Math

1. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 à 28) 2-11-06 11:15 ™ÂÏ›‰·201
ª¤ÚÔ˜ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›· - 201 -
¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°E™
ªÈ· ÁÚ·ÌÌ‹ Á Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â˘ı›·  ÛÙ· ÛËÌ›· ∞, µ Î·È °. ¡· ‚ÚÂı› Ô ÏfiÁÔ˜ ÁÈ· ÙÔÓ ÔÔ›Ô
1. Î·È Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ Á Ù˘ Á, ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· Â, ı· ÂÚÓ¿ÂÈ ·fi Ù· ›‰È· ÛËÌ›·.
§‡ÛË
Á
∏ Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ ÁÚ·ÌÌ‹ Á Ù˘ Á ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â,
·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο fiÏˆÓ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ
Ù˘ Á. ∂Ô̤ӈ˜ ÛÙË Á ·Ó‹ÎÔ˘Ó Î·È Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο
ÛËÌ›· ÙˆÓ ∞, µ Î·È °. ∂Âȉ‹ fï˜ Ù· ∞, µ Î·È ° Â›Ó·È ∞ µ Â
°
ÛËÌ›· Ù˘  ٷ Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÙÔ˘˜ Â›Ó·È Ù· ›‰È· Ù· Á
ÛËÌ›·. ÕÚ· Ù· ∞, µ Î·È ° ·Ó‹ÎÔ˘Ó Î·È ÛÙË Á .
2. ¡· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ∞ ÛËÌ›Ԣ ∞ ˆ˜ ÚÔ˜ ÌÈ· ¢ı›· Â.
§‡ÛË ∞
¢È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ‰‡Ô ÂÚÈÙÒÛÂȘ: Â
∆Ô ÛËÌÂ›Ô ∞ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›· Â. ∆fiÙÂ, fiˆ˜ ›‰·ÌÂ,
ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ Â›Ó·È ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞.  ∞
∆Ô ÛËÌÂ›Ô ∞ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›· Â. ∆fiÙÂ, ÁÈ· Ó· ‚ÚÔ‡ÌÂ
µ
ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘, ·ÎÔÏÔ˘ıԇ̠ÙËÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ‰È·‰Èηۛ·:
º¤ÚÓÔ˘Ì ÙÔ Î¿ıÂÙÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ÚÔ˜ ÙËÓ ∞
¢ı›· Â Î·È ÙÔ ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ηٿ ›ÛÔ ÙÌ‹Ì·, ÒÛÙ ӷ
Â›Ó·È µ∞ã = ∞µ. ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ∞ Â›Ó·È ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ ∞ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· Â.
3. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ ˆ˜ ÚÔ˜ ¢ı›· Â: (·) ¢ı›·˜ ‰ Î·È (‚) ËÌÈ¢ı›·˜ ∞x.
A B
‰
§‡ÛË
(·) ¶·›ÚÓÔ˘Ì ‰‡Ô ÛËÌ›· ∞ Î·È µ ¿Óˆ ÛÙËÓ Â˘ı›· ‰
Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘ÌÂ, fiˆ˜ ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È ÛÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ Â
B
3, Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÙÔ˘˜ ∞ Î·È µ , ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â. ∏
¢ı›· ‰ Ô˘ ÔÚ›˙Ô˘Ó Ù· ∞ Î·È µ Â›Ó·È Ë ∞
‰
Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ Ù˘ ¢ı›·˜ ‰. B x
A
(‚) ¶·ÚfiÌÔÈ· ·›ÚÓÔ˘ÌÂ, ÂÎÙfi˜ ÙÔ˘ ∞, ¤Ó· ‰Â‡ÙÂÚÔ
ÛËÌÂ›Ô µ ¿Óˆ ÛÙËÓ ËÌÈ¢ı›· ∞x Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘ÌÂ,
Â
fiˆ˜ ÚÈÓ, Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÙÔ˘˜ ∞ Î·È µ ˆ˜ ÚÔ˜
ÙËÓ Â. ∏ ËÌÈ¢ı›· ∞ x Ô˘ ÔÚ›˙Ô˘Ó Ù· ∞ Î·È µ
Â›Ó·È Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ Ù˘ ËÌÈ¢ı›·˜ ∞x. A
B x
4. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ∞ µ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ, ˆ˜ ÚÔ˜ ÌÈ· ¢ı›· Â.
§‡ÛË
BÚ›ÛÎÔ˘Ì Ì ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ô˘ ›‰·Ì µ µ µ
∞ Â Â ∞ Â
ÛÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 3, Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ∞ ∞
Î·È µ , ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â, ÙˆÓ ∞ Î·È µ µ
µ
·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ∆fiÙ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ
ÙÌ‹Ì· ∞ µ ı· Â›Ó·È ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ➊ ➋ ➌ ∞
ÙÔ˘ ∞µ, ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· Â.
T· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ı· Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ›Û·, ‰ËÏ·‰‹: ∞ µ = ∞µ

2. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 à 28) 2-11-06 11:15 ™ÂÏ›‰·202
- 202 - ª¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›·
∧
N· ηٷÛ΢·ÛÙ› Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ ÁˆÓ›·˜ x∞ y ˆ˜ ÚÔ˜
5. Ì›· ¢ı›· Â. ∞
Â
∞
§‡ÛË
∧
°È· Ó· ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ÙË ÁˆÓ›· x ∞ y ·ÚΛ Ó· ‚Úԇ̠ÙÔ µ µ
Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ∞ Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜ ∞ ηıÒ˜ Î·È Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο µ
x ° ° x
Î·È ° ‰‡Ô ·ÎfiÌ· ÛËÌ›ˆÓ µ Î·È °, Ô˘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÙÔ Î·ı¤Ó· ÛÂ
y y
ÌÈ· ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·.
∧ ∧
°ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ı· ›ӷÈ: x A y = x Ay .
N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ∞ µ ° ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° ˆ˜ ÚÔ˜ Ì›· ¢ı›· Â, Ë
6. ÔÔ›· (·) ‰ÂÓ Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘, (‚) ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ‰‡Ô ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘ Î·È (Á) Ù¤ÌÓÂÈ
ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘.
§‡ÛË
™Â οı ÂÚ›ÙˆÛË ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ٷ Û˘ÌÌÂÙÚÈο ∞ , µ , ° , ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â, ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ
∞, µ, ° ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ∆fiÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° ¤¯ÂÈ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞ µ ° , Ô˘
Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ∞µ°.
  Â
∞ ∞ ∞ ∞
° °
µ µ ∞ ∞ µ µ
° ° µ µ ° °
(H  ‰ÂÓ Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ Ï¢ڤ˜) (∏  ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· µ Î·È °) (∏  ٤ÌÓÂÈ ÙȘ Ï¢ڤ˜)
Â
7. ¡· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ·ÎÏÔ˘ (√, Ú) ˆ˜ ÚÔ˜ √
Ú
¢ı›· Â.
§‡ÛË
∆Ô Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (√, Ú) ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â Â›Ó·È Î‡ÎÏÔ˜ Ú
(√ , Ú) ›ÛÔ˜ Ì ÙÔÓ (√, Ú), Ì √ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ √ ˆ˜ ÚÔ˜
√
ÙËÓ Â. Ÿˆ˜ fiÏ· Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù·, ÔÈ Î‡ÎÏÔÈ (√, Ú) ηÈ
(√ , Ú) Â›Ó·È ›ÛÔÈ, ‰ËÏ·‰‹ ¤¯Ô˘Ó ›Û˜ ·ÎÙ›Ó˜.
¡· ¯·Ú·¯ı› Ë ÔÚ›· ÙˆÓ ·ÎÙ›ÓˆÓ ÙÔ˘ ʈÙfi˜, Ô˘ ÂÎ¤ÌÔÓÙ·È ·fi ¤Ó· ʈÙÂÈÓfi
8. ÛËÌÂ›Ô ∞ Î·È ·Ó·ÎÏÒÓÙ·È Û’ ¤Ó·Ó Â›Â‰Ô Î·ıÚ¤ÊÙË (Ô ÔÔ›Ô˜ ÛÙÔ Û¯‹Ì· Ê·›ÓÂÙ·È ˆ˜
Ì›· ¢ı›· Â).
§‡ÛË
∞
BÚ›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ∞ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ
¢ı›· Â.
√È ·ÎÙ›Ó˜ ·Ó·ÎÏÒÓÙ·È ÛÙÔÓ Î·ıÚ¤ÊÙË Î·È ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó
Â
ÙËÓ ÔÚ›·, Ô˘ ı· ›¯·Ó, ·Ó Ë ËÁ‹ ÙÔ˘ ʈÙfi˜ ‹Ù·Ó ÙÔ
ÛËÌÂÈÔ ∞ . ∂Âȉ‹ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÔÈ ·ÎÙ›Ó˜
Ì ÙËÓ Â Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈΤ˜, ı· Â›Ó·È Î·È ›Û˜.
ÕÚ·, Ë ÁˆÓ›· Ì ÙËÓ ÔÔ›· ÌÈ· ·ÎÙ›Ó· ¤ÊÙÂÈ ÛÙÔÓ ∞
ηıÚ¤ÊÙË Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙË ÁˆÓ›· Ì ÙËÓ ÔÔ›· ·Ó·ÎÏ¿Ù·È.

3. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 à 28) 2-11-06 11:15 ™ÂÏ›‰·203
ª¤ÚÔ˜ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›· - 203 -
9. ™ÙÔ Û¯‹Ì· Ù· ÛËÌ›· µ Î·È µ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· Â. ¡· ‚ÚÂı› ÌÂ
ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÌfiÓÔ ÙÔ˘ ¯¿Ú·Î· ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ ∞ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· Â.
§‡ÛË ∞
∂Âȉ‹ Ì ÙÔ ¯¿Ú·Î· ÌÔÚԇ̠ӷ ʤÚÔ˘Ì ÌfiÓÔ µ
¢ı›˜ ÁÚ·Ì̤˜, ·ÎÔÏÔ˘ıԇ̠ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ‚‹Ì·Ù·,
fiˆ˜ Ê·›ÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì·: Â
ñ º¤ÚÓÔ˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· ∞µ Î·È ÙËÓ ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘ÌÂ
̤¯ÚÈ Ó· ÙÌ‹ÛÂÈ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ·  ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫. µ
ñ º¤ÚÓÔ˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· ∫µ , Ë ÔÔ›· Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ Ù˘ ∫µ, ·ÊÔ‡ ÂÓÒÓÂÈ ‰‡Ô
Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÛËÌ›· ·˘Ù‹˜, Ù· ∫ Î·È µ .
ñ º¤ÚÓÔ˘Ì ÙËÓ ∞µ , Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â ÛÙÔ √.
ñ ∆¤ÏÔ˜, ʤÚÓÔ˘Ì ÙËÓ µ√, Ô˘ Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ Ù˘ Â›Ó·È Ë √µ .
√È Â˘ı›˜ ∫µ Î·È µ√ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈΤ˜ ÙˆÓ ∫µ Î·È µ √ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Î·È ÔÈ ÙÔ̤˜ ÙÔ˘˜
ı· Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÛËÌ›·, Ù· ∞ Î·È ∞ .
∞ ➊ ∞ ➋ ∞ ➌ ∞ ➍ ∞ ➎
B B B B B
 ∫  ∫  ∫  ∫  ∫
√ √ √
B B B ∞ B ∞ B
∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞
∧
1. ¡· ‚ÚÂȘ ÙË Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ xO y ˆ˜
ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· Â, Û ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ‰‡Ô
x
O
Â
ÂÚÈÙÒÛÂȘ. y
y
 O x
2. N· ‚ÚÂȘ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (√, Ú) ˆ˜
ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›·  Û ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ‰‡Ô Â
O O
ÂÚÈÙÒÛÂȘ. Ú
Â
∞ ∞ µ
N· ‚ÚÂȘ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ˆ˜ ÚÔ˜
3. ÙËÓ Â˘ı›· Â Î·È ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ Ó¤Ô˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ˆ˜ ÚÔ˜
ÙËÓ Â˘ı›·  , Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË Ì ÙËÓ Â. ∆È Û¯¤ÛË
Â
¤¯Ô˘Ó ÙÔ ·Ú¯ÈÎfi Î·È ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô Û¯‹Ì·; ¡· Â·Ó·Ï¿‚ÂȘ ÙÔ
›‰ÈÔ Î·È Ì ÌÈ· ÙÚ›ÙË ·Ú¿ÏÏËÏË. ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜; Â
¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∂™ °π∞ ∆√ ™¶π∆π
µÚ˜ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÌÈ· ¢ı›· Â Î·È ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi
1. ÙÔ˘ Ó¤Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ Ì›· ¿ÏÏË Â˘ı›· ˙. ∆È Û¯¤ÛË ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ·Ú¯ÈÎfi ηÈ
ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ÙÚ›ÁˆÓÔ; ¡· Â·Ó·Ï¿‚ÂȘ ÙÔ ›‰ÈÔ Î·È Ì ÙÚ›ÙË Â˘ı›·.
¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‰Â›ÍÂȘ, fiÙÈ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi Û¯‹Ì· ˆ˜ ÚÔ˜ ¿ÍÔÓ· ‰ ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ Â
2. ·Ú¿ÏÏËÏ˘ ÚÔ˜ ÙË ‰, Â›Ó·È Â˘ı›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· Â.

4. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 à 28) 2-11-06 11:15 ™ÂÏ›‰·204
- 204 - ª¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›·
µ.2.2. Õ Í Ô Ó · ˜ Û ˘ Ì Ì Â Ù Ú › · ˜
¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞
™¯Â‰›·Û ے ¤Ó· ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ› ÌÈ· ¢ı›·. ∆ÔÔı¤ÙËÛ ÙÔ ‰È·Ê·Ó¤˜ ·˘Ùfi ¯·ÚÙ› ¿Óˆ ÛÂ
ηı¤Ó· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù·. ∂ͤٷÛ ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ı¤ÛË Ù¤ÙÔÈ· Ô˘ Ù· ‰‡Ô ̤ÚË, ÛÙ·
ÔÔ›· Ë Â˘ı›· “¯ˆÚ›˙ÂÈ” ÙÔ Û¯‹Ì·, Û˘Ì›ÙÔ˘Ó, fiÙ·Ó ÙÔ ‰ÈÏÒÛÂȘ ηٿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ¢ı›·˜,
·ÎÚÈ‚Ò˜ ÛÙË ı¤ÛË ·˘Ù‹.
➣ ¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‚ÚÂȘ ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Î·È ¿ÏÏË ı¤ÛË ÛÙËÓ ÔÔ›· ÌÔÚ›˜ Ó· ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ
ÙÔ ›‰ÈÔ Ê·ÈÓfiÌÂÓÔ ÁÈ· ÙÔ ›‰ÈÔ Û¯‹Ì·.
£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ
ãAÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ë Â˘ı›· Ô˘ ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙÔ Û¯‹Ì· ÛÂ
‰‡Ô ̤ÚË, Ù· ÔÔ›· Û˘Ì›ÙÔ˘Ó fiÙ·Ó ‰Èψı› ÙÔ Û¯‹Ì· ηٿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ¢ı›·˜.
™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌ fiÙÈ ÙÔ Û¯‹Ì· ¤¯ÂÈ ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙËÓ Â˘ı›· ·˘Ù‹.
ŸÙ·Ó ¤Ó· Û¯‹Ì· ¤¯ÂÈ ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜, ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ
¿ÍÔÓ· ·˘ÙfiÓ Â›Ó·È ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÔ Û¯‹Ì·.

5. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 à 28) 2-11-06 11:16 ™ÂÏ›‰·205
ª¤ÚÔ˜ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›· - 205 -
¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ - ∂º∞ƒª√°∏
N· ‚ÚÂıÔ‡Ó ÔÈ ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Î·È ÙÔ˘
·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘ (√,Ú).
 O
§‡ÛË
Ú
ªÂ ‰›ψÛË ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë Â˘ı›·  ¿Óˆ ÛÙËÓ ÔÔ›·
‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÌÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (√,Ú) ›ӷÈ
¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘.
EÔ̤ӈ˜:
√ÔÈ·‰‹ÔÙ ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È ¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Î·È ÙÔ˘
·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘.
∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞
1. ¡· ÂÈϤÍÂȘ ÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË:
K¿ı ·ÎÏÔ˜ Î·È Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯԘ ΢ÎÏÈÎfi˜ ‰›ÛÎÔ˜ ¤¯Ô˘Ó:
❑ ŒÓ· ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜
❑ ÕÂÈÚÔ˘˜ ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜
❑ ∫·Ó¤Ó· ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜.
2. ∂ͤٷÛ ·Ó Ù· ÎÂÊ·Ï·›· ÁÚ¿ÌÌ·Ù· ÙÔ˘ ·ÏÊ·‚‹ÙÔ˘ Α, Ι, Γ Î·È Θ ¤¯Ô˘Ó:
(·) ηӤӷ, (‚) ¤Ó·, (Á) ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ˘˜ ·fi ¤Ó· ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜.
3. ™¯Â‰›·Û ÙÔ˘˜ ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙˆÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ.
4. ™¯Â‰›·Û ÙÔ˘˜ ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Ô˘ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÂ›Ù·È ·fi ‰‡Ô ›ÛÔ˘˜
ÙÂÌÓfiÌÂÓÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜.
µÚ˜ ÙÔ˘˜ ¿ÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Ô˘ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÂ›Ù·È ·fi ‰‡Ô ·ÎÏÔ˘˜
5. Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ·ÎÙ›Ó˜, fiÙ·Ó: (·) ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Î¤ÓÙÚÔ Î·È (‚) ¤¯Ô˘Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈο
ΤÓÙÚ·.

6. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 à 28) 2-11-06 11:16 ™ÂÏ›‰·206
- 206 - ª¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›·
µ.2.3. M Â Û Ô Î ¿ ı Â Ù Ô ˜ Â ˘ ı ˘ Á Ú ¿ Ì Ì Ô ˘ Ù Ì ‹ Ì · Ù Ô ˜
¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞
√ ηÂÙ¿ÓÈÔ˜ ÙÔ˘ ÏÔ›Ô˘ ÚÔÛ·ı› Ó· ÎÚ·Ù‹ÛÂÈ ÙËÓ
➧
ÔÚ›· ÙÔ˘ ÏÔ›Ô˘ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì·ÎÚÈ¿ ·fi ÙȘ ‚¿ÛÂȘ ∞ Î·È µ
M
Ù˘ Á¤Ê˘Ú·˜, ÂÂȉ‹ Ë ÛÙÂÓfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÂÚ¿ÛÌ·ÙÔ˜, Ô ∞ B
·¤Ú·˜ Î·È Ë ÁÓˆÛÙ‹ ·Ï›ÚÚÔÈ· ÙÔ˘ ∂˘‚Ô˚ÎÔ‡ ÎfiÏÔ˘ ÂÈ- K5
‰ÚÔ‡Ó ÛÙËÓ ÔÚ›· ÙˆÓ Î·Ú·‚ÈÒÓ Î·È Î¿ÓÔ˘Ó ÙË ‰È¤Ï¢ÛË
K4
ÂÈΛӉ˘ÓË.
ªÔÚ›˜ Ó· ˘ԉ›ÍÂȘ ÙËÓ ÔÚ›· Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯ÂÈ ¤Ó· K3
ÏÔ›Ô ÁÈ· Ó· ÂÚ¿ÛÂÈ Ì ·ÛÊ¿ÏÂÈ· ÙÔ ÛÙÂÓfi ÙÔ˘ ∂˘Ú›Ô˘;
K2
➣ ∆È Â›Ó·È Ë ÔÚ›· ÙÔ˘ ÏÔ›Ô˘ Û ۯ¤ÛË Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ K1
ÙÌ‹Ì· ∞µ;
K
➣ ∆È Â›Ó·È Ù· ÛËÌ›· ∞ Î·È µ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ Û ۯ¤ÛË Ì ÙËÓ
ÔÚ›· ÙÔ˘ ÏÔ›Ô˘;
➣ ¶ÔÈ· ÛËÌ·ÓÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯Ô˘Ó Ù· ÛËÌ›· Ù˘
ÔÚ›·˜ ·˘Ù‹˜;
£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ
MÂÛÔοıÂÙÔ˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ϤÁÂÙ·È Ë Â˘ı›· Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË
ÚÔ˜ ·˘Ùfi Î·È ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔÓ ÙÔ˘.
∫¿ı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ¤¯ÂÈ ›Û˜
·ÔÛÙ¿ÛÂȘ (ÈÛ·¤¯ÂÈ) ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘.
∫¿ı ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÂÓfi˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜
‚Ú›ÛÎÂÙ·È ¿Óˆ ÛÙË ÌÂÛÔοıÂÙfi ÙÔ˘.
H ÌÂÛÔοıÂÙÔ˜ ÂÓfi˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘.
∫·Ù¿ ÙÔÓ ∂˘ÎÏ›‰Ë ÔÈ ∫·Ù·Û΢¤˜, ÛÙËÚ›˙ÔÓÙ·È Û ÙÚÂȘ ηÓfiÓ˜ (“·ÈÙ‹Ì·Ù·”)
ñ ∞fi ‰‡Ô ÛËÌ›· Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È Ì›· ÌfiÓÔ Â˘ı›·
ñ ŒÓ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ÚÔÂÎÙ›ÓÂÙ·È ·ÂÚÈfiÚÈÛÙ·
ñ √ ·ÎÏÔ˜ ÔÚ›˙ÂÙ·È Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô (ΤÓÙÚÔ) Î·È ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· (·ÎÙ›Ó·)
ªÂ ‚¿ÛË ÙÔ˘˜ ·Ú·¿Óˆ ηÓfiÓ˜ (“·ÈÙ‹Ì·Ù·”) ÌÔÚÔ‡Ó Ó· Á›ÓÔ˘Ó ÔÈ Î·Ù·Û΢¤˜ fiÏˆÓ ÙˆÓ
ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ Ì ÙË ¯Ú‹ÛË “ÙÔ˘ ηÓfiÓ· Î·È ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË”. (“∫·ÓfiÓ·˜” Â›Ó·È ¤Ó·˜
¯¿Ú·Î·˜ ¯ˆÚ›˜ ˘ԉȷÈÚ¤ÛÂȘ ÁÈ· Ó· ¯·Ú¿˙Ô˘Ì ¢ı›˜ Î·È fi¯È ÁÈ· Ó· οÓÔ˘Ì ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ ÌËÎÒÓ).
√È Î·Ù·Û΢¤˜ ·˘Ù¤˜ ··ÈÙÔ‡Ó ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÂȉÂÍÈfiÙËÙ· Î·È ÁÓÒÛË, ‰›ÓÔ˘Ó fï˜ ·ÎÚÈ‚¤ÛÙÂÚ·
·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Î·È ‚ÔËıÔ‡Ó Ó· ·ÔʇÁÔÓÙ·È Ï¿ıË, Ô˘ ÔÊ›ÏÔÓÙ·È Û ·Ù¤ÏÂȘ ÙˆÓ ÔÚÁ¿ÓˆÓ
Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÛÙËÓ Ú¿ÍË.

7. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 à 28) 2-11-06 11:16 ™ÂÏ›‰·207
ª¤ÚÔ˜ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›· - 207 -
¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™
1. N· ۯ‰ȷÛÙ› Ë ÌÂÛÔοıÂÙÔ˜ ÂÓfi˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ, Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ·
ÙÔ˘ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ÁÓÒÌÔÓ·.
§‡ÛË
¶ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ Ì¤ÛÔÓ ª ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ Ì ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ Î·È
ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ì ÙÔ ÁÓÒÌÔÓ· ۯ‰ȿ˙Ô˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· Â, Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ª ηÈ
Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙÔ ∞µ.
➊ ➋ ➌ ➍ Â
∞ ª B
∞ B ∞ B ∞ ª B
ª ª
1,5
Â
¡· ۯ‰ȷÛÙ› Ë ÌÂÛÔοıÂÙÔ˜ ÂÓfi˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ, ¯ˆÚ›˜ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘
2. ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ÁÓÒÌÔÓ·, ·ÏÏ¿ ÌfiÓÔ Ì ÙË ¯Ú‹ÛË “ÙÔ˘ ηÓfiÓ· Î·È ÙÔ˘
‰È·‚‹ÙË”.
§‡ÛË
°ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ë ÌÂÛÔοıÂÙÔ˜, fiˆ˜ οı ¢ı›·, ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ‰‡Ô ÛËÌ›· Î·È fiÙÈ Î¿ıÂ
ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘.
°È· Ó· ۯ‰ȿÛÔ˘Ì ÙË ÌÂÛÔοıÂÙÔ ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ Ú¤ÂÈ Ó· ‚ÚÔ‡ÌÂ
‰‡Ô ÛËÌ›· Ô˘ Ó· ÈÛ·¤¯Ô˘Ó ·fi Ù· ∞ Î·È µ. °Ú¿ÊÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, ‰‡Ô ›ÛÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜
Ì ΤÓÙÚ· Ù· ¿ÎÚ· ∞ Î·È µ ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Î·È Ì ·ÎÙ›Ó· Ú (ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË
·fi ÙÔ ÌÈÛfi Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ∞µ, ÁÈ· Ó· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È).
∆· ÛËÌ›· ° Î·È ¢, ÛÙ· ÔÔ›· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÔÈ ‰‡Ô ·ÎÏÔÈ ÔÚ›˙Ô˘Ó ÙËÓ Â˘ı›· Ô˘ ›ӷÈ
ÌÂÛÔοıÂÙÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ, ‰ÈfiÙÈ ‰‡Ô ÛËÌ›· Ù˘, Ù· ° Î·È ¢,
·¤¯Ô˘Ó ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ∞ Î·È µ, ·ÊÔ‡ Â›Ó·È ° ∞ = ° µ = Ú Î·È ¢ ∞ = ¢ µ = Ú .
➊ ➋ ➌
°
°
Ú Ú
∞ µ ∞ µ
∞ µ
Ú ª
Ú
¢ ¢
M ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ, ‚ڋηÌÂ
Ì ·ÎÚ›‚ÂÈ· Î·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ª, ¯ˆÚ›˜ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ.

8. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 à 28) 2-11-06 11:16 ™ÂÏ›‰·208
- 208 - ª¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›·
3. ¡· ηٷÛ΢·ÛÙ› ¢ı›· ‰ οıÂÙË Û ¢ı›·  ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ∞.
§‡ÛË
°Ú¿ÊÔ˘Ì ·ÎÏÔ Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ ∞ Î·È Ù˘¯·›· ·ÎÙ›Ó·, Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â Û ‰‡Ô ÛËÌ›· °
Î·È ¢. ∂Âȉ‹ ÙÔ ∞ Â›Ó·È Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ °¢, ·ÚΛ Ó· ʤÚÔ˘Ì ÙË ÌÂÛÔοıÂÙÔ ÙÔ˘ °¢ Ô˘
‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ ∞ Î·È Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ Â.
➊ ➋ E
➌ ‰ ➍ ‰
E
° ∞ ¢ Â ° ∞ ¢ Â ° ∞ ¢
  ∞
Z Z
4. ¡· ηٷÛ΢·ÛÙ› Ë Î¿ıÂÙË ‰ ÌÈ·˜ ¢ı›·˜  ·fi ÛËÌÂ›Ô ∞ ÂÎÙfi˜ ·˘Ù‹˜.
§‡ÛË
°Ú¿ÊÔ˘Ì ·ÎÏÔ Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ ∞ Î·È ·ÎÙ›Ó· Ù¤ÙÔÈ· ÒÛÙ ӷ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â Û ‰‡Ô ÛËÌ›·
° Î·È ¢. ∂Âȉ‹ ÙÔ ∞ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· ° Î·È ¢, ı· Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ ÙÔ˘
ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ °¢. ∂Ô̤ӈ˜, ·ÚΛ Ó· ʤÚÔ˘ÌÂ, Ì ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ô˘ Ì¿ı·Ì ÛÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹
2, ÙË ÌÂÛÔοıÂÙÔ ÙÔ˘ °¢ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ∞.
➊ ➋ ➌ ‰ ➍ ‰
∞ ∞ A
∞
° ¢ ° ¢
  Â
 ° ¢
B
B
N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ¤Ó· ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÏÂ˘Ú¿˜ ·.
5.
∞
§‡ÛË
°Ú¿ÊÔ˘Ì ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· µ ° = · . · ·
ªÂ ΤÓÙÚ· Ù· ¿ÎÚ· µ Î·È ° Î·È ·ÎÙ›Ó· ›ÛË Ì · B °
ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ‰‡Ô ·ÎÏÔ˘˜. ŒÛÙˆ ∞ ÙÔ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ·
·fi Ù· ‰‡Ô Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÔÈ Î‡ÎÏÔÈ ·˘ÙÔ›.
∆Ô ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Â›Ó·È ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ÈÛfiÏ¢ÚÔ,
‰ÈfiÙÈ ¤¯ÂÈ fiϘ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ›Û˜ Ì ·, ˆ˜
·ÎÙ›Ó˜ ›ÛˆÓ ·ÎÏˆÓ ·ÎÙ›Ó·˜ ·.

9. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 à 28) 2-11-06 11:16 ™ÂÏ›‰·209
ª¤ÚÔ˜ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›· - 209 -
∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞
1. ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿:
(·) ∫¿ı ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È
¿Óˆ ÛÙË .......................................... .
(‚) ªÂ ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ, ‚ڋηÌÂ
Ì ·ÎÚ›‚ÂÈ· Î·È ÙÔ ................................................ ÙÔ˘, ¯ˆÚ›˜ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘ÌÂ
˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ.
(Á) ¢‡Ô ÛËÌ›· ª Î·È ª Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ¢ı›· Â, fiÙ·Ó Ë Â Â›Ó·È
.......................................... ÙÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ªª .
2. N· ¯·Ú¿ÍÂȘ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ Î·È Ì ÙË ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ ηÓfiÓ· Î·È ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË
Ó· ÙÔ ¯ˆÚ›ÛÂȘ Û ‰‡Ô ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Û ٤ÛÛÂÚ· ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù·.
3. ™¯Â‰›·Û ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ Î·È ÌÈ· ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ∫∞. µÚ˜ ‰‡Ô ÛËÌ›· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, Ô˘ ÙÔ
ηı¤Ó· Ó· ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· ∫ Î·È ∞.
4. ™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Ë Î·Ì‡ÏË ÁÚ·ÌÌ‹ Á ·ÚÈÛÙ¿ ÙÌ‹Ì· Ù˘
‰È·‰ÚÔÌ‹˜ ÙÔ˘ ·ÛÙÈÎÔ‡ ψÊÔÚ›Ԣ. √È Î¿ÙÔÈÎÔÈ ÙˆÓ ÔÈÎÈÛÌÒÓ ∞
Á
Î·È µ ·ÔÊ¿ÛÈÛ·Ó Ó· ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ó ÌÈ· ÛÙ¿ÛË, Ô˘ Ó· ·¤¯ÂÈ
ÂÍ›ÛÔ˘ ·fi ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ÔÈÎÈÛÌÔ‡˜. µÚ˜ ÙÔ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ A B
‰È·‰ÚÔÌ‹˜ Î·È ‰ÈηÈÔÏfiÁËÛ ÙË Ï‡ÛË Ô˘ ı· ‰ÒÛÂȘ.
5. ¡· ‚ÚÂȘ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ fi¯ı˘ ÂÓfi˜ ÔÙ·ÌÔ‡ ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi ‰‡Ô ¯ˆÚÈ¿ ∞ Î·È µ.
6. ™¯Â‰›·Û ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ Î·È ‚Ú˜ Ì ·ÎÚ›‚ÂÈ· Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘.
7. ™¯Â‰›·Û ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ Ì ΤÓÙÚÔ ∫ Î·È ÌÈ· ¯ÔÚ‰‹ ÙÔ˘ ∞µ. ¡· ηٷÛ΢¿ÛÂȘ ÙË
ÌÂÛÔοıÂÙÔ Ù˘ ¯ÔÚ‰‹˜ ∞µ Î·È Ó· ÔÓÔÌ¿ÛÂȘ ª Î·È ¡ Ù· ÛËÌ›· ÛÙ· ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ
·ÎÏÔ. (·) ™‡ÁÎÚÈÓ ÙȘ ¯ÔÚ‰¤˜ ª∞ Î·È ªµ Î·È ‰ÈηÈÔÏfiÁËÛ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ù˘
Û‡ÁÎÚÈÛ˘, (‚) οÓ ÙÔ ›‰ÈÔ Î·È ÁÈ· ÙȘ ¯ÔÚ‰¤˜ ¡∞ Î·È ¡µ, (Á) ‚Ú˜ Â¿Ó ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ∫ ÙÔ˘
·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ Î·È ‰ÈηÈÔÏfiÁËÛ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘.
8. ™¯Â‰›·Û ÙȘ ÌÂÛÔοıÂÙ˜ ÙÚÈÒÓ ¯ÔÚ‰ÒÓ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Î·È ÂͤٷÛ ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ÛËÌ›Ô
ÛÙÔ Û¯‹Ì· ÛÔ˘, ·fi ÙÔ ÔÔ›Ô Ó· ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È Î·È ÔÈ ÙÚÂȘ ÌÂÛÔοıÂÙ˜.
∞ Â
9. ™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ‚Ú˜ ÂΛÓÔ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ Â, Ô˘ Ó·
ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· ÛËÌ›· ∞ Î·È µ. µ
¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∂™ °π∞ ∆√ ™¶π∆π
1. ™¯Â‰›·Û ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ Ì ¤Ó· ÓfiÌÈÛÌ·. ¶Ò˜ ÌÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘;
∆ÚÂȘ ÔÈÎÔÁ¤ÓÂȘ ηٷÛÎ‹ÓˆÛ·Ó Û’ ¤Ó· οÌÈÓÁÎ Î·È ÙÔÔı¤ÙËÛ·Ó ÙȘ ÛÎËÓ¤˜ ÙÔ˘˜ ™1,
2. ™2 Î·È ™3 ¤ÙÛÈ ÒÛÙÂ: ™1™2 = 3,8 m, ™1™3 = 2 m Î·È ™2™3 = 3,5 m. ¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÙË
‰È¿Ù·ÍË ÙˆÓ ÛÎËÓÒÓ Û ۯ¤‰ÈÔ Ì Îϛ̷η 1:100 Î·È Ó· ‚ÚÂȘ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¡, Ô˘ Ú¤ÂÈ
Ó· ÙÔÔıÂÙËı› ¤Ó· ÓÙÔ˘˜, ÒÛÙÂ Î·È ÔÈ ÙÚÂȘ ÛÎËÓ¤˜ Ó· ·¤¯Ô˘Ó ÂÍ›ÛÔ˘ ·’ ·˘Ùfi.
À¿Ú¯Ô˘Ó ÔÏϤ˜ Ù¤ÙÔȘ ı¤ÛÂȘ; ¡· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂȘ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘.

10. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 à 28) 2-11-06 11:16 ™ÂÏ›‰·210
- 210 - ª¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›·
µ.2.4. ™ ˘ Ì Ì Â Ù Ú › · ˆ ˜  Ú Ô ˜ Û Ë Ì Â › Ô
¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞
∞Ó ÂÚÈÛÙÚ·Ê› ÙÔ Û¯‹Ì· ∞µ°, Á‡Úˆ ·fi ÙÔ
ÛËÌÂ›Ô √ ηٿ 180Æ, ·›ÚÓÂÈ ÌÈ· Ó¤· ı¤ÛË ÙËÓ
∞µ°.
A °
➣ ∆È Û˘ÌÂÚ·›ÓÂȘ ÁÈ· Ù· Û¯‹Ì·Ù· ∞µ° Î·È ∞ µ ° ;
O B
™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙ B
¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ fiÙ·Ó ÔÏÔÎÏËÚˆı› Ë ÛÙÚÔÊ‹ ·˘Ù‹,
οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ∞µ° Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ° ∞
∞ µ ° . °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ı· Û˘Ì¤ÛÔ˘Ó Ù· ÛËÌ›· ∞ Î·È ∞ .
∆· ÛËÌ›· ·˘Ù¿ ϤÁÔÓÙ·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο, ˆ˜ ÚÔ˜ ΤÓÙÚÔ √. ¢ËÏ·‰‹:
™˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÛËÌ›Ԣ ∞ ˆ˜ ÚÔ˜ ΤÓÙÚÔ √, Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ , Ì ÙÔ ÔÔ›Ô Û˘Ì›ÙÂÈ
ÙÔ ∞, ·Ó ÂÚÈÛÙÚ·Ê› ÂÚ› ÙÔ √ ηٿ 180Æ.
πÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ:
̤ÛÔ ÙÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ªª .
¢‡Ô Û¯‹Ì·Ù· ϤÁÔÓÙ·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌ›Ô
√, fiÙ·Ó Î¿ı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÂÓfi˜ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi
ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ √.
ψ
¢‡Ô ÛËÌ›· ª Î·È ª Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô √, fiÙ·Ó ÙÔ √ ›ӷÈ
M O
ψ M
∆· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô Û¯‹Ì·Ù· Â›Ó·È ›Û· .
¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™
1. ¡· ‚ÚÂı› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ∞ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞, ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô √.
§‡ÛË
°È· Ó· ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ÙÔ
Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ∞ ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ ➌
➊ ➋
∞ ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô √,
∞ ∞
ʤÚÓÔ˘Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ O O
ÙÌ‹Ì· ∞√ Î·È ÛÙËÓ ∞
O ∞
ÚÔ¤ÎÙ·Û‹ ÙÔ˘ (Ì ÙÔ
˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ ‹ Ì ÙÔ
‰È·‚‹ÙË) ·›ÚÓÔ˘Ì ›ÛÔ ÙÌ‹Ì· √∞ , fiˆ˜ ‰Â›¯ÓÔ˘Ó ÔÈ ·Ú·¿Óˆ ÂÈÎfiÓ˜.
N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ∞ µ ÂÓfi˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ ˆ˜ ÚÔ˜
2. ÛËÌÂ›Ô √.
∞ B
§‡ÛË
∆Ô Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÂÓfi˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ ˆ˜ O
ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô √, Â›Ó·È Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞ µ . °È· Ó· ÙÔ
ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ·ÚΛ Ó· ‚Úԇ̠ٷ ÛËÌ›· ∞ Î·È µ , Ô˘
B ∞
Â›Ó·È Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ÙˆÓ ∞ Î·È µ ˆ˜ ÚÔ˜ √.
¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Â›Ó·È: ∞ ã µ ã = ∞ µ Î·È ∞ ã µ ã // ∞ µ .

11. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 à 28) 2-11-06 11:16 ™ÂÏ›‰·211
ª¤ÚÔ˜ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›· - 211 -
3. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô √: (·) ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ Â Î·È (‚) ÌÈ·˜
ËÌÈ¢ı›·˜ ∞x.
§‡ÛË
¶·›ÚÓÔ˘Ì ‰‡Ô ÛËÌ›· ∞ Î·È µ ¿Óˆ ÛÙËÓ Â˘ı›·  ‹ ÙËÓ ËÌÈ¢ı›· ∞x Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘ÌÂ, fiˆ˜
·Ú·¿Óˆ, Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ √. ∏ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞ µ
Â›Ó·È Ë Â ‹ Ë ∞ x , Ô˘ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ Ù˘ ¢ı›·˜  ‹ Ù˘ ËÌÈ¢ı›·˜ Ax ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·.
(·) ➊ ➋ ➌ µ (‚)
µ ➊ x ➋ x
 µ
 ∞ Â∞ µ
∞
∞ O O O
O O
∞
 ∞ ∞ µ
∞ µ Â// Â x
µ
∧
4. .
N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi Û¯‹Ì· ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ x ∞ y ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô √.
§‡ÛË y A
µÚ›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ∞ Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜ ∞ Î·È ÙȘ Û˘ÌÌÂÙÚÈΤ˜
x
ËÌÈ¢ı›˜ ∞ x Î·È ∞ y ÙˆÓ ‰‡Ô Ï¢ÚÒÓ Ù˘ Ax Î·È Ay ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· O
ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ √, fiˆ˜ Ì¿ı·Ì ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜. ∆fiÙÂ,
∧ ∧
Ë ÁˆÓ›· x ∞ y Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ Ù˘ x∞ y Î·È Â›Ó·È ›ÛË Ì’ ·˘Ù‹. A y
5. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ∞ µ ° ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô √, ÙÔ ÔÔ›Ô
(·) Â›Ó·È ÂÎÙfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, (‚) ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È (Á) Â›Ó·È Ì›· ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘.
§‡ÛË (·) ∞
(Á)
(‚) ∞ ° µ
∫·È ÛÙȘ ÙÚÂȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ, ° µ
‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ٷ Û˘ÌÌÂÙÚÈο ∞ , µ , µ °
O ∞
° , ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ √, ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ∞, O O
∞
µ, ° ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ∆fiÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ° µ
∞µ° ¤¯ÂÈ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ µ °
∞ µ ° , Ô˘ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ∞µ°. ∞ µ °
∞
6. N· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi Û¯‹Ì· ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ (∫, Ú) ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô √.
∞
§‡ÛË Ú
µÚ›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ √ ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ ∫ Î·È K
O
ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ∞, Ô˘ Â›Ó·È Ù· ÛËÌ›· ∫ Î·È ∞ K
·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. °Ú¿ÊÔ˘Ì ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (∫ , Ú=∫ ∞ ) Ô˘ Â›Ó·È Ô
∫
˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ˜. √È ‰‡Ô ·ÎÏÔÈ Â›Ó·È ›ÛÔÈ ‰ÈfiÙÈ ¤¯Ô˘Ó ›Û˜ ·ÎÙ›Ó˜. Ú
∞
∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞
1. ¡· ηٷÛ΢¿ÛÂȘ Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈο µ , ª Î·È ° ÙˆÓ µ, ª Î·È °
·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ ∞ Î·È Ó· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂȘ fiÙÈ ÙÔ ª Â›Ó·È Ì¤ÛÔ
∞
ÙÔ˘ µ ° . (∆Ô ª Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ µ°).
ª
µ °
2. ¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ¢ Î·È ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ° Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜ ÙÔ˘ ∞ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÛÔÓ √
Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ µ¢. ¶Ò˜ ÌÔÚ›˜ Ó· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂȘ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞µ°¢;

12. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 à 28) 2-11-06 11:16 ™ÂÏ›‰·212
- 212 - ª¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›·
µ.2.5. ∫ ¤ Ó Ù Ú Ô Û ˘ Ì Ì Â Ù Ú › · ˜
¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞
µÚ˜ ¤Ó· ÛËÌ›Ô, Û οı ¤Ó· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù·, Á‡Úˆ ·fi ÙÔ ÔÔ›Ô
ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ÂÚÈÛÙÚ¤„ÂȘ ÙÔ Û¯‹Ì· ·˘Ùfi ηٿ 180Æ Î·È Ó· ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ ¿Ó
Û˘Ì›ÙÂÈ ‹ fi¯È Ì ÙÔÓ Â·˘Ùfi ÙÔ˘, ÌÂÙ¿ ÙËÓ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Ù˘ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜ ·˘Ù‹˜.
£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ
∫¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ √, Á‡Úˆ ·fi ÙÔ
ÔÔ›Ô ·Ó ÂÚÈÛÙÚ·Ê› ÙÔ Û¯‹Ì· ηٿ 180Æ, Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙÔ ·Ú¯ÈÎfi.
™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ Ù¤ÙÔÈÔ ÛËÌ›Ô, ϤÌ fiÙÈ ÙÔ Û¯‹Ì· ¤¯ÂÈ Î¤ÓÙÚÔ
Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √.
ŸÙ·Ó ¤Ó· Û¯‹Ì· ¤¯ÂÈ Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜, ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ
ΤÓÙÚÔ ·˘Ùfi Â›Ó·È ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÔ Û¯‹Ì·.

13. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 à 28) 2-11-06 11:16 ™ÂÏ›‰·213
ª¤ÚÔ˜ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›· - 213 -
¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™
1. ∆Ô Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ∞µ°¢, ˆ˜ ÚÔ˜ ΤÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ ÛËÌ›Ô
ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘, Â›Ó·È ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ.
§‡ÛË A E µ
¶·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ, fiÙÈ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∂ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔ-
ÁÚ¿ÌÌÔ˘, Ì ÛÙÚÔÊ‹ ηٿ 180Æ Á‡Úˆ ·fi ÙÔ √, ı· O
Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ¤Ó· ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô ∂ ÙÔ˘ ›‰ÈÔ˘ ÙÔ˘
·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘. ∞˘Ùfi Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ÁÈ· fiÏ· Ù· ÛËÌ›·
¢ E °
ÙÔ˘ ∞µ°¢, ÂÔ̤ӈ˜ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ √
Â›Ó·È ¿ÏÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ∞µ°¢.
2. ¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘;
√ Â
§‡ÛË
ªÂ ÛÙÚÔÊ‹ ηٿ 180Æ Á‡Úˆ ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ √ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘,
‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ·˘Ùfi˜ Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙÔÓ Â·˘Ùfi ÙÔ˘. EÔ̤ӈ˜:
∆Ô Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ ηıÒ˜ Î·È ÙÔ˘ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘
΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘.
3. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ùo Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi Û¯‹Ì· ÌÈ·˜ ¢ı›·˜ Â, ˆ˜ ÚÔ˜ ΤÓÙÚÔ √, ›ӷÈ
¢ı›·  //Â.
§‡ÛË
∞ µ
º¤ÚÓÔ˘Ì ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË √∞ ÙÔ˘ √ ·fi ÙËÓ Â. ŒÛÙˆ µ ¤Ó· Â
¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ Â. µÚ›ÛÎÔ˘Ì ٷ Û˘ÌÌÂÙÚÈο ∞ Î·È µ ÙˆÓ
ÛËÌ›ˆÓ ∞ Î·È µ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ √ Î·È ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì  ÙËÓ Â˘ı›· √
Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ∞ Î·È µ . ∏ ¢ı›· Â Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ Â
Ù˘  ˆ˜ ÚÔ˜ ΤÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ √. µ ∞
∧ ∧
∏ ÁˆÓ›· √∞ µ ı· Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ √∞ µ. ∧ ∧
∂Âȉ‹ ÔÈ Û˘ÌÌÂÙÚÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜, ı· ›ӷÈ: √∞ µ =√∞ µ=90Æ. ÕÚ·, ÔÈ Â˘ı›˜
Â Î·È Â Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›· ∞∞ , Û˘ÓÂÒ˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÏÏËϘ.
√È Û˘ÌÌÂÙÚÈΤ˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô Â˘ı›˜, Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÏÏËϘ.
∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞
1. ∞ÊÔ‡ ÁÚ¿„ÂȘ Ù· ÎÂÊ·Ï·›· ÁÚ¿ÌÌ·Ù· ÙÔ˘ ·ÏÊ·‚‹ÙÔ˘, ÂͤٷÛ ·Ó ¤¯Ô˘Ó ΤÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜.
2. ¡· ‚ÚÂȘ ÛÙ· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù· ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜, ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ.
3. ToÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “X” ÛÙȘ ηٿÏÏËϘ ı¤ÛÂȘ, ÁÈ· ÙË ıÂÙÈ΋ ÛÔ˘ ·¿ÓÙËÛË.
ÕÍÔÓ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ Œ¯ÂÈ ∫¤ÓÙÚÔ
∫·Ó¤Ó· ŒÓ· ¢‡Ô ∆ÚÂȘ ∆¤ÛÛÂÚȘ ¶ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ˘˜ ™˘ÌÌÂÙÚ›·˜
∂˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·
IÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ
πÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ
¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ
√ÚıÔÁÒÓÈÔ
ƒfiÌ‚Ô˜
∆ÂÙÚ¿ÁˆÓÔ
∫‡ÎÏÔ˜

14. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 à 28) 2-11-06 11:17 ™ÂÏ›‰·214
- 214 - ª¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›·
µ.2.6. ¶ · Ú ¿ Ï Ï Ë Ï Â ˜ Â ˘ ı Â › Â ˜  Ô ˘ Ù ¤ Ì Ó Ô Ó Ù · È ·  fi Ì È · ¿ Ï Ï Ë Â ˘ ı Â › ·
¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞
™ÙË ‰ÈÏ·Ó‹ ÂÈÎfiÓ· ‚ϤÔ˘Ì ¤Ó· ‰ËÌfiÛÈÔ
‰ÚfiÌÔ Ó· ‰È·Û¯›˙ÂÈ ‰‡Ô ·ÁÚÔÎÙ‹Ì·Ù·. ‰
√È ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 ÔÚ›˙Ô˘Ó Ù·
fiÚÈ· ÙÔ˘ ‰ÚfiÌÔ˘ ·˘ÙÔ‡ Î·È ¯ˆÚ›˙Ô˘Ó ÙË ÁË
Û ÙÚÂȘ ˙ÒÓ˜.
Ù¿
Ù¿
·˘
·˘
¢ÒÛ ÌÈ· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÎÔÈÓ‹ ÔÓÔÌ·Û›· ÁÈ· fiÏ· Ù· Â1
·
·
› Ù
› Ù
ÛËÌ›· Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ¿ÛÊ·ÏÙÔ ÙÔ˘ ‰ÚfiÌÔ˘,
Â
Â
‰ËÏ·‰‹ ÛÙË ˙ÒÓË ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙȘ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 ,
ηıÒ˜ Î·È Ì›· ¿ÏÏË ÎÔÈÓ‹ ÔÓÔÌ·Û›· ÁÈ¿ fiÏ· Ù· Â2
ÛËÌ›· Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ¤Íˆ ·’ ·˘Ù‹, ‰ËÏ·‰‹ ÛÙ· ¯ˆÚ¿ÊÈ·.
™ÙËÓ ›‰È· ÂÈÎfiÓ· ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ¯ˆÌ·Ùfi‰ÚÔÌÔ˜ Ô˘ ¯ˆÚ›˙ÂÈ Ù· ‰‡Ô ·ÁÚÔÎÙ‹Ì·Ù· Î·È ÔÚ›˙ÂÈ
ÌÈ· ¢ı›· ‰ Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÚÔ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜.
➣ ¶Ò˜ ÌÔÚ›˜ Ó· ‰ÒÛÂȘ ÌÈ· ÎÔÈÓ‹ ÔÓÔÌ·Û›· Û fiÏ· Ù· ÛËÌ›· Ô˘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ ›‰ÈÔ
Î·È ÌfiÓÔ ·ÁÚfiÎÙËÌ·;
£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ
‰ √È ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙȘ ¢ı›˜ Â1
Â1 ∞Ê ˆ Î·È Â2 ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È “ÂÓÙfi˜” (ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ) Î·È fiϘ
1 2
4 3
ˆ Ê ÔÈ ¿ÏϘ “ÂÎÙfi˜”.
∧ ∧ ∧ ∧
∞3 , ∞4 , B1 , B2 Â›Ó·È “ÂÓÙfi˜” ηÈ
Ê ∧ ∧ ∧ ∧
1 2
ˆ ∞1 , ∞2 , B3 , B4 Â›Ó·È “ÂÎÙfi˜”
Â2 4 3
ˆ
µÊ
√È ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÚÔ˜ ÙÔ ∧ ∧ ∧ ∧
∞2 , ∞3 , B2 , B3 Â›Ó·È “Â› Ù· ·˘Ù¿” ηÈ
›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ¢ı›·˜ ‰ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ∧ ∧ ∧ ∧
“Â› Ù· ·˘Ù¿” (̤ÚË Ù˘ ¢ı›·˜) ∞1 , ∞4 , B1 , B4 Â›Ó·È “Â› Ù· ·˘Ù¿”
¢‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Ë Ì›· ÛÙÔ .¯. Ë ∧ Ì ÙËÓ ∧ Â›Ó·È “ÂÓ·ÏÏ¿Í” ·ÏÏ¿
∞4 B2
¤Ó· ÎÈ Ë ¿ÏÏË ÛÙÔ ¿ÏÏÔ ËÌÈÂ›Â‰Ô ∧
Ù˘ ¢ı›·˜ ‰, ϤÁÔÓÙ·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ Î·È Ë ∞2 Ì ÙËÓ B1 Â›Ó·È “ÂÓ·ÏÏ¿Í” Î.Ô.Î.
“ÂÓ·ÏÏ¿Í” .
∞fi ÙÔÓ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi ÙˆÓ ·Ú·¿Óˆ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ı· ¤¯Ô˘Ì ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ
¤ÍÈ ÔÓÔ̷ۛ˜ ÁÈ· Ù· 16 ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ˙¢Á¿ÚÈ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ.
(·) ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í Î·È (‚) ÂÎÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í
(Á) ÂÓÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ Î·È (‰) ÂÎÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿
(Â) ÂÓÙfi˜ - ÂÎÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í Î·È (ÛÙ) ÂÓÙfi˜ - ÂÎÙfi˜ Â› Ù· ·˘Ù¿.

15. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 à 28) 2-11-06 11:17 ™ÂÏ›‰·215
ª¤ÚÔ˜ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›· - 215 -
¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™
1. ¡· Û˘ÁÎÚÈıÔ‡Ó ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜, Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È ÛÙ· ÛËÌ›· ∞ Î·È µ, ÛÙ·
ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÌÈ· ¢ı›· ‰ ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·.
§‡ÛË ‰
Â1 ∞Ê ˆ
2
MÔÚԇ̠ӷ ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì (ÌÂÙÚÒÓÙ·˜ Ì ÙÔ 4
1
3
ˆ Ê
ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ) fiÙÈ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È
Î·È ÛÙ· ‰‡Ô ÛËÌ›· ÙÔÌ‹˜ ∞ Î·È µ, Â›Ó·È ‰‡Ô ÂȉÒÓ:
Ê ˆ
1 2
Â2 4 3
∧ ˆ
µÊ
√È ÔÍ›˜ ÁˆÓ›Â˜ ˆ, Ô˘ Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜
›Û˜ ηÈ
∧
√È ·Ì‚Ï›˜ ÁˆÓ›Â˜ Ê , Ô˘ Â›Ó·È ÎÈ ·˘Ù¤˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ›Û˜.
∆· Ù¤ÛÛÂÚ· ˙¢Á¿ÚÈ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ, Ô˘ Â›Ó·È fiϘ ÔÍ›˜ Î·È ›Û˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ›ӷÈ:
∧ ∧
∞fi ÙȘ “ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í”: ∞4 = B2
∧ ∧
∞fi ÙȘ “ÂÎÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í”: ∞2 = B4
∧ ∧ ∧ ∧
∞fi ÙȘ “ÂÓÙfi˜ - ÂÎÙfi˜ Â› Ù· ·˘Ù¿”: ∞2 = B2 Î·È ∞4 = B4
∆· Ù¤ÛÛÂÚ· ˙¢Á¿ÚÈ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ, Ô˘ Â›Ó·È fiϘ ·Ì‚Ï›˜ Î·È ›Û˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ›ӷÈ:
∧ ∧
∞fi ÙȘ “ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í”: ∞3 = B1
∧ ∧
∞fi ÙȘ “ÂÎÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í”: ∞1 = B3
∧ ∧ ∧ ∧
∞fi ÙȘ “ÂÓÙfi˜ - ÂÎÙfi˜ Â› Ù· ·˘Ù¿”: ∞1 = B1 Î·È ∞3 = B3
∧ ∧
∂Âȉ‹ fï˜ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ∞ 1 Î·È ∞ 2 Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÂÓÈο:
∧ ∧
ˆ + Ê = 180Æ .
√fiÙÂ Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Ù· ˘fiÏÔÈ· ˙¢Á¿ÚÈ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ Â›Ó·È ˙¢Á¿ÚÈ·
·Ú·ÏËڈ̷ÙÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ, Ù· ÔÔ›· Î·È Â›Ó·È Ù· ÂÍ‹˜:
∧ ∧ ∧ ∧
√È “ÂÓÙfi˜ Â› Ù· ·˘Ù¿”: ∞3 + B2 = 180Æ Î·È ∞4 + B1 = 180Æ
∧ ∧ ∧ ∧
√È “ÂÎÙfi˜ Â› Ù· ·˘Ù¿”: ∞1 + B4 = 180Æ Î·È ∞2 + B3 = 180Æ
∧ ∧ ∧ ∧
√È “ÂÓÙfi˜-ÂÎÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í”: ∞1 + B2 = 180Æ Î·È ∞2 + B1 = 180Æ
∧ ∧ ∧ ∧
Î·È ∞3 + B4 = 180Æ Î·È ∞4 + B3 = 180Æ

16. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 à 28) 2-11-06 11:17 ™ÂÏ›‰·216
- 216 - ª¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›·
2. ™ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì· Â›Ó·È Â1//Â2. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ fiϘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜, Ô˘ ›ӷÈ
∧
ÛËÌÂȈ̤Ó˜, ·Ó Â›Ó·È · = 40Æ.
§‡ÛË
∧ ∧ ∧ ∧
√È ÁˆÓ›Â˜ · Î·È Á Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó, ¿Ú· ı· ›ӷÈ: · = Á = 40Æ
∧ ∧ ∧ ∧
OÈ ÁˆÓ›Â˜ · Î·È ‚ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜, ¿Ú· ı· ›ӷÈ: · + ‚ = 180Æ, ·fi ÙË
∧ ∧
Û¯¤ÛË ·˘Ù‹ Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ: ‚ = 180Æ – · = 180Æ – 40Æ = 140Æ
∧ ∧ ∧ ∧
√È ÁˆÓ›Â˜ ‚ Î·È ‰ Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó, ¿Ú· ı· ›ӷÈ: ‚ = ‰ = 140Æ.
.
∞ÏÏ¿ ÂÂȉ‹ Â1//Â2 Î·È Ë Â3 Ù¤ÌÓÔ˘Û· ÙˆÓ ‰‡Ô ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ ı· ›ӷÈ:
∧ ∧ ∧
 = ·, ˆ˜ ÂÓÙfi˜ - ÂÎÙfi˜ Â› Ù· ·˘Ù¿, ¿Ú·:  = 40Æ Â1 Â2
∧ ∧
˙ + · = 180Æ, ˆ˜ ÂÓÙfi˜ Â› Ù· ·˘Ù¿,
∧ ∧
¿Ú·: ˙ = 180Æ – · = 180Æ – 40Æ = 140Æ
∧ ∧ ∧
‚· ˙ Â
Ë = ·, ˆ˜ ÂÓÙfi˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í, ÂÔ̤ӈ˜: Ë = 40Æ Î·È Á‰ Ëı Â3
∧ ∧ ∧
ı = ‰ , ˆ˜ ÂÓÙfi˜ - ÂÎÙfi˜ Â› Ù· ·˘Ù¿, ¿Ú·: ı = 140Æ.
∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞
1. ™¯Â‰›·Û ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2, ÔÈ Ôԛ˜ Ó· ·¤¯Ô˘Ó 4 cm.
º¤Ú ̛· ¢ı›· Ô˘ Ó· Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ Ì ÙËÓ Â1 ÁˆÓ›· 12Æ Î·È ˘ÔÏfiÁÈÛ ÙȘ
˘fiÏÔÈ˜ ÁˆÓ›Â˜.
˙ Â ·
2. ™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È Â1//Â2 Î·È Â3 //Â4.
¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙȘ ÛËÌÂȈ̤Ó˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘
Â1
∧ ∧ ‚ Á ‰
Û¯‹Ì·ÙÔ˜, ·Ó Â›Ó·È · = ‚ = 70Æ. Â2
Â3 Â4 Â5
∧
3. ¡· Û¯ËÌ·Ù›ÛÂȘ ÌÈ· ÁˆÓ›· xA y = 63Æ. ¡· ¿ÚÂȘ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô µ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ∞x, ÒÛÙ ӷ
Â›Ó·È ∞µ=5 cm Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ¢ Ù˘ ∞y, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È ∞¢=2,9 cm. ¡· ʤÚÂȘ ·fi ÙÔ µ ÙËÓ
·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ ∞y Î·È ·fi ÙÔ ¢ ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ Ax. ¡· ÔÓÔÌ¿ÛÂȘ ° ÙÔ ÛËÌ›Ô
ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ ·˘ÙÒÓ. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·χÚÔ˘ ∞µ°¢.
‰1
‰2
Â1 ∞ ‚ Á
4. ™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ÔÈ Â˘ı›˜ Â1 Î·È Â2 Â›Ó·È 56Æ · °
·Ú¿ÏÏËϘ Î·È Ë ËÌÈ¢ı›· µ‰ 2 ›ӷÈ
∧
Ê
‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ B . ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙȘ µ Ê
∧ ∧ ∧
ÁˆÓ›Â˜ · , ‚ Î·È Á ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜. Â2
Â1
116Æ
5. ™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È Â1//Â2 Î·È Â3 //Â4.
∧ ∧
¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ · Î·È ‚ .
Â2 Ê · ‚
Â3 Â4
∞ ¢
6. ™ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞µ°¢ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ · ˆ
Ê ı
›ӷÈ: ∞µ//°¢ Î·È ∞¢//µ°. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ fiϘ
ÙȘ ÛËÌÂȈ̤Ó˜ ÁˆÓ›Â˜.
Á 105Æ
30Æ
µ Â °

17. ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 à 28) 2-11-06 11:42 ™ÂÏ›‰·217
ª∂ƒ√™ µ
3o
TÚ›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È·
3.1 ™ÙÔȯ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘ - ∂›‰Ë ÙÚÈÁÒÓˆÓ
ñ °ÓˆÚ›˙ˆ Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘
ñ °ÓˆÚ›˙ˆ Ù· ›‰Ë ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ
3.2 ÕıÚÔÈÛÌ· ÁˆÓÈÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ - π‰ÈfiÙËÙ˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘
ñ °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È 180Æ
∫
ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ÈÛÔχÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘
3.3 ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ - √ÚıÔÁÒÓÈÔ - ƒfiÌ‚Ô˜ - ∆ÂÙÚ¿ÁˆÓÔ - ∆Ú·¤˙ÈÔ
πÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ·¤˙ÈÔ
ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÔÈÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ, ÔÈÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ, ÔÈÔ ÚfiÌ‚Ô˜,
∂
ÔÈÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Î·È ÔÈÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ
ñ ÷ڿÛÛˆ Ù· ‡„Ë ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘
3.4 π‰ÈfiÙËÙ˜ ¶·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ - √ÚıÔÁˆÓ›Ô˘ - ƒfiÌ‚Ô˘ - ∆ÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ -
∆Ú·Â˙›Ô˘ - πÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘
º
ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘, ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘, ÙÔ˘ ÚfiÌ‚Ô˘ Î·È ÙÔ˘
ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘
∞
§
∞
π
√
¶§ ∞ ∆ø ¡ √ ∞ £ ∏ ¡ ∞ π √ ™
( 4 2 7 - 3 4 7 . Ã . )

18. ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 à 28) 2-11-06 11:43 ™ÂÏ›‰·218
- 218 - ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È·
µ.3.1. ™ Ù Ô È ¯ Â › · Ù Ú È Á Ò Ó Ô ˘ - ∂ › ‰ Ë Ù Ú È Á Ò Ó ˆ Ó
£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ
∫‡ÚÈ· ÛÙÔȯ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞ ÎÔÚ˘Ê‹
∫¿ı ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° ¤¯ÂÈ ÙÚÂȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ∞, µ, °, ÏÂ˘Ú¿
∧ ∧ ∧
ÙÚÂȘ Ï¢ڤ˜ ∞µ, µ°, °∞ Î·È ÙÚÂȘ ÁˆÓ›Â˜ ∞ , B, °. ÏÂ˘Ú¿
∆· ∞µ, µ°, °∞, ÂÎÙfi˜ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜,
µ °
Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ó Î·È Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ
ÎÔÚ˘Ê‹ ÏÂ˘Ú¿ ÎÔÚ˘Ê‹
¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ.
¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞
¶·Ú·Î¿Ùˆ ‚ϤÔ˘Ì ÙËÓ Î·Ù¿Ù·ÍË ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ Ì ‚¿ÛË ‰‡Ô Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ ÎÚÈÙ‹ÚÈ·.
➣ ªÔÚ›˜ Ó· ÂÎÊÚ¿ÛÂȘ Ì ÏfiÁÈ· Ù· ÎÚÈÙ‹ÚÈ· Ì ٷ ÔÔ›· ¤ÁÈÓ ·˘Ù‹ Ë Î·Ù¿Ù·ÍË;
™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙÂ
ªÂ ‚¿ÛË ÙÔ 1Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙÚÂȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ:
¶Ï¢ڤ˜ οıÂÙ˜ Ÿ¯È οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜
M›· ÁˆÓ›· ŸÏ˜ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜
M›· ÁˆÓ›· ÔÚı‹
ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË Ù˘ ÔÚı‹˜ ÌÈÎÚfiÙÂÚ˜ Ù˘ ÔÚı‹˜
µ ° ∞
∞ ° ∞ µ µ °
√ÚıÔÁÒÓÈÔ ∞Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ √͢ÁÒÓÈÔ
ªÂ ‚¿ÛË ÙÔ 2Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙÚÂȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ:
πÛfiÙËÙ· Ï¢ÚÒÓ ∞ÓÈÛfiÙËÙ· Ï¢ÚÒÓ
∆ÚÂȘ Ï¢ڤ˜ ›Û˜ ¢‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜ ŸÏ˜ ÔÈ Ï¢ڤ˜ ¿ÓÈÛ˜
∞ ∞
∞
µ ° µ ° µ °
πÛfiÏ¢ÚÔ πÛÔÛÎÂϤ˜ ™Î·ÏËÓfi

19. ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 à 28) 2-11-06 11:43 ™ÂÏ›‰·219
ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È· - 219 -
∞
¢Â˘ÙÂÚ‡ÔÓÙ· ÛÙÔȯ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘
∆Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ ÂÓÒÓÂÈ ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ÂÓfi˜
ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ì ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿˜, ϤÁÂÙ·È
‰È¿ÌÂÛÔ˜ .
B °
ª
∆Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ ʤÚÓÔ˘Ì ·fi Ì›· ÎÔÚ˘Ê‹ ∞
ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ οıÂÙÔ ÛÙËÓ Â˘ı›· Ù˘ ·¤Ó·ÓÙÈ
ÏÂ˘Ú¿˜, ϤÁÂÙ·È ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.
B
∞ ¢
∆Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ÂÓfi˜ °
ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ô˘ ʤÚÓÔ˘Ì ·fi ÌÈ· ÎÔÚ˘Ê‹ Î·È Î·Ù·Ï‹ÁÂÈ ˆˆ
ÛÙËÓ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿, ϤÁÂÙ·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.
B °
¢
¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ - ∂º∞ƒª√°∏
N· ۯ‰ȷÛÙÔ‡Ó Ù· ‡„Ë Û ÙÚ›ÁˆÓÔ Ô˘ ›ӷÈ: (·) Ô͢ÁÒÓÈÔ, (‚) ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ Î·È
(Á) ÔÚıÔÁÒÓÈÔ.
§‡ÛË
∞fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ .¯. ÙËÓ ∞ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° ʤÚÓÔ˘Ì ÙËÓ Î¿ıÂÙÔ ÛÙËÓ ·¤Ó·ÓÙÈ
ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘. ∆fiÙÂ Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ∞ ·fi ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ µ° Â›Ó·È ÙÔ ‡„Ô˜ ∞¢ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.
∞˘Ù‹Ó ÙË ‰È·‰Èηۛ· ÙËÓ Â·Ó·Ï·Ì‚¿ÓÔ˘ÌÂ Î·È ·fi ÙȘ ¿ÏϘ ‰‡Ô ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘
ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÁÈ· Ó· ‚ÚÔ‡ÌÂ Î·È Ù· ÙÚ›· ‡„Ë ÙÔ˘, Ù· ÔÔ›· ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi
ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌÂ›Ô ∏, Ô˘ ϤÁÂÙ·È ÔÚıfiÎÂÓÙÚÔ.
∞ ∞ ∞ ∞
(·) ➊ ➋ ➌ ➍
∂ ∂
∑ Z
H
µ ¢ ° µ ° µ ° µ ¢ °
(‚)
➊ ∞ ➋ ∞ ➌ ∞ ➍ ∞
E E
¢ µ ° ¢ µ ° ¢ µ ¢ °
° µ
Z Z Z
H
(Á) ➊ ➋ ➌ ➍
∞ ∞ ∞ ∞
B ° B °B ¢ ° B ¢ °

20. ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 à 28) 2-11-06 11:43 ™ÂÏ›‰·220
- 220 - ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È·
∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞
1. ∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË. ™ø™∆√ §∞£√™
(·) ∫¿ı ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ ÌÈ· ÔÚı‹ ÁˆÓ›·.
(‚) ∆Ô ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ·Ì‚Ï›˜ ÁˆÓ›Â˜.
(Á) ∆Ô ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ fiϘ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ›Û˜.
(‰) ∆Ô ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È Î·È ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ.
(Â) ∆Ô ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È Î·È ÈÛfiÏ¢ÚÔ.
(ÛÙ) ∆Ô ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È Î·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜.
(˙) ∆Ô ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È ¿ÓÙ· Ô͢ÁÒÓÈÔ.
(Ë) ŒÓ· ÛηÏËÓfi ÙÚ›ÁˆÓÔ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ.
2. ™’ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ°, Ì ÏÂ˘Ú¿ µ° = 4,4 cm, ʤÚ ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ ∞ª. ªÂÙ¿ ʤÚ ÙȘ
‰È·Ì¤ÛÔ˘˜ ∞∫ Î·È ∞§ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ∞µª Î·È ∞°ª Î·È ‚Ú˜ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙˆÓ ∫ª Î·È §°.
3. ™¯Â‰›·Û ¤Ó· ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Î·È ÙȘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘˜ ÙÔ˘ ∞¢, µ∂ Î·È °∑.
¢ÈηÈÔÏfiÁËÛ ÁÈ·Ù› ÔÈ ‰È¿ÌÂÛÔÈ ÙÔ˘ ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ Î·È ‡„Ë ÙÔ˘.
4. ™¯Â‰›·Û ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ°. (·) µÚ˜ ÙÔ Ì¤ÛÔ ¢ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ∞µ, ÙÔ Ì¤ÛÔ ∂ Ù˘
ÏÂ˘Ú¿˜ µ° Î·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ∑ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ °∞. (‚) ™¯Â‰›·Û ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ ∞∂ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘
∞µ° Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙË ∑¢ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª. ™‡ÁÎÚÈÓ Ì ÙÔ ‰È·‚‹ÙË Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· ¢ª Î·È ª∑.
∆È ·Ú·ÙËÚ›˜;
5. ¢›ÓÂÙ·È ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ°. (·) º¤Ú ÙȘ ‰È·Ì¤ÛÔ˘˜ ∞ª Î·È µ¡ Î·È ÔÓfiÌ·Û Ì ÙÔ ÁÚ¿ÌÌ· £
ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ ÔÔ›Ô Ù¤ÌÓÔÓÙ·È. (‚) MÂÙ¿ ۯ‰›·Û ÙËÓ Â˘ı›· °£ Î·È ÔÓfiÌ·Û Ì ÙÔ
ÁÚ¿ÌÌ· ƒ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ ÔÔ›Ô Ë Â˘ı›· °£ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ∞µ. (Á) ™‡ÁÎÚÈÓ Ì ÙÔ
‰È·‚‹ÙË Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞ƒ Î·È µƒ. ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜;
6. ™¯Â‰›·Û ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ°, ¿Ú ÙÔ Ì¤ÛÔ ª Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ µ° Î·È ¯¿Ú·Í ·fi ÙÔ
ÛËÌÂ›Ô ª ÌÈ· ¢ı›·  ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ∞µ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ∞Ó ÙÔ ÛËÌ›Ô
ÛÙÔ ÔÔ›Ô Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ∞° ÙÔ ÔÓÔÌ¿ÛÂȘ ¡, Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÂȘ Ì ÙÔ ‰È·‚‹ÙË Ù·
ÙÌ‹Ì·Ù· ∞¡ Î·È ¡°. ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜;
¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ °π∞ ∆√ ™¶π∆π
¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂȘ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· Ì ٷ Û¯‹Ì·Ù· ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ.
∆ƒπ°ø¡∞ O͢ÁÒÓÈÔ √ÚıÔÁÒÓÈÔ ∞Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ
™Î·ÏËÓfi
πÛÔÛÎÂϤ˜
πÛfiÏ¢ÚÔ