![Tomada de Decisões: Teoria dos Jogos
V11 V12 V13 V14 V15 V16 V17
V21 V22 V23 V24 V25 V26 V27
V31 V32 V33 V34 V35 V36 V37
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7
S1
S2
S3
V24 V25
V34 V35
❖ Núcleo é o conjunto de coalisões cujo
as imputações não são dominadas.
Imputações - Calibres:
▪ V24: Jogador 1 recebe 60% e Jogador 2 recebe 35% do valor.
▪ V34: Jogador 1 recebe 50% e Jogador 2 recebe 45% do valor.
▪ V25: Jogador 1 recebe 65% e Jogador 3 recebe 30% do valor.
▪ V35: Jogador 1 recebe 40% e Jogador 3 recebe 55% do valor.
Formulação Convencional
PAY
OFF
Para a Solução
❖ Excessos – Insatisfação
Diferença entre as imputações e o valor da
estratégia desta coalisão: E(xk, Sij) = Vij – Σ xi.
❖ Nucléolos
Conjunto de imputações que minimizam as
maiores insatisfações das coalisões.
❖ Valores de Shapley
Valores referentes a contribuição marginal de
cada jogador às respectivas coalisões.
1
2
3
4
[ x1, x2, ..., xN ]
▪ V1 = 0,6 e V2 = 0,35
▪ V1 = 0,5 e V2 = 0,45
▪ V1 = 0,65 e V3 = 0,3
▪ V1 = 0,4 e V3 = 0,55
E(x,S) = 5%
As distribuições
dos pagamentos
à J1, J2, e J3,
foram otimizados
calibrando as
imputações](https://image.slidesharecdn.com/aula10-200429105635/85/P910Aula10-14-320.jpg)
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Sk Vij E(xA, Sk) E(xB, Sk) E(xC, Sk)
{1} -1 -9 -9 -8
{2} -1 -7 -9 -10
{3} -2 -6 -4 -4
{1,2} +12 -2 -4 -4
{1,3} +3 -9 -7 -6
{2,3} +5 -5 -5 -6
❖ Solução – Cálculo dos Nucléolos
▪ Fórmula para o excesso:
▪ Chutando uma imputação inicial:
xA = [8, 6, 4], considerando que 18=8+6+4.
O maior valor do excesso = -2, referente à {1, 2}.
▪ Devemos aumentar este excesso, modificando x2,
pois x2 < x1, daí xB = [8, 8, 2]. Poderia ser [8, 7, 3]?
Calculamos os excessos novamente. Além de {1,2}, o
maior seguinte é o da coalisão {2,3} = -5.
▪ Como não devemos alterar x1 + x2 {1,2}, mas
devemos aumentar x2, então: xC = [7, 9, 2].
Enfim, calculando os excessos.
❖ O menor custo é 27, como vimos, e devido ao nucléolo: x1=20-7=13, x2=15-9= 6 e x3=10-2=8.
Legal! Pagamento Ideal = [13, 6, 8] – Antes era [20, 15, 10]. Quem mais economiza é a fazenda 2.
xk = [x1, x2, x3]
Menor E(x,S)](https://image.slidesharecdn.com/aula10-200429105635/85/P910Aula10-17-320.jpg)
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Permutações X1 X2 X3 Σ Xi
{1, 2, 3} -1 13 6 18
{1, 3, 2} -1 15 4 18
{2, 1, 3} 13 -1 6 18
{2, 3, 1} 13 -1 6 18
{3, 1, 2} 5 15 -2 18
{3, 2, 1} 13 7 -2 18
Valores de
Shapley
7 8 3 18
❖ Solução – Valores de Shapley
▪ Algoritmo para o cálculo:
▪ Cálculo do valores da primeira linha:
1) x1 = V{1} = -1
2) x2 = V{1,2} – x1 = 12 – (-1) = 13
3) x3 = V{1,2,3} – V{1,2} = 18 – 12 = 6
▪ Cálculo do valores da segunda linha:
1) x1 = V{1} = -1
2) x3 = V{1,3} – x1 = 3 – (-1) = 4
3) x2 = V{1,2,3} – V{1,3} = 18 – 3 = 15
▪ Cálculo do valores da quarta linha:
1) x2 = V{2} = -1
2) x3 = V{2,3} – x2 = 5 – (-1) = 6
3) x1 = V{1,2,3} – V{2,3} = 18 – 5 = 13
Os valores de Shapley são
a média das colunas xi na
tabela ao lado.
É importante notar que estes
valores são diferentes dos
valores obtidos nos
nucléolos.
Solução:
V1=13, V2=7, V3=7
Solução
Nucléolo = [13, 6, 8]](https://image.slidesharecdn.com/aula10-200429105635/85/P910Aula10-18-320.jpg)
P910Aula10
- 1. PRO910 PLANEJAMENTO EGESTÃO DA PRODUÇÃO AULA 10 Prof. Davi das Chagas Neves Profa. Irce Fernandes Gomes Guimarães
- 2. “Todo processo estávelpode ser previsto e todo processo instável pode ser controlado. Em ambos podemos utilizar a teoria dos jogos.” John Von Newmann Matemático Húngaro Tomada de Decisões: Teoria dos Jogos
- 3. Fundamentos ❖ Teoria dosJogos Tomada de Decisões: Teoria dos Jogos
- 4. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos ❖ A Teoria dos Jogos elabora soluções para problemas nos quais N jogadores competem ou cooperam por um objetivo, considerando que as estratégias {S} de cada jogador serão relacionadas a um valor por meio de uma função ν(), normalmente denominada como função característica (regra). N, ν JOGO Jogadores Valores EstratégicosVladimir Mazalov
- 5. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos Exemplo 01 ❖ Dilema do prisioneiro – Um exemplo didático Descrição do problema: Considere dois prisioneiros que foram pegos roubando um carro, o que remete há 5 anos de prisão, no entanto o delegado sabe que eles estão envolvidos em outro roubo, então ele propõe ao prisioneiro 1 um acordo. Se confessar o outro roubo a pena deste será reduzida para apenas 2 anos, considerando que o outro prisioneiro negue, neste caso a pena do segundo prisioneiro será estendida para 10 anos, o mesmo acordo foi proposto ao segundo prisioneiro. Por fim, caso ambos confessem, eles ficarão presos por 3 anos apenas. A comunicação entre os dois é impossível.
- 6. ❖ O valorde S será 1 quando o prisioneiro confessar e 0 quando negar. ❖ Desenvolva! Tomada de Decisões: Teoria dos Jogos ❖ Construção da solução ConfessarS1 NegarS2 Estratégias 3,3 Prisioneiro 2 5,510,2 2,10 S1 S2 S1S2 Prisioneiro1 Pena do prisioneiro 1, Pena do prisioneiro 2 P1,P2 Matriz Payoff Função Característica (1,1) (1,0) (0,1) (0,0) Sk k = 1, 2 Matriz Primitiva
- 7. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos ❖ Solução humana Monólogo na cabeça de qualquer um dos prisioneiros: - (1,0): Se eu confessar e ele não, eu fico preso apenas dois anos. Ganho 3 anos de liberdade. - (1,1): Se eu confessar e ele também, eu fico apenas três anos. Ganho 2 anos de liberdade. - (0,1): Se eu negar e ele confessar, eu fico preso dez anos. Perco mais 5 anos. - (0,0): Se eu e ele negarmos, eu fico preso cinco anos e nada muda. - Nas duas primeiras situações eu ganho, nas duas últimas eu perco ou não ganho nada. ❖ Não é difícil perceber que os dois vão confessar. Esta é uma solução lógica humana. Como o computador resolve isto? Dominância
- 8. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos ❖ Solução computacional Dominância é uma regra de seleção entre linhas e colunas: uma coluna completamente melhor que outra a domina (elimina). Não entendeu? Observe o problema do prisioneiro a partir da matriz primitiva. (1,1) (1,0) (0,1) (0,0) Matriz Primitiva: os termos das colunas estão destacados em vermelho. Coluna 1 Coluna 2 C1 domina C2 (1,1) (0,1) Dominância neste caso: Maior é melhor. A dominância agora será aplicada nas linhas, cujos os termos estão destacados. L1 domina L2 (1,1) Solução Equilíbrio de Nash Linha 2 Linha 1 Melhor estratégia! 1 > 0
- 9. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos ❖ Solução computacional Nem sempre a solução melhor é a maior (máximo), inclusive utilizando os valores puros do dilema do prisioneiro, a dominância seria pautada pelo menor valor, ou seja: Dominância neste caso: Menor é melhor. 3,3 5,510,2 2,10 C1 domina C2 3,3 10,2 L1 domina L2 3,3 Equilíbrio de Nash ❖ Para casa: Pesquise sobre o teorema Minimax. 3 < 10
- 10. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos Equilíbrio de Nash Resultado Individual Estratégico Resultado Individual Estratégico Resultado do Grupo ❖ Equilíbrio de Nash ❖ Adam Smith propôs que num grupo, se cada indivíduo buscar o melhor para si, então estes obterão o melhor para o grupo, mas John Nash o complementou demonstrando que, o melhor para o grupo é quando todos fazem o melhor para si e para o grupo. ❖ Matematicamente este (melhor) é um ponto de sela, diferente dos máximos globais (individualismo). Ponto de Sela ckwKahl41mI Adams Nash
- 11. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos Formulação Convencional v11 v12 ... v1j ... v1n v21 v22 ... v2j ... v2n ⁝ ⁝ ⁝ ⁝ ⁝ ⁝ vi1 vi2 ... vij ... vin ⁝ ⁝ ⁝ ⁝ ⁝ ⁝ vm1 vm2 ... vmj ... vmn SA1 SA2 ⁝ SAi ⁝ SAm SB1 SB2 ... SBj ... SBn JogadorA Jogador B ❖ Este jogo pode ser classificado como não cooperativo com estratégias puras, pois, quando o jogador A escolhe a estratégia i e o jogador B escolhe a estratégia j, o resultado deste jogo será o valor vij; a teoria busca o melhor valor para ambos ou apenas um jogador, utilizando a dominância das estratégias = Equilíbrio de Nash. ❖ A formulação matemática deste tipo de jogo: A
- 12. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos Formulação Convencional +2 -3 +4 -3 +4 -5 +4 -5 +6 1 2 3 1 2 3 JogadorPar Jogador Impar Par Matriz Payoff para um jogo de Par ou Impar com apenas três (3) dedos. O perdedor paga ao ganhador a soma dos dedos. ❖ Neste jogo podemos observar que não há um valor para o equilíbrio de Nash. Uma alternativa para estes casos é considerar as estratégias do ponto de vista probabilístico (mistas). ❖ Por exemplo, o jogador par joga um dado e se o resultado for 1 ele mostra um (1) dedo, se for 2 ou 3, ele mostra dois (2) dedos e se for 4, 5 ou 6 ele mostra três (3) dedos. Deste modo a estratégia será representada por um vetor: ❖ Formulação: A formulação remete este tipo de problema à soluções obtidas por métodos de programação linear, conforme vimos em outras aulas e como apresentaremos em jogos explorados nos exemplos.
- 13. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos Jogos Cooperativos Cj j1 j2 j3 v(Si1) ᴓ 0 0 0 0 C1 1 0 0 V11 C2 0 1 0 V12 C3 0 0 1 V13 C4 1 1 0 V14 C5 1 0 1 V15 C6 0 1 1 V16 C7 1 1 1 V17 Cj j1 j2 j3 v(Si2) ᴓ 0 0 0 0 C1 1 0 0 V21 C2 0 1 0 V22 C3 0 0 1 V23 C4 1 1 0 V24 C5 1 0 1 V25 C6 0 1 1 V26 C7 1 1 1 V27 Cj j1 j2 j3 v(Si3) ᴓ 0 0 0 0 C1 1 0 0 V31 C2 0 1 0 V32 C3 0 0 1 V33 C4 1 1 0 V34 C5 1 0 1 V35 C6 0 1 1 V36 C7 1 1 1 V37 Estratégias tipo 1 = Si1 Estratégias tipo 2 = Si2 Estratégias tipo 3 = Si3 Cj: Coalisão J formada pelos jogadores { 1, 2, 3 }. 0 – Ausente 1 – Presente Construtoras Associadas
- 14. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos V11 V12 V13 V14 V15 V16 V17 V21 V22 V23 V24 V25 V26 V27 V31 V32 V33 V34 V35 V36 V37 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 S1 S2 S3 V24 V25 V34 V35 ❖ Núcleo é o conjunto de coalisões cujo as imputações não são dominadas. Imputações - Calibres: ▪ V24: Jogador 1 recebe 60% e Jogador 2 recebe 35% do valor. ▪ V34: Jogador 1 recebe 50% e Jogador 2 recebe 45% do valor. ▪ V25: Jogador 1 recebe 65% e Jogador 3 recebe 30% do valor. ▪ V35: Jogador 1 recebe 40% e Jogador 3 recebe 55% do valor. Formulação Convencional PAY OFF Para a Solução ❖ Excessos – Insatisfação Diferença entre as imputações e o valor da estratégia desta coalisão: E(xk, Sij) = Vij – Σ xi. ❖ Nucléolos Conjunto de imputações que minimizam as maiores insatisfações das coalisões. ❖ Valores de Shapley Valores referentes a contribuição marginal de cada jogador às respectivas coalisões. 1 2 3 4 [ x1, x2, ..., xN ] ▪ V1 = 0,6 e V2 = 0,35 ▪ V1 = 0,5 e V2 = 0,45 ▪ V1 = 0,65 e V3 = 0,3 ▪ V1 = 0,4 e V3 = 0,55 E(x,S) = 5% As distribuições dos pagamentos à J1, J2, e J3, foram otimizados calibrando as imputações
- 15. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos Exemplo 02 ❖ Construindo uma Rodovia – Nucléolos e Shapley Descrição do problema: Três fazendas entram em acordo para construir uma rodovia ligando-as à cidade, cada seguimento da rodovia remete a custos inerentes, representados na figura ao lado. Determine os nucléolos para este problema e os valores de Shapley.
- 16. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos ▪ Quanto cada fazenda economiza por participar do acordo (da coalisão)? V(1) = 20 – (10 + 11) = 20 – 21 = -1 V(2) = 15 – (6 + 10) = 15 – 16 = -1 V(3) = 10 – (6 + 6) = 10 – 12 = -2 ▪ Quanto cada par em coalisão economiza (negativo) ou desperdiça (positivo)? V(1,2) = (20+15) – (7+6+10) = 35 – 23 = +12 V(1,3) = (20+10) – (7+8+6+6) = 30 – 27 = +3 V(2,3) = (15+10) – (8+6+6) = 25 – 20 = +5 ▪ Qual é o valor estratégico da coalisão? Economiza ou desperdiça? V(1,2,3) = (20+15+10) – (7+8+6+6) = 45 – 27 = +18 Mesmo com os desperdícios, a coalisão vale a pena, pois a soma total dos custos individuais seriam: $ Total = 21 + 16 + 12 = 49 Economia da coalisão {1,2,3} = -4 Os resultados acima apenas indicam que os custos podem ser otimizados (reduzidos). Função Característica 18 = x1 + x2 + x3 Regra para as Imputações Prejuízos Grafos ▪ Qual é o valor máximo que podemos economizar? ▪ Quais as imputações que minimizam o desperdício?
- 17. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos Sk Vij E(xA, Sk) E(xB, Sk) E(xC, Sk) {1} -1 -9 -9 -8 {2} -1 -7 -9 -10 {3} -2 -6 -4 -4 {1,2} +12 -2 -4 -4 {1,3} +3 -9 -7 -6 {2,3} +5 -5 -5 -6 ❖ Solução – Cálculo dos Nucléolos ▪ Fórmula para o excesso: ▪ Chutando uma imputação inicial: xA = [8, 6, 4], considerando que 18=8+6+4. O maior valor do excesso = -2, referente à {1, 2}. ▪ Devemos aumentar este excesso, modificando x2, pois x2 < x1, daí xB = [8, 8, 2]. Poderia ser [8, 7, 3]? Calculamos os excessos novamente. Além de {1,2}, o maior seguinte é o da coalisão {2,3} = -5. ▪ Como não devemos alterar x1 + x2 {1,2}, mas devemos aumentar x2, então: xC = [7, 9, 2]. Enfim, calculando os excessos. ❖ O menor custo é 27, como vimos, e devido ao nucléolo: x1=20-7=13, x2=15-9= 6 e x3=10-2=8. Legal! Pagamento Ideal = [13, 6, 8] – Antes era [20, 15, 10]. Quem mais economiza é a fazenda 2. xk = [x1, x2, x3] Menor E(x,S)
- 18. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos Permutações X1 X2 X3 Σ Xi {1, 2, 3} -1 13 6 18 {1, 3, 2} -1 15 4 18 {2, 1, 3} 13 -1 6 18 {2, 3, 1} 13 -1 6 18 {3, 1, 2} 5 15 -2 18 {3, 2, 1} 13 7 -2 18 Valores de Shapley 7 8 3 18 ❖ Solução – Valores de Shapley ▪ Algoritmo para o cálculo: ▪ Cálculo do valores da primeira linha: 1) x1 = V{1} = -1 2) x2 = V{1,2} – x1 = 12 – (-1) = 13 3) x3 = V{1,2,3} – V{1,2} = 18 – 12 = 6 ▪ Cálculo do valores da segunda linha: 1) x1 = V{1} = -1 2) x3 = V{1,3} – x1 = 3 – (-1) = 4 3) x2 = V{1,2,3} – V{1,3} = 18 – 3 = 15 ▪ Cálculo do valores da quarta linha: 1) x2 = V{2} = -1 2) x3 = V{2,3} – x2 = 5 – (-1) = 6 3) x1 = V{1,2,3} – V{2,3} = 18 – 5 = 13 Os valores de Shapley são a média das colunas xi na tabela ao lado. É importante notar que estes valores são diferentes dos valores obtidos nos nucléolos. Solução: V1=13, V2=7, V3=7 Solução Nucléolo = [13, 6, 8]
- 19. + Exemplos ® ❖Teoria dos Jogos com exemplos elaborados no R Tomada de Decisões: Teoria dos Jogos
- 20. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos Exemplo 03 ❖ Duas Redes de Supermercados em Três Cidades ❖ Duas redes de supermercado {1,2} estão planejando expansão em uma região que se encontram três cidades {A, B, C}, sabendo que 45% da população se encontra em A, 35% em B e 20% em C. A rede 1 é maior e mais desenvolvida, deste modo esta rede controla os negócios, então se ela estiver mais próxima de uma região que a rede 2, ela {1} irá controlar 90% do mercado, se estiver a mesma distância 65% e por fim, estando mais distante a rede 1 controla 40% do mercado. A) Construa a matriz payoff do controle de mercado da rede 1 e B) Defina onde o novo supermercado esta rede será instalado. 15 km 10 km 20 km
- 21. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos
- 22. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos
- 23. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos
- 24. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos 15 km 10 km 20 km Analisando os Movimentos do Jogo ✓ Para a rede 1 a cidade C não interessa, basta analisar a terceira linha. ✓ Se a rede 1 for para a cidade A, a rede 2 irá pra cidade B, diminuindo o mercado da rede um (1). ✓ Então a rede 1 deveria ir para a cidade B, pois de acordo com a coluna desta cidade, isto obriga a rede 2 ir também para a cidade B, maior mercado para ambas. Um engenheiro de produção medíocre escolheria a cidade A, esperando que a rede 2 fosse pra C.
- 25. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos Exemplo 04 ❖ Vacinas versus Vírus ❖ O governo deseja vacinar seus cidadãos contra um certo vírus da gripe, que possui duas cepas diferentes {A, B}, sendo que é desconhecida a proporção na qual estas ocorrem na população. Foram desenvolvidas duas vacinas e a eficácia da vacina 1 é de 85% contra a cepa A e de 70% contra a cepa B. A eficácia da vacina 2 é de 60% contra a cepa A e de 90% contra a cepa B. Qual é a política de governo que deveria ser tomada pelo governo? 0,85 0,7 0,6 0,9 Cepa A Cepa B Vacina 1 Vacina 2 Matriz Payoff
- 26. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos
- 27. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos Leia a Bibliografia!
- 28. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos GameTheory ❖ A biblioteca!
- 29. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos Exemplo 05 ❖ Problema da rodovia que liga três fazendas à cidade: v{ᴓ} = 0 v{1,2} = +12 v{1} = -1 v{1,3} = +3 v{2} = -1 v{2,3} = +5 v{3} = -2 v{1,2,3} = +18 Coalisões Entrada do código Saídas ▪ Valores de Shapley ▪ Nucléolos
- 30. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos Construção do Jogo
- 31. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos Solução do Jogo
- 32. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos ❖ O valores dos nucléolos são os mesmos que calculamos, mas não estão na ordem, o que significa que a solução anterior não estava exatamente correta. Ok! Não vamos focar nisto!
- 33. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos Exemplo 06 ❖ Divisão de custos entre empresas aéreas ❖ Devemos salientar que no jogo anterior as fazendas custeiam uma rodovia, mas a coalisão é representada pelos valores economizados, ou seja, naquele caso temos um jogo avaliado pelos ganhos, em vista disto, neste exemplo vamos abordar um jogo cujo os valores serão representados por custos, o que modifica a formulação e consequentemente sua resolução. Considerando quatro empresas aéreas que remetem aos seguintes valores para as coalisões: V{ᴓ}=0, V{1}=26, V{2}=27, V{3}=55, V{4}=57, V{12}=53, V{13}=81, V{14}=83, V{23}=82, V{24}=84, V{34}=110, V{123}=108, V{124}=110, V{134}=110, V{234}=110, V{N}=110. Calcule os valores de Shapley e os nucléolos deste caso, determinando assim os valores mais “justos” para o custeio de cada empresa.
- 34. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos Construção do Jogo Solução do Jogo
- 35. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos Summary()
- 36. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos
- 37. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos Exemplo 07 ❖ Compartilhando um Uber – Divisão de custos, de novo! ❖ Considere três pessoas: Amy (A), Bob (B) e Clare (C). Como estas pessoas trabalham no mesmo local, elas podem dividir os custos com transporte, deste modo os valores coletados do aplicativo Uber remete a seguinte coalisão de custos (R$): V{ᴓ}=0, V{A}=6, V{B}=12, V{C}=42, V{AB}=12, V{AC}=42, V{BC}=42, V{N}=42. Abaixo estão os valores pagos por estes passageiros, caso não formem coalisões, a partir destes determine os valores de Shapley e os nucléolos. Quanto cada pessoa deverá economizar? Taxi R$ 42 R$ 12 R$ 6
- 38. 3 2 1 Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos
- 39. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos BEST ▪ Economias < Excessos ▪ Neste caso, menor é melhor! Correlações: Shapley – Economias Nucléolos – Excessos
- 40. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos ❖ O índice de Shapley e Shubik (1954) funciona da seguinte maneira: considere um grupo de indivíduos, todos dispostos a votar em uma proposta. Eles votam em ordem e, assim que a maioria votou na proposta, ela é aprovada e o membro que votou pela última vez recebe crédito por tê-la aprovado. Em seguida, consideramos que os membros estão votando aleatoriamente e calculamos a frequência que um indivíduo será aquele que receberá o crédito pela aprovação da proposta. Isso mede o número de vezes que a ação daquele indivíduo que se une à coalizão a torna uma coalizão vencedora. Observe que, se este índice atingir o valor 0, significa que este jogador é um manequim e se o índice atinge o valor 1, o jogador é um ditador. Índice de Shapley e Shubik
- 41. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos Exemplo 08 ❖ Jogo político – Votação numa câmara de deputados. ❖ Na teoria dos jogos o índice de Shapley-Shubik pode ser utilizado para avaliar votações de projetos na câmara de deputados, definindo pesos para cada partido. No exemplo seguinte analisamos a câmara da Catalunha, considerando a constituição de sete partidos, em três anos distintos, conforme está representado na tabela seguinte. Deste modo, determine a relevância de cada partido nas votações deste parlamento. O limite para aprovação nesta câmara é 68. ▪ Quantidade de deputados em cada partido
- 42. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos Construção do Jogo
- 43. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos Cálculos dos Índices de Shapley-Shubik
- 44. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos
- 45. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos
- 46. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos ❖ Conclusões: 1) O partido CiU é majoritário. 2) PSC e ERC possuem o mesmo peso, inclusive em 2003 e 2006. 3) PP cresceu em relevância. 4) ICV cresceu, mas não em relevância.
- 47. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos
- 48. Tomada de Decisões:Teoria dos Jogos Bibliografia
- 49. ➢ Para casa: ❖Bibliotecas para árvore de decisão (Naive Bayes): C50, rpart, party, randomForest, LogicForest, BayesTree, etc. ➢ Para vida: Obrigado pela atenção! Tomada de Decisões: Teoria dos Jogos