1. Tema 7: Préstamos
1. CONCEPTO.
Un préstamo é unha operación financeira que consiste na entrega dun capital
por parte dun prestamista (banco) coa condición de que o prestatario ou
debedor lla devolva xunto cos intereses que xera no tempo e forma estipulados
no contrato.
Neste tipo de operación o prestatario recibe o diñeiro dende o primeiro
momento e pola súa totalidade independentemente de que logo o devolva en
varios prazos; é dicir, existe unha prestación única por parte do prestamista e
contraprestacións múltiples por parte do prestatario.
2. CLASIFICACIÓNS DOS PRÉSTAMOS.
En función da garantía:
• De garantía real o hipotecaria. Hai un ben afecto á devolución do
préstamos. A máis frecuente é a hipoteca.
• De garantía persoal. O aval é o patrimonio en xeral do prestatario, non un
ben en concreto.
Segundo o tipo de interese:
• Fixo. Márcase no contrato un tipo de interese que se devengará durante
toda a vida do préstamo.
• Variable. O tipo de interese márcase en función de certos índices de
referencia, sendo o máis frecuente o EURIBOR.
3. ELEMENTOS DO PRESTAMO
• C0. É a cantidade recibida no préstamo, tamén chamada principal ou
nominal.
• Mk. É o capital amortizado ata o período k.

2. • Ck. É o capital vivo ou pendente de amortizar nun momento calquera k da
operación. Calcúlase restándolle ó nominal o capital amortizado.
• ak.É o termino amortizativo, e dicir, o importe que se paga en cada cota.
Denominase anualidade se se paga cada ano, mensualidade se se paga
cada mes, .... Está dividido en:
o Ik. É a cota de interese. Calculase multiplicando o capital pendente de
amortizar polo tipo de interese.
o Ak. É a cota de amortización, é dicir, o que diminúe a débeda en cada
período.
• n. É o número de termos amortizativos da operación (meses, anos, ...).
• i. É o tipo de interese a aplicar ó préstamo expresado en %.
4. FORMAS DE AMORTIZACIÓN DUN PRESTAMO
4.1. Amortización de reembolso único. Préstamo simple.
Esta forma de amortizar é típica dos préstamos a moi corto prazo e tamén dos
chamados préstamos ponte, é dicir, aqueles que teñen unha duración
transitoria en espera de que se cumpra algún requisito esixido no contrato.
Neste tipo de préstamos amortizase o capital e máis os intereses xerados nun
pago único que coincide coa cancelación do préstamo.
Polo tanto:
Cn = C0 * (1 + i )n

3. Exemplo:
Concédese un préstamo simple de 10.000 € que se terá que devolver dentro de
5 anos a un tipo de interese do 3% anual. Calcular o capital a devolver.
Cn = C0 * (1 + i )n = 10.000 * (1 + 0,03)5 = 11.592,74 €
4.2. Amortización normal. Método americano. Préstamo simple con pago
de intereses.
Consiste nun reembolso único do principal e nun pago periódico dos intereses
que se van devengando.
Polo tanto:
• Cada período pagamos intereses: I = C0 * i
• No último período pagamos o interese máis a cantidade prestada:
Cn = C0 + C0 * i
Así: C0 = C0 * i * a n¬ i + C0 *(1 + i) -n
Exemplo:
Concédese un préstamo simple de 10.000 € que se terá que devolver dentro de
5 anos a un tipo de interese do 3% anual. Calcular o capital a devolver.
Co interese anual cada ano pagaremos intereses:
I = C0 * i = 10.000 * 0,03 = 300 €
Ó final do ano 5 pagaremos:
Cn = C0 + C0 * i = 10.000 + 10.000 * 0,03 = 10.000 + 300 = 10.300 €

4. 4.3. Amortización mediante cotas constantes.
Neste método a cota de amortización é constante pero o termo amortizativo
varia: ak = A + Ik
Pasos para calcular o cadro de amortización:
I. Calculamos a parte constante, é dicir, a cota de amortización A:
A = C0 / n
II. Calculamos a cota de interese Ik:
Ik = Ck-1 * i
III. Calculamos o termo amortizativo ak :
a k= A + Ik
IV. Calculamos o capital amortizado Mk :
Mk = Σ Ak = A1 + A2 + … + Ak
V. Calculamos o capital pendente de amortizar.
Ck = C0 - Mk

5. TERMO COTA CAPITAL CAPITAL
COTA INTERESE
PERÍODO AMORTIZATIVO AMORTIZACIÓN AMORTIZADO VIVO
Ik
n ak A Mk Ck
0 - - - - C0
1 a1 = A + I1 I1 = C0 . i A = C0 / n M1 = A C1 = C0 - M1
2 a2 = A + I2 I2 = C1 . i A = C0 / n M2 = A + A C2 = C0 - M2
3 a3 = A + I3 I3 = C2 . i A = C0 / n M3 = A +A + A C3 = C0 - M3
.... ... ... ... ... ...
n an = A + In In = Cn-1 . i A = C0 / n Mn = n * A Cn = C0 - Mn
Exemplo:
Concédese un préstamo de 10.000 € que se terá que devolver dentro de 5
anos a un tipo de interese do 3% anual. Calcular o cadro de amortización.
TERMO COTA CAPITAL CAPITAL
AMORTIZATIVO COTA INTERESE
PERÍODO AMORTIZACIÓN AMORTIZADO VIVO
Ik
n ak A Mk Ck
0 - - - -
C0 =
10.000
a1 = A + I1 = I1 = C0 . i = A = C0 / n =
M1 = A =
C1 = C0 - M1 =
1 2.000 + 300 = 10.000 * 0.03 = 10.000/5 =
2.000
10.000 – 2.000 =
2.300 300 2.000 8.000
2.000
a2 = A + I2 = I2 = C1 . i = M2 = 2*A = C2 = C0 - M2 =
2 2.000 + 240 = 8.000 * 0,03 = 2 * 2.000 = 10.000 – 4.000 =
2.240 240 4.000 6.000
2.000
a3 = A + I3 = I3 = C2 . i = M3 = 3*A = C3 = C0 - M3 =
3 2.000 + 180 = 6.000 * 0,03 = 3 * 2.000 = 10.000 – 6.000 =
2.180 180 6.000 4.000
2.000
a4 = A + I4 = I4 = C3 . i = M4 = 4*A = C4 = C0 - M4 =
4 2.000 + 120 = 4.000 * 0,03 = 4 * 2.000 = 10.000 – 8.000 =
2.120 120 8.000 2.000
2.000
a5 = A + I5 = I5 = C4 . i = M5 = 5*A = C5 = C0 - M5 =
5 2.000 + 60 = 2.000 * 0,03 = 5 * 2.000 = 10.000 – 10.000 =
2.060 60 10.000 = C0 0

6. 4.4. Método de amortización Francés.
Este método caracterizase porque os temos amortizativos son constantes, o
que varía é a cota de amortización e a cotas de interese: a = Ak + Ik
Onde (tendo en conta o estudado no tema de Rendas):
Polo tanto:
sendo:
De aquí obtemos que o termo amortizativo é:

7. Pasos para calcular o cadro de amortización:
I. Calculamos a parte constante, é dicir, o termo amortizativo:
a = C0 / an¬i
ak = Ak + Ik
II. Calculamos a cota de interese Ik:
Ik = Ck-1 * i
Ik = Ck-1 * i
III. Calculamos a cota de amortización Ak :
Ak = a - Ik
Tamén podemos buscar a relación entre as cotas de amortización de
dous períodos consecutivos restando os seus termos amortizativos:
- Período k: a = Ck-1 * i + Ak Ak
0 = (Ck-1 - Ck) * i + Ak - Ak+1 =
- Período k-1: a = Ck-1 * i + Ak = Ak (1+i ) - Ak+1
Así, cando a é constante e o tipo de interese tamén:
Ak+1 = Ak (1+i ) ; A 1 = a - c0 * i
A2 = A1 (1+i )
A3 = A1 (1+i ) (1+i) = A1 (1+i )2
....
Ak = A1 (1+i )k-1

8. Por outro lado, podemos ver a relación con outras variable:
0
A1 + A2 + A3 +... + An = c0 – Cn = c0
l
,
Por tanto:
c0 = Σ Ak
c0 = A1 + A2 + A3 +... + An = A1 + A1 (1+i ) + A1 (1+i )2 + ... + A1 (1+i )n-1
c0 = A1 * Sn¬i
Así:
A1 = c0 / Sn¬i sendo Sn¬i = ( (1+i)n -1) / i
IV. Calculamos o capital amortizado Mk :
Mk = Σ Ak = A1 + A2 + … + Ak = Mk-1 + Ak
Mk = C0 - Ck = a * an¬i - a * an-k¬i
V. Calculamos o capital pendente de amortizar.
Ck = C0 - Mk
Ck = a * an-k¬i

9. TERMO COTA CAPITAL CAPITAL
AMORTIZATIVO COTA INTERESE
PERÍODO AMORTIZACIÓN AMORTIZADO VIVO
Ik
n a Ak Mk Ck
0 - - - - C0
1 a = C0 / an¬i I1 = C0 * i A1 = a – I1 M1 = A1 C1 = C0 - M 1
2 a = C0 / an¬i I2 = C1 * i A2 = a – I2 M2 = A1 + A2 C2 = C0 - M 2
3 a = C0 / an¬i I3 = C2 * i A3 = a – I3 M3 = A1 +A2+ A3 C3 = C0 - M 3
.... ... ... ... ... ...
n a = C0 / an¬i In = Cn-1 * i An = a – In Mn = Σ Ak Cn = C0 - M n
Exemplo:
Concédese un préstamo de 10.000 € que se terá que devolver dentro de 5
anos a un tipo de interese do 3% anual. Calcular o cadro de amortización.
an¬i = (1- (1+i)-n) / i = ( 1 – (1+0,03)-5) / 0,03 = 4,58
TERMO COTA CAPITAL CAPITAL
AMORTIZATIVO COTA INTERESE
PERÍODO AMORTIZACIÓN AMORTIZADO VIVO
Ik
n a Ak Mk Ck
0 - - - - C0 = 10.000
a = C0 / an¬i = I1 = C0 * i = A1 = a – I1 = C1 = C0 - M1 =
10.000 / 4,58 = 2.183,41 – 300 = M1 = A1 =
1 10.000 * 0.03 = 10.000 – 1.883,41
2.183,41 1.883,41 1.883,41
300 = 8.116,59
a = C0 / an¬i = I2 = C1 * i = A2 = a – I2 = M2 = M1 + A2=
C2 = C0 - M2 =
10.000 / 4,58 = 2.183,41 – 243,50 = 1883,41 +1939,90 =
2 8.116,59 * 0,03 = 10.000 – 3.823,32
2.183,41 1939,90 3823,32
243,50 = 6.176,68
a = C0 / an¬i = I3 = C2 * i = A3 = a – I3 = M3 = M2 + A3= C3 = C0 - M3 =
3 10.000 / 4,58 = 6.176,68 * 0,03 = 2.183,41 – 185,30 = 3823,32 +1998,11 = 10.000 – 5.821,43
2.183,41 185,30$ 1998,11 5.821,43 = 4.178,57
a = C0 / an¬i = I4 = C3 * i = A4 = a – I4 = M4 = M3 + A4= C4 = C0 - M4 =
4 10.000 / 4,58 = 4.178,57 * 0,03 = 2.183,41 – 125,36 = 5.821,43 +2.058,05 10.000 – 7.879,48
2.183,41 125,36 2.058,05 =7.879,48 = 2120,52
A5 = a – I5 =
a = C0 / an¬i = I5 = C4 * i = M5 = M4 + A5= C5 = C0 - M5 =
2.183,41 – 63,62 =
5 10.000 / 4,58 = 2.120,52 * 0,03 = 7879,48 +2.119,79 10.000 – 9999,38
2119,79
2.183,41 63,62 =9.999,38 ≈ 10.000 = 0,62 ≈ 0

10. 5. PRESTAMO CON FRACIONAMENTO DE INTERESES
Neste caso o termo amortizativo a é teórico xa que se descompón nunha cota
de amortización Ak con vencemento ó final de cada ano e m cotas de interese
iguais con vencemento cada enésimo de ano.
Ik,1 = Ik,2 = .... = Ik,m = Ck-1 * im
a = Ak +Ik,1 * (1+im)m-1 + Ik,2 * (1+im)m-2 +.... + Ik,m
a = Ak + Ck-1 * im * ((1+im)m-1 + (1+im)m-2 +.... + 1)
Sm¬im
Podemos considerar o préstamo como un sen fraccionamento de intereses
calculando o tanto i equivalente a im e así calculamos todas as variables como
en calquera préstamo excepto as cotas reais de interese que terán vencemento
cada enésimo de tempo.
EQUIVALENCIA ENTRE TANTOS:
• Tanto nominal: Jk = ik * k
• Tanto anual efectivo: i = (1+ ik)k -1

11. Exemplo:
Concédese un préstamo de 10.000 € que se terá que devolver dentro de 5
anos a un tipo de interese do 3% anual pagadoiro por trimestres. Calcular o
cadro de amortización.
J4 = 0,03
I4 = J4 / 4 = 0,03 / 4 = 0,0075
i = (1+ i4)4 -1 = (1+ 0,0075)4 -1 = 0,03033919
an¬i = (1- (1+i)-n) / i = ( 1 – (1+0,03033919)-5) / 0,03033919 = 4,575275335
TERMO COTA COTA CAPITAL CAPITAL
PERÍODO AMORTIZATIVO INTERESE AMORTIZACIÓN AMORTIZADO VIVO
n a Ik Ak Mk Ck
0 - - - - C0 = 10.000
a = C0 / an¬i = I1 = C0 * i =
A1 = a – I1 = C1 = C0 - M1 =
10.000/4,575275335 10.000 * M1 = A1 =
1 0.03033919 = 2.185,66 – 303,3919 = 1.882,2681
10.000 – 1.882,2681=
=2.185,66 8.117,7319
303,3919 1.882,2681
a = C0 / an¬i = I2 = C1 * i =
A2 = a – I2 = M2 = M1 + A2= C2 = C0 - M2 =
10.000/4,575275335 8.117,7319*
2 0,03033919 = 2.185,66 – 246,2854= 1.882,2681+1939,3746 10.000 – 3821,6427=
=2.185,66 = 3821,6427 6.178,3573
246,2854 1939,3746
a = C0 / an¬i = I3 = C2 * i =
A3 = a – I3 = M3 = M2 + A3= C3 = C0 - M3 =
10.000/4,575275335 6.178,3573*
3 0,03033919 = 2.185,66 – 187,4464= 3821,6427+1998,2136 10.000 – 5.819,8563=
=2.185,66 =5.819,8563 4.180,1437
187,4464 1998,2136
a = C0 / an¬i = I4 = C3 * i =
A4 = a – I4 = M4 = M3 + A4= C4 = C0 - M4 =
10.000/4,575275335 4.180,1437*
4 0,03033919 = 2.185,66 – 126,8222= 5.821,43 +2.058,8378 10.000 – 7.880,2678 =
=2.185,66 =7.880,2678 2119,7322
126,8222 2.058,8378
a = C0 / an¬i = I5 = C4 * I =
A5 = a – I5 = M5 = M4 + A5= C5 = C0 - M5 =
10.000/4,575275335 2119,7321*
5 0,03033919 = 2.185,66 – 64,3109= 7.880,2678+2121,3491 10.000 –10.0001,6168
=2.185,66 =10.0001,61698≈ 10.000 = -1,6168 ≈ 0
64,3110 2121,3491
6. AMORTIZACIÓN ANTICIPADA DUN PRÉSTAMO
Nunha operación de préstamo, o prestatario ten a opción de anticipar a
devolución do principal total ou parcialmente e en calquera momento da vida do
préstamo. Esta devolución anticipada adoita estar penalizada cunha comisión
que se calcula como unha porcentaxe sobre o importe que se amortiza.
A amortización pode ser:

12. 6.1. Amortización total da débeda pendente.
Rescíndese a operación do préstamo e teremos que calcular a débeda viva
nese momento.
Ck = a * an-k¬i
Para rescindir a operación o importe a pagar será:
Importe = Ck ( 1 + C%)
Exemplo:
Concédese un préstamo de 10.000 € que se terá que devolver dentro de 5
anos a un tipo de interese do 3% anual. Finalmente amortizase totalmente no
ano 3. ¿Cal é o importe a pagar nese momento se nos impoñen unha comisión
do 2% por cancelación anticipada?
an¬i = (1- (1+i)-n) / i = ( 1 – (1+0,03)-5) / 0,03 = 4,57...
a = C0 / an¬i = 10.000 / 4,57.... = 2.183,54 .....
C3 = a * a2¬i = 2.183,41 * 1,91 = 4.178,15
a2¬i = (1- (1+i)-2) / i = ( 1 – (1+0,03)-2) / 0,03 =1,913469695
IMPORTE A PAGAR: 4.178,15 * 1,02 = 4.261,713 €
6.2. Amortización parcial da contía R.
Neste caso temos dúas opcións:
• Manter o prazo da operación e consecuentemente reducir o termo
amortizativo.
Ck - R = a’ * an-k¬i

13. Exemplo:
Concédese un préstamo de 10.000 € que se terá que devolver dentro de 5
anos a un tipo de interese do 3% anual. No ano 3 amortízanse 3.000 €. ¿Cal o
novo termo amortizativo se decidimos manter o prazo de devolución?
a’ = (Ck – R) / an-k¬i = (4.178,15 – 3.000) / 1,91... = 615, 71 €
C3 = a * a2¬i = 2.183,41 * 1,91 = 4.178,15
a2¬i = (1- (1+i)-2) / i = ( 1 – (1+0,03)-2) / 0,03 =1,913469695
• Manter o termo amortizativo e polo tanto reducir a duración do préstamo.
Ck - R = a * an’¬i
an’¬i = (Ck – R) / a
(1- (1+i)-n’) / i = (Ck – R) / a
n’ = (lg (a / (a - (Ck – R) * i)) / lg (1+i)
Exemplo:
Concédese un préstamo de 10.000 € que se terá que devolver dentro de 5
anos a un tipo de interese do 3% anual. No ano 3 amortízanse 3.000 €. ¿Cal
será a nova duración do préstamo se decidimos manter o termo amortizativo?
n’ = (lg (a / (a - (Ck – R) * i)) / lg (1+i) = (lg (2.183,54 / (2.183,54 - (4.178,15 –
3.000) * 0,03)) / lg (1,03) = lg 1,0164 / lg 1,03 = 0,552 anos
a = C0 / an¬i = 10.000 / 4,57.... = 2.183,54
Ck = C3 = a * a2¬i = 2.183,41 * 1,91 = 4.178,15

14. 7. PRÉSTAMOS CON TIPO DE INTERESE REFERENCIADO.
Os préstamos pódense conceder a un tipo de interese constante ou variable en
función dun índice. O máis frecuente é o EURIBOR (tipo de interese de
referencia no mercado interbancario) a un ano.
Cada ano, no momento de publicarse o índice, reprantéxase a equivalencia
financeira para que cumpra co novo tipo de interese.
C0 = a1 * an¬i
Ck = a’ * an-k¬i’
8. PRÉSTAMOS vs CRÉDITO.
Un préstamo supón:
• Unha cantidade que a entidade financeira entrega a favor do debedor.
• A débeda terá que pagar intereses sobre o total dese importe e sobre a
débeda viva en cada momento.
• Esa débeda hai que devolvela xunto cuns intereses xeralmente de forma
sucesiva e no prazo fixado no contrato.
Nun crédito:
• A entidade financeira pon a disposición do cliente unha cantidade (un límite
de disposición)
• O cliente pode utilizalo ou non e pagará intereses só pola cantidade
disposta. Sobre o resto e ata o límite paga unha comisión.
• É unha operación imperfecta posto que a posición de acredor e debedor
alternase ó largo da operación e non son coñecidas de antemán o número
de prestacións e contraprestacións a realizar.