1) A demonstração está incompleta porque não garante que se n pertencer a Ia e for diferente de a, então n+1 pertencerá a Ia ou Y. 2) Há duas possibilidades para n quando pertence a Ia: ser igual ou menor que a. Em ambos os casos, n+1 pertencerá a X. 3) Há uma contradição na definição de Y = N - Ia, pois a pertence a Y por definição, mas não pertenceria a Y segundo essa definição de Y. É necessário corrigir a definição de I

1. Na segunda parte da demonstração encontramos o seguinte trecho:
A demonstração está incompleta. O trecho acima garante apenas que se tomarmos n ϵ Ia e n=a, então n+1
pertencerá a Y e, portanto também pertencerá a X.
Mas esse trecho não garante que se n ϵ Ia e n ≠ a então n+1 pertencerá a Ia ou a Y.
Tem-se:
Se n ϵ Ia , podemos afirmar que n ≤ a. Há duas possibilidades para n: n = a ou n < a.
Analisemos os dois casos:
i) se n = a → n+1=a+1 > a → n+1 ϵ Y → n+1 ϵ X = Ia U Y;
ii) se n < a , tem-se: n+1 < a +1.
Agora há duas possibilidades: n+1 =a ou n+1 < a
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n+1 = a → n+1 ϵ Y → n+1 ϵ X = Ia U Y;
n+1 < a → n+1 ϵ Ia → n+1 ϵ X = Ia U Y;
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Outro trecho problemático da demonstração:
Note que no início da demonstração foi definido que o “a” pertence aos dois conjuntos, Y e Ia , pois Ia ={n ϵ
N | n ≤ a}.
No trecho acima retirado da demonstração note que na terceira linha é dito que Y = N – Ia = (Ia)c. Portanto,
o “a” não pertence a Y. O que é contraditório, pois “a” pertence a Y por definição.
Para corrigir esse problema basta mudarmos a definição do Ia para:
Ia = {n ϵ N | n < a}.