1. 1
คู่มือคร่ประกอบการสอนเร่ ืองวงกลม
ชุดการเรียนการสอนเร่ องวงกลม
ื
กิจกรรมท่ี 1 ( 2 คาบ ) ภาพท่ีเกิดจากการท่ีระนาบตัดกับ
กรวย
นิ ยามเชิงเรขาคณิ ตของวงกลม
1.จุดประสงค์การเรียนรู่
1.١ ด้านความร้้ นั กเรียนสามารถ
1 อธิ บ ายภาพท่เ กิ ด จากการท่ีร ะนาบตั ด กั บ กรวยเป็ นร้ ป
ี
วงกลม วงรี พาราโบลา
และไฮเพอร์โบลา
2 หาความสัมพันธ์ท่ีมีกราฟเป็ นวงกลมเม่ ือกำาหนด
จุดศ้นย์กลางและรัศมี
١.2 ด้านทักษะกระบวนการ นั กเรียนมีความสามารถ
1 อธิบายให้เหตุผล
2 ส่ ือสาร ส่ ือความหมายและการนำ าเสนอ
3 การเช่ ือมโยงความร้้ต่างๆทางคณิ ตศาสตร์
١.3 ด้านคุณลักษณะ
1. มีความรับผิดชอบ
2. ทำางานอย่างมีระเบียบ
3. ให้ความร่วมมือกิจกรรมกลุ่ม
2.แนวคิด
١ ภาคตัดกรวยคือ “ภาพท่เกิดจากการท่ีระนาบตัดกับกรวย”
ี
เป็ นวงกลม เม่ ือระนาบตังฉากกับกรวย
้
เป็ นวงรี เม่ ือระนาบไม่ตังฉากกับกรวยเป็ นมุมแหลมแต่มีขนาด
้
ใหญ่กว่ามุมของกรวย
เป็ นพาราโบลา เม่ ือระนาบขนานกับตัวก่อกำา เนิ ดกรวยระนาบจะ
ตัดกรวยข้างเดียว
เป็ น ไฮเพอร์ โ บลา เม่ ือ ระนาบขนานกั บ ตั ว ก่ อ กำา เนิ ด กรวย
ระนาบขนานกับแกนของกรวยตัด
กรวยทังสองข้าง
้
2 วงกลม คือเซตของจุดทุกจุดทังหมดในระนาบท่หางจากจุด ๆ
้ ี ่
หน่งท่ตรึงอย่กบท่เป็ น ระยะทาง
ึ ี ้ ั ี

2. 2
คงตัว จุดท่ตรึงอย่้กับท่ีคือ จุดศ้นย์กลางของวงกลม และระยะ
ี
ทางค่าคงตัวเรียกว่ารัศมีของ
วงกลม มีร้ปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม
2.1 x + y = r เป็ นสมการวงกลมท่ีมีจุดศ้นย์กลางท่ีจุด ( 0 , 0
2 2 2
) รัศมี r หน่ วย
2.2 ( x − h ) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 เป็ นสมการวงกลมท่ีมีจุดศ้นย์กลางท่ีจุด(
h , k)รัศมี r หน่ วย
3. ส่ อ-อุปกรณ์
ื
3.1 ใบความร้้
٣.١.١ ใบความร้้ท่ี 1.1 เร่ ืองกรวยและภาพท่ีเกิดจากการ
ตัดกันของระนาบกับกรวย
٣.١.٢ ใบความร้้ท่ี 1.2 นิ ยามเชิงเรขาคณิ ตของวงกลม
٣.١.٣ ใบความร้้ท่ี 1.3 ตัวอย่างท่ี 1.1 สร้างสมการ
วงกลมเม่ ือกำาหนดจุดศ้นย์กลาง
และรัศมีของวงกลม
3.2 ใบกิจกรรม
٣.٢.١ ใบกิจกรรมท่ี 1.1 เขียนกราฟวงกลมมี
จุดศ้นย์กลาง ( 0,0) รัศมี 5 หน่ วย
٣.٢.٢ ใบกิจกรรมท่ี 1.2 สร้างความสัมพันธ์ท่ีมีกราฟ
เป็ นวงกลมมีจุดศ้นย์กลาง ( 0,0)
รัศมี 5 หน่ วย
ใบกิจกรรมท่ี 1.3 ให้นักเรียนปฏิบัติดังนี้
١ ตรวจสอบจุดบนเส้นรอบวงในใบกิจกรรมท่ี1.1
สอดคล้องความสัมพันธ์ท่ีมี
กราฟเป็ นวงกลมในใบกิจกรรมท่ี 1.2
2. สร้างสมการวงกลมมีจุดศ้นย์กลาง ( 0,0) รัศมี
4 หน่ วย
3. สร้างสมการวงกลมมีจุดศ้นย์กลาง ( 0,0) รัศมี
r หน่ วย
4. ใช้ความร้้เร่ ืองการเล่ ือนขนานสร้างสมการวงกลม
มีจุดศ้นย์กลาง ( 2,3)
รัศมี 5 หน่ วย

3. 3
5. สร้างสมการวงกลมมีจุดศ้นย์กลาง ( h , k)
รัศมี r หน่ วย
3.3 อ่ ืนๆ แฟ้ มส่ ือวงกลม ภาพภาคตัดกรวย. doc
ภาพท่ี ١ ภาพกรวย
ภาพท่ี ٢ ภาพท่ีเกิดจากการตัดกันของระนาบกับ
กรวย
ภาพท่ี ٣ ภาพของภาคตัดกรวย
แฟ้ มส่ ือวงกลม ภาพวงกลม. doc
ภาพท่1 ภาพวงกลม (วงกลมมีจุดศ้นย์กลางท่ี
ี
จุด ( 0,0) รัศมี 5 หน่ วย)
ภาพท่2 ภาพวงกลม (วงกลมมีจุดศ้นย์กลางท่ี
ี
จุด ( 2,3) รัศมี5 หน่ วย )
3.4 ใบงานท่ี 1.1 เร่ ือง มาสรูางสมการวงกลมกันเถอะ
จงสร้างสมการวงกลมเม่ ือกำาหนดจุดศ้นย์กลางและ
รัศมีของวงกลม
4.วิธีดำาเนิ นการ
4.1 จัดเตรียม
4.1.1 ใบความร้้ท่ี 1.1 และ ١.٣ สำาหรับนั กเรียนทุกคน
ใบความร้้ท่ี 1.2 สำาหรับนั กเรียนเป็ นกลุ่ม
4.1.2 ใบกิจกรรมท่ี 1.1-١.٣ สำาหรับนั กเรียนเป็ นกลุ่ม
4.1.3 ใบงานท่ี 1.1 สำาหรับนั กเรียนทุกคน
4.1.4 แฟ้ มส่ ือวงกลม ภาพภาคตัดกรวย. doc
ภาพท่ี ١ ภาพกรวย
ภาพท่ี ٢ ภาพท่ีเกิดจากการตัดกันของระนาบกับ
กรวย
ภาพท่ี ٣ ภาพของภาคตัดกรวย
แฟ้ มส่ ือวงกลม ภาพวงกลม.doc
ภาพท่ี 1 ภาพวงกลม ( วงกลมมีจุดศ้นย์กลางท่ี
จุด ( 0,0) รัศมี 5 หน่ วย )
ภาพท่ี 2 ภาพวงกลม ( วงกลมมีจุดศ้นย์กลางท่ี
จุด ( 2,3) รัศมี 5 หน่ วย )
٤.2 ขันตอนดำาเนิ นการ
้

4. 4
4.2.1 คร้นำา เสนอแฟ้ มส่ ือวงกลม ภาพภาคตัดกรวย ภาพท่ี -١
٣ให้นักเรียนสังเกตภาพและ
แจกใบความร้้ท่ี1.1 ให้นักเรียนทุกคนศึกษาความหมาย
ร้ปทรงกรวย ภาพท่ีเกิดจาก
การตั ด กั น ของระนาบกั บ กรวย แล้ ว ช่ ว ยกั น สรุ ป
ลักษณะร้ปภาพท่ีเกิดขึ้นเป็ น
ภาพวงกลม พาราโบลา วงรี และ ไฮเพอร์โบลา
4.2.2. แบ่งกลุ่มนั กเรียนคละความสามารถกลุ่มละ ٥ คน
ศึกษาใบความร้้ท่ี 1.2
เร่ ืองนิ ยามเชิงเรขาคณิ ตของวงกลม
4.2.3 ให้ กลุ่ มนั ก เรี ย นในข้ อ ٤.٢.٢ ทำา ใบกิจ กรรมท่ี 1.1 ทำา
กิจกรรมตามคำาสังเขียนกราฟ
่
วงกลมท่ีมี จุด ศ้น ย์ก ลางท่ีจุด ( 0,0 ) มี รัศ มี 5
หน่ วยและสังเกตจุดบนเส้นรอบวง
٤.٢.٤ ให้ ก ลุ่ ม นั กเรี ย นและคร้ ช่ ว ยกั น ทำา ใบกิ จ กรรมท่ี 1.2
สร้างความสัมพันธ์ท่ีมีกราฟ
เป็ นวงกลมตามนิ ยามเชิงเรขาคณิ ตโดยใช้ความร้้
เร่ ืองระยะระหว่างจุดสองจุด
٤.٢.٥ ให้กลุ่มนั กเรียนในข้อ ٤.٢.٢ ทำาใบกิจกรรม ท่ี 1.3 ทีละ
ขันตอน ตรวจสอบความ
้
สอดคล้องของจุดท่ีเป็ นจำานวนเต็มบนเส้นรอบวงกับ
สมการวงกลมท่ีสร้างในใบ
กิจกรรมท่ี ١.٢ ตรวจสอบความสอดคล้องของจุดท่ีไม่
เป็ นจำานวนเต็มกับสมการ
โดยใช้เคร่ ืองคำานวณ
สร้างสมการวงกลมตามนิ ยามเชิงเรขาคณิ ตท่ีมี
จุดศ้นย์กลางท่ีจุด ( ٠,٠) รัศมี ٤ และ
หน่วยตามลำาดับ พร้อมกับนำ าเสนอภาพวงกลม ภาพท่ี ١
และภาพท่ี ٢ ให้นักเรียนสังเกต
และสร้างสมการวงกลมโดยใช้ความร้้เร่ ืองการเล่ ือน
ขนานเล่ ือนจุดศ้นย์กลางไปท่ีจุด
(٢,٣) รัศมี ٥ หน่ วย

5. 5
สร้างสมการวงกลมรัศมีรศมี r หน่วยมีจดศ้นย์กลางท่จด ( ٠
ั ุ ี ุ
,٠) ตามนิยามเชิงเรขาคณิ ต
สร้างสมการวงกลมรัศมี r หน่วย มีจดศ้นย์กลางท่จด( h , k)
ุ ี ุ
ตามนิยามเชิงเรขาคณิ ต
โดยคร้ผ้สอนใช้การถามตอบร่วมกิจกรรมกับผ้้เรียนและ
อภิปรายให้ได้ข้อสรุป
สมการในแต่ละกรณี ลงในใบกิจกรรม
4.2.٦ แจกใบความร้้ท่ี 1.3 นั กเรียนศึกษาวิธีการสร้าง
สมการวงกลมตามตัวอย่างท่ี ٢. 1
4.2.٧ ให้นักเรียนทำาใบงาน 1.1 เร่ ืองมาสรูางสมการ
วงกลมกันเถอะ ในคาบเรียน
5. การวัดและการประเมินผล
5.1 สังเกตจากการมีส่วนร่วมในกิจกรรม
5.2 ประเมินผลจากใบกิจกรรม
5.3 ประเมินผลจากใบงาน
6. แหลูงขูอม่ลเพ่ิมเติม
7. ขูอเสนอแนะ -
ใบความรู่ท่ี 1.1 เร่ ืองกรวยและภาพท่ีเกิดจากการตัดกัน
ของระนาบกับกรวย

6. 6
ภาพของภาคตัดกรวย
ภาพท่ี ١
a b
α
จุดยอด V
กรวยเป็ นร่ปทรงเรขาคณิตท่ีมีวธีการสรูางเชิงคณิ ตศาสตร์ ดังนี้
ิ
ใหู a และ b เป็ นเสูนตรงใดๆสองเสูนตัดกันท่ีจุด V
เป็ นมุมแหลม α ใหูเสูนตรง a
และจุด V ตรึงอยู่กับท่ี ผิวท่ีเกิดจากการหมุนเสูนตรง b
รอบเสูนตรง a ( โดยมุม α
ระหวูางเสูนตรง a และ b มีขนาดคูาคงตัว ) เรียกวูา
กรวยกลมตรง เสูนตรงท่ีตรึง
อยู่กับท่ี เรียกวูาแกน จุด V เรียกวูาจุดยอด เสูนตรง
b ผูานจุด V

7. 7
ภาคตัดกรวย คือร่ปในระนาบท่ีเกิดจากการตัดกันของระนาบกับ
กรวย
เป็ นร่ป วงกลม , วงรี , พาราโบลา และ ไฮเพ
อร์โบลา
เม่ ือระนาบตังฉากกับแกนของกรวยจะตัดเป็ น
้
วงกลม
เม่ ือระนาบไม่ตังฉากกับแกนของกรวยแต่ทำามุม
้
แหลมกับแกนของกรวยขนาด
ใหญ่กว่า α ระนาบจะตัดกรวยได้ข้างเดียวเป็ น
วงรี
เม่ ือระนาบขนานกับตัวก่อกำาเนิ ดกรวยระนาบจะ
ตัดกรวยข้างเดียว
เป็ น พาราโบลา
เม่ ือระนาบขนานกับแกนของกรวยระนาบจะตัด
กรวยสองข้าง
เป็ น ไฮเพอร์โบลา
ภาพภาคตัดกรวย
ภาพท่٢
ี

8. 8
ภาพภาคตัดกรวย
ภาพท่ี ٣
ใบความรู่ท่ี 1.2 นิ ยามเชิงเรขาคณิ ตของวงกลม
นิ ยามเชิงเรขาคณิ ตของวงกลม
วงกลม
คือเซตของจุดทุกจุดทังหมดในระนาบท่ี
้
หูางจากจุดๆหน่ึง
ท่ีตรึงอยู่กับท่ีเป็ นระยะทางคงตัว จุดท่ี
ตรึงอยู่กับท่ีคือ
จุดศ่นย์กลางของวงกลม และระยะทางคูา
คงตัวเรียกวูา
รัศมีของวงกลม
ใบความรู่ท่ี 1.3 ศึกษาตัวอยูางการสรูางสมการวงกลม

9. 9
ตัวอยูางท่ี 1.1
จงสรูางสมการวงกลม ก.มีจุดศ้นย์กลางอย่้ท่ีจุด ( 0 , 0 ) รัศมี 3
หน่ วย
ข. มีจุดศ้นย์กลางอย่้ท่ีจุด ( -3 , 2 )
รัศมี 4 หน่ วย
วิธีทำา ก.
จากร้ปแบบสมการของวงกลม
( x − h) 2 + ( y − k) 2 = r 2 ( h, k ) = ( 0,0) r=3
จะต้องหาค่าของ ( h, k ) และ r
แทนค่า ( h, k ) และ r ลงใน ( x − 0) 2 + ( y − 0 ) 2 = 3 2
ร้ปสมการ
ได้สมการวงกลม x 2 + y 2 = 32
วิธีทำา ข.
จากร้ปแบบสมการของวงกลม
( x − h) 2 + ( y − k) 2 = r 2 ( h, k ) = ( − 3,2) r=4
จะต้องหาค่าของ ( h, k ) และ r
แทนค่า ( h, k ) และ r ลงใน ( x − ( − 3) ) 2 + ( y − 2) 2 = 4 2
ร้ปสมการ
ได้สมการวงกลม ( x + 3) 2 + ( y − 2) 2 = 4 2

10. 10
1
ใบกิจกรรมท่1.1 ١ จงเขียนกราฟวงกลมท่ีมีจุดศ่นย์กลางท่ี
ี
จุด (0 ,0) รัศมี 5 หนู วย
2 จงหาจุดบนเสูนรอบวงทังหมดมีคู่
้
อันดับเป็ นจำานวนเต็ม
6
4
2
-5
5 5
-2
2
-4
4
ใบกิจกรรมท่ี1. 2 จงหาความสัมพันธ์ท่ีมกราฟเป็ น
ี -6
6
วงกลมมีจุดศ่นย์กลาง
ท่ีจุด (0 ,0) รัศมี 5 หนู วย
(กิจกรรมรูวมระหวูางนั กเรียนและผู่สอน)
ให้นักเรียนใช้ความร้้เร่ ืองระยะทางสร้างความสัมพันธ์ท่ีมีกราฟ
เป็ นวงกลมตามนิ ยาม
เชิงเรขาคณิ ต โดยให้จุด P ( x, y) เป็ นจุดใดๆบนวงกลม มี
ระยะทางห่างจากจุด( 0,0)
เท่ากับ 5 หน่ วย ต้องใช้ส้ตรระยะทางใดๆ เท่ากับ รัศมี
ได้ r =
( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2
.............
.....................................................
..................

11. 11
................................................
ไดูสมการ
......................................................................
ใบกิจกรรมท่1. 3 ให้นักเรียนปฏิบัติดังนี้ (กิจกรรมรูวม
ี
ระหวูางนั กเรียนและผู่สอน)

12. 12
1.จงตรวจสอบจุดบนเส้นรอบวงในใบกิจกรรมท่ี1.1 สอดคล้อง
กับความสัมพันธ์ท่ี
มีกราฟเป็ นวงกลม เช่นจุด (3,4) , ( 0,5) , (4.59,2)
สมการวงกลมในใบกิจกรรม 1.2
2. สร้างสมการวงกลมมีจุดศ้นย์กลาง ( 0,0) รัศมี 4 หน่ วย (
ตามแนวทางในใบกิจกรรมท่ี ١.٢)
..................................................... ไดูสมการ
....................................
3 สร้างสมการวงกลมมีจุดศ้นย์กลาง ( 0,0) รัศมี r หน่ วย(ตาม
แนวทางในใบกิจกรรมท่ี ١.٢)
r = ( x − 0) + ( y − 0)
2
ไดูสมการ
2
.............................................
4.ใช้ความร้้เร่ ืองการเล่ ือนขนานสร้างสมการวงกลมมี
จุดศ้นย์กลาง ( 2,3) รัศมี 5 หน่ วย
จากใบกิจกรรมท่ี 1.2
...........................................
...........................................
...........................................
...........................................
...........................................
...........................................
.. ...........................................
.
5. สร้างสมการวงกลมมีจุดศ้นย์กลาง ( h , k) รัศมี r หน่ วย(ตาม
แนวทางในใบกิจกรรมท่ี ١.٢)
จากนิ ยามเชิงเรขาคณิ ตของวงกลม ให้ P( x, y ) เป็ นจุดใดๆบน
วงกลมห่างจุด ( h , k)
เท่าๆกัน เท่ากับรัศมีของวงกลม
r= ( x − ..) 2 + ( y − ...) 2
ได้สมการมาตรฐานของวงกลม
6
( x − ......) 2 + ( y − ...0) 2 = r2 (ยก
กำาลังสอง) P .y)
(x )
4
r
2
(hk
,)
5
5

13. 13
.......................................
.......................................
.......................................
.......................................
.......................................
.......................................
..................................... .
ใบงานท่ี 1.1 มาสรูางสมการวงกลมกันเถอะ

14. 14
จงสรูางสมการวงกลมเม่ อกำาหนดจุดศ่นย์กลางและรัศมีดังนี้
ื
จุดศ้นย์กลางและรัศมี สมการวงกลม
1. ( 0,0) แ ละ 4 2 2
x + y = 16
2. (0,0) และ 3
3. ( 2,5) และ 6 ( x − 2 ) 2 + ( y − 5) 2 = 6 2
4. ( -6,2) และ 3
5. ( 2,-4) และ 7
6. (-4,-3) และ 2
7. (-2,0) และ 4
ภาพท่ี 1 วงกลม (วงกลมมีจุดศ่นย์กลางท่ีจุด ( 0,0) รัศมี 5
หนู วย)

15. 15
ภาพท่ี2 วงกลม (วงกลมมีจุดศ่นย์กลางท่ีจุด ( 2,3)
รัศมี5 หนู วย )