Este documento apresenta o método gráfico para resolver problemas de programação linear com duas variáveis de decisão. O método envolve representar graficamente as restrições do problema e traçar retas da função objetivo para encontrar o ponto ótimo na região factível. Exemplos ilustram como aplicar os oito passos do método, incluindo formulação do problema, traçar retas, delimitar região factível e resolver sistema de equações para achar a solução.

1. FACULDADE PITÁGORAS– Engenharia de Produção – AULA2: Solução Gráfica de Problemas de PLDisciplina: Pesquisa Operacional 1:Prof. Msc. Joabe Silva

2. O método da solução gráfica.1Exemplos.2SUMÁRIOExercícios.32

3. 1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA3

4. 41. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICAOs problemas de Pesquisa Operacional, quando esboçam uma relação linear entre as variáveis de decisão, são chamados de Problemas de Programação Linear (PL).Dentre as diversas possibilidades de problemas de PL, aqueles que são baseados em apenas 2 variáveis de decisão (x1 e x2), podem ser solucionados pelo Método Gráfico.Este método caracteriza-se pela busca da solução ótima do problema de PL, dentro de uma região factível formada pela intersecção das retas geradas pelas inequações das restrições.

5. 1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA5Como obter a solução gráfica?1 º PASSO: Formulação do problema de pesquisa operacional.DICAS: Quando o problema citar que há um estoque para se utilizar, as restrições são do tipo (≤)pois não se pode consumir matéria-prima além do que se tem disponível no estoque. São as Restrições de Matéria-Prima;

6. Quando o problema citar que há um número existente de máquinas para produção, homens para trabalhar, veículos para transportar, dinheiro para investir e similares, as restrições são do tipo (≤)pois não se pode utilizar mais máquina para se produzir, além do que se tem. Não pode contar com mais operadores, além do que se tem. Não se pode transportar além da capacidade do caminhão. Enfim, todas Restrições de Capacidade de Produção;

7. Quando o problema citar quantidades necessárias para a produção ser aceitável (sucos, vitaminas, tintas, misturas em geral), as restrições são do tipo (≥)pois não se pode utilizar menos do que o exigido para se ter um produto de qualidade. 1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA6Como obter a solução gráfica?2 º PASSO: Estabelecer os eixos do plano cartesiano xy.Para trabalharmos com um padrão, o eixo vertical será a variável x2 (abscissas) e o eixo horizontal será a variável x1 (ordenadas).Restrições obtidas no processo de formulação.

8. 71. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICAComo obter a solução gráfica?3 º PASSO: Traçar as retas para cada restrição.Restrições obtidas no processo de formulação.O valor que não estiver associado a uma variável de decisão, é o ponto em que a reta intercepta o eixo vertical !Restrição 1Termo independente

9. 81. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICAComo obter a solução gráfica?3 º PASSO: Traçar as retas para cada restrição.Para achar o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal, basta atribuir 0 (zero) para a variável na vertical (x2) , e obter o respectivo valor para x1.Restrições obtidas no processo de formulação.Restrição 136

10. 91. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICAComo obter a solução gráfica?4 º PASSO: Esboçar o sentido da solução da inequação. Se for do tipo ≤ , a solução está para baixo ou para esquerda. Se for do tipo ≥ , a solução está para cima ou para a direita.Restrição 136

11. 101. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICAComo obter a solução gráfica?5 º PASSO: Repetir para todas as inequações.Restrição 16Restrição 2Restrição 23Restrição 164

12. 111. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICAComo obter a solução gráfica?5 º PASSO: Repetir para todas as inequações.Restrição 16Restrição 2Restrição 2Restrições de Negatividade3Restrição 164

13. 121. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICAComo obter a solução gráfica?6 º PASSO: Delimitar a região factível.Restrição 1Restrição 2Restrições de NegatividadeRegião Factível

14. 131. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICAComo obter a solução gráfica?7 º PASSO: Traçar as retas da função objetivo.Como o objetivo é maximizar, esta reta demonstra que ainda se pode obter valores mais altos para as variáveis de decisão x1 e x2.Para isto, é necessário atribuir valores arbitrários para a função objetivo. Mas é claro que devem fazer sentido estes valores, caso contrário a reta ficará fora do gráfico.Para Z = 62Região Factível52

15. 141. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICAComo obter a solução gráfica?7 º PASSO: Traçar as retas da função objetivo.Como o objetivo é maximizar, esta reta demonstra que ainda se pode obter valores mais altos para as variáveis de decisão x1 e x2.Para isto, é necessário atribuir valores arbitrários para a função objetivo. Mas é claro que devem fazer sentido estes valores, caso contrário a reta ficará fora do gráfico.Para Z = 92Região Factível532

16. 151. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICAObserva-se que ao passo que se aumenta o valor da função objetivo as retas se deslocam para cima. A seta em amarelo representa o vetor gradiente da função objetivo. Como a função é de maximização, o ponto ótimo está na direção que o vetor cresce, até o limite da região factível.Como obter a solução gráfica?7 º PASSO: Traçar as retas da função objetivo.Para isto, é necessário atribuir valores arbitrários para a função objetivo. Mas é claro que devem fazer sentido estes valores, caso contrário a reta ficará fora do gráfico.Para Z = 92Região Factível532

17. 161. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICAObserva-se que ao passo que se aumenta o valor da função objetivo as retas se deslocam para cima. A seta em amarelo representa o vetor gradiente da função objetivo. Como a função é de maximização, o ponto ótimo está na direção que o vetor cresce, até o limite da região factível.Como obter a solução gráfica?7 º PASSO: Traçar as retas da função objetivo.Para isto, é necessário atribuir valores arbitrários para a função objetivo. Mas é claro que devem fazer sentido estes valores, caso contrário a reta ficará fora do gráfico.Para Z = 9*PONTO ÓTIMOx2Região Factível*x15

18. 171. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICAObserva-se que ao passo que se aumenta o valor da função objetivo as retas se deslocam para cima. A seta em amarelo representa o vetor gradiente da função objetivo. Como a função é de maximização, o ponto ótimo está na direção que o vetor cresce, até o limite da região factível.Como obter a solução gráfica?8 º PASSO: Encontrar os pontos ótimos.Às vezes é fácil observar quais são os pontos ótimos de cara (em casos onde a restrição é uma reta sem inclinação). No caso deste exemplo, utiliza-se o método de geometria analítica para achar o ponto em que as duas retas se cruzam.*PONTO ÓTIMOx2Sistema de equações formado pelas duas restriçõesRegião Factível*x15

19. 181. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICAComo obter a solução gráfica?8 º PASSO: Encontrar os pontos ótimos.Sistema de equações formado pelas duas restriçõesPode-se ignorar as desigualdades.*PONTO ÓTIMOx2Região Factível*x15

20. 191. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICAComo obter a solução gráfica?8 º PASSO: Encontrar os pontos ótimos.Sistema de equações formado pelas duas restriçõesPode-se ignorar as desigualdades.*PONTO ÓTIMOx2Região Factível*x15

21. 201. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICAComo obter a solução gráfica?8 º PASSO: Encontrar os pontos ótimos.Sistema de equações formado pelas duas restriçõesPode-se ignorar as desigualdades.Toma-se uma das equações e substitui-se o primeiro valor ótimo encontrado.*PONTO ÓTIMOx2Região Factível*x15

22. 211. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICAComo obter a solução gráfica?9 º PASSO: Encontrar a solução do problema (se for maximizar lucro, encontrar o lucro máximo, por exemplo).Pontos Ótimos encontrados:Para encontrar a solução do problema, basta substituir na equação da função objetivo:PONTO ÓTIMORegião Factível5

23. 221. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICAComo obter a solução gráfica?PASSO FUTURO: Encontrar a solução do problema pelo aplicativo Solver do Excel.PONTO ÓTIMORegião Factível5

24. 231. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICAEXEMPLO ADICIONAL:Região FactívelPONTOS ÓTIMOS E RESULTADO:

25. 241. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICAEXEMPLO ADICIONAL: TENTE ENCONTRAR A MESMA SOLUÇÃO !!!

26. 251. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICAQuais são as situações possíveis em um problema de solução pelo método gráfico?

27. 261. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICAQuais são as situações possíveis em um problema de solução pelo método gráfico?

28. 4. RESUMO27

29. 284. RESUMONesta unidade você aprendeu a utilizar o método gráfico para resolver um problema de duas variáveis. Pelo método gráfico, cada restrição precisa ser representada em um gráficoformado pelos eixos das variáveis x1e x2. A junção de todas as restrições forma o espaço de possíveis soluções. Depois de encontrar o espaço de possíveis soluções é necessário assumir alguns valores para a função objetivo (z). Com esses valores, podemos traçar uma reta para cada valor de ze perceber para onde a função objetivo cresce. Conseqüentemente, é possível visualizar qual é a solução ótima graficamente. A solução ótima estará localizada em um dos vértices da região de possíveis soluções, ou seja, está localizada na interseção de duas retas. Para encontrar os valores de x1, x2e conseqüentemente z, basta resolver um sistema de equações lineares com as duas retas que passam pelo ponto ótimo.Na próxima aula você aprenderá a solucionar os problemas de Programação Linear por meio do aplicativo Solver do Excel. Tal ferramenta permitirá a solução de problemas mais complexos, com mais de 2 variáveis de decisão e com um número maior de restrições.

30. 3. EXERCÍCIOS29

31. 301. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICAEXEMPLOS ADICIONAIS: TENTE ENCONTRAR A SOLUÇÃO !!!

32. FIM !!!31