1) O documento discute conceitos fundamentais de integrais, incluindo função primitiva, integral indefinida, métodos de integração como substituição e por partes, e aplicações como cálculo de áreas e volumes. 2) São apresentados exemplos detalhados de como aplicar os métodos de integração a funções específicas. 3) Exercícios são fornecidos no final para que o leitor teste seu entendimento dos conceitos discutidos.

1. INTEGRAIS
1. FUNÇÃO PRIMITIVA
Dada uma função f(x), chama-se função primitiva f(x) a função F(x) que derivada dê f(x), isto é,
F’(x) = f(x)
Ex.: f(x) = 2x  F(x) = x2
2. INTEGRAL INDEFINIDA
2.1. CONCEITO
Chama-se integral indefinida de uma função f(x), a toda expressão do tipo F(x) + c, onde F(x) é uma
primitiva de f(x). Indica-se por  f ( x) dx  F ( x)  c
 2 x dx  x
2
Ex.: c
Obs.: A integração é a operação inversa da diferenciação
dF( x)
Ex.:  2 x  dF( x)  2 x  dx   dF( x)  2 x dx  F ( x)  x2  c
dx
2.2. PROPRIEDADES
(i)   f ( x)  g ( x) dx   f ( x) dx   g ( x) dx
(ii)  k  f ( x) dx  k   f ( x) dx
3. MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
3.1. INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Dada  f ( x) dx , não imediata, o método da substituição consiste em fazer uma mudança de variável
x = g(t) e dx = g’(t) dt, de maneira que a nova integral  f ( g (t )) g ' (t ) dt seja mais fácil de calcular que a
original
x t 1 dt
Ex.:  dx   dt   dt    t  ln | t |  k  x  ln | x  1 |  c
x 1 t t
3.2. INTEGRAÇÃO ENVOLVENDO TRINÔMIO QUADRADO
1
(i)  dx
ax  bx  c
2
mx  q
(ii)  2 dx
ax  bx  c
1
(iii)  dx
ax  bx  c
2
mx  q
(iv)  dx
ax 2  bx  c
1 1 1 1
Ex.:  2 dx   2 dx   dx   2 dx 
x  10 x  30 x  10 x  25  5 ( x  5)  5
2
5  ( x  5) 2
1 x5
= arctan c
5 5
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x 1 1 2x  2 1 2x  4  6
Ex.:  dx   2 dx   2 dx 
x  4x  8
2
2 x  4x  8 2 x  4x  8
1 2x  4 6  1 1 6
=  2 dx   2 dx   ln | x 2  4 x  8 |   2 dx 
2  x  4x  8 x  4x  8  2 2 x  4x  8
1 1
= ln | x 2  4 x  8 |  3 2 dx  ln | x 2  4 x  8  3 2 dx 
x  4x  4  4 2  ( x  2) 2
3 x2
= ln | x 2  4 x  8 |  arctan c
2 2
3.3. INTEGRAÇÃO POR PARTES
Sejam u e v duas funções diferenciais de x. Diferenciando o produto u . v, temos:
d (u  v)  u  dv  v  du   d (u  v)   u  dv   v  du  u  v   u  dv   v  du 
  u  dv  u  v   v  du
Ex.: I =  x  sen x dx
u  sen x  du  cos x dx
x2
dv  x dx  v 
2
2 2
x sen x x cos x
I=  dx (não convém)
2 2
nova tentativa:
u  x  du  dx
dv  sen x dx  v   cos x
I = – x cos x    cos x dx   x cos x   cos x dx   x cos x  sen x  c
4. APLICAÇÕES DE INTEGRAIS
4.1. CÁLCULO DE ÁREAS
4.1.1. CONCEITO
Consideremos a curva que representa a função y = f(x), positiva e contínua no intervalo
b
a  x  b. Indicamos por S a , a área limitada por essa curva, e o eixo do x entre os pontos de abscissa a e b
y = f(x)
b
Sa
a b
a
Obs.: (i) S a  0
b c b
(ii) se a  c  b  S a  S a  S c
Apostila 15 2

3. 4.1.2. TEOREMA DO VALOR MÉDIO
Seja y = f(x) uma função positiva e contínua no intervalo [a, b]. Então existe pelo menos um número c
b
entre a e b tal que S a  f (c)  (b  a)
demonstração:
com efeito,
suponhamos que m e M sejam ,respectivamente, os valores mínimos e máximos da função y = f(x) no
intervalo considerado
y = f(x)
M
f(c)
m
b
Sa
a c b
b
b Sa Sb
m(b  a)  S a  M (b  a)  m   M   c  [a, b] | f (c)  a
ba ba
Obs.: o teorema do valor médio nos mostra que existe um retângulo de base b – a e altura f(c) cuja área é
b
igual a S a
4.1.3. ÁREA PELO CÁLCULO INTEGRAL
y = f(x)
S
a x c x+x b
S
pelo TVM; S  f (c)  x   f (c)
x
S dS
lim x 0  lim c  x f (c)   f (x)  dS  f ( x) dx
x dx
 dS   f ( x) dx  Sa  a f ( x) dx  Sa  F ( x)  k
x x x
fazendo x = a; Sa  F (a)  k  0 = F(a) + k  k = -F(a)  Sa  F ( x)  F (a)
a x
fazendo x = b; Sa  F (b)  F (a)
b
logo: Sa  a f ( x) dx  [ F ( x)]b  F (b)  F (a)
b b
a
n
Obs.: a f ( x) dx  lim n  f (c k )  x (integral definida)
b
k 1
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4.2. CÁCULO DE VOLUME
Consideremos uma curva de equação y = f(x), onde f(x) é uma função contínua, que delimita com o eixo dos
x uma superfície plana ABCD. Fazendo-se a rotação com revolução desta superfície em torno do eixo dos x,
será gerado um corpo de revolução cujo volume queremos calcular
y = f(x)
D
C
A B
dividindo-se o intervalo [a, b] em n subintervalos, vamos inscrever n cilindros de revolução no corpo
considerado;
calculando-se o volume desses cilindros e somando-os, teremos um valor aproximado do volume procurado, ou
seja:
V1 = .f 2(x1).x1
V2 = .f 2(x2).x2
__ __ __ __ __ __
Vn = .f (xn).xn
2
fazendo n tender ao infinito, teremos o volume exato do corpo de revolução, ou seja:
n
V  lim n    f 2 ( x k )  x  V    a f 2 ( x) dx
b
k 1
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Calcule as integrais abaixo:
j)  sec 5 x  tan 5 x dx
a)  dx
dx k)  sen x cos x  e3 cos 2 x dx
b) 
3
x2 dx
l) 
dx 4  x2
c) 
x dx
m) 
d)  (1  x) x dx 9  x2
dx
e)  6 x dx
2
n)  11  x 2
f) x.e x dx dx
o) 
g)  ( x3  2)17  x 2 dx 25  16 x 2

h) sen 3x dx
p) 
dx
dx x 4x2  9
i) 
(2 x  3) 2
Apostila 15 4

5. 2) Determine as integrais das funções abaixo:
a)  2
1
dx k)  sen n x dx
x  8x  9 x3  1
5x  3 l)  dx
b)  2 dx x2
x  4 x  17
12 x 2  22 x  12
1 m)  3 dx
c)  dx x  6 x 2  11x  6
28  12 x  x 2
x3  1
1 n)  4 dx
d)  dx x  3x3  3x 2  x
x2  x  1 x2  1
e)  x  e x dx o)  3 dx
x  3x 2  4 x  2
f)  x 2  e x dx x2  x  2
p)  2 dx
g)  x 2  ln x dx ( x  2 x  3) 2
h)  x 1  x dx q) 
x
dx
i)  arcsen x dx
4
x 1
3
j)  sen 2 x dx
3) Calcular a área limitada pela curva y = x3 e o eixo dos x entre os pontos de abscissa
1 e 2.
4) Calcular a área limitada pela curva y = x3 e o eixo dos x entre os pontos de abscissa
-2 e -1.
5) Calcular a área limitada pela curva y = x3 e o eixo dos x entre os pontos de abscissa
-1 e 2.
6) Calcular a área limitada pela curva y = sen x e o eixo dos x entre os pontos de abscissa 0 e 2.
7) Determinar a área delimitada pelas curvas y = x2 e y = x
8) Determinar a área delimitada pelas curvas y = 4x – x2 e y = x
x2 y2
9) Achar o volume gerado pela revolução em torno do eixo dos y da região limitada pela elipse  1
16 9
10) Calcular o volume gerado pela revolução em torno do eixo dos y da região limitada pela função y  x3 ,
x  0 no intervalo [0, 1]
11) Achar o volume gerado pela revolução em torno do eixo dos x da região limitada pela curva y = 4 – x2 e
y = x2
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EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES
1) Calcule as integrais abaixo:
x 2 dx (arcsen x )3
a)  j)  dx
1  x6 1  x2
b)  (1  tan x) 2 csc 2 2 x dx
k) 
dx 1  cot 2 x
c)  x  x
e e 1 x
l)  dx
( x  1) dx 1 x
d) 
3 2
x  2x  2 dx
m) 
e) 
ln x
dx e6 x  4
x dx
n) 
f)  tan 5 x  sec 2 x dx 1  cos 2 x
x dx cos 2 x
g)  o)  dx
1  x4 sen 4 x
3
x3 x 2 (2arctan x  x3 ln(1  x 6 )  1)
h)  dx p)  dx
(1  x 4 ) 2 1  x6
e arctan2 x
i)  dx
1  4x 2
2) Calcule as integrais abaixo:
a) 
1 3 x
3
dx 
j) sen2 x  cos4 x dx k)
2
x k)  sen 2 x  cos 6 x dx
b)  x3 x2  a2 dx l)  sen 3x  cos 5 x dx
1 m)  cos x  cos 2 x  cos 3x dx
c)  dx
3
(1  x)  1  x
2
x2
n)  dx
d) 
1
dx 9  x2
1 e x / 2  e x / 3  e x / 6 1
1 o)  dx
e)  dx x 9  4x2
1  sen x  cos x
x2
1 p)  dx
f)  dx x2  4
3  2 cosx
sen 3 x 1 x
g)  dx q)  dx
2  cos x 1 x
h)  sen 4 x  cos 5 x dx
i)  sen 3 x  cos 2 x dx
3) Determinar a área delimitada pelas curvas y = x3 e y = x2
4) Determinar a área delimitada pelas curvas y = 16 – x4 e y = x4 – 5x2 + 4
5) Determinar a área delimitada pelas curvas y = x3 – 2x e y = x2
6) Determinar a área delimitada pelas curvas y = x3 , y = 2x e y = x
7) Determinar a área delimitada pelas curvas y = x2 + 1 , y = x2 / 2 e y = 5
Apostila 15 6

7. x2 y 2
8) Calcular o volume gerado pela revolução em torno do eixo dos x da região limitada pela elipse  1
a 2 b2
9) Calcular o volume gerado pela revolução em torno do eixo dos x da região limitada pela função y = sen x
no intervalo [0, 2]
10) Achar o volume gerado pela revolução em torno do eixo dos x da região limitada pela curva y = x2 e y =
x
11) Um barril de vinho tem a forma de um elipsóide de revolução com as extremidades cortadas. Mais
especificamente ,ele é formado geometricamente pela revolução da
semi- elipse truncada da figura abaixo. Calcule o volume do barril.
-4 -3 3 4
RESPOSTAS
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
3) 15 / 4 u.a. 4
4) 15 / 4 u.a. 10) u.v.
7
5) 1 / 4 u.a.
6) 4 u.a. 64 2
11) u.v.
7) 1 / 6 u.a. 3
8) 9 / 2 u.a.
9) 64 u.v.
EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES
3) 1 / 12 u.a. 2
4) 736 / 15 u.a. 9) u.v.
5) 37 /12 u.a. 2
6) 3 / 2 u.a. 3
10) u.v.
7) 10,42 u.a. 10
4 2 39
8) ab u.v. 11) u.v.
3 2
Professor Emerson 7