1. L´gica proposicional
o 1/28
L´gica proposicional
o
A l´gica ´ a ciˆncia do racioc´
o e e ınio.
Socrates ´ um homem. Todos os homens s˜o mortais. Logo Socrates ´
e a e
mortal.
A(s) l´gica(s) promove(m) um modelo formal do racioc´
o ınio.
David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007
e c DIMAp/UFRN

2. L´gica proposicional
o 2/28
Motiva¸˜o
ca
A l´gica ´ um dos fundamentos da Ciˆncia da Computa¸˜o (software e hardware):
o e e ca
• projeto de circuitos digitais:
– circuitos s˜o basicamente uma rede de unidades de memoriza¸˜o
a ca
interconectados eletricamente atrav´s e de portas l´gicas (dispositivos f´
e o ısicos
que implementam operadores l´gicos).
o
– requisitos sobre a interface de um circuito s˜o descritos atrav´s de diagramas
a e
temporais, que podem ser vistos como express˜es numa l´gica temporal
o o
• desenvolvimento de software:
– condi¸˜es l´gicas permeam programas de computadores,
co o
– descri¸˜o do papel de um componente de software (contrato),
ca
– especifica¸˜o dos requisitos de um sistema;
ca
• verifica¸˜o: sistemas de dedu¸˜o, ou procedimento de decis˜o, corretos e,
ca ca a
possivelmente completos.
David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007
e c DIMAp/UFRN

3. L´gica proposicional
o 3/28
L´gica ou l´gicas?
o o
Existem v´rios modelos para o racioc´
a ınio, correspondendo a v´rios tipos de l´gica:
a o
• L´gica proposicional,
o
• L´gica da primeira ordem (l´gica dos predicados),
o o
• L´gica de ordem superior,
o
• L´gica difusa;
o
• L´gica intuicionista.
o
E ainda:
• L´gicas modais,
o
• L´gicais temporais,
o
• etc.
Focaremos na l´gica cl´ssica proposicional e da primeira ordem.
o a
David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007
e c DIMAp/UFRN

4. L´gica proposicional
o 4/28
Express˜es booleanas
o
Existem dois valores booleanos:
• verdadeiro (V, true, T, 1, , ...);
• falso (F, false, F, 0, ⊥, ...).
Uma express˜o booleana ´ composta por
a e
• variaveis l´gicas (que s˜o nomes representandos algum valor booleano);
o a
• operadores l´gicos (e, ou, n˜o, implica, etc.)a
o a
– sintaxe: denota¸˜o, aridade
ca
– semˆntica: tabelas verdade
a
Uma express˜o booleana possui valor booleano.
a
Uma express˜o booleana ´ chamada de f´rmula.
a e o
a Algumas l´gicas possuem outros operadores.
o
David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007
e c DIMAp/UFRN

5. L´gica proposicional
o 5/28
Vari´veis l´gicas
a o
S˜o tamb´m conhecidas como proposi¸˜es, ou proposi¸˜es atˆmicas.
a e co co o
Uma proposi¸˜o ´ identificada por um nome e representa algum fato:
ca e
p: A velocidade do vento est´ maior que 50km/hora.
a
q: O banho est´ autorizado.
a
A f´rmula p → ¬q modela a asser¸˜o:
o ca
Quando a velocidade do vento ultrapassa os 50km/hora, ´ prohibido entrar
e
na agua.
´
Nota¸˜o: Letras min´sculas (p, q, etc.) representam vari´veis (proposi¸˜es),
ca u a co
enquanto que letras mai´sculas (E, E1 , etc.) representam f´rmulas (p → q).
u o
David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007
e c DIMAp/UFRN

6. L´gica proposicional
o 6/28
O operador de nega¸˜o ¬ (not, !, ˜ , )
ca
• O operador ¬ representa a nega¸˜o.
ca
´
• E um operador un´rio.
a
• A nega¸˜o de verdadeiro ´ falso, e a nega¸˜o de falso ´ verdadeiro.
ca e ca e
• Tabela verdade da nega¸˜o:
ca
E ¬E
⊥
⊥
– Operadores l´gicos s˜o fun¸˜es que associam um valor booleano a um (ou
o a co
mais) valor(es) booleano(s).
– A tabela verdade ´ uma nota¸˜o usada para definir essas fun¸˜es por
e ca co
enumera¸˜o dos casos.
ca
David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007
e c DIMAp/UFRN

7. L´gica proposicional
o 7/28
Propriedades da nega¸˜o
ca
Seja E uma f´rmula. Qualquer que seja o valor de suas vari´veis, temos
o a
• Exatamente um de E e de ¬E ´ verdadeiro.
e
• Exatamente um de E e de ¬E ´ falso.
e
• Princ´ ıdo: Um entre E e de ¬E ´ verdadeiro.
ıpio de ter¸o exclu´
c e
• Princ´
ıpio de n˜o-contradi¸˜o: E e ¬E n˜o podem ser simultaneamente
a ca a
verdadeiros.
Prova(s): direto da tabela-verdade da nega¸˜o.
ca
Verifique que ¬(¬E) = E.
David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007
e c DIMAp/UFRN

8. L´gica proposicional
o 8/28
Corre¸˜o
ca
E ¬E
¬⊥ =
⊥ ¬ =⊥
• E e ¬(¬E) s˜o iguais se, e somente se, se igualam em todas as valora¸˜es
a co
E ¬(¬E)
ıveis de E.
poss´ ¬(¬ ) = ¬⊥ =
⊥ ¬(¬⊥) = ¬ =⊥
David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007
e c DIMAp/UFRN

9. L´gica proposicional
o 9/28
O operador de disjun¸˜o: ∨ (+, or, |)
ca
• O operador ∨ representa a escolha num sentido n˜o exclusivo.
a
O aluno estudou regularmente ou recebeu ajuda (tamb´m pode ser que
e
os dois sejam verdadeiros).
• E um operador bin´rio.
´ a
• A f´rmula E1 ∨ E2 ´ verdadeira se e somente se pelo menos um de E1 e de E2
o e
for verdadeira.
• Tabela verdade da disjun¸˜o:
ca
E1 E2 E1 ∨ E2
⊥ ⊥ ⊥
⊥
⊥
David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007
e c DIMAp/UFRN

10. L´gica proposicional
o 10/28
• Existe um outro operador para o ou exclusivo (usado no projeto de circuitos,
n˜o no de programas).
a
A solu¸˜o ´ ´cida ou b´sica (a solu¸˜o n˜o pode ser ao mesmo tempo
ca e a a ca a
a
´cida e b´sica).
a
• Na l´
ıngua natural, os dois operadores s˜o representados pela mesma palavra¿
a
• Fonte de ambig¨idade.
u
David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007
e c DIMAp/UFRN

11. L´gica proposicional
o 11/28
Propriedades da disjun¸˜o
ca
• A disjun¸˜o ´ associativa (verifique – com a tabela de verdade).
ca e
(E1 ∨ E2 ) ∨ E3 = E1 ∨ (E2 ∨ E3 ).
• A disjun¸˜o ´ comutativa (verifique – com a tabela de verdade).
ca e
(E1 ∨ E2 ) = (E2 ∨ E1 ).
n
• Logo podemos escrever i=1 Ei = E1 ∨ E2 ∨ E3 ∨ . . . ∨ En sem ambig¨ idade.
u
• O falso ´ elemento neutro.
e
• O verdadeiro ´ elemento absorvente.
e
Verifique que E ∨ E = E.
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12. L´gica proposicional
o 12/28
Corre¸˜o
ca
(E1 ∨ E2 ) ∨ E3 = E1 ∨ (E2 ∨ E3 ).
• A f´rmula a provar depende de 3 valores: 23 = 8 casos diferentes.
o
E1 E2 E3 (E1 ∨ E2 ) ∨ E3 (E1 ∨ E2 ) ∨ E3
⊥ ⊥ ⊥ (⊥∨⊥)∨⊥ = ⊥∨⊥ = ⊥ ⊥∨(⊥∨⊥) = ⊥∨⊥ = ⊥
⊥ ⊥
⊥ ⊥
⊥
⊥ ⊥
⊥
⊥
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13. L´gica proposicional
o 13/28
O operador de conjun¸˜o: ∧ (., and, juxtaposi¸˜o)
ca ca
• O operador ∧ representa a simultaneidade.
O aluno ´ s´rio e ´ pontual na aula.
e e e
• E um operador bin´rio.
´ a
• A f´rmula E1 ∧ E2 ´ verdadeira se e somente se E1 e E2 forem verdadeiras.
o e
• Tabela verdade da conjun¸˜o:
ca
E1 E2 E1 ∧ E2
⊥ ⊥ ⊥
⊥ ⊥
⊥ ⊥
David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007
e c DIMAp/UFRN

14. L´gica proposicional
o 14/28
Propriedades da conjun¸˜o
ca
• A conjun¸˜o ´ associativa (verifique – com a tabela de verdade).
ca e
• A conjun¸˜o ´ comutativa (verifique – com a tabela de verdade).
ca e
n
• Logo podemos escrever i=1 Ei = E1 ∧ E2 ∧ E3 ∧ . . . ∧ En sem ambig¨ idade.
u
• O verdadeiro ´ elemento neutro.
e
• O falso ´ elemento absorvente.
e
Verifique que E ∧ E = E.
David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007
e c DIMAp/UFRN

15. L´gica proposicional
o 15/28
Algumas propriedades adicionais
Leis de De Morgan
¬(E1 ∨ E2 ) = (¬E1 ) ∧ (¬E2 )
¬(E1 ∧ E2 ) = (¬E1 ) ∨ (¬E2 )
Distributividade
E ∧ (E1 ∨ E2 ) = (E ∧ E1 ) ∨ (E ∧ E2 )
E ∨ (E1 ∧ E2 ) = (E ∨ E1 ) ∧ (E ∨ E2 )
Note a dualidade entre a conjun¸˜o e a disjun¸˜o.
ca ca
Verifique a validade dessas leis com tabelas verdade.
David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007
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16. L´gica proposicional
o 16/28
An´lise de f´rmulas
a o
• Para uma determinada atribui¸˜o das suas vari´veis, uma f´rmula pode ter o
ca a o
valor verdadeiro ou falso.
• Esse valor ´ calculado a partir dos valores das sub-f´rmulas e das
e o
tabelas-verdade apresentadas anteriormente.
Exemplo, determinar o valor de ¬(p ∧ q) ∨ (r ∧ ¬q), para p = q = e r = ⊥:
¬q = ⊥
p∧q =
r ∧ ¬q = ⊥
¬(p ∧ q) = ⊥
¬(p ∧ q) ∨ (r ∧ ¬q) = ⊥
David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007
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17. L´gica proposicional
o 17/28
Tautologia, contradi¸˜o, contingˆncia e satisfatibilidade
ca e
Defini¸˜o: Um modelo de uma express˜o booleana E ´ uma atribui¸˜o das
ca a e ca
vari´veis de E que torna essa express˜o verdadeira.
a a
• Uma express˜o booleana ´ satisfat´ se possui um modelo.
a e ıvel
• Uma express˜o booleana ´ uma tautologia, ou v´lida, quando qualquer
a e a
atribui¸˜o das suas vari´veis ´ um modelo.
ca a e
• Uma express˜o booleana ´ uma contradi¸˜o se n˜o possui modelo.
a e ca a
• Uma express˜o booleana ´ uma contingˆncia quando ´ num uma tautologia,
a e e e
nem uma contradi¸˜o.
ca
Quest˜o: Se ¬E ´ uma contradi¸˜o (´ satisfat´
a e ca e ıvel, ´ uma tautologia), que podemos
e
concluir sobre E?
Quest˜o: Como utilizar a tabela verdade para determinar a classifica¸˜o de uma
a ca
express˜o booleana?
a
David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007
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18. L´gica proposicional
o 18/28
Conseq¨ˆncia l´gica
ue o
Dado Γ = {E1 , . . . , En } um conjunto de f´rmulas.
o
• Γ ´ chamada de teoria.
e
• Um modelo de Γ ´ uma atribui¸˜o das vari´veis de E1 , ... En que ´ modelo de
e ca a e
cada E1 ,...En .
• Uma express˜o E ´ conseq¨ˆncia l´gica de Γ se qualquer modelo de Γ ´ um
a e ue o e
modelo de E.
• E notado Γ |= E.
´
• Se Γ = {}, ent˜o notamos |= E.
a
• |= E quando E ´ uma tautologia.
e
David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007
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19. L´gica proposicional
o 19/28
T´cnicas de verifica¸˜o de express˜es booleanas:
e ca o
Tabelas verdade: Pr´tico para provas manuais;
a
C´lculo proposicional: Aplica¸˜o das leis;
a ca
Sistemas dedutivos: Dedu¸˜o natural, tableaux anal´
ca ıticos, axiomatiza¸˜es;
co
Davis e Putnam: procedimento de decis˜o da satisfatibilidade,
a
implementa¸˜es modernas tratam express˜es com at´ milhares de vari´veis;
co o e a
Diagramas de decis˜o bin´ria: estrutura de dados canˆnica para representar
a a o
express˜es booleanas,
o
v´rias opera¸˜es adicionais (quantifica¸˜o, substitui¸˜o),
a co ca ca
implementa¸˜es tratam express˜es com at´ centenas de vari´veis.
co o e a
Como um procedimento de decis˜o de satisfatibilidade pode ser utilizado em um
a
procedimento de decis˜o de tautologia?
a
David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007
e c DIMAp/UFRN

20. L´gica proposicional
o 20/28
Prova e conseq¨ˆncia l´gica
ue o
Considerando um sistema de prova σ (por exemplo dedu¸˜o natural).
ca
Se, aplicando σ a partir de um conjunto de f´rmulas Γ, conseguimos derivar uma
o
f´rmula E, escrevemos:
o
Γ σE
Um sistema de prova σ ´ correto quando, cada vez que Γ
e σ E ent˜o Γ |= E.
a
Um sistema de prova σ ´ completo quando, cada vez que Γ |= E ent˜o Γ
e a σ E.
David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007
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21. L´gica proposicional
o 21/28
Equivalˆncia (↔, ⇔)
e
• O operador ↔ ´ chamado equivalˆncia.
e e
Se o aluno estuda regularmente, ser´ aprovado, caso contr´rio ser´
a a a
reprovado.
• E um operador bin´rio.
´ a
• E1 ↔ E2 ´ verdadeira quando E1 e E2 tem o mesmo valor.
e
• Tabela verdade da eq¨ivalˆncia:
u e
E1 E2 E1 ↔ E2
⊥ ⊥
⊥ ⊥
⊥ ⊥
E1 : o aluno estuda regularmente; E2 : o aluno ser´ aprovado.
a
David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007
e c DIMAp/UFRN

22. L´gica proposicional
o 22/28
Propriedades da eq¨ ivalˆncia
u e
• Comutativa: E1 ↔ E2 = E2 ↔ E1 .
• Sim´trica: E1 ↔ E1 .
e
• E1 = E2 se e somente se E1 ↔ E1 .
• Duas f´rmulas E e E2 s˜o iguais (ou eq¨ivalentes) se e somente se E1 ↔ E2 for
o a u
uma tautologia.
• Princ´
ıpio de substitui¸˜o de iguais: se E1 ↔ E2 ´ uma tautologia, e E1 ocorre
ca e
em E, E ´ equivalente a E , formado por substitui¸˜o de E1 por E2 em E.
e ca
• Por exemplo: (p ∧ (¬(¬q))) ↔ (p ∧ q) pois q ↔ (¬(¬q)) ´ uma tautologia.
e
David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007
e c DIMAp/UFRN

23. L´gica proposicional
o 23/28
Operadores l´gicos: implica¸˜o (→, ⇒)
o ca
• O operador → ´ chamado implica¸˜o.
e ca
Quando um aluno estuda regularmente, ele ´ aprovado.
e
• Implicitamente, estamos entendendo que alunos que n˜o estudam regularmente
a
acabam sendo reprovados. O operador → n˜o modela essa informa¸˜o.
a ca
• Tabela verdade da implica¸˜o:
ca
E1 : o aluno estuda regularmente;
E1 E2 E1 → E2 E2 : o aluno ´ aprovado. Como
e
⊥ ⊥ interpretar as duas primeiras li-
nhas da tabela com essas pro-
⊥
posi¸˜es ?
co
⊥ ⊥
David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007
e c DIMAp/UFRN

24. L´gica proposicional
o 24/28
Propriedades da implica¸˜o
ca
• E1 → E2 = (¬E1 ) ∨ E2 .
• ¬E1 → ¬E2 = E2 → E1 ;
• E1 ↔ E2 = E1 → E2 ∧ E2 → E1 .
• Γ |= E1 → E2 se e somente se Γ ∪ {E1 } |= E2 .
Na express˜o E1 → E2 , E1 ´ chamado o antecedente (ou premissa), e E2 o
a e
consequente (ou conclus˜o).
a
David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007
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25. L´gica proposicional
o 25/28
Exerc´
ıcio
p: A velocidade do vento est´ maior que 50km/hora.
a
q: O banho est´ autorizado.
a
A express˜o p → ¬q modela a asser¸˜o:
a ca
Quando a velocidade do vento ultrapassa os 50km/hora, est´ prohibido
a
entrar na agua.
´
O que modelam as asser¸˜es: (p ∧ (p → ¬q)) → ¬q e ((¬p) ∧ (p → ¬q)) → q ?
co
Verifique se s˜o tautologias.
a
David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007
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26. L´gica proposicional
o 26/28
Conven¸˜es de nota¸˜o
co ca
H´ uma conven¸˜o sobre a precedˆncia dos operadores l´gicos: ¬ ´ o operador de
a ca e o e
maior precedˆncia, seguido de ∧ e ∨, seguido de → e ↔.
e
• ((¬p) ∧ (p → q)) → (¬q) pode ser escrito ¬p ∧ (p → q) → ¬q.
David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007
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27. L´gica proposicional
o 27/28
Conclus˜es
o
• L´gica proposicional: sintaxe e semˆntica;
o a
• operadores l´gicos cl´ssicos;
o a
• l´gica ´ um modelo matem´tico do racioc´
o e a ınio.
• Socrates ´ um homem. Todos os homens s˜o mortais. Logo Socrates ´ mortal.
e a e
– p: Socrates ´ um homem.
e
– q: Todos os homens s˜o mortais.
a
– r: Socrates ´ mortal.
e
– Na l´gica proposicional, p ∧ q → r n˜o ´ uma tautologia.
o a e
– Conclus˜o: o modelo fornecido pela l´gica proposicional n˜o ´
a o a e
suficientemente expressivo.
David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007
e c DIMAp/UFRN

28. L´gica proposicional
o 28/28
Bibliografia
• L´gica para Computa¸˜o, Cap´
o ca ıtulo 1. Fl´vio Soares Corrˆa da Silva, Marcelo
a e
Finger, Ana Cristina Vieira de Melo. Editora Thomson Learning, 2006.
• Introdu¸˜o ` L´gica para a Ciˆncia da Computa¸˜o. Abe, Jair Minoro. [[[
ca a o e ca
BCZM ]]]
David D´harbe, 2 de mar¸o de 2007
e c DIMAp/UFRN