fisica

1. Centro de massa e momento linear
de sistemas de partículas
Centro de massa
e momento linear de sistemas
de partículas
M4
Mecânica

2. Sistemas de partículas e corpo rígido
Centro de massa e momento linear de sistemas de partículas
M4
 Um corpo não é uma partícula mas, sim, um sistema de partículas, que pode ter um movimento de
translação, um movimento de rotação ou, em simultâneo, um movimento de rotação e de
translação e, inclusivamente, sofrer deformações.
 Um corpo rígido é um sistema de partículas que mantêm as suas posições relativas.

3. Centro de massa e momento linear de sistemas de partículas
M4
Centro de massa de um sistema de partículas
 Um corpo (sistema de partículas) só com movimento de translação pode ser representado
pelo seu centro de massa, CM.
 O centro de massa de um sistema de partículas é um ponto onde se considera estar
toda a massa do sistema e aplicada a resultante das forças que atuam no sistema.

4. Centro de massa e momento linear de sistemas de partículas
M4
 O centro de massa de um corpo de forma geométrica de elevada simetria, e massa
uniformemente distribuída, encontra-se no centro geométrico do corpo.

5. Centro de massa e momento linear de sistemas de partículas
M4
 Se um corpo não tiver simetria, mas puder ser dividido em partes homogéneas com simetria,
o centro de massa do corpo pode ser determinado calculando o centro de massa de cada uma
das partes e, em seguida, a posição do centro de massa do sistema de partículas equivalentes
aos centros de massa determinados.

6. Centro de massa e momento linear de sistemas de partículas
M4
 A posição do centro de massa, , de um sistema de N partículas é a média, ponderada
pelas massas, das posições das partículas do sistema.

CM
r

7. Centro de massa e momento linear de sistemas de partículas
M4
Velocidade e aceleração do centro de massa
 A velocidade do centro de massa, , é a média, ponderada pelas massas, das velocidades
das partículas constituintes do sistema.
CM
v

 A aceleração do centro de massa, , é a média, ponderada pelas massas, das acelerações das
partículas constituintes do sistema.
CM
a


8. Centro de massa e momento linear de sistemas de partículas
M4
Momento linear de uma partícula e de um sistema de partículas
 O momento linear de uma partícula, , é uma grandeza física vetorial igual ao produto da
massa pela velocidade da partícula.
p

 O momento linear de um sistema de partículas, , é uma grandeza física vetorial igual ao
produto da massa pela velocidade da partícula.
sist
p

Sendo , podemos escrever:

9. Centro de massa e momento linear de sistemas de partículas
M4
Segunda Lei de Newton aplicada a um sistema de partículas
 De acordo com a Segunda Lei de Newton, a resultante das forças, , que atuam num corpo é igual
ao produto da sua massa pela aceleração que o corpo adquire.
R
F

Sendo a resultante das forças interiores de um sistema de partículas nula, é:
Segunda Lei de Newton aplicada a um sistema de partículas:
a resultante das forças exteriores que atuam sobre um sistema de partículas é igual ao produto
da massa total do sistema pela aceleração do seu centro de massa.


10. Centro de massa e momento linear de sistemas de partículas
M4
 Haverá alguma relação entre a resultante das forças que atuam sobre um
sistema de partículas e o momento linear do sistema?
Sendo sist CM
p M v

 
derivando esta expressão em ordem ao tempo e supondo a massa do sistema constante, tem-se:
Logo, a Segunda Lei de Newton também pode ser enunciada da seguinte forma:
a resultante das forças exteriores que atuam sobre
um sistema de partículas é igual à taxa de variação
temporal do momento linear do sistema.


11. Centro de massa e momento linear de sistemas de partículas
M4
 No caso de ser constante, a variação do momento linear com o tempo é também constante.
R
F

A mesma variação de momento linear pode ser
conseguida por uma:
 força muito intensa, num curto intervalo de tempo.
 força pouco intensa, num grande intervalo de tempo.
Repare 
Numa colisão, a força média que se exerce sobre os passageiros será tanto menor
quanto maior for o intervalo de tempo que dura a variação do momento linear;
daí a importância dos airbags.

12. Centro de massa e momento linear de sistemas de partículas
M4
Lei da Conservação do Momento Linear
Lei da Conservação do Momento Linear – se a resultante das forças exteriores que atuam num
sistema for nula, o momento linear do sistema permanece constante.
Por exemplo, no movimento de um bumerangue, que é atirado sobre um plano horizontal sem
atrito, é nula a resultante das forças exteriores. Logo, o seu centro de massa descreve uma trajetória
retilínea com velocidade constante. O momento linear do sistema mantém-se constante.

13. Centro de massa e momento linear de sistemas de partículas
M4
Colisões elásticas, inelásticas e perfeitamente inelásticas
 As forças de interação entre as partículas que colidem
designam-se por forças de colisão. Estas forças são em, em
geral, de intensidade muito superior à das forças exteriores;
daí estas últimas poderem ser frequentemente desprezadas.
 Sendo a resultante das forças exteriores nula, o momento
linear do sistema permanece constante, antes e depois
da colisão.

14. Centro de massa e momento linear de sistemas de partículas
M4
 As colisões podem ser:
 Colisões elásticas – quando há conservação do momento linear e da energia cinética do sistema.
 Colisões inelásticas – quando há apenas conservação do momento linear do sistema.
Quando numa colisão inelástica a energia cinética diminui o máximo possível, a colisão diz-se
perfeitamente inelástica.
Após a colisão, as partículas adquirem a mesma velocidade, isto é, as partículas seguem juntas.

15. Centro de massa e momento linear de sistemas de partículas
M4
Coeficiente de restituição
 O coeficiente de restituição, e , mede, de certa forma, a elasticidade de uma colisão.
 Para uma colisão frontal, é igual à razão entre a velocidade de afastamento e a velocidade de
aproximação e escreve-se:
final final
B A
v v
  velocidade de afastamento
inicial inicial
A B
v v
  velocidade de aproximação

16. Centro de massa e momento linear de sistemas de partículas
M4

17. Centro de massa e momento linear de sistemas de partículas
M4
Exercícios
1. Sabendo que as massas atómicas relativas do oxigénio e do
hidrogénio são, respetivamente, 16,00 e 1,01, determine a localização
do centro de massa da molécula da água no referencial indicado.
2. Um corpo de massa m desloca-se sobre uma superfície horizontal, sem atrito, quando colide
com outro de igual massa, que se encontrava em repouso. Sabendo que o coeficiente de
restituição é nulo e que a energia cinética do sistema dos dois corpos é Ec, selecione a opção
que representa o valor da velocidade do corpo de massa m imediatamente antes da colisão.
c
2
E
m
(A) (B) c
2E
m
(C) c
2
E
m
(D) c
E
m

18. Centro de massa e momento linear de sistemas de partículas
M4
Exercícios - Resolução
1. No referencial da figura, a posição do centro de massa do átomo de hidrogénio, que
não se encontra na origem de referencial, e do centro de massa do oxigénio é:
 
 
H H
O O
104,45
2 95,84 sin 151,5 pm
2
104,45 104,45
95,84 sin 95,84 cos 75,75 58,71 pm
2 2
x x
x y x y
r e r e
r e e r e e

 
    
 
 
 
   
      
   
   
   
     
Assim:
   
   
 
 
H O
r r
CM CM
r r
CM
1,01 151,5 16,00 75,75 58,71
H O
2 H O 2 1,01 16,00
75,75 52,13 pm
x x y
x y
e e e
A r A r
r r
A A
r e e
   
  
  
   
 
  
 
 
  

19. Centro de massa e momento linear de sistemas de partículas
M4
Exercícios − Resolução
2. Opção (C).
0 0
ext sist
F p
   

 
 
Sendo o coeficiente de restituição nulo, após a colisão, os corpos seguem juntos, pelo que:
 
   
' 2 '
mv m m v v v
Como
  2
1 1
2 2
2 2
c c
c ' ' e ' , vem:
E E
E m v v v v v
m m
    