1. De Moivre’s Theorem
 cos  i sin    cos n  i sin n
n
for all integers n

2. De Moivre’s Theorem
 cos  i sin    cos n  i sin n
n
for all integers n
this extends to;
r cos  i sin  
n
 r n cos n  i sin n 

3. De Moivre’s Theorem
 cos  i sin    cos n  i sin n
n
for all integers n
this extends to;
r cos  i sin  
n
e.g . 1  i 
5
 r n cos n  i sin n 

4. De Moivre’s Theorem
 cos  i sin    cos n  i sin n
n
for all integers n
this extends to;
r cos  i sin  
n
e.g . 1  i 
5
 r n cos n  i sin n 
z  12   1
2
 2
  1
arg z  tan  
 1 
1


4

5. De Moivre’s Theorem
 cos  i sin    cos n  i sin n
n
for all integers n
this extends to;
r cos  i sin  
n
e.g . 1  i 
5
z  12   1
2

   
  2cis


 r n cos n  i sin n 
 4 
5
 2
  1
arg z  tan  
 1 
1


4

6. De Moivre’s Theorem
 cos  i sin    cos n  i sin n
n
for all integers n
this extends to;
r cos  i sin  
n
e.g . 1  i 
5

z  12   1
2

   
  2cis


 r n cos n  i sin n 
 4 
5
 2
  1
arg z  tan  
5
 1 
  5 
2  cis


 4 

4
1

7. De Moivre’s Theorem
 cos  i sin    cos n  i sin n
n
for all integers n
this extends to;
r cos  i sin  
n
e.g . 1  i 
5
z  12   1
2

   
  2cis


 r n cos n  i sin n 
 4 
5
 2
  1
arg z  tan  
5
 1 
  5 
  2  cis


 4 

4
3 
 4 2cis 

 4 
1

8. De Moivre’s Theorem
 cos  i sin    cos n  i sin n
n
for all integers n
this extends to;
r cos  i sin  
n
e.g . 1  i 
5
z  12   1
2

   
  2cis


 r n cos n  i sin n 
 4 
5
 2
  1
arg z  tan  
5
 1 
  5 
  2  cis


 4 

4
3 
 4 2cis 

 4 
1
1  i 
5
 cos 3  i sin 3 
 4 2

4
4 


9. De Moivre’s Theorem
 cos  i sin    cos n  i sin n
n
for all integers n
this extends to;
r cos  i sin  
n
e.g . 1  i 
5
z  12   1
2

   
  2cis


 r n cos n  i sin n 
 4 
5
 2
  1
arg z  tan  
5
 1 
  5 
  2  cis


 4 

4
3 
 4 2cis 

 4 
1
1  i 
5
 cos 3  i sin 3 
 4 2

4
4 

1
1 
 4 2 

i

2
2 

 4  4i

10. Finding Roots
If z n  x  iy
z n  rcis
 2k   
z  rcis 
 n 

n
k  0,1,, n  1

11. Finding Roots
If z n  x  iy
z n  rcis
 2k   
z  rcis 
 n 

n
e.g .i  z 2  4i
k  0,1,, n  1

12. Finding Roots
If z n  x  iy
z n  rcis
 2k   
z  rcis 

 n 
n
e.g .i  z 2  4i

2
z  4cis
2
k  0,1,, n  1

13. Finding Roots
If z n  x  iy
z n  rcis
 2k   
z  rcis 

 n 
n
e.g .i  z 2  4i

2
z  4cis
2
 2k   

2
z  2cis 
2 




k  0,1
k  0,1,, n  1

14. Finding Roots
If z n  x  iy
z n  rcis
 2k   
z  rcis 

 n 
n
e.g .i  z 2  4i

2
z  4cis
2
 2k   

2
z  2cis 
2 




5

z  2cis ,2cis
4
4
k  0,1
k  0,1,, n  1

15. Finding Roots
If z n  x  iy
z n  rcis
 2k   
z  rcis 

 n 
n
e.g .i  z 2  4i

2
z  4cis
2
 2k   

2  k  0,1
z  2cis 
2 




5

z  2cis ,2cis
4
4
 1  1 i ,2  1  1 i 
z  2

 
2  
2
2 
 2
k  0,1,, n  1
z  2  2i, 2  2i

16. Finding Roots
If z n  x  iy
z n  rcis
 2k   
z  rcis 

 n 
n
e.g .i  z 2  4i

OR
2
z  4cis
2
 2k   

2  k  0,1
z  2cis 
2 




5

z  2cis ,2cis
4
4
 1  1 i ,2  1  1 i 
z  2

 
2  
2
2 
 2
k  0,1,, n  1
y
x
z  2  2i, 2  2i

17. Finding Roots
If z n  x  iy
z n  rcis
 2k   
z  rcis 

 n 
n
e.g .i  z 2  4i

OR
2
z  4cis
2
 2k   

2  k  0,1
z  2cis 
2 




5

z  2cis ,2cis
4
4
 1  1 i ,2  1  1 i 
z  2

 
2  
2
2 
 2
k  0,1,, n  1
y
2cis

x
z  2  2i, 2  2i
4

18. Finding Roots
If z n  x  iy
z n  rcis
 2k   
z  rcis 

 n 
n
k  0,1,, n  1
e.g .i  z 2  4i

OR
2
y
z  4cis

2
2cis
4
 2k   

2  k  0,1
z  2cis 
2 
x




3
2cis 
5

z  2cis ,2cis
4
4
4
 1  1 i ,2  1  1 i 
z  2
z  2  2i, 2  2i

 
2  
2
2 
 2

19.  ii 
x 4  16  0

20.  ii 
x 4  16  0
x 4  16
x 4  16cis 0

21.  ii 
x 4  16  0
x 4  16
x 4  16cis 0
 2 k 
x  2cis 
 4 

k  0,1, 2,3

22.  ii 
x 4  16  0
x 4  16
x 4  16cis 0
 2 k 
x  2cis 
 4 


k  0,1, 2,3
3
x  2cis 0, 2cis , 2cis , 2cis
2
2

23.  ii 
x 4  16  0
x 4  16
x 4  16cis 0
 2 k 
x  2cis 
 4 

k  0,1, 2,3

3
x  2cis 0, 2cis , 2cis , 2cis
2
2
x  2, 2i, 2, 2i

24.  ii 
x 4  16  0
x 4  16
x 4  16cis 0
 2 k 
x  2cis 
 4 

k  0,1, 2,3

3
x  2cis 0, 2cis , 2cis , 2cis
2
2
x  2, 2i, 2, 2i
OR
y
x

25.  ii 
x 4  16  0
x 4  16
x 4  16cis 0
 2 k 
x  2cis 
 4 

k  0,1, 2,3

3
x  2cis 0, 2cis , 2cis , 2cis
2
2
x  2, 2i, 2, 2i
OR
y
2cis 0
x

26.  ii 
x 4  16  0
x 4  16
x 4  16cis 0
 2 k 
x  2cis 
 4 

k  0,1, 2,3

3
x  2cis 0, 2cis , 2cis , 2cis
2
2
x  2, 2i, 2, 2i
OR
y
2cis

2
2cis
2cis 0
x
2cis 

2

27.  ii 
x 4  16  0
x 4  16
x 4  16cis 0
 2 k 
x  2cis 
 4 

k  0,1, 2,3

3
x  2cis 0, 2cis , 2cis , 2cis
2
2
x  2, 2i, 2, 2i
OR
y
2cis
Patel: Exercise 4E;
1 to 4 ac

2
2cis
2cis 0
x
2cis 
Cambridge: Exercise 7A;
1, 2, 3 abef, 5, 6, 7,
9 to 14, 16 to 18

2