O documento discute os conceitos de polimorfismo de inclusão, polimorfismo paramétrico e tipos parametrizados em sistemas de tipos. O polimorfismo de inclusão permite que um tipo tenha subtipos que herdam suas operações, como em linguagens orientadas a objetos. O polimorfismo paramétrico permite escrever funções polimórficas que operam em famílias de tipos. Tipos parametrizados derivam tipos através da substituição de variáveis de tipo por tipos concretos.

1. 8
Sistemas de Tipos
 Polimorfismo de inclusão.
 Polimorfismo paramétrico.
 Sobrecarga.
 Conversões de tipos.
 Notas de implementação.
7-1

2. Polimorfismo de inclusão (1)
 Polimorfismo de inclusão é um sistema de tipo no qual um
tipo pode ter subtipos, que herdam as operações daquele
tipo
• Conceito-chave das linguagem orientadas a objetos
 Tipos e subtipos
• Um tipo T é um conjunto de valores equipado com operações
• Um subtipo de T é um subconjunto dos valores de T equipado com
as mesmas operações de T
– Todo valor do subtipo também é valor do tipo T, podendo ser usado no
contexto onde um valor do tipo T é esperado
– O conceito de subtipos é uma idéia útil e comum em programação
7-2

3. Exemplo: tipos primitivos e subtipos em Ada
 Declarações em Ada definindo subtipos de Integer
• subtype Natural is Integer range 0 .. Integer'last;
subtype Small is Integer range -3 .. +3;
• Conjuntos de valores correspondentes
– Natural = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Small = {-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3}
• Variáveis i := n; Requer verificação em
– i: Integer; i := s; tempo de execução
n: Natural;
s: Small;
n := i; n := s;
s := i; s := n:
7-3

4. Exemplo: tipos e subtipo de registros
discriminados em Ada (1)
 Declaração de registro discriminado em Ada
• type Form is (pointy, circular, rectangular);
type Figure (f: Form := pointy) is
record
x, y: Float;
case f is
when pointy => null;
when circular => r: Float;
when rectangular => h, w: Float;
end case;
end record;
subtype Point is Figure(pointy);
subtype Circle is Figure(circular);
subtype Rectangle is Figure(rectangular);
• Conjuntos de valores
– Form = {pointy, circular, rectangular}
Figure = pointy(Float × Float) + circular(Float × Float × Float) +
rectangular(Float × Float × Float × Float)
7-4

5. Exemplo: tipos e subtipo de registros
discriminados em Ada (2)
 Conjunto de valores dos subtipos
– Point = pointy(Float × Float)
Circle = circular(Float × Float × Float)
Rectangle = rectangular(Float × Float × Float × Float)
 Exemplos de variáveis
• diagram: array (...) of Figure;
frame: Rectangle;
cursor: Point;
7-5

6. Polimorfismo de inclusão (2)
 Em linguagens de programação que suportam subtipos, não
é possível estabelecer univocamente o subtipo de um valor
 Propriedades gerais dos subtipos
• Condição necessária para S ser um subtipo de T: S ⊆ T
• O tipo T é equipado com operações que são aplicáveis a todos os
valores do tipo T
• Todas essas operações também serão aplicáveis aos valores do
subtipo S – S herda as perações de T
7-6

7. Polimorfismo de inclusão (3)
 Compatibilidade de tipos na presença de subtipos
• V := E
tipo = T2 tipo = T1
• T1 é compatível com T2 se e somente se T1 e T2 têm valores em
comum
– Ou T1 é um subtipo de T2 ou T2 é um subtipo de T1 ou T1 e T2 são
subtipos de outro tipo qualquer
• Casos de interesse quando T1 e T2 são compatíveis
– T1 é um subtipo de T2: T1 pode ser usado com segurança num contexto
onde um valor de T2 é esperado – não precisa de verificação em tempo
de execução
– T1 não é um subtipo de T2: valores do tipo T1 somente podem ser
usados após verificação em tempo de execução para determinar se ele
também é um valor do tipo T2 7-7

8. Classes e subclasses
 Uma classe C é um conjunto de objetos equipados com
operações
• Cada objeto da classe C tem uma ou mais variáveis componentes e
está equipada com métodos que acessam essas variáveis
• Cada objeto de uma subclasse S de C herda todas as variáveis
componentes dos objetos da classe C, podendo ter variáveis
componentes adicionais
• Cada objeto da classe S potencialmente herda todos os métodos
dos objetos da classe C e pode ser equipada com métodos
adicionais para acessar tais variáveis
• Qualquer objeto de uma subclasse pode ser usado no contexto
onde um objeto da classe C é esperado
 Subclasses não são o mesmo que subtipos em geral
7-8

9. Exemplo: subclasses de Java
como subtipos (1)
 Considere as classes
• class Point {
protected double x, y;
public void draw () {...}
}
class Circle extends Point {
private double r;
public void draw () {...}
}
class Rectangle extends Point {
private double w, h;
public void draw () {...}
}
7-9

10. Exemplo: subclasses de Java
como subtipos (2)
 Conjuntos de valores das classes
– Point = Point(Double × Double)
Circle = Circle(Double × Double × Double)
Rectangle = Rectangle(Double × Double × Double × Double)
• Nota-se que Circle e Rectangle não são subtipos de Point
• Mas são subtipos do tipo Point$ abaixo
– Point$ = Point(Double × Double) +
Circle(Double × Double × Double) +
Rectangle(Double × Double × Double × Double)
Point$
7-10

11. Exemplo: subclasses de Java
como subtipos (3)
 Java permite que objetos de qualquer subclasse sejam
tratados como objetos da superclasse
• Point p;
...
p= new Point(3.0, 4.0);
...
p= new Circle(3.0, 4.0, 5.0);
– Variáveis do classe Point podem referenciar quaisquer valores do
tipo Point$
• Em geral, se C é uma classe, então C$ inclui não apenas os objetos
da classe C, mas também os objetos de todas as subclasses de C
– C$ é denominada de tipo de classe estendido (class-wide type)
7-11

12. Exemplo: extensibilidade em Java (1)
 Sejam as declarações considerando o exemplo anterior
• class Line extends Point {
private double length, orientation;
public void draw () { ... }
}
class Textbox extends Rectangle {
private String text;
public void draw () { ... }
}
• As definições acima não apenas definem os conjuntos de objetos
das novas classes
– Line = Line(Double × Double × Double)
Textbox = Textbox(Double × Double × String)
7-12

13. Exemplo: extensibilidade em Java (2)
• como também definem os tipos de classe estendidos abaixo
– Point$ = Point(Double × Double) +
Circle(Double × Double × Double) +
Rectangle(Double × Double × Double × Double) +
Line(Double × Double × Double) +
Textbox(Double × Double × String)
– Rectangle$ = Rectangle(Double × Double × Double × Double) +
Textbox(Double × Double × String)
7-13

14. Polimorfismo paramétrico (1)
 Polimorfismo paramétrico é um sistema de tipos que
permite que se escrevam procedimentos polimórficos
• Um procedimento polimórfico é aquele que pode operar
uniformemente sobre argumentos de toda uma família de tipos
• Um procedimento monomórfico é aquele que somente pode
operar sobre argumentos de um tipo fixo
– Uma função que computar o tamanho de uma lista de caracteres não
pode ser aplicada a listas de inteiros, por exemplo
7-14

15. Polimorfismo paramétrico (2)
 Procedimentos polimórficos
• Suportado naturalmente em Haskell
– Basta que se declare o tipo da função utilizando variáveis de tipo, em
vez de tipos específicos
 Uma variável de tipo é um identificador que denota um tipo de uma
família de tipos
» Letras romanas minúsculas em Haskell
» Letras gregas nos exemplos do livro-texto (α, β, γ, ...)
7-15

16. Exemplo: função polimórfica em Haskell (1)
 Função monomórfica em Haskell
• second (x: Int, y: Int) = y
• Tipo da função
– Integer × Integer → Integer
– second(13, 21) resulta no valor 21, mas a chamada
second(13, true) é ilegal, pois os tipos não casam
 A versão polimórfica desta função resolve este problema
• second (x: σ, y: τ) = y
• Tipo da função
– σ×τ→τ
– σ e τ são variáveis de tipo, cada uma representação de um tipo
arbitrário
7-16

17. Exemplo: função polimórfica em Haskell (2)
• Agora, a chamada da função abaixo é legal
– second(13, true) resulta no valor true
– O tipo da função determinado pelo casamento de tipos é o seguinte
 σ  Integer e τ  Boolean
 Substituíndo ambos no tipo σ × τ → τ, tem-se o tipo resultante da aplicação da
função
 Integer × Boolean → Boolean
 Esta função polimórfica aceitas argumentos de muitos tipos, mas
não quaisquer argumentos
• Apenas pares da forma σ × τ
• As chamadas abaixo são ilegais
– second(13)
– second(1978, 5, 5)
7-17

18. Polimorfismo paramétrico (3)
 Um politipo deriva uma família de tipos e sempre possui
uma ou mais variáveis de tipo
∀ σ × τ e σ × τ → τ são exemplos de politipos
• Politipos derivam uma família de tipos pela substituição
sistemática das variáveis de tipo por tipos
– A família de tipos derivada por σ × τ → τ, incluem
 Integer × Boolean → Boolean
 String × String → String
– mas não incluem
 Integer × Boolean → Integer
 Integer → Integer
 String × String × String → String
7-18

19. Exemplo: função polimórfica em Haskell
 Considere a seguinte função monomórfica em Haskell
• either (b: Bool) (x1: Char) (x2: Char) =
if b then x1 else x2
• O tipo dessa função é Boolean → Character → Character → Character
• translate (x: Char) =
either (isspace x) x '*'
• Nota-se que o tipo do primeiro argumento deve ser Boolean, mas os
tipos do segundo e terceiro argumentos não precisão ser!
• either (b: Bool) (x1: τ) (x2: τ) =
if b then x1 else x2
• O tipo da função para Boolean → τ → τ → τ
• translate (x: Char) =
either (isspace x) x '*'
• max (m: Int, n: Int) =
Aplicação legal da função
either (m > n) m n' either
7-19

20. Tipos parametrizados
 Um tipo parametrizado é um tipo que toma outros tipos
como parâmetros
• Pode-se imaginar o τ[] como um tipo parametrizado de C, que pode
ser especializado num tipo ordinário, como char[], ou float[], ou
float[][], pela substituição da variável τ por um tipo real
• Todas as linguagens de programação têm tipos parametrizados pré-
definidos
– C, C++ e Java têm τ[]
– Ada tem array (σ) of e access τ
• Poucas linguagens de programação, como ML e Haskell permitem que
o programador defina seus próprios tipos parametrizados
7-20

21. Exemplo: tipo parametrizado em Haskell
 Definição de um tipo de pares homogêneos
• type Pair τ =(τ, τ)
• τ é um parâmetro do tipo e denota um tipo arbitrário
• Uma especialização deste tipo poderia ser
– Pair Int
– com o tipo resultante Integer × Integer, ou seja valores pares de números
inteiros
– ou
– Pair Float
– com o tipo resultante Real × Real, ou seja valores pares de números reais
7-21

22. Exemplo: tipo parametrizado recursivo em
Haskell
 Definição de listas homogêneas List<τ> = Unit + (τ × List<τ>)
• data List τ = Nil | Cons (τ, List τ)
• Agora, List Int é um tipo cujos valores são listas de inteiros
• head (l: List τ)= head : List<τ> → τ
case l of
Nil -> ... -- error
Cons(x,xs) -> x
tail (l: List τ)= tail : List<τ> → List<τ>
case l of
Nil -> ... -- error
Cons(x,xs) -> xs
length (l: List τ)= length: List<τ> → Integer
case l of
Nil -> 0
Cons(x,xs) -> 1 + length(xs)
7-22

23. Inferência de tipos
 A maioria das linguagens estaticamente tipadas requerem que
o programador declare explicitamente os tipos usados em toda
entidade declarada num programa
• I: constant T := E;
I: T;
function I (I': T') return T;
 Em Haskell, os tipos não precisam ser explicitados – são
inferidos do contexto
 Inferência de tipos é um processo pelo qual o tipo de uma
entidade declarada é inferido, quando não foi explicitamente
estabelecido
7-23

24. Exemplo: inferência de tipos monomórficos
em Haskell
 Considere a seguinte definição de função
• even n = (n 'mod' 2 = 0)
• Sabe-se que o operador mod tem tipo Integer × Integer → Integer
• A partir da subexpressão n 'mod' 2 pode-se inferir que o tipo de n
é Integer
• De forma similar, pode-se inferir que o corpo da função tem o tipo
Boolean
• Logo, a função even tem o monotipo Integer → Boolean
• Nem sempre pode inferir um monotipo!
7-24

25. Exemplo: inferência de tipos polimórficos em
Haskell
 Considere a seguinte função
• f . g =
x -> f(g(x))
• Nota-se que f e g são funções, que o tipo resultante de g deve ser o
mesmo tipo do parâmetro de f, mas nada se pode inferir que tipo é
este, ele é um politipo β qualquer
• Nada se pode afirmar dos tipos do parâmetro de g e do valor
resultante de f, que podem ser diferentes, eles podem ter os
politipos α e γ, respectivamente
• Neste caso, o tipo de x obrigatoriamente é α
• Logo, o tipo da função acima é
– (β → γ) → (α → β) → (α → γ)
7-25

26. Sobrecarga (1)
 Um identificador está sobrecarregado se ele denota dois
ou mais procedimentos num mesmo escopo
• Aceitável apenas quando a chamada do procedimento pode ser
feita sem ambigüidade
 Pode ser definida pelo programador em Java, C++, Ada,
dentre outras linguagens
7-26

27. Exemplo: funções sobrecarregadas em C
 O operador "–" em C denota simultaneamente quatro
funções pré-definidas
• Negação de inteiros (função com tipo Integer → Integer)
• Negação de ponto-flutuante (função com tipo Float → Float)
• Subtração de inteiro (função com tipo Integer × Integer → Integer)
• Subtração de ponto-flutuante (função com tipo Float × Float → Float)
 Nota-se que não há ambigüidade, pois o número e os tipos
dos operandos determinam a função a chamar
7-27

28. Exemplo: funções sobrecarregadas em Ada
 O operador "/" denota duas funções pré-definidas em Ada
• Divisão de inteiros (função com tipo Integer × Integer → Integer)
• Divisão de ponto-flutuante (função com tipo Float × Float → Float)
 Pode-se declarar a função sobrecarregada abaixo
• function "/" (m, n: Integer) return Float;
-- Return the quotient of m and n as a real number.
• cujo tipo é (função com tipo Integer × Integer → Float)
• Neste caso, a função a chamar vai depender do contexto onde é
aplicada e não apenas dos parâmetros reais
• n: Integer; x: Float;
...
• x := 7.0/2.0; - computes 7.0/2.0 = 3.5
x := 7/2; - computes 7/2 = 3.5
n := 7/2; - computes 7/2 = 3
n := (7/2)/(5/2); - computes (7/2)/(5/2) = 3/2 = 1
• Algumas chamadas são ambíguas e ilegais
– x := (7/2)/(5/2); - computes (7/2)/(5/2) = 3/2 = 1.5 ou
7-28
(7/2)/(5/2) = 3.5/2.5 = 1.5

29. Sobrecarga (2)
 Suponha um identificador F denotando simultaneamente
duas funções f1: S1 → T1 e f2: S2 → T2
• Sobrecarga independente de contexto: requer que S1 e S2 sejam
não equivalentes
– A função a ser chamada sempre pode ser univocamente identificada
pelo tipo do parâmetro real
• Sobrecarga dependente de contexto: requer apenas que S1 e S2
sejam não equivalentes ou que T1 e T2 sejam não equivalentes
– Quando S1 e S2 são equivalentes, o contexto onde o F é utilizado deve
ser levado em conta para identificar a função a ser chamada
– Possibilita a formulação de expressões nas quais a função a ser
chamada não pode ser determinada univocamente – tais construções
ambíguas devem ser proibidas 7-29

30. Sobrecarga (3)
 Advertência!
• Não confundir sobrecarga – também conhecido como
polimorfismo ad hoc – com polimorfismo paramétrico
– A sobrecarga não aumenta o poder de expressividade da linguagem
de programação, visto que a quantidade de funções sobrecarregadas
sempre é limitada
– Por outro lado, o polimorfismo paramétrico permite que um
procedimento opere sobre um número potencialmente ilimitado de
variedade de tipos
7-30

31. Conversão de tipos (1)
 Uma conversão de tipos é um mapeamento de valores de
um tipo para valores correspondentes de outro tipo
• Exemplos:
– Mapeamento natural de números inteiros para reais
 {..., −2 → −2.0, −1 → −1.0, 0 → 0.0, +1 → +1.0, +2 → +2.0, ...}
– Truncamento e o arredondamento são opções de conversão de tipos
de real para inteiros
– Mapeamento de caracteres para strings de tamanho 1
7-31

32. Conversão de tipos (2)
 Conversões de tipos podem ser mapeamentos totais
• Caracteres para códigos de caracteres, inteiros para reais, ...
 Conversões de tipos podem ser mapeamentos parciais
• Códigos de caracteres para caracteres, reais para inteiros, ...
• Mapeamentos parciais podem provocar falhas em programas
7-32

33. Conversão de tipos (3)
 Conversões de tipos podem ser explícitas ou implícitas
• Um cast é uma conversão de tipos explícita
– Em C, C++ e Java, um cast tem a forma (T)E
– Em Ada e em Object Pascal, um cast tem a forma T(E)
 Caso a subexpressão E é do tipo S – não equivalente a T – e se a
linguagem de programação define uma conversão de tipo de S para T,
então o cast mapeia o valor de E para o valor correspondente de T
• Uma coerção é uma conversão de tipos implícita, realizada
automaticamente sempre que o contexto sintático exigir
– Considere a expressão E no contexto do tipo T
 Se o tipo de E é S – não equivalente a T – e se a linguagem permite a
coerção de S para T nesse contexto, então a coerção mapeia o valor de E
para o valor correspondente de T
7-33

34. Exemplo: coerções e Pascal e casts em Ada
 Pascal
• var n: Integer; x : Real;
...
x := n; -- converte o valor de n para um número real
n := x; -- ilegal!
n := round(x) -- converte o valor de x para um inteiro por arredondamento
 Ada
• Ada não prover nenhum tipo de coerção
• n: Integer; x : Float;
...
x := n; -- ilegal!
n := x; -- ilegal!
x := Float(n) -- converte o valor de n para um número real
n := Integer(x) -- converte o valor de x para um inteiro por arredondamento
 Algumas linguagens de programação são muitos permissivas
em relação às coerções, e. g. C, Java
 A tendência é reduzir ou mesmo eliminar coerções nas
linguagens de programação mais modernas 7-34

35. Notas de Implementação (1)
 Implementação do polimorfismo paramétrico
• Procedimento polimórficos operam uniformemente sobre argumento de
uma família de tipos
• Opções de implementação
– Gera uma instância separada de procedimento para cada tipo distinto de
argumento
 Inviável na prática!
– Representar os valores de todos os tipos de tal modo que eles pareçam
similar para o procedimento polimórfico
 Representar cada valor através de um apontador para o objeto na memória
heap
7-35

36. Notas de Implementação (2)
 Considere as funções polimórficas
• Estas funções somente copia valores do tipo τ e isto é implementado
copiando-se os ponteiros para estes valores
– either: Boolean → τ → τ → τ
– second: σ × τ → τ
– head : List<τ> → τ
• Esta implementação de funções paramétricas é simples e uniforme, porém de
alto custo
– Todos os valores – incluindo valores primitivos – devem ser armazenados na
memória heap e acessados através de apontadores
– Espaço na memória deve ser alocado quando eles são usados da primeira vez e
desalocado pelo gerenciador de memória quando não são mais necessários
7-36