1. GEOMETRIA E MEDIDA
´
NO ENSINO BASICO
Ana Breda
Lurdes Serrazina
Lu´ Menezes
ıs
H´lia Sousa
e
Paulo Oliveira
Maio de 2011

2. Brochura de apoio ao Programa de Matem´tica do Ensino B´sico (2007) para o
a
a
ensino da Geometria e Medida
Direc¸˜o-Geral de Inova¸˜o e Desenvolvimento Curricular (DGIDC) em:
ca
ca
http://area.dgidc.min-edu.pt/materiais_NPMEB/home.htm

3. Introdu¸˜o
ca
7
Sentido espacial
9
Orienta¸˜es gerais para o ensino da Geometria
co
13
Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca
13
Conceitos fundamentais do curr´
ıculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Abordagem did´ctica
a
17
Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca
17
A aprendizagem da Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Utiliza¸˜o de materiais manipul´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca
a
20
O papel das tecnologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
Orienta¸˜o espacial
ca
23
Posi¸˜o e localiza¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca
ca
23
Tarefas com coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Tarefa 1: Onde est˜o as figuras? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
25
Tarefa 2: Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
Tarefas envolvendo percursos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Tarefa 3: Qual ´ o caminho? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
27
Tarefa 4: A figura escondida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Tarefa 5: Tra¸ar percursos
c
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Tarefas sobre vistas de uma figura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Tarefa 6: Diferentes vistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Classifica¸˜o em Geometria
ca
35
Alguns exemplos de tarefas para os primeiros anos . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Tarefa 1: Comparar figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Tarefa 2: Composi¸˜o e decomposi¸˜o de figuras . . . . . . . . . . . . . . .
ca
ca
38
3

4. Paralelismo
43
Postulado das Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Tarefa 1: Rela¸˜o entre as medidas dos ˆngulos agudos de um triˆngulo
ca
a
a
rectˆngulo
a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
Tarefa 2: Rela¸˜o entre as medidas de um ˆngulo externo e dos ˆngulos
ca
a
a
internos n˜o adjacentes num triˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
a
49
Segmentos congruentes sobre secantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Teorema Fundamental da Proporcionalidade [TFP] . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
Rec´
ıproco do Teorema Fundamental da Proporcionalidade . . . . . . . . . . . . .
52
Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
Semelhan¸a de triˆngulos
c
a
53
Triˆngulos semelhantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
53
Alguns crit´rios de semelhan¸a de triˆngulos
e
c
a
53
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tarefa 1: Decomposi¸˜o do triˆngulo rectˆngulo pela altura correspondente
ca
a
a
a
` hipotenusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Medi¸˜es indirectas usando semelhan¸a de triˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . .
co
c
a
57
Tarefa 2: T´nel de Samos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u
58
Tarefa 3: Ecr˜s de televis˜o e filmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
a
59
Teorema de Pit´goras
a
63
Algumas demonstra¸˜es por decomposi¸˜o e usando semelhan¸as . . . . . . . . .
co
ca
c
63
Tarefa 1: Rela¸˜o entre as medidas da hipotenusa e do lado do triˆngulo
ca
a
rectˆngulo is´sceles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
o
66
Tarefa 2: Rela¸˜o entre catetos do triˆngulo rectˆngulo com ˆngulos de 30º
ca
a
a
a
e 60º . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
Rec´
ıproco do Teorema de Pit´goras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
67
Transforma¸˜es geom´tricas
co
e
69
Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca
69
Transforma¸˜es Geom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
co
e
70
Isometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
Reflex˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
77
Composi¸˜o de duas reflex˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca
o
83
Rota¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca
84
Transla¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca
88
Reflex˜o Deslizante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
91
Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
Frisos e Ros´ceas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
99
4

5. Tarefas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Tarefa 1: Simetria em tapetes de arraiolos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Tarefa 2: Itiner´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
a
Tarefa 3: Figuras com simetria rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Pavimenta¸˜es uniformes do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
co
Tarefa 4 : Pavimenta¸˜es Uniformes Regulares do Plano . . . . . . . . . . . 115
co
Tarefa 5: Pavimenta¸˜es Uniformes Semi-Regulares do Plano . . . . . . . . 117
co
Grandezas e Medida
121
O conceito de grandeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A opera¸˜o de medi¸˜o
ca
ca
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Unidades e instrumentos de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
´
Area de figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Tarefas sobre ´rea e per´
a
ımetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
´
Tarefa 1: Areas e per´
ımetros no geoplano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Tarefa 2: Figuras no tangram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
´
Tarefa 3: Areas com o tangram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
´
Tarefa 4: Areas e per´
ımetros de rectˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
a
Tarefa 5: Investigar ´reas de rectˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
a
a
Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Tarefas sobre volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Tarefa 6: Volumes com cubinhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Tarefa 7: Pilhas de moedas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Tarefa 8: Pirˆmide no cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
a
Tarefa 9: Volumes da pirˆmide e do cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
a
Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Dinheiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Amplitude de ˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
a
Tarefas sobre amplitude de ˆngulos
a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Tarefa 10: C´
ırculo de papel e amplitude de ˆngulos . . . . . . . . . . . . . . 152
a
ˆ
Tarefa 11: Angulos internos de um pol´
ıgono . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Bibliografia
154
5

7. Introdu¸˜o
ca
A geometria e a medida s˜o duas ´reas da Matem´tica fundamentais para o dia-a-dia
a
a
a
dos cidad˜os a que a escola, no entanto, n˜o tem dado a devida aten¸˜o. A geometria
a
a
ca
´ normalmente deixada para os finais dos anos lectivos e tratada a partir das defini¸˜es,
e
co
dando pouco espa¸o ` ac¸˜o dos alunos na compreens˜o dos conceitos geom´tricos. A
c a ca
a
e
medida reduz-se, tradicionalmente, ` aplica¸˜o de f´rmulas e realiza¸˜o de c´lculos.
a
ca
o
ca
a
Acompanhando o desenvolvimento dos curr´
ıculos que tem vindo a acontecer
internacionalmente, o actual Programa de Matem´tica do Ensino B´sico (PMEB, 2007)
a
a
procurou inverter esta situa¸˜o propondo como ideia central em geometria, ao longo dos
ca
trˆs ciclos, o desenvolvimento do sentido espacial dos alunos. Um outro aspecto a destacar
e
prende-se com a introdu¸˜o desde o 1.º ciclo das transforma¸˜es geom´tricas, inicialmente
ca
co
e
de modo informal, e depois com uma progressiva formaliza¸˜o at´ ao 3.º ciclo. Tamb´m
ca
e
e
a no¸˜o de simetria de uma figura ´ clarificada e trabalhada neste programa, ganhando
ca
e
importˆncia na caracteriza¸˜o dos objectos geom´tricos. Relativamente ` medida, embora
a
ca
e
a
tenha um peso forte no 1.º ciclo, prop˜e-se que o tema seja tratado ao longo dos trˆs ciclos,
o
e
come¸ando por trabalhar as no¸˜es de grandeza e de medida de uma grandeza.
c
co
A presente brochura desenvolve as orienta¸˜es metodol´gicas respeitantes ao tema geco
o
ometria (e medida) e discute aspectos fundamentais dos conceitos trabalhados no ensino
b´sico, sugerindo tarefas a propor aos alunos e indicando como podem ser concretizadas
a
na sala de aula. Trata-se de um documento destinado a professores e por isso procurou-se
incluir uma fundamenta¸˜o adequada do ponto de vista dos conceitos matem´ticos que
ca
a
aqueles devem trabalhar com os alunos.
N˜o ´ objectivo desta brochura abordar todos os t´picos relativos a este tema, tendo
a e
o
sido seleccionados aqueles que, na perspectiva dos autores, necessitam de uma clarifica¸˜o
ca
ou s˜o assuntos novos no Programa. Para al´m das Orienta¸˜es gerais para o ensino do
a
e
co
tema e da sua Abordagem did´ctica, procurou-se clarificar o que se entende por sentido
a
espacial, incluindo-se um conjunto de tarefas a trabalhar com os alunos. Considerou-se
importante discutir o tema das Classifica¸˜es em geometria pela sua implica¸˜o no estudo
co
ca
das Figuras Planas e dos S´lidos Geom´tricos. Tamb´m as Transforma¸˜es Geom´tricas
o
e
e
co
e
merecem uma aten¸˜o especial nesta brochura, come¸ando-se por clarificar conceitos e
ca
c
7

8. propriedades, ilustrar e discutir diversos tipos de simetria servindo-se para isso de frisos
e ros´ceas. S˜o ainda apresentadas e discutidas tarefas que podem ser adaptadas pelo
a
a
professor para trabalho de sala de aula.
O ultimo cap´
´
ıtulo discute a no¸˜o de Grandeza e inclui uma abordagem de algumas
ca
das grandezas inclu´
ıdas no PMEB, propondo e discutindo algumas tarefas que podem ser
usadas na sala de aula.
O PMEB recomenda que o ensino da geometria no 1.º e 2.º ciclos tenha por base a
explora¸˜o, manipula¸˜o e experimenta¸˜o de materiais, bem como o estabelecimento de
ca
ca
ca
estimativas de medida de grandezas. No 3.º ciclo ´ recomendada a introdu¸˜o de pequenas
e
ca
cadeias dedutivas na explora¸˜o de problemas geom´tricos. Alguns exemplos destes proca
e
blemas s˜o abordados nos cap´
a
ıtulos Paralelismo, Semelhan¸a de triˆngulos, Teorema de
c
a
Pit´goras e Transforma¸˜es Geom´tricas.
a
co
e
No final, apresentam-se sugest˜es de recursos que completam e aprofundam esta broo
chura.
8

9. Sentido espacial
O sentido espacial ´ o “agarrar” o mundo onde a crian¸a vive, respira e se movimenta
e
c
(Freudhental, 1973). Tal como o sentido de n´mero, o sentido espacial ´ dif´ de definir,
u
e ıcil
tem uma componente intuitiva, que se vai desenvolvendo desde o nascimento. A terminologia utilizada tamb´m nem sempre ´ consensual, havendo quem prefira utilizar termos
e
e
como orienta¸˜o espacial, racioc´
ca
ınio espacial ou ainda pensamento espacial.
As crian¸as adquirem muitas no¸˜es acerca de espa¸o quando se movimentam no seu
c
co
c
ambiente natural e interagem com os objectos. As suas experiˆncias iniciais s˜o sobretudo
e
a
´ atrav´s da experiˆncia e da experimenta¸˜o em actividades espaciais concretas
espaciais. E
e
e
ca
que o sentido espacial se vai desenvolvendo. Assim, quando chegam ` escola as crian¸as tˆm
a
c
e
j´ muitas no¸˜es intuitivas acerca de espa¸o e um grande conhecimento das formas, que ´
a
co
c
e
preciso continuar a desenvolver. Muitas vezes, a escola em vez de ampliar este conhecimento
acaba por voltar a repetir aquilo que as crian¸as j´ sabem, como ilustra o exemplo seguinte:
c a
Professor: (mostrando uma figura) Podes dizer-me que tipo de figura ´ esta?
e
Aluno: Um quadrado
´
Professor: Muito bem. E um quadrado.
O que se est´ a fazer ´ a repetir um conhecimento j´ adquirido, em vez de fazer apelo
a
e
a
ao racioc´
ınio espacial, isto ´, formar novas ideias a partir das rela¸˜es espaciais entre os
e
co
objectos. O professor poderia ter optado por apresentar `s crian¸as um conjunto de figuras
a
c
geom´tricas e pedir-lhes para seleccionar as que s˜o quadrados, justificando a selec¸˜o feita,
e
a
ca
contribuindo deste modo para o desenvolvimento do seu sentido espacial.
O NCTM (1991) sistematiza esta ideia de sentido espacial nestes termos:
O sentido espacial ´ um conhecimento intuitivo do meio que nos cerca e dos objectos que
e
nele existem. Para desenvolver o sentido espacial s˜o necess´rias muitas experiˆncias que
a
a
e
incidam: nas rela¸˜es geom´tricas; na direc¸˜o, orienta¸˜o e perspectivas dos objectos; e
co
e
ca
ca
no modo como uma modifica¸˜o numa forma se relaciona com uma mudan¸a no tamanho”
ca
c
(p. 61).
As experiˆncias referidas dependem da capacidade de as crian¸as seguirem directrizes
e
c
que utilizem palavras como acima, abaixo e atr´s. Uma compreens˜o mais profunda das
a
a
formas e das suas propriedades ´ adquirida quando os alunos observam o resultado da
e
9

10. combina¸˜o de duas formas para formarem uma nova forma, quando prevˆem o que acontece
ca
e
quando se altera o n´mero de lados de uma forma, quando desenham uma forma depois de
u
a rodarem de meia volta ou de um quarto de volta, ou quando alteram as suas dimens˜es.
o
Diversos autores consideram no sentido espacial trˆs componentes: a visualiza¸˜o espae
ca
cial, as figuras geom´tricas e a orienta¸˜o espacial:
e
ca
A visualiza¸˜o espacial envolve a capacidade de imaginar o movimento de objectos e
ca
as formas espaciais, como a constru¸˜o e manipula¸˜o de representa¸˜es mentais de objecca
ca
co
tos bi e tri-dimensionais e a percep¸˜o de um objecto a partir de diferentes perspectivas
ca
(NCTM, 2000, p. 44). A visualiza¸˜o espacial pode ser desenvolvida, inicialmente, por
ca
meio da constru¸˜o e manipula¸˜o de representa¸˜es concretas, utilizando materiais manica
ca
co
pul´veis e posteriormente pela representa¸˜o mental de formas, rela¸˜es e transforma¸˜es.
a
ca
co
co
Da´ a importˆncia do trabalho com figuras geom´tricas, por exemplo, identificando as caı
a
e
racter´
ısticas de determinada figura ou analisando o que acontece quando se altera apenas
uma das propriedades e se mantˆm as outras. Os alunos podem recortar figuras em papel e
e
construir novas figuras a partir dos peda¸os obtidos. Outras tarefas envolvendo dobragens
c
e recortes podem ser importantes no desenvolvimento da visualiza¸˜o e do sentido espacial.
ca
Em suma, desde o in´ da escolaridade, os alunos devem desenvolver capacidades de viıcio
sualiza¸˜o atrav´s de experiˆncias concretas com uma diversidade de objectos geom´tricos
ca
e
e
e
e com as tecnologias, rodando, voltando, deslizando, encolhendo e deformando objectos bi
e tri-dimensionais.
Quando se fazem corresponder formas bi e tri-dimensionais `s suas representa¸˜es est´a
co
a
se a trabalhar um outro aspecto da visualiza¸˜o espacial. Nesta perspectiva, os alunos do
ca
1.º ciclo podem construir s´lidos a partir das suas planifica¸˜es e realizar o processo inverso,
o
co
isto ´, partindo de um s´lido fazer a sua planifica¸˜o (por exemplo, utilizando material de
e
o
ca
encaixe). Podem ainda prever se determinada planifica¸˜o corresponde a um dado s´lido.
ca
o
A interpreta¸˜o e desenho das vistas de topo ou laterais de objectos constituem o passo
ca
seguinte. Mais tarde, pode pedir-se aos alunos para construir um s´lido, com o menor
o
n´mero de blocos, que corresponda a determinadas vistas.
u
O ensino da geometria na escola deve levar os alunos a aprenderem sobre formas e
figuras e ajud´-los a tomarem como referˆncia estruturas familiares como o pr´prio corpo,
a
e
o
estruturas geom´tricas como os mosaicos do ch˜o e padr˜es geom´tricos como a configura¸˜o
e
a
o
e
ca
dos pontos nas pe¸as de domin´s. Tarefas geom´tricas deste tipo estimulam os alunos a
c
o
e
pensar e a expressar-se sobre as suas percep¸˜es, o que por sua vez ajuda ao desenvolvimento
co
do sentido espacial e das capacidades de racioc´
ınio.
A orienta¸˜o espacial ´ uma outra componente importante do sentido espacial, funca
e
damental para se compreender a posi¸˜o relativa das formas e dos objectos bem como a
ca
relatividade dos seus tamanhos. Deste modo, os alunos aprendem a orientar-se a partir
de diferentes perspectivas e s˜o capazes de descrever caminhos e de compreender formas,
a
10

11. figuras, propor¸˜es e rela¸˜es entre os objectos. As crian¸as possuem muitas competˆncias
co
co
c
e
necess´rias ` orienta¸˜o espacial antes de iniciarem a sua escolaridade formal, como o evia
a
ca
denciam investiga¸˜es realizadas com crian¸as de quatro e cinco anos.
co
c
Um aluno com sentido espacial ´ capaz de, entre outros aspectos:
e
• concluir que justapondo dois cubos, com as mesmas dimens˜es, de modo a que duas
o
das suas faces coincidam, obt´m um paralelep´
e
ıpedo;
• concluir que numa pirˆmide as faces laterais s˜o todas triangulares, pois todas as
a
a
arestas laterais concorrem num unico v´rtice;
´
e
• construir um s´lido a partir da sua planifica¸˜o e vice-versa;
o
ca
• determinar a soma da amplitude dos ˆngulos internos de um pol´
a
ıgono a partir da
justaposi¸˜o de triˆngulos nele inscritos;
ca
a
• descrever uma figura ou um s´lido geom´trico a partir da sua observa¸˜o;
o
e
ca
• percepcionar que as faces laterais de um prisma s˜o necessariamente paralelogramos
a
e que se o prisma for recto esses paralelogramos s˜o rectˆngulos.
a
a
Matos e Gordo1 , partindo de v´rios contributos da investiga¸˜o, apresentam a visualiza¸˜o
a
ca
ca
espacial como um conjunto de sete capacidades:
• Coordena¸˜o visual motora. Isto ´, a capacidade de coordenar a vis˜o com os moca
e
a
vimentos do corpo. Esta capacidade come¸a a ser desenvolvida desde muito cedo,
c
em particular quando as crian¸as desenvolvem actividades como comer, vestir, jogar,
c
etc. Tamb´m quando os alunos tˆm de procurar um caminho, pintar um desenho ou
e
e
reproduzir uma figura dada.
• Mem´ria visual. A capacidade de recordar objectos que j´ n˜o est˜o ` vista. Esta
o
a a
a a
capacidade desenvolve-se quando se pede aos alunos para copiarem figuras complexas
em papel ponteado ou no geoplano.
• Percep¸˜o figura-fundo. A capacidade de identificar uma componente espec´
ca
ıfica numa
determinada situa¸˜o, envolvendo a mdan¸a de percep¸˜o de figuras contra fundos
ca
c
ca
complexos. Esta capacidade desenvolve-se quando se procuram figures imersas noutras.
• Constˆncia perceptual. Capacidade de reconhecer figuras geom´tricas em diferentes
a
e
posi¸˜es, tamanhos e contextos. Uma tarefa que se pode incluir no desenvolvimento
co
desta capacidade ´ a de procurar todos os quadrados n˜o congruentes num geoplano
e
a
5x5.
1
Ver Matos e Gordo (1993)
11

12. • Percep¸˜o da posi¸˜o no espa¸o. Aptid˜o para distinguir figuras iguais quando coca
ca
c
a
locadas em posi¸˜es diferentes. Por exemplo, saber distinguir o p do b do d e do
co
q.
• Percep¸˜o das rela¸˜es espaciais. Capacidade de ver ou imaginar dois objectos em
ca
co
rela¸˜o consigo pr´prios ou em rela¸˜o com o observador. Por exemplo, a capacidade
ca
o
ca
de relacionar objectos geom´tricos com as suas vistas e as suas planifica¸˜es.
e
co
• Discrimina¸˜o visual. Capacidade de identificar semelhan¸as e diferen¸as entre fica
c
c
guras. Esta capacidade est´ presente quando se prop˜e aos alunos que efectuem
a
o
classifica¸˜es e ordena¸˜es de formas geom´tricas.
co
co
e
Este conjunto de capacidades est´ relacionado com a forma como os alunos percepcioa
nam o mundo que os rodeia e com a sua capacidade de interpretar, modificar e antecipar
transforma¸˜es dos objectos.
co
12

13. Orienta¸oes gerais para o ensino
c˜
da Geometria
Introdu¸˜o
ca
Para descrever, analisar e compreender o mundo f´
ısico recorremos muitas vezes ` geomea
tria. Ao confrontar os alunos com fen´menos geom´tricos como as reflex˜es, e deixando-os
o
e
o
resolver problemas geom´tricos simples, estes aprendem a compreender melhor o mundo `
e
a
sua volta. De in´
ıcio, h´ necessidade de realizarem experiˆncias concretas de manipula¸˜o
a
e
ca
e observa¸˜o, mas, progressivamente, a ˆnfase deve ser colocada no racioc´
ca
e
ınio espacial e
no desenvolvimento da capacidade de visualiza¸˜o espacial. Segundo o NCTM (2000), as
ca
ideias geom´tricas revelam-se muito uteis na representa¸˜o e na resolu¸˜o de problemas e
e
´
ca
ca
a geometria constitui um contexto natural para o desenvolvimento das capacidades de racioc´
ınio e de argumenta¸˜o dos alunos. As crian¸as est˜o melhor preparadas para todas as
ca
c
a
tarefas escolares quando adquirem instrumentos de pensamento e competˆncias geom´tricas
e
e
e espaciais.
A geometria propicia um contexto favor´vel para que os alunos se envolvam em activia
dade matem´tica e desenvolvam a comunica¸˜o matem´tica. Permite estabelecer conex˜es
a
ca
a
o
entre diferentes ´reas da Matem´tica, por exemplo, as representa¸˜es geom´tricas poder˜o
a
a
co
e
a
ajudar a dar significado a diferentes conceitos como o de ´rea ou de frac¸˜o e s˜o uteis
a
ca
a ´
na compreens˜o, por exemplo, dos histogramas ou dos gr´ficos de dispers˜o. O sentido
a
a
a
espacial ´ importante, por exemplo, na leitura e utiliza¸˜o de mapas, no planeamento de
e
ca
itiner´rios e na constru¸˜o de plantas e tamb´m na cria¸˜o art´
a
ca
e
ca
ıstica.
Quando as crian¸as chegam ` escola possuem j´ muitos conceitos rudimentares de forma
c
a
a
e espa¸o que devem constituir a base para o conhecimento geom´trico e racioc´
c
e
ınio espacial
a desenvolver ao longo da escolaridade. O programa de Matem´tica para o ensino b´sico
a
a
(PMEB) reconhece a importˆncia da geometria e dedica-lhe um lugar central no curr´
a
ıculo
de Matem´tica.
a
13

14. Conceitos fundamentais do curr´
ıculo
Nos primeiros anos, os alunos come¸am por trabalhar os aspectos relativos ` posi¸˜o
c
a
ca
relativa de dois ou mais objectos, mas tamb´m a identificar pontos de referˆncia e a construir
e
e
itiner´rios. A partir da realidade que os rodeia, come¸am a descrever e a identificar uma
a
c
variedade de formas e v˜o descobrindo as suas propriedades, come¸ando por fazˆ-lo em
a
c
e
figuras tridimensionais passando depois para as bidimensionais.
O conhecimento informal e as no¸˜es intuitivas desenvolvidas no 1.º ciclo s˜o objecto de
co
a
an´lise cuidadosa e aprofundada nos outros dois ciclos. Os alunos come¸am por elaborar
a
c
descri¸˜es, defini¸˜es e esquemas de classifica¸˜o tendo em conta m´ltiplas propriedades,
co
co
ca
u
como o comprimento, a ´rea e o volume ou a amplitude de ˆngulos. A partir destas
a
a
caracter´
ısticas, os alunos elaboram as suas classifica¸˜es, at´ chegar, por exemplo, a uma
co
e
classifica¸˜o de quadril´teros, onde a classe dos quadrados seja considerada uma subclasse
ca
a
da dos rectˆngulos ou da dos losangos. Ao mesmo tempo, desenvolvem a sua capacidade de
a
comunica¸˜o e a sua compreens˜o de modo a serem capazes de usar que todos os quadrados
ca
a
s˜o rectˆngulos mas nem todos os rectˆngulos s˜o quadrados. Uma tarefa interessante a
a
a
a
a
realizar no 2.º ou no 3.º ciclo ´ a de identificar quais as propriedades de determinadas
e
figuras que s˜o necess´rias e suficientes para definir uma dada classe.
a
a
Em geometria, os alunos usam a visualiza¸˜o, o racioc´
ca
ınio espacial e o conhecimento
geom´trico para resolver problemas. A comunica¸˜o ´ uma capacidade transversal ime
ca e
portante, permitindo que os alunos sejam capazes de interpretar, explicar e representar o
processo em termos matem´ticos.
a
Sentido espacial, um sentir intuitivo para forma e espa¸o, inclui a capacidade de recoc
nhecer, visualizar, representar e transformar formas geom´tricas, mas tamb´m inclui modos
e
e
menos formais de olhar para o espa¸o bi e tri-dimensional como as dobragens, as transc
forma¸˜es, as pavimenta¸˜es, etc. A geometria est´ ` volta de n´s na arte, na natureza
co
co
a a
o
e nas coisas que fazemos. Os alunos em geometria podem aplicar o seu sentido espacial e
conhecimento das propriedades das formas ao mundo real.
Como o sentido de n´mero, tamb´m o sentido espacial n˜o ´ ensinado num dado mou
e
a e
mento mas deve ser desenvolvido ao longo da escolaridade b´sica proporcionando aos estua
dantes o envolvimento em actividades adequadas. Um exemplo de uma rotina simples que
pode promover o sentido espacial ´ a seguinte, designada por desenho r´pido:
e
a
No in´ da aula, durante trˆs segundos, o professor mostra um slide com uma figura
ıcio
e
geom´trica. Pede depois aos alunos para desenharem em papel branco a figura que viram.
e
Depois dos desenhos estarem prontos, a imagem ´ de novo mostrada e discutida. Neste
e
processo surgem diversos desenhos e diversas interpreta¸˜es da figura, criando-se assim um
co
`
ambiente onde comunicar matematicamente se torna uma actividade importante. A medida que o trabalho progride, podem apresentar-se desenhos mais complexos, estimulando a
14

15. comunica¸˜o, pelo recurso a vocabul´rio geom´trico mais sofisticado e rigoroso. Nos primeica
a
e
ros anos, os alunos utilizam o seu pr´prio vocabul´rio para fazerem a descri¸˜o das figuras
o
a
ca
e discutirem as suas semelhan¸as e diferen¸as. Gradualmente, os professores introduzem
c
c
a terminologia e nota¸˜o da geometria, estabelecendo assim as bases para a aprendizagem
ca
com um grau de formaliza¸˜o crescente ` medida que avan¸am na escolaridade.
ca
a
c
A geometria contribui com um vocabul´rio geom´trico que se vai adquirindo, mas, a par
a
e
disso, espera-se que os alunos desenvolvam a sua capacidade de compreens˜o dos conceitos
a
e suas rela¸˜es, da an´lise da informa¸˜o, de resolu¸˜o de problemas, de comunica¸˜o, mas
co
a
ca
ca
ca
tamb´m de abstrac¸˜o e generaliza¸˜o e de compreender e elaborar argumenta¸˜es.
e
ca
ca
co
A geometria ´, por excelˆncia, o tema matem´tico que permite que os alunos aprendam a
e
e
a
ver a estrutura e simetria presentes no mundo ` sua volta, nomeadamente nos monumentos
a
hist´ricos ou na pr´pria natureza, e tamb´m em outros temas da pr´pria Matem´tica,
o
o
e
o
a
aprendendo dessa forma a valorizar o seu valor est´tico.
e
O sentido espacial ´ fundamental para elaborar e usar representa¸˜es de modo a registar
e
co
ideias matem´ticas. A capacidade de racioc´
a
ınio desenvolvida pelos alunos permite-lhes investigar problemas geom´tricos de crescente complexidade e, ao mesmo tempo, desenvolver
e
clareza na descri¸˜o das propriedades das figuras geom´tricas a par com o desenvolvimento
ca
e
da comunica¸˜o matem´tica.
ca
a
O estudo das figuras no plano e no espa¸o come¸a no 1.º ciclo, considerando-as inicialc
c
mente de modo global, identificando propriedades das mesmas; no 2.º ciclo, os alunos s˜o
a
chamados a relacionar as suas propriedades e no 3.º ciclo surgem situa¸˜es de racioc´
co
ınio
hipot´tico-dedutivo, proporcionando-lhes um primeiro contacto com este modo de pensae
mento.
Uma altera¸˜o importante no PMEB, em rela¸˜o ao programa anterior, ´ o estudo,
ca
ca
e
logo desde o 1.º ciclo, de diversas transforma¸˜es geom´tricas, primeiro de forma intuitiva
co
e
e depois com crescente formaliza¸˜o. As isometrias, nomeadamente as reflex˜es, rota¸˜es,
ca
o
co
transla¸˜es e reflex˜es deslizantes, s˜o introduzidas de modo informal atrav´s da explora¸˜o
co
o
a
e
ca
e constru¸˜o de frisos e ros´ceas. As semelhan¸as aparecem no 3.º ciclo a partir do estudo
ca
a
c
de figuras semelhantes.
15

17. Abordagem did´ctica
a
Introdu¸˜o
ca
Na aprendizagem da Matem´tica e, em particular na geometria, devem ser usados
a
diversos recursos, tais como, r´gua, esquadro, compasso e transferidor e outros materiais
e
manipul´veis. Como vivemos num mundo de padr˜es, formas e movimentos, isto ´, num
a
o
e
mundo geom´trico, antes de chegarem ao 1.º ciclo os alunos j´ viveram muitas experiˆncias
e
a
e
onde exploraram rela¸˜es espaciais e geom´tricas, onde tiveram oportunidade de comparar
co
e
objectos, de classific´-los e agrup´-los de acordo com atributos como tamanho e forma, de
a
a
explorar padr˜es geom´tricos e explorar rela¸˜es de tamanho, direc¸˜o e posi¸˜o no espa¸o.
o
e
co
ca
ca
c
O sentido espacial envolve capacidades perceptuais que s˜o importantes para o sucesso no
a
in´ da escolaridade.
ıcio
Na representa¸˜o de objectos geom´tricos, a utiliza¸˜o do computador e em particular
ca
e
ca
dos programas de geometria dinˆmica ´ recomendada.
a
e
A informalidade deve ser um aspecto essencial nas primeiras experiˆncias em geometria.
e
Desde o nascimento, as crian¸as tiveram muitas experiˆncias geom´tricas e adquiriram
c
e
e
ideias geom´tricas que devem ser exploradas e validadas. Para isso, ´ necess´ria uma
e
e
a
variedade de experiˆncias de investiga¸˜o e discuss˜o de conceitos geom´tricos em diferentes
e
ca
a
e
contextos.
A aprendizagem da Geometria
A teoria de van Hiele e os estudos que tˆm sido realizados a partir da´ proporcioname
ı
nos perspectivas como analisar e planificar o progresso na aprendizagem da geometria.
Trata-se de uma teoria onde foram definidos um conjunto de n´
ıveis de aprendizagem, mas
simultaneamente se afirma que a progress˜o atrav´s dos n´
a
e
ıveis se faz atrav´s do ensino.
e
Isto ´, ´ atrav´s das experiˆncias de aprendizagem proporcionadas aos alunos que estes
e e
e
e
17

18. progridem na sua aprendizagem. Os van Hiele e outros investigadores que os seguiram2
estabeleceram um conjunto de n´
ıveis de aprendizagem dos quais se destacam:
N´ 0 – Pr´-reconhecimento – os alunos neste n´ d˜o aten¸˜o apenas a parte das
ıvel
e
ıvel a
ca
caracter´
ısticas visuais de uma figura, s˜o incapazes de identificar muitas figuras comuns.
a
N´ 1 – Visual – os alunos identificam, descrevem e raciocinam acerca das figuras e
ıvel
outras configura¸˜es geom´tricas de acordo com a sua aparˆncia como um todo visual. Os
co
e
e
seus racioc´
ınios s˜o dominados pela percep¸˜o visual e imag´tica e n˜o por uma an´lise
a
ca
e
a
a
das propriedades geom´tricas. Quando identificam figuras, os alunos usam muitas vezes
e
prot´tipos visuais, por exemplo, dizendo que uma figura ´ um rectˆngulo porque “se parece
o
e
a
com uma porta”.
N´ 2 – Descritivo/Anal´
ıvel
ıtico – os alunos reconhecem e caracterizam figuras pelas suas
propriedades geom´tricas, isto ´, explicitamente focando e descrevendo rela¸˜es entre as
e
e
co
partes de uma figura. Na transi¸˜o do N´ 1 para o N´ 2, os alunos descrevem partes e
ca
ıvel
ıvel
propriedades das figuras informalmente, de modo impreciso e muitas vezes incompleto; eles
n˜o possuem as conceptualiza¸˜es formais que os tornam capazes de precisar propriedades
a
co
espec´
ıficas. Por exemplo, um aluno pode descrever um rectˆngulo como uma figura que
a
` medida que os alunos v˜o adquirindo conceptem dois lados compridos e dois curtos. A
a
tualiza¸˜es formais que podem ser usadas para fazer sentido e descrever rela¸˜es espaciais
co
co
entre as partes de uma figura, eles usam uma combina¸˜o do formal e do informal para a
ca
descri¸˜o dessa figura. Finalmente, quando raciocinam no N´ 2 usam expl´
ca
ıvel
ıcita e exclusivamente linguagem e conceitos geom´tricos formais para descrever e conceptualizar figuras
e
de um modo que corresponda a um conjunto suficiente de propriedades para especificar
essas figuras. Por exemplo, podem pensar num rectˆngulo como uma figura que tem lados
a
opostos iguais e paralelos e quatro ˆngulos rectos, ou seja, uma figura ´ identificada pelas
a
e
suas propriedades.
N´ 3 – Ordena¸˜o - Neste n´ os alunos compreendem as rela¸˜es entre as propriıvel
ca
ıvel
co
edades. As defini¸˜es s˜o significativas, isto ´, os alunos compreendem que um quadrado
co
a
e
´ um rectˆngulo porque tem todas as propriedades do rectˆngulo. Um aluno neste n´
e
a
a
ıvel
pode deduzir propriedades de uma figura e reconhecer classes de figuras, seguir argumentos
formais, mas n˜o vˆ como alterar a ordem l´gica duma demonstra¸˜o, nem como construir
a e
o
ca
uma demonstra¸˜o partindo de premissas diferentes ou n˜o familiares.
ca
a
Os van Hiele definiram ainda mais dois n´
ıveis: Dedu¸˜o, onde a geometria ´ entendida
ca
e
como um sistema axiom´tico e o de Rigor.3
a
Partindo da teoria de van Hiele e conjugando com outras perspectivas4 , Parzysz (2006)
definiu um quadro te´rico com quatro paradigmas:
o
2
Ver Clements e Battista (1992)
Ver Matos (1992)
4
Ver Houdement & Kusniak (2003) e Henry (1999)
3
18

19. Tipo de geometria
Geometrias n˜o axiom´ticas
a
a
Concreta
Espa¸o-gr´fica
c
a
(G0)
(G1)
Objectos
Modo de Valida¸˜o
ca
F´
ısicos
Perceptivo-dedutivos
Geometrias axiom´ticas
a
ProtoAxiom´tica
a
axiom´tica
a
(G3)
(G2)
Te´ricos
o
Hipot´tico-dedutivos
e
Os elementos em que se baseia este modelo sint´tico s˜o, por um lado, a natureza dos
e
a
objectos em jogo (f´
ısico versus te´rico), e por outro, os modos de valida¸˜o (perceptivo
o
ca
versus hipot´tico-dedutivo). Partindo da “realidade”, ou ainda do “concreto” (G0) que,
e
para este autor, n˜o ´ ainda geom´trico pois os seus objectos s˜o realiza¸˜es materiais com
a e
e
a
co
todas as suas caracter´
ısticas (mat´ria, cor, etc), confronta-se de um lado uma geometria
e
n˜o axiom´tica, que se apoia em situa¸˜es concretas que s˜o idealizadas para constituir
a
a
co
a
o “espa¸o-gr´fico” (G1), e de outro lado, uma geometria axiom´tica, a axiomatiza¸˜o,
c
a
a
ca
podendo ser explicitada completamente (G3) ou n˜o (G2), sendo a referˆncia ao “real” faa
e
cultativa para a primeira (mas n˜o para a segunda); no ultimo caso, falamos de geometria
a
´
proto-axiom´tica. Para Parzysz, o grande objectivo na escolaridade obrigat´ria ´ a artia
o
e
cula¸˜o entre G1 e G2. No paradigma G1 (espa¸o-gr´fico) os objectos em jogo s˜o f´
ca
c
a
a ısicos
(modelos, diagramas, imagens de computador...) e as provas s˜o de natureza perceptiva
a
(vis˜o, compara¸˜o, medida, etc.). Em G2 (proto-axiom´tico), os objectos em jogo s˜o cona
ca
a
a
ceptuais – linha, recta, ... (a sua existˆncia procede de axiomas e teoremas) e as provas s˜o
e
a
te´ricas (movendo-se de facto do perceptivo para o hipot´tico-dedutivo quando aumenta o
o
e
conhecimento geom´trico dos alunos). Nos dois paradigmas, os diagramas tˆm um papel
e
e
fundamental na resolu¸˜o de problemas, mas o seu estatuto ´ diferente. Em G1, uma consca
e
tru¸˜o consiste em fazer um diagrama utilizando materiais e uma propriedade ´ verificada
ca
e
por observa¸˜o ou medida. Em G2, uma constru¸˜o consiste em definir novos objectos por
ca
ca
palavras e a unica maneira de verificar uma propriedade ´ atrav´s de uma demonstra¸˜o
´
e
e
ca
(utilizando racioc´
ınio dedutivo), fazendo uso de defini¸˜es e teoremas e com a ajuda de um
co
diagrama. Para Parzysz, a linguagem utilizada tamb´m varia com o paradigma onde se
e
encontra o aluno: se este descreve mais as ac¸˜es realizadas do que os objectos geom´tricos
co
e
constru´
ıdos (por exemplo, ‘pus a ponta do compasso no ponto A’), pode ser interpretado
como indicador de G1; se define directamente os objectos geom´tricos, apesar dos gestos
e
realizados para os representar fisicamente (por exemplo, ‘dado o c´
ırculo com centro em A
e raio BC’) pode ser interpretado como indicador de G2.
Ao longo da escolaridade, os alunos devem ser conduzidos a movimentarem-se gradualmente de G0 para G1 e deste para G2.
19

20. Utiliza¸˜o de materiais manipul´veis
ca
a
Os materiais manipul´veis (como o geoplano, o tangram, formas poligonais, polydrons
a
ou cubos encaix´veis) podem ter um papel fundamental como mediadores na aprendizagem
a
dos diversos temas de geometria, para al´m dos materiais pr´prios deste tema (como r´gua,
e
o
e
esquadro, compasso, transferidor).
Mas os materiais s´ por si n˜o conduzem a nenhuma aprendizagem, tendo o professor
o
a
um papel fundamental neste processo. Os professores devem disponibilizar os materiais e
organizar adequadamente o ambiente de aprendizagem, de modo a encorajar os alunos a
explorar as figuras e as suas propriedades. No in´ do 1º ciclo, os alunos podem comparar
ıcio
blocos e materiais de uso comum, como caixas, identificando as suas semelhan¸as e as suas
c
diferen¸as. Fazendo dobragens ou utilizando, por exemplo, o geoplano podem explorar
c
´
algumas propriedades. E fundamental explorar muitos exemplos (e n˜o exemplos) de figuras
a
correspondentes ao mesmo conceito geom´trico, por exemplo, triˆngulos posicionados de
e
a
maneiras distintas e com ˆngulos de diferente amplitude e outras figuras que se assemelham
a
a triˆngulos e n˜o o s˜o. Promovendo a discuss˜o na turma ` volta de exemplos e contraa
a
a
a
a
exemplos, os conceitos geom´tricos v˜o sendo desenvolvidos e aperfei¸oados.
e
a
c
`
A medida que progridem na escolaridade, devem desenvolver modos mais precisos de
descrever formas bi e tri-dimensionais, centrando-se na identifica¸˜o e na descri¸˜o das suas
ca
ca
propriedades e nas rela¸˜es entre elas, usando o vocabul´rio adequado. Os alunos devem ser
co
a
encorajados a raciocinar sobre essas propriedades, recorrendo `s rela¸˜es espaciais e usando
a
co
` medida que os alunos classificam, criam, desenham, modelam,
os argumentos adequados. A
tra¸am, medem ou constroem, a sua capacidade de visualiza¸˜o das rela¸˜es geom´tricas
c
ca
co
e
desenvolve-se. Em simultˆneo, est˜o a aprender a raciocinar e a formular, testar e justificar
a
a
conjecturas sobre essas rela¸˜es.
co
Tamb´m relativamente `s transforma¸˜es geom´tricas, os alunos come¸am por identie
a
co
e
c
ficar figuras congruentes como aquelas que se podem sobrepor, mas ´ importante que se
e
v˜o apropriando de vocabul´rio correspondente `s transforma¸˜es geom´tricas e que sea
a
a
co
e
jam capazes de descrever o “movimento” correspondente As crian¸as usam transforma¸˜es
c
co
informalmente quando fazem puzzles – rodam as pe¸as, e deslocam-nas para o seu lugar.
c
Deste modo, tamb´m aprendem que mudar a posi¸˜o ou orienta¸˜o de um objecto n˜o
e
ca
ca
a
altera a sua forma ou o seu tamanho.
20

21. O papel das tecnologias
A utiliza¸˜o das tecnologias ´ hoje imprescind´
ca
e
ıvel quando nos referimos ao ensino da
Matem´tica e, em particular, ao da geometria. A tecnologia n˜o s´ influencia o modo como
a
a o
a geometria ´ ensinada e aprendida, como tamb´m afecta o momento em que isso acontece e
e
e
o que se ensina. As ferramentas tecnol´gicas permitem o acesso a modelos visuais poderosos,
o
a que os alunos, em especial os mais novos, n˜o teriam acesso t˜o facilmente. Deste modo,
a
a
a tecnologia enriquece a extens˜o e a qualidade das investiga¸˜es em geometria, ao fornecer
a
co
um meio de visualizar no¸˜es geom´tricas sobre diferentes perspectivas. Ao trabalhar com
co
e
programas de geometria dinˆmica, a aprendizagem dos alunos ´ auxiliada pela resposta
a
e
que a tecnologia pode proporcionar.
Trabalhando com um programa de geometria dinˆmica, os alunos podem investigar as
a
propriedades das figuras, desenvolver o conceito de “figura” atendendo `s rela¸˜es subjaa
co
centes e n˜o `s particularidades de um desenho espec´
a a
ıfico, podem ainda explorar rela¸˜es e
co
formular e testar conjecturas. Tamb´m a compreens˜o e identifica¸˜o de invariantes numa
e
a
ca
classe de figuras pode ser facilitado com o trabalho em geometria dinˆmica.
a
Existem, dispon´
ıveis na Internet, pequenos programas interactivos, designados por applets, que permitem trabalhar problemas interessantes do ponto de vista da geometria. O
trabalho com manipul´veis virtuais, por exemplo, o geoplano virtual, a par do trabalho
a
com o pr´prio material, permite o alargar de experiˆncias, em particular para os alunos
o
e
mais novos.
Os alunos poder˜o, com aux´ dos computadores, proceder a abstrac¸˜es e generaa
ılio
co
liza¸˜es das suas experiˆncias. Por exemplo, os alunos poder˜o construir um rectˆngulo
co
e
a
a
no geoplano, medir os respectivos lados e constru´ depois num programa de computaı-lo
dor com as mesmas dimens˜es relativas, explorando as no¸˜es de escala e de semelhan¸a.
o
co
c
Tamb´m existem dispon´
e
ıveis pequenos programas inform´ticos que permitem que os alunos
a
percorram labirintos ou mapas. Inicialmente, os alunos tentar˜o utilizar uma estrat´gia de
a
e
tentativa e erro, mas o professor deve encoraj´-los a descrever e justificar os movimentos
a
que realizam no computador para percorrer determinado caminho ou para fazer um dado
percurso. Deste modo, est˜o a ser trabalhados diversos conceitos, nomeadamente os de
a
orienta¸˜o, direc¸˜o e medi¸˜o. Outros jogos de computador como o Tetris podem ajudar
ca
ca
ca
a desenvolver a orienta¸˜o espacial e a coordena¸˜o visual-motora.
ca
ca
Como qualquer outro instrumento de ensino, a forma como a tecnologia ´ utilizada
e
depende do professor, podendo ser usada de modo adequado ou n˜o. Embora, por vezes, os
a
alunos pare¸am poder trabalhar de modo independente com a tecnologia, esta n˜o substitui
c
a
o professor. Pelo contr´rio, o seu papel ´ essencial desde logo ao definir quando e como
a
e
deve ser usada a tecnologia, mas tamb´m na selec¸˜o das tarefas que prop˜e e na forma
e
ca
o
como promove a sua realiza¸˜o e o envolvimento dos seus alunos. Tamb´m ao observar os
ca
e
21

22. alunos a trabalhar com as tecnologias, o professor pode perceber melhor a forma como os
alunos s˜o capazes de lidar com os conceitos e temas em jogo, podendo deste modo tomar
a
decis˜es mais informadas sobre a avalia¸˜o formativa dos seus alunos e consequentemente a
o
ca
planifica¸˜o das suas aulas. A tecnologia pode assim constituir um contexto para discuss˜es
ca
o
entre os alunos e o professor sobre os objectos visualizados no ecr˜ e os efeitos das diversas
a
transforma¸˜es proporcionadas pelo software, o que para al´m do desenvolvimento dos
co
e
conceitos em presen¸a, contribui para o desenvolvimento da comunica¸˜o matem´tica.
c
ca
a
22

23. Orienta¸˜o espacial
ca
Posi¸˜o e localiza¸˜o
ca
ca
O PMEB (2007) destaca o desenvolvimento do sentido espacial e da visualiza¸˜o como
ca
aspectos essenciais, em geometria, que os alunos devem desenvolver ao longo do ensino
b´sico. O t´pico Orienta¸˜o espacial e os subt´picos posi¸˜o e localiza¸˜o, pontos de
a
o
ca
o
ca
ca
referˆncia e itiner´rios e mapas, plantas e maquetas, que surgem logo no 1.º ciclo, envolvem
e
a
um conjunto de conceitos e ideias geom´tricas importantes para o desenvolvimento do
e
sentido espacial dos alunos. A realiza¸˜o de tarefas envolvendo a constru¸˜o, interpreta¸˜o
ca
ca
ca
e utiliza¸˜o de itiner´rios, de percursos e de labirintos, a interpreta¸˜o e desenho de plantas,
ca
a
ca
a interpreta¸˜o e utiliza¸˜o de mapas e a constru¸˜o de maquetas, recorrendo a pontos de
ca
ca
ca
referˆncia diversos, incluindo a no¸˜o de que figuras e s´
e
ca
ımbolos (numa planta, num mapa)
representam objectos s˜o importantes para o desenvolvimento desses conceitos. Est˜o
a
a
tamb´m associados outros conceitos e termos matem´ticos importantes em geometria, como
e
a
por exemplo, paralelismo, perpendicularidade, concorrˆncia, ˆngulo, direc¸˜o, orienta¸˜o,
e
a
ca
ca
distˆncia e coordenadas.
a
Sobre os conceitos de posi¸˜o e localiza¸˜o, nos primeiros anos, os alunos devem comca
ca
preender que a posi¸˜o de algo est´, muitas vezes, relacionada com a posi¸˜o do observador
ca
a
ca
e com um dado sistema de referˆncia, podendo este ser definido de acordo com regras que se
e
estabele¸am num dado contexto ou podendo usar-se um sistema de referˆncia convencional.
c
e
Em qualquer dos casos ´ importante que numa dada situa¸˜o todas as pessoas envolvidas
e
ca
´
saibam qual ´ o sistema de referˆncia que foi considerado. E habitual, como se define
e
e
no PMEB, considerar-se que na localiza¸˜o de objectos se utilize o sistema de referˆncia
ca
e
esquerda-direita e horizontal-vertical referido ao pr´prio corpo.
o
Tal como se disse, a descri¸˜o da posi¸˜o de um objecto tem, em muitas situa¸˜es, por
ca
ca
co
referˆncia outro (s) objecto (s). Por isso, no¸˜es como em cima, em baixo, ` direita ou
e
co
a
a
` esquerda s˜o conceitos relativos. Diz-se, por exemplo: “o rectˆngulo est´ ` direita do
a
a
a a
triˆngulo” ou “o arm´rio est´ ` esquerda da mesa”. Estas descri¸˜es de posi¸˜o `s vezes
a
a
aa
co
ca a
envolvem medidas, por exemplo, “o rectˆngulo est´ cinco cent´
a
a
ımetros atr´s do c´
a
ırculo”ou
23

24. rela¸˜es do tipo: “atr´s do c´
co
a
ırculo, mas ` frente do quadrado”. Muitas oportunidades
a
para usar vocabul´rio relacionado com a posi¸˜o e localiza¸˜o ocorrem naturalmente. Por
a
ca
ca
exemplo, na vida do dia-a-dia dizem-se frequentemente frases do tipo: vai em frente, volta
` direita e depois vira ` esquerda. Na sala de aula, a realiza¸˜o de jogos, simula¸˜es e
a
a
ca
co
dramatiza¸˜es que permitam a utiliza¸˜o e apropria¸˜o destas no¸˜es e destes termos pode
co
ca
ca
co
ajudar ` compreens˜o dos conceitos e ` aquisi¸˜o do respectivo vocabul´rio. A literatura
a
a
a
ca
a
infantil, nos primeiros anos, tamb´m oferece bons contextos para a explora¸˜o destes cone
ca
ceitos, por exemplo, propondo a sua dramatiza¸˜o e solicitando aos alunos que descrevam
ca
a localiza¸˜o das personagens.
ca
Se em algumas situa¸˜es da nossa vida ´ suficiente uma localiza¸˜o relativa, e usamco
e
ca
se termos que s˜o relativos (esquerda e direita) e subjectivos (perto e longe), h´ outras
a
a
situa¸˜es em que ´ necess´rio uma localiza¸˜o mais precisa (absoluta), e nesse caso, ´ neco
e
a
ca
e
cess´rio recorrer a um sistema de referˆncia que permita assegurar exactid˜o na localiza¸˜o.
a
e
a
ca
Desde h´ muitos s´culos que o Homem sentiu a necessidade de desenvolver sistemas de
a
e
referˆncia e instrumentos rigorosos que permitissem determinar posi¸˜es, localiza¸˜es e
e
co
co
direc¸˜es de pessoas, animais e objectos, como s˜o exemplos, respectivamente, a rosa-dosco
a
ventos e a b´ssola, utilizando-se termos, como norte, sul, este e oeste, entre outros. Existem
u
ainda outros sistemas de referˆncia relacionados com Orienta¸˜o que n˜o cabe aqui trae
ca
a
tar, bem como novos instrumentos muito usuais, hoje em dia, como o GPS (Sistema de
Posicionamento Global).
Em Matem´tica, existe um sistema de referˆncia que permite localizar pontos no plano
a
e
- o referencial cartesiano. Este ´ constitu´ por dois eixos, perpendiculares entre si, que
e
ıdo
se cruzam num ponto a que se chama origem. Cada um desses eixos tem uma orienta¸˜o,
ca
indicada por uma seta, e uma gradua¸˜o, tal como se vˆ na figura seguinte.
ca
e
Figura 1: Referencial Cartesiano.
24

25. No 1.º ciclo, os alunos podem construir, tra¸ar e descrever caminhos e percursos, dec
terminar distˆncias usando quadr´
a
ıculas tomando como unidade de medida, por exemplo,
um lado da quadr´
ıcula e utilizar sistemas de coordenadas para localizar pontos atrav´s de
e
pares de n´meros (letras).
u
Nos 2.º e 3.º ciclos, estes conceitos devem continuar a ser desenvolvidos e aprofundados.
Ideias geom´tricas de localiza¸˜o e distˆncia podem ser relacionadas com o desenvolvimento
e
ca
a
de conceitos alg´bricos, em particular no 3.º ciclo com a representa¸˜o de fun¸˜es.
e
ca
co
Tarefas com coordenadas
Tarefa 1: Onde est˜o as figuras?
a
Figura 2: Quadr´
ıcula com coordenadas.
Neste exemplo, podemos ver que ´ poss´
e
ıvel localizar estas duas figuras (a e b) com
exactid˜o, considerando, os 4 pontos que representam, respectivamente, os seus v´rtices,
a
e
do seguinte modo:
Figura a – (A,2) (C,2) (A,5) (C,5)
Figura b – (B,1) (E,1) (B,4) (E,4)
Pode-se propor aos alunos a realiza¸˜o de um jogo (a pares) em que um aluno dita os
ca
pontos das figuras e o outro sem ver representa-os numa outra quadr´
ıcula igual e com as
mesmas coordenadas. No fim, comparam para ver se as figuras ficaram representadas na
mesma posi¸˜o. Depois podem trocar de papel e jogar com outras figuras.
ca
25

26. Tarefa 2: Coordenadas
Em cada uma das grelhas de coordenadas est˜o marcados trˆs pontos.
a
e
1. Em qual delas se pode marcar o ponto (G, 8) de modo a que os quatro pontos sejam
os v´rtices de um quadrado? Justifica a tua resposta.
e
2. Quando ´ que ´ poss´
e
e
ıvel, marcando um novo ponto, desenhar um quadrado em que
os trˆs pontos marcados s˜o v´rtices? Justifique e indique as coordenadas daquele
e
a e
ponto, em cada caso.
Figura 3: Grelhas de coordenadas.
3. Definir atrav´s das coordenadas os pontos que s˜o extremos de segmentos de recta
e
a
paralelos ou perpendiculares e classificar a partir desses pontos dados os pol´
ıgonos
que se obtˆm tendo por lados esses segmentos de recta.
e
26

27. Tarefas envolvendo percursos
Os alunos devem descrever percursos que habitualmente fa¸am, como por exemplo,
c
de casa para a escola, da escola para casa, de casa ao cinema, uma viagem de carro,
etc. Nessas descri¸˜es surge, naturalmente, o uso de vocabul´rio relacionado com direc¸˜o,
co
a
ca
sentido, distˆncia, etc. O professor pode escrever no quadro alguns voc´bulos ou express˜es
a
a
o
que considere mais significativos e promover a discuss˜o na turma sobre o seu significado.
a
Tarefa 3: Qual ´ o caminho?
e
Observar o esquema e imaginar que h´ uma pessoa que n˜o sabe como ´ que
a
a
e
se pode deslocar da sala para a biblioteca. Que indica¸˜es lhe podemos dar?
co
Figura 4: Esquema do caminho.
O professor vai escrevendo no quadro o que os alunos dizem e discutem-se quais s˜o as
a
indica¸˜es mais e menos apropriadas.
co
Exemplo de indica¸˜es:
co
Sair da porta da sala, virar para Oeste at´ ao fim da rua e virar para Sul. Na esquina
e
voltar para Oeste e caminhar at´ ` pr´xima esquina, onde dever´ voltar para Norte. Seguir
ea o
a
e voltar para Este. Est´ na Biblioteca.
a
Este tipo de percursos pode ser simulado na sala de aula. Com uma b´ssola os alunos
u
podem, por exemplo, determinar o Norte, na sala de aula, colocando um cart˜o com a
a
palavra NORTE num lugar apropriado. O professor pode colocar quest˜es como: Que
o
outra direc¸˜o pode ser usada para descrever outra localiza¸˜o da sala?
ca
ca
Ou,
Desenhar um esquema com as direc¸˜es (rosa-dos-ventos) para mostrar a rela¸˜o entre
co
ca
os v´rios pontos cardeais e perguntar aos alunos:
a
Qual ´ a parede da sala que est´ a Norte?; E a Este?
e
a
27

28. Colocar nas paredes etiquetas com o nome do respectivo ponto cardeal e realizar e
descrever percursos entre dois pontos da sala de aula, utilizando vocabul´rio apropriado.
a
Tarefa 4: A figura escondida
5 Dizer
aos alunos que h´ um triˆngulo escondido na sala que ´ necess´rio encontrar.
a
a
e
a
Marcar com um x um ponto no in´
ıcio. Mostrar uma lista com indica¸˜es que ajudar˜o
co
a
os alunos a descobrirem o triˆngulo. As instru¸˜es devem incluir as direc¸˜es a seguir e o
a
co
co
n´mero de passos em direc¸˜o ao Norte, ao Sul, ao Este e ao Oeste. Os alunos podem tentar
u
ca
dar passos do mesmo tamanho, ou usar uma unidade de medida de tamanho equivalente
ao seu passo m´dio, por exemplo, usando umas tiras de papel com essa medida.
e
Seleccionar um aluno e dar indica¸˜es do tipo das seguintes:
co
• No ponto de partida x, dar 4 passos para Norte
• Voltar para Este
• Voltar para Sul e dar dois passos
• Voltar para Oeste e dar um passo
• Chegou ao local onde est´ o triˆngulo.
a
a
Depois do triˆngulo descoberto, o professor promove uma discuss˜o, colocando quest˜es do
a
a
o
tipo:
O que ajudou o aluno X a encontrar o triˆngulo?
a
Ele podia encontrar o triˆngulo sem o uso dos termos Norte, Sul, Este e Oeste?
a
Existem outras maneiras de poder encontrar o triˆngulo?
a
As indica¸˜es estavam bem dadas? Como sabem?
co
Porque foi necess´rio estabelecer as direc¸oes Norte, Sul, Este e Oeste?
a
c˜
Alguns pares de alunos escrevem um conjunto de indica¸˜es que podem ajudar outros
co
alunos a encontrar um objecto que tenham escondido. Lembrar os alunos que devem
escrever indica¸˜es detalhadas. Considera-se que o jogo foi bem sucedido se a figura for
co
encontrada.
5
Tarefa inspirada em Navigating through Geometry in Grades 3-5 (NCTM)
28

29. Tarefa 5: Tra¸ar percursos
c
O Ra´l vai sair de casa (ponto A) e deslocar-se para a escola (ponto B).
u
1. Quantos percursos diferentes pode o Ra´l fazer para se deslocar de casa ` escola? Conu
a
sidera apenas os percursos mais curtos, tomando como unidade o lado da quadr´
ıcula.
Explica como pensaste.
Figura 5: Caminho para a escola.
2. Descreve um dos percursos e lˆ-o ao teu colega para ele o representar (no papel
e
quadriculado). Compara o teu (percurso) com o do teu colega e verifica se est´ de
a
acordo com as indica¸˜es dadas.
co
Com esta tarefa pretende-se que os alunos encontrem diferentes itiner´rios para ligar
a
dois pontos, neste caso, considerando apenas os itiner´rios mais curtos e tomando como
a
unidade o lado da quadr´
ıcula. Pretende-se, ainda, que os alunos ao explorarem este tipo de
situa¸˜es, percebam que, dado existirem diversas possibilidades que solucionam o problema,
co
´ necess´rio delinear uma estrat´gia que permita assegurar a sua identifica¸˜o. Neste caso,
e
a
e
ca
os alunos podem usar a estrat´gia de seguir uma ordem baseada no n´mero de esquinas.
e
u
Por exemplo, em primeiro lugar, tra¸am os itiner´rios que tˆm apenas uma esquina, depois
c
a
e
todos os que tˆm duas esquinas, e assim sucessivamente, at´ terem esgotado todas as
e
e
possibilidades para cada uma das esquinas poss´
ıveis.
Numa primeira abordagem, o professor deve deixar os alunos seguirem uma estrat´gia
e
que lhes pare¸a adequada. Por vezes, os alunos come¸am aleatoriamente, por tentativa e
c
c
erro, mas depois podem come¸ar a seguir alguma orienta¸˜o, por exemplo, podem visualizar
c
ca
que h´ itiner´rios sim´tricos, e atrav´s dessa descoberta chegar a mais alguns itiner´rios.
a
a
e
e
a
Posteriormente, no momento da discuss˜o, alguns alunos apresentam os seus itiner´rios e
a
a
explicam como chegaram a essas solu¸˜es. O professor deve colocar a seguinte quest˜o:
co
a
29

30. Tˆm a certeza de que est˜o todos os itiner´rios poss´
e
a
a
ıveis tra¸ados? Porque ´ que tˆm a
c
e
e
certeza?
Nestes momentos, em colectivo, e sempre que a discuss˜o esteja associada ` observa¸˜o
a
a
ca
de figuras, como neste caso, ´ aconselh´vel que estas sejam mostradas no retroprojector
e
a
(caso seja poss´
ıvel). O facto dos alunos as poderem visualizar permite que haja um maior
envolvimento, pois podem acompanhar o que se est´ a discutir. Finalmente, todos os alunos
a
devem verificar que existem 20 possibilidades de itiner´rios, tendo em conta as condi¸˜es
a
co
do problema. Na sistematiza¸˜o das principais ideias que se pretendem com esta tarefa, ´
ca
e
ainda importante que haja alguma reflex˜o sobre as vantagens de se delinear uma estrat´gia
a
e
que leve a uma sistematiza¸˜o das solu¸˜es e da sua representa¸˜o, sempre que ´ necess´rio
ca
co
ca
e
a
ter a certeza de que foram encontradas todas as solu¸˜es poss´
co
ıveis para um problema. Este
tipo de situa¸˜es s˜o importantes no desenvolvimento do racioc´
co
a
ınio matem´tico.
a
A ultima parte da tarefa, incentiva os alunos a fazerem descri¸˜es, que sejam compre´
co
endidas por colegas, envolvendo vocabul´rio adequado. Algumas dessas descri¸˜es devem
a
co
ser objecto de discuss˜o, na turma, em que o professor e os alunos v˜o aferindo e limando
a
a
alguns detalhes de linguagem, permitindo que os alunos desenvolvam e aperfei¸oem, cada
c
vez mais, a sua comunica¸˜o matem´tica.
ca
a
Tarefas sobre vistas de uma figura
Tarefa 6: Diferentes vistas
1. Faz uma constru¸˜o igual ` da figura em baixo.
ca
a
Quantos cubos foram usados?
Repara que a constru¸˜o que fizeste pode ser vista de frente, de lado e de cima.
ca
Figura 6: Constru¸˜o com cubos.
ca
30

31. Em baixo est˜o representadas essas 3 vistas da constru¸˜o (pode ser usado o papel
a
ca
quadriculado).
Vista de frente
Vista de cima
Figura 7: Diferentes vistas.
Vista de lado
2. A seguir, est˜o representadas trˆs vistas e o desenho da base de uma figura constru´
a
e
ıda
com cubos. Constr´i essa figura.
o
Vista de frente
Vista do lado direito
Vista de cima
Figura 8: Diferentes vistas e desenho da base.
Desenho da base
3. Constr´i figuras com cubos como as que est˜o representadas em baixo. Representa
o
a
no papel ponteado um esbo¸o de uma vista de frente, uma vista do lado direito, uma vista
c
de cima e o desenho da base para cada uma das figuras:
Figura 9: Constru¸˜es com cubos.
co
4. As figuras A e B representam cubos em constru¸˜o formados por cubos pequenos.
ca
Quantos cubos pequenos j´ est˜o em cada uma das figuras? Explica o processo que usaste
a
a
para os contares.
31

32. Figura 10: Outras constru¸˜es com cubos.
co
A tarefa Diferentes vistas ´ apropriada para os alunos dos 3.º e 4.º anos de escolaridade.
e
Esta tarefa permite trabalhar a orienta¸˜o espacial e tem como principais objectivos que
ca
os alunos aprendam a situar-se no espa¸o em rela¸˜o aos objectos e a relacionar objectos
c
ca
segundo a sua posi¸˜o no espa¸o; a representar objectos; e, a visualizar e descrever as
ca
c
posi¸˜es de objectos. As capacidades transversais est˜o presentes nesta tarefa, particularco
a
mente, quando os alunos resolvem os problemas que lhes s˜o propostos, expressam ideias e
a
justificam os seus racioc´
ınios. A comunica¸˜o matem´tica tem nesta tarefa, bem como em
ca
a
outras deste tipo, um papel fundamental.
Os materiais utilizados s˜o: cubos e papel quadriculado ou ponteado (ou isom´trico).
a
e
Esta tarefa ´ indicada para ser resolvida a pares, permitindo o di´logo e a partilha de ideias
e
a
entre os alunos, embora seja importante cada aluno ter a sua pr´pria folha de registo para
o
realizar as representa¸˜es das figuras.
co
Os alunos come¸am por construir a figura, observ´-la e descrevˆ-la. O professor deve
c
a
e
orientar essa observa¸˜o, dando a indica¸˜o de que ´ importante observar a figura de todas
ca
ca
e
as perspectivas. No caso de ser a primeira vez que os alunos est˜o a fazer este tipo de traa
balho, ´ aconselh´vel mostrar aos alunos algumas representa¸˜es de figuras com diferentes
e
a
co
vistas, usando, por exemplo, transparˆncias e o retroprojector.
e
Exemplo:
Figura 11: Constru¸˜o com cubos e respectivas vistas.
ca
32

33. O professor deve dialogar com os alunos sobre a dificuldade em se saber ao certo, nalguns
casos, qual ´ a parte da frente de uma figura, bem como as restantes partes correspondentes
e
a
`s diferentes vistas. Por isso, ´ necess´rio tomar como referˆncia um lado que se convenciona
e
a
e
no grupo ser uma das vistas da figura e todas as outras vistas s˜o depois consideradas e
a
analisadas relativamente a essa. Outra hip´tese ´ considerar-se, por exemplo, que para
o
e
todos os casos, a vista de frente ´ aquela que est´ ` frente do observador, mas nesse caso,
e
aa
quando se est´ a partilhar as observa¸˜es feitas sobre uma figura, com os colegas da turma,
a
co
´ preciso que todos partilhem do mesmo sistema de referˆncia.
e
e
A constru¸˜o de figuras e o di´logo sobre elas, utilizando o vocabul´rio espec´
ca
a
a
ıfico,
´ muito importante desde os primeiros anos, bem como a sua representa¸˜o em papel
e
ca
quadriculado ou ponteado. Tamb´m pode ser usado o papel isom´trico embora seja mais
e
e
dif´ para alunos mais novos ou que n˜o tenham experiˆncia com esse tipo de registo.
ıcil
a
e
O professor tamb´m deve mostrar representa¸˜es da base, de v´rias figuras, (mostrando
e
co
a
o n´mero de cubos em cada posi¸˜o), para os alunos se familiarizarem com esse tipo de
u
ca
representa¸˜o.
ca
Na ultima quest˜o, ´ pedido aos alunos que contem os cubos que formam cada uma das
´
a e
´
figuras A e B. Os alunos podem seguir diversas estrat´gias. E importante que arranjem
e
uma forma organizada de contagem e que sigam uma linha coerente de racioc´
ınio. Por
exemplo, podem contar os cubos que visualizam linha a linha, ou coluna ou coluna, contando
mesmo com aqueles que est˜o escondidos mas que necessariamente ter˜o de fazer parte da
a
a
constru¸˜o, partindo do princ´
ca
ıpio de que n˜o s˜o poss´
a a
ıveis buracos. Outra estrat´gia ´
e
e
imaginar que os cubos j´ est˜o completos e retirar os cubos pequenos que faltam, fila a fila
a
a
ou coluna a coluna. Os alunos poder˜o encontrar ainda outras estrat´gias.
a
e
33

35. Classifica¸˜o em Geometria
ca
De uma forma simples, pode dizer-se que classificar ´ organizar um conjunto de objectos
e
em classes segundo um crit´rio. Em geometria h´ uma estreita rela¸˜o entre a classifica¸˜o,
e
a
ca
ca
o estabelecimento de rela¸˜es entre os objectos, a identifica¸˜o de caracter´
co
ca
ısticas e a constru¸˜o de defini¸˜es. Classificam-se os objectos geom´tricos porque isso ajuda a encar´-los
ca
co
e
a
organizadamente e a obter e relacionar as suas caracter´
ısticas.
Para alguns autores, a classifica¸˜o de diferentes objectos matem´ticos de acordo com
ca
a
determinados crit´rios pode salientar a consciˆncia que se tem dos modos como se relacie
e
onam entre si. O processo de classificar exige a identifica¸˜o de semelhan¸as e diferen¸as
ca
c
c
entre os objectos matem´ticos em diversas aspectos, por isso h´ quem o considere uma
a
a
componente b´sica do racioc´
a
ınio matem´tico.
a
Segundo Alsina, Burguˆs & Fortuny (1989), h´ v´rios aspectos importantes a ter em
e
a a
conta no trabalho sobre a classifica¸˜o em Matem´tica, nomeadamente:
ca
a
• distinguir crit´rios que permitem classificar de crit´rios que n˜o permitem;
e
e
a
• ver como crit´rios aparentemente distintos d˜o lugar ` mesma classifica¸˜o;
e
a
a
ca
• deduzir poss´
ıveis crit´rios que tenham dado origem a uma classifica¸˜o;
e
ca
• sobrepor classifica¸˜es, refinando-as;
co
• classificar pela via das transforma¸˜es, sendo que estas classifica¸˜es s˜o consideradas
co
co
a
as mais genuinamente geom´tricas;
e
• utilizar representa¸˜es diversas para classifica¸˜es (recorrendo, por exemplo, a diaco
co
gramas de Venn ou conjuntos, diagramas de Carroll ou tabelas de dupla entrada,
diagramas em ´rvore).
a
Apresenta-se a seguir um exemplo de classifica¸˜o baseado no trabalho de Loureiro (2008):
ca
O conjunto de objectos a organizar ´ um conjunto de quadril´teros constru´
e
a
ıdos no geoplano de 5 por 5. Este conjunto ´ obtido com a preocupa¸˜o de incluir todos os tipos de
e
ca
35

36. quadril´teros convexos e de ter tamb´m quadril´teros cˆncavos. Numa fase pr´via a orgaa
e
a
o
e
`
niza¸˜o podem ser constru´
ca
ıdos e registados de modo acess´ os objectos que ser˜o depois
ıvel
a
classificados.
Prop˜e-se a organiza¸˜o de todos os objectos dados em classes de acordo com um crit´rio
o
ca
e
e formular esse crit´rio.
e
Figura 1: Exemplos de quadril´teros.
a
Perante este conjunto de figuras, algumas classifica¸˜es poss´
co
ıveis podem ser feitas com
base em diferentes crit´rios, como por exemplo:
e
1. Considerar, por um lado, os quadril´teros cˆncavos e por outro os convexos.
a
o
Define-se pol´
ıgono convexo como um pol´
ıgono constru´ de modo a que considerando dois
ıdo
dos seus pontos, todo o segmento de recta tendo estes dois pontos como extremos, estar´
a
inteiramente contido no pol´
ıgono6 .
2. Apenas para os quadril´teros convexos, pode considerar-se o seguinte crit´rio: sem
a
e
lados paralelos, com pelo menos um par de lados paralelo
Neste caso, obt´m-se uma classifica¸˜o em duas classes, com e sem pelo menos um par de
e
ca
lados paralelos.
Considerando apenas o conjunto dos quadril´teros que tˆm pelo menos um par de lados
a
e
paralelos (trap´zios), uma forma de representar esta classifica¸˜o pode ser um fluxograma
e
ca
como o que se apresenta.
6
Considerando pol´
ıgono como a reuni˜o da linha poligonal fechada com o seu interior.
a
36

37. 3. Ainda dentro dos quadril´teros convexos pode optar-se por uma classifica¸˜o em trˆs
a
ca
e
classes, sem lados paralelos, com um e um s´ par de lados paralelos e com 2 pares de lados
o
paralelos. Esta classifica¸˜o, que n˜o considera os paralelogramos inclu´
ca
a
ıdos na classe dos
trap´zios encontra-se, por exemplo, em Jacobs (1974, p. 315). Neste caso, um trap´zio ´
e
e
e
definido como um quadril´tero com apenas um par de lados paralelos.
a
Alguns exemplos de tarefas para os primeiros anos
Tarefa 1: Comparar figuras
Compara e descreve as figuras seguintes, identificando semelhan¸as e diferen¸as entre
c
c
elas.
Figura 2: Figuras para comparar.
37

38. Os alunos podem come¸ar por referir o n´mero de lados das figuras apresentadas, sendo
c
u
prov´vel que os alunos dos primeiros anos de escolaridade digam que, neste conjunto de
a
figuras, h´ duas figuras com quatro lados e duas figuras com trˆs lados, explicando que
a
e
basta endireitar dois lados da figura A para que essa figura seja um triˆngulo. No entanto,
a
essa explica¸˜o j´ n˜o deve surgir ao fim de algum tempo, pois ` medida que os alunos v˜o
ca a a
a
a
desenvolvendo os seus conhecimentos geom´tricos devem ter outras explica¸˜es baseadas
e
co
num reconhecimento das propriedades das figuras e, na verdade, a figura A tem quatro
lados, enquanto a figura C tem trˆs lados, e porque tˆm um n´mero de lados diferente essas
e
e
u
duas figuras pertencem a classes distintas. Mas, para descreverem estas figuras os alunos
ainda podem referir outros aspectos como o comprimento dos lados, o n´mero de v´rtices,
u
e
a existˆncia ou n˜o de lados paralelos ou o tipo de ˆngulos. A referˆncia aos dois ultimos
e
a
a
e
´
aspectos n˜o surge imediatamente, mas ` medida que os alunos s˜o confrontados com
a
a
a
situa¸˜es em que tˆm de analisar figuras, come¸ando deste modo a referir caracter´
co
e
c
ısticas
das figuras que se relacionam com a no¸˜o de ˆngulo e de paralelismo.
ca
a
´
E importante que os alunos observem muitos exemplos de figuras correspondentes `
a
mesma classe de figuras, bem como uma variedade de figuras que n˜o sejam exemplo
a
dessa classe. Por exemplo, as figuras que aparecem em seguida podem, em determinada
fase, parecer triˆngulos, mas ao descrever-se as suas propriedades os alunos s˜o levados a
a
a
concluir que trˆs dessas figuras n˜o podem pertencer a essa categoria.
e
a
Figura 3: Exemplos de triˆngulos e n˜o triˆngulos.
a
a
a
Tarefa 2: Composi¸˜o e decomposi¸˜o de figuras
ca
ca
Propor aos alunos que cortem um quadrado de papel a partir das suas diagonais, obtendo quatro figuras iguais (triˆngulos rectˆngulos is´sceles). Com estes quatro triˆngulos
a
a
o
a
os alunos devem compor outras figuras, unindo-as pelos lados congruentes. Que figuras
podem surgir? Como se podem agrupar?
´
E poss´
ıvel reconstituir o quadrado ou formar outras figuras, como por exemplo, um
triˆngulo rectˆngulo is´sceles maior, um paralelogramo, um rectˆngulo e compor outras
a
a
o
a
figuras menos conhecidas. Eis alguns exemplos de composi¸˜es:
co
38

39. Figura 4: Composi¸˜es com triˆngulos.
co
a
´
E importante discutir alguns aspectos com os alunos, a v´rios n´
a
ıveis, como por exemplo:
considera-se a forma como os quatro triˆngulos est˜o dispostos na figura? Ou considera-se
a
a
apenas o contorno da figura resultante, ou seja, o pol´
ıgono que resulta dessa composi¸˜o?
ca
As figuras seguintes podem representar a mesma figura se for considerado apenas o seu
contorno, mas ter˜o que ser consideradas duas figuras distintas se atendermos ` composi¸˜o,
a
a
ca
ou seja, a forma como os triˆngulos est˜o dispostos na composi¸˜o da figura. Este aspecto
a
a
ca
´ importante ser discutido e, em alguns casos est˜o impl´
e
a
ıcitos os conceitos de reflex˜o e
a
rota¸˜o que podem ser considerados a prop´sito da explora¸˜o das figuras formadas.
ca
o
ca
Figura 5: Figuras com a mesma forma.
As figuras seguintes s˜o congruentes e se for considerado apenas o contorno pode
a
considerar-se a mesma figura que pode ser verificado pela sua sobreposi¸˜o, mas se atenca
dermos ` composi¸˜o da figura, verifica-se que uma pode ser vista como a imagem da outra
a
ca
por reflex˜o.
a
A representa¸˜o tem nesta tarefa um papel importante. Os alunos podem fazer o registo
ca
das figuras compostas de maneiras diferentes. Podem ter v´rios triˆngulos j´ cortados que
a
a
a
v˜o colando numa folha ` medida que descobrem uma figura diferente ou ter ` sua disposi¸˜o
a
a
a
ca
quadrados de papel e v˜o decompondo o quadrado, compondo as figuras e colando-as numa
a
39

40. Figura 6: Figuras congruentes.
folha. Podem, ainda, ter esses quatro triˆngulos em cart˜o e ` medida que v˜o compondo
a
a
a
a
as figuras, v˜o registando-as por contorno. Uma outra possibilidade de representa¸˜o das
a
ca
figuras passa por utilizar o geoplano e o papel ponteado.
Quando os alunos tiverem j´ descoberto v´rias figuras (compostas pelos quatro triˆngulos
a
a
a
justapostos pelos lados congruentes), os registos podem ser afixados no quadro para que os
alunos as visualizem e discutam se existem ou n˜o figuras congruentes (iguais), justificando
a
as suas afirma¸˜es.
co
Ao pedir aos alunos que agrupem as figuras compostas significa que se pretende que
os alunos as categorizem e para isso ´ necess´rio que sejam consideradas propriedades das
e
a
figuras. Neste caso, ´ a classifica¸˜o que est´ em causa e que ´ preciso dar aten¸˜o.
e
ca
a
e
ca
A classifica¸˜o de pol´
ca
ıgonos considerando o n´mero de lados ´ muito comum. Por exemu
e
plo, as figuras seguintes tˆm quatro lados e, por isso, pertencem ` classe dos quadril´teros.
e
a
a
Figura 7: Exemplos de figuras com 4 lados.
J´ as figuras seguintes s˜o hex´gonos pois todas tˆm seis lados. Neste caso, todos eles
a
a
a
e
s˜o pol´
a
ıgonos cˆncavos.
o
Figura 8: Exemplos de figuras com 6 lados.
Mas, se considerarmos outros crit´rios ´ poss´ constituir outras subclasses. Por exeme
e
ıvel
plo, quanto ao paralelismo dos lados? Ser´ que estas figuras tˆm alguns lados paralelos?
a
e
Podem existir figuras que n˜o tenham lados paralelos, que tenham um par de lados paraa
40

41. ´ o
lelos ou que tenham mais do que um par de lados paralelos. E ´bvio que nos primeiros
anos, os alunos ainda est˜o a adquirir uma no¸˜o informal e restrita de paralelismo, mas
a
ca
esta no¸˜o mesmo informal ´ importante na classifica¸˜o de figuras. Embora seja um pouco
ca
e
ca
dif´ de verificar esta propriedade com rigor matem´tico, h´ algumas formas de contornar
ıcil
a
a
a situa¸˜o. Por exemplo, pode ter-se preparado uma folha de acetato com v´rias linhas
ca
a
paralelas representadas que os alunos podem ter sempre ` m˜o para fazerem a verifica¸˜o
a a
ca
ou pedir-se aos alunos que representem as figuras no geoplano o qual permite tirar algumas
conclus˜es com algum rigor.
o
Assim, das figuras de quatro lados apresentadas acima, podemos agrupar as seguintes
adoptando o crit´rio “ter dois pares de lados opostos paralelos”.
e
Figura 9: Figuras com dois pares de lados opostos paralelos.
E apenas a figura seguinte pelo crit´rio ”um par de lados paralelos”, a qual se pode
e
denominar trap´zio.
e
Figura 10: Figura com um par de lados paralelos.
Das quatro figuras que foram agrupadas por terem dois pares de lados paralelos, e que
se denominam paralelogramos, pode fazer-se outras organiza¸˜es tendo em conta outros
co
crit´rios.
e
Este trabalho n˜o se esgota nos primeiros anos, mas vai preparando caminho para
a
futuras classifica¸˜es mais elaboradas.
co
41

43. Paralelismo
Seja T um triˆngulo. A um ˆngulo que tem por lados a semi-recta que cont´m um dos
a
a
e
lados de T e a semi-recta obtida pelo prolongamento do outro lado do triˆngulo chamamos
a
ˆngulo externo de T
a
Assim, identificamos em cada triˆngulo seis ˆngulos externos. Estes ˆngulos formam
a
a
a
trˆs pares de ˆngulos congruentes pois s˜o verticalmente opostos relativamente a cada um
e
a
a
dos v´rtices do triˆngulo.
e
a
ˆ
Figura 1: Angulos externos de um triˆngulo.
a
No triˆngulo T = [ABC], os ˆngulos ∠CAB e ∠ACB s˜o chamados ˆngulos internos
a
a
a
a
n˜o adjacentes ao ˆngulo externo ∠CBD
a
a
Vejamos que em qualquer triˆngulo, a medida de um ˆngulo externo ´ maior do que a
a
a
e
medida dos ˆngulos internos n˜o adjacentes a esse ˆngulo.
a
a
a
Figura 2: Rela¸˜o entre ˆngulos.
ca
a
Sem perda de generalidade, consideremos no triˆngulo T = [ABC] o ˆngulo externo
a
a
∠DBC. Sejam M o ponto m´dio do segmento de recta [BC] e E o ponto da semi-recta
e
43

44. ˙
AM tal que AM = M E
Uma vez que AM = M E, BM = CM e ∠AM C ∼ ∠BM E, pelo crit´rio LAL de
e
=
congruˆncia de triˆngulos podemos concluir que os triˆngulos de v´rtices A, C, M e E, B,
e
a
a
e
∼
M s˜o congruentes. Consequentemente, ∠ACB = ∠EBC. Como E pertence ao interior
a
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
do ˆngulo ∠DBC tem-se DBC = DBE + EBC. Donde, DBC > ACB
a
ˆ
ˆ
De modo semelhante se pode mostrar que DBC > BAC.
ˆ
O resultado acabado de estabelecer ´ conhecido por Teorema do Angulo Externo
e
(TAE). A importˆncia deste teorema pode ser constatada enunciando alguns teoremas que
a
podem ser obtidos a partir dele, como os a seguir listados:
1. Um triˆngulo rectˆngulo tem necessariamente dois ˆngulos agudos;
a
a
a
2. Se r e s s˜o rectas distintas e perpendiculares a uma outra recta, t, ent˜o r e s s˜o
a
a
a
paralelas;
3. Se duas rectas intersectadas por uma secante formam ˆngulos alternos internos cona
gruentes ent˜o as rectas s˜o paralelas;
a
a
4. Se duas rectas intersectadas por uma secante formam ˆngulos correspondentes cona
gruentes ent˜o as rectas s˜o paralelas.
a
a
Vejamos que podemos efectivamente obter estes resultados utilizando o TAE.
Relativamente ao primeiro teorema listado, basta observar que sendo T = [ABC] um
triˆngulo rectˆngulo em B, e sendo D um ponto tal que B est´ entre A e D (ver figura 3),
a
a
a
o teorema do ˆngulo externo permite concluir que a medida do ˆngulo ∠DBC ´ maior do
a
a
e
que a do ˆngulo ∠BAC e a do ˆngulo ∠ACB.
a
a
Figura 3: Triˆngulo rectˆngulo.
a
a
O segundo teorema pode demonstrar-se por redu¸˜o ao absurdo. Tomemos r e s duas
ca
rectas distintas perpendiculares a uma recta t (ver figura 4). Se r e s n˜o fossem paralelas
a
intersectar-se-iam num ponto, digamos, C (ver figura 5). Ent˜o, o triˆngulo T = [ABC]
a
a
teria dois ˆngulos rectos, com v´rtices em A e B, o que ´ absurdo pelo teorema anterior.
a
e
e
Portanto, r e s s˜o paralelas.
a
44

45. Figura 4: Rectas distintas perpendiculares a
uma terceira recta.
Figura 5: Triˆngulo T = [ABC].
a
Demonstremos o terceiro teorema tamb´m por redu¸˜o ao absurdo. Sejam r e s rectas
e
ca
intersectadas por uma secante t nos pontos R e S, respectivamente. Sejam, ainda, R um
ponto de r e S um ponto de s em lados opostos de t (ver figura 6). Se r e s n˜o fossem
a
paralelas intersectar-se-iam num ponto, digamos, P (ver figura 7).
Figura 6: Rectas intersectadas por uma secante formando ˆngulos alternos internos cona
gruentes.
Figura 7: Triˆngulo T = [RSP ] .
a
ˆ
ˆ
Ora, pelo TAE, sabemos que R’RS > RSP. Mas, isto ´ absurdo porque ∠R RS ∼ ∠RSP
e
=
por hip´tese. Logo, as rectas r e s s˜o paralelas.
o
a
Para a demonstra¸˜o do teorema 4, tomemos r e s rectas intersectadas por uma secante
ca
t nos pontos R e S (respectivamente) e os ˆngulos alternos internos α e β (ver figura 8).
a
Estamos a supor que os ˆngulos correspondentes α e γ s˜o congruentes. Se r e s n˜o fossem
a
a
a
paralelas intersectar-se-iam num ponto, digamos, P (ver figura 9). Pelo TAE, a medida de
β ´ maior que a medida de α. Por outro lado, como as medidas de α e γ s˜o iguais por
e
a
45

46. estes serem ˆngulos congruentes, a medida de β seria maior que a medida de γ. Mas isto ´
a
e
absurdo porque β e γ s˜o ˆngulos verticalmente opostos logo tˆm a mesma medida. Ent˜o,
a a
e
a
as rectas r e s s˜o paralelas.
a
Figura 8: Rectas intersectadas por uma
secante formando ˆngulos correspondentes
a
congruentes.
Figura 9: Triˆngulo T = [RSP ].
a
Postulado das Paralelas
Para demonstrar os rec´
ıprocos dos dois ultimos teoremas ´ necess´rio usar o chamado
´
e
a
Postulado das Paralelas (PP) que Euclides tomou com um dos pressupostos da sua obra
Elementos. Este postulado tem v´rias formula¸˜es equivalentes. Aqui adoptamos a sea
co
guinte: Por um ponto n˜o pertencente a uma recta passa uma e uma s´ recta paralela a
a
o
essa recta
Vejamos, ent˜o, o rec´
a
ıproco do teorema 3, designadamente, se duas rectas paralelas s˜o
a
intersectadas por uma secante ent˜o os ˆngulos alternos internos formados por estas rectas
a
a
s˜o congruentes.
a
Tomemos duas rectas paralelas r e s intersectadas pela secante t nos pontos R e S,
respectivamente (ver figura 10). Suponhamos, com vista a um absurdo, que os ˆngulos
a
alternos internos α e β n˜o s˜o congruentes. Neste caso, podemos tomar uma recta, digamos
a a
u, que passa por R de tal modo que os ˆngulos alternos internos α e γ s˜o congruentes (ver
a
a
figura 11). Logo, as rectas u e s s˜o paralelas. Mas, por hip´tese, r tamb´m passa por R
a
o
e
e ´ paralela a s, o que ´ absurdo pelo Postulado das Paralelas. Ent˜o, r e s s˜o paralelas.
e
e
a
a
O rec´
ıproco do teorema 4 garante que se duas rectas paralelas s˜o intersectadas por
a
uma secante ent˜o os ˆngulos correspondentes formados por estas rectas s˜o congruentes.
a
a
a
Esta propriedade pode ser demonstrada por um processo an´logo ao anterior. Para
a
tal basta tomar duas rectas paralelas, r e s, intersectadas pela secante t nos pontos R e
46

47. Figura 10 : Rectas paralelas intersectadas
por uma secante.
ˆ
Figura 11 : Angulos alternos internos (α e
γ) congruentes.
S respectivamente (ver figura 12). Admitamos, com vista a um absurdo, que os ˆngulos
a
correspondentes α e γ n˜o s˜o congruentes. Neste caso, existe uma recta, digamos u, que
a a
passa por R de tal modo que os ˆngulos correspondentes α e β s˜o congruentes (ver figura
a
a
13). Logo, as rectas u e s s˜o paralelas. Mas, por hip´tese, r tamb´m passa por R e ´
a
o
e
e
paralela a s, o que ´ absurdo pelo Postulado das Paralelas. Ent˜o, r e s s˜o paralelas.
e
a
a
Figura 12: Rectas paralelas intersectadas
por uma secante.
ˆ
Figura 13: Angulos correspondentes (α e β)
congruentes.
O Postulado das Paralelas tamb´m ´ fundamental na demonstra¸˜o de que a soma das
e e
ca
medidas dos ˆngulos internos de um triˆngulo ´ 180º. A demonstra¸˜o cl´ssica consiste em
a
a
e
ca
a
tomar uma recta paralela a um dos lados do triˆngulo que passa pelo v´rtice oposto a esse
a
e
lado e usar duas vezes a propriedade da congruˆncia de ˆngulos alternos internos.
e
a
47

48. Figura 14: Recta paralela a um dos lados de um triˆngulo que passa pelo v´rtice oposto a
a
e
esse lado.
Mais concretamente, dado o triˆngulo T = [ABC], basta tomar a recta r, paralela ao
a
lado [AB], que passa por C (ver figura 14). Tomemos em r os pontos D e E de modo que
ˆ
ˆ
ˆ
C esteja situado entre D e E. Sendo assim, ACD + ACB + BCE = 180o . Ora, a recta AC
´ secante a r e a AB. Ent˜o, como r ´ paralela a AB os ˆngulos alternos internos ∠ACD e
e
a
e
a
∠BAC s˜o congruentes. Analogamente, atendendo a que BC tamb´m ´ secante a r e AB,
a
e e
ˆ
ˆ
os ˆngulos alternos internos ∠BCE e ∠ABC s˜o congruentes. Conclus˜o: BAC + ACB +
a
a
a
ˆ
ABC = 180o
Tarefa 1: Rela¸˜o entre as medidas dos ˆngulos agudos de um triˆngulo
ca
a
a
rectˆngulo
a
Deduz que os ˆngulos agudos de um triˆngulo rectˆngulo s˜o complementares, admia
a
a
a
tindo que a soma das medidas dos ˆngulos internos de um triˆngulo ´ 180º.
a
a
e
Figura 15: Triˆngulo T = [ABC] rectˆngulo em B.
a
a
Basta considerar um triˆngulo T = [ABC], rectˆngulo em B (ver figura 15). Como
a
a
o e ABC = 90o conclu´
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ımos que BAC + ACB = 90o . Ou seja,
BAC + ACB + ABC = 180
∠BAC e ∠ACB, os ˆngulos agudos do triˆngulo T = [ABC], s˜o complementares.
a
a
a
48

49. Tarefa 2: Rela¸˜o entre as medidas de um ˆngulo externo e dos ˆngulos
ca
a
a
internos n˜o adjacentes num triˆngulo
a
a
Deduz que a medida de um ˆngulo externo num triˆngulo ´ igual ` soma das medidas
a
a
e
a
dos ˆngulos internos n˜o adjacentes, novamente admitindo que a soma das medidas dos
a
a
a
ˆngulos internos de um triˆngulo ´ 180º.
a
e
ˆ
Figura 16: Angulo externo de um triˆngulo.
a
Sendo ∠DBC um ˆngulo externo de um triˆngulo T = [ABC] (ver figura 16), tem-se
a
a
ˆ + DBC = 180o . Como BAC + ACB + ABC = 180o , igualando estas express˜es e
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ABC
o
ˆ = BAC + ACB.
ˆ
ˆ
simplificando, conclui-se que DBC
Segmentos congruentes sobre secantes
Se uma secante t intersecta duas rectas r e s em pontos R e S, diz-se que r e s determinam o segmento [RS]sobre a secante (ver figura 17).
Figura 17 : Segmento [RS] sobre a secante t determinado pelas rectas r e s .
Quando uma secante t intersecta trˆs rectas r, s e u em trˆs pontos R, S e U , rese
e
pectivamente, e RS = SU diz-se que as rectas determinam segmentos congruentes sobre a
secante (ver figura 18).
49

50. Figura 18: Segmentos congruentes sobre uma secante.
Naturalmente, o facto de trˆs (ou mais) rectas determinarem segmentos congruentes
e
sobre uma secante, n˜o significa que determinem segmentos congruentes sobre qualquer
a
outra secante. A figura 19 pretende ilustrar isso. Na verdade, apesar de as rectas r,
s e t determinarem os segmentos congruentes [RS] e [SU ] na secante t n˜o determinam
a
segmentos congruentes [R S ] e [S U ]na secante t .
Figura 19 : Segmentos congruentes sobre uma transversal e segmentos n˜o congruentes
a
sobre outra transversal.
No entanto, se trˆs (ou mais) rectas que determinam segmentos congruentes sobre uma
e
secante forem paralelas, ent˜o determinam segmentos congruentes sobre qualquer outra
a
secante.
Teorema Fundamental da Proporcionalidade [TFP]
Este importante teorema garante que se uma recta paralela a um dos lados de um
triˆngulo intersecta os outros dois lados ent˜o divide-os na mesma raz˜o.
a
a
a
50

51. Consideremos o triˆngulo T = [ABC]. Admitamos que a recta r, paralela ao lado [AB]
a
do triˆngulo, intersecta os lados [AC] e [BC] nos pontos P e Q, respectivamente (ver figura
a
20).
Figura 20: Recta paralela a um dos lados de um triˆngulo que intersecta os outros dois
a
lados.
Vejamos que
CA
CP
=
CB
,
CQ
considerando o caso em que
CA
CP
´ um n´mero racional, ou seja,
e
u
quando os segmentos [CA] e [CP ]s˜o comensur´veis.
a
a
Neste caso, existem n, m ∈ N tais que
CA
CP
=
n
m.
Existe um segmento de comprimento
k tal que CA = nk e CP = mk. Como CP < CA tem-se m < n. Tomemos na semi˙
recta CA os n + 1 pontos P0 , P1 , P2 , ..., Pm , ..., Pn−1 , Pn de tal modo que Pj Pj+1 =
k
(j = 0, 1, 2, ..., n − 1), P0 ≡ C, Pm ≡ P e Pn ≡ A (ver figura 21).
˙
Figura 21: Pontos P0 , P1 , ..., Pn na semi-recta CA.
Tracemos rectas paralelas a [AB] que passem pelos pontos P1 , P2 , ..., Pm , ..., Pn−1 .
Estas rectas intersectam o lado [BC] em n − 1 pontos, digamos Q1 , Q2 , ..., Qn−1 . Ent˜o,
a
existe um n´mero real positivo p de tal modo que Qj Qj+1 = p
u
(j = 0, 1, 2, ..., n − 1), em
que Q0 ≡ C, Qm ≡ Q e Qn ≡ B.
Logo, CB = np e CQ = mp. Donde se conclui que
51
CB
CQ
=
np
mp
=
n
m
=
nk
mk
=
CA
.
CP

52. Rec´
ıproco do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
Assim como o TFP assume o paralelismo para garantir a proporcionalidade, o rec´
ıproco
assume a proporcionalidade para garantir o paralelismo. Mais especificamente, este teorema
estabelece que se uma recta intersecta dois lados de um triˆngulo dividindo-os na mesma
a
raz˜o ent˜o a recta ´ paralela ao terceiro lado.
a
a
e
Seja T = [ABC] um triˆngulo, P um ponto entre A e C, e Q um ponto entre B e C,
a
de modo que
CA
CP
=
CB
CQ
(ver figura 22).
Figura 22: Recta que intersecta dois lados de um triˆngulo dividindo-os na mesma raz˜o.
a
a
Donde, CQ = CB × CP . Seja PQ’ a recta paralela a [AB] que passa por P e intersecta
CA
[BC] no ponto Q . Pelo TFP temos que
CA
CP
=
CB
CQ
. Donde, CQ = CB ×
CP
.
CA
Logo,
CQ = CQ pelo que Q ≡ Q o que nos permite concluir que a recta PQ ´ paralela a [AB].
e
Teorema de Tales
Uma importante consequˆncia do TFP ´ o chamado Teorema de Tales: Se duas rectas
e
e
s˜o secantes a um conjunto de rectas paralelas, ent˜o a raz˜o entre os comprimentos de dois
a
a
a
segmentos quaisquer de uma delas ´ igual a raz˜o entre os comprimentos dos segmentos
e
`
a
correspondentes da outra.
52

53. Semelhan¸a de triˆngulos
c
a
Triˆngulos semelhantes
a
Pensemos numa correspondˆncia biun´
e
ıvoca entre os v´rtices de dois triˆngulos. Se
e
a
os ˆngulos correspondentes s˜o congruentes e os lados correspondentes s˜o proporcionais,
a
a
a
ent˜o a correspondˆncia ´ uma semelhan¸a e dizemos que os triˆngulos s˜o semelhantes.
a
e
e
c
a
a
Para indicar que os triˆngulos T = [ABC] e T = [A B C ] (ver figura 1) s˜o semelhantes
a
a
∼ ∆ [A B C ]. Os v´rtices correspondentes nestes triˆngulos s˜o A e
escrevemos ∆ [ABC] =
e
a
a
A, B e B,e C e C.
Figura 1: Triˆngulos semelhantes T = [ABC] e T = [A B C ].
a
AB
BC
AC
e
Da defini¸˜o de semelhan¸a decorre que A B = B C = A C e tamb´m que ∠ABC ∼
ca
c
=
∼ ∠B C A e ∠CAB ∼ ∠C A B . Ao quociente comum entre as medi∠A B C , ∠BCA =
=
das dos lados correspondentes do triˆngulo chamamos raz˜o de semelhan¸a ou raz˜o de
a
a
c
a
proporcionalidade. No caso em que esta raz˜o ´ igual a 1 os triˆngulos s˜o congruentes.
a e
a
a
Alguns crit´rios de semelhan¸a de triˆngulos
e
c
a
Provar que dois triˆngulos s˜o semelhantes simplesmente ` custa da defini¸˜o n˜o ´ um
a
a
a
ca a e
procedimento eficaz j´ que ´ necess´rio garantir a congruˆncia de trˆs pares de ˆngulos
a
e
a
e
e
a
53

54. (correspondentes dois a dois) e a proporcionalidade de trˆs pares de segmentos de recta
e
(correspondentes dois a dois). No entanto, podemos estabelecer a semelhan¸a de dois
c
triˆngulos recorrendo a crit´rios que envolvem menos condi¸˜es em termos de lados e/ou
a
e
co
a
ˆngulos desses triˆngulos.
a
Crit´rio de Semelhan¸a AAA. Este crit´rio envolve apenas ˆngulos: dois triˆngulos
e
c
e
a
a
s˜o semelhantes se os ˆngulos correspondentes forem congruentes. Podemos demonstrar
a
a
este crit´rio a partir dos crit´rios ALA e LAL de congruˆncia de triˆngulos bem como do
e
e
e
a
Teorema Fundamental da Proporcionalidade [TFP].
Consideremos os triˆngulos T = [ABC] e T = [A B C ] com ∠ABC ∼ ∠A B C ,
a
=
∼ ∠B C A e ∠CAB ∼ ∠C A B .
∠BCA =
=
Figura 2: Triˆngulos congruentes T = [AE F ] e T = [A B C ].
a
Tomemos pontos E e F nos lados, respectivamente, [AB] e [AC] de T de tal modo
que AE = A B e AF = A C (1). Os triˆngulos T
a
= [AE F ] e T = [A B C ] s˜o
a
∼ ∠A B C
congruentes, pelo crit´rio de congruˆncia LAL (ver figura 2). Como ∠ABC =
e
e
∼ ∠A B C (pela congruˆncia dos triˆngulos T e T ) ent˜o
(por hip´tese) e ∠AE F =
o
e
a
a
∼ ∠AE F . Por conseguinte, os segmentos de recta [E F ] e [BC] s˜o estritamente
∠ABC =
a
paralelos ou coincidentes.
Se [E F ] e [BC] s˜o estritamente paralelos, temos que
a
atendendo a (1), obtemos
que
AC
AC
BC
= BC .
BC
AC
= AC
BC
AB
AB
=
AB
AB
=
AC
AC
AB
AE
=
AC
AF
, pelo TFP. Mas,
. Por um processo an´logo poder-se-ia mostrar
a
Como os ˆngulos correspondentes s˜o congruentes (por hip´tese) e
a
a
o
, os triˆngulos T e T s˜o semelhantes.
a
a
Se [E F ] e [BC] s˜o coincidentes, os triˆngulos T e T s˜o congruentes (crit´rio de
a
a
a
e
congruˆncia ALA) logo semelhantes.
e
Atendendo ao crit´rio de semelhan¸a AAA e a que a soma das medidas das amplitudes
e
c
dos ˆngulos internos de um triˆngulo ´ 180º, basta garantir que dois ˆngulos correspona
a
e
a
dentes de dois triˆngulos s˜o congruentes para garantir a semelhan¸a desses triˆngulos.
a
a
c
a
Obtemos assim o que se designa como Crit´rio de Semelhan¸a AA.
e
c
54

55. Tarefa 1: Decomposi¸˜o do triˆngulo rectˆngulo pela altura corresponca
a
a
dente ` hipotenusa
a
Recorrendo ao crit´rio de semelhan¸a AA demonstra que a altura correspondente `
e
c
a
hipotenusa de um triˆngulo rectˆngulo o decomp˜e em dois triˆngulos semelhantes entre
a
a
o
a
si e semelhantes ao triˆngulo inicial.
a
Figura 3: Altura do triˆngulo T = [ABC] relativamente ` hipotenusa.
a
a
Considerando o triˆngulo T = [ABC], rectˆngulo em C, e CP a altura do triˆngulo cora
a
a
respondente ` hipotenusa (ver figura 3), o crit´rio AA de semelhan¸a de triˆngulos garante
a
e
c
a
que ∆ [ACP ] ∼ ∆ [ABC] (triˆngulos rectˆngulos com um ˆngulo comum) e ∆ [CBP ] ∼
a
a
a
=
=
ˆ
ˆ
∆ [ABC] (mesmo argumento). Por outro lado, por hip´tese, ACP + PCB = 90o . Como o
o
ˆ
ˆ
a
ˆngulo ∠AP C ´ recto conclu´
e
ımos que PAC + ACP = 90o . Da compara¸˜o destas rela¸˜es
ca
co
∼ ∠P CB. Logo, ∆ [ACP ] ∼ ∆ [CBP ], novamente pelo crit´rio de
resulta que ∠P AC =
e
=
semelhan¸a AA.
c
Resumindo: Com (pelo menos) dois pares de ˆngulos congruentes em dois triˆngulos
a
a
podemos garantir a sua semelhan¸a. Claro que se dois triˆngulos tiverem apenas um par
c
a
de ˆngulos congruentes n˜o s˜o semelhantes.
a
a a
Na figura 4 est˜o representados os triˆngulos T = [ADB] e T = [ACB], n˜o semelhana
a
a
tes, apesar de se verificar a congruˆncia dos ˆngulos ∠DAB e ∠CAB.
e
a
Figura 4: Triˆngulos T = [ADB] e T = [ACB] n˜o semelhantes.
a
a
55

56. Se ` congruˆncia de um par de ˆngulos correspondentes em dois triˆngulos acrescena
e
a
a
tarmos a proporcionalidade de dois pares de lados correspondentes nesses triˆngulos n˜o
a
a
temos ainda condi¸˜es suficientes para garantir a semelhan¸a dos triˆngulos. A figura 5
co
c
a
ilustra essa situa¸˜o. Foram constru´
ca
ıdos os triˆngulos T = [ABC] e T = [ADC] a obedecer
a
a
`s seguintes condi¸˜es: ∠CAB ∼ ∠CAD, AB = 2 × AD e BC = 2 × CD. A constru¸˜o
co
ca
=
foi feita utilizando o software Geogebra e as suas funcionalidades. Como [AC] ´ um lado
e
comum aos dois triˆngulos, os seus lados correspondentes n˜o s˜o proporcionais. Donde,
a
a a
os triˆngulos n˜o s˜o semelhantes.
a
a a
Figura 5: Triˆngulos T = [ABC] e T = [ADC] n˜o semelhantes.
a
a
Crit´rio de Semelhan¸a LAL. Se o par de ˆngulos congruentes nos dois triˆngulos for
e
c
a
a
formado pelos dois pares de lados correspondentes proporcionais, os triˆngulos s˜o semea
a
lhantes. Vejamos uma demonstra¸˜o deste crit´rio que assenta no crit´rio LAL de conca
e
e
gruˆncia de triˆngulos, no crit´rio AA de semelhan¸a de triˆngulos e no rec´
e
a
e
c
a
ıproco do TFP.
Sejam dados os triˆngulos T = [ABC] e T = [DEF ] em que ∠CAB ∼ ∠F DE e
a
=
AB
DE
=
AC
.
DF
Tomemos os pontos E e F nos lados [AB] e [AC], respectivamente, de tal
modo que AE = DE e AF = DF . Logo, os triˆngulos T = [AE F ] e T = [DEF ] s˜o
a
a
congruentes, pelo crit´rio de congruˆncia LAL (ver figura 6).
e
e
AC
= AF . Pelo rec´
ıproco do TFP, os segmentos
∼ ∠ABC e ∠AF E ∼ ∠ACB porque duas
[E F ] e [BC] s˜o paralelos. Donde, ∠AE F =
a
=
Como
AB
DE
=
AC
DF
(por hip´tese) tem-se
o
AB
AE
rectas paralelas (E F e BC ) cortadas por uma secante (AB no primeiro caso e AC no
segundo) formam pares de ˆngulos correspondentes congruentes.
a
Ora, a congruˆncia dos triˆngulos T = [AE F ] e T = [DEF ] permite-nos concluir
e
a
∼ ∠DEF . Como, por outro lado, ∠AE F ∼ ∠ABC ent˜o ∠ABC ∼ ∠DEF .
que ∠AE F =
a
=
=
∼ ∠F DE. Logo, pelo crit´rio AA conclu´
Mas, por hip´tese, ∠CAB =
o
e
ımos que ∆ [ABC] ∼
=
∆ [DEF ].
Crit´rio de Semelhan¸a LLL. Dois triˆngulos s˜o semelhantes se os seus lados correse
c
a
a
pondentes forem proporcionais. Vejamos como deduzir este crit´rio a partir do crit´rio LLL
e
e
de congruˆncia de triˆngulos, do crit´rio AA de semelhan¸a de triˆngulos e do rec´
e
a
e
c
a
ıproco do
TFP.
Sejam dados os triˆngulos T = [ABC] e T = [DEF ] em que
a
56
AB
DE
=
AC
DF
=
BC
EF
(ver

57. Figura 6: Triˆngulos T = [AE F ] e T = [DEF ] congruentes.
a
figura 7). Tomemos os pontos E e F , respectivamente, nos lados [AB] e [AC], de tal modo
que AE = DE e AF = DF .
AC
= AF . Pelo rec´
ıproco do TFP, os segmentos
∼ ∠ABC e ∠AF E ∼ ∠ACB porque duas
[E F ] e [BC] s˜o paralelos. Donde, ∠AE F =
a
=
Como
AB
DE
=
AC
DF
(por hip´tese) tem-se
o
AB
AE
rectas paralelas (E F e BC ) cortadas por uma secante (AB no primeiro caso e AC no
segundo) formam pares de ˆngulos correspondentes congruentes.
a
O crit´rio AA garante que os triˆngulos T = [ABC] e T = [AE F ] s˜o semelhantes pelo
e
a
a
EF
= AE ; donde
BC
AB
AB
= BC , pelo que EF
DE
EF
que
E F = BC. AE = BC. DE (1). Ainda por hip´tese sabemos que
o
AB
AB
= BC. DE (2). Comparando (1) e (2) conclui-se que E F = EF .
AB
Portanto, os triˆngulos T e T s˜o congruentes (crit´rio de congruˆncia LLL), o que implica
a
a
e
e
que os triˆngulos T e T s˜o semelhantes (crit´rio de semelhan¸a AA).
a
a
e
c
Figura 7: Triˆngulos T = [AE F ] e T = [DEF ] congruentes.
a
Medi¸˜es indirectas usando semelhan¸a de triˆngulos
co
c
a
Os crit´rios de semelhan¸a de triˆngulos mencionados podem ser usados pelos alunos
e
c
a
para fazerem medi¸˜es de objectos inacess´
co
ıveis (por exemplo, edif´
ıcios, ´rvores, etc.). Vea
jamos alguns exemplos de tarefas que podem ser propostas aos alunos com as necess´rias
a
adapta¸˜es.
co
57

58. Tarefa 2: T´ nel de Samos
u
Efectua uma pesquisa sobre a constru¸˜o de um t´nel no monte Castro, na ilha de
ca
u
Samos.
A pesquisa efectuada pelos alunos pode ser complementada pelo visionamento do filme
T´nel de Samos (ver referˆncias). A pesquisa dos alunos e o visionamento do filme constiu
e
tuem um bom ponto de partida para a an´lise da contribui¸˜o da semelhan¸a de triˆngulos
a
ca
c
a
para a resolu¸˜o deste problema de engenharia.
ca
De acordo com o historiador grego Her´doto, no ano 530 a.C. Eupalino, a mando do
o
tirano Pol´
ıcrates, construiu um t´nel que atravessa o monte Castro. O t´nel foi escavado
u
u
em duas frentes, com cerca de 800 metros de distˆncia, tendo sido cometido um erro inferior
a
a 1% na escava¸˜o. Vejamos, resumidamente, a estrat´gia que Eupalino utilizou (segundo
ca
e
alguns historiadores da Matem´tica).
a
Duas equipas de trabalhadores escavam a montanha em dois pontos (E e E no esquema
da figura 8). Em torno da montanha ´ tra¸ada uma linha poligonal aberta [EABCDF GE ]
e
c
de modo que segmentos adjacentes formem ˆngulos rectos.
a
Figura 8: Esquema da constru¸˜o do t´nel de Samos.
ca
u
Tendo em conta os comprimentos de cada um dos segmentos da linha poligonal, obtˆme
se os comprimentos dos segmentos [E J] e [EJ], catetos do triˆngulo rectˆngulo [E JE] com
a
a
J a pertencer ` recta determinada por E e G. De facto,
a
EJ = AB + CD − GF e E J = E G + F D − EA − BC.
Por constru¸˜o, o triˆngulo ∆ [EE J] ´ rectˆngulo. Em cada um dos pontos em que a
ca
a
e
a
montanha foi inicialmente escavada (E e E) constroem-se dois triˆngulos auxiliares (n˜o
a
a
unicos), a saber, ∆ [E HI] e ∆ [M EL] rectˆngulos em I e L (respectivamente) de modo
´
a
58

59. que
HI
IE
=
EL
LM
=
EJ
.
JE
Note-se que a raz˜o
a
EJ
JE
´ conhecida.
e
Nestas condi¸˜es, os triˆngulos ∆ [E HI], ∆ [EE J] e ∆ [M EL] s˜o semelhantes (crit´rio
co
a
a
e
LAL) pelo que ∠IHE ∼ ∠JE E ∼ ∠LEM e ∠HE I ∼ ∠E EJ ∼ ∠EM L. Logo, [EM ]
=
=
=
=
d´ a direc¸˜o correcta para a escava¸˜o na entrada E e [E H]para a entrada E .
a
ca
ca
Tarefa 3: Ecr˜s de televis˜o e filmes
a
a
Pretende passar-se um filme na raz˜o 2:1 numa televis˜o com ecr˜ 4:3. Nesta situa¸˜o,
a
a
a
ca
ou o filme ´ ‘cortado’ ou n˜o ´ utilizado todo o ecr˜. Calcula a propor¸˜o do ecr˜ do televisor
e
a e
a
ca
a
n˜o utilizado neste formato de filme bem como a propor¸˜o de filme cortado relativamente
a
ca
aa
` ´rea total de filme.
Os ecr˜s de televis˜o podem ser representados por rectˆngulos em que a raz˜o entre
a
a
a
a
os lados ´ 4:3 (caso standard ) ou 16:9 (chamado widescreen). No caso dos filmes existe
e
uma grande variedade de raz˜es entre os lados dos rectˆngulos que os representam. Por
o
a
exemplo: 1,85:1 ou o Cinemascope 2,35:1. Quando os rectˆngulos que representam o ecr˜
a
a
do televisor e o filme n˜o s˜o semelhantes, isto significa que existe ‘ecr˜ a mais’ ou ‘filme a
a a
a
menos’ !
Na figura 9 est´ ilustrada a situa¸˜o em que h´ ‘ecr˜ a mais’. O filme, rectˆngulo
a
ca
a
a
a
[EF GH], n˜o preenche completamente o ecr˜ do televisor, rectˆngulo [ABCD].
a
a
a
Figura 9: Situa¸˜o em que h´ ‘ecr˜ a mais’.
ca
a
a
A situa¸˜o em que o filme ´ ‘cortado’, ´ ilustrada na figura 10. Repare-se que o filme,
ca
e
e
rectˆngulo [EF GH], n˜o cabe no televisor, rectˆngulo [ABCD].
a
a
a
Figura 10: Situa¸˜o em que h´ ‘filme a mais’.
ca
a
59