1. Intratabilidade
Yuri tavares dos Passos

2. MT limitada por tempo
●
Dada uma entrada de tamanho n. Uma MT
que sempre pára dentro de T(n) movimentos
é dita limitada por um tempo T(n).
– Esta MT pode possuir múltiplas fitas.
– Pode ser não determinística.
●
O caso deteminístico e multifita corresponde
a uma algoritmo de tempo de execução T(n).

3. A classe P
●
Se uma MT determinística M é limitada por
um tempo polinomial T(n), então dizemos
que M é limitada por tempo polinomial.
– T(n) = O(nk), para um k constante.
●
Assim, L(M) pertence a classe P.
●
Quando falamos de P, não estamos
falando de um algoritmo que roda em
computador ou em uma MT.

4. Equivalência polinomial
de computadores e MT
●
Como foi discutido sobre a conversão
entre MT multifita e computadores, vimos
que uma algoritmo que roda em tempo
O(T(n)) em um PC roda em tempo
O([T(n)]2) em uma MT multifita.
●
Se T(n) é um polinômio, [T(n)]2 também é.

5. Exemplos de problemas
em P
●
Dado uma sequência de números, ela está
ordenada?
●
Dado uma palavra w, ela pertence a uma
gramática G?
– Algoritmo CYK executa em tempo O(n3)
●
Dado um grafo G, nós x e y, existe uma caminho
de x a y?
– Algoritmo de Djikstra executa em tempo O(n log n),
para n nós.

6. Tempo de execução entre
polinômios.
●
O(n log n) não é um polinômio.
●
Mas para pertencer a P, basta que seja
limitada por um polinômio.
●
O(n log n) < O(n2)

7. A classe NP
●
O tempo de execução de uma MT não-
determinística é o número máximo de passos
tamados ao longo de qualquer ramo.
●
Se este tempo é limitado por um polinômio,
então a MT não determinística é dita limitada
por um tempo polinomial.
●
Sua linguagem/problema é dito estar em uma
classe NP.

8. Definição alternativa de
NP
●
A classe NP pode ser definida como a classe dos
problemas que possuem um verificador que executa
em tempo polinomial.
●
Um verificador é um algoritmo que verifica se uma
entrada w, de tamanho n, possui uma propriedade c.
– Formalmente, um verificador V é um algoritmo que aceita
<w,c>.
– Assim, um problema A pode ser enunciado como:
●
A = {w| V aceita <w,c> para alguma cadeia c}
– A é NP se V executa em tempo polinomial.

9. Exemplo 1
●
Saber se um número x é composto, ou seja, existem dois
números inteiros positivos maiores que 1, p e q, tais que
x=pq.
– COMPOSTO = {x| x=pq, para inteiros x > p,q > 1}
●
Verificar se um x pertence a COMPOSTO pode ser feito
em tempo polinomial. Basta fornecer x e um de seus
divisores (p ou q).
– V verificará a entrada <x,p>.
●
Contudo, verificar se x pertence a COMPOSTO também
pode ser feito em tempo polinomial em uma MT
determinística.

10. Exemplo 2
●
Um caminho hamiltoniano em um grafo
direcionado G é um caminho que passa
por todos os nós de G somente uma vez.
– CAMHAM = {<G,s,t> | G é um grafo
direcionado com um caminho hamiltoniano de
s para t}

11. Exemplo 2

12. Exemplo 2
●
Um verificador V para <G,s,t> seria utilizado
junto com um caminho C. Assim a verificação
seria apenas comparar se C é um caminho se
s a t que passa somente uma vez em cada nó.
– V verificaria a entrada <G,s,t,C>.
●
CAMHAM é um problema que ainda não
sabem se possui uma MT determinística que
resolva em tempo polinomial.

13. Equivalência das
definições
|w| = n
O(n
k
) = T(n)
Verificador
aceita
rejeita
...
c
|c| = O(n
k
)

14. Equivalência das
definições
|w| = n
...
c
...
|c| = O(n
k
)
NTM executa
até encontrar
um certificado
igual a c
c1
c2
cn

15. P e NP
●
Um dos problemas aberto da computação
é:
– P = NP?
●
Há milhares de problemas que estão em
NP, mas não parecem estar em P.
●
Mas também não há provas de que não
estejam em P.

16. Problemas completos
●
Uma maneira de descobrir se P = NP é
identificar os problemas completos para
NP.
●
Um problema é NP-completo se ele tem a
propriedade de, caso pertencer a P, todos
os problemas em NP também serão P.
●
Esta definição é feita formalmente usando
uma redução de tempo polinomial.

17. Problemas completos –
intuição
●
Um problema completo para uma classe
engloba todo problema em uma classe,
mesmo se ele não parece englobar.
●
Verificar se uma expressão booleana,
composta por E, OU e NÃO possui algum
resultado verdadeiro engloba qualquer
problema a respeito de MT.

18. Redução de tempo
polinomial
●
Semelhante as reduções feitas para
descobrir a (in)decibilidade dos problemas.
●
Mas agora com a restrição de levar um
tempo polinomial para fazer as conversões
entre cadeias.
Conversão
em tempo polinomialw x

19. Redução de tempo
polinomial
●
Objetivo: encontrar uma maneira de
mostrar que o problema L é NP-completo
reduzindo todo problema em NP para L de
tal forma que se nós tivermos um
algoritmo de tempo polinomial para MT
determinísticas que decida L, então nós
podemos construir um algoritmo de tempo
polinomial para qualquer problema em NP.

20. Redução de tempo
polinomial
Redução de tempo polinomial
NP
Um problema
NP-completo
.
. . .
.
.
..
.
. Um problema NP

21. Redução de tempo
polinomial
●
Precisamos da noção de um tradutor de
tempo polinomial, ou seja, uma MT que:
– Possui uma entrada de tamanho n.
– Opera de modo determinístico em tempo
polinomial p(n).
– Produz uma saída uma fita separada,
denominada fita de saída.
●
O tamanho da saída e no máximo p(n).

22. Tradutor de tempo
polinomial
estado
nentrada
Fitas de
rascunho
Fita de
saída
< p(n)
Lembre-se: requerimento importante
é tempo < p(n).

23. Redução de tempo
polinomial
●
Considere L e M linguagens.
●
Digamos que L seja redutível em tempo
polinomial a M se existe um tradutor T tal
que para toda entrada w de T, a saída x =
T(w) pertence a M se e somente se w
pertence a L.

24. Redução de tempo
polinomial
T
w ∈ L
w ∉ L
x ∈ M
x ∉ M

25. Problemas NP-completos
●
Um problema/linguagem M é dito NP-
completo se M é NP e para toda linguagem L
em NP, há uma redução de tempo polinomial
de L para M.
●
Propriedade fundamental: Se L é redutível a
M em tempo polinomial e M possui um
algoritmo de tempo polinomial, então L
também tem um algoritmo de tempo
polinomial.

26. Problemas NP-completos
R
S
sim
não
Tradutor
x
w
- Tradutor executa em tempo p(n) (polinômio)
- R decide em tempo q(n) (polinômio)
- S decide em tempo p(n) + q(p(n)) (polinômio)
- M = L(R)
- L = L(S)

27. Problemas NP-completos
Redução de tempo polinomial
NP
Um problema
NP-completo
.
. . .
.
..
. Um problema NP
. .

28. O plano
NP
SAT
Todos os problemas NP
se reduzem em tempo polinomial
ao SAT, que é NP-completo
3-
SAT
SAT se reduz em
tempo polinomial
ao 3-SAT
3-SAT se reduz em tempo
polinomial a muitos problemas
que também são NP-completos

29. Prova que Reduções
polinomiais funcionam
●
Suponha que M possui um algoritmo de
tempo polinomial q(n).
●
Considere que L tenha uma tradutor T
para M que leva uma tempo polinomial
p(n).
●
O tempo do algoritmo para M junto ao
tempo de produção da saída de T leva no
máximo q(p(n)).

30. Prova que Reduções
polinomiais funcionam
●
Agora possuímos um algoritmo para L em
tempo polinomial.
– Dada uma entrada w de tamanho n, use T para
produzir x de tamanho < p(n), usando um tempo
menor que p(n).
– Use o algoritmo para M informar se x pertence a M
em tempo < q(p(n)).
– Responda se w pertence L caso x pertença M.
●
Tempo total < p(n) + q(p(n)) = um polinômio.

31. Próxima aula
●
Veremos o problema SAT e porque ele é
NP-completo.

32. NP-completude e
heurísticas
●
Na vida prática, quando encontramos
problemas que são comprovadamente NP-
completos, devemos:
– Descobrir ou desenvolver heurísticas.
– Reduzir o conjunto de entradas para adequar
a realidade do problema real.

33. Referências
●
HOPCROFT, John E.; ULLMAN, Jeffrey D.;
MOTWANI, Rajeev. Introdução à teoria de
autômatos, linguagens e computação. [Rio de
Janeiro]: Campus, c2003. p. 328-352
●
SIPSER, Michael. Introdução à teoria da
computação. 2ª Ed. Thomson. São Paulo. 2007.
●
Traduzido e adaptado dos slides de Jeffrey D.
Ullman.