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Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
                Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros
                                           ca       u
 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e                             primos
Itens

Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca
                                           Profo Jos´ S´rgio
                                                    e e
Um pouco de
Hist´ria
    o                           Universidade Estadual de Montes Claros
Fundamenta¸˜o
           ca
                Departamento de Ciˆncias Exatas/Centro de Ciˆncias Exatas e Tecnol´gicas
                                   e                        e                     o
Te´rica do
  o                   Caixa Postal 126 – 39401-089 – Montes Claros – MG – Brasil
RSA                                  jsergiomat@lsi.cefetmg.br
Metodologia

Exemplo                                   9 de junho de 2010
Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                              Profo Jos´ S´rgio
                                       e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                             ca       u
Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca       1 Motiva¸˜o
                        ca
   n´meros
    u
    primos
                2 Introdu¸˜o
                         ca
 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e
                3 Um pouco de Hist´ria
                                  o
Itens

Motiva¸˜o
      ca        4 Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                            ca    o
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de     5 Metodologia
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
Te´rica do
  o
           ca   6 Exemplo
RSA

Metodologia     7 Como quebrar o RSA?
Exemplo

Como quebrar
                8 Referˆncias
                       e
o RSA?

Referˆncias
     e

                               Profo Jos´ S´rgio
                                        e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                              ca       u
Motiva¸˜o
                      ca

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos          Relembrar alguns conceitos b´sicos da Teoria dos
                                                a
 Profo Jos´
   S´rgio
    e
          e         N´meros.
                     u

Itens

Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca
                    Relembrar a defini¸˜o de N´meros Primos e suas principais
                                     ca      u
Um pouco de
                    propriedades.
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA

Metodologia
                    Mostrar uma das milhares de aplica¸˜es diretas da
                                                      co
Exemplo
                    matem´tica no cotidiano do ser humano.
                          a
Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Motiva¸˜o
                      ca

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos          Relembrar alguns conceitos b´sicos da Teoria dos
                                                a
 Profo Jos´
   S´rgio
    e
          e         N´meros.
                     u

Itens

Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca
                    Relembrar a defini¸˜o de N´meros Primos e suas principais
                                     ca      u
Um pouco de
                    propriedades.
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA

Metodologia
                    Mostrar uma das milhares de aplica¸˜es diretas da
                                                      co
Exemplo
                    matem´tica no cotidiano do ser humano.
                          a
Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Motiva¸˜o
                      ca

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos          Relembrar alguns conceitos b´sicos da Teoria dos
                                                a
 Profo Jos´
   S´rgio
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          e         N´meros.
                     u

Itens

Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca
                    Relembrar a defini¸˜o de N´meros Primos e suas principais
                                     ca      u
Um pouco de
                    propriedades.
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA

Metodologia
                    Mostrar uma das milhares de aplica¸˜es diretas da
                                                      co
Exemplo
                    matem´tica no cotidiano do ser humano.
                          a
Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Introdu¸˜o
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 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
                    Encaminhar mensagens de forma segura ´ uma pr´tica
                                                         e       a
 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e               antiga (Gr´cia Antiga).
                              e
Itens

Motiva¸˜o
      ca            Nos dias de hoje o sigilo de informa¸˜es ´ fundamental.
                                                        co e
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o
                    As mensagens transmitidas pela internet podem ser
Fundamenta¸˜o
           ca       interceptadas com certa facilidade.
Te´rica do
  o
RSA

Metodologia         Portanto, ´ necess´rio codific´-las.
                              e       a          a
Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Introdu¸˜o
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 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
                    Encaminhar mensagens de forma segura ´ uma pr´tica
                                                         e       a
 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e               antiga (Gr´cia Antiga).
                              e
Itens

Motiva¸˜o
      ca            Nos dias de hoje o sigilo de informa¸˜es ´ fundamental.
                                                        co e
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o
                    As mensagens transmitidas pela internet podem ser
Fundamenta¸˜o
           ca       interceptadas com certa facilidade.
Te´rica do
  o
RSA

Metodologia         Portanto, ´ necess´rio codific´-las.
                              e       a          a
Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Introdu¸˜o
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 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
                    Encaminhar mensagens de forma segura ´ uma pr´tica
                                                         e       a
 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e               antiga (Gr´cia Antiga).
                              e
Itens

Motiva¸˜o
      ca            Nos dias de hoje o sigilo de informa¸˜es ´ fundamental.
                                                        co e
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o
                    As mensagens transmitidas pela internet podem ser
Fundamenta¸˜o
           ca       interceptadas com certa facilidade.
Te´rica do
  o
RSA

Metodologia         Portanto, ´ necess´rio codific´-las.
                              e       a          a
Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
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 Criptografia
  RSA: uma
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       ca
   n´meros
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    primos
                    Encaminhar mensagens de forma segura ´ uma pr´tica
                                                         e       a
 Profo Jos´
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    e               antiga (Gr´cia Antiga).
                              e
Itens

Motiva¸˜o
      ca            Nos dias de hoje o sigilo de informa¸˜es ´ fundamental.
                                                        co e
Introdu¸˜o
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Um pouco de
Hist´ria
    o
                    As mensagens transmitidas pela internet podem ser
Fundamenta¸˜o
           ca       interceptadas com certa facilidade.
Te´rica do
  o
RSA

Metodologia         Portanto, ´ necess´rio codific´-las.
                              e       a          a
Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Introdu¸˜o
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 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e               Para manter tais informa¸˜es em sigilo, foi necess´rio criar
                                              co                      a
                    c´digos dif´
                     o         ıceis de serem quebrados, mesmo com a ajuda
Itens
                    de computadores.
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
                    O c´digo (m´todo) mais utilizado nos dias de hoje ´ o
                       o       e                                      e
Te´rica do
  o                 RSA.
RSA

Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Introdu¸˜o
                       ca

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e               Para manter tais informa¸˜es em sigilo, foi necess´rio criar
                                              co                      a
                    c´digos dif´
                     o         ıceis de serem quebrados, mesmo com a ajuda
Itens
                    de computadores.
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
                    O c´digo (m´todo) mais utilizado nos dias de hoje ´ o
                       o       e                                      e
Te´rica do
  o                 RSA.
RSA

Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Introdu¸˜o
                       ca

 Criptografia
  RSA: uma          O RSA, foi criado em 1978, por R. L. Rivest, A. Shamir e
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u               L. Adleman, quando trabalhavam no M.I.T.
    primos

 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e


Itens

Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA

Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Introdu¸˜o
                       ca

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e
                    A implementa¸˜o do m´todo depende da obten¸˜o de dois
                                ca       e                    ca
Itens               n´meros primos muito grandes.
                     u
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o
                    Da´ a existˆncia desse trabalho, que dentre outras coisas,
                       ı       e
Fundamenta¸˜o
           ca       apresenta um algoritmo de verifica¸˜o de primalidade.
                                                       ca
Te´rica do
  o
RSA

Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Introdu¸˜o
                       ca

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e
                    A implementa¸˜o do m´todo depende da obten¸˜o de dois
                                ca       e                    ca
Itens               n´meros primos muito grandes.
                     u
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o
                    Da´ a existˆncia desse trabalho, que dentre outras coisas,
                       ı       e
Fundamenta¸˜o
           ca       apresenta um algoritmo de verifica¸˜o de primalidade.
                                                       ca
Te´rica do
  o
RSA

Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Introdu¸˜o
                       ca

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
   S´rgio
    e
          e
                    Criptologia = kryptos (esconder) + logos(estudo)

Itens                                            estudo do oculto
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o               Criptografia = kryptos (esconder) + graphia(escrita)
Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA
                                      arte de esconder mensagens
Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e          Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                              ca       u
Introdu¸˜o
                       ca

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
   S´rgio
    e
          e
                    Criptologia = kryptos (esconder) + logos(estudo)

Itens                                            estudo do oculto
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o               Criptografia = kryptos (esconder) + graphia(escrita)
Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA
                                      arte de esconder mensagens
Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e          Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                              ca       u
Introdu¸˜o
                       ca

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
   S´rgio
    e
          e
                    Decifrar

Itens                               ler a mensagem sem autoriza¸˜o
                                                               ca
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o               Decodificar
Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA
                                    ler a mensagem com autoriza¸˜o
                                                               ca
Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                               Profo Jos´ S´rgio
                                        e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                              ca       u
Introdu¸˜o
                       ca

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
   S´rgio
    e
          e
                    Decifrar

Itens                               ler a mensagem sem autoriza¸˜o
                                                               ca
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o               Decodificar
Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA
                                    ler a mensagem com autoriza¸˜o
                                                               ca
Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                               Profo Jos´ S´rgio
                                        e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                              ca       u
Um pouco de Hist´ria
                                o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
                    O primeiro a utilizar a criptografia como meio de esconder
   n´meros
    u
    primos
                    informa¸˜es secretas foi C´sar.
                           co                   e
 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e


Itens

Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA

Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Um pouco de Hist´ria
                                o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e               O c´digo de C´sar foi utilizado por muito tempo para
                        o         e
Itens
                    transmitir mensagens militares.
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de         Ela ´ um tipo de cifra de substitui¸˜o na qual cada letra
                        e                              ca
Hist´ria
    o
                    do texto ´ substitu´ por outra, que se apresenta no
                             e         ıda
Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o                 alfabeto abaixo dela um n´mero fixo de vezes.
                                              u
RSA

Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Um pouco de Hist´ria
                                o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e               O c´digo de C´sar foi utilizado por muito tempo para
                        o         e
Itens
                    transmitir mensagens militares.
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de         Ela ´ um tipo de cifra de substitui¸˜o na qual cada letra
                        e                              ca
Hist´ria
    o
                    do texto ´ substitu´ por outra, que se apresenta no
                             e         ıda
Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o                 alfabeto abaixo dela um n´mero fixo de vezes.
                                              u
RSA

Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Um pouco de Hist´ria
                                o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e          Um exemplo do c´digo de C´sar ´ o seguinte:
                                    o         e    e
   S´rgio
    e


Itens
                 A   B   C   D      E      F      G      H     I     J       K     L      M
Motiva¸˜o
      ca
                 D   E   F   G      H      I      J      K     L     M       N     O      P
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o              N   O   P   Q      R      S      T       U      V     W       X     Y      Z
RSA
                 Q   R   S   T      U      V      W       X      Y     Z       A     B      C
Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                              Profo Jos´ S´rgio
                                       e e            Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                                 ca       u
Um pouco de Hist´ria
                                o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u           Basicamente, o que o c´digo acima faz, ´ transladar as letras
                                      o                e
    primos
                do alfabeto.
 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e


Itens

Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA

Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                              Profo Jos´ S´rgio
                                       e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                             ca       u
Um pouco de Hist´ria
                                o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e         Dessa forma, a codifica¸˜o de “Pesquisa cient´
                                          ca                    ıfica” ser´:
                                                                         a
   S´rgio
    e


Itens                                        Shvtxlvd flhqwlifld
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o
                    J´ a decodifica¸˜o de “D Pdwhpdwlfd h mlqgd!” ´:
                     a            ca                             e
Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA
                                          A Matem´tica ´ linda!
                                                 a     e
Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Um pouco de Hist´ria
                                o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e         Dessa forma, a codifica¸˜o de “Pesquisa cient´
                                          ca                    ıfica” ser´:
                                                                         a
   S´rgio
    e


Itens                                        Shvtxlvd flhqwlifld
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o
                    J´ a decodifica¸˜o de “D Pdwhpdwlfd h mlqgd!” ´:
                     a            ca                             e
Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA
                                          A Matem´tica ´ linda!
                                                 a     e
Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Um pouco de Hist´ria
                                o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
                ´
                E um m´todo interessante, mas com imperfei¸˜es graves:
                      e                                   co
 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e


Itens

Motiva¸˜o
      ca            ´
                    E de f´cil decodifica¸˜o (frequˆncia das letras).
                          a             ca        e
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o               Saber codificar implica em saber decodificar.
Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA
                    Precisa de um canal seguro.
Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Um pouco de Hist´ria
                                o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
                ´
                E um m´todo interessante, mas com imperfei¸˜es graves:
                      e                                   co
 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e


Itens

Motiva¸˜o
      ca            ´
                    E de f´cil decodifica¸˜o (frequˆncia das letras).
                          a             ca        e
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o               Saber codificar implica em saber decodificar.
Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA
                    Precisa de um canal seguro.
Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Um pouco de Hist´ria
                                o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
                ´
                E um m´todo interessante, mas com imperfei¸˜es graves:
                      e                                   co
 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e


Itens

Motiva¸˜o
      ca            ´
                    E de f´cil decodifica¸˜o (frequˆncia das letras).
                          a             ca        e
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o               Saber codificar implica em saber decodificar.
Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA
                    Precisa de um canal seguro.
Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca       Existem dois tipos de c´digos criptogr´ficos:
                                       o              a
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e             1   Chave secreta
Itens                     Saber codificar implica em saber decodificar.
Motiva¸˜o
      ca
                          Precisa de canal seguro.
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
                  2   Chave P´blica
                             u
Te´rica do
  o
RSA                       Saber codificar n˜o implica saber decodificar.
                                          a
Metodologia
                          N˜o precisa de canal seguro.
                           a
Exemplo

Como quebrar              O mais popular ´ o RSA.
                                         e
o RSA?

Referˆncias
     e

                               Profo Jos´ S´rgio
                                        e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                              ca       u
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca       Existem dois tipos de c´digos criptogr´ficos:
                                       o              a
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e             1   Chave secreta
Itens                     Saber codificar implica em saber decodificar.
Motiva¸˜o
      ca
                          Precisa de canal seguro.
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
                  2   Chave P´blica
                             u
Te´rica do
  o
RSA                       Saber codificar n˜o implica saber decodificar.
                                          a
Metodologia
                          N˜o precisa de canal seguro.
                           a
Exemplo

Como quebrar              O mais popular ´ o RSA.
                                         e
o RSA?

Referˆncias
     e

                               Profo Jos´ S´rgio
                                        e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                              ca       u
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca       Existem dois tipos de c´digos criptogr´ficos:
                                       o              a
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e             1   Chave secreta
Itens                     Saber codificar implica em saber decodificar.
Motiva¸˜o
      ca
                          Precisa de canal seguro.
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
                  2   Chave P´blica
                             u
Te´rica do
  o
RSA                       Saber codificar n˜o implica saber decodificar.
                                          a
Metodologia
                          N˜o precisa de canal seguro.
                           a
Exemplo

Como quebrar              O mais popular ´ o RSA.
                                         e
o RSA?

Referˆncias
     e

                               Profo Jos´ S´rgio
                                        e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                              ca       u
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca       Existem dois tipos de c´digos criptogr´ficos:
                                       o              a
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e             1   Chave secreta
Itens                     Saber codificar implica em saber decodificar.
Motiva¸˜o
      ca
                          Precisa de canal seguro.
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
                  2   Chave P´blica
                             u
Te´rica do
  o
RSA                       Saber codificar n˜o implica saber decodificar.
                                          a
Metodologia
                          N˜o precisa de canal seguro.
                           a
Exemplo

Como quebrar              O mais popular ´ o RSA.
                                         e
o RSA?

Referˆncias
     e

                               Profo Jos´ S´rgio
                                        e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                              ca       u
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca       Existem dois tipos de c´digos criptogr´ficos:
                                       o              a
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e             1   Chave secreta
Itens                     Saber codificar implica em saber decodificar.
Motiva¸˜o
      ca
                          Precisa de canal seguro.
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
                  2   Chave P´blica
                             u
Te´rica do
  o
RSA                       Saber codificar n˜o implica saber decodificar.
                                          a
Metodologia
                          N˜o precisa de canal seguro.
                           a
Exemplo

Como quebrar              O mais popular ´ o RSA.
                                         e
o RSA?

Referˆncias
     e

                               Profo Jos´ S´rgio
                                        e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                              ca       u
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca       Existem dois tipos de c´digos criptogr´ficos:
                                       o              a
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e             1   Chave secreta
Itens                     Saber codificar implica em saber decodificar.
Motiva¸˜o
      ca
                          Precisa de canal seguro.
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
                  2   Chave P´blica
                             u
Te´rica do
  o
RSA                       Saber codificar n˜o implica saber decodificar.
                                          a
Metodologia
                          N˜o precisa de canal seguro.
                           a
Exemplo

Como quebrar              O mais popular ´ o RSA.
                                         e
o RSA?

Referˆncias
     e

                               Profo Jos´ S´rgio
                                        e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                              ca       u
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca       Existem dois tipos de c´digos criptogr´ficos:
                                       o              a
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e             1   Chave secreta
Itens                     Saber codificar implica em saber decodificar.
Motiva¸˜o
      ca
                          Precisa de canal seguro.
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
                  2   Chave P´blica
                             u
Te´rica do
  o
RSA                       Saber codificar n˜o implica saber decodificar.
                                          a
Metodologia
                          N˜o precisa de canal seguro.
                           a
Exemplo

Como quebrar              O mais popular ´ o RSA.
                                         e
o RSA?

Referˆncias
     e

                               Profo Jos´ S´rgio
                                        e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                              ca       u
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
   S´rgio
    e
          e
                Basicamente, o RSA se baseia nos seguintes fatos:

Itens

Motiva¸˜o
      ca            Existem infinitos n´meros primos.
                                      u
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
Te´rica do
  o
           ca       Quanto maior for um n´mero, mais dif´ de fator´-lo.
                                         u              ıcil      a
RSA

Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
   S´rgio
    e
          e
                Basicamente, o RSA se baseia nos seguintes fatos:

Itens

Motiva¸˜o
      ca            Existem infinitos n´meros primos.
                                      u
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
Te´rica do
  o
           ca       Quanto maior for um n´mero, mais dif´ de fator´-lo.
                                         u              ıcil      a
RSA

Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e     Sendo assim, para entender o RSA ´ necess´rio:
                                                 e       a
   S´rgio
    e


Itens

Motiva¸˜o
      ca            Um bom conhecimento de resultados da Teoria dos
Introdu¸˜o
       ca           N´meros.
                     u
Um pouco de
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o                 Principalmente dos que se referem aos n´meros primos.
                                                           u
RSA

Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e     Sendo assim, para entender o RSA ´ necess´rio:
                                                 e       a
   S´rgio
    e


Itens

Motiva¸˜o
      ca            Um bom conhecimento de resultados da Teoria dos
Introdu¸˜o
       ca           N´meros.
                     u
Um pouco de
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o                 Principalmente dos que se referem aos n´meros primos.
                                                           u
RSA

Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos      - N´meros Primos (Defini¸˜o e exemplos)
                   u                   ca
 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e


Itens               Um n´mero inteiro positivo p = 1 ´ dito primo, se possui
                         u                           e
Motiva¸˜o
      ca            apenas dois divisores.
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o
                    Portanto, esses divisores devem ser a unidade e o pr´prio
                                                                        o
Fundamenta¸˜o
           ca
                    n´mero.
                     u
Te´rica do
  o
RSA

Metodologia         Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,..., 41, 43, 47, ...
Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                              Profo Jos´ S´rgio
                                       e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                             ca       u
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos      - N´meros Primos (Defini¸˜o e exemplos)
                   u                   ca
 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e


Itens               Um n´mero inteiro positivo p = 1 ´ dito primo, se possui
                         u                           e
Motiva¸˜o
      ca            apenas dois divisores.
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o
                    Portanto, esses divisores devem ser a unidade e o pr´prio
                                                                        o
Fundamenta¸˜o
           ca
                    n´mero.
                     u
Te´rica do
  o
RSA

Metodologia         Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,..., 41, 43, 47, ...
Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                              Profo Jos´ S´rgio
                                       e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                             ca       u
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos      - N´meros Primos (Defini¸˜o e exemplos)
                   u                   ca
 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e


Itens               Um n´mero inteiro positivo p = 1 ´ dito primo, se possui
                         u                           e
Motiva¸˜o
      ca            apenas dois divisores.
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o
                    Portanto, esses divisores devem ser a unidade e o pr´prio
                                                                        o
Fundamenta¸˜o
           ca
                    n´mero.
                     u
Te´rica do
  o
RSA

Metodologia         Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,..., 41, 43, 47, ...
Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                              Profo Jos´ S´rgio
                                       e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                             ca       u
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e


Itens
                Exemplo de um algoritmo de verifica¸˜o de primalidade,
                                                  ca
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca
                implementado em linguagem JAVA.
Um pouco de
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA

Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u           Vamos, agora, estudar a Matem´tica b´sica para se
                                             a      a
    primos
                entender o RSA
 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e


Itens           - Congruˆncia M´dulo n:
                        e      o
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o
                    Dizemos que a, b ∈ Z s˜o congruentes m´dulo n se, e
                                           a              o
Fundamenta¸˜o
           ca
                    somente se, a e b deixam o mesmo resto na divis˜o por n.
                                                                   a
Te´rica do
  o
RSA
                    Quando isso ocorrer, escrevemos
Metodologia

Exemplo                                          a ≡ b (mod n)
Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e          Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                              ca       u
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
                Exemplos
 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e


Itens

Motiva¸˜o
      ca          1   15 ≡ 3 (mod 4), pois 15 : 4 tem resto 3 e 3 : 4 tamb´m.
                                                                          e
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o             2   21 ≡ 5 (mod 2), pois 21 : 2 tem resto 1 e 5 : 2 tamb´m.
                                                                          e
Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA
                  3   10 ≡ 5(mod 5), pois deixam resto 0 na divis˜o por 5.
                                                                 a
Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                               Profo Jos´ S´rgio
                                        e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                              ca       u
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
                Exemplos
 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e


Itens

Motiva¸˜o
      ca          1   15 ≡ 3 (mod 4), pois 15 : 4 tem resto 3 e 3 : 4 tamb´m.
                                                                          e
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o             2   21 ≡ 5 (mod 2), pois 21 : 2 tem resto 1 e 5 : 2 tamb´m.
                                                                          e
Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA
                  3   10 ≡ 5(mod 5), pois deixam resto 0 na divis˜o por 5.
                                                                 a
Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                               Profo Jos´ S´rgio
                                        e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                              ca       u
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
                Exemplos
 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e


Itens

Motiva¸˜o
      ca          1   15 ≡ 3 (mod 4), pois 15 : 4 tem resto 3 e 3 : 4 tamb´m.
                                                                          e
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o             2   21 ≡ 5 (mod 2), pois 21 : 2 tem resto 1 e 5 : 2 tamb´m.
                                                                          e
Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA
                  3   10 ≡ 5(mod 5), pois deixam resto 0 na divis˜o por 5.
                                                                 a
Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                               Profo Jos´ S´rgio
                                        e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                              ca       u
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
                - Anel dos Inteiros M´dulo n, Zn :
                                     o
   n´meros
    u
    primos
                    Indicaremos por a a classe de todos os inteiros
 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e               congruentes a a m´dulo n. Exemplo:
                                      o
Itens                 1   Em m´dulo 4 temos
                              o
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca                       0 = {..., −8, −4, 0, 4, ...}
Um pouco de
Hist´ria
    o                           1 = {..., −7, −3, 1, 5, ...}
Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o                             2 = {..., −6, −2, 2, 6, ...}
RSA

Metodologia                     3 = {..., −5, −1, 3, 7, ...}
Exemplo

Como quebrar
o RSA?
                          Portanto, Z4 = {0, 1, 2, 3}
Referˆncias
     e

                               Profo Jos´ S´rgio
                                        e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                              ca       u
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
                - Anel dos Inteiros M´dulo n, Zn :
                                     o
   n´meros
    u
    primos
                    Indicaremos por a a classe de todos os inteiros
 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e               congruentes a a m´dulo n. Exemplo:
                                      o
Itens                 1   Em m´dulo 4 temos
                              o
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca                       0 = {..., −8, −4, 0, 4, ...}
Um pouco de
Hist´ria
    o                           1 = {..., −7, −3, 1, 5, ...}
Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o                             2 = {..., −6, −2, 2, 6, ...}
RSA

Metodologia                     3 = {..., −5, −1, 3, 7, ...}
Exemplo

Como quebrar
o RSA?
                          Portanto, Z4 = {0, 1, 2, 3}
Referˆncias
     e

                               Profo Jos´ S´rgio
                                        e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                              ca       u
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e


Itens
                    Em geral, temos que
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o
                                   Zn = {0, 1, ..., n − 1}
Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA

Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                            Profo Jos´ S´rgio
                                     e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                           ca       u
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u           - Unidades em Zn :
    primos

 Profo Jos´
   S´rgio
    e
          e     Dizemos que a ´ uma unidade em Zn quando
                               e
                a · x ≡ 1 (mod n), para algum x ∈ Zn .
Itens

Motiva¸˜o
      ca
                    Em Z6 temos
Introdu¸˜o
       ca
                         U(Z6 ) = U(6) = {1, 5} pois,
Um pouco de
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o                      1 · 1 = 1 ≡ 1 (mod 6).
RSA

Metodologia

Exemplo
                         5 · 5 = 25 ≡ 1 (mod 6).
Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                            Profo Jos´ S´rgio
                                     e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                           ca       u
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e     - Fun¸˜o ϕ de Euler:
                     ca
   S´rgio
    e


Itens

Motiva¸˜o
      ca
                Se p e q s˜o dois n´meros primos distintos, definimos a fun¸˜o
                          a        u                                      ca
Introdu¸˜o
       ca
                ϕ de Euler da seguinte forma:
Um pouco de
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o                   ϕ(p) = p − 1               e      ϕ(pq) = (p − 1)(q − 1)
RSA

Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e            Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                                ca       u
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
                    Encontrar a fun¸˜o ϕ de Euler para x ∈ Z+ , significa
                                   ca
 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e               descobrir:
Itens

Motiva¸˜o
      ca            “quantos inteiros positivos t, com t < x, s˜o coprimos
                                                               a
Introdu¸˜o
       ca           com x, ou seja, onde mdc(x, t) = 1.”
Um pouco de
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
Te´rica do
  o
           ca
                    Exemplo:
RSA

Metodologia         ϕ(9) = 6, j´ que nesse caso, t ∈ {1, 2, 4, 5, 7, 8}.
                               a
Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                               Profo Jos´ S´rgio
                                        e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                              ca       u
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
                    Encontrar a fun¸˜o ϕ de Euler para x ∈ Z+ , significa
                                   ca
 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e               descobrir:
Itens

Motiva¸˜o
      ca            “quantos inteiros positivos t, com t < x, s˜o coprimos
                                                               a
Introdu¸˜o
       ca           com x, ou seja, onde mdc(x, t) = 1.”
Um pouco de
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
Te´rica do
  o
           ca
                    Exemplo:
RSA

Metodologia         ϕ(9) = 6, j´ que nesse caso, t ∈ {1, 2, 4, 5, 7, 8}.
                               a
Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                               Profo Jos´ S´rgio
                                        e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                              ca       u
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
                    Encontrar a fun¸˜o ϕ de Euler para x ∈ Z+ , significa
                                   ca
 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e               descobrir:
Itens

Motiva¸˜o
      ca            “quantos inteiros positivos t, com t < x, s˜o coprimos
                                                               a
Introdu¸˜o
       ca           com x, ou seja, onde mdc(x, t) = 1.”
Um pouco de
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
Te´rica do
  o
           ca
                    Exemplo:
RSA

Metodologia         ϕ(9) = 6, j´ que nesse caso, t ∈ {1, 2, 4, 5, 7, 8}.
                               a
Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                               Profo Jos´ S´rgio
                                        e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                              ca       u
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos      A implementa¸˜o do RSA necessita de uma chave p´blica e de
                             ca                                u
 Profo Jos´
   S´rgio
    e
          e     uma chave privada.

Itens

Motiva¸˜o
      ca
                    Chave p´blica: par ordenado de n´meros, utilizado para
                             u                      u
Introdu¸˜o
       ca           codificar uma mensagem.
Um pouco de
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA
                    Chave privada: par ordenado de n´meros, utilizado para
                                                    u
Metodologia         decodificar uma mensagem previamente codificada.
Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos      A implementa¸˜o do RSA necessita de uma chave p´blica e de
                             ca                                u
 Profo Jos´
   S´rgio
    e
          e     uma chave privada.

Itens

Motiva¸˜o
      ca
                    Chave p´blica: par ordenado de n´meros, utilizado para
                             u                      u
Introdu¸˜o
       ca           codificar uma mensagem.
Um pouco de
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA
                    Chave privada: par ordenado de n´meros, utilizado para
                                                    u
Metodologia         decodificar uma mensagem previamente codificada.
Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
                    Escolhe-se p e q primos distintos.
    primos

 Profo Jos´
          e         Calcula-se n = pq.
   S´rgio
    e

                    Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).
Itens

Motiva¸˜o
      ca            Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) com
Introdu¸˜o
       ca
                    mdc(ϕ(n), e) = 1.
Um pouco de
Hist´ria
    o
                    Encontra-se d, tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso ´, d ´ o
                                                                      e    e
Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o                 inverso de e mod (ϕ(n)).
RSA

Metodologia
                    O par (n, e) ser´ a chave p´blica.
                                    a          u
Exemplo

Como quebrar        O par (n, d) ser´ a chave privada.
                                    a
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
                    Escolhe-se p e q primos distintos.
    primos

 Profo Jos´
          e         Calcula-se n = pq.
   S´rgio
    e

                    Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).
Itens

Motiva¸˜o
      ca            Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) com
Introdu¸˜o
       ca
                    mdc(ϕ(n), e) = 1.
Um pouco de
Hist´ria
    o
                    Encontra-se d, tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso ´, d ´ o
                                                                      e    e
Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o                 inverso de e mod (ϕ(n)).
RSA

Metodologia
                    O par (n, e) ser´ a chave p´blica.
                                    a          u
Exemplo

Como quebrar        O par (n, d) ser´ a chave privada.
                                    a
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
                    Escolhe-se p e q primos distintos.
    primos

 Profo Jos´
          e         Calcula-se n = pq.
   S´rgio
    e

                    Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).
Itens

Motiva¸˜o
      ca            Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) com
Introdu¸˜o
       ca
                    mdc(ϕ(n), e) = 1.
Um pouco de
Hist´ria
    o
                    Encontra-se d, tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso ´, d ´ o
                                                                      e    e
Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o                 inverso de e mod (ϕ(n)).
RSA

Metodologia
                    O par (n, e) ser´ a chave p´blica.
                                    a          u
Exemplo

Como quebrar        O par (n, d) ser´ a chave privada.
                                    a
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
                    Escolhe-se p e q primos distintos.
    primos

 Profo Jos´
          e         Calcula-se n = pq.
   S´rgio
    e

                    Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).
Itens

Motiva¸˜o
      ca            Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) com
Introdu¸˜o
       ca
                    mdc(ϕ(n), e) = 1.
Um pouco de
Hist´ria
    o
                    Encontra-se d, tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso ´, d ´ o
                                                                      e    e
Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o                 inverso de e mod (ϕ(n)).
RSA

Metodologia
                    O par (n, e) ser´ a chave p´blica.
                                    a          u
Exemplo

Como quebrar        O par (n, d) ser´ a chave privada.
                                    a
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
                    Escolhe-se p e q primos distintos.
    primos

 Profo Jos´
          e         Calcula-se n = pq.
   S´rgio
    e

                    Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).
Itens

Motiva¸˜o
      ca            Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) com
Introdu¸˜o
       ca
                    mdc(ϕ(n), e) = 1.
Um pouco de
Hist´ria
    o
                    Encontra-se d, tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso ´, d ´ o
                                                                      e    e
Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o                 inverso de e mod (ϕ(n)).
RSA

Metodologia
                    O par (n, e) ser´ a chave p´blica.
                                    a          u
Exemplo

Como quebrar        O par (n, d) ser´ a chave privada.
                                    a
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
                    Escolhe-se p e q primos distintos.
    primos

 Profo Jos´
          e         Calcula-se n = pq.
   S´rgio
    e

                    Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).
Itens

Motiva¸˜o
      ca            Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) com
Introdu¸˜o
       ca
                    mdc(ϕ(n), e) = 1.
Um pouco de
Hist´ria
    o
                    Encontra-se d, tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso ´, d ´ o
                                                                      e    e
Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o                 inverso de e mod (ϕ(n)).
RSA

Metodologia
                    O par (n, e) ser´ a chave p´blica.
                                    a          u
Exemplo

Como quebrar        O par (n, d) ser´ a chave privada.
                                    a
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
                    Escolhe-se p e q primos distintos.
    primos

 Profo Jos´
          e         Calcula-se n = pq.
   S´rgio
    e

                    Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).
Itens

Motiva¸˜o
      ca            Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) com
Introdu¸˜o
       ca
                    mdc(ϕ(n), e) = 1.
Um pouco de
Hist´ria
    o
                    Encontra-se d, tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso ´, d ´ o
                                                                      e    e
Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o                 inverso de e mod (ϕ(n)).
RSA

Metodologia
                    O par (n, e) ser´ a chave p´blica.
                                    a          u
Exemplo

Como quebrar        O par (n, d) ser´ a chave privada.
                                    a
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
                    Converte-se as letras da mensagem em n´meros, usando a
                                                          u
                    tabela ASCII.
 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e


Itens
                    Teremos uma sequˆncia num´rica que deve ser quebrada
                                     e         e
Motiva¸˜o
      ca
                    em blocos menores do que n.
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de         Cada bloco m ser´ codificado usando a seguinte receita:
                                    a
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
                                        C (m) = me (mod n) = k
Te´rica do
  o
RSA

Metodologia         Para recuperar a mensagem codificada, usaremos a receita:
Exemplo
                                        D(k) = k d (mod n) = m
Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
                    Converte-se as letras da mensagem em n´meros, usando a
                                                          u
                    tabela ASCII.
 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e


Itens
                    Teremos uma sequˆncia num´rica que deve ser quebrada
                                     e         e
Motiva¸˜o
      ca
                    em blocos menores do que n.
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de         Cada bloco m ser´ codificado usando a seguinte receita:
                                    a
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
                                        C (m) = me (mod n) = k
Te´rica do
  o
RSA

Metodologia         Para recuperar a mensagem codificada, usaremos a receita:
Exemplo
                                        D(k) = k d (mod n) = m
Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
                    Converte-se as letras da mensagem em n´meros, usando a
                                                          u
                    tabela ASCII.
 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e


Itens
                    Teremos uma sequˆncia num´rica que deve ser quebrada
                                     e         e
Motiva¸˜o
      ca
                    em blocos menores do que n.
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de         Cada bloco m ser´ codificado usando a seguinte receita:
                                    a
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
                                        C (m) = me (mod n) = k
Te´rica do
  o
RSA

Metodologia         Para recuperar a mensagem codificada, usaremos a receita:
Exemplo
                                        D(k) = k d (mod n) = m
Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
                    Converte-se as letras da mensagem em n´meros, usando a
                                                          u
                    tabela ASCII.
 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e


Itens
                    Teremos uma sequˆncia num´rica que deve ser quebrada
                                     e         e
Motiva¸˜o
      ca
                    em blocos menores do que n.
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de         Cada bloco m ser´ codificado usando a seguinte receita:
                                    a
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
                                        C (m) = me (mod n) = k
Te´rica do
  o
RSA

Metodologia         Para recuperar a mensagem codificada, usaremos a receita:
Exemplo
                                        D(k) = k d (mod n) = m
Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
                    A Tabela ASCII (American Standard Code for Information
   S´rgio
    e               Interchange) ´ usada pela maior parte da ind´stria de
                                 e                              u
Itens               computadores para a troca de informa¸˜es.
                                                         co
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca
                    Cada caracter ´ representado por um c´digo de 8 bits (um
                                  e                      o
Um pouco de
Hist´ria
    o               byte).
Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA
                    Apresetamos a seguir um resumo da tabela ASCII.
Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
                    A Tabela ASCII (American Standard Code for Information
   S´rgio
    e               Interchange) ´ usada pela maior parte da ind´stria de
                                 e                              u
Itens               computadores para a troca de informa¸˜es.
                                                         co
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca
                    Cada caracter ´ representado por um c´digo de 8 bits (um
                                  e                      o
Um pouco de
Hist´ria
    o               byte).
Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA
                    Apresetamos a seguir um resumo da tabela ASCII.
Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
                    A Tabela ASCII (American Standard Code for Information
   S´rgio
    e               Interchange) ´ usada pela maior parte da ind´stria de
                                 e                              u
Itens               computadores para a troca de informa¸˜es.
                                                         co
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca
                    Cada caracter ´ representado por um c´digo de 8 bits (um
                                  e                      o
Um pouco de
Hist´ria
    o               byte).
Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA
                    Apresetamos a seguir um resumo da tabela ASCII.
Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e


Itens

Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA

Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                          Profo Jos´ S´rgio
                                   e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                         ca       u
Exemplo

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
                Vamos codificar a palavra PRIMO, usando p = 7 e q = 11.
   S´rgio
    e


Itens               n = p · q = 77,
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
                    ϕ(n) = (7 − 1) · (11 − 1) = 6 · 10 = 60,
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA                 e = 7 pois, 1 < 7 < ϕ(n) e mdc(ϕ(n), 7) = 1.
Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Exemplo

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
                Vamos codificar a palavra PRIMO, usando p = 7 e q = 11.
   S´rgio
    e


Itens               n = p · q = 77,
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
                    ϕ(n) = (7 − 1) · (11 − 1) = 6 · 10 = 60,
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA                 e = 7 pois, 1 < 7 < ϕ(n) e mdc(ϕ(n), 7) = 1.
Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Exemplo

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
                Vamos codificar a palavra PRIMO, usando p = 7 e q = 11.
   S´rgio
    e


Itens               n = p · q = 77,
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
                    ϕ(n) = (7 − 1) · (11 − 1) = 6 · 10 = 60,
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA                 e = 7 pois, 1 < 7 < ϕ(n) e mdc(ϕ(n), 7) = 1.
Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Exemplo

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos         A chave p´blica (chave de codifica¸˜o) ser´
                            u                       ca      a
        o
 Prof Jos´e
   S´rgio
    e                                  (n, e) = (77, 7)
Itens

Motiva¸˜o
      ca
                   d = 43, j´ que
                            a
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de                      43 · 7 = 301 ≡ 1 (mod 60).
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA
                   Logo, a chave privada (chave de decodifica¸˜o) ´ o par
                                                            ca e
Metodologia

Exemplo                                         (77, 43).
Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                            Profo Jos´ S´rgio
                                     e e           Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                              ca       u
Exemplo

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos         A chave p´blica (chave de codifica¸˜o) ser´
                            u                       ca      a
        o
 Prof Jos´e
   S´rgio
    e                                  (n, e) = (77, 7)
Itens

Motiva¸˜o
      ca
                   d = 43, j´ que
                            a
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de                      43 · 7 = 301 ≡ 1 (mod 60).
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA
                   Logo, a chave privada (chave de decodifica¸˜o) ´ o par
                                                            ca e
Metodologia

Exemplo                                         (77, 43).
Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                            Profo Jos´ S´rgio
                                     e e           Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                              ca       u
Exemplo

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos         A chave p´blica (chave de codifica¸˜o) ser´
                            u                       ca      a
        o
 Prof Jos´e
   S´rgio
    e                                  (n, e) = (77, 7)
Itens

Motiva¸˜o
      ca
                   d = 43, j´ que
                            a
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de                      43 · 7 = 301 ≡ 1 (mod 60).
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA
                   Logo, a chave privada (chave de decodifica¸˜o) ´ o par
                                                            ca e
Metodologia

Exemplo                                         (77, 43).
Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                            Profo Jos´ S´rgio
                                     e e           Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                              ca       u
Exemplo

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
                - Tabela de Codifica¸˜o
                                   ca
 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e
                      A Tabela de codifica¸˜o que itulizaremos ´ a seguinte:
                                         ca                   e
Itens

Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca        A     B    C       D       E        F    G      H        I       J     K       L         M
Um pouco de      10    11   12      13      14       15   16     17      18      19     20      21        22
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA
                 N     O    P       Q       R        S    T      U       V       W      X       Y         Z
Metodologia      23    24   25      26      27       28   29     30      31      32     33      34        35
Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                                 Profo Jos´ S´rgio
                                          e e         Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                                 ca       u
Exemplo

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
                Dessa forma, podemos concluir que
 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e


Itens
                    PRIMO = 2527182224.
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o
                    Uma forma de quebrar esse n´mero em blocos de valores
                                               u
Fundamenta¸˜o
           ca
                    menores que 77 ´
                                   e
Te´rica do
  o
RSA
                              2, 5, 2, 71, 8, 2, 22, 4
Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                            Profo Jos´ S´rgio
                                     e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                           ca       u
Exemplo

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
                Dessa forma, podemos concluir que
 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e


Itens
                    PRIMO = 2527182224.
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o
                    Uma forma de quebrar esse n´mero em blocos de valores
                                               u
Fundamenta¸˜o
           ca
                    menores que 77 ´
                                   e
Te´rica do
  o
RSA
                              2, 5, 2, 71, 8, 2, 22, 4
Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                            Profo Jos´ S´rgio
                                     e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                           ca       u
Exemplo

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
   S´rgio
    e
          e
                   A codifica¸˜o de cada bloco acima ´ dada por:
                            ca                      e

Itens

Motiva¸˜o
      ca
                   C (2) = 27 (mod 77) = 51                  C (5) = 57 (mod 77) = 47
Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de        C (71) = 36                                C (8) = 57
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA
                   C (22) = 22                                C (4) = 60
Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                            Profo Jos´ S´rgio
                                     e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                           ca       u
Exemplo

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e
                Portanto, a mensagem codificada ´
                                               e
Itens

Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
Hist´ria
    o
                          51 − 47 − 51 − 36 − 57 − 51 − 22 − 60
Fundamenta¸˜o
           ca
Te´rica do
  o
RSA

Metodologia

Exemplo

Como quebrar
o RSA?

Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Exemplo

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
                Para decodificar cada bloco j´ codificado faremos o seguinte:
                                            a
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e     D(51) = 5143 (mod 77) = 2                  D(47) = 4743 (mod 77) = 5
   S´rgio
    e


Itens           D(36) = 71                                 D(57) = 8
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca       D(22) = 22                                 D(60) = 4
Um pouco de
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
                    Logo, a sequˆncia decodificada ser´
                                e                    a
Te´rica do
  o
RSA                               2 − 5 − 2 − 71 − 8 − 2 − 22 − 4
Metodologia

Exemplo
                    Que corresponde, via tabela de convers˜o, ` palavra
                                                          a a
Como quebrar
o RSA?                                            PRIMO.
Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Exemplo

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
                Para decodificar cada bloco j´ codificado faremos o seguinte:
                                            a
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e     D(51) = 5143 (mod 77) = 2                  D(47) = 4743 (mod 77) = 5
   S´rgio
    e


Itens           D(36) = 71                                 D(57) = 8
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca       D(22) = 22                                 D(60) = 4
Um pouco de
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
           ca
                    Logo, a sequˆncia decodificada ser´
                                e                    a
Te´rica do
  o
RSA                               2 − 5 − 2 − 71 − 8 − 2 − 22 − 4
Metodologia

Exemplo
                    Que corresponde, via tabela de convers˜o, ` palavra
                                                          a a
Como quebrar
o RSA?                                            PRIMO.
Referˆncias
     e

                             Profo Jos´ S´rgio
                                      e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                            ca       u
Como quebrar o RSA?

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
                   A chave de decodifica¸˜o ´ (n, d).
                                       ca e
    primos

 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e
                   Todos conhecem n, mas d s´ ´ conhecido por uma pessoa
                                            oe
Itens              atorizada.
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
                   Para algu´m n˜o autorizado encontrar d ele deve:
                            e   a
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
Te´rica do
  o
           ca        1   Conhecer ϕ(n).
RSA

Metodologia          2   Para conhecer ϕ(n) ´ necess´rio conhecer p e q.
                                            e       a
Exemplo

Como quebrar
o RSA?
                     3   Ent˜o, basta fatorar n.
                            a
Referˆncias
     e

                              Profo Jos´ S´rgio
                                       e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                             ca       u
Como quebrar o RSA?

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
                   A chave de decodifica¸˜o ´ (n, d).
                                       ca e
    primos

 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e
                   Todos conhecem n, mas d s´ ´ conhecido por uma pessoa
                                            oe
Itens              atorizada.
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
                   Para algu´m n˜o autorizado encontrar d ele deve:
                            e   a
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
Te´rica do
  o
           ca        1   Conhecer ϕ(n).
RSA

Metodologia          2   Para conhecer ϕ(n) ´ necess´rio conhecer p e q.
                                            e       a
Exemplo

Como quebrar
o RSA?
                     3   Ent˜o, basta fatorar n.
                            a
Referˆncias
     e

                              Profo Jos´ S´rgio
                                       e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                             ca       u
Como quebrar o RSA?

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
                   A chave de decodifica¸˜o ´ (n, d).
                                       ca e
    primos

 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e
                   Todos conhecem n, mas d s´ ´ conhecido por uma pessoa
                                            oe
Itens              atorizada.
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
                   Para algu´m n˜o autorizado encontrar d ele deve:
                            e   a
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
Te´rica do
  o
           ca        1   Conhecer ϕ(n).
RSA

Metodologia          2   Para conhecer ϕ(n) ´ necess´rio conhecer p e q.
                                            e       a
Exemplo

Como quebrar
o RSA?
                     3   Ent˜o, basta fatorar n.
                            a
Referˆncias
     e

                              Profo Jos´ S´rgio
                                       e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                             ca       u
Como quebrar o RSA?

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
                   A chave de decodifica¸˜o ´ (n, d).
                                       ca e
    primos

 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e
                   Todos conhecem n, mas d s´ ´ conhecido por uma pessoa
                                            oe
Itens              atorizada.
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
                   Para algu´m n˜o autorizado encontrar d ele deve:
                            e   a
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
Te´rica do
  o
           ca        1   Conhecer ϕ(n).
RSA

Metodologia          2   Para conhecer ϕ(n) ´ necess´rio conhecer p e q.
                                            e       a
Exemplo

Como quebrar
o RSA?
                     3   Ent˜o, basta fatorar n.
                            a
Referˆncias
     e

                              Profo Jos´ S´rgio
                                       e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                             ca       u
Como quebrar o RSA?

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
                   A chave de decodifica¸˜o ´ (n, d).
                                       ca e
    primos

 Profo Jos´
          e
   S´rgio
    e
                   Todos conhecem n, mas d s´ ´ conhecido por uma pessoa
                                            oe
Itens              atorizada.
Motiva¸˜o
      ca

Introdu¸˜o
       ca

Um pouco de
                   Para algu´m n˜o autorizado encontrar d ele deve:
                            e   a
Hist´ria
    o

Fundamenta¸˜o
Te´rica do
  o
           ca        1   Conhecer ϕ(n).
RSA

Metodologia          2   Para conhecer ϕ(n) ´ necess´rio conhecer p e q.
                                            e       a
Exemplo

Como quebrar
o RSA?
                     3   Ent˜o, basta fatorar n.
                            a
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     e

                              Profo Jos´ S´rgio
                                       e e        Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos
                                                                             ca       u
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  • 1. Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros ca u Profo Jos´ e S´rgio e primos Itens Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Profo Jos´ S´rgio e e Um pouco de Hist´ria o Universidade Estadual de Montes Claros Fundamenta¸˜o ca Departamento de Ciˆncias Exatas/Centro de Ciˆncias Exatas e Tecnol´gicas e e o Te´rica do o Caixa Postal 126 – 39401-089 – Montes Claros – MG – Brasil RSA jsergiomat@lsi.cefetmg.br Metodologia Exemplo 9 de junho de 2010 Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 2. Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca 1 Motiva¸˜o ca n´meros u primos 2 Introdu¸˜o ca Profo Jos´ e S´rgio e 3 Um pouco de Hist´ria o Itens Motiva¸˜o ca 4 Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Introdu¸˜o ca Um pouco de 5 Metodologia Hist´ria o Fundamenta¸˜o Te´rica do o ca 6 Exemplo RSA Metodologia 7 Como quebrar o RSA? Exemplo Como quebrar 8 Referˆncias e o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 3. Motiva¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Relembrar alguns conceitos b´sicos da Teoria dos a Profo Jos´ S´rgio e e N´meros. u Itens Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Relembrar a defini¸˜o de N´meros Primos e suas principais ca u Um pouco de propriedades. Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Metodologia Mostrar uma das milhares de aplica¸˜es diretas da co Exemplo matem´tica no cotidiano do ser humano. a Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 4. Motiva¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Relembrar alguns conceitos b´sicos da Teoria dos a Profo Jos´ S´rgio e e N´meros. u Itens Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Relembrar a defini¸˜o de N´meros Primos e suas principais ca u Um pouco de propriedades. Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Metodologia Mostrar uma das milhares de aplica¸˜es diretas da co Exemplo matem´tica no cotidiano do ser humano. a Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 5. Motiva¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Relembrar alguns conceitos b´sicos da Teoria dos a Profo Jos´ S´rgio e e N´meros. u Itens Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Relembrar a defini¸˜o de N´meros Primos e suas principais ca u Um pouco de propriedades. Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Metodologia Mostrar uma das milhares de aplica¸˜es diretas da co Exemplo matem´tica no cotidiano do ser humano. a Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 6. Introdu¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Encaminhar mensagens de forma segura ´ uma pr´tica e a Profo Jos´ e S´rgio e antiga (Gr´cia Antiga). e Itens Motiva¸˜o ca Nos dias de hoje o sigilo de informa¸˜es ´ fundamental. co e Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o As mensagens transmitidas pela internet podem ser Fundamenta¸˜o ca interceptadas com certa facilidade. Te´rica do o RSA Metodologia Portanto, ´ necess´rio codific´-las. e a a Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 7. Introdu¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Encaminhar mensagens de forma segura ´ uma pr´tica e a Profo Jos´ e S´rgio e antiga (Gr´cia Antiga). e Itens Motiva¸˜o ca Nos dias de hoje o sigilo de informa¸˜es ´ fundamental. co e Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o As mensagens transmitidas pela internet podem ser Fundamenta¸˜o ca interceptadas com certa facilidade. Te´rica do o RSA Metodologia Portanto, ´ necess´rio codific´-las. e a a Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 8. Introdu¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Encaminhar mensagens de forma segura ´ uma pr´tica e a Profo Jos´ e S´rgio e antiga (Gr´cia Antiga). e Itens Motiva¸˜o ca Nos dias de hoje o sigilo de informa¸˜es ´ fundamental. co e Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o As mensagens transmitidas pela internet podem ser Fundamenta¸˜o ca interceptadas com certa facilidade. Te´rica do o RSA Metodologia Portanto, ´ necess´rio codific´-las. e a a Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 9. Introdu¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Encaminhar mensagens de forma segura ´ uma pr´tica e a Profo Jos´ e S´rgio e antiga (Gr´cia Antiga). e Itens Motiva¸˜o ca Nos dias de hoje o sigilo de informa¸˜es ´ fundamental. co e Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o As mensagens transmitidas pela internet podem ser Fundamenta¸˜o ca interceptadas com certa facilidade. Te´rica do o RSA Metodologia Portanto, ´ necess´rio codific´-las. e a a Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 10. Introdu¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e Para manter tais informa¸˜es em sigilo, foi necess´rio criar co a c´digos dif´ o ıceis de serem quebrados, mesmo com a ajuda Itens de computadores. Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca O c´digo (m´todo) mais utilizado nos dias de hoje ´ o o e e Te´rica do o RSA. RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 11. Introdu¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e Para manter tais informa¸˜es em sigilo, foi necess´rio criar co a c´digos dif´ o ıceis de serem quebrados, mesmo com a ajuda Itens de computadores. Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca O c´digo (m´todo) mais utilizado nos dias de hoje ´ o o e e Te´rica do o RSA. RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 12. Introdu¸˜o ca Criptografia RSA: uma O RSA, foi criado em 1978, por R. L. Rivest, A. Shamir e aplica¸˜o dos ca n´meros u L. Adleman, quando trabalhavam no M.I.T. primos Profo Jos´ e S´rgio e Itens Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 13. Introdu¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e A implementa¸˜o do m´todo depende da obten¸˜o de dois ca e ca Itens n´meros primos muito grandes. u Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Da´ a existˆncia desse trabalho, que dentre outras coisas, ı e Fundamenta¸˜o ca apresenta um algoritmo de verifica¸˜o de primalidade. ca Te´rica do o RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 14. Introdu¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e A implementa¸˜o do m´todo depende da obten¸˜o de dois ca e ca Itens n´meros primos muito grandes. u Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Da´ a existˆncia desse trabalho, que dentre outras coisas, ı e Fundamenta¸˜o ca apresenta um algoritmo de verifica¸˜o de primalidade. ca Te´rica do o RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 15. Introdu¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ S´rgio e e Criptologia = kryptos (esconder) + logos(estudo) Itens estudo do oculto Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Criptografia = kryptos (esconder) + graphia(escrita) Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA arte de esconder mensagens Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 16. Introdu¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ S´rgio e e Criptologia = kryptos (esconder) + logos(estudo) Itens estudo do oculto Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Criptografia = kryptos (esconder) + graphia(escrita) Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA arte de esconder mensagens Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 17. Introdu¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ S´rgio e e Decifrar Itens ler a mensagem sem autoriza¸˜o ca Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Decodificar Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA ler a mensagem com autoriza¸˜o ca Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 18. Introdu¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ S´rgio e e Decifrar Itens ler a mensagem sem autoriza¸˜o ca Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Decodificar Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA ler a mensagem com autoriza¸˜o ca Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 19. Um pouco de Hist´ria o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca O primeiro a utilizar a criptografia como meio de esconder n´meros u primos informa¸˜es secretas foi C´sar. co e Profo Jos´ e S´rgio e Itens Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 20. Um pouco de Hist´ria o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e O c´digo de C´sar foi utilizado por muito tempo para o e Itens transmitir mensagens militares. Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Ela ´ um tipo de cifra de substitui¸˜o na qual cada letra e ca Hist´ria o do texto ´ substitu´ por outra, que se apresenta no e ıda Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o alfabeto abaixo dela um n´mero fixo de vezes. u RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 21. Um pouco de Hist´ria o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e O c´digo de C´sar foi utilizado por muito tempo para o e Itens transmitir mensagens militares. Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Ela ´ um tipo de cifra de substitui¸˜o na qual cada letra e ca Hist´ria o do texto ´ substitu´ por outra, que se apresenta no e ıda Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o alfabeto abaixo dela um n´mero fixo de vezes. u RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 22. Um pouco de Hist´ria o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e Um exemplo do c´digo de C´sar ´ o seguinte: o e e S´rgio e Itens A B C D E F G H I J K L M Motiva¸˜o ca D E F G H I J K L M N O P Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o N O P Q R S T U V W X Y Z RSA Q R S T U V W X Y Z A B C Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 23. Um pouco de Hist´ria o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u Basicamente, o que o c´digo acima faz, ´ transladar as letras o e primos do alfabeto. Profo Jos´ e S´rgio e Itens Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 24. Um pouco de Hist´ria o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e Dessa forma, a codifica¸˜o de “Pesquisa cient´ ca ıfica” ser´: a S´rgio e Itens Shvtxlvd flhqwlifld Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o J´ a decodifica¸˜o de “D Pdwhpdwlfd h mlqgd!” ´: a ca e Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA A Matem´tica ´ linda! a e Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 25. Um pouco de Hist´ria o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e Dessa forma, a codifica¸˜o de “Pesquisa cient´ ca ıfica” ser´: a S´rgio e Itens Shvtxlvd flhqwlifld Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o J´ a decodifica¸˜o de “D Pdwhpdwlfd h mlqgd!” ´: a ca e Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA A Matem´tica ´ linda! a e Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 26. Um pouco de Hist´ria o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos ´ E um m´todo interessante, mas com imperfei¸˜es graves: e co Profo Jos´ e S´rgio e Itens Motiva¸˜o ca ´ E de f´cil decodifica¸˜o (frequˆncia das letras). a ca e Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Saber codificar implica em saber decodificar. Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Precisa de um canal seguro. Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 27. Um pouco de Hist´ria o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos ´ E um m´todo interessante, mas com imperfei¸˜es graves: e co Profo Jos´ e S´rgio e Itens Motiva¸˜o ca ´ E de f´cil decodifica¸˜o (frequˆncia das letras). a ca e Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Saber codificar implica em saber decodificar. Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Precisa de um canal seguro. Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 28. Um pouco de Hist´ria o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos ´ E um m´todo interessante, mas com imperfei¸˜es graves: e co Profo Jos´ e S´rgio e Itens Motiva¸˜o ca ´ E de f´cil decodifica¸˜o (frequˆncia das letras). a ca e Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Saber codificar implica em saber decodificar. Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Precisa de um canal seguro. Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 29. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca Existem dois tipos de c´digos criptogr´ficos: o a n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e 1 Chave secreta Itens Saber codificar implica em saber decodificar. Motiva¸˜o ca Precisa de canal seguro. Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca 2 Chave P´blica u Te´rica do o RSA Saber codificar n˜o implica saber decodificar. a Metodologia N˜o precisa de canal seguro. a Exemplo Como quebrar O mais popular ´ o RSA. e o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 30. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca Existem dois tipos de c´digos criptogr´ficos: o a n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e 1 Chave secreta Itens Saber codificar implica em saber decodificar. Motiva¸˜o ca Precisa de canal seguro. Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca 2 Chave P´blica u Te´rica do o RSA Saber codificar n˜o implica saber decodificar. a Metodologia N˜o precisa de canal seguro. a Exemplo Como quebrar O mais popular ´ o RSA. e o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 31. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca Existem dois tipos de c´digos criptogr´ficos: o a n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e 1 Chave secreta Itens Saber codificar implica em saber decodificar. Motiva¸˜o ca Precisa de canal seguro. Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca 2 Chave P´blica u Te´rica do o RSA Saber codificar n˜o implica saber decodificar. a Metodologia N˜o precisa de canal seguro. a Exemplo Como quebrar O mais popular ´ o RSA. e o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 32. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca Existem dois tipos de c´digos criptogr´ficos: o a n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e 1 Chave secreta Itens Saber codificar implica em saber decodificar. Motiva¸˜o ca Precisa de canal seguro. Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca 2 Chave P´blica u Te´rica do o RSA Saber codificar n˜o implica saber decodificar. a Metodologia N˜o precisa de canal seguro. a Exemplo Como quebrar O mais popular ´ o RSA. e o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 33. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca Existem dois tipos de c´digos criptogr´ficos: o a n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e 1 Chave secreta Itens Saber codificar implica em saber decodificar. Motiva¸˜o ca Precisa de canal seguro. Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca 2 Chave P´blica u Te´rica do o RSA Saber codificar n˜o implica saber decodificar. a Metodologia N˜o precisa de canal seguro. a Exemplo Como quebrar O mais popular ´ o RSA. e o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 34. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca Existem dois tipos de c´digos criptogr´ficos: o a n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e 1 Chave secreta Itens Saber codificar implica em saber decodificar. Motiva¸˜o ca Precisa de canal seguro. Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca 2 Chave P´blica u Te´rica do o RSA Saber codificar n˜o implica saber decodificar. a Metodologia N˜o precisa de canal seguro. a Exemplo Como quebrar O mais popular ´ o RSA. e o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 35. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca Existem dois tipos de c´digos criptogr´ficos: o a n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e 1 Chave secreta Itens Saber codificar implica em saber decodificar. Motiva¸˜o ca Precisa de canal seguro. Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca 2 Chave P´blica u Te´rica do o RSA Saber codificar n˜o implica saber decodificar. a Metodologia N˜o precisa de canal seguro. a Exemplo Como quebrar O mais popular ´ o RSA. e o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 36. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ S´rgio e e Basicamente, o RSA se baseia nos seguintes fatos: Itens Motiva¸˜o ca Existem infinitos n´meros primos. u Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o Te´rica do o ca Quanto maior for um n´mero, mais dif´ de fator´-lo. u ıcil a RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 37. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ S´rgio e e Basicamente, o RSA se baseia nos seguintes fatos: Itens Motiva¸˜o ca Existem infinitos n´meros primos. u Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o Te´rica do o ca Quanto maior for um n´mero, mais dif´ de fator´-lo. u ıcil a RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 38. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e Sendo assim, para entender o RSA ´ necess´rio: e a S´rgio e Itens Motiva¸˜o ca Um bom conhecimento de resultados da Teoria dos Introdu¸˜o ca N´meros. u Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o Principalmente dos que se referem aos n´meros primos. u RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 39. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e Sendo assim, para entender o RSA ´ necess´rio: e a S´rgio e Itens Motiva¸˜o ca Um bom conhecimento de resultados da Teoria dos Introdu¸˜o ca N´meros. u Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o Principalmente dos que se referem aos n´meros primos. u RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 40. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos - N´meros Primos (Defini¸˜o e exemplos) u ca Profo Jos´ e S´rgio e Itens Um n´mero inteiro positivo p = 1 ´ dito primo, se possui u e Motiva¸˜o ca apenas dois divisores. Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Portanto, esses divisores devem ser a unidade e o pr´prio o Fundamenta¸˜o ca n´mero. u Te´rica do o RSA Metodologia Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,..., 41, 43, 47, ... Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 41. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos - N´meros Primos (Defini¸˜o e exemplos) u ca Profo Jos´ e S´rgio e Itens Um n´mero inteiro positivo p = 1 ´ dito primo, se possui u e Motiva¸˜o ca apenas dois divisores. Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Portanto, esses divisores devem ser a unidade e o pr´prio o Fundamenta¸˜o ca n´mero. u Te´rica do o RSA Metodologia Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,..., 41, 43, 47, ... Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 42. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos - N´meros Primos (Defini¸˜o e exemplos) u ca Profo Jos´ e S´rgio e Itens Um n´mero inteiro positivo p = 1 ´ dito primo, se possui u e Motiva¸˜o ca apenas dois divisores. Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Portanto, esses divisores devem ser a unidade e o pr´prio o Fundamenta¸˜o ca n´mero. u Te´rica do o RSA Metodologia Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,..., 41, 43, 47, ... Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 43. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e Itens Exemplo de um algoritmo de verifica¸˜o de primalidade, ca Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca implementado em linguagem JAVA. Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 44. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u Vamos, agora, estudar a Matem´tica b´sica para se a a primos entender o RSA Profo Jos´ e S´rgio e Itens - Congruˆncia M´dulo n: e o Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Dizemos que a, b ∈ Z s˜o congruentes m´dulo n se, e a o Fundamenta¸˜o ca somente se, a e b deixam o mesmo resto na divis˜o por n. a Te´rica do o RSA Quando isso ocorrer, escrevemos Metodologia Exemplo a ≡ b (mod n) Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 45. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Exemplos Profo Jos´ e S´rgio e Itens Motiva¸˜o ca 1 15 ≡ 3 (mod 4), pois 15 : 4 tem resto 3 e 3 : 4 tamb´m. e Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o 2 21 ≡ 5 (mod 2), pois 21 : 2 tem resto 1 e 5 : 2 tamb´m. e Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA 3 10 ≡ 5(mod 5), pois deixam resto 0 na divis˜o por 5. a Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 46. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Exemplos Profo Jos´ e S´rgio e Itens Motiva¸˜o ca 1 15 ≡ 3 (mod 4), pois 15 : 4 tem resto 3 e 3 : 4 tamb´m. e Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o 2 21 ≡ 5 (mod 2), pois 21 : 2 tem resto 1 e 5 : 2 tamb´m. e Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA 3 10 ≡ 5(mod 5), pois deixam resto 0 na divis˜o por 5. a Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 47. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Exemplos Profo Jos´ e S´rgio e Itens Motiva¸˜o ca 1 15 ≡ 3 (mod 4), pois 15 : 4 tem resto 3 e 3 : 4 tamb´m. e Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o 2 21 ≡ 5 (mod 2), pois 21 : 2 tem resto 1 e 5 : 2 tamb´m. e Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA 3 10 ≡ 5(mod 5), pois deixam resto 0 na divis˜o por 5. a Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 48. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca - Anel dos Inteiros M´dulo n, Zn : o n´meros u primos Indicaremos por a a classe de todos os inteiros Profo Jos´ e S´rgio e congruentes a a m´dulo n. Exemplo: o Itens 1 Em m´dulo 4 temos o Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca 0 = {..., −8, −4, 0, 4, ...} Um pouco de Hist´ria o 1 = {..., −7, −3, 1, 5, ...} Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o 2 = {..., −6, −2, 2, 6, ...} RSA Metodologia 3 = {..., −5, −1, 3, 7, ...} Exemplo Como quebrar o RSA? Portanto, Z4 = {0, 1, 2, 3} Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 49. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca - Anel dos Inteiros M´dulo n, Zn : o n´meros u primos Indicaremos por a a classe de todos os inteiros Profo Jos´ e S´rgio e congruentes a a m´dulo n. Exemplo: o Itens 1 Em m´dulo 4 temos o Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca 0 = {..., −8, −4, 0, 4, ...} Um pouco de Hist´ria o 1 = {..., −7, −3, 1, 5, ...} Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o 2 = {..., −6, −2, 2, 6, ...} RSA Metodologia 3 = {..., −5, −1, 3, 7, ...} Exemplo Como quebrar o RSA? Portanto, Z4 = {0, 1, 2, 3} Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 50. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e Itens Em geral, temos que Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Zn = {0, 1, ..., n − 1} Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 51. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u - Unidades em Zn : primos Profo Jos´ S´rgio e e Dizemos que a ´ uma unidade em Zn quando e a · x ≡ 1 (mod n), para algum x ∈ Zn . Itens Motiva¸˜o ca Em Z6 temos Introdu¸˜o ca U(Z6 ) = U(6) = {1, 5} pois, Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o 1 · 1 = 1 ≡ 1 (mod 6). RSA Metodologia Exemplo 5 · 5 = 25 ≡ 1 (mod 6). Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 52. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e - Fun¸˜o ϕ de Euler: ca S´rgio e Itens Motiva¸˜o ca Se p e q s˜o dois n´meros primos distintos, definimos a fun¸˜o a u ca Introdu¸˜o ca ϕ de Euler da seguinte forma: Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o ϕ(p) = p − 1 e ϕ(pq) = (p − 1)(q − 1) RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 53. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Encontrar a fun¸˜o ϕ de Euler para x ∈ Z+ , significa ca Profo Jos´ e S´rgio e descobrir: Itens Motiva¸˜o ca “quantos inteiros positivos t, com t < x, s˜o coprimos a Introdu¸˜o ca com x, ou seja, onde mdc(x, t) = 1.” Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o Te´rica do o ca Exemplo: RSA Metodologia ϕ(9) = 6, j´ que nesse caso, t ∈ {1, 2, 4, 5, 7, 8}. a Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 54. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Encontrar a fun¸˜o ϕ de Euler para x ∈ Z+ , significa ca Profo Jos´ e S´rgio e descobrir: Itens Motiva¸˜o ca “quantos inteiros positivos t, com t < x, s˜o coprimos a Introdu¸˜o ca com x, ou seja, onde mdc(x, t) = 1.” Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o Te´rica do o ca Exemplo: RSA Metodologia ϕ(9) = 6, j´ que nesse caso, t ∈ {1, 2, 4, 5, 7, 8}. a Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 55. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Encontrar a fun¸˜o ϕ de Euler para x ∈ Z+ , significa ca Profo Jos´ e S´rgio e descobrir: Itens Motiva¸˜o ca “quantos inteiros positivos t, com t < x, s˜o coprimos a Introdu¸˜o ca com x, ou seja, onde mdc(x, t) = 1.” Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o Te´rica do o ca Exemplo: RSA Metodologia ϕ(9) = 6, j´ que nesse caso, t ∈ {1, 2, 4, 5, 7, 8}. a Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 56. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos A implementa¸˜o do RSA necessita de uma chave p´blica e de ca u Profo Jos´ S´rgio e e uma chave privada. Itens Motiva¸˜o ca Chave p´blica: par ordenado de n´meros, utilizado para u u Introdu¸˜o ca codificar uma mensagem. Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Chave privada: par ordenado de n´meros, utilizado para u Metodologia decodificar uma mensagem previamente codificada. Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 57. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos A implementa¸˜o do RSA necessita de uma chave p´blica e de ca u Profo Jos´ S´rgio e e uma chave privada. Itens Motiva¸˜o ca Chave p´blica: par ordenado de n´meros, utilizado para u u Introdu¸˜o ca codificar uma mensagem. Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Chave privada: par ordenado de n´meros, utilizado para u Metodologia decodificar uma mensagem previamente codificada. Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 58. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u Escolhe-se p e q primos distintos. primos Profo Jos´ e Calcula-se n = pq. S´rgio e Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1). Itens Motiva¸˜o ca Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) com Introdu¸˜o ca mdc(ϕ(n), e) = 1. Um pouco de Hist´ria o Encontra-se d, tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso ´, d ´ o e e Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o inverso de e mod (ϕ(n)). RSA Metodologia O par (n, e) ser´ a chave p´blica. a u Exemplo Como quebrar O par (n, d) ser´ a chave privada. a o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 59. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u Escolhe-se p e q primos distintos. primos Profo Jos´ e Calcula-se n = pq. S´rgio e Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1). Itens Motiva¸˜o ca Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) com Introdu¸˜o ca mdc(ϕ(n), e) = 1. Um pouco de Hist´ria o Encontra-se d, tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso ´, d ´ o e e Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o inverso de e mod (ϕ(n)). RSA Metodologia O par (n, e) ser´ a chave p´blica. a u Exemplo Como quebrar O par (n, d) ser´ a chave privada. a o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 60. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u Escolhe-se p e q primos distintos. primos Profo Jos´ e Calcula-se n = pq. S´rgio e Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1). Itens Motiva¸˜o ca Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) com Introdu¸˜o ca mdc(ϕ(n), e) = 1. Um pouco de Hist´ria o Encontra-se d, tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso ´, d ´ o e e Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o inverso de e mod (ϕ(n)). RSA Metodologia O par (n, e) ser´ a chave p´blica. a u Exemplo Como quebrar O par (n, d) ser´ a chave privada. a o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 61. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u Escolhe-se p e q primos distintos. primos Profo Jos´ e Calcula-se n = pq. S´rgio e Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1). Itens Motiva¸˜o ca Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) com Introdu¸˜o ca mdc(ϕ(n), e) = 1. Um pouco de Hist´ria o Encontra-se d, tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso ´, d ´ o e e Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o inverso de e mod (ϕ(n)). RSA Metodologia O par (n, e) ser´ a chave p´blica. a u Exemplo Como quebrar O par (n, d) ser´ a chave privada. a o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 62. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u Escolhe-se p e q primos distintos. primos Profo Jos´ e Calcula-se n = pq. S´rgio e Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1). Itens Motiva¸˜o ca Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) com Introdu¸˜o ca mdc(ϕ(n), e) = 1. Um pouco de Hist´ria o Encontra-se d, tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso ´, d ´ o e e Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o inverso de e mod (ϕ(n)). RSA Metodologia O par (n, e) ser´ a chave p´blica. a u Exemplo Como quebrar O par (n, d) ser´ a chave privada. a o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 63. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u Escolhe-se p e q primos distintos. primos Profo Jos´ e Calcula-se n = pq. S´rgio e Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1). Itens Motiva¸˜o ca Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) com Introdu¸˜o ca mdc(ϕ(n), e) = 1. Um pouco de Hist´ria o Encontra-se d, tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso ´, d ´ o e e Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o inverso de e mod (ϕ(n)). RSA Metodologia O par (n, e) ser´ a chave p´blica. a u Exemplo Como quebrar O par (n, d) ser´ a chave privada. a o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 64. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u Escolhe-se p e q primos distintos. primos Profo Jos´ e Calcula-se n = pq. S´rgio e Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1). Itens Motiva¸˜o ca Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) com Introdu¸˜o ca mdc(ϕ(n), e) = 1. Um pouco de Hist´ria o Encontra-se d, tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso ´, d ´ o e e Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o inverso de e mod (ϕ(n)). RSA Metodologia O par (n, e) ser´ a chave p´blica. a u Exemplo Como quebrar O par (n, d) ser´ a chave privada. a o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 65. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Converte-se as letras da mensagem em n´meros, usando a u tabela ASCII. Profo Jos´ e S´rgio e Itens Teremos uma sequˆncia num´rica que deve ser quebrada e e Motiva¸˜o ca em blocos menores do que n. Introdu¸˜o ca Um pouco de Cada bloco m ser´ codificado usando a seguinte receita: a Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca C (m) = me (mod n) = k Te´rica do o RSA Metodologia Para recuperar a mensagem codificada, usaremos a receita: Exemplo D(k) = k d (mod n) = m Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 66. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Converte-se as letras da mensagem em n´meros, usando a u tabela ASCII. Profo Jos´ e S´rgio e Itens Teremos uma sequˆncia num´rica que deve ser quebrada e e Motiva¸˜o ca em blocos menores do que n. Introdu¸˜o ca Um pouco de Cada bloco m ser´ codificado usando a seguinte receita: a Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca C (m) = me (mod n) = k Te´rica do o RSA Metodologia Para recuperar a mensagem codificada, usaremos a receita: Exemplo D(k) = k d (mod n) = m Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 67. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Converte-se as letras da mensagem em n´meros, usando a u tabela ASCII. Profo Jos´ e S´rgio e Itens Teremos uma sequˆncia num´rica que deve ser quebrada e e Motiva¸˜o ca em blocos menores do que n. Introdu¸˜o ca Um pouco de Cada bloco m ser´ codificado usando a seguinte receita: a Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca C (m) = me (mod n) = k Te´rica do o RSA Metodologia Para recuperar a mensagem codificada, usaremos a receita: Exemplo D(k) = k d (mod n) = m Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 68. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Converte-se as letras da mensagem em n´meros, usando a u tabela ASCII. Profo Jos´ e S´rgio e Itens Teremos uma sequˆncia num´rica que deve ser quebrada e e Motiva¸˜o ca em blocos menores do que n. Introdu¸˜o ca Um pouco de Cada bloco m ser´ codificado usando a seguinte receita: a Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca C (m) = me (mod n) = k Te´rica do o RSA Metodologia Para recuperar a mensagem codificada, usaremos a receita: Exemplo D(k) = k d (mod n) = m Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 69. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e A Tabela ASCII (American Standard Code for Information S´rgio e Interchange) ´ usada pela maior parte da ind´stria de e u Itens computadores para a troca de informa¸˜es. co Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Cada caracter ´ representado por um c´digo de 8 bits (um e o Um pouco de Hist´ria o byte). Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Apresetamos a seguir um resumo da tabela ASCII. Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 70. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e A Tabela ASCII (American Standard Code for Information S´rgio e Interchange) ´ usada pela maior parte da ind´stria de e u Itens computadores para a troca de informa¸˜es. co Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Cada caracter ´ representado por um c´digo de 8 bits (um e o Um pouco de Hist´ria o byte). Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Apresetamos a seguir um resumo da tabela ASCII. Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 71. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e A Tabela ASCII (American Standard Code for Information S´rgio e Interchange) ´ usada pela maior parte da ind´stria de e u Itens computadores para a troca de informa¸˜es. co Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Cada caracter ´ representado por um c´digo de 8 bits (um e o Um pouco de Hist´ria o byte). Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Apresetamos a seguir um resumo da tabela ASCII. Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 72. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e Itens Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 73. Exemplo Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e Vamos codificar a palavra PRIMO, usando p = 7 e q = 11. S´rgio e Itens n = p · q = 77, Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de ϕ(n) = (7 − 1) · (11 − 1) = 6 · 10 = 60, Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA e = 7 pois, 1 < 7 < ϕ(n) e mdc(ϕ(n), 7) = 1. Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 74. Exemplo Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e Vamos codificar a palavra PRIMO, usando p = 7 e q = 11. S´rgio e Itens n = p · q = 77, Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de ϕ(n) = (7 − 1) · (11 − 1) = 6 · 10 = 60, Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA e = 7 pois, 1 < 7 < ϕ(n) e mdc(ϕ(n), 7) = 1. Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 75. Exemplo Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e Vamos codificar a palavra PRIMO, usando p = 7 e q = 11. S´rgio e Itens n = p · q = 77, Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de ϕ(n) = (7 − 1) · (11 − 1) = 6 · 10 = 60, Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA e = 7 pois, 1 < 7 < ϕ(n) e mdc(ϕ(n), 7) = 1. Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 76. Exemplo Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos A chave p´blica (chave de codifica¸˜o) ser´ u ca a o Prof Jos´e S´rgio e (n, e) = (77, 7) Itens Motiva¸˜o ca d = 43, j´ que a Introdu¸˜o ca Um pouco de 43 · 7 = 301 ≡ 1 (mod 60). Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Logo, a chave privada (chave de decodifica¸˜o) ´ o par ca e Metodologia Exemplo (77, 43). Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 77. Exemplo Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos A chave p´blica (chave de codifica¸˜o) ser´ u ca a o Prof Jos´e S´rgio e (n, e) = (77, 7) Itens Motiva¸˜o ca d = 43, j´ que a Introdu¸˜o ca Um pouco de 43 · 7 = 301 ≡ 1 (mod 60). Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Logo, a chave privada (chave de decodifica¸˜o) ´ o par ca e Metodologia Exemplo (77, 43). Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 78. Exemplo Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos A chave p´blica (chave de codifica¸˜o) ser´ u ca a o Prof Jos´e S´rgio e (n, e) = (77, 7) Itens Motiva¸˜o ca d = 43, j´ que a Introdu¸˜o ca Um pouco de 43 · 7 = 301 ≡ 1 (mod 60). Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Logo, a chave privada (chave de decodifica¸˜o) ´ o par ca e Metodologia Exemplo (77, 43). Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 79. Exemplo Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos - Tabela de Codifica¸˜o ca Profo Jos´ e S´rgio e A Tabela de codifica¸˜o que itulizaremos ´ a seguinte: ca e Itens Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca A B C D E F G H I J K L M Um pouco de 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA N O P Q R S T U V W X Y Z Metodologia 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 80. Exemplo Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Dessa forma, podemos concluir que Profo Jos´ e S´rgio e Itens PRIMO = 2527182224. Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Uma forma de quebrar esse n´mero em blocos de valores u Fundamenta¸˜o ca menores que 77 ´ e Te´rica do o RSA 2, 5, 2, 71, 8, 2, 22, 4 Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 81. Exemplo Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Dessa forma, podemos concluir que Profo Jos´ e S´rgio e Itens PRIMO = 2527182224. Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Uma forma de quebrar esse n´mero em blocos de valores u Fundamenta¸˜o ca menores que 77 ´ e Te´rica do o RSA 2, 5, 2, 71, 8, 2, 22, 4 Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 82. Exemplo Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ S´rgio e e A codifica¸˜o de cada bloco acima ´ dada por: ca e Itens Motiva¸˜o ca C (2) = 27 (mod 77) = 51 C (5) = 57 (mod 77) = 47 Introdu¸˜o ca Um pouco de C (71) = 36 C (8) = 57 Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA C (22) = 22 C (4) = 60 Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 83. Exemplo Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e Portanto, a mensagem codificada ´ e Itens Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o 51 − 47 − 51 − 36 − 57 − 51 − 22 − 60 Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 84. Exemplo Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca Para decodificar cada bloco j´ codificado faremos o seguinte: a n´meros u primos Profo Jos´ e D(51) = 5143 (mod 77) = 2 D(47) = 4743 (mod 77) = 5 S´rgio e Itens D(36) = 71 D(57) = 8 Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca D(22) = 22 D(60) = 4 Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Logo, a sequˆncia decodificada ser´ e a Te´rica do o RSA 2 − 5 − 2 − 71 − 8 − 2 − 22 − 4 Metodologia Exemplo Que corresponde, via tabela de convers˜o, ` palavra a a Como quebrar o RSA? PRIMO. Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 85. Exemplo Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca Para decodificar cada bloco j´ codificado faremos o seguinte: a n´meros u primos Profo Jos´ e D(51) = 5143 (mod 77) = 2 D(47) = 4743 (mod 77) = 5 S´rgio e Itens D(36) = 71 D(57) = 8 Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca D(22) = 22 D(60) = 4 Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Logo, a sequˆncia decodificada ser´ e a Te´rica do o RSA 2 − 5 − 2 − 71 − 8 − 2 − 22 − 4 Metodologia Exemplo Que corresponde, via tabela de convers˜o, ` palavra a a Como quebrar o RSA? PRIMO. Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 86. Como quebrar o RSA? Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u A chave de decodifica¸˜o ´ (n, d). ca e primos Profo Jos´ e S´rgio e Todos conhecem n, mas d s´ ´ conhecido por uma pessoa oe Itens atorizada. Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Para algu´m n˜o autorizado encontrar d ele deve: e a Hist´ria o Fundamenta¸˜o Te´rica do o ca 1 Conhecer ϕ(n). RSA Metodologia 2 Para conhecer ϕ(n) ´ necess´rio conhecer p e q. e a Exemplo Como quebrar o RSA? 3 Ent˜o, basta fatorar n. a Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 87. Como quebrar o RSA? Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u A chave de decodifica¸˜o ´ (n, d). ca e primos Profo Jos´ e S´rgio e Todos conhecem n, mas d s´ ´ conhecido por uma pessoa oe Itens atorizada. Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Para algu´m n˜o autorizado encontrar d ele deve: e a Hist´ria o Fundamenta¸˜o Te´rica do o ca 1 Conhecer ϕ(n). RSA Metodologia 2 Para conhecer ϕ(n) ´ necess´rio conhecer p e q. e a Exemplo Como quebrar o RSA? 3 Ent˜o, basta fatorar n. a Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 88. Como quebrar o RSA? Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u A chave de decodifica¸˜o ´ (n, d). ca e primos Profo Jos´ e S´rgio e Todos conhecem n, mas d s´ ´ conhecido por uma pessoa oe Itens atorizada. Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Para algu´m n˜o autorizado encontrar d ele deve: e a Hist´ria o Fundamenta¸˜o Te´rica do o ca 1 Conhecer ϕ(n). RSA Metodologia 2 Para conhecer ϕ(n) ´ necess´rio conhecer p e q. e a Exemplo Como quebrar o RSA? 3 Ent˜o, basta fatorar n. a Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 89. Como quebrar o RSA? Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u A chave de decodifica¸˜o ´ (n, d). ca e primos Profo Jos´ e S´rgio e Todos conhecem n, mas d s´ ´ conhecido por uma pessoa oe Itens atorizada. Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Para algu´m n˜o autorizado encontrar d ele deve: e a Hist´ria o Fundamenta¸˜o Te´rica do o ca 1 Conhecer ϕ(n). RSA Metodologia 2 Para conhecer ϕ(n) ´ necess´rio conhecer p e q. e a Exemplo Como quebrar o RSA? 3 Ent˜o, basta fatorar n. a Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  • 90. Como quebrar o RSA? Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u A chave de decodifica¸˜o ´ (n, d). ca e primos Profo Jos´ e S´rgio e Todos conhecem n, mas d s´ ´ conhecido por uma pessoa oe Itens atorizada. Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Para algu´m n˜o autorizado encontrar d ele deve: e a Hist´ria o Fundamenta¸˜o Te´rica do o ca 1 Conhecer ϕ(n). RSA Metodologia 2 Para conhecer ϕ(n) ´ necess´rio conhecer p e q. e a Exemplo Como quebrar o RSA? 3 Ent˜o, basta fatorar n. a Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u