1. Mecânica Computacional
Artur Portela
Mecânica Computacional 1

2. Mecânica Computacional
Objetivos do curso
1 – Compreensão clara dos princípios básicos do
Método dos Elementos Finitos (MEF);
2 – Resolução de alguns problemas práticos para
familiarização com a modelação com o MEF.
Mecânica Computacional 2

3. Mecânica Computacional
Mecânica Computational – resolução de problemas da
Mecânica, através da Modelação Computational – isto é,
processo de representação dos problemas, com Modelos
Discretos implementados em computador.
Modelos Discretos:
• Diferenças finitas (MDF),
• Elementos finitos (MEF),
• Elementos de fronteira (BEM).
Mecânica Computacional 3

4. Mecânica
Os ramos da Mecânica classificam-se de acordo com os
problemas físicos que tratam:
- Nano e Micromecânica
Mecânica - Mecânica dos
Sólidos
- Mecânica do Contínuo - Mecânica dos
Fluidos
- Multifísica
Mecânica Computacional 4

5. Modelação Computacional
SISTEMA FÍSICO
• número infinito de parâmetros
Idealização: selecionar os
parâmetros fundamentais realmente
caraterísticos do fenômeno.
SISTEMA IDEALIZADO
• número finito de parâmetros
Modelagem Matemática:
aplicação dos princípios da Mecânica:
cinemática, equilíbrio & constitutivo
MODELO CONTÍNUO
• sistema de equações diferenciais
• número infinito de graus de liberdade
• solução exata (matematicamente) Discretização: definição dos
graus de liberdade num número finito
de pontos, os nós da malha, através
MODELO DISCRETO
• sistema de equações algébricas de MDF, MEF e BEM.
• número finito de graus de liberdade
• solução aproximada
Mecânica Computacional 5

6. Exemplo da Modelação Computacional
Exemplo da Modelação Computacional
1 – Sistema Físico
1 – Sistema Físico
Determinar a deformada da estrutura
sob a ação do pesopróprio. estrutura
Determinar a deformada da
sob a ação do pesopróprio.
Número infinito de parâmetros
Número infinito de parâmetros
2 – Sistema Idealizado
2 – Sistema Idealizado
Viga simplesmente apoiada
Viga simplesmente apoiada
sob a ação duma carga
sob a ação duma carga
uniformente distribuída.
uniformente distribuída.
Numero finito de parâmetros
Numero finito de parâmetros
1
1
u2 ; k =
u2; k = e M1
e M1
R2
R2
Mecânica Computacional
Mecânica Computacional 6
6

7. Exemplo da Modelação Computacional
3 – Modelo Contínuo
Cinemática
A curvature é a taxa de
variação da rotação, ao
longo do eixo:
1 µ + dµ ° µ1
µμ1 + dµμ1 ¡ µμ1
2 =
k2 = =
= = µ1;3
= µμ1;3
R2
R2 dx33
Mecânica Computacional 7

8. Exemplo da Modelação Computacional
3 – Modelo Contínuo
Cinemática
A rotação é a taxa de
variação do deslocamento,
ao longo do eixo:
u2 + du2 ° u2
u2 + du2 ¡ u2
° µ º tan µ =
¡µμ1 ¼ tan µμ1 = = u2;3
= u2;3
dx3
Mecânica Computacional 8

9. Exemplo da Modelação Computacional
Exemplo da Modelação Computacional
3 – Modelo Contínuo
3 – Modelo Contínuo
11 = µμ1;3
1
Cinemática
Cinemática
k22 =
k 22 = R22 = µ1;3
k =
R2
= µμ1;3
1;3 k 22 = ° u2;33
k22 = ¡u2;33
k = ¡u2;332;33
R2 x22
x22
¡µμ11 = u2;3
¡µμ1 = u2;3 "33 =
"33 =
33 = = k22x22
= k22x22
=
° µ1 = u2;3
2;3 33
R 22
R22
R
Equilíbrio
Equilíbrio
° p 2 = M 1;33
¡p = M1;33
¡p22 = M1;33
M 11x 22
Mx
M11x22
æ33 =
¾ 33 =
¾33 =
II11
11
11
11
Constitutivo M 11
M
M11
Constitutivo æ33 = E " 33
¾33 = E "33
¾33 = E "33 k 2=
k =
k22 =
E I 11
EI11
EI1111
Mecânica Computacional
Mecânica Computacional
Mecânica Computacional 99
99

10. Exemplo da Modelação Computacional
3–
3 – Modelo Contínuo
Prescribed
Prescribed DBCs
DBCs Transverse
Transverse Distributed
Distributed
end
end displacement
displacement transverse
transverse
displacements
displacements
displacements u2(x3))
u2 (x3 load p(x3)
load p(x3)
Cinemática k2 ==-u u2;33
Cinemática k 2 = ¡u 2;33
Kinematics k2 = °
Kinematics κ =-u
κ =-u
κ 2,33
2,33 ° p2 = 33 1;33 Equilíbrio
-p=M,M 1;33
¡p2 = M1;33 Statics
-p=M,33
Curvature
Curvature M = M1Mκ
M = EI κ1
EI
M = EI κ1 Bending
Bending
Prescribed
Prescribed
k2 =
2 =
k2 = moment
moment end loads
κ(x3 )
3
3 E I 11
EI11 M(x3)
M(x3) FBCs
FBCs
end loads
Constitutive
Constitutivo
Mecânica Computacional
Mecânica
Mecânica Computacional 10
10

11. Exemplo da Modelação Computacional
Exemplo da Modelação Computacional
3 – Modelo Contínuo
3 – Modelo Contínuo
Linha Elástica
Linha Elástica
Equação diferencial com BCs
Equação diferencial com BCs
k = ° u 2;33
k22 = ¡u2;33
= ¡u
M11
M =
x33 = 0
x3 = 0
M 2;33 = °
u2;33 = ¡
u2;33 = ¡ Com DBCs: =
Com DBCs: u22= 0 at
u 2 = 0 at
k2 =
k22 =
k =
M11
M EII11
E 11
EI11 x =
x33 = ll
x =
EII11
E 11
EI11
Solução exata da equação diferencial
Solução exata da equação diferencial
° p2 = M 1;33
p22x33 33
px
=
u22 =
u2 = (x3 ¡ 2lx3 + 3
° 2
(x33 ¡ 2lx22 + ll33))
33 +
24EII11
24E 11
24EI11
número infinito de graus de
número infinito de graus de
x
liberdade( u2 em cada ponto x3 ))
liberdade( u2 em cada ponto x3

12. Exemplo da Modelação Computacional
4 – Modelo Discreto
A solução deste problema simples
determinou-se analiticamente com
métodos exatos ou formais.
Os problemas práticos não têm soluções exatas.
Neste caso, a discretização que usa métodos
numéricos, é aplicada para se obter uma solução
aproximada.
Mecânica Computacional 12

13. Exemplo da Modelação Computacional
Finite Element Mesh
1 2 3 4
4 – Modelo Discreto
Elementos Finitos
– Nós– pontos do domínio
u2 u3
onde os graus de liberdade,
as incógnitas u1, u2, u3 & u4,
são definidas.
Número finito de graus de
liberdade: u1, u2, u3 & u4
– Elementos – região entre
cada par de nós, onde se prescreve uma
aproximação local (linear).
Solução aproximada
Mecânica Computacional 13

14. Exemplo da Modelação Computacional
4 – Modelo Discreto
4 – Modelo Discreto
Formulação dos Elementos Finitos
Formulação dos Elementos Finitos
A aproximação u, definida em cada elemento, dá origem a um
A aproximação u, definida em cada elemento, dá origem a um
resíduo RD na equação diferencial. Este resíduo é ponderado por
resíduo RD na equação diferencial. Este resíduo é ponderado por
uma função arbitrária WD e distribuído no domínio D – formulação
uma função arbitrária WD e distribuído no domínio D – formulação
de resíduos ponderados:
de resíduos ponderados:
Z
Z
u0 = u + E
u0 =u + E R ¢ = L u in ¢
R¢ =Lu in ¢ (L u) W¢ d¢ = 0
(Lu) W¢d¢=0
¢
¢
Wheighted Residual Equation
Wheighted Residual Equation
(WRE)
(WRE)
Mecânica Computacional
Mecânica Computacional 14
14

15. Exemplo da Modelação Computacional
Finite Element Mesh
4 – Modelo Discreto 1 2 3 4
Malha de Elementos Finitos
K =
K=
A malha de elementos finitos permite que o
WRE seja calculado através da contribuição de
cada elemento, dando origem a um sistema de
equações algébricas, cujas incógnitas são os 2 3
graus de liberdade. Este sistema substitui o u= P=
u=6 u 1 7 P=
sistema de equações diferenciais: 6u 7
6 27
6 7
Ku = P
K u =P 6u3 7
4 5
Sistema de equações algébricas u4
Mecânica Computacional

16. Exemplo da Modelação Computacional
4 – Modelo Discreto
Precisão da solução
A precisão pode sempre ser
melhorada através de um dos
métodos:
método h – mantendo o mesmo tipo de
elemento, a malha é refinada com
elementos mais pequeno.
método p – mantendo a mesma
malha, eleva-se o grau da aproximação
local.
Mecânica Computacional 16

17. Mecânica Computacional
Programa do Curso
1) Ambiente do MAPLE
2) Modelação Computacional
3) Aproximação com Resíduos Ponderados
4) Técnicas de Interpolação
5) O Método dos Elementos Finitos
6) Aplicações na Mecânica dos Fluidos
7) Aplicações na Mecânica dos Sólidos
Mecânica Computacional 17

18. Mecânica Computacional
Bibliografia
• Portela, A., Charafi, A., Finite Elements Using Maple – A Symbolic
Programming Approach, Springer, Berlin, 2002.
• Zienkiewicz, O.C., Morgan, K., Finite Elements and Approximation, John
Wiley & Sons, New York, 1983.
• Brebbia, C.A., Connor, J.J., Finite Elements for Fluid Flow, Butterworths,
London 1975.
• Bath, K.J., Wilson, E.L., Numerical Methods in Finite Element Analysis,
Prentice Hall, New Jersey, 1976.
• Zienkiewicz, O.C., The Finite Element Method, Mc Graw-Hill, New York,
1977.
Course material:
http://www.moodle.uevora.pt/1112/course/view.php?id=1376
Mecânica Computacional 18

19. Mecânica Computacional
Avaliação de Conhecimentos
- Apresentação oral na aula (30 minutes) de 2 trabalhos de grupo.
Não haverá exame final
Software
Trabalho de grupo: MAPLE
Mecânica Computacional 19

20. Mecânica Computacional
Homework – 1
Compute the seepage discharge under the dam, with the finite
element method.
Mecânica Computacional 20

21. Mecânica Computacional
Homework – 1
Seepage
boundary
Artificial
seepage
boundary
Impermeable
boundary
120 m 120 m
Mecânica Computacional 21

22. Mecânica Computacional
Homework – 1
mesh1
mesh2
mesh3
Mecânica Computacional 22

23. Mecânica Computacional
Homework – 1
gradiente da densidade da energia
mesh1
mesh2
mesh3
23

24. Mecânica Computacional
Homework – 1
24

25. Mecânica Computacional
Homework – 1
Mecânica Computacional 25

26. Mecânica Computacional
Homework – 1
Mecânica Computacional 26

27. Mecânica Computacional
Homework – 2
A building is to be founded on a
ground with permeable soil. Within
the base of the building, the
excavation works in the foundation
require the water table to be lowered
by means of pumping out from 4
wells. Compute the discharge to be
pumped out from each well, using
the finite element method.
Mecânica Computacional 27

28. Mecânica Computacional
Homework – 2
Mecânica Computacional 28

29. Mecânica Computacional
Homework – 3
Consider a circular or
square disc under
the action of two
compressive point
forces. Consider the
symmetry of the
problem and design
a smart mesh of
finite elements.
Mecânica Computacional 29

30. Mecânica Computacional
Homework – 3
U2 > U3 > U1 U3 = 80% U2 U1 = 33% U2
Smart Mesh
Malha eficiente Malha prática Malha regular
U2=0.3341E-5 U3=0.2695E-5 U1=0.2227E-5
43 elementos finitos 52 elementos finitos 50 elementos finitos
30

31. Mecânica Computacional
Homework – 4
Uma consola curta serve de apoio
a uma viga que lhe transmite uma
força concentrada através de um
aparelho de apoio. Admitindo um
estado plano de tensão, discretize
a consola com uma malha de
elementos finitos e calcule as
tensões principais desenhando-as
na malha. Comente se a consola
tem a forma mais conveniente.
Mecânica Computacional 31

32. Mecânica Computacional
Boa sorte !!!
Mecânica Computacional 32