de algumas ideias Tales conseguiucalcular a altura da pirâmide.       En...
No feixe de paralelas e duas transversais, 	‫ ݌‬e ‫ .ݍ‬Suponha que exista um segmento ‫ ݑ‬de                              ...
Matematicamente falando:                                ܽ ܾ ܿ                                  ൌ ൌ                      ො ...
ࢉ         ࢈      ൌ        ൌࡷ.ࢉ´       ࢈´        	ቋ → ∆࡭࡮࡯ ൎ ∆࡭`࡮`࡯` →      ෡ ෡      ࡭≡࡭          ܽ→ ቀ	             ෠   ෠ መ...
que descobriu o teorema que leva o seu nome, pois era comum naquela época dar todo credito deuma descoberta ao mestre.    ...
௔௕                                                           ଶ       A área de cada um dos quatro triângulos é            ...
A Demonstração de Perigal.       A demonstração de feita por Perigal é sem dúvida uma das mais elegantes e evidentes daver...
Demonstração:       Suponha um triangulo ‫ ܥܤܣ‬de lados ܽ, ܾ	݁	ܿ, onde ‫ ܤܣ‬ൌ ܿ BC = a e AC = b .                   ˆ     ...
ܾ ଶ ൌ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ݄ଶ                                                       ݄ଶ ൌ ܾ ଶ െ ‫ ݔ‬ଶ        Assim no triângulo	‫ ܥܲܣ‬re...
d ² = a² + a²                                                                                    Sua Vez...     Qual   o  ...
Um terno pitagórico é dito primitivo, quando b e c são primos entre si, ou seja, ݉݀ܿሺܾ, ܿሻ ൌ1. Logo ሺ3, 4, 5ሻ é um terno p...
Construção de figuras com régua e compasso.           1)De inicio, utilizaremos um segmento de 4 cm de comprimento, para c...
c) Tomado como base um dos lados do triângulodesenhado, construa outro triangulo equilátero.       d) A figura formada é u...
Utilizando dessa mesma ideia faremos a representação geométrica das outras distâncias.Observe nas ilustrações a seguir que...
Capitulo 4.       Circunferência .       Os pontos ao lado estão a 2	ܿ݉ do ponto ܲ . Considerando todos ospontos que estão...
Círculo       Definição: Circulo ou (disco) pode ser entendido como união dos pontos internos de umacircunferência e a cir...
݅݅ሻ Segmento circular maior ࡭࡮ e a intersecção do circulo com o semi-plano de origem nareta ࡭࡮ e que contem o centro ܱ.   ...
Tangente.       Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em umúnico ponto.       ...
݅݅ሻ Como existe uma única reta perpendicular à reta ‫ ݏ‬que passa pelo ponto ܶ, teremos ospontos O1 , O2 e ܶ pertencentes ...
OA ≡ OB (raio)                     OP Comum os dois triângulos       ˆ ˆ       A = B = 90º              Conclusões:...
Para determinarmos a medida de um arco primeiramente é necessário sabermos qual éunidade de arco. Chamaremos de unidade de...
O ângulo BÔA = θ , é o ângulo externo do triângulo ܱܸ‫ .ܤ‬Por isso, o ângulo θ é igual à                                  ...
De forma análoga o ângulo central θ corresponde ao arco de 1	‫ . ݀ܽݎ‬Da definição que amedida de um arco ‫ ܤܣ‬em radianos ...
O Francês Pierre Laurent Watzel, por volta de 1835, publicou efetivamente aimpossibilidade de se efetuar determinadas cons...
Capitulo 5.           Razões trigonométricas.           Uma das necessidades mais antigas da humanidade é a de medir distâ...
ˆ                    ˆ                 cateto oposto a A cateto adjacente a A cateto oposto a A   ˆ                       ...
ܾ                                  መ         መ                      ෢                                ܶ݃‫ ܣ‬ൌ 			൫‫݈		ܣ݃ݐ‬ê...
Exemplo 3.                                                                                         ସ                      ...
ˆEstas relações permitem que sejam obtidas todas as razões trigonométricas de um ângulo agudo B ,uma vez conhecendo qualqu...
l  l 2      2                                      2sen45° =      = .    =               ⇒        sen30° =           l 2 1...
Com o auxilio de um transferidor, construímos um ângulo de 23°.Utilizando deste ângulo medido faremos um triangulo retângu...
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Matemática iv
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Matemática iv

1.594 visualizações

Publicada em

0 comentários
1 gostou
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
1.594
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
13
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
0
Comentários
0
Gostaram
1
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Matemática iv

  1. 1. Índice. Capitulo 1. (Noções e proposições primitivas)Ponto, Reta e Plano ............................................................................ 02Proposições primitivas ............................................................................ 03Postulado da existência. ............................................................................ 03Postulado da determinação Da reta ............................................................................ 04Equação geral de uma reta ............................................................................ 05Postulado da determinação do plano ............................................................................ 05Plano cartesiano. ............................................................................ 06Ponto médio ............................................................................ 07Distancia entre dois pontos ............................................................................ 07Capitulo 2. (Ângulos).Ângulos ............................................................................ 09Ângulos consecutivos ............................................................................ 09Ângulos adjacentes ............................................................................ 09Ângulos Opostos Pelo Vértice (O.P.V.). ............................................................................ 10Bissetriz de um ângulo ............................................................................ 10Ângulo reto, agudo, obtuso ............................................................................ 10Unidade de medida de um ângulo ............................................................................ 11Ângulos complementares e ângulos ............................................................................ 11suplementaresCondição para que duas retas sejam paralelas ............................................................................ 13 Capitulo 3. (Triângulos).Triângulos. (definição). ............................................................................ 14Elementos. (Vértice, lados e ângulos.) ............................................................................ 14Classificação. (Quanto aos lados.) ............................................................................ 14Classificação. (Quanto aos ângulos.) ............................................................................ 14Congruência de triângulos. ............................................................................ 15Mediana de um triângulo ............................................................................ 15Bissetriz interna de um triângulo. ............................................................................ 16A soma dos ângulos de um triângulo ............................................................................ 16Teorema de tales ............................................................................ 18Casos de semelhança ............................................................................ 191° caso: AA (Ângulo – Ângulo) ............................................................................ 202° caso: LAL (Lado – Ângulo – Lado) ............................................................................ 203 caso: LLL (Lado – Lado – Lado) ........................................................................ 21Teorema de Pitágoras ............................................................................ 21O enunciado do teorema de Pitágoras ............................................................................ 22A Demonstração clássica. ............................................................................ 22A Demonstração de Perigal. ............................................................................ 24
  2. 2. Recíproco do teorema de Pitágoras. ............................................................................ 24Aplicações do Teorema de Pitágoras. ............................................................................ 26Terno Pitagórico ou triângulos Pitagóricos. ............................................................................ 27 Capitulo 4. (Circunferência).Circunferência (definição) ............................................................................ 31Corda e diâmetro ............................................................................ 31Posição de ponto e circunferência. ............................................................................ 31Círculo. ............................................................................ 32Partes do círculo.Semicírculo, Secante ............................................................................ 33Tangente ............................................................................ 34Posições relativas de duas circunferências.Circunferências ConcêntricasCircunferências secantes ............................................................................ 35Segmentos Tangentes.Arcos de uma CircunferênciaÂngulo Central. ............................................................................ 36Medida de um ArcoMedida do ângulo inscrito em umacircunferência. ............................................................................ 37Medida do ângulo inscritoRadiano.Comprimento da Circunferência. ............................................................................ 39Quadratura do círculo. Capitulo 5.(Razões trigonométricas)Razões trigonométricas ............................................................................ 41Seno de um ângulo ‫ܣ‬መ መCosseno de um ângulo ‫.ܣ‬ ............................................................................ 42Tangente de um ângulo ‫ܣ‬ መRazões inversas. ............................................................................ 43Relações entre razões trigonométricas ............................................................................ 44Razões trigonométricas de ângulos ............................................................................ 45fundamentaisSeno, cosseno e tangente de ângulos quaisquer ............................................................................ 46 Capitulo 6.( Funções trigonométricas)Ciclo trigonométrico – determinações ............................................................................ 50Arco trigonométricoConjunto das determinações de um arco ............................................................................ 51Funções Trigonométricas ............................................................................ 52Definição da função senoVariação da função seno. ............................................................................ 53
  3. 3. Gráfico da função seno. ............................................................................ 54Função cosseno ............................................................................ 55Variação da função cosseno ............................................................................ 56Gráfico da função cosseno. ............................................................................ 57Função tangente ............................................................................ 60Variação da função tangente. ............................................................................ 60Gráfico da função tangente. ............................................................................ 61 Capitulo 7.(Derivada e a reta tangente.)Derivada e a reta tangente ............................................................................ 62Informações dadas pela primeira derivada ............................................................................ 64Crescimento e decrescimento de funçõesMáximos e mínimos relativos ............................................................................ 66Pontos críticos e números críticos. ............................................................................ 67Sobre o teste da primeira derivada Capitulo 8.(Progressões)Sequências.Representação de uma sequência. ............................................................................ 69Representação genérica de uma sequência.Progressão Aritmética ............................................................................ 70Notações especiais: ............................................................................ 71Termo Geral de uma P.A.Soma de termos de uma P.A. ............................................................................ 72Teorema 1.A soma dos n primeiros inteiros positivos ............................................................................ 73Teorema 2Teorema 3Progressões Geométricas. (P.G) ............................................................................ 74Termo geral de uma PG. ............................................................................ 75Soma dos termos de uma ܲ‫ ܩ‬finita. ............................................................................ 77Limite da soma dos termos de uma PG. ............................................................................ 79 Capitulo 9.(Introdução a cônicas.)Parábola.Considerações ............................................................................ 83Definição.Elementos da parábolaEquação da parábola de vértice na origem. ............................................................................ 84Gráfico de uma função.f (x ) = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 f : R → R . ............................................................................ 85Elipse.Considerações. ............................................................................ 87Definição
  4. 4. Elementos da elipseEquação da elipse com centro na origem. ............................................................................ 88Hipérbole.Considerações ............................................................................ 91Definição.Elementos da Hipérbole.Equação da Hipérbole com centro na origem ............................................................................ 92
  5. 5. Capitulo 1. Noções e proposições primitivas As noções (conceitos, termos, entes) geométricas são estabelecidas por meio de definição.Mas é importante resultar que, os conceitos primitivos (noções primitivas) da geometria, nãopossuem definição. Adotaremos sem definir as noções de: Ponto, Reta e Plano. O conhecimento que temos de ponto, reta e plano. É intuitivo decorrente da experiência e daobservação e não por definição. Ponto: Pode ser dado como exemplo: Uma marca de giz no quadro negro, a marca da ponta de umlápis ou caneta, mas tudo sempre no mundo das idéias de ponto em geometria. E o ponto não temdimensões (tamanho). Reta: Exemplo: as linhas de marcação de uma quadra, um fio esticado, as linhas do seu caderno.Dão a idéia de reta em geometria, com a diferença que: a reta não tem começo e nem fim, logo nãopode ser medida. Plano: Exemplo: o chão ou as paredes de uma sala, uma quadra, uma folha de papel, sugerem aidéia de plano em geometria. Notação de ponto, reto e plano. a) Com letras Ponto _ letras maiúsculas latinas: A, B, C, ...
  6. 6. Reta _ letras minúsculas latinas: a, b, c, ... Plano _ letras gregas minúsculas: α , β, ϒ, ... b) Notações gráficas.O ponto ࡼ A reta ࢘ O plano ∝ Proposições primitivas. As proposições (propriedades, afirmações) geométricas são aceitas mediante demonstrações. Mas em particular as proposições primitivas ou postulados ou axiomas são aceitos sem demonstração. Iniciaremos a Geometria Plana com alguns postulados relacionando o ponto, a reta e o plano. Postulado da existência. a) Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos. b) Num plano, bem como fora dele, há infinitos pontos. A expressão “infinitos pontos” tem o significado de “tantos pontos quantos quisermos”. A figura ao lado indica uma reta r e os pontos A, B, P, R, S e M, sendo que: A, B e P estão em r ou a reta r passa por A, B e P, ou ainda A Є r, B Є r, P Є r; R, S e M não estão em r ou r não passa por R, S e M, ou ainda R ∉ r, S ∉ r, M ∉ r. Pontos colineares são pontos que pertencem a uma mesma reta.
  7. 7. Os pontos A, B e C são colineares. Os pontos R, S, e T não são colineares. Postulado da determinação da reta. Dois pontos distintos determinam uma única (uma, e uma só) reta que passa por eles. Ospontos A e B distintos determinam a reta que indicamos por AB. ሺ‫ݎ ∈ ܤ ,ݎ ∈ ܣ ,ܤ ് ܣ‬ሻ A expressão duas retas coincidentes é equivalente a uma única reta. Retas concorrentes. Definição Duas retas são concorrentes se, e somente se, elas têm umúnico ponto comum. ‫ ݏ ∩ ݎ‬ൌ ሼܲሽ Retas paralelas Definição. Duas retas são paralelas (símbolo: //) se, e somente se,são coincidentes (iguais). Ou São coplanares e não tem nenhum ponto em comum. ሺܽ ⊂ ߙ, ܾ ⊂ ߙ, ܽ ∩ ܾ ൌ ∅ሻ → ܽ//ܾ Exercícios: Demonstre que num plano existem infinitas retas. Solução: Consideremos um plano ߙ e nele dois pontosdistintos A e B, estes pontos determinam uma reta r, que esta contidaem ߙ, pois tem dois pontos distintos em ߙ. Consideremos em ߙ e forade r um ponto C. Os pontos A e C determinam uma reta ‫ ,ݏ‬que esta emߙ. Os pontos B e C determinam uma reta ‫ ݐ‬que esta em ߙ. Dessemodo podemos construir em ߙ “tantas” retas quantas quisermos isto é “infinitas” retas. Se duas retas são paralelas e distintas, todo plano que contem uma delas e um ponto daoutra, contém a outra.
  8. 8. Solução: Sejam r e s as duas retas, P um ponto de S e ߙ o plano (r, P). As retas r e sdeterminam um plano ߙ′. Temos, então: ሺߙ ᇱ ൌ ሺ‫ݏ ,ݎ‬ሻ, ܲ ∈ ‫ݏ‬ሻ ⟹ ߙ ᇱ ൌ ߙ. Se ߙ ൌ ߙ′ contem S, então o plano ߙ contem a reta s.Equação geral de uma reta Seja os pontos ‫ܪ‬ሺ0, 2ሻ, ‫ܫ‬ሺ3, 0ሻ e ‫ܬ‬ሺെ3, 4ሻ, pertencentes à mesma reta ‫.ݎ‬ Se ܲሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ é um ponto pertencente a reta ‫ ,ݎ‬temos: ‫ݔ‬ ‫ݕ‬ 1 ܲ, ‫ ܫ ݁ ܪ‬são colineares ⇒ อ0 2 1อ ൌ 0 ⇒ 2‫ ݔ‬൅ 3‫ ݕ‬െ 6 ൌ 0 ሺ1ሻ 3 0 1 ‫ݔ‬ ‫ݕ‬ 1 ܲ, ‫ ܬ ݁ ܪ‬são colineares ⇒ อ 0 2 1อ ൌ 0 ⇒ െ2‫ ݔ‬െ 3‫ ݕ‬൅ 6 ൌ 0 ሺ2ሻ െ3 4 1 ‫ݔ‬ ‫ݕ‬ 1 ܲ, ‫ ܬ ݁ ܫ‬são colineares ⇒ อ 3 0 1อ ൌ 0 ⇒ െ4‫ ݔ‬െ 6‫ ݕ‬൅ 12 ൌ 0 ሺ3ሻ െ3 4 1 As equações (1), (2) e (3) são equivalentes entre si. Podemos, então, associar qualquer umadessas equações à reta ‫.ݎ‬ Generalizando, seja r uma reta qualquer determinada pelos pontos ‫ܣ‬ሺ‫ݔ‬஺ , ‫ݕ‬஺ ሻ e ‫ܤ‬ሺ‫ݔ‬஻ െ ‫ݕ‬஻ ሻdistindos (‫ݔ‬஺ ് ‫ݔ‬஻ ou ‫ݕ‬஺ ് ‫ݕ‬஻ ሻ e ܲሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ um ponto qualquer de ‫ .ݎ‬Pela condição de alinhamentode ܲ, ‫ ܣ‬e ‫ ,ܤ‬vem: ‫ݔ‬ ‫ݕ‬ 1 อ ‫ݔ‬஺ ‫ݕ‬஺ 1อ ൌ 0 ⇒ ሺ‫ݕ‬஺ െ ‫ݕ‬஻ ሻ‫ ݔ‬൅ ሺ‫ݔ‬஻ െ ‫ݔ‬஺ ሻ‫ ݕ‬൅ ‫ݔ‬஺ ‫ݕ‬஻ െ ‫ݔ‬஻ ‫ݕ‬஺ ൌ 0 ‫ݔ‬஻ ‫ݕ‬஻ 1 Fazendo ‫ݕ‬஺ െ ‫ݕ‬஻ ൌ ܽ, ‫ݔ‬஻ െ ‫ݔ‬஺ ൌ ܾ e ‫ݔ‬஺ ‫ݕ‬஻ െ ‫ݔ‬஻ ‫ݕ‬஺ ൌ ܿ, temos: ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬൅ ܿ ൌ 0, onde ܽ ് 0 ‫ ,0 ് ܾ ݑ݋‬e ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ são as coordenadas de um ponto qualquer da reta r. Postulado da determinação do plano. Três pontos não colineares determinam um único plano que passa poreles. Os pontos ‫ ܤ , ܣ‬e ‫ ܥ‬não colineares determinam um plano ߙ queindicamos por (‫ .)ܥ ,ܤ ,ܣ‬O plano ߙ é o único plano que passa por ‫ ܤ ,ܣ‬e ‫.ܥ‬ Postulado da inclusão.
  9. 9. Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta está contida nesse mesmoplano. ሺ‫ ݎ ,ܤ ് ܣ‬ൌ ‫ߙ ∈ ܤ ,ߙ ∈ ܣ ,ܤܣ‬ሻ ⟶ ‫.ߙ ⊂ ݎ‬ Dados dois pontos distintos A e B de um plano, a reta r = AB tem todos os pontos no plano. Plano cartesiano No inicio do século XVII, a geometria ainda era a base quesustentava a matemática da época e o livro Os Elementos, deEuclides já não atendia as necessidades da matemática da época. Oque se buscava na época era uma maneira de se unir a recém-criadaálgebra linear e a geometria grega da época, nesta tarefa se destaca oFrances René Descartes (1596 - 1650). Em 1617, formado em direito, entrou para a carreira militar, aserviço do príncipe Mauricio de Nassau. O ato mais conhecida dos René Descartes em pintura deseus quase 12 anos de carreira militar foi o sonho que teve o revelo a Frans Hals.inutilidade de como estava sua vida de induzi-lo a abraçar a filosofia. A grande obra de Descartes foi o Discurso do método (1637), um trabalho de filosofia daciência universal. Em relação ao conhecimento ele entendia que o se humano é dotado de duasfaculdades essenciais: a intuição, que proporciona conhecimentos simples, claros e validos (para eleos sentimentos não eram confiáveis, pois podiam induzir a erros) e a dedução, com a qual se podeestabelecer verdades ordenadas racionalmente. Eleescolheu a Matemática para adotar como o método deverdade por seu um método dedutivo pela formasegura de se estabelecer a verdade. Mas estranhamentena parte do Discurso dedicada à matemática, queintitulou A Geometria, que é uma das obrasmatemáticas mais influentes de todos os tempos. Nesse trabalho podemos conhecer o poderosométodo matemático que veio a se tornar a geometriaanalítica que conhecemos nos dias de hoje.
  10. 10. Basicamente consiste em estabelecer a correspondência entre pontos de um plano e pares ordenadosde números reais associados univocamente a uma equação de duas variáveis a uma curva desseplano, e vice-versa. Para isso é utilizado como referencia um par de eixos, em geral ortogonais. O plano cartesiano é um sistema formado por dois eixos perpendiculares entre si com oponto ܱ em comum entre eles. 0ܺ – eixo das abscissas 0ܻ – eixo das ordenadas Cada ponto pertencente ao plano possui uma abscissa ܺ‫ ݌‬e uma ordenada ܻ‫ ,݌‬que indicamospelo par ordenado ሺܺ‫݌ܻ ,݌‬ሻ e chamamos de coordenadas cartesianas de ܲ. O plano dividido pelos eixos da origem a quatro regiões ou quadrantes. Os pontos pertencentes ao 1° quadrante tem abscissa e ordenadas positivas; Os pontos pertencentes ao 2º quadrante tem abscissa negativa e ordenada positiva. Os pontos pertencentes ao 3º quadrante tem abscissa e ordenada negativas. Os pontos pertencentes ao 4º quadrante tem abscissa positiva e ordenada negativa. Ponto médio Dados dois pontos ‫ܧ‬ሺ‫ݔ‬ா , ‫ݕ‬ா ሻ e ‫ܨ‬ሺ‫ݔ‬ி , ‫ݕ‬ி ሻ, para obter as coordenadas do ponto médio do segmento തതതത . ‫ܨܧ‬ Seja ‫ܯ‬ሺ‫ݔ‬ெ , ‫ݕ‬ெ ሻ o ponto médio de തതതത . Temos que ‫ܨܧ‬ abscissa ‫ݔ‬ெ é igual a media aritmética de ‫ݔ‬ா ݁ ‫ݔ‬ி . O mesmo raciocínio pode ser aplicado a ‫ݕ‬ெ . Assim; ‫ݔ‬ா ൅ ‫ݔ‬ி ‫ݔ‬ெ ൌ 2 ‫ݕ‬ா ൅ ‫ݕ‬ி ‫ݕ‬ெ ൌ 2 Distancia entre dois pontos Sejam os pontos ‫ܧ‬ሺ‫ݔ‬ா , ‫ݕ‬ா ሻ e ‫ܨ‬ሺ‫ݔ‬ி , ‫ݕ‬ி ሻ representados no gráfico ao lado. Como podemos calcular a distancia entre ‫ ܧ‬e ‫?ܨ‬ Vamos supor que ‫ݔ‬ா ് ‫ݔ‬ி e ‫ݕ‬ா ് ‫ݕ‬ி . O segmento തതതത mede |‫ݔ‬ி െ ‫ݔ‬ா | e o segmento ‫ܥܨ‬ ‫ܥܧ‬ തതതതmede |‫ݕ‬ி െ ‫ݕ‬ா |. A distância entre ‫ ܧ‬e ‫ ܨ‬é igual à medida da hipotenusa do triangulo ‫ ,ܥܨܧ‬retângulo em ‫.ܥ‬Para calcular essa medida, aplicamos o teorema de Pitágoras:
  11. 11. ሺ‫ܨܧ‬ሻଶ ൌ ሺ‫ܥܧ‬ሻଶ ൅ ሺ‫ܥܨ‬ሻଶ ou ሺ‫ܨܧ‬ሻଶ ൌ ሺ‫ݔ‬ி െ ‫ݔ‬ா ሻଶ ൅ ሺ‫ݕ‬ி െ ‫ݕ‬ா ሻଶTemos que: ݀ாி ൌ ඥሺ‫ݔ‬ி െ ‫ݔ‬ா ሻଶ ൅ ሺ‫ݕ‬ி െ ‫ݕ‬ா ሻଶ
  12. 12. Ângulos Definição: Chama-se ângulo à reunião interna ou externa compreendida entre duas semi-retas demesma origem, não contidas numa mesma reta (não colineares). ෠ തതതത തതതതത ‫ ܤܱܣ‬ൌ ‫ ܤܱ ∪ ܱܣ‬ O ponto O é o vértice do ângulo. As semiretas AO e OB são os lados do ângulo. Os ângulos também podem ser representados por letras gregas taiscomo: ߙ, ߚ, ߛ, ߠ, ߮ ou simplesmente com o acento circunflexo na letra: Â, Ê, Ĉ, Ĥ, Ô. Ângulos consecutivos Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, um lado de um deles é também lado dooutro (um lado de um deles coincide com um lado do outro). AÔB e AÔC são consecutivos . AÔC e BÔC são consecutivos (OA é o lado comum) (OC é o lado comum) AÔB e AÔC são consecutivos (OA é o lado comum) Ângulos adjacentes. Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, e somente se, nãotem pontos internos em comuns. ‫ܣ‬Ô‫ ܤ‬e ‫ܤ‬Ô‫ ܥ‬são ângulos adjacentes.
  13. 13. Ângulos Opostos Pelo Vértice (O.P.V.) Dois ângulos são opostos pelo vértice se, e somente se, oslados de um deles são as respectivas semi-retas opostas aos ladosdo outro. തതതത ݁ ܱ‫ݏ݋ݐݏ݋݌݋ ܥ‬ ܱ‫ ܣ‬തതതതത ෠ ෠ ൠ → ‫ݏ ܦܱܣ ݁ ܤܱܣ‬ã‫ݒ ݋݈݁݌ ݏ݋ݐݏ݋݌݋ ݋‬é‫.݁ܿ݅ݐݎ‬ തതതത തതതത ܱ‫ݏ݋ݐݏ݋݌݋ ܦܱ ݁ ܤ‬ Notemos que duas retas concorrentes determinam dois pares de ângulos opostos pelovértice. Bissetriz de um ângulo. Definição ෠ ෠ Uma semi-reta ܱ‫ ܥ‬interna a um ângulo ‫ ܥܱܣ‬é bissetriz do ângulo ‫ ܤܱܣ‬se, e somente se: ෠ ෠‫ܥܱܤ ≡ ܥܱܣ‬ A bissetriz de um ângulo é uma semi-reta interna ao ângulo,com origem no vértice do ângulo e que divide em dois ânguloscongruentes. Ângulo reto, agudo, obtuso. Ângulo reto é todo ângulo que mede 90˚. Que é congruente a seu suplementar adjacente. É oângulo de 360˚ dividido em 4 partes iguais. É representado por: Ângulo agudo é um ângulo menor que um ângulo reto (90˚). Ângulo obtuso é um ângulo maior que um ângulo reto
  14. 14. Unidade de medida de um ângulo. Um ângulo não tem comprimento, nem largura nem espessura. Ele só tem uma medidachamada amplitude e sua unidade de medida é o graus representado pelo sinal ° Ex. 30° (trintagraus). O instrumento usado para medir um ângulo é otransferidor. Observe o desenho do transferidor e veja comose faz para medir um ângulo. O transferidor é dividido em unidades de medidasdenominadas GRAUS, no intervalo de 0˚ à 180˚ (meiacircunferência) ou de 0˚ à 360˚ (uma circunferência).Esta região, em destaque, esta marcando um ângulo de 40˚ Ângulo de um grau (1º) é o ângulo submúltiplosegundo 90(noventa) de um ângulo reto. â௡௚௨௟௢ ௥௘௧௢ Ângulo de: Um grau ൌ ଽ଴° . Um ângulo reto tem 90 graus (90˚). A medida de um ângulo agudo é menor que 90˚ (um ângulo agudo tem menos que 90 graus). A medida de um ângulo obtuso é maior que 90˚ (um ângulo obtuso tem mais de 90 graus). A medida α de um ângulo é tal que: 0° ൏ α ൏ 180° Ângulo de um minuto (1’) é o ângulo submúltiplo segundo 60 (sessenta) do ângulo de umgrau. 1° 1ᇱ ൌ 60 Um grau tem 60 minutos (60’). Ângulos complementares e ângulos suplementares. Ângulos complementares Dois ângulos são complementares se, e somente se, a soma de suas medidas é 90˚. Um delesé o complementar do outro. Exemplo:
  15. 15. Se você juntar os dois ângulo terá um ângulo de 90˚. Calcule o complementar do ângulo de 35˚ Solução: Sendo X a medida do complemento de 35˚ você tem: ܺ ൅ 35° ൌ 90° ܺ ൌ 90° െ 35° ܺ ൌ 55°(complementar de 35˚) Ângulos suplementares Dois ângulos são suplementares se, e somente se, a soma de suas medidas é 180˚. Um delesé o suplementar do outro. Exemplo1: Os ângulos de 55˚ e 125˚ são suplementares pois a suma deles é 180˚, o que também podeser observado sobrepondo os ângulos Sejam a e b duas retas distintas, paralelas ou não, e t uma reta concorrente com a e b, logo t é uma transversal de a e b. Dos oito ângulos determinados por essas retas, indicados nas figuras acima, chamam-seângulos: Alternos: 1 e 7, 2 e 8, 3 e 5, 4 e 6. Correspondentes: 1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8.
  16. 16. Colaterais: 1 e 8, 2 e 7, 3 e 6, 4 e 5. Observações: i) Com mais detalhes podemos ter: alternos internos : 3 e 5, 4 e 6  ˆ ˆ ˆ ˆ Colaterais internos : 3 e 6, 4 e 5  ˆ ˆ ˆ ˆ alternos externos : 1 e 7, 2 e 8 Colaterais externos : 1 e 8, 2 e 7 Alternos  Colaterais  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ   ˆ ˆ i) A congruência de dois ângulos alternos de um dos pares. Exemplo, 1 ≡ 7 . Entãopodemos dizer que: a) a congruência dos ângulos de todos os pares de ângulos alternos “ 2 ≡ 8 , 3 ≡ 5 , 4 ≡ 6 ”; ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ b) a congruência dos ângulos de todos os pares de ângulos correspondentes"1 ≡ 5 , 2 ≡ 6 , 3 ≡ 7 e 4 ≡ 8" ; ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ c) a suplementar idade dos ângulos de todos os pares de colaterais"1 + 8 = 2 + 7 = 3 + 6 = 4 + 5 = 180 °" ; ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Condição para que duas retas sejam paralelas. Uma condição necessária e suficiente para duas retasdistintas sejam paralelas e formarem com uma transversal, ângulosalternos, ou ângulos correspondentes, congruentes. a // b ⇔ o ≡ u ˆ ˆ Da condição acima podemos retirar outras considerações; 1° Dois ângulos de lados respectivamente paralelos são congruentes ou suplementares. Analisando a ilustração, conclui-se: Como os ângulos alternos formados com a transversal t, são congruentes. ( ) Exemplo 2: Seja a//b Pode-se concluir que: Como a reta ‘a’ é paralela a reta ‘b’, logo os ângulos ‘û’ e ‘ô’, são congruentes. (
  17. 17. Capitulo 3. Triângulos Definição Dados três pontos ‫ ܤ ,ܣ‬e ‫ ܥ‬não colineares, à തതതത തതതത തതതതreunião dos segmentos ‫ ܥܣ , ܤܣ‬e ‫ ܥܤ‬chama-setriângulo ‫.ܥܤܣ‬ Indicação: Triangulo ‫ ܥܤܣ‬ൎ ‫ܥܤܣ‬ തതതത തതതത തതതത ‫ܥܤ ∪ ܥܣ ∪ ܤܣ = ܥܤܣ‬ Elementos. Vértices: os pontos ‫ ܤ ,ܣ‬e ‫ ܥ‬são os vértices do ‫.ܥܤܣ‬ Lados: os segmentos AB (de medida C), ‫( ܥܣ‬de medida b) e ‫( ܥܤ‬de medida a) são os ladosdo triangulo. Ângulos: os ângulos BÂC ou Â, ‫ ܥܤܣ‬ou B e ‫ ܤܥܣ‬ou Ĉ são os ângulos do ̂ ‫( ܥܤܣ‬ouângulos internos do ‫.)ܥܤܣ‬ ͞ ͞ ͞ ̂ Diz-se que os lados BC, AC e AB e os ângulos Â, B e Ĉ são, respectivamente, opostos. Classificação. Quanto aos lados, os triângulos de classificam em: Equilátero se, e somente se, têm os três lados congruentes (tem a mesma medida). Isósceles se, e somente se, têm dois lados congruentes (mesma medida) e um diferente. Escalenos se, e somente se, não possui lados congruentes (os 3 lados são diferentes). Um triângulo com dois lados congruentes é isóscele; o outro lado é chamado base e oângulo oposto à base é o ângulo do vértice. Notemos que todo triângulos equiláteros é tambémtriangulo isósceles. Quando aos ângulos, os triângulos se classificam em: Retângulos: se, e somente se, têm um ângulo reto ሺ90˚ሻ.
  18. 18. Acutângulos: se, e somente se, têm ângulos agudos, ou seja, os três ângulos com medidamenores do que 90˚. Obtusângulos: se, e somente se, têm um ângulo obtuso (tem um ângulo com medida maiorque 90˚). O lado oposto ao angula reto de um triangulo retângulo é sua hipotenusa e os outros dois sãoos catetos do triângulo. Congruência de triângulos. Definição Um triângulo é congruente (símbolo ≡) a outro se, e somente se, é possível estabelecer umacorrespondência entre seus vértices de modo que: Seus lados são ordenadamente congruentes aos lados do outro e Seus ângulos sãoordenadamente congruentes aos ângulos do outro. ‫ `ܣ ≡ ܣ → `ܤ`ܣ ≡ ܤܣ‬ ‫≡ ܥܤܣ‬ ‫ `ܥ`ܤ`ܣ‬൝‫`ܤ ≡ ܤ → `ܥ`ܣ ≡ ܥܣ‬ ‫`ܥ ≡ ܥ → `ܥ`ܤ ≡ ܥܤ‬Mediana de um triângulo. Mediana de um triângulo é um segmento com extremidades num vértice e no ponto médiodo lado oposto. ‫ܯ‬ଵ é o ponto médio do lado ‫.ܥܤ‬
  19. 19. ‫ܯܣ‬ଵ é a mediana relativa ao lado ‫.ܥܤ‬ ‫ܯܣ‬ଵ é a mediana relativa ao vértice ‫.ܣ‬ Bissetriz interna de um triângulo. Bissetriz interna de um triângulo é o segmento, comextremidades num vértice e no lado oposto, que divide oângulo desse vértice em dois ângulos congruentes.ܵଵ ∈ ‫,ܥܤ‬ ܵଵ ‫ܵ ≡ ܤܣ‬ଵ ‫ܥܣ‬ ‫ܵܣ‬ଵ é a bissetriz relativa ao lado ‫.ܥܤ‬ ‫ܵܣ‬ଵ é a bissetriz relativa ao vértice ‫.ܣ‬ A soma dos ângulos de um triângulo. Somando os ângulos internos de um triângulo qualquer, obteremos sempre 180º. Para demonstração realizaremos a seguinte experiência. WWW...Você pode ainda verificar a demonstração interativa dessa propriedade.(http://www.aevouzela.net/moodle/file.php/2/geogebra/triangulo1.html)
  20. 20. Tales. Tales é considerado um importante filósofo e matemático, nasceu na Grécia antiga, maisprecisamente na cidade de Mileto (620-549 a.C). Pouco se sabe sobre a sua vida. Parece que começou comomercador, dono de uma inteligência notável, logo obteve grandeascensão econômica, para depois, se dedicar à busca do saber – oque ele mais valorizava. Na época e Tales a Grécia não era a grandepotencia cultural que se tornaria mais tarde, e possível que tenhaido estudar matemática nos centros mais avançados, como o Egito ea Mesopotâmia. Retornando a sua cidade natal, ganhou o merecidorespeito de seus conterrâneos como estadista filosofo, matemático eastrônomo. Existem muitas lendas e histórias sobre ele. Certa vez com base nos seus conhecimentossobre o tempo ele pode prever que a safra seguinte de azeitona seria muito abundante. Assim obtevea o monopólio de todas as prensas da região. Confirmada a previsão alugou todas as prensas eobteve grande lucro. Outra história contada e a de que Tales previu o eclipse solar do ano de 580a.C., mas há serias duvidas sobre isso. De fato e muito improvável naquela época, mesmo entre osbabilônicos, tabelas astronômicas que permitissem fazer tal previsão. Diz-se que, ao ser interrogado sobre o que era difícil Tales respondeu: “Conhecer a simesmo”. O que era fácil: “Ser dirigido por outro”. Agradável: “Seguir a própria vontade”. Divino:“Aquilo que não tem começo nem fim”. O filosofo utilizava boa parte do tempo para viajes, comum aos homens importantes daquelaépoca. Em uma de suas visitas ao Egito,começou a ser muito admirado por,supostamente, ter medido a altura de umapirâmide sem precisar escalá-la. Para realizar esta façanha, Talesposicionou uma estaca verticalmente no chão.Comparando a medida da estaca com a medida de sua sombra projetada verificou que em certomomento a medida da sombra era a mesma da estaca. Relacionou então a medida da estaca com amedida da pirâmide no mesmo instante. Observe a ilustração a seguir.
  21. 21. Sistematizando a ideia de tales. Utilizando de algumas ideias Tales conseguiucalcular a altura da pirâmide. Entre estas ideias estavam: Se dois triângulos internos possuem ânguloscongruentes, então os seus lados satisfazem a seguinterelação: a b c = = x z y Tales observou também que os raios solares eramparalelos, logo os ângulos de incidência dos raios solaresnum mesmo instante tinham a mesma medida. Assim, é possível escrever a seguinte relação: H ൌ Altura da pirâmide. H B h ൌ Altura da estaca = h b B ൌ Metade da base ൅ sombra. b ൌ Sombra da estaca. Essa relação utilizada por Tales facilitou muito a medida de distâncias que aparentementenão conseguimos alcançar, e mais essa relação de Tales e utilizada até hoje para medir tamanhos demontanhas, rios arvores... Teorema de tales. Se duas retas transversais interceptam um feixe de retas paralelas, então a razão entre doissegmentos quaisquer de uma reta é equivalente à razão dos segmentos correspondentes da outra. Observe a ilustração abaixo:
  22. 22. No feixe de paralelas e duas transversais, ‫ ݌‬e ‫ .ݍ‬Suponha que exista um segmento ‫ ݑ‬de ஺஻modo que ‫ ܤܣ‬ൌ ݉‫ ݑ‬e ‫ ܦܥ‬ൌ ݊‫ ݑ‬ሺ݉, ݊ ∈ Գሻ. Assim na razão ஼஽ temos:஺஻ ௠௨ ௠ ൌ ൌ஼஽ ௡௨ ௡ തതതത Analisando os pontos que dividem ‫ ܤܣ‬eതതതത em ݉ e ݊ partes congruentes ao segmento de‫ܦܥ‬medida ‫ ݑ‬são traçadas retas paralelas ao feixe.Assim os segmentos തതതതതത e തതതതതത ficam divididos ‫`ܦ`ܥ `ܤ`ܣ‬em ݉ e ݊ partes iguais a ‫ `ܤ`ܣ . ݑ‬ൌ ݉‫ ݑ‬e‫ `ܦ`ܥ‬ൌ ݊‫.ݑ‬ ‫ܤܣ ݉ ݑ݉ `ܤ`ܣ‬ ൌ ൌ ൌ ‫ݑ݊ `ܦ`ܥ‬ ݊ ‫ܦܥ‬ Assim concluímos que: ‫ܤܣ `ܤ`ܣ‬ ‫`ܦ`ܥ `ܤ`ܣ‬ ‫ܤܣ‬ ‫ܦܥ‬ ൌ ‫ ݑ݋‬ ൌ ‫ ݑ݋‬ ൌ ‫ܦܥ `ܦ`ܥ‬ ‫ܤܣ‬ ‫ܦܥ‬ ‫`ܦ`ܥ `ܤ`ܣ‬ A principal ideia e perceber que o segmento ‫“ ݑ‬cabe” ݉ vezes em ‫ ܤܣ‬e ݊ vezes em തതതത . തതതത ‫ܦܥ‬Consequentemente ‫“ ݑ‬cabe” ݉ vezes em തതതതതത e ݊ vezes em തതതതതത. ‫`ܤ`ܣ‬ ‫`ܦ`ܥ‬Exemplo.Um quadrado ܴܲܳܵ inscrito num triângulo ‫ .ܥܤܣ‬Sendo ‫ ܥܤ‬ൌ 48 ܿ݉ e a altura relativa à baseigual a 32 ܿ݉, Qual a medida do lado desse quadrado? Primeiramente observemos que o lado ܲܳ éparalelo ao lado ‫ ܥܤ‬do ∆‫ .ܥܤܣ‬Logo ∆‫ ܳܲܣ‬é semelhante ௫ ଵ଺ି௫a ∆‫ ,ܥܤܣ‬então: ଶସ ൌ ଵ଺ → ‫ ݔ‬ൌ 4,8 Casos de semelhança Já sabemos que se dois triângulos internos possuem ângulos congruentes, então os seuslados são ordenadamente proporcionais.
  23. 23. Matematicamente falando: ܽ ܾ ܿ ൌ ൌ ො ො, ෠ ݁ ܽ ≡ ‫ݕ ≡ ̂ܿ ݁ ̂ݖ ≡ ܾ ݔ‬ ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇥ ො ᇣᇧ ‫ ݖ‬ᇧᇥ ‫ ݔ‬ᇧᇤᇧ ‫ݕ‬ ஼௢௡௚௥௨ê௡௖௜௔ ௉௥௢௣௢௥௖௜௢௡௔௟௜ௗ௔ௗ௘ ௘௡௧௥௘ ௢௦ â௡௚௨௟௢௦. ௘௡௧௥௘ ௢௦ ௟௔ௗ௢௦. No entanto essas exigências podem ser reduzidas. Os casos de semelhança queverificaremos a seguir mostram quais são as condições mínimas para dois triângulos seremsemelhantes. 1° caso: AA (Ângulo – Ângulo) Definição: Se dois triângulos (∆) possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles sãosemelhantes (≈ ) . ˆ ˆ ˆ Â ≡ A ` e B ≡ B `⇒ ∆ ABC ≈ ∆ A `B `C ` 2° caso: LAL (Lado – Ângulo – Lado) Definição: Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos de outro triangulo é osângulos compreendidos são congruentes, então ostriângulos são semelhantes.
  24. 24. ࢉ ࢈ ൌ ൌࡷ.ࢉ´ ࢈´ ቋ → ∆࡭࡮࡯ ൎ ∆࡭`࡮`࡯` → ෡ ෡ ࡭≡࡭ ܽ→ ቀ ෠ ෠ መ መ ൌ ‫` ܥ ≡ ܥ ,`ܤ ≡ ܤ ,ܭ‬ቁ ܽ´ 3 caso: LLL (Lado – Lado – Lado) Definição: Se dois lados de um triângulo têm os lados homólogos proporcionais, então eles sãosemelhantes. a b c = = ⇒ ∆ABC ≈ ∆A´B´C´ a´ b´ c´Teorema de Pitágoras. Pitágoras nasceu na ilha de Samos, no mar Egeu, por volta de 572 a.C, perto de Mileto ondehá 50 anos nascerá Tales. Foi a partir das ideias desses dois grandes personagens que a matemáticase inicia como ciência e pôde se desenvolver enormemente nos séculos seguintes. Pitágoras viajou bastante. Esteve no Egito na babilônia,talvez tenha ido até a índia, ele sempre observava os conceitosmatemáticos e as ideias religiosas de cada região. Voltando aGrécia, fundou Crotana (Sudeste da Itália, hoje) uma escola naverdade uma sociedade secreta, dedicada ao estudo da matemáticae da filosofia. A maior parte dos documentos daquela época seperdeu, logo grande parte das informações que temos daqueleperíodo são de referencias de outros autores que vieram séculosdepois. Por isso que podemos dizer que a figura de Pitágoras é umtanto obscura na historia da matemática e, para dificultar aindamais as coisas, a sua escola, além de secreta era comunitária, ou seja, todas as descobertas e todosos conhecimentos eram comuns, pertenciam a todos. Assim é difícil saber se o próprio Pitágoras
  25. 25. que descobriu o teorema que leva o seu nome, pois era comum naquela época dar todo credito deuma descoberta ao mestre. Não é conhecido também qual foi a demonstração original, mashistoriadores acreditam que deve ter sido alguma usando áreas. O teorema de Pitágoras é um dos mais belos é importantes teoremas da matemática de todosos tempos e ocupa uma posição especial na historia do conhecimento matemático. Desde o século 5a.C. até o século 20 d.C. inúmeras demonstrações apareceram. Em 1940, o matemático americanoE. S. Loomis publicou 370 demonstrações, mas ainda há mais demonstrações. O enunciado do teorema de Pitágoras. Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual àsoma das áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos. Sejam ࢇ e ࢈ as medidas dos catetos e ࢉ a medida da hipotenusa o enunciando do teorema dePitágoras equivale a afirmar que: A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado dahipotenusa Expressando matematicamente temos: ܽଶ ൌ ܾ ଶ ൅ ܿ ଶ A Demonstração clássica Para tal demonstração utilizaremos a seguinte identidade algébrica: ሺܽ ൅ ܾሻଶ ൌ ܽଶ ൅ 2ܾܽ ൅ ܾ ଶ Primeiro, observe que essa identidade pode ser demonstrada pelo diagrama a seguir. Note que (a + b ) ² é a área do quadrado de lado a + b que está dividido em dois quadradosde lados a e b em quatro triângulos retângulos agrupados dois a dois retângulos de lados a e b .
  26. 26. ௔௕ ଶ A área de cada um dos quatro triângulos é . Assim, a área do quadrado maior é igual àsoma das áreas dos dois quadrados menores com a área dos quatro triângulos. ܾܽ ሺܽ ൅ ܾሻଶ ൌ ܽଶ ൅ ܾ ଶ ൅ 4 ൬ ൰ ൌ ܽଶ ൅ 2ܾܽ ൅ ܾ ଶ ሺ݅ሻ 2 Agora, um novo arranjo dos triângulos dentro do quadrado maior revela em seu interior umquadrado de lado c, a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos a e b . Assim temos a seguinte ilustração: Da mesma forma, a ilustração permite a seguinte interpretação: ሺܽ ൅ ܾሻଶ ൌ 2ܾܽ ต ൅ ܿଶ ณ ሺ݅݅ሻ á௥௘௔ ௗ௢௦ ௧௥௜â௡௚௨௟௢௦ á௥௘௔ ௗ௢ ௤௨௔ௗ௥௔ௗ௢ ௠௘௡௢௥ Fazendo ሺ݅ሻ ൌ ሺ݅݅ሻ, ‫:ݏ݋݉݁ݐ‬ 2ܾܽ ൅ ܿ ଶ ൌ ܽଶ ൅ 2ܾܽ ൅ ܾ ଶ ܿ ଶ ൌ ܽଶ ൅ ܾ ଶ Sua Vez... Você já sabe que existem inúmeras maneiras Uma dica interessante pode ser observada de demonstrar o teorema de Pitágoras. Apresente uma em:“http://www.youtube.com/watch?v=bFzv6 demonstração diferente das abordadas neste fascículo haSSYg&feature=related”
  27. 27. A Demonstração de Perigal. A demonstração de feita por Perigal é sem dúvida uma das mais elegantes e evidentes daveracidade do teorema de Pitágoras. Consiste em mostrar que as áreas dos quadrados construídossobre os catetos preenchem o quadrado construído sobre a hipotenusa. Perigal usa o quadrado de lados iguais a hipotenusa do triangulo. Projeta duas retas passandopelo centro, onde a primeira reta e paralela a hipotenusa do triangulo e a segunda reta éperpendicular a primeira. Recíproco do teorema de Pitágoras. Se num triangulo o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois,então o triangulo é retângulo.
  28. 28. Demonstração: Suponha um triangulo ‫ ܥܤܣ‬de lados ܽ, ܾ ݁ ܿ, onde ‫ ܤܣ‬ൌ ܿ BC = a e AC = b . ˆ Suponha que b < 90 ° . Faremos a projeção do ponto C sobe o lado AB, o qualdenominaremos de ponto P . Ainda definiremos a distância de AP = x ,logo a distância de PB = x − c . Note que neste caso P estará contidono segmento ‫.ܤܣ‬ Assim no triângulo ‫ ܥܲܣ‬retângulo em P , temos as seguintes relações: b² = x² + h² h² = b² − x² Assim no triângulo BPC retângulo em P , temos as seguintes relações: a ² = h ² + (c − x )² a ² = b ² − x ² + c ² − 2 cx + x ² a ² = b ² + c ² − 2 cx Ou seja, concluímos que se, b < 90 ° , então: ࢇ૛ ൏ ࢈૛ ൅ ࢉ૛ ˆ Suponha, que no próximo triângulo ˆ b > 90º . Faremos a projeção do ponto C sobre o lado AB, denominaremos de ponto P. Ainda definiremos a distância de AP = x , logo a distância de PB = x − c . Note que neste caso o ponto P não está contido no ponto no segmento AB , mas sim em seu prolongamento. Assim no triângulo CPB retângulo em P, temos as seguintesrelações:
  29. 29. ܾ ଶ ൌ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ݄ଶ ݄ଶ ൌ ܾ ଶ െ ‫ ݔ‬ଶ Assim no triângulo ‫ ܥܲܣ‬retângulo em ܲ, temos as seguintes relações: ܽଶ ൌ ሺ‫ ݔ‬൅ ܿሻଶ ൅ ݄ଶ ܽଶ ൌ ሺ‫ ݔ‬൅ ܿሻଶ ൅ ܾ ଶ െ ‫ ݔ‬ଶ ܽଶ ൌ ‫ ݔ‬ଶ ൅ 2‫ ܿݔ‬൅ ܿ ଶ ൅ ܾ ଶ െ ‫ ݔ‬ଶ ܽ² ൌ ܾ² ൅ ܿ² ൅ 2‫ܿݔ‬ ෠ Ou seja, concluímos que se, ܾ ൐ 90°, então: ܽ² ൐ ܾ² ൅ ܿ².Interpretação dos dados: Analisando as situações chegamos à seguinte conclusão: Podemos escrever a seguinte relação entre os lados, e o ângulo em questão. ෠ (i) Se o ângulo ܾ ൏ 90° → ܽ² ൏ ܾ² ൅ ܿ². ෠ (ii) Se o ângulo ܾ ൐ 90° → ܽ² ൐ ܾ² ൅ ܿ². Então, por exclusão podemos concluir que, para qualquer triângulo ABC de lados a , b e ctem se que: ෠ ෠ሺ݅ሻ ܾ ൏ 90° → ܽଶ ൏ ܾ ଶ ൅ ܿ ଶ ሺ݅݅ሻ ܾ ൐ 90° → ܽଶ ൐ ܾ ଶ ൅ ܿ ଶ ෠ ሺ݅݅݅ሻ ܾ ൌ 90° → ܽଶ ൌ ܾ ଶ ൅ ܿ ଶ Portanto se um triângulo de lados a, b e c é tal que ܽଶ ൌ ܾ ଶ ൅ ܿ ଶ , então esse triângulo éretângulo no vértice A. Esse resultado é conhecido como a recíproca do Teorema de Pitágoras.Aplicações do Teorema de Pitágoras. Diagonal do quadrado. Em um quadrado de lado ܽ calcule o a diagonal ݀ Como mostra afigura, ao lado, temos um quadrado de lado a formado pelos vértices‫ ,ܦܥܤܣ‬sua diagonal e o segmento que une os vértices ‫.ܦܤ‬Usando o teorema de Pitágoras temos:
  30. 30. d ² = a² + a² Sua Vez... Qual o valor dos d ² = 2a ² ângulos? Particionados pela diagonal? d = 2a ² ⇒ d= a 2 Construa sua resposta baseada em argumentos matemáticos. Altura do triângulo equilátero. Em um triângulo equilátero de lado a calcule o a altura h . Observando a figura, ao lado,temos um triângulo de lado a formado pelos vértices ABC,sua altura e a projeção do ponto A no segmento BC. Usando o teorema de Pitágoras temos: 2 a a ² =   + h² 2 a² h² = a ² − 4 3a ² a 3 h= ⇒ h= 4 2 Raio da circunferência Raio da circunferência circunscrita a um triangulo isósceles de base 8e altura 10. ‘O’ é o centro da circunferência circunscrita ao triangulo ‫. ܥܤܣ‬ É de fácil verificação que ‫ ܲܤ‬ൌ ܲ‫ , ܥ‬Logo AP divide o segmento ‫ܥܤ‬em duas partes iguais, ou seja, nesse caso a altura do triângulo estalocalizada sobre a mediatriz de ‫. ܥܤ‬ a² + b² = c² 4² + (10 − R )² = R² R = 5,8 Sua vez... Diagonal de um paralelepípedo de base retangular. Mostre que a diagonal do paralelepípedo e representado pela equação abaixo. ࢊ² ൌ ࢇ² ൅ ࢈² ൅ ࢉ²Terno Pitagórico ou triângulos Pitagóricos. Definição: Sendo a, b e c inteiros positivos com ܽ ൐ ܾ e ܽ ൐ ܿ dizemos que ሺܾ, ܿ, ܽሻ é umterno pitagórico se ܽ² ൌ ܾ² ൅ ܿ².
  31. 31. Um terno pitagórico é dito primitivo, quando b e c são primos entre si, ou seja, ݉݀ܿሺܾ, ܿሻ ൌ1. Logo ሺ3, 4, 5ሻ é um terno pitagórico primitivo. Atenção, todo terno escrito da seguinte maneiraሺ3݇, 4݇, 5݇ሻ com ݇ maior que 1 é pitagórico, mas não primitivo. Nesse momento entenderemos melhor como obter triângulos retângulos cujos lados sãomedidos por números inteiros, triângulos estes chamados Pitágoricos. Determinaremos a hipotenusa de um triangulo retângulo com um cateto ܾ ൌ 2‫ ݕݔ‬e outro‫ ²ݔ‬െ ‫ .²ݕ‬ ܽଶ ൌ ܾ ଶ ൅ ܿ ଶ → ܽଶ ൌ ሺ2‫ݕݔ‬ሻଶ ൅ ሺ‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݕ‬ଶ ሻଶ ܽଶ ൌ 4‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ ൅ ‫ ݔ‬ସ െ 2‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ସ ܽଶ ൌ ‫ ݔ‬ସ ൅ 2‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ସ → ܽଶ ൌ ሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ሻଶ ܽ ൌ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݕ‬ଶTomando x e y inteiros, primos entre si, um deles sendo par e x maior que y, podemos montar a seguintetabela. Analise um pouco melhor esta Cateto Cateto Hipotenusa fórmula.x y x² - y² 2xy x² + y² O que acontece se você atribuir2 1 3 4 5 para x e y valores ambos pares ou3 2 5 12 13 ambos impares?4 1 15 8 174 3 7 24 255 2 21 20 29 Mostre que se as medidas dos5 4 9 40 41 catetos de um triângulo retângulo6 1 35 12 37 são pares, então a hipotenusa nunca M M M M M será um número impar.
  32. 32. Construção de figuras com régua e compasso. 1)De inicio, utilizaremos um segmento de 4 cm de comprimento, para construir um segmento de 4 2 cm. Roteiro: a)Faça um segmento de 4 cm. b) Construa um quadrado de lado 4cm. A diagonal deste polígono terá 4 2 cm. 2) Construiremos um triângulo, conhecendo-se os três lados: 4, 5 e 7 cm. Roteiro: a) Usando a régua faça um dos lados b) Com centro em cada extremidade, com aberturas respectivamente iguais aos outroslados, faz-se o cruzamento dos arcos, determinando o terceiro vértice e definindo a figura. 3) utilizando um segmento de 4cm de comprimento, vamos construir um segmento emedida 4 3 cm. Roteiro: a) Usando a régua faça um dos lados b) Utilizando a ideia do Roteiro2, construa o triângulo equilátero de lado 4cm.
  33. 33. c) Tomado como base um dos lados do triângulodesenhado, construa outro triangulo equilátero. d) A figura formada é um losango. Traçando adiagonal maior temos a união das duas alturas de umtriangulo equilátero. Logo: Sua vez...4 3 4 3 + = 4 3 cm 1) Construa um segmento de comprimento √2 cm. 2) Construa um segmento com a medida de √5 cm. 2 2 3) Construa um segmento de √6 cm 4) Construa um hexágono regular de lado √6. Representação geométrica dos números irracionais Nesse momento utilizaremos os conceitos abordados, até o momento para realizarmos arepresentação geométrica dos números irracionais. Os matérias utilizados serão: par de esquadros e um compasso. Esta representação serárealizada no conjunto dos números reais não negativos ሺԹା ሻ Representando a reta dos (Թା ). Utilizando o compasso faremos uma circunferência de raio 1 centrada em 1 Utilizando o teorema de Pitágoras, encontramos a medida do comprimento da origem até oraio da circunferência. Que é de 2 , para projetar está medida na reta basta utilizar o compassocom a ponta seca na origem e a outra no final do segmento como ilustrado a seguir. 2 Assim encontramos o valor , na reta (Թା ).
  34. 34. Utilizando dessa mesma ideia faremos a representação geométrica das outras distâncias.Observe nas ilustrações a seguir que o raio da circunferência auxiliar tem a medida unitária, esseraio utilizado é sempre perpendicular a medida determinada anteriormente. Calculo de 3: 2 Calculo de 4: Representação na reta. Sua vez... Faça a representação geométrica de √5, √6 e √7. Em“http://www.youtube.com/watch?v=DBQkIviCRZc.”Você encontrará um vídeo, que pode ser útil na realização doexercício.
  35. 35. Capitulo 4. Circunferência . Os pontos ao lado estão a 2 ܿ݉ do ponto ܲ . Considerando todos ospontos que estão a 2 ܿ݉ do ponto do ponto ܲ , eles formam uma curvadenominada circunferência. Assim podemos escrever: Definição: Circunferência pode ser entendida como o conjunto de todos ospontos equidistantes a um ponto fixo P , chamado de centro da circunferência. Adistância de um ponto qualquer da circunferência até o ponto ܲ é chamado de raioda circunferência. O dobro do raio é dito: diâmetro da circunferência. Corda Definição: Segmento que possui como extremidades dois pontosda circunferência. Os segmentos MN e MQ são exemplos de cordas Diâmetro. Definição: segmento que possui como extremidades dois pontos da circunferência, passandopelo cento da mesma. Ou seja, diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Ossegmentos RS e WT são exemplos de diâmetros. Posição de ponto e circunferência. Em uma circunferência de centro ࡼ e raio ࢘ tomado um ponto qualquer ࡭, pertencente aomesmo plano da circunferência, temos os seguintes caso:
  36. 36. Círculo Definição: Circulo ou (disco) pode ser entendido como união dos pontos internos de umacircunferência e a circunferência. Partes do círculo Setor Circular: ݅ሻ Setor circular menor ‫ ܤܱܣ‬é o conjunto dos pontos dos raios OA e OB e de todos ospontos do circulo que estão no interior do ângulo ‫ܣ‬Ô‫.ܤ‬ ݅݅ሻ Setor circular maior ‫ ܤܱܣ‬é o conjunto dos pontos dos raios OA e OB e de todos ospontos do circulo c que estão no exterior do ângulo ‫ܣ‬Ô‫. ܤ‬ Segmento circular: ݅ሻ Segmento circular menor ࡭࡮ e a intersecção do circulo com O semi-plano de origem nareta AB e que não contem o centro da circunferência.
  37. 37. ݅݅ሻ Segmento circular maior ࡭࡮ e a intersecção do circulo com o semi-plano de origem nareta ࡭࡮ e que contem o centro ܱ. Semicírculo: Quando ‫ ܣ‬e ‫ ܤ‬são extremidades de um diâmetro do circulo, semicírculo AB e a intersecçãodo circulo com um dos semi-planos de origem na reta. AB Secante. Uma reta secante a uma circunferência e uma reta que intercepta a circunferência em doispontos distintos. Podemos dizer ainda que a circunferência e a reta são secantes. Propriedade. ݅ሻ A reta perpendicular à secante, conduzida pelo centro da circunferência, passa pelo pontomédio da corda. ݅݅ሻ A reta conduzida pelo centro e que passa pelo ponto médio da corda é perpendicular asecante.
  38. 38. Tangente. Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em umúnico ponto. Propriedade ݅ሻ Qualquer reta perpendicular a um raio na sua extremidade da circunferência e tangente acircunferência. ݅݅ሻ Toda tangente a uma circunferência e perpendicular ao raio no ponto da tangencia. Posições relativas de duas circunferências. Circunferências tangentes. Dizemos que duas circunferências, C1 e C2 , são tangentes quando ambas possuem um únicoponto, ܶ, em comum. Se traçarmos uma reta ‫ ݏ‬passando pelo ponto de tangencia ܶ de duas circunferênciastangentes internas, teremos como consequência: ݅ሻ Que a reta s será tangente a as duas circunferências.
  39. 39. ݅݅ሻ Como existe uma única reta perpendicular à reta ‫ ݏ‬que passa pelo ponto ܶ, teremos ospontos O1 , O2 e ܶ pertencentes a uma única reta.Circunferências Concêntricas. Quando uma circunferência, C1 , e interna a C2 de forma que o centro de C1 coincida com ocentro de C2 dizemos que C1 e C2 são concêntricas. Circunferências secantes. Duas circunferências são secantes se tem apenas dois pontos, distintos, em comum. Observea figura a seguir: Segmentos Tangentes. Verificaremos algumas propriedades de segmentos tangentes a uma circunferência. Antesdisse faremos uma breve revisão, observando a ilustração aseguir. ݅ሻ C e uma circunferência de centro ܱ. ݅݅ሻ O ponto ܲ externo a circunferência ‫.ܥ‬ ݅݅݅ሻ Onde PA e PB são tangentes a circunferência ‫, ܥ‬nos pontos ‫ ܣ‬e ‫.ܤ‬ Propriedades. Tracejaremos um segmento OP , assim como os raios OA e OB . Teremos então a formaçãodos triângulos ܲ‫ ܱܣ‬e ܲ‫.ܱܤ‬ Observando melhor esses triângulos podemos aplicarum caso especial de congruência de triângulos retângulos(Cateto-hipotenusa). Logo:
  40. 40. OA ≡ OB (raio)   OP Comum os dois triângulos ˆ ˆ A = B = 90º  Conclusões: ݅ሻ Se de um ponto ܲ, externo a uma circunferência, traçarmos segmentos PA e PB , ondeambos tangenciam uma circunferência nos pontos ‫ ܣ‬e ‫ ,ܤ‬então: PA ≡ PB ݅݅ሻ Observando a congruência dos triângulos ܲ‫ ܱܣ‬e ܲ‫ ,ܱܤ‬verificamos que: ˆ ˆ APO ≡ BPO ˆ ˆ ݅݅݅ሻ A conclusão de que APO ≡ BPO implica que o segmento de reta OP e bissetriz do ˆângulo APB . Se os lados de um ângulo tangenciam uma circunferência então o cento da mesmaestá contido na bissetriz desse ângulo. Arcos de uma Circunferência. Observando as ilustrações a seguir, construiremos a ideia de arco. Na circunferência ‫ , ܥ‬de centro ܱ temos dois de seus pontos ‫ ܣ‬e ‫ ܤ‬quenão são extremidades de um diâmetro. Esses pontos permitem decompor acircunferência em duas partes chamadas de arcos. Sempre que se faz referência a um arco , considera-se o arco menor . Onde ‫ ܣ‬e ‫ ܤ‬sãoas extremidades do arco. Ângulo Central. Definição: É chamado de ângulo central, o ângulo que tem comovértice o centro, ܱ , de uma circunferência, como mostrado nailustração. - AÔB é um ângulo central. - é o arco correspondente ao ângulo central. Medida de um Arco.
  41. 41. Para determinarmos a medida de um arco primeiramente é necessário sabermos qual éunidade de arco. Chamaremos de unidade de arco, o arco correspondente a um ângulo central de 1º.Como mostra o desenho. Em ainda em duas circunferências concêntricas, o ângulo central em cada circunferênciaserá o mesmo, logo o comprimento dos arcos correspondentes será igual. Medida do ângulo inscrito em uma circunferência. Definição: Um ângulo será inscrito a uma circunferência quando oseu vértice pertencer a uma circunferência, e os lados secantes a ela. Observando melhor a figura podemos escrever: ˆ - AVB é um ângulo inscrito. - ˆ é o arco correspondente ao ângulo AVB - AÔB é o ângulo central correspondente ao arco . Podemos dizer ainda que AÔB é o ângulo central correspondente ˆao ângulo inscrito AVB , pois ambos determinam o mesmo arco . Medida do ângulo inscrito. Podemos classificar de três formas o ângulo inscrito, relacionando-o com o centro, ܱ, dacircunferência. Faremos algumas abreviações de modo que: - Ângulo inscrito. AVB = α ˆ - Ângulo Central. AÔB = θ , essa medida também será a medida arco . ˆ 1º Caso: Com o centro, O, pertencente a um dos lados do ângulo interno AVB . O triangulo OVB é isósceles, pois OB e OV são raios da circunferência. Pela propriedade ˆ ˆdo triangulo isósceles, sabemos que V ≡ B , logo a medida do ânguloV = B =α . ˆ ˆ
  42. 42. O ângulo BÔA = θ , é o ângulo externo do triângulo ܱܸ‫ .ܤ‬Por isso, o ângulo θ é igual à θsoma dos ângulos internos não adjacentes a ele, logo: α + α = θ → 2α = θ → α= 2 ˆ 2º Caso: Com o centro, ܱ, externo ao ângulo inscrito AVB . Tracejando a semirreta VO , que determina o ponto T na circunferência. Temos então doisângulos, φ = AVT e β = BVT , como representados na figura. ˆ ˆ TA TB φ= e β= 2 2 Usando a ideia do ૚º࡯ࢇ࢙࢕, temos: AB θ α =β−φ → α =β−φ → α = → α= 2 2 ˆ 3º Caso: Com o centro, O, internamente ao ângulo AVB . α = Tracejando a semirreta VO , que determina o ponto ܶ na circunferência. A semirretaesta sob a bissetriz do ângulo α , assim ela divide o ângulo α em α1 e α 2 , consequentementedivide o arco ‫ , ܤܣ‬em ‫ ܶܣ‬e ܶ‫ , ܤ‬de forma análoga, ao 1º caso, podemos escrever: ஻் ஺் ߙଵ ൌ ଶ ݁ ߙଶ ൌ ଶ Visto que ߙଵ ൅ ߙଶ ൌ ߙ Logo: ‫ߠ ܤܣ ܤܶ ܶܣ‬ߙൌ ൅ ൌ → 2 2 2 2 ߠߙൌ 2 Conclusão: O ângulo inscrito a uma circunferência equivale à metade do ângulo central θcorrespondente. α = 2 Radiano. Até o momento utilizamos apenas o grau como unidade de medida de ângulos e arcos.Porém existe outra unidade de medida, que será muito utilizada no estudo de trigonometria, oradiano. Definição: radiano é o arco da circunferência cujo comprimento é igual ao raio dacircunferência que o contém. Chama-se 1 radiano e representa-se por 1 ‫ ݀ܽݎ‬de arco.
  43. 43. De forma análoga o ângulo central θ corresponde ao arco de 1 ‫ . ݀ܽݎ‬Da definição que amedida de um arco ‫ ܤܣ‬em radianos é dada por: Comprimento de AB Medida em rad do arco AB = raio Comprimento da Circunferência. O comprimento, ‫ , ܥ‬de uma circunferência e dado em função doraio, ࢘, por meio da relação C = 2.π .r , onde π é um númeroirracional, correspondente a razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro. Utilizando essa relação determinaremos a medida d arco de uma volta em radianos: ஼௢௠௣௥௜௠௘௡௧௢஺஻ Medida em ‫ ݀ܽݎ‬do ‫ ܤܣ‬ൌ ௥௔௜௢ 2. ߨ. ‫ݎ‬ ൌ 2. ‫݀ܽݎ .ݎ‬ ‫ݎ‬ Essa medida de 2. π.rad corresponde ao arco de uma circunferência, ou seja, o arco tem amedida de 360°, assim a medida de um arco de 180º será equivalente a π.rad . Quadratura do círculo. Dentre os muitos problemas que intrigaram os matemáticos de muitas as épocas, nenhumproblema despertou mais fascínio do que aquele de construir um quadrado de área igual à área deum círculo qualquer, utilizando-se de régua e compasso. Os Egípcios por volta de 1800 a.C pensavam ter “resolvido” o problema, tomando o lado doquadrado como 8/9 do diâmetro do círculo. Podemos ainda citar Nicholas de Cusa1 (1401 - 1450)considerado melhor eclesiástico do que matemático. Na igreja ele subiu ao posto de cardeal, mas nodomínio da matemática era considerado como um desorientado quadrador – de – círculo. Suadoutrina filosófica da “concordância de contrários” levou-o a acreditar que máximos é mínimos sãorelacionados. Ele acreditava que tomando as médias de polígonos inscritos e circunscritos tinhachegado à quadratura. O seu erro é menos importante que o fato de ser ele um dos primeiroseuropeus modernos a atacar um problema que havia fascinado os grandes pensadores daantiguidade, assim o seu esforço estimularia os seus contemporâneos.1 (Cusa era o nome latino de uma cidade sobre o Mosela.)
  44. 44. O Francês Pierre Laurent Watzel, por volta de 1835, publicou efetivamente aimpossibilidade de se efetuar determinadas construções geométricas utilizando apenas régua ecompasso. A busca para a solução deste problema esta ligada diretamente ao número π , “pi”, que é arazão, constante, entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro correspondente. Representando matematicamente chegamos á seguinte expressão: C C: Comprimento da π= ⇒ C = π.D ⇒ D circunferência. ⇒ C = 2.π .r D: Diâmetro.(dobro do raio). Porém a área do círculo e dada pelo produto do raio r ² por π , ou seja, AC = π .r ² . Podemosdizer então que a área de um círculo será tão precisa quanto for a determinação de π . Para entendermelhor essa idéia faremos a analise da seguinte situação: Suponha um o circulo de raio igual a 2cm, desejamos construir um quadrado de área igual. Para nossa análise utilizaremos das equações que permitem o calculo das áreas do circulo,AC , e do quadrado AQ . AQ = AC x ² = 4π ⇒ x = 4π ⇒x=2 π Para que a área do quadrado igual área AC = π . r ² do círculo, o lado do quadrado deve ter a AC = π .2² AQ = x ² medida de 2 π cm. AC = 4π cm² Concluímos que tomando como unidade de comprimento o raio do circulo dado, 2 cm, ocomprimento do lado do quadrado equivalente será de 2 π . Logo se o problema pudesse serresolvido com instrumentos euclidianos seria possível construir um segmento unitário de tamanho π e a partir desse segmento podemos construir um quadrado de lado 2 π . Porém isso não épossível como mostrou o matemático alemão Ferdinand Von Lindemann, que demonstrou que πnão é algébrico, ou seja, π não é solução de nenhuma equação polinomial com coeficientes denúmeros inteiros, consequentemente isso implica que π , também não é algébrico. Isso implicadizer que não é possível construir segmentos, com régua e compasso, que tenham o tamanho de π, e π .
  45. 45. Capitulo 5. Razões trigonométricas. Uma das necessidades mais antigas da humanidade é a de medir distâncias algoextremamente fácil de ser realizado no caso de medidas curtas, ou entre pontos acessíveis. Bastandoverificar quantas vezes uma dada unidade de medida esta contida no comprimento a ser medido.Essa é a ideia usada nos instrumentos de medida mais comuns para medir comprimentos: trenas,fitas métricas, réguas, etc. Se medir distâncias curtas é fácil, como podemos fazer a medida de distâncias não tão acessíveis? Para obter essas medidas realizaremos algumasexperiências, com medidas conhecidas (acessíveis). Paraisso tomaremos um triângulo retângulo. De medidasሺ1,8; 2,4; 3ሻ.Observe a ilustração. Utilizando a figura tracejaremos retas, auxiliares,paralelas ao segmento CB. Observe, com atenção, os novos triângulo formadosAB1C1 , AB2C2 , AB3C3 , ⋯ AB7C7 , todos são semelhantesentre si e semelhantes ao triângulo ABC . Assim podemos escrever as seguintes razões: B1C1 B2 C 2 BC BC[i ] = =L= 7 7 = = 0,75 AB1 AB 2 AB 7 AB B1C1 B2 C 2 BC BC[ii ] = =L= 3 3 = = ,08 AC 1 AC 2 AC 3 AC AB1 AB 2 AB 7 AB[iii ] = =L= = = 0,6 A1C1 A2 C 2 A7 C 7 ACConclusões: ˆ Se fixarmos o ângulo A que está presente em todos os demais triângulos, as razões.
  46. 46. ˆ ˆ cateto oposto a A cateto adjacente a A cateto oposto a A ˆ , , hipotenusa hipotenusa cateto adjacente a Aˆ Não depende do tamanho do triângulo considerado. Em qualquer um dos triângulos, AB1C1 ,AB2C2 , AB3C3 , L AB7C7 , essas razões valem respectivamente: ‫ ܽ ݋ݐݏ݋݌݋ ݋ݐ݁ݐܽܥ‬Â ‫ ܽ ݁ݐ݆݊݁ܽ݀ܽ ݋ݐ݁ݐܽܥ‬Â ‫ ܽ ݋ݐݏ݋݌݋ ݋ݐ݁ݐܽܥ‬Â ൌ ൌ ݄݅‫ܽݏݑ݊݁ݐ݋݌‬ ᇣᇧᇧᇧ ᇧᇧᇤᇧᇧᇧ ݄݅‫ܽݏݑ݊݁ݐ݋݌‬ ᇧᇧᇥ ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ ᇣᇧᇧᇧ ‫݁ݐ݆݊݁ܿܽ݀ܽ ݋ݐ݁ݐܽܥ‬ ᇧᇧᇤᇧᇧᇧ ᇧᇧᇥ ଴,଼ ଴,଺ ଴,଻ହ ˆ Esses números estão diretamente ligados à medida o ângulo A .Se utilizássemos outro ˆ ˆtriângulo retângulo qualquer, com medidas diferentes, com um ângulo P diferente de A ,encontraremos as seguintes razões: ˆ cateto oposto a P = 0,833333333 hipotenusa ˆ cateto adjacente a P = 0,7 hipotenusa ˆ cateto adjacente a P = 1,02041 hipotenusa መ Para cada ângulo agudo ሺ‫ܣ‬ሻ, essas três razões que só dependem መda medida do ângulo ሺ‫ܣ‬ሻ, vão agora receber um nome. መ Dado um triângulo ‫ ܥܤܣ‬retângulo em ‫ ܤ‬e que tenha ሺ‫ܣ‬ሻ comoum de seus ângulos. Denomina-se: መ Seno de um ângulo ‫ܣ‬ ෡ Chama-se seno de um ângulo ࡭ a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. ܾ መ መ ෡ ܵ݁݊‫ ܣ‬ൌ ൫ܵ݁݊‫݈ ܣ‬ê െ ‫" :݁ݏ‬Seno de A"൯ ܿ መ Cosseno de um ângulo ‫ܣ‬ ෡Chama-se seno de um ângulo ࡭ a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. ܽ መ መ መ ‫ ܣݏ݋ܥ‬ൌ ሺ‫݈ ܣݏ݋ܥ‬ê െ ‫"ܣ ݁݀ ݋݊݁ݏݏ݋ܥ" :݁ݏ‬ሻ ܿ መ Tangente de um ângulo ‫ܣ‬ መChama-se tangente de um ângulo ‫ ܣ‬a razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente.
  47. 47. ܾ መ መ ෢ ܶ݃‫ ܣ‬ൌ ൫‫݈ ܣ݃ݐ‬ê െ ‫:݁ݏ‬tangente de A ൯ ܽ Razões inversasAs razões inversas das três acima são chamadas respectivamente de cossecante, secante e ˆcotangente de A . Serão expressas abaixo.Cossecante. (Inverso da razão seno.) 1 ܿ ܿ መ መ ‫ ݋ܥ‬െ ‫ ܣܿ݁ݏ‬ൌ ܵ݁݊ିଵ ‫ ܣ‬ൌ ൌ መ → ‫ ݋ܥ‬െ ‫ ܣܿ݁ݏ‬ൌ መ ܵ݁݊‫ܣ‬ ܾ ܾSecante. (Inverso da razão cosseno). 1 ܿ ܿ መ መ ܵ݁ܿ‫ ܣ‬ൌ ‫ି ݏ݋ܥ‬ଵ ‫ ܣ‬ൌ ൌ መ → ܵ݁ܿ‫ ܣ‬ൌ መ ܿ‫ܣݏ݋‬ ܾ ܽCotangente. (inverso de tangente) 1 ܿ ܿ መ መ ‫ ܣݐ݋ܥ‬ൌ ܶܽ݃ିଵ ‫ ܣ‬ൌ ൌ መ → ‫ ܣݐ݋ܥ‬ൌ መ ܶܽ݃‫ܣ‬ ܾ ܽ Aplicações.Exemplo 1. Ao apoiar uma escada num muro vertical, qual o valornumérico das razões trigonométricas? Sabendo que o muro é de4m e o comprimento da escada 5m 4 AC 4 Sen â = , cos â = , tgâ = 5 5 AC Utilizando o teorema de Pitágoras temo que: ( AC) ² + 4² = 5² AC = 9 Caso fosse tomado como referência o ângulo ˆ b , as AC = 3 razões mudariam? Há algum caso que elas seriam iguais? Justifique. Qual o valor da medida do ângulo para que isso 4 3 4 Sen â = , cos â = , tgâ = ocorra? 5 5 3Exemplo 2 Tomemos o seguinte triângulo retângulo. As razões nesse triângulo são as mesmas datriangulo anterior. Visto que esse triângulo é semelhante ao caso anterior. Otriângulo pertence ao terceiro caso de semelhança de triângulos logo: 3 ‫ݔ‬ 3 ‫ݔ‬ ‫ ܽݏ݋ܥ‬ൌ ො መ ൌ ‫ ݀ݏ݋ܥ‬ൌ → ൌ →‫ݔ‬ൌ9 5 15 5 15
  48. 48. Exemplo 3. ସ ෠ No triangulo ‫ , ܥܤܣ‬retângulo em ‫ ,ܣ‬de hipotenusa de 15 ܿ݉, sabe-se que ܵ݁݊‫ ܤ‬ൌ ହdetermine:a) O valor de ‫ ܥܣ‬e ‫.ܥܤ‬ ௫ ସ ෠ܵ݁݊‫ ܤ‬ൌ ൌ → ‫ ݔ‬ൌ 12ܿ݉. ଵହ ହ15ଶ ൌ 12ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ → ‫ ݕ‬ൌ 9 ෠ ෠b) ‫ ܤݏ݋ܥ‬e ܶ݃‫ܤ‬ 9 12 ෠‫ ܤݏ݋ܥ‬ൌ ෠ ܶ݃‫ ܤ‬ൌ 15 9 መ መ መ መc) (Sua Vez) ܵ݁݊‫ ܥ‬e ‫ ܥ݃ܶ , ܥݏ݋ܥ‬e ‫. ܥ݃ݐ݋ܥ‬Relações entre razões trigonométricas.As razões trigonométricas de um mesmo ângulo têm relações entre si. Observe: ˆ b ˆ ˆ a senB = ⇒ c . senB = b cosB = ⇒ c .cosB = a ˆ c c Utilizando o teorema de Pitágoras. c2 = a 2 + b2 ⇒ ˆ ˆ c 2 = (c.senB ) 2 + (c.cosB )2 ˆ ˆ c 2 = c 2.sen2 B + c 2.cos2 B ˆ ˆ 1 = sen2 B + cos2 BLogo: ෠ ෠ ܵ݁݊ଶ ‫ ܤ‬൅ ‫ ݏ݋ܥ‬ଶ ‫ ܤ‬ൌ 1 ௌ௘௡஻෠Calculando o quociente , no mesmo triângulo, temos: ෠ ஼௢௦஻ b ˆ c senB b c b = ˆ = . = = tgB ˆ a cosB c a a cLogo: ෠ ܵ݁݊‫ܤ‬ ෠ ܶ݃‫ ܤ‬ൌ ෠ ‫ܤݏ݋ܥ‬
  49. 49. ˆEstas relações permitem que sejam obtidas todas as razões trigonométricas de um ângulo agudo B ,uma vez conhecendo qualquer uma delas.Exemplo 4.Sabendo que a tangente de um ângulo agudo α , é igual a 2. Calcule sen α e cos α . Como senαtgα = = 2, , ou seja, senα = 2 cos α . Substituindo na relação sen 2 α + cos 2 α = 1 , temos: cos α (2cosα )2 + cos²α = 1 ⇒ 4cos²α + cos²α = 1 ⇒ 1 1 cos²α = ⇒ cosα = 5 5 5 2 5 cosα = → Senα = 2cosα = 5 5Razões trigonométricas de ângulos fundamentais.i) Seno, cosseno e tangente do ângulo de 30°.Para obter o valor das seguintes razões, faremos uso de um triânguloequilátero de lado ݈ . Ao traçar uma de suas alturas obtemos dois triângulos ௟ ௟√ଷretângulos de medidas ݈ , e com ângulos de 30°, 60° e 90°. ଶ ଷUtilizaremos apenas um destes triângulos para realizar as demonstrações. l l 1 1 1sen30° = 2 = . = ⇒ sen30° = l 2 l 2 2 l 3 l 3 1 1 3 3cos30° = 2 = . = ⇒ cos30° = l 2 l 2 2 l l 2 3 3tg30° = 2 = . = ⇒ tg30° = l 3 2 l 3 3 3 2ii) Seno, cosseno e tangente do ângulo de 45°.Para obter o valor das seguintes razões, faremos uso de um quadradode lado l . Ao traçar uma de suas diagonais obtemos dois triângulosretângulos de medidas l , l e l 2 com ângulos de 45°, 45° e 90°.Novamente utilizaremos apenas um destes triângulos para realizar asdemonstrações.
  50. 50. l l 2 2 2sen45° = = . = ⇒ sen30° = l 2 1 l 2 2 2 2 l l 2 2 2cos45° = = . = ⇒ sen45° = l 2 1 l 2 2 2 2 lTg45° = 2 = 1 ⇒ tg45° = 1 l 2iii) Seno, cosseno e tangente do ângulo de 60°.Para obter o valor destas razões, faremos uso do triângulo já visto em “(i)”, porém tomando comoângulo referencial o de medida de 60°. l 3 l 3 1 1 3 3sen60° = 2 = . = ⇒ sen60° = l 2 l 2 2 l l 1 1 1cos60° 2 = . = ⇒ cos60° = l 2 l 2 2 l 3 l 3 2tg60° = 2 = . ⇒ tg60° = 3 l 2 l 2 Agora podemos construir a tabela com o seno, cosseno e a tangente dos principais ângulosou ainda dos ângulos fundamentais. 30° 45° 60° 1 senα 2 3 2 2 2 1 cosα 3 2 2 2 2 tg α 3 1 3 3Seno, cosseno e tangente de ângulos quaisquer. Para obter uma das razões trigonométricas de um ângulo qualquer incluindo ângulos nãofundamentais, como o de 23°, podemos utilizar o seguinte processo:
  51. 51. Com o auxilio de um transferidor, construímos um ângulo de 23°.Utilizando deste ângulo medido faremos um triangulo retângulo.Depois de construído medimos os lados deste triângulo e construímos asdevidas razões. 2,12 5 2,12 sen23 = ≅ 0,39 cos23 = ≅ 0,92 tg23 = ≅ 0,424 5,43 5,43 5Agora podemos utilizar das razões do ângulo de 23° para determinar os lados quaisquer de umtriangulo retângulo, que tenho um de seus ângulos medindo 23°. 3 3 ‫ݔ‬ ‫ݔ‬‫ °32ݏ݋ܥ‬ൌ → 0,39 ൌ → ࢟ ൌ ૠ, ૟ૢ ܵ݁݊23° ൌ → 0.92 ൌ → ࢞ ൌ ૠ, ૙ૠ ‫ݕ‬ ‫ݕ‬ 7,69 7,69 Aplicações. As razões trigonométricas são, também, muito utilizadas na resolução de alguns problemasfísicos. Porém para compreender melhor essas soluções, e a utilização dessa ferramenta,necessitamos alguns conceitos físicos. Noção de força (F ) . Força é o resultado da interação entre corpos. Ela pode produzir equilíbrio, variação develocidade e deformação. Por exemplo, quando um jogador de futebol da um chute, a força que eleaplica na bola só aparece no momento em que o pé toca a bola. Essa força produz velocidade.Assim que a bola se afastar do pé, a força que este aplicou nela deixa de existir – a bola ganhouvelocidade. Dependendo da direção e do sentido que uma força é aplicada, o efeito produzido édiferente. Logo a força a força requer uma apresentação vetorial. A soma vetorial da ação de rvarias forças produz o efeito de uma única força denominada resultante ( R) . Se o corpo seencontra em equilíbrio, concluímos que a resultante é nula.

×