1. Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros
ca u
Profo Jos´
e
S´rgio
e primos
Itens
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Profo Jos´ S´rgio
e e
Um pouco de
Hist´ria
o Universidade Estadual de Montes Claros
Fundamenta¸˜o
ca
Departamento de Ciˆncias Exatas/Centro de Ciˆncias Exatas e Tecnol´gicas
e e o
Te´rica do
o Caixa Postal 126 – 39401-089 – Montes Claros – MG – Brasil
RSA jsergiomat@lsi.cefetmg.br
Metodologia
Exemplo 9 de junho de 2010
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

2. Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca 1 Motiva¸˜o
ca
n´meros
u
primos
2 Introdu¸˜o
ca
Profo Jos´
e
S´rgio
e
3 Um pouco de Hist´ria
o
Itens
Motiva¸˜o
ca 4 Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de 5 Metodologia
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
Te´rica do
o
ca 6 Exemplo
RSA
Metodologia 7 Como quebrar o RSA?
Exemplo
Como quebrar
8 Referˆncias
e
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

3. Motiva¸˜o
ca
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos Relembrar alguns conceitos b´sicos da Teoria dos
a
Profo Jos´
S´rgio
e
e N´meros.
u
Itens
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Relembrar a defini¸˜o de N´meros Primos e suas principais
ca u
Um pouco de
propriedades.
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
Metodologia
Mostrar uma das milhares de aplica¸˜es diretas da
co
Exemplo
matem´tica no cotidiano do ser humano.
a
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

4. Motiva¸˜o
ca
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos Relembrar alguns conceitos b´sicos da Teoria dos
a
Profo Jos´
S´rgio
e
e N´meros.
u
Itens
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Relembrar a defini¸˜o de N´meros Primos e suas principais
ca u
Um pouco de
propriedades.
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
Metodologia
Mostrar uma das milhares de aplica¸˜es diretas da
co
Exemplo
matem´tica no cotidiano do ser humano.
a
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

5. Motiva¸˜o
ca
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos Relembrar alguns conceitos b´sicos da Teoria dos
a
Profo Jos´
S´rgio
e
e N´meros.
u
Itens
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Relembrar a defini¸˜o de N´meros Primos e suas principais
ca u
Um pouco de
propriedades.
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
Metodologia
Mostrar uma das milhares de aplica¸˜es diretas da
co
Exemplo
matem´tica no cotidiano do ser humano.
a
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

6. Introdu¸˜o
ca
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Encaminhar mensagens de forma segura ´ uma pr´tica
e a
Profo Jos´
e
S´rgio
e antiga (Gr´cia Antiga).
e
Itens
Motiva¸˜o
ca Nos dias de hoje o sigilo de informa¸˜es ´ fundamental.
co e
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
As mensagens transmitidas pela internet podem ser
Fundamenta¸˜o
ca interceptadas com certa facilidade.
Te´rica do
o
RSA
Metodologia Portanto, ´ necess´rio codific´-las.
e a a
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

7. Introdu¸˜o
ca
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Encaminhar mensagens de forma segura ´ uma pr´tica
e a
Profo Jos´
e
S´rgio
e antiga (Gr´cia Antiga).
e
Itens
Motiva¸˜o
ca Nos dias de hoje o sigilo de informa¸˜es ´ fundamental.
co e
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
As mensagens transmitidas pela internet podem ser
Fundamenta¸˜o
ca interceptadas com certa facilidade.
Te´rica do
o
RSA
Metodologia Portanto, ´ necess´rio codific´-las.
e a a
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

8. Introdu¸˜o
ca
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Encaminhar mensagens de forma segura ´ uma pr´tica
e a
Profo Jos´
e
S´rgio
e antiga (Gr´cia Antiga).
e
Itens
Motiva¸˜o
ca Nos dias de hoje o sigilo de informa¸˜es ´ fundamental.
co e
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
As mensagens transmitidas pela internet podem ser
Fundamenta¸˜o
ca interceptadas com certa facilidade.
Te´rica do
o
RSA
Metodologia Portanto, ´ necess´rio codific´-las.
e a a
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

9. Introdu¸˜o
ca
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Encaminhar mensagens de forma segura ´ uma pr´tica
e a
Profo Jos´
e
S´rgio
e antiga (Gr´cia Antiga).
e
Itens
Motiva¸˜o
ca Nos dias de hoje o sigilo de informa¸˜es ´ fundamental.
co e
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
As mensagens transmitidas pela internet podem ser
Fundamenta¸˜o
ca interceptadas com certa facilidade.
Te´rica do
o
RSA
Metodologia Portanto, ´ necess´rio codific´-las.
e a a
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

10. Introdu¸˜o
ca
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e
S´rgio
e Para manter tais informa¸˜es em sigilo, foi necess´rio criar
co a
c´digos dif´
o ıceis de serem quebrados, mesmo com a ajuda
Itens
de computadores.
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
O c´digo (m´todo) mais utilizado nos dias de hoje ´ o
o e e
Te´rica do
o RSA.
RSA
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

11. Introdu¸˜o
ca
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e
S´rgio
e Para manter tais informa¸˜es em sigilo, foi necess´rio criar
co a
c´digos dif´
o ıceis de serem quebrados, mesmo com a ajuda
Itens
de computadores.
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
O c´digo (m´todo) mais utilizado nos dias de hoje ´ o
o e e
Te´rica do
o RSA.
RSA
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

12. Introdu¸˜o
ca
Criptografia
RSA: uma O RSA, foi criado em 1978, por R. L. Rivest, A. Shamir e
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u L. Adleman, quando trabalhavam no M.I.T.
primos
Profo Jos´
e
S´rgio
e
Itens
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

13. Introdu¸˜o
ca
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e
S´rgio
e
A implementa¸˜o do m´todo depende da obten¸˜o de dois
ca e ca
Itens n´meros primos muito grandes.
u
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
Da´ a existˆncia desse trabalho, que dentre outras coisas,
ı e
Fundamenta¸˜o
ca apresenta um algoritmo de verifica¸˜o de primalidade.
ca
Te´rica do
o
RSA
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

14. Introdu¸˜o
ca
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e
S´rgio
e
A implementa¸˜o do m´todo depende da obten¸˜o de dois
ca e ca
Itens n´meros primos muito grandes.
u
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
Da´ a existˆncia desse trabalho, que dentre outras coisas,
ı e
Fundamenta¸˜o
ca apresenta um algoritmo de verifica¸˜o de primalidade.
ca
Te´rica do
o
RSA
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

15. Introdu¸˜o
ca
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Profo Jos´
S´rgio
e
e
Criptologia = kryptos (esconder) + logos(estudo)
Itens estudo do oculto
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o Criptografia = kryptos (esconder) + graphia(escrita)
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
arte de esconder mensagens
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

16. Introdu¸˜o
ca
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Profo Jos´
S´rgio
e
e
Criptologia = kryptos (esconder) + logos(estudo)
Itens estudo do oculto
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o Criptografia = kryptos (esconder) + graphia(escrita)
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
arte de esconder mensagens
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

17. Introdu¸˜o
ca
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Profo Jos´
S´rgio
e
e
Decifrar
Itens ler a mensagem sem autoriza¸˜o
ca
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o Decodificar
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
ler a mensagem com autoriza¸˜o
ca
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

18. Introdu¸˜o
ca
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Profo Jos´
S´rgio
e
e
Decifrar
Itens ler a mensagem sem autoriza¸˜o
ca
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o Decodificar
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
ler a mensagem com autoriza¸˜o
ca
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

19. Um pouco de Hist´ria
o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
O primeiro a utilizar a criptografia como meio de esconder
n´meros
u
primos
informa¸˜es secretas foi C´sar.
co e
Profo Jos´
e
S´rgio
e
Itens
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

20. Um pouco de Hist´ria
o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e
S´rgio
e O c´digo de C´sar foi utilizado por muito tempo para
o e
Itens
transmitir mensagens militares.
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de Ela ´ um tipo de cifra de substitui¸˜o na qual cada letra
e ca
Hist´ria
o
do texto ´ substitu´ por outra, que se apresenta no
e ıda
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o alfabeto abaixo dela um n´mero fixo de vezes.
u
RSA
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

21. Um pouco de Hist´ria
o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e
S´rgio
e O c´digo de C´sar foi utilizado por muito tempo para
o e
Itens
transmitir mensagens militares.
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de Ela ´ um tipo de cifra de substitui¸˜o na qual cada letra
e ca
Hist´ria
o
do texto ´ substitu´ por outra, que se apresenta no
e ıda
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o alfabeto abaixo dela um n´mero fixo de vezes.
u
RSA
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

22. Um pouco de Hist´ria
o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e Um exemplo do c´digo de C´sar ´ o seguinte:
o e e
S´rgio
e
Itens
A B C D E F G H I J K L M
Motiva¸˜o
ca
D E F G H I J K L M N O P
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o N O P Q R S T U V W X Y Z
RSA
Q R S T U V W X Y Z A B C
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

23. Um pouco de Hist´ria
o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u Basicamente, o que o c´digo acima faz, ´ transladar as letras
o e
primos
do alfabeto.
Profo Jos´
e
S´rgio
e
Itens
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

24. Um pouco de Hist´ria
o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e Dessa forma, a codifica¸˜o de “Pesquisa cient´
ca ıfica” ser´:
a
S´rgio
e
Itens Shvtxlvd flhqwlifld
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
J´ a decodifica¸˜o de “D Pdwhpdwlfd h mlqgd!” ´:
a ca e
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
A Matem´tica ´ linda!
a e
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

25. Um pouco de Hist´ria
o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e Dessa forma, a codifica¸˜o de “Pesquisa cient´
ca ıfica” ser´:
a
S´rgio
e
Itens Shvtxlvd flhqwlifld
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
J´ a decodifica¸˜o de “D Pdwhpdwlfd h mlqgd!” ´:
a ca e
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
A Matem´tica ´ linda!
a e
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

26. Um pouco de Hist´ria
o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
´
E um m´todo interessante, mas com imperfei¸˜es graves:
e co
Profo Jos´
e
S´rgio
e
Itens
Motiva¸˜o
ca ´
E de f´cil decodifica¸˜o (frequˆncia das letras).
a ca e
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o Saber codificar implica em saber decodificar.
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
Precisa de um canal seguro.
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

27. Um pouco de Hist´ria
o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
´
E um m´todo interessante, mas com imperfei¸˜es graves:
e co
Profo Jos´
e
S´rgio
e
Itens
Motiva¸˜o
ca ´
E de f´cil decodifica¸˜o (frequˆncia das letras).
a ca e
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o Saber codificar implica em saber decodificar.
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
Precisa de um canal seguro.
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

28. Um pouco de Hist´ria
o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
´
E um m´todo interessante, mas com imperfei¸˜es graves:
e co
Profo Jos´
e
S´rgio
e
Itens
Motiva¸˜o
ca ´
E de f´cil decodifica¸˜o (frequˆncia das letras).
a ca e
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o Saber codificar implica em saber decodificar.
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
Precisa de um canal seguro.
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

29. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca Existem dois tipos de c´digos criptogr´ficos:
o a
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e
S´rgio
e 1 Chave secreta
Itens Saber codificar implica em saber decodificar.
Motiva¸˜o
ca
Precisa de canal seguro.
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
2 Chave P´blica
u
Te´rica do
o
RSA Saber codificar n˜o implica saber decodificar.
a
Metodologia
N˜o precisa de canal seguro.
a
Exemplo
Como quebrar O mais popular ´ o RSA.
e
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

30. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca Existem dois tipos de c´digos criptogr´ficos:
o a
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e
S´rgio
e 1 Chave secreta
Itens Saber codificar implica em saber decodificar.
Motiva¸˜o
ca
Precisa de canal seguro.
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
2 Chave P´blica
u
Te´rica do
o
RSA Saber codificar n˜o implica saber decodificar.
a
Metodologia
N˜o precisa de canal seguro.
a
Exemplo
Como quebrar O mais popular ´ o RSA.
e
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

31. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca Existem dois tipos de c´digos criptogr´ficos:
o a
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e
S´rgio
e 1 Chave secreta
Itens Saber codificar implica em saber decodificar.
Motiva¸˜o
ca
Precisa de canal seguro.
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
2 Chave P´blica
u
Te´rica do
o
RSA Saber codificar n˜o implica saber decodificar.
a
Metodologia
N˜o precisa de canal seguro.
a
Exemplo
Como quebrar O mais popular ´ o RSA.
e
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

32. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca Existem dois tipos de c´digos criptogr´ficos:
o a
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e
S´rgio
e 1 Chave secreta
Itens Saber codificar implica em saber decodificar.
Motiva¸˜o
ca
Precisa de canal seguro.
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
2 Chave P´blica
u
Te´rica do
o
RSA Saber codificar n˜o implica saber decodificar.
a
Metodologia
N˜o precisa de canal seguro.
a
Exemplo
Como quebrar O mais popular ´ o RSA.
e
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

33. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca Existem dois tipos de c´digos criptogr´ficos:
o a
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e
S´rgio
e 1 Chave secreta
Itens Saber codificar implica em saber decodificar.
Motiva¸˜o
ca
Precisa de canal seguro.
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
2 Chave P´blica
u
Te´rica do
o
RSA Saber codificar n˜o implica saber decodificar.
a
Metodologia
N˜o precisa de canal seguro.
a
Exemplo
Como quebrar O mais popular ´ o RSA.
e
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

34. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca Existem dois tipos de c´digos criptogr´ficos:
o a
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e
S´rgio
e 1 Chave secreta
Itens Saber codificar implica em saber decodificar.
Motiva¸˜o
ca
Precisa de canal seguro.
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
2 Chave P´blica
u
Te´rica do
o
RSA Saber codificar n˜o implica saber decodificar.
a
Metodologia
N˜o precisa de canal seguro.
a
Exemplo
Como quebrar O mais popular ´ o RSA.
e
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

35. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca Existem dois tipos de c´digos criptogr´ficos:
o a
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e
S´rgio
e 1 Chave secreta
Itens Saber codificar implica em saber decodificar.
Motiva¸˜o
ca
Precisa de canal seguro.
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
2 Chave P´blica
u
Te´rica do
o
RSA Saber codificar n˜o implica saber decodificar.
a
Metodologia
N˜o precisa de canal seguro.
a
Exemplo
Como quebrar O mais popular ´ o RSA.
e
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

36. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Profo Jos´
S´rgio
e
e
Basicamente, o RSA se baseia nos seguintes fatos:
Itens
Motiva¸˜o
ca Existem infinitos n´meros primos.
u
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
Te´rica do
o
ca Quanto maior for um n´mero, mais dif´ de fator´-lo.
u ıcil a
RSA
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

37. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Profo Jos´
S´rgio
e
e
Basicamente, o RSA se baseia nos seguintes fatos:
Itens
Motiva¸˜o
ca Existem infinitos n´meros primos.
u
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
Te´rica do
o
ca Quanto maior for um n´mero, mais dif´ de fator´-lo.
u ıcil a
RSA
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

38. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e Sendo assim, para entender o RSA ´ necess´rio:
e a
S´rgio
e
Itens
Motiva¸˜o
ca Um bom conhecimento de resultados da Teoria dos
Introdu¸˜o
ca N´meros.
u
Um pouco de
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o Principalmente dos que se referem aos n´meros primos.
u
RSA
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

39. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e Sendo assim, para entender o RSA ´ necess´rio:
e a
S´rgio
e
Itens
Motiva¸˜o
ca Um bom conhecimento de resultados da Teoria dos
Introdu¸˜o
ca N´meros.
u
Um pouco de
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o Principalmente dos que se referem aos n´meros primos.
u
RSA
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

40. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos - N´meros Primos (Defini¸˜o e exemplos)
u ca
Profo Jos´
e
S´rgio
e
Itens Um n´mero inteiro positivo p = 1 ´ dito primo, se possui
u e
Motiva¸˜o
ca apenas dois divisores.
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
Portanto, esses divisores devem ser a unidade e o pr´prio
o
Fundamenta¸˜o
ca
n´mero.
u
Te´rica do
o
RSA
Metodologia Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,..., 41, 43, 47, ...
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

41. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos - N´meros Primos (Defini¸˜o e exemplos)
u ca
Profo Jos´
e
S´rgio
e
Itens Um n´mero inteiro positivo p = 1 ´ dito primo, se possui
u e
Motiva¸˜o
ca apenas dois divisores.
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
Portanto, esses divisores devem ser a unidade e o pr´prio
o
Fundamenta¸˜o
ca
n´mero.
u
Te´rica do
o
RSA
Metodologia Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,..., 41, 43, 47, ...
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

42. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos - N´meros Primos (Defini¸˜o e exemplos)
u ca
Profo Jos´
e
S´rgio
e
Itens Um n´mero inteiro positivo p = 1 ´ dito primo, se possui
u e
Motiva¸˜o
ca apenas dois divisores.
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
Portanto, esses divisores devem ser a unidade e o pr´prio
o
Fundamenta¸˜o
ca
n´mero.
u
Te´rica do
o
RSA
Metodologia Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,..., 41, 43, 47, ...
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

43. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e
S´rgio
e
Itens
Exemplo de um algoritmo de verifica¸˜o de primalidade,
ca
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
implementado em linguagem JAVA.
Um pouco de
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

44. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u Vamos, agora, estudar a Matem´tica b´sica para se
a a
primos
entender o RSA
Profo Jos´
e
S´rgio
e
Itens - Congruˆncia M´dulo n:
e o
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
Dizemos que a, b ∈ Z s˜o congruentes m´dulo n se, e
a o
Fundamenta¸˜o
ca
somente se, a e b deixam o mesmo resto na divis˜o por n.
a
Te´rica do
o
RSA
Quando isso ocorrer, escrevemos
Metodologia
Exemplo a ≡ b (mod n)
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

45. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Exemplos
Profo Jos´
e
S´rgio
e
Itens
Motiva¸˜o
ca 1 15 ≡ 3 (mod 4), pois 15 : 4 tem resto 3 e 3 : 4 tamb´m.
e
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o 2 21 ≡ 5 (mod 2), pois 21 : 2 tem resto 1 e 5 : 2 tamb´m.
e
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
3 10 ≡ 5(mod 5), pois deixam resto 0 na divis˜o por 5.
a
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

46. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Exemplos
Profo Jos´
e
S´rgio
e
Itens
Motiva¸˜o
ca 1 15 ≡ 3 (mod 4), pois 15 : 4 tem resto 3 e 3 : 4 tamb´m.
e
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o 2 21 ≡ 5 (mod 2), pois 21 : 2 tem resto 1 e 5 : 2 tamb´m.
e
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
3 10 ≡ 5(mod 5), pois deixam resto 0 na divis˜o por 5.
a
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

47. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Exemplos
Profo Jos´
e
S´rgio
e
Itens
Motiva¸˜o
ca 1 15 ≡ 3 (mod 4), pois 15 : 4 tem resto 3 e 3 : 4 tamb´m.
e
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o 2 21 ≡ 5 (mod 2), pois 21 : 2 tem resto 1 e 5 : 2 tamb´m.
e
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
3 10 ≡ 5(mod 5), pois deixam resto 0 na divis˜o por 5.
a
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

48. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
- Anel dos Inteiros M´dulo n, Zn :
o
n´meros
u
primos
Indicaremos por a a classe de todos os inteiros
Profo Jos´
e
S´rgio
e congruentes a a m´dulo n. Exemplo:
o
Itens 1 Em m´dulo 4 temos
o
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca 0 = {..., −8, −4, 0, 4, ...}
Um pouco de
Hist´ria
o 1 = {..., −7, −3, 1, 5, ...}
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o 2 = {..., −6, −2, 2, 6, ...}
RSA
Metodologia 3 = {..., −5, −1, 3, 7, ...}
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Portanto, Z4 = {0, 1, 2, 3}
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

49. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
- Anel dos Inteiros M´dulo n, Zn :
o
n´meros
u
primos
Indicaremos por a a classe de todos os inteiros
Profo Jos´
e
S´rgio
e congruentes a a m´dulo n. Exemplo:
o
Itens 1 Em m´dulo 4 temos
o
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca 0 = {..., −8, −4, 0, 4, ...}
Um pouco de
Hist´ria
o 1 = {..., −7, −3, 1, 5, ...}
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o 2 = {..., −6, −2, 2, 6, ...}
RSA
Metodologia 3 = {..., −5, −1, 3, 7, ...}
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Portanto, Z4 = {0, 1, 2, 3}
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

50. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e
S´rgio
e
Itens
Em geral, temos que
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
Zn = {0, 1, ..., n − 1}
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

51. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u - Unidades em Zn :
primos
Profo Jos´
S´rgio
e
e Dizemos que a ´ uma unidade em Zn quando
e
a · x ≡ 1 (mod n), para algum x ∈ Zn .
Itens
Motiva¸˜o
ca
Em Z6 temos
Introdu¸˜o
ca
U(Z6 ) = U(6) = {1, 5} pois,
Um pouco de
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o 1 · 1 = 1 ≡ 1 (mod 6).
RSA
Metodologia
Exemplo
5 · 5 = 25 ≡ 1 (mod 6).
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

52. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e - Fun¸˜o ϕ de Euler:
ca
S´rgio
e
Itens
Motiva¸˜o
ca
Se p e q s˜o dois n´meros primos distintos, definimos a fun¸˜o
a u ca
Introdu¸˜o
ca
ϕ de Euler da seguinte forma:
Um pouco de
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o ϕ(p) = p − 1 e ϕ(pq) = (p − 1)(q − 1)
RSA
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

53. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Encontrar a fun¸˜o ϕ de Euler para x ∈ Z+ , significa
ca
Profo Jos´
e
S´rgio
e descobrir:
Itens
Motiva¸˜o
ca “quantos inteiros positivos t, com t < x, s˜o coprimos
a
Introdu¸˜o
ca com x, ou seja, onde mdc(x, t) = 1.”
Um pouco de
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
Te´rica do
o
ca
Exemplo:
RSA
Metodologia ϕ(9) = 6, j´ que nesse caso, t ∈ {1, 2, 4, 5, 7, 8}.
a
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

54. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Encontrar a fun¸˜o ϕ de Euler para x ∈ Z+ , significa
ca
Profo Jos´
e
S´rgio
e descobrir:
Itens
Motiva¸˜o
ca “quantos inteiros positivos t, com t < x, s˜o coprimos
a
Introdu¸˜o
ca com x, ou seja, onde mdc(x, t) = 1.”
Um pouco de
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
Te´rica do
o
ca
Exemplo:
RSA
Metodologia ϕ(9) = 6, j´ que nesse caso, t ∈ {1, 2, 4, 5, 7, 8}.
a
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

55. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Encontrar a fun¸˜o ϕ de Euler para x ∈ Z+ , significa
ca
Profo Jos´
e
S´rgio
e descobrir:
Itens
Motiva¸˜o
ca “quantos inteiros positivos t, com t < x, s˜o coprimos
a
Introdu¸˜o
ca com x, ou seja, onde mdc(x, t) = 1.”
Um pouco de
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
Te´rica do
o
ca
Exemplo:
RSA
Metodologia ϕ(9) = 6, j´ que nesse caso, t ∈ {1, 2, 4, 5, 7, 8}.
a
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

56. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos A implementa¸˜o do RSA necessita de uma chave p´blica e de
ca u
Profo Jos´
S´rgio
e
e uma chave privada.
Itens
Motiva¸˜o
ca
Chave p´blica: par ordenado de n´meros, utilizado para
u u
Introdu¸˜o
ca codificar uma mensagem.
Um pouco de
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
Chave privada: par ordenado de n´meros, utilizado para
u
Metodologia decodificar uma mensagem previamente codificada.
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

57. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
ca o
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos A implementa¸˜o do RSA necessita de uma chave p´blica e de
ca u
Profo Jos´
S´rgio
e
e uma chave privada.
Itens
Motiva¸˜o
ca
Chave p´blica: par ordenado de n´meros, utilizado para
u u
Introdu¸˜o
ca codificar uma mensagem.
Um pouco de
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
Chave privada: par ordenado de n´meros, utilizado para
u
Metodologia decodificar uma mensagem previamente codificada.
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

58. Metodologia
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
Escolhe-se p e q primos distintos.
primos
Profo Jos´
e Calcula-se n = pq.
S´rgio
e
Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).
Itens
Motiva¸˜o
ca Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) com
Introdu¸˜o
ca
mdc(ϕ(n), e) = 1.
Um pouco de
Hist´ria
o
Encontra-se d, tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso ´, d ´ o
e e
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o inverso de e mod (ϕ(n)).
RSA
Metodologia
O par (n, e) ser´ a chave p´blica.
a u
Exemplo
Como quebrar O par (n, d) ser´ a chave privada.
a
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

59. Metodologia
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
Escolhe-se p e q primos distintos.
primos
Profo Jos´
e Calcula-se n = pq.
S´rgio
e
Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).
Itens
Motiva¸˜o
ca Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) com
Introdu¸˜o
ca
mdc(ϕ(n), e) = 1.
Um pouco de
Hist´ria
o
Encontra-se d, tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso ´, d ´ o
e e
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o inverso de e mod (ϕ(n)).
RSA
Metodologia
O par (n, e) ser´ a chave p´blica.
a u
Exemplo
Como quebrar O par (n, d) ser´ a chave privada.
a
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

60. Metodologia
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
Escolhe-se p e q primos distintos.
primos
Profo Jos´
e Calcula-se n = pq.
S´rgio
e
Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).
Itens
Motiva¸˜o
ca Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) com
Introdu¸˜o
ca
mdc(ϕ(n), e) = 1.
Um pouco de
Hist´ria
o
Encontra-se d, tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso ´, d ´ o
e e
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o inverso de e mod (ϕ(n)).
RSA
Metodologia
O par (n, e) ser´ a chave p´blica.
a u
Exemplo
Como quebrar O par (n, d) ser´ a chave privada.
a
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

61. Metodologia
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
Escolhe-se p e q primos distintos.
primos
Profo Jos´
e Calcula-se n = pq.
S´rgio
e
Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).
Itens
Motiva¸˜o
ca Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) com
Introdu¸˜o
ca
mdc(ϕ(n), e) = 1.
Um pouco de
Hist´ria
o
Encontra-se d, tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso ´, d ´ o
e e
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o inverso de e mod (ϕ(n)).
RSA
Metodologia
O par (n, e) ser´ a chave p´blica.
a u
Exemplo
Como quebrar O par (n, d) ser´ a chave privada.
a
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

62. Metodologia
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
Escolhe-se p e q primos distintos.
primos
Profo Jos´
e Calcula-se n = pq.
S´rgio
e
Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).
Itens
Motiva¸˜o
ca Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) com
Introdu¸˜o
ca
mdc(ϕ(n), e) = 1.
Um pouco de
Hist´ria
o
Encontra-se d, tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso ´, d ´ o
e e
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o inverso de e mod (ϕ(n)).
RSA
Metodologia
O par (n, e) ser´ a chave p´blica.
a u
Exemplo
Como quebrar O par (n, d) ser´ a chave privada.
a
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

63. Metodologia
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
Escolhe-se p e q primos distintos.
primos
Profo Jos´
e Calcula-se n = pq.
S´rgio
e
Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).
Itens
Motiva¸˜o
ca Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) com
Introdu¸˜o
ca
mdc(ϕ(n), e) = 1.
Um pouco de
Hist´ria
o
Encontra-se d, tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso ´, d ´ o
e e
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o inverso de e mod (ϕ(n)).
RSA
Metodologia
O par (n, e) ser´ a chave p´blica.
a u
Exemplo
Como quebrar O par (n, d) ser´ a chave privada.
a
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

64. Metodologia
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
Escolhe-se p e q primos distintos.
primos
Profo Jos´
e Calcula-se n = pq.
S´rgio
e
Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).
Itens
Motiva¸˜o
ca Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) com
Introdu¸˜o
ca
mdc(ϕ(n), e) = 1.
Um pouco de
Hist´ria
o
Encontra-se d, tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso ´, d ´ o
e e
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o inverso de e mod (ϕ(n)).
RSA
Metodologia
O par (n, e) ser´ a chave p´blica.
a u
Exemplo
Como quebrar O par (n, d) ser´ a chave privada.
a
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

65. Metodologia
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Converte-se as letras da mensagem em n´meros, usando a
u
tabela ASCII.
Profo Jos´
e
S´rgio
e
Itens
Teremos uma sequˆncia num´rica que deve ser quebrada
e e
Motiva¸˜o
ca
em blocos menores do que n.
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de Cada bloco m ser´ codificado usando a seguinte receita:
a
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
C (m) = me (mod n) = k
Te´rica do
o
RSA
Metodologia Para recuperar a mensagem codificada, usaremos a receita:
Exemplo
D(k) = k d (mod n) = m
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

66. Metodologia
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Converte-se as letras da mensagem em n´meros, usando a
u
tabela ASCII.
Profo Jos´
e
S´rgio
e
Itens
Teremos uma sequˆncia num´rica que deve ser quebrada
e e
Motiva¸˜o
ca
em blocos menores do que n.
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de Cada bloco m ser´ codificado usando a seguinte receita:
a
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
C (m) = me (mod n) = k
Te´rica do
o
RSA
Metodologia Para recuperar a mensagem codificada, usaremos a receita:
Exemplo
D(k) = k d (mod n) = m
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

67. Metodologia
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Converte-se as letras da mensagem em n´meros, usando a
u
tabela ASCII.
Profo Jos´
e
S´rgio
e
Itens
Teremos uma sequˆncia num´rica que deve ser quebrada
e e
Motiva¸˜o
ca
em blocos menores do que n.
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de Cada bloco m ser´ codificado usando a seguinte receita:
a
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
C (m) = me (mod n) = k
Te´rica do
o
RSA
Metodologia Para recuperar a mensagem codificada, usaremos a receita:
Exemplo
D(k) = k d (mod n) = m
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

68. Metodologia
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Converte-se as letras da mensagem em n´meros, usando a
u
tabela ASCII.
Profo Jos´
e
S´rgio
e
Itens
Teremos uma sequˆncia num´rica que deve ser quebrada
e e
Motiva¸˜o
ca
em blocos menores do que n.
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de Cada bloco m ser´ codificado usando a seguinte receita:
a
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
C (m) = me (mod n) = k
Te´rica do
o
RSA
Metodologia Para recuperar a mensagem codificada, usaremos a receita:
Exemplo
D(k) = k d (mod n) = m
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

69. Metodologia
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e
A Tabela ASCII (American Standard Code for Information
S´rgio
e Interchange) ´ usada pela maior parte da ind´stria de
e u
Itens computadores para a troca de informa¸˜es.
co
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Cada caracter ´ representado por um c´digo de 8 bits (um
e o
Um pouco de
Hist´ria
o byte).
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
Apresetamos a seguir um resumo da tabela ASCII.
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

70. Metodologia
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e
A Tabela ASCII (American Standard Code for Information
S´rgio
e Interchange) ´ usada pela maior parte da ind´stria de
e u
Itens computadores para a troca de informa¸˜es.
co
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Cada caracter ´ representado por um c´digo de 8 bits (um
e o
Um pouco de
Hist´ria
o byte).
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
Apresetamos a seguir um resumo da tabela ASCII.
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

71. Metodologia
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e
A Tabela ASCII (American Standard Code for Information
S´rgio
e Interchange) ´ usada pela maior parte da ind´stria de
e u
Itens computadores para a troca de informa¸˜es.
co
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Cada caracter ´ representado por um c´digo de 8 bits (um
e o
Um pouco de
Hist´ria
o byte).
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
Apresetamos a seguir um resumo da tabela ASCII.
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

72. Metodologia
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e
S´rgio
e
Itens
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

73. Exemplo
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e
Vamos codificar a palavra PRIMO, usando p = 7 e q = 11.
S´rgio
e
Itens n = p · q = 77,
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
ϕ(n) = (7 − 1) · (11 − 1) = 6 · 10 = 60,
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA e = 7 pois, 1 < 7 < ϕ(n) e mdc(ϕ(n), 7) = 1.
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

74. Exemplo
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e
Vamos codificar a palavra PRIMO, usando p = 7 e q = 11.
S´rgio
e
Itens n = p · q = 77,
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
ϕ(n) = (7 − 1) · (11 − 1) = 6 · 10 = 60,
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA e = 7 pois, 1 < 7 < ϕ(n) e mdc(ϕ(n), 7) = 1.
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

75. Exemplo
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e
Vamos codificar a palavra PRIMO, usando p = 7 e q = 11.
S´rgio
e
Itens n = p · q = 77,
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
ϕ(n) = (7 − 1) · (11 − 1) = 6 · 10 = 60,
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA e = 7 pois, 1 < 7 < ϕ(n) e mdc(ϕ(n), 7) = 1.
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

76. Exemplo
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos A chave p´blica (chave de codifica¸˜o) ser´
u ca a
o
Prof Jos´e
S´rgio
e (n, e) = (77, 7)
Itens
Motiva¸˜o
ca
d = 43, j´ que
a
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de 43 · 7 = 301 ≡ 1 (mod 60).
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
Logo, a chave privada (chave de decodifica¸˜o) ´ o par
ca e
Metodologia
Exemplo (77, 43).
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

77. Exemplo
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos A chave p´blica (chave de codifica¸˜o) ser´
u ca a
o
Prof Jos´e
S´rgio
e (n, e) = (77, 7)
Itens
Motiva¸˜o
ca
d = 43, j´ que
a
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de 43 · 7 = 301 ≡ 1 (mod 60).
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
Logo, a chave privada (chave de decodifica¸˜o) ´ o par
ca e
Metodologia
Exemplo (77, 43).
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

78. Exemplo
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos A chave p´blica (chave de codifica¸˜o) ser´
u ca a
o
Prof Jos´e
S´rgio
e (n, e) = (77, 7)
Itens
Motiva¸˜o
ca
d = 43, j´ que
a
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de 43 · 7 = 301 ≡ 1 (mod 60).
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
Logo, a chave privada (chave de decodifica¸˜o) ´ o par
ca e
Metodologia
Exemplo (77, 43).
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

79. Exemplo
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
- Tabela de Codifica¸˜o
ca
Profo Jos´
e
S´rgio
e
A Tabela de codifica¸˜o que itulizaremos ´ a seguinte:
ca e
Itens
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca A B C D E F G H I J K L M
Um pouco de 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
N O P Q R S T U V W X Y Z
Metodologia 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

80. Exemplo
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Dessa forma, podemos concluir que
Profo Jos´
e
S´rgio
e
Itens
PRIMO = 2527182224.
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
Uma forma de quebrar esse n´mero em blocos de valores
u
Fundamenta¸˜o
ca
menores que 77 ´
e
Te´rica do
o
RSA
2, 5, 2, 71, 8, 2, 22, 4
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

81. Exemplo
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Dessa forma, podemos concluir que
Profo Jos´
e
S´rgio
e
Itens
PRIMO = 2527182224.
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
Uma forma de quebrar esse n´mero em blocos de valores
u
Fundamenta¸˜o
ca
menores que 77 ´
e
Te´rica do
o
RSA
2, 5, 2, 71, 8, 2, 22, 4
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

82. Exemplo
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Profo Jos´
S´rgio
e
e
A codifica¸˜o de cada bloco acima ´ dada por:
ca e
Itens
Motiva¸˜o
ca
C (2) = 27 (mod 77) = 51 C (5) = 57 (mod 77) = 47
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de C (71) = 36 C (8) = 57
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
C (22) = 22 C (4) = 60
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

83. Exemplo
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e
S´rgio
e
Portanto, a mensagem codificada ´
e
Itens
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Hist´ria
o
51 − 47 − 51 − 36 − 57 − 51 − 22 − 60
Fundamenta¸˜o
ca
Te´rica do
o
RSA
Metodologia
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

84. Exemplo
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
Para decodificar cada bloco j´ codificado faremos o seguinte:
a
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e D(51) = 5143 (mod 77) = 2 D(47) = 4743 (mod 77) = 5
S´rgio
e
Itens D(36) = 71 D(57) = 8
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca D(22) = 22 D(60) = 4
Um pouco de
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
Logo, a sequˆncia decodificada ser´
e a
Te´rica do
o
RSA 2 − 5 − 2 − 71 − 8 − 2 − 22 − 4
Metodologia
Exemplo
Que corresponde, via tabela de convers˜o, ` palavra
a a
Como quebrar
o RSA? PRIMO.
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

85. Exemplo
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
Para decodificar cada bloco j´ codificado faremos o seguinte:
a
n´meros
u
primos
Profo Jos´
e D(51) = 5143 (mod 77) = 2 D(47) = 4743 (mod 77) = 5
S´rgio
e
Itens D(36) = 71 D(57) = 8
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca D(22) = 22 D(60) = 4
Um pouco de
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
ca
Logo, a sequˆncia decodificada ser´
e a
Te´rica do
o
RSA 2 − 5 − 2 − 71 − 8 − 2 − 22 − 4
Metodologia
Exemplo
Que corresponde, via tabela de convers˜o, ` palavra
a a
Como quebrar
o RSA? PRIMO.
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

86. Como quebrar o RSA?
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
A chave de decodifica¸˜o ´ (n, d).
ca e
primos
Profo Jos´
e
S´rgio
e
Todos conhecem n, mas d s´ ´ conhecido por uma pessoa
oe
Itens atorizada.
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Para algu´m n˜o autorizado encontrar d ele deve:
e a
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
Te´rica do
o
ca 1 Conhecer ϕ(n).
RSA
Metodologia 2 Para conhecer ϕ(n) ´ necess´rio conhecer p e q.
e a
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
3 Ent˜o, basta fatorar n.
a
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

87. Como quebrar o RSA?
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
A chave de decodifica¸˜o ´ (n, d).
ca e
primos
Profo Jos´
e
S´rgio
e
Todos conhecem n, mas d s´ ´ conhecido por uma pessoa
oe
Itens atorizada.
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Para algu´m n˜o autorizado encontrar d ele deve:
e a
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
Te´rica do
o
ca 1 Conhecer ϕ(n).
RSA
Metodologia 2 Para conhecer ϕ(n) ´ necess´rio conhecer p e q.
e a
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
3 Ent˜o, basta fatorar n.
a
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

88. Como quebrar o RSA?
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
A chave de decodifica¸˜o ´ (n, d).
ca e
primos
Profo Jos´
e
S´rgio
e
Todos conhecem n, mas d s´ ´ conhecido por uma pessoa
oe
Itens atorizada.
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Para algu´m n˜o autorizado encontrar d ele deve:
e a
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
Te´rica do
o
ca 1 Conhecer ϕ(n).
RSA
Metodologia 2 Para conhecer ϕ(n) ´ necess´rio conhecer p e q.
e a
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
3 Ent˜o, basta fatorar n.
a
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

89. Como quebrar o RSA?
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
A chave de decodifica¸˜o ´ (n, d).
ca e
primos
Profo Jos´
e
S´rgio
e
Todos conhecem n, mas d s´ ´ conhecido por uma pessoa
oe
Itens atorizada.
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Para algu´m n˜o autorizado encontrar d ele deve:
e a
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
Te´rica do
o
ca 1 Conhecer ϕ(n).
RSA
Metodologia 2 Para conhecer ϕ(n) ´ necess´rio conhecer p e q.
e a
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
3 Ent˜o, basta fatorar n.
a
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u

90. Como quebrar o RSA?
Criptografia
RSA: uma
aplica¸˜o dos
ca
n´meros
u
A chave de decodifica¸˜o ´ (n, d).
ca e
primos
Profo Jos´
e
S´rgio
e
Todos conhecem n, mas d s´ ´ conhecido por uma pessoa
oe
Itens atorizada.
Motiva¸˜o
ca
Introdu¸˜o
ca
Um pouco de
Para algu´m n˜o autorizado encontrar d ele deve:
e a
Hist´ria
o
Fundamenta¸˜o
Te´rica do
o
ca 1 Conhecer ϕ(n).
RSA
Metodologia 2 Para conhecer ϕ(n) ´ necess´rio conhecer p e q.
e a
Exemplo
Como quebrar
o RSA?
3 Ent˜o, basta fatorar n.
a
Referˆncias
e
Profo Jos´ S´rgio
e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
ca u