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Tema 4 transformaciones geometricas v7 1º bach

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trazados fundamentales en el plano. bajar el power point para ver mejor

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Tema 4 transformaciones geometricas v7 1º bach

  1. 1. objetivos:          Contactar con la geometría proyectiva como ampliación de la conocida g. euclediana.        Realizar transformaciones en el plano, tales como la homología y sus casos particulares, afinidades e inversiones.        Ampliar dichas transformaciones a otros tipos de problemas.        Conocer las relaciones de las transformaciones con la geometría descriptiva que se estudiará mas adelante.
  2. 2. En el ámbito de Segmentos proporcionales. •Teorema de Thales •Razón simple •Razón doble •Cuaterna armónica En el ámbito de Operaciones en el plano. •Transformaciones proyectivas: •Homografías •Homotecia •Homología afín - Simetría axial •Homología especial - Traslación •Transformaciones no proyectivas: • inversión •Equivalencia. TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS
  3. 3. La GEOMETRÍA PROYECTIVA observa las propiedades que se conservan en una proyección. EJEMPLO: Si desde un punto trazamos rectas que unan puntos rectas o planos y cortamos a éstas con otro plano, éste tipo de Geometría estudiará las propiedades de los puntos de corte. No se interesa por medidas de segmentos o ángulos, sino por las posiciones relativas d los elementos en el espacio o en el plano. Aunque representa conceptos tridimensionales es posible su empleo sobre un plano. También aparece el concepto de infinito en las resoluciones
  4. 4. ELEMENTOS DE GEOMETRÍAELEMENTOS DE GEOMETRÍA PROYECTIVAPROYECTIVA
  5. 5. RECTA ORIENTADA: Se designa así a la recta en la cual ha sido fijado un sentido como positivo P A B + Elementos geométricos fundamentales. Son el punto, la recta y el plano. Formas geométricas. Son las formadas con los elementos geométricos.
  6. 6. Razón simple de tres puntosRazón simple de tres puntos Dados dos puntos fijos A y B) en una recta r orientada (que tiene sentido positivo y negativo), la razón simple es el cociente o razón de distancias entre el primero a los otros dos fijos. Se llama razón simple de tres puntos P, A Y B a la relación: h = (PAB) = PA PB P A B + SI SE VARÍA EL ORDEN DE NOTACIÓN, SE VARIÁ EL VALOR DE LA RAZÓN. Puntos fijos
  7. 7. +aclaraciones+aclaraciones 10 1530 p A B K=PAB=PA PB; aritméticamente: 20 30 ,de donde podemos afirmar, m n =10 15=20 30 20 Valor de la razón simple, imagínate un valor Se refiere a los puntos que están en razón simple m n K, es un valor. En una recta donde hay tres puntos alineados, si consideramos a uno de ellos, el P por ejemplo el origen de esa recta, el segmento formado desde este punto P al siguiente punto A dividido por la distancia de P al ultimo punto nos va a dar un valor =k. En geometría ese valor viene expresado como PA/PB. Es decir, se interesa mas por la relación entre el primer segmento/segund o segmento. Ese valor se expresa mediante la fracción
  8. 8. CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE UNA RAZÓN SIMPLECONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE UNA RAZÓN SIMPLE •Sean A Y B los puntos fijados sobre una recta. •Para construir el punto P cuya razón h es conocida, se trazan por A y B dos rectas paralelas cualesquiera, tomando sobre ellas dos segmentos que están en la relación m/n = , al mismo o a distinto lado, según que el valor de h sea positivo o negativo. •El segmento que une los extremos obtenidos determina sobre la recta el punto buscado (P1 para + y P2 para -) El ejercicio consistirá en hallar la ubicación de P en la recta para que la razón simple de estos tres puntos estuvieran en la misma relación que m/n. n m +datos
  9. 9. Razón doble de cuatro puntosRazón doble de cuatro puntos Dados dos puntos fijos A y B en una recta r orientada se llama razón doble de cuatro puntos M, N, A y B al cociente de las razones simples de los dos primeros respecto a los otros dos: k = (MNAB) = (MAB) (NAB) MA/MB NA/NB =
  10. 10. Cuaterna armónicaCuaterna armónica -NA NB MA MB = Si la razón doble de cuatro puntos vale -1, entonces se dice que los cuatro puntos forman una cuaterna armónica: k = (NMAB) = (NAB) (MAB) NA/NB MA/MB = =-1 MN están separados armónicamente por AB
  11. 11. Para construir el cuarto conjugado armónico de un punto M respecto a un par dado AB se trazan por A y B dos líneas paralelas cualesquiera y por M una recta secante arbitraria que determina sobre las paralelas los segmentos f y r , cuya razón es precisamente, la razón (MAB). Trácese sobre la prolongación de la paralela trazada por A un segmento igual a f y su unión con el extremo de r determina el cuarto armónico N. Construcción geométrica de una cuaternaConstrucción geométrica de una cuaterna armónicaarmónica Se trataba de ubicar un punto tal que la razón doble NMAB RESULTARA (–1), es decir, que los cuatro puntos formen o estén en una relación de cuaterna armónica NMAB= (NAB) (MAB) = - F/R F/R =-1
  12. 12. Invariante proyectivo.Invariante proyectivo. La razón simple de tres puntos no varía al proyectar sus puntos paralelamente sobre otra recta, puesto que los segmentos son proporcionales y su razón no varía. De aquí que la razón doble de cuatro puntos no varía al proyectar sus puntos sobre una recta, puesto que se trata del cociente de dos razones fijas. Esta proyección puede ser paralela o desde un punto exterior.
  13. 13. Transformaciones geométricas.Transformaciones geométricas. Una transformación geométrica es una correspondencia (o aplicación) entre elementos de dos formas geométricas.El concepto de transformación en geometría es equivalente al concepto de función en álgebra. •Transformaciones proyectivas. Es una transformación tal que cuatro puntos en línea recta se transforman en cuatro puntos en línea recta, siendo la razón doble de los cuatro primeros igual a la razón doble de los cuatro segundos. Existen también transformaciones entre haces de rectas, haces de planos, etc. En geometría se dice que dos formas son proyectivas si una puede obtenerse de la otra mediante proyecciones y secciones. •Homografía. Se denomina así a la correspondencia entre dos formas geométricas tal que a un elemento de una forma le corresponde un elemento de la misma especie de la otra forma (a un punto le corresponde un punto, a una recta le corresponde una recta, etc.), según una determinada ley. Son transformaciones homográficas: la homología, la afinidad, la homotecia, la traslación, la simetría y el giro. •Correlación. Es la correspondencia entre elementos de distinta especie (a un punto le corresponde una recta, a una recta le corresponde un plano, etc.).
  14. 14. HOMOGRAFÍASHOMOGRAFÍASLas transformaciones que pasamos a tratar a continuación están incluidas en la homografía, que podemos definir como la relación espacial existente entre figuras planas. Éstas se relacionan con sus homólogas, punto a punto y recta a recta, mediante la proyección desde un elemento vértice, de modo que las figuras pertenecen a las secciones planas de los haces proyectivos. Dos secciones planas de la misma radiación se llaman perspectivas y son homográficas;
  15. 15. Aplicaciones de la homologíaAplicaciones de la homología
  16. 16. Transformaciones geométricas Homología Definición Es una transformación geométrica que cumple las siguientes leyes: - Dos puntos homólogos están alineados con un punto fijo (centro de homología) -Dos rectas homólogas siempre se cortan en una recta fija (eje de homología) -El eje, por tanto, es el lugar geométrico de los puntos que son homólogos de sí mismos (puntos dobles).
  17. 17. HOMOLOGÍAHOMOLOGÍA Coeficiente de homología Es la razón doble que forman dos puntos homólogos A y A', el centro O y el punto P de intersección de la recta AA' con el eje e. k = (OPAA´) = (OAA') (PAA') = OA/OA´ PA/lPA' El valor de K nos lo pueden dar como un nº, ejemplo 0,5, o una fracción, ejemplo: 1/2
  18. 18. EjercicioEjercicio Hallar el homólogo B' de B , conociendo el centro O, el eje e y un par de puntos homólogos A y A'. 1 Se unen los puntos A y B mediante la recta r que corta al eje en el punto C-C'. 2 El punto C-C' se une con el punto A' mediante la recta r', homóloga de la recta r. 3 Se une el centro O con el punto a hasta cortar a la recta r' en el punto B' solución.
  19. 19. RECTAS LÍMITERECTAS LÍMITE Es el lugar geométrico de los puntos cuyos homólogos están en el infinito. Son dos: I y I´, paralelas al eje. r´ r e O r´ r e K O J´ Ejercicio Dadas dos rectas homólogas r y r', el centro O y el eje e, hallar las rectas límites: 1 Por el centro de homología O se traza la paralela a la recta r hasta cortar a la otra recta (en el punto K´. 2 Por K´ se traza la recta límite I´ paralela al eje. 3 Por el centro de homología O se traza la paralela a la recta r hasta cortar a la otra recta r' en el punto J. 4 Por J se traza la recta límite l paralela al eje. Al punto K se le denomina punto límite
  20. 20. Transformaciones geométricas Rectas límite Definición Es el lugar geométrico de los puntos cuyos homólogos están en el infinito - Recta límite l’: Por O se traza la paralela a r hasta cortar a r’ - Recta límite l: Por O se traza la paralela a r’ hasta cortar a r Si no se ve bien en la anterior diapositiva, aquí te muestro el mismo trazado de manera más clara
  21. 21. a) Propiedades de las rectas límitesa) Propiedades de las rectas límites e O P i e O r s P i Todas las rectas que se cortan en un mismo punto P de la recta límite) tienen sus homólogas . paralelas a OPP.
  22. 22. b) Propiedades de las rectas límitesb) Propiedades de las rectas límites 1. La distancia de una de las rectas límite al centro de homología es la misma que hay desde la otra recta límite al eje de homología. 2. Las rectas límite están siempre entre el centro O y el eje e , o bien fuera de ellos.
  23. 23. Determinación de una homologíaDeterminación de una homología Una homología queda determinada conociendo los siguientes datos: A´ e O A r r´ O s´ s A´ A d-d´ B' B e O IO I B' B O I´ I •a) El eje, el centro y un par de puntos homólogos. •b) El centro y dos pares de rectas homólogas. •c) Un punto doble y dos pares de puntos homólogos. • d) El centro, el eje y una recta límite. •e) El centro, una recta límite y dos puntos homólogos. •f) El centro, el eje y el coeficiente de homología.(X) •g) El centro y las dos rectas límite. •h) Dos figuras homólogas.
  24. 24. EJERCÍCIOSEJERCÍCIOS
  25. 25. Hallar el homólogoHallar el homólogo AA'' de un puntode un punto AA conociendo el centro deconociendo el centro de homologíahomología OO,, el ejeel eje ee y la recta límitey la recta límite ll •1 Se traza una recta r cualquiera que pase por A; •dicha recta corta al eje en P ya la recta límite en K. •2 Se une el centro O con K y por el punto P se traza la paralela r' (homóloga de r) a OK. •3 Donde la recta OA corta a r' se obtiene el punto A'.
  26. 26. Construir la figura homóloga del polígonoConstruir la figura homóloga del polígono ABCDEABCDE conociendo el centroconociendo el centro OO, el eje, el eje ee y un puntoy un punto AA'.'. •1 Aplicando el procedimiento general, se une el punto A con cualquier otro, el B por ejemplo, hasta cortar al eje en el punto M. •2 El punto M se une con A' mediante una recta que corta al rayo OB en el punto B'. •3 Se une el punto C con el punto B, o con cualquier otro del que ya se conozca su homólogo, y se siguen las mismas operaciones anteriores hasta determinar los homólogos de todos los vértices.
  27. 27. Hallar el homólogoHallar el homólogo B'B' de un puntode un punto BB conociendo el centroconociendo el centro OO,, el ejeel eje ee yy un par de puntosun par de puntos homólogoshomólogos AA yy A'A' alineados conalineados con BB.. •1 Se elige un punto C, arbitrario, y se une con A mediante la recta r que corta al eje en R. •2 Se une R con A' mediante la recta r' (homóloga de r). •3 Se traza la recta que une el centro O con el punto C hasta cortar a r' en C´. •4 Se une C con B hasta cortar al eje en S. •5 Se traza la recta s' (homóloga de s) uniendo S y C'. •6 Donde la recta s' corta a la recta OB se obtiene el punto B' buscado
  28. 28. Cónicas homológicas de una circunferenciaCónicas homológicas de una circunferencia •La recta límite es secante: la figura es una hipérbola. •La figura homológica de una circunferencia es una cónica que depende de la posición relativa de la circunferencia y su recta límite: •La recta límite es exterior: la figura es una elipse. La recta límite es tangente: la figura es una parábola.
  29. 29. Propiedades •- La tangente común a una cónica y a su homóloga pasa por el vértice de homología. •- Si dos cónicas homológicas se cortan, la recta que une los puntos de intersección es el eje de homología y si son tangentes, la tangente común es el eje. •- El centro de una cónica se transforma en el polo de la recta límite respecto de la figura homológica. Cónicas homológicas de una circunferenciaCónicas homológicas de una circunferencia
  30. 30. ELIPSE HOMOLÓGICA DE LA CIRCUNFERENCIAELIPSE HOMOLÓGICA DE LA CIRCUNFERENCIA Sea la circunferencia de centro O, un eje e, la recta límite I y el vértice V : V I O e V I O M C D e V I O M A B C D N e V I O M A B C D N e V I O M A B C D P N e V I O M A B C D P N e V I O M A B C D P P´ N e V I O M A B C D P P´ N e V I O M A B C D P P´ C´ A´ D´ N e V I O M A B C D P P´ H r C´ A´ D´ N e V I O M A B C D P P´ H G r C´ A´ D´ N e V I O M A B C D P P´ H G r r´ C´ A´ D´ N e V I O M A B C D P P´ H G r r´ H´ C´ A´ G´ D´ N e V I O M A B C D P P´ H G r r´ H´ C´ A´ G´ D´ N E-E` e •2 Se unen los puntos C y D hasta cortar a la recta límite en N y desde este punto se trazan dos tangentes cuyos puntos de tangencia son A y B. •3 Se unen los puntos A y B. La intersección P de las rectas AB y CD es el polo P + DETALLE Determinación del polo 1 Se elige un punto arbitrario M de la recta límite I y se trazan las tangentes a la circunferencia, cuyos puntos de tangencia son C y D.
  31. 31. DETALLEDETALLE VOLVER
  32. 32. Transformaciones geométricas Elipse homológica de una circunferencia 1. Desde un punto M de la recta límite hallamos los puntos de tangencia C y D que unidos cortan a l en el punto N 2. Desde N se trazan tangentes, obteniendo A y B. El punto donde se cortan AB y CD es el polo P de la recta límite 3. Se hallan los homólogos de dichos segmentos, que son los diámetros conjugados de la elipse homóloga Datos: Circunferencia, eje e, recta límite L y vértice V A' b' H' a' F-F'E-E' B' r' D' C'G' P' a b r H G B A P M D C e V lN Repetimos el ejercicio con menos texto y mejor imagen
  33. 33. Transformación homológica de un cuadrilátero cualquiera en un cuadradoTransformación homológica de un cuadrilátero cualquiera en un cuadrado A D B C A D B C da RL A D B C da RL A D B C da RL A D B C db a c RL A D B C db a c RL A D B C db a c O RL A D B C db a c O E RL A D B C db a c O E RL A D B C db a c O E Sea cuadrilátero ABCD. Hemos de determinar la posición del centro de homología y de la recta límite del polígono dado, situados de modo que en la transformación nos resulte un cuadrado. Recordemos q los lados opuestos un cuadrado son paralelos, luego se cortan en un punto impropio.;. de aquí que los lados opuesto del polígono dado han de cortarse en la recta límite.. Para obtener la recta límite basta, por tanto, obtener las intersecciones de A D con B C y de A B con DC, las cuales determinan loS puntos a y d, que definen a RL EL centro de homología ha de ser un punto desde el cual se vean los lados y las diagonales-formando respectivamente ángulos rectos, puesto que en el cuadrado así se verifica, luego tomando como diámetro el segmento ad tracemos una semicircunferencia, lugar geométrico del ángulo de 90º, y con los puntos b y c, donde es cortada RL por las diagonales, procedamos de igual modo, tomando el segmento BC como diámetro también. EL punto O, común a ambas, es el punto buscado, centro de la homología. Los segmentos Oa y Od nos marcan las direcciones de los lados del cuadrado y los segmentos O c y O b de las diagonales. Tracemos en cualquier posición paralelamente a R L el eje de homología y obtengamos los vértices A', B', C' y D', homólogos de A, B, C y D según los procedimientos conocidos. La posición del eje interviene solamente en la magnitud del cuadrado obtenido, mayor cuanto más alejado se tome del centro de homología
  34. 34. AFINIDADAFINIDAD La afinidad es una homología de centro impropio, es decir, que está en el infinito. DIFERENCIA TRIDIMENSIONAL ENTRE LA HOMOLOGÍA Y LA AFINIDAD
  35. 35. Transformaciones geométricas Afinidad Definición Es una transformación geométrica que cumple las siguientes leyes: - Dos puntos afines están en una paralela a la dirección de afinidad - Dos rectas afines siempre se cortan en una recta fija (eje de afinidad) En la afinidad no existen rectas límite. Si el coeficiente de afinidad es positivo, los dos puntos A y A' están al mismo lado del eje, y si es negativo están a distinto lado.
  36. 36. Transformaciones geométricas Ejercicio Hallar B’ 1. Se une A y B mediante la recta r 2. Se une C-C’ con A’ mediante r’ 3. Por B se traza la paralela a d Hallar el afín B' de un punto B , conociendo la dirección de afinidad d, el eje e y un par de puntos afines A y A‘:
  37. 37. CONSTRUCCiÓN DE FIGURAS AFINESCONSTRUCCiÓN DE FIGURAS AFINES Una afinidad queda determinada conociendo los siguientes datos: a) El eje y dos puntos afines. b) La dirección de afinidad y el coeficiente. c) Dos figuras afines. No es necesario dibujarlo de momento
  38. 38. Transformaciones geométricas Figuras afines Ejercicio Hallar B’ 1. Se traza una recta r por el punto A 2. Se une R con A’ mediante r’ 3. Por un punto C se traza la paralela a d Ejercicio Hallar A’B’C’D’E’ 1. Se une A y B hasta cortar al eje 2. Se une M con A’ 3. Por B se traza la paralela a d 4. Se repite la operación con el resto de puntos 4. Se une B con C hasta cortar al eje 5. Se une S con C’ mediante s’ Construir la figura afín del polígono ABCDE conociendo la dirección d de afinidad, el eje e y un punto afín A'. Hallar el afín B' de un punto B , conociendo la dirección de afinidad d, el eje e y un par de puntos afines A y A' alineados con B.
  39. 39. Circunferencia y elipse de diámetro común.Circunferencia y elipse de diámetro común. Dada la circunferencia de diámetroDada la circunferencia de diámetro AB-A'B'AB-A'B' y un par de puntos afinesy un par de puntos afines C-C´C-C´ :: C C´ A-A´ B-B´ C C´ A-A´ B-B´ C C´ A-A´ B-B´M C C´ A-A´ B-B´M N E´ E C C´ A-A´ B-B´M N E´ E C C´ A-A´ B-B´M N E´ E 1 Eje de afinidad. Es el diámetro común AB-A'B' de ambas cónicas. 2 Dirección de afinidad. Es la recta C-C´.
  40. 40. Transformaciones geométricas Homotecia Definición Es una transformación geométrica que cumple las siguientes leyes: - Dos puntos homotéticos están alineados con un punto fijo (centro de homotecia) - Dos rectas homotéticas son paralelas
  41. 41. Transformaciones geométricas Simetría central Definición Es una transformación geométrica que cumple las siguientes leyes: - Dos puntos simétricos están alineados con un punto fijo (centro de simetría) Ejercicio Hallar A’B’C’D’E’ 1. Se une A con O y se lleva OA’ = OA 2. Se repite la operación con el resto de puntos - Los puntos simétricos están a distinto lado del centro y a la misma distancia
  42. 42. Transformaciones geométricas Simetría axial Definición Es una transformación geométrica que cumple las siguientes leyes: - La recta que une dos puntos simétricos es perpendicular a una recta fija (eje de simetría) Ejercicio Hallar A’B’C’D’E’ 1. Por A se traza la perpendicular al eje y se lleva AA0 = A0A’ 2. Se repite la operación con el resto de puntos - Los puntos simétricos están a distinto lado del eje y a la misma distancia
  43. 43. Transformaciones geométricas Traslación Definición Leyes de la transformación geométrica Traslación : - La recta que une dos puntos homólogos es paralela a una dirección - Dos rectas homólogas son paralelas Ejercicio Trazar el triángulo ABC situando un vértice en cada una de las rectas dadas 1. Desde un punto cualquiera A se traza un arco de radio AB que corta a s en el punto B 2. Hallar C en la intersección de dos arcos. Uno de centro A y radio AC y el otro de centro B y radio BC B A C A A' C B' C' r s t A B B C 3. Trasladar el triángulo ABC en dirección r-s hasta que C coincida en la recta t
  44. 44. Transformaciones geométricas Giro Definición Es una transformación geométrica que cumple las siguientes leyes: - La distancia de dos puntos homólogos a un punto fijo es constante - El ángulo que forman las rectas que unen dos puntos homólogos con el centro es constante Ejercicio Girar la recta r un ángulo f respecto a O 1. Trazar una perpendicular a r por el punto O obteniendo A como intersección 2. Con centro O giramos el punto A un ángulo f hasta A’O B' A A' r' r B 3. Se traza por A’ la recta girada r’ que es perpendicular a OA. Comprobamos con B

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