Análise vibracional de máquina rotativa

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
VIBRAÇÃO E ACÚSTICA
ANTÔNIO KLEBER RIBEIRO DE LIMA
DESENVOLVIMENTO DE BANCADA EXPERIMENTAL DE
MÁQUINA ROTATIVA PARA DIAGNÓSTICO DE DEFEITOS:
“Uma comparação entre as técnicas de análise de vibração com modelo de
elementos finitos”
BELÉM
2015

ANTÔNIO KLEBER RIBEIRO DE LIMA
Dissertação apresentada para obtenção
do grau de Mestre em Engenharia
Mecânica, Instituto de Tecnologia,
Universidade Federal do Pará. Área de
concentração Vibração e Acústica.
Orientador: Prof. Dr.Newton Sure Soeiro
BELÉM
2015

Dissertação apresentada para obtenção do grau de Mestre em
Engenharia Mecânica, Instituto de Tecnologia, Universidade
Federal do Pará. Área de concentração Vibração e Acústica.
Orientador: Prof. Dr.Newton Sure Soeiro
Data da Aprovação:_______/________/_______,
Banca Examinadora:
__________________________________________
Prof. Dr. Newton Sure Soeiro
UFPA – Orientador
__________________________________________
Prof. Dr. Alexandre Luiz Amarante Mesquita
UFPA – Membro Interno
__________________________________________
Prof.ª Dr.ª Dinara Xavier da Paixão
UFSM – Membro Externo.

Dedico este trabalho com todo carinho aos meus familiares, especialmente a
minha esposa, meus filhos, meus pais, meu neto e minhas noras, pois são eles
minha motivação à vida.

AGRADECIMENTO
Agradeço primeiramente a DEUS que é merecedor de toda honra e glória sobre tudo
em nossas vidas;
À minha esposa, Ângela Lima, companheira, amiga e conselheira que com sua lucidez
em ver a vida muito contribui para superarmos nossas dificuldades;
Ao meu filho, Adry Lima por sua inestimável contribuição na concepção do modelo
numérico;
Ao meu filho, Alysson Lima pelo grande apoio e sugestões na construção deste texto;
Ao meu orientador, Professor Doutor Newton Sure Soeiro pela orientação e
oportunidade de desenvolver este trabalho, o qual sem seu apoio não seria possível;
Ao amigo, Professor Doutor Gustavo Melo pelo apoio e conhecimento transmitido;
Ao amigo, Roger, pela contribuição inestimável na concepção do aplicativo para
aquisição e análise de sinais;
Ao amigo, Daniel Coelho por sua inestimável contribuição na concepção do modelo
numérico;
Ao amigo, Fábio Setúbal por sua contribuição e orientação na utilização do programa
Pulse;
Ao amigo, Danilo Braga por sua contribuição na Análise Modal Experimental;
Aos amigos Sérgio Custódio e Marcel Gomes pela contribuição na construção do
programa de aquisição de sinais na plataforma Labview;
Aos demais integrantes do grupo GVA pelo convívio e troca de informações;
Aos meus pais Abel Lima e Maria Ribeiro pela dádiva de me conceberem a vida, e
pelos muitos anos de dedicação e carinho;
As minhas noras Bruna Mendes e Juciana Cunha pelo carinho e momentos
inesquecíveis em família;
Ao meu querido neto Pedro Henrique, presente de Deus, por ser mensageiro de amor e
harmonia em nossas vidas;
A meus familiares e amigos que acreditaram em mim e apostaram na realização deste
sonho.

“O ladrão não vem senão para roubar, matar e destruir; eu
vim para que tenham vida e a tenham em abundância.”
(Jesus de Nazaré)

RESUMO
As máquinas rotativas constituem-se hoje em um dos equipamentos mais importantes no
processo produtivo de uma indústria. Por isso, buscam-se cada vez mais metodologias
modernas de manutenção, visando sempre a confiabilidade operacional destes equipamentos,
neste sentido a comunidade acadêmica vem concentrando estudos nas respostas dinâmicas das
máquinas rotativas. Por isso, este trabalho visa contribuir para caracterização de forças de
excitação a partir da análise dos sinais de vibração, aplicando as técnicas de análises mais
conhecidas como: análise espectral, técnica do envelope, nível global e outras. Para isso, foi
concebida uma bancada rotodinâmica experimental que quando em funcionamento reproduz o
comportamento dinâmico de uma máquina rotativa, e para aquisitar os sinais de vibração
deste sistema experimental criou-se um aplicativo de aquisição e análise de sinais na
plataforma LabView. A partir daí, a estrutura deste trabalho consiste em criar um modelo
numérico da bancada experimental pelo método de elementos finitos e inserir no modelo os
defeitos mais comuns encontrados em máquinas rotativas como: desbalanceamento de massa,
desalinhamento entre eixos e falhas de rolamento. Finalmente faz-se uma comparação dos
resultados entre as técnicas de análise de sinais e o modelo de elementos finitos. E ainda,
definir qual técnica é mais eficiente para analisar determinado defeito. Por tudo isso deseja-se
através deste trabalho contribuir para melhorar a confiabilidade das técnicas de preditiva
aplicadas ao monitoramento de máquinas rotativas baseado na condição e ainda aprimorar a
performance dos processos produtivos.
Palavras chave: Forças de Excitação. Análise Espectral. Nível Global. Técnica do Envelope.
Sinais de Vibração. Métodos de Elementos Finitos. Preditiva.

ABSTRACT
The rotating machinery constitute today one of the most important equipment in the
production process of an industry. So if you want more and more modern methods of
maintenance, always aiming at the operational reliability of such equipment, in this sense the
academic community has focused studies on dynamic response of rotating machines.
Therefore, this study aims to contribute to the characterization of excitation forces from the
analysis of vibration signals by applying the techniques of analysis widely known as: spectral
analysis, technical envelope, and other globally. For this, we designed an experimental
rotodinâmica operation Countertop when reproducing the dynamic behavior of a rotating
machine, aquisitar and vibration signals of this experimental system created a application
acquisition and signal analysis in LabView platform. Thereafter, the structure of this work is
to create a numerical model of the experimental set by the finite element method and insert
the model the most common defects found in rotating machines such as: mass unbalance,
misalignment between shaft and bearing failures. Finally we make a comparison of results
between techniques for signal analysis and finite element model. Also, determine which
technique is more efficient to analyze given fault. For all that we wish to work through this
contribute to improve the reliability of predictive techniques applied to monitoring of rotating
machinery based on condition and further enhance the performance of production processes.
Keywords: Excitation forces. Spectral Analysis. Global level. Technical Envelope. Vibration
signals. Finite Element Meth

SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO.............................................................................................. 23
1.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS ................................................................... 23
1.2 JUSTIFICATIVA........................................................................................ 24
1.3 OBJETIVOS................................................................................................ 25
1.3.1 OBJETIVO GERAL................................................................................ 25
1.3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS................................................................. 25
1.4 METODOLOGIA DO TRABALHO ........................................................ 26
1.5 ESTRUTURA DO TRABALHO............................................................... 27
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA...................................................................... 28
2.1 INTRODUÇÃO........................................................................................... 28
2.2 REVISÃO SOBRE DINÂMICA DE ROTORES .................................... 28
2.3 REVISÃO SOBRE DEFEITOS EM MÁQUINAS ROTATIVAS......... 29
2.4 REVISÃO SOBRE TÉCNICAS DE ANÁLISE DE SINAIS.................. 31
2.5 REVISÃO SOBRE INSTRUMENTAÇÃO E LABVIEW...................... 32
3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ................................................................ 33
3.1 INTRODUÇÃO........................................................................................... 33
3.2 FUNDAMENTOS DE DINÂMICA DE ROTORES ............................... 34
3.2.1 INTRODUÇÃO........................................................................................ 34
3.2.2 MODELOS MASSA MOLA................................................................... 34
3.2.3 DESBALANCEAMENTO DE ROTORES........................................... 36
3.2.4 ROTOR DE LAVAL ............................................................................... 37
3.2.5 ROTOR ISOTRÓPICO .......................................................................... 41
3.2.6 ROTOR ANISOTRÓPICO..................................................................... 42
3.2.7 DIAGRAMA DE CAMPBELL E EFEITO GIROSCÓPICO............. 43
3.2.8 MÉTODO DE RAYLEIGH-RITZ......................................................... 47
3.2.9 O DISCO................................................................................................... 47

3.2.10 O EIXO.................................................................................................... 50
3.2.10.1 ENERGIA CINÉTICA......................................................................... 50
3.2.10.2 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO......................................................... 51
3.2.10.3 RIGIDEZ DOS MANCAIS.................................................................. 54
3.3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA DE ANÁLISE DE SINAIS............... 59
3.3.1 INTRODUÇÃO........................................................................................ 59
3.3.2 REVISÃO DE ANÁLISE DE SINAIS................................................... 59
3.3.3 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO ................................................ 61
3.3.4 ANÁLISE NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA.................................... 63
3.3.4.1 FUNÇÃO DENSIDADE DE POTÊNCIA .......................................... 64
3.3.4.2 TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER ...................................... 67
3.3.4.3 TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER DE DADOS
DISCRETOS.......................................................................................................70
3.3.4.4 TEOREMA DA AMOSTRAGEM ......................................................... 71
3.3.4.5 CORRELAÇÃO E AUTO CORRELAÇÃO USANDO FFT................ 72
3.3.4.6 DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA (PSD) ESTIMADA
PELA FFT..........................................................................................................73
3.3.4.7 FILTRAGEM DOS DADOS.................................................................. 75
3.4 FUNDAMENTOS SOBRE TÉCNICAS DE ANÁLISES DE SINAIS
PARA MÁQUINAS ROTATIVAS..................................................................79
3.4.1 INTRODUÇÃO........................................................................................ 79
3.4.2 NÍVEL GLOBAL..................................................................................... 79
3.4.3 FATOR DE CRISTA (CREST-FACTOR)............................................ 80
3.4.4 FATOR K (FACTOR-K)......................................................................... 81
3.4.5 CURTOSE (K).......................................................................................... 82
3.4.6 ANÁLISE ESPECTRAL......................................................................... 83
3.4.6.1 OBTENÇÃO DO ESPECTRO DE FREQUÊNCIA ............................ 83
3.4.7 TÉCNICA DE ENVELOPE.................................................................... 90
3.4.8 PEAKVUE ................................................................................................ 92

3.4.9 CEPSTRO................................................................................................. 95
3.5 FUNDAMENTOS SOBRE VIBRAÇÕES................................................ 97
3.5.1 INTRODUÇÃO........................................................................................ 97
3.5.2 MOVIMENTO HARMÔNICO.............................................................. 98
3.5.2.1 PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DO MOVIMENTO
HARMÔNICO..................................................................................................100
3.5.2.2 COMPONENTES ELEMENTARES DE UM SISTEMA
VIBRATÓRIO ..................................................................................................102
3.5.2.3 GRAUS DE LIBERDADE................................................................... 103
3.5.2.3.1 SISTEMAS DISCRETOS................................................................. 104
3.5.2.3.2 SISTEMAS CONTÍNUOS................................................................ 105
3.5.2.4 CLASSIFICAÇÃO DA VIBRAÇÃO................................................... 105
3.5.2.4.1 QUANTO À EXISTÊNCIA OU NÃO DE FORÇAMENTO ...... 105
3.5.2.4.2 QUANTO À EXISTÊNCIA OU NÃO DE AMORTECIMENTO
...........................................................................................................................105
3.5.2.4.3 QUANTO À LINEARIDADE......................................................... 106
3.5.2.4.4 QUANTO A PREVISIBILIDADE DE OCORRÊNCIAS ........... 107
3.6 FUNDAMENTOS SOBRE DEFEITOS MAIS COMUNS EM
MÁQUINAS ROTATIVAS............................................................................108
3.6.1 INTRODUÇÃO...................................................................................... 108
3.6.2 DESBALANCEAMENTOS DE MASSA ............................................ 109
3.6.2.1 TIPOS DE DESBALANCEAMENTO................................................ 110
3.6.2.1.1 DESBALANCEAMENTO ESTÁTICO (STATIC UMBALANCE)
........................................................................................................................... 110
3.6.2.1.2 BINÁRIO DE DESBALANCEAMENTO (COUPLE
UMBALANCE) ...............................................................................................111
3.6.2.1.3 DESBALANCEAMENTO QUASE-ESTÁTICO (QUASE-STATIC
UNBALANCE) ................................................................................................ 113
3.6.2.1.4 DESBALANCEAMENTO DINÂMICO (DYNAMIC
UNBALANCE) ................................................................................................114

3.6.2.2 IDENTIFICAÇÃO DO DEFEITO DE DESBALANCEAMENTO
ATRAVÉS DO SINAL DE VIBRAÇÃO.........................................................115
3.6.3 DESALINHAMENTOS DE EIXOS .................................................... 116
3.6.3.1 DESALINHAMENTO ANGULAR PURO......................................... 116
3.6.3.2 DESALINHAMENTO PARALELO (OFFSET)................................ 117
3.6.3.3 DESALINHAMENTO MISTO ........................................................... 117
3.6.3.4 IDENTIFICAÇÃO DO DEFEITO DE DESALINHAMENTO DE
EIXOS...............................................................................................................118
3.6.4 DEFEITOS EM ROLAMENTOS........................................................ 120
3.6.4.1 FALHA NOS ROLAMENTOS............................................................ 120
3.6.4.1.1 FALHAS DE ROLAMENTOS DEVIDO A ERROS DE
MONTAGEM ...................................................................................................121
3.6.4.1.2 FALHAS DE ROLAMENTOS DEVIDO A CONDIÇÕES
OPERACIONAIS............................................................................................122
3.6.4.1.3 FALHAS DE ROLAMENTOS DEVIDO AO AMBIENTE........ 122
3.6.4.1.4 FALHAS DE ROLAMENTOS DEVIDO A PROBLEMAS DE
LUBRIFICAÇÃO............................................................................................123
3.6.4.2 IDENTIFICAÇÃO DE DEFEITOS NOS ROLAMENTOS ATRAVÉS
DAS ANÁLISES DOS SINAIS........................................................................124
3.7 CONSIDERAÇÕES SOBRE O CAPÍTULO......................................... 128
4 PROGRAMA DESENVOLVIDO PARA AQUISIÇÃO E ANÁLISE DE
SINAIS..............................................................................................................128
4.1 INTRODUÇÃO......................................................................................... 128
4.2 INSTRUMENTOS VIRTUAIS................................................................ 129
4.3 AQUISIÇÃO E ANÁLISE DE SINAIS DE VIBRAÇÃO..................... 130
4.3.1 PAINEL FRONTAL.............................................................................. 131
4.3.1.1 AQUISIÇÃO E VISUALIZAÇÃO....................................................... 131
4.3.1.2 CONFIGURAÇÃO............................................................................... 132
4.3.1.3 DADOS DE ROLAMENTOS .............................................................. 132
4.3.2 DIAGRAMA DE BLOCOS................................................................... 133

4.3.2.1 AQUISIÇÃO E VISUALIZAÇÃO....................................................... 133
4.3.2.2 FREQUÊNCIAS CARACTERÍSTICAS DE DEFEITOS EM
ROLAMENTOS................................................................................................136
4.3.2.3 TÉCNICA DO ENVELOPE................................................................ 136
4.3.2.4 TÉCNICA DO CEPSTRO ................................................................... 137
4.3.2.5 NÍVEL GLOBAL, FATOR DE CRISTA E CURTOSE..................... 138
4.4 CALIBRAÇÃO DO SISTEMA DE AQUISIÇÃO DE SINAIS DE
VIBRAÇÃO .....................................................................................................140
5 BANCADA EXPERIMENTAL.................................................................. 142
5.1 INTRODUÇÃO......................................................................................... 142
5.2 BANCADA ROTODINÂMICA............................................................... 142
5.2.1 DESCRIÇÃO DA BANCADA.............................................................. 142
5.2.1.1 ACOPLAMENTO................................................................................. 144
5.2.1.2 MANCAIS............................................................................................. 145
5.2.2 INVERSOR DE FREQUÊNCIAS........................................................ 145
5.2.3 MICRO COMPUTADOR..................................................................... 146
5.2.4 INSTRUMENTOS DE MEDIÇÃO...................................................... 147
5.2.4.1SENSOR DE VIBRAÇÃO.................................................................... 147
5.2.4.2 PLACA DE AQUISIÇÃO .................................................................... 148
5.2.4.3 CONDICIONADOR DE SINAL ......................................................... 148
5.2.3 AQUISIÇÃO DE SINAIS E PONTOS DE MEDIÇÃO..................... 149
5.3 INSERÇÃO DOS DEFEITOS NA BANCADA DE TESTES .............. 151
5.3.1 DESALINHAMENTO ENTRE EIXOS .............................................. 151
5.3.2 DESBALANCEAMENTO DE ROTOR.............................................. 152
5.3.2.1 DESBALANCEAMENTO RESIDUAL.............................................. 153
5.3.3 APLICAÇÃO DOS DEFEITOS NOS ROLAMENTOS.................... 157
5.3.3.1 DETERMINAÇÃO DAS FREQUÊNCIAS NATURAIS DO SISTEMA
........................................................................................................................... 159

6 IDENTIFICAÇÃO DAS VELOCIDADES CRÍTICAS E FORMAS
MODAIS UTILIZANDO OS MÉTODOS EXPERIMENTAL E
NUMÉRICO ....................................................................................................164
6.1 INTRODUÇÃO......................................................................................... 164
6.2 ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL................................................. 164
6.3 ANÁLISE MODAL NUMÉRICA (MODELO EM ELEMENTOS
FINITOS) .........................................................................................................170
6.3.1 CONSTRUÇÃO DO MODELO COM ELEMENTO SOLIDO ....... 170
6.3.2 ANÁLISE MODAL NUMÉRICA........................................................ 171
6.4 ANÁLISE ROTORDINÂMICA (MODELO EM ELEMENTOS
FINITOS) .........................................................................................................175
7 ANÁLISE DOS RESULTADOS................................................................. 176
7.1 INTRODUÇÃO......................................................................................... 176
7.2 CARACTERIZAÇÃO DA CONDIÇÃO NORMAL DE
FUNCIONAMENTO DA BANCADA ..........................................................176
7.2.1 CORREÇÃO DO PÉ MANCO............................................................. 180
7.2.2 ESPECTRO DE ASSINATURA DA MÁQUINA............................... 183
6.3 INSERÇÃO DE DEFEITOS NA BANCADA EXPERIMENTAL...... 184
6.3.1 DESBALANCEAMENTO .................................................................... 184
6.3.2 DESALINHAMENTO........................................................................... 188
6.3.2.1 DESALINHAMENTO PARALELO ................................................... 188
6.3.2.2 DESALINHAMENTO ANGULAR..................................................... 190
6.3.3 DEFEITO EM ROLAMENTOS .......................................................... 191
6.3.3.1 DETECÇÃO DO DEFEITO NA PISTA INTERNA DO
ROLAMENTO..................................................................................................192
7 CONCLUSÃO .............................................................................................. 194
7.1 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................... 194
7.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS .................................. 196
REFERÊNCIAS .............................................................................................. 197
ANEXO I – TEORIA SOBRE MODULAÇÃO E DEMODULAÇÃO DE200

SINAIS DE VIBRAÇÃO (BEZERRA, 2004)............................................... 200
A1.1 MODULAÇÃO....................................................................................... 200
A1.2 DEMODULAÇÃO ................................................................................. 203
APÊNDICE I – PROJETO DO ACOPLAMENTO .................................... 209
AP. 1.1 PROJETO DO ACOPLAMENTO .................................................. 209

LISTA DE FIGURAS
FIGURA 3.1 - SISTEMA ROTOR MANCAIS .................................................35
FIGURA 3.2 - SISTEMA ROTOR MANCAIS .................................................35
FIGURA 3.3 - MODELO FÍSICO......................................................................36
FIGURA 3.4 – REPRESENTAÇÃO DE UM DESBALANCEAMENTO
MECÂNICO........................................................................................................37
FIGURA 3.5 - (A) PRECESSÃO DIRETA (FORWARD WHIRL); (B)
PRECESSÃO RETRÓGRADA (BACKWARD WHIRL) ................................38
FIGURA 3.6 - (A) REPRESENTAÇÃO DO GIRO SÍNCRONO, (B)
REPRESENTAÇÃO DO GIRO ASSÍNCRONO...............................................39
FIGURA 3.7 - AMPLITUDE DO GIRO SÍNCRONO ......................................39
FIGURA 3.8 - FASE DO GIRO SÍNCRONO....................................................40
FIGURA 3.9 – ROTOR DE LAVAL. ................................................................41
FIGURA 3.10 – DIAGRAMAS DE CAMPBELL DE MÁQUINAS
ROTATIVAS COM MANCAIS ISOTRÓPICOS E ANISOTRÓPICOS. ........45
FIGURA 3.11 – MODELOS COM MASSA PONTUAL (A) E DISCO
CENTRALIZADO (B)........................................................................................45
FIGURA 3.12 – EXEMPLOS DO EFEITO GIROSCÓPICO ATUANDO NOS
SISTEMAS..........................................................................................................45
FIGURA 3.13 – SISTEMAS DE COORDENADAS DE REFERÊNCIA PARA
UM DISCO ACOPLADO A UM EIXO FLEXÍVEL. .......................................48
FIGURA 3.14: MOMENTOS DE INÉRCIA DE MASSA DO DISCO NO
SISTEMA DE REFERÊNCIA............................................................................49
FIG. 3.15 – CAMPO DE DESLOCAMENTO EM UM PONTO QUALQUER
DE UM EIXO FLEXÍVEL. ................................................................................51
FIG. (3.16) GRÁFICO DA DENSIDADE TEÓRICA X DENSIDADE
MENSURÁVEL..................................................................................................67
FIG. (3.17) AMOSTRAGEM DO SINAL..........................................................71
FIG. 3.18 JANELA HANNING..........................................................................77
FIG. 3.19 FUNÇÕES JANELAS MAIS UTILIZADAS NA ESTIMAÇÃO DA
DENSIDADE DE POTÊNCIA ESPECTRAL VIA FFT. ..................................77
FIG. 3.20 LEAKAGE DAS FUNÇÕES JANELAS...........................................78
FIG. 3.21 GRÁFICO NÍVEL GLOBAL ............................................................80
FIG. 3.22 GRÁFICO DO FATOR DE CRISTA ................................................81
FIG. 3.23 FATOR K ...........................................................................................81
FIG. 3.24 FREQUÊNCIAS CARACTERÍSTICAS DA MÁQUINA................83

FIG. 3.25 DISCRETIZAÇÃO DE UM SINAL.................................................87
FIG. 3.26 – FENÔMENO DE ALIASING A)SINAL COM > 2 ;
B)SINAL COM ..................................................................................87
FIG. 3.27 SINAL COM NÚMERO INTEIRO DE CICLOS .............................89
FIG. 3.28 SINAL SEM NÚMERO INTEIRO DE CICLOS ..............................89
FIG. 3.29 SINAL MULTIPLICADO PELA FUNÇÃO JANELA.....................90
FIG. 3.30 DEFEITO EM ROLAMENTO ..........................................................91
.............................................................................................................................91
FIG. 3.31 ESPECTRO DE CHOQUE ................................................................91
FIG. 3.32 PROCEDIMENTOS DA TÉCNICA DE ENVELOPE .....................92
FIG. 3.33 ONDAS DE IMPACTO .....................................................................93
FIG. 3.34 PROCESSO NORMAL......................................................................94
FIG. 3.35 PROCESSO PEAKVUE ....................................................................94
FIG. 3.36 GRÁFICO CEPSTRAL......................................................................96
FIG. 3.37 SISTEMA MECÂNICO DE VIBRAÇÃO ........................................97
FIG. 3.38 MOVIMENTO HARMÔNICO..........................................................98
FIG. 3.39 MOVIMENTO HARMÔNICO..........................................................99
FIG. 3.40 FREQUÊNCIA ANGULAR ............................................................100
FIG. 3.41 RELAÇÃO ENTRE DESLOCAMENTO, VELOCIDADE E
ACELERAÇÃO DE UM MOVIMENTO HARMÔNICO. .............................101
FIG. 3.42 DESBALANCEAMENTO MECÂNICO ROTATIVO...................101
FIG. 3.43 PÊNDULO SIMPLES ......................................................................103
FIG. 3.44 A)SISTEMA COM 1 GRAU DE LIBERDADE B)DOIS GRAUS DE
LIBERDADE C) TRÊS GRAUS DE LIBERDADE.......................................104
FIG. 3.45 PRINCIPIO DA SUPERPOSIÇÃO .................................................106
FIG. 3.46 PROCEDIMENTO NÃO LINEAR..................................................107
FIG. 3.47 EXCITAÇÃO DETERMINÍSTICA.................................................107
FIG. 3.48 EXCITAÇÃO ALEATÓRIA ...........................................................108
FIG. 3.49 CENTRO DE MASSA ≠ CENTRO DE ROTAÇÃO......................109
FIG. 3.50 EFEITO DA FORÇA CENTRÍFUGA NO ROTOR .......................110
FIG. 3.51 DESBALANCEAMENTO ESTÁTICO ..........................................111
FIG. 3.52 A) DESBALANCEAMENTO BINÁRIO B)
DESBALANCEAMENTO BINÁRIO CAUSADO POR COMPONENTES
EXTERNOS......................................................................................................112
FIG. 3.53 A) DESBALANCEAMENTO QUASE-ESTÁTICO, B)
DESBALANCEAMENTO QUASE ESTÁTICO DEVIDO A COMBINAÇÃO

DO ESTÁTICO COM BINÁRIO, C) DESBALANCEAMENTO QUASE-
ESTÁTICO CAUSADO POR UM COMPONENTE EXTERNO...................113
FIG. 3.54 A) DESBALANCEAMENTO DINÂMICO, B)
DESBALANCEAMENTO DINÂMICO A PARTIR DA COMBINAÇÃO DO
DESBALANCEAMENTO BINÁRIO COM O DESBALANCEAMENTO
ESTÁTICO........................................................................................................114
FIG. 3.55 SINAL DE VIBRAÇÃO DEVIDO AO DESBALANCEAMENTO
MEDIDO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E DO TEMPO.......................115
FIG. 3.56 DESALINHAMENTO ANGULAR PURO.....................................116
FIG. 3.57 DESALINHAMENTO PARALELO (OFFSET) PURO .................117
FIG. 3.58 DESALINHAMENTO MISTO OU COMBINADO.......................118
FIG. 3.59 SINAIS DEVIDO AO DESALINHAMENTO MEDIDOS NO
DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E DO TEMPO...............................................119
FIG. 3.60 CONSTITUIÇÃO DE UM ROLAMENTO.....................................121
FIG. 3.61 DEFEITO POR DESGASTE NORMAL, DEFEITO POR SOBRE
CARGA.............................................................................................................121
FIG. 3.62 DEFEITOS CAUSADOS PELAS CONDIÇÕES DE OPERAÇÃO
...........................................................................................................................122
FIG. 3.63 ROLAMENTO COM PRESENÇA DE CORROSÃO ....................123
FIG. 3.64 DEFEITO OCASIONADO POR FALHA DE LUBRIFICAÇÃO..123
FIG. 3.65 ROLAMENTO DE FORMA ESQUEMÁTICA..............................125
FIG. 3.66 ESPECTRO DE DEFEITO DE PISTA INTERNA NO INÍCIO.....126
FIG. 3.67 EVOLUÇÃO DO DEFEITO BPFI ..................................................126
FIG. 3.68 ESPECTRO COM A PRESENÇA DA FUNDAMENTAL BPFI...127
FIG. 3.69 ESPECTRO BPFI (DEGRADAÇÃO ELEVADA) .........................127
FIGURA 4.1: PROGRAMAÇÃO EM LINGUAGEM GRÁFICA..................128
FIG. 4.2 PAINEL FRONTAL, DIAGRAMA DE BLOCOS E
ÍCONE/CONECTOR........................................................................................130
FIG. 4.3 ABA DE AQUISIÇÃO E VISUALIZAÇÃO DO PROGRAMA NO
PAINEL FRONTAL. ........................................................................................131
FIG. 4.4 ABA DE CONFIGURAÇÃO DO PROGRAMA NO PAINEL
FRONTAL.........................................................................................................132
FIG. 4.5 ABA DE ROLAMENTO DO PAINEL FRONTAL..........................133
FIG. 4.6 ABA DE AQUISIÇÃO E VISUALIZAÇÃO DO PROGRAMA NO
DIAGRAMA DE BLOCOS..............................................................................134
FIG. 4.7 GRANDEZAS A SEREM UTILIZADAS (ACELERAÇÃO,
VELOCIDADE E DESLOCAMENTO) ..........................................................134

FIG. 4.8 VALORES ESTATÍSTICOS .............................................................135
FIG. 4.9 SINAL NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA......................................135
FIGURA 4.10 CODIFICAÇÃO DAS FREQUÊNCIAS ESPECÍFICAS DE
DEFEITOS EM ROLAMENTOS.....................................................................136
FIG. 4.11 TÉCNICA DO ENVELOPE.............................................................137
FIG. 4.12 DIAGRAMA DE BLOCOS DO MÓDULO CEPSTRO.................137
FIG. 4.13 DIAGRAMA DE BLOCOS QUE EXECUTA O NÍVEL GLOBAL
...........................................................................................................................138
FIG. 4.14 DIAGRAMA DE BLOCOS QUE EXECUTA O FATOR DE
CRISTA.............................................................................................................139
FIG. 4.15 DIAGRAMA DE BLOCOS QUE EXECUTA A CURTOSE.........139
FIG.5.1 BANCADA ROTODINÂMICA .........................................................143
FIG. 5.2 – CARACTERÍSTICAS DA BANCADA ROTODINÂMICA.........144
FIG. 5.3 – SISTEMA DE ACIONAMENTO...................................................144
FIGURA 5.4 – MANCAIS DE ROLAMENTOS.............................................145
FIGURA 5.5B – DIAGRAMA DE BLOCOS..................................................146
FIGURA 5.5A INVERSOR DE FREQUÊNCIA .............................................146
FIGURA 5.6 SISTEMA COMPUTACIONAL................................................146
FIGURA 5.7 CADEIA DE MEDIÇÃO............................................................147
FIG. 5.8 – ACELERÔMETRO PIEZOELÉTRICO.........................................148
FIG. 5.9 – PLACA DE AQUISIÇÃO DE SINAIS ..........................................148
FIG. 5.10 – CONDICIONADOR DE SINAIS .................................................149
FIG. 5.11 IDENTIFICAÇÃO DOS PONTOS DE MEDIÇÃO........................149
FIG. 5.12 A) DESALINHAMENTO NO INÍCIO B)DESALINHAMENTO
EVOLUÍDO ......................................................................................................152
FIGURA 5.13 A) DEFEITO DE DESBALANCEAMENTO NO INÍCIO B)
DEFEITO DE DESBALANCEAMENTO EVOLUÍDO. ................................153
...........................................................................................................................153
FIG. 5.14 PITS NA PISTA EXTERNA DEVIDO PARTÍCULAS ABRASIVAS
(AREIA)............................................................................................................158
FIG. 5.15 CADEIA DE MEDIÇÃO PARA ANÁLISE MODAL
EXPERIMENTAL ............................................................................................160
FIG. 5.16 FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQUÊNCIA DO SISTEMA ..........160

FIG. 5.20 FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQUÊNCIA DO SISTEMA E
FUNÇÃO DE COERÊNCIA ............................................................................162
FIG. 6.1 PONTOS DE MEDIÇÃO DA ANÁLISE MODAL.........................165
FIG. 6.2 (A),(B) FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQUÊNCIA DO SISTEMA
COM MOTOR ACOPLADO NO EIXO Y E Z, RESPECTIVAMENTE.......165
FIG. 6.3 (A),(B) FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQUÊNCIA DO SISTEMA
COM MOTOR DESACOPLADO NO EIXO VERTICAL E TRANSVERSAL,
RESPECTIVAMENTE.....................................................................................166
FIG. 6.4 (A),(B) . COMPARAÇÃO ENTRE FREQUÊNCIAS NATURAIS
PARA MEDIÇÃO NO EIXO Y E Z, RESPECTIVAMENTE........................167
FIG. 6.5 (A),(B) COMPARAÇÃO ENTRE FREQUÊNCIAS NATURAIS
PARA MEDIÇÃO COM MOTOR ACOPLADO E DESACOPLADO,
RESPECTIVAMENTE.....................................................................................167
FIG. 6.6 FORMAS MODAIS DO SISTEMA ACOPLADO COM MOTOR
ANALISADO NA DIREÇÃO VERTICAL (ESQUERDA) E DIREÇÃO
TRANSVERSAL (DIREITA). .........................................................................168
FIG. 6.7 FORMAS MODAIS DO SISTEMA DESACOPLADO DO MOTOR
ANALISADO NA DIREÇÃO VERTICAL (ESQUERDA) E DIREÇÃO
TRANSVERSAL (DIREITA). .........................................................................169
FIG. 6.8 MODELO VIRTUAL DA BANCADA COM EIXO DESACOPLADO
DO MOTOR......................................................................................................170
FIG. 6.9 MALHA UTILIZADA PARA A ANÁLISE ROTOR DINÂMICA
COM ELEMENTO SOLIDO ...........................................................................171
FIG. 6.10 COMPARAÇÃO ENTRE AS FREQUÊNCIAS NATURAIS DO
MODELO NUMÉRICO E EXPERIMENTAL PARA A DIREÇÃO
VERTICAL E TRANSVERSAL, RESPECTIVAMENTE..............................173
FIG. 6.11 ERRO RELATIVO ENTRE OS RESULTADOS EXPERIMENTAIS
E NUMÉRICOS PARA A DIREÇÃO VERTICAL E TRANSVERSAL. ......173
FIG. 6.12 COMPARAÇÃO ENTRE AS FORMAS MODAIS NUMÉRICAS E
EXPERIMENTAIS. ..........................................................................................174

FIG. 6.13 DIAGRAMA DE CAMPBELL OBTIDO PARA O SISTEMA DA
BANCADA. ......................................................................................................175
FIG. 7.1 – ESPECTRO EM ACELERAÇÃO DO SINAL DE 60 HZ.............177
FIG. 7.2 – ESPECTRO EM VELOCIDADE COM PÉ MANCO....................177
FIG. 7.3 SINAL SENOIDAL DA CORRENTE...............................................178
FIG. 7.4 GRÁFICO DO SINAL EM FUNÇÃO DO TEMPO ....................178
FIG. 7.5 A) PÉ CURTO; B) BASE EMPENADA ..........................................180
FIG. 7.6 A) POSIÇÃO DO RELÓGIO COMPARADOR NA BASE, B)
ILUSTRAÇÃO DA POSIÇÃO DO RELÓGIO NA BASE.............................180
FIG. 7.7 ESPECTRO EM ACELERAÇÃO APÓS A CORREÇÃO ...............181
FIG. 7.8 A) BASE DO MOTOR E CÁLIBRE, B) BASE EMPENADA. .......182
FIG. 7.9 LÂMINAS UTILIZADAS NA DETERMINAÇÃO DA FOLGA
ENTRE A BASE E A SUPERFÍCIE PLANA..................................................182
FIGURA 7.10 BASE MONTADA. ..................................................................183
FIG. 7.11 ESPECTRO DE ASSINATURA – EIXO RADIAL........................183
FIG. 7.12 ESPECTRO DE ASSINATURA – EIXO AXIAL ..........................184
FIG. 6.13 ESPECTRO DE DESBALANCEAMENTO - RADIAL.................185
FIG. 6.14 ESPECTRO DE DESBALANCEAMENTO - AXIAL ...................185
FIG. 6.19 ESPECTRO DESALINHAMENTO PARALELO – EIXO RADIAL
...........................................................................................................................188
FIG. 6.20 ESPECTRO DESALINHAMENTO PARALELO – EIXO AXIAL189
FIG. 6.21 A)VISTA FRONTAL DOS EIXOS DESALINHADOS NO
SENTIDO HORIZONTAL B)VISTA FRONTAL DOS EIXOS
DESALINHADOS NO SENTIDO VERTICAL..............................................190
FIG. 6.22 ESPECTRO DE DESALINHAMENTO ANGULAR – EIXO AXIAL
...........................................................................................................................190
FIG. 6.23 FFT DO ROLAMENTO 1204 K......................................................192
FIG. 6.24 FFT DO ENVELOPE DO ROLAMENTO 1204 K.........................193
FIG. 6.25 FFT DO ENVELOPE DO ROLAMENTO 1204 K.........................193
FIG. AP. 1 – ACOPLAMENTO EIXO MOTOR.............................................209
FIG. AP. 2 – ACOPLAMENTO EIXO ROTOR..............................................210
FIG. AP. 3 – ACOPLAMENTO MONTADO NOS EIXOS............................210
FIG. AP. 4 – CONJUNTO ACOPLAMENTO MONTADO ...........................211

LISTA DE TABELAS
TAB. 3.1: DISTRIBUIÇÃO DE CARGA INTEGRAL .............................58
TAB. 3.2 – SIMETRIAS ENTRE OS DOMÍNIOS TEMPO E
FREQUÊNCIA...................................................................................................68
TAB. 3.3 TOLERÂNCIAS DE ALINHAMENTOS EM FUNÇÃO DA
ROTAÇÃO.......................................................................................................119
TAB. 4.1 MEDIÇÃO DE VIBRAÇÃO DO EXCITADOR.............................142
TABELA 5.1 – DESCRIÇÃO DOS PONTOS DE MEDIÇÃO.......................150
TABELA 5.2 – GRAUS DE QUALIDADE DE BALANCEAMENTO DE
ROTORES SEGUNDO A ISO 1940/1.............................................................155
TABELA 5.3 – DESBALANCEAMENTO RESIDUAL ADMISSÍVEL DE
ROTORES SEGUNDO A ISO 1940/1.............................................................156
TABELA 6.1 FREQUÊNCIAS NATURAIS DO SISTEMA ACOPLADO E
DESACOPLADO ANALISANDO EIXO VERTICAL. .................................166
TABELA 6.2 FREQUÊNCIAS NATURAIS DO SISTEMA ACOPLADO E
DESACOPLADO ANALISANDO EIXO TRANSVERSAL. ........................167
TABELA 6.3. FREQUÊNCIAS NATURAIS DO SISTEMA DESACOPLADO
ANALISADO NUMERICAMENTE. ..............................................................172
TABELA 6.4 FREQUÊNCIAS NATURAIS DO SISTEMA DESACOPLADO
OBTIDAS COM O DIAGRAMA DE CAMPBELL. ......................................176
TABELA 7.1 TABELA DAS LEITURAS DO RELÓGIO
COMPARADOR...............................................................................................181
TABELA 7.2 – MAGNITUDE DOS SINAIS .................................................184
TABELA 6.3 – VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS DE ACORDO COM A
VARIAÇÃO DA MASSA ...............................................................................187
TABELA 6.4 MAGNITUDE DO SINAL EM (MM/S) ..................................189
TABELA 6.5 RELAÇÃO FREQUÊNCIA DE DEFEITO COM O
COMPONENTE DEFEITUOSO PARA ROLAMENTO 1204 K ..................191

23
1 INTRODUÇÃO
1.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS
As indústrias em geral estão cada vez mais investindo em tecnologia para garantir
maior produtividade e melhor qualidade do produto final a baixo custo, e seguramente a maior
concentração de recursos estão nos investimentos em programas e metodologias que possam
garantir aos seus equipamentos maior confiabilidade e eficiência.
Confiabilidade dos equipamentos significa maior controle sobre os defeitos dos
componentes mecânicos desses equipamentos que podem evoluir para falha (quebra), para
isso existem planos de manutenção onde um planejamento anual de paradas é estabelecido
baseado em informações sobre os equipamentos, tais como: modo de falha, período entre
falhas, período entre reparos e diagnósticos de defeitos emitidos pela equipe de preditiva. Essa
metodologia de manutenção (preditiva) consiste em monitorar os equipamentos baseado nas
condições, ou seja, acompanhar as variações do estado das máquinas durante sua campanha,
período que compreende da partida até a parada da máquina.
As máquinas rotativas estão presentes em todas as plantas industriais, pois
representam uma gama de equipamentos importantíssimos para os processos produtivos,
existem vários tipos de equipamentos rotativos, por exemplo: bombas centrífugas, caixas de
engrenagens, transportadores de correias, compressores, sopradores, acionamentos de
máquina de grande porte, turbinas, turbocompressores etc. As máquinas rotativas também
denominadas de rotores, quando em funcionamento, devido a grande velocidade a que são
submetidas seus eixos e ainda, a carga de operação e a carga devido à inércia de seus
componentes tudo isso somado aos problemas de vibração justificam a grande capacidade dos
rotores de produzir energia. Os principais fatores que contribuem para os problemas de
vibração são: falha de montagem (desalinhamento, folgas, pré-carga etc.), desgaste natural
(rolamento, desbalanceamento, folgas, engrenamento etc.) e falha de operação (equipamento
operando acima da nominal).
A manutenção baseada na condição trabalha com aquisição dos sinais emitidos pela
máquina durante seu funcionamento que indicam seu estado operacional, estes sinais são
formados por diversas componentes e a identificação da origem destas fornece elementos para

24
elaboração de um diagnóstico confiável e consequentemente contribui para a criação de um
plano de manutenção que atenda as expectativas de produção.
Visando aumentar a confiabilidade do equipamento através da manutenção baseada na
condição este trabalho de dissertação de mestrado irá conceber e construir uma bancada
rotodinâmica que possa reproduzir as respostas dinâmicas de uma máquina rotativa que
possibilitará a medição de vibração e a utilização de técnicas de análise de sinais para
identificação de defeitos e possibilitará ainda fazer uma comparação entre essas técnicas para
identificar qual técnica será melhor para determinação de cada defeito.
1.2 JUSTIFICATIVA
A existência de um componente rotativo apoiado em mancais e transmitindo potência
cria uma família de problemas que são encontrados nas mais diversas máquinas e, em
especial, nas máquinas de grande porte como os hidro geradores de uma usina hidroelétrica,
sendo que todas são estudadas a partir do mesmo formalismo teórico e avaliadas
experimentalmente por técnicas de medição semelhantes.
Esses equipamentos são, em muitos casos, essenciais dentro do processo de produção
e, somente por este motivo, já mereciam especial atenção de fabricantes, técnicos e
pesquisadores a respeito do seu bom funcionamento e, consequentemente, sua disponibilidade
uma vez que sua parada imprevista poderia acarretar imensas perdas financeiras. Por outro
lado, muitas vezes são equipamentos marcados por uma vida bastante longa, como é o caso
dos hidro geradores utilizados para geração de energia, onde suas propriedades dinâmicas
mudam com o tempo, devendo ter suas características identificadas através de medições e
avaliadas por um perito.
Atualmente, existem dois métodos principais para detecção de defeitos em sistemas
dinâmicos: método todo baseado em modelo matemático e método baseado em conhecimento.
O método baseado em modelos matemáticos, os quais descrevem o comportamento dos
sistemas mecânicos, tem sido aperfeiçoado constantemente e constitui, por si só, uma grande
linha de pesquisa. Estes modelos são importantes para um melhor conhecimento do sistema,
fornecendo dados qualitativos e quantitativos a respeito do seu comportamento dinâmico. Por

25
outro lado, o método baseado em conhecimento pressupõe que a máquina em funcionamento
emite numerosos sinais que indicam o seu “estado de funcionamento”, onde o problema
consiste em estabelecer um diagnóstico correto e confiável a partir destes sinais. Estes sinais
são formados por diversas componentes, com frequências e amplitudes diferentes, e a
determinação da origem destas, possibilita a elaboração de um diagnóstico adequado,
contribuindo para a implantação de um programa satisfatório de manutenção.
Frente o exposto acima, este trabalho de dissertação de mestrado irá conceber e
construir uma bancada de máquina rotativa, a qual será instrumentada para possibilitar a
medição de vibração e a utilização de técnicas de análises de sinais, as quais serão
comparadas entre si e, portanto, permitindo identificar aquela que melhor se ajuste à
identificação de certo tipo de defeito.
1.3 OBJETIVOS
1.3.1 Objetivo Geral
Conceber, projetar e construir uma bancada de máquina rotativa para viabilizar a
identificação de defeitos pelas técnicas de análises de sinais de vibração, bem como elaborar
modelo numérico pelo método de elementos finitos, integrando os métodos de identificação
de defeito baseado em modelo e em conhecimento.
1.3.2 Objetivos Específicos
 Criar um modelo numérico via método de elementos finitos, que reflita o
comportamento dinâmico da bancada a ser concebida, projetada e construída;
 Desenvolver um aplicativo em LABVIEW para aquisição e análise de sinais de
vibração oriundos da bancada a ser concebida, projetada e construída;

26
 Simular, através do método numérico, certas condições de funcionamento da
bancada e verificar as consequências, de modo a caracterizar ou não como defeito,
dependendo do que for analisado;
 Fazer análise comparativa de resultados de técnicas de análises de sinais distintas
para discernir sobre a que melhor se adapta à identificação de um tipo de defeito;
 Integrar os sistemas, de modelagem e de diagnóstico, de modo que os dados
gerados por ambos possam ser usados como elemento de comparação, permitindo
a calibração dos dois sistemas.
1.4 METODOLOGIA DO TRABALHO
Primeiramente foi feito o levantamento bibliográfico sobre os trabalhos que foram
desenvolvidos nas áreas de análises de sinais e rotodinâmica com proposta de estudar as
respostas dinâmicas dos sistemas rotodinâmicos a excitação externa, dando ênfase ao estudo
das técnicas de análises de sinais. Além disso, estudos que correlacionam determinada técnica
a um defeito no que tange a eficácia da análise. Como complemento descreveu-se a teoria que
fundamenta o desenvolvimento do trabalho e a compreensão dos resultados.
Dando prosseguimento ao desenvolvimento do trabalho, foi desenvolvido um sistema
de aquisição e análise de sinais de vibração, contendo este sistema as técnicas de análises de
sinais aqui estudas.
Para validação desse sistema foi concebida uma bancada rotodinâmica experimental
de testes, na qual foram inseridos os defeitos mais comuns de máquinas rotativas tais como
desalinhamento, desbalanceamento de rotor e defeitos de rolamentos.
Em seguida, foram realizadas medições dos sinais de vibração, para o equipamento em
condição normal e com defeito.
Finalmente as análises dos resultados obtidos, fazendo considerações sobre análise dos
sinais de vibração em reposta as situações imposta ao sistema.

27
1.5 ESTRUTURA DO TRABALHO
Capítulo 1 – Nesta seção objetiva-se mostrar a importância deste trabalho. Neste capítulo
comenta-se resumidamente sobre a importância dos estudos das técnicas de análises de sinais
aplicadas a defeitos de máquinas rotativas correlacionando técnica de análise e defeito na
busca de um diagnóstico confiável. Esta seção destina-se ainda mostrar a importância dos
equipamentos rotativos para o processo produtivo de qualquer indústria. Ainda neste capítulo
definem-se os objetivos, a justificativa e a metodologia do trabalho.
Capítulo 2 – Nesta seção foi feito uma revisão das bibliografias sobre o assunto a ser
estudado. Durante a revisão foram analisados diversos trabalhos sobre dinâmica de rotores e
sua resposta à excitação, defeitos de máquinas rotativas e análises de sinais de vibração.
Deve-se acrescentar a estes, trabalhos que desenvolveram sistemas de aquisição e análise de
sinais na plataforma LabView.
Capítulo 3 – Nesta seção apresentam-se os fundamentos teóricos necessários para o
entendimento e aplicação da metodologia para detecção de feitos em máquinas rotativas por
análise de vibração fazendo uso das técnicas de análises de sinais que melhor representam
determinados defeitos.
Capítulo 4 – Neste capítulo descrevem-se o aplicativo de aquisição e análise de sinais na
plataforma LabView que é composto de duas partes principais o painel frontal, interface, e o
diagrama de blocos. Este sistema permite aquisitar e visualizar o sinal de vibração.
Capítulo 5 – Neste capítulo apresenta-se a bancada experimental e o sistema de medição, ou
seja, a cadeia de medição composta de inversor de frequências, micro computador,
instrumentos de aquisição de sinais de vibração e a bancada rotodinâmica. Além disso,
apresenta-se a calibração do sistema de medição e a identificação das características do
sistema como frequências naturais e modo de vibrar. E ainda neste capítulo são apresentadas
as análises das medições através das técnicas implementadas ao sistema, para detecção das
frequências de defeitos. Foram realizados ensaios para condições normais de funcionamento e
para defeitos de desbalanceamento, desalinhamento e de rolamentos.
Capítulo 6 – Este capítulo destina-se as considerações finais e sugestões para trabalhos
futuros.

28
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 INTRODUÇÃO
Com a globalização e o aumento da competitividade do mercado as indústrias buscam
cada vez mais aprimorar seus processos a fim de aumentar sua produtividade sem
comprometer a qualidade do produto final, por isso percebe-se maior investimento em
metodologias de manutenção que trazem em suas filosofias uma nova forma de pensar a
manutenção. A manutenção corretiva, por exemplo, que faz parte da primeira geração da
manutenção, tem como filosofia, “quebrou conserta” por esse motivo já é um modelo
ultrapassado que eleva os custos de produção. Métodos mais modernos como a Preditiva,
confiabilidade, filosofia TPM trazem propostas que vem garantir esse aumento de
produtividade, maior qualidade e consequentemente maior lucratividade. Essas propostas vêm
em forma de programas como: “Quebra zero”, “Da minha máquina cuido eu (operador
mantenedor)”, Manutenção baseado nas condições, Identificação dos modos de falha e outros.
Estas metodologias são aplicadas visando o monitoramento dos equipamentos críticos a fim
de garantir o processo produtivo, sendo que essas novas propostas apoiam-se em um grande
aparato tecnológico envolvendo também uma grande concentração de esforços em pesquisas e
estudos sobre as técnicas de monitoramento e comportamento dinâmico das máquinas
rotativas. Desta forma neste capítulo faz-se uma apresentação resumida de alguns trabalhos
sobre dinâmica de rotores, defeitos em máquinas rotativas, técnicas de análises de sinais e
finalmente apresentação dos trabalhos sobre instrumentação e LabView.
2.2 REVISÃO SOBRE DINÂMICA DE ROTORES
As respostas dinâmicas de uma máquina rotativa consistem em definir características,
tais como: frequências, modo de vibrar e respostas a diferentes excitações.
A compreensão destas características permite alterar parâmetros de projetos como
dimensões e matérias e com isso obter as características desejadas no comportamento da
estrutura.

29
A formulação de um modelo matemático que possa representar um sistema real
implica em conhecer os parâmetros de projetos como dimensões e dados dos materiais e
também a utilização de hipóteses simplificadoras que viabilizam o modelo numérico sem
descaracterizar seu comportamento. Por isso, se faz sempre necessário a validação do modelo
teórico com o modelo experimental.
STEFFEN Jr. (1981), BERTHIER FERRARIS (1983) apresentam em suas literaturas
estudos sobre como obter a equação de movimento de rotores, pelos métodos de elementos
finitos e matrizes de transferências.
OLIVEIRA, A. G. (1999) em sua tese de doutorado apresenta estudo sobre os
elementos que compõe uma bancada rotodinâmica: elemento disco, elemento árvore e mancal.
Para realização deste trabalho foi concebido uma bancada rotodinâmica composta pelos
elementos acima citados com finalidade de estudar e caracterizar forças de excitações
aplicadas em máquinas rotativas, utilizando redes neurais a partir do sinal de vibração medido
no equipamento.
JOSÉ CARLOS (2003) desenvolveu um estudo onde se demonstra o giro (Whirl)
síncrono e o giro não síncrono, uma análise do modelo Jeffcott rotor e ainda um estudo sobre
instabilidade em rotores.
MESQUITA, A. L. A (2004) em sua tese de doutorado descreve o movimento de
precessão, também conhecido como movimento secundário ou “whirlling”. O autor define
este movimento como sendo a rotação da linha de centro do eixo rotativo em relação a linha
que une os mancais. Este fenômeno deve-se, principalmente ao desbalanceamento de massa,
contudo, outros fatores contribuem para este efeito, tais como: movimento histerético no eixo,
forças giroscópicas, etc. (Thonson & Dahleh, 1998).
2.3 REVISÃO SOBRE DEFEITOS EM MÁQUINAS ROTATIVAS
Os defeitos em máquinas rotativas podem ser definidos como uma resposta da
estrutura a excitação externa e tem sua origem na montagem do equipamento, no desgaste
natural, no regime de trabalho do equipamento e erro de projetos. Os defeitos mais comuns

30
encontrados nos equipamentos rotativos são desbalanceamento, desalinhamento e defeitos em
rolamentos.
RIBAS, F. A. C. (1985) descrevem os procedimentos de balanceamento de rotores
com a utilização de ferramentas como uma calculadora programável e um computador
pessoal. Ele aborda a utilização de programas para auxílio em cálculos que auxiliam as
técnicas de balanceamento rotativo. Segundo o autor com a utilização dessas ferramentas é
possível diminuir consideravelmente os efeitos vibratórios nos equipamentos rotativos de
maneira mais refinada, devido a facilidade que essas ferramentas proporcionam é possível
também utiliza-las em balanceamento em dois planos.
Os métodos seguidores de ordem ou “Order Tracking”. Idehara (2003) realiza estudo
sobre as ferramentas que compõe esse método e são utilizadas para análise de sinais de
vibração e ruídos provenientes de máquinas rotativas operando em condições estacionárias ou
não.
BEZERRA, R. A. (2004) fez um estudo comparativo entre diversas técnicas de detecção de
falhas em rolamentos por análise de vibração. Inicialmente, as técnicas foram aplicadas a
modelos matemáticos de falhas nas pistas interna, externa e nas esferas dos rolamentos;
sendo, em seguida, feito um estudo comparativo entre as técnicas. As técnicas foram
aplicadas também a rolamentos com falhas induzidas nas pistas e esfera com diferentes
tamanhos de falhas e submetidos a diferentes velocidades, para uma melhor compreensão das
técnicas.
PACHOLOCK, M. (2004) em sua dissertação mostra o desalinhamento de eixos como
um dos defeitos mais comuns em máquinas rotativas. Além disso, apresenta a análise de
vibração como uma das técnicas mais utilizadas pela manutenção preditiva.
BENEVENUTI, ÉRION DE LIMA (2004) Em seu estudo objetiva estabelecer uma
estratégia de monitoramento e diagnóstico de vibração para as bombas do circuito primário do
reator IEA-R1. Em seu trabalho selecionou quatro tipos de problemas mecânicos relevantes –
desbalanceamento, desalinhamento, folga e problemas de rolamentos. E procurou adequar
algumas ferramentas de monitoramento, tais como: medidas globais de vibração, espectro da
velocidade e espectro do envelope da aceleração.
SOUZA, W. S. (2005) Apresenta um sistema aplicativo em labview para
monitoramento em máquinas rotativas com um módulo de balanceamento de rotores em até

31
quatro planos com a proposta de substituir os métodos tradicionais de análises,
monitoramento e diagnóstico de máquinas que apresentem defeitos por desbalanceamento
rotativo. A metodologia aplicada é baseada em conhecimento de programação em linguagem
“G” e instrumentação virtual.
2.4 REVISÃO SOBRE TÉCNICAS DE ANÁLISE DE SINAIS
As máquinas rotativas, quando em funcionamento, apresentam características de
vibração derivadas da sua frequência de rotação, com influência do tempo de operação que
proporcionam desgaste natural dos componentes mecânicos, da sobre carga no regime de
trabalho e um possível erro de montagem do equipamento, essas características apresentam
mudanças geralmente significativas. Quando o equipamento é importante para o processo
produtivo faz-se um acompanhamento do comportamento dinâmico da máquina que se traduz
em monitoramento da condição que visa predizer defeitos que posteriormente evoluem para
falha (quebra). Os métodos de acompanhamento, ou seja, as técnicas de monitoramento
utilizadas são de grande complexidade.
MESQUITA et al. (2002) desenvolveram um trabalho no qual detecta-se falhas em
rolamentos usando-se uma técnica de transformada tempo- frequência comparando com a
técnica de envelope.
ANTONIOLI, E. B. (1999) em seu estudo realizou uma análise comparativa entre as
técnicas de medição e análise de sinais de vibração, aplicadas na manutenção preditiva, são
elas: fator de crista, análise espectral e envelope. Para realização deste trabalho, simulou
defeitos em rolamentos em uma bancada de testes.
BEZERRA, R. A. (2004) desenvolveu um estudo para detectar defeitos em rolamentos
por análise de vibração, através da aplicação de diversas técnicas, tanto no domínio do tempo
(Média Absoluta, Nível Global RMS, Fator de Crista e Curtose) quanto no domínio da
frequência (Densidade Espectral de Potência, Envelope e Cepstrum). As técnicas foram
aplicadas a rolamentos com falhas induzidas nas pistas e elementos rolantes com diferentes
tamanhos de falhas e submetidos a diferentes velocidades, para uma melhor compreensão das
técnicas.

32
SANTOS (2006) utilizou a FRF como ferramenta auxiliar na técnica do envelope para
identificar defeitos em rolamentos. O trabalho foi realizado tendo por base um aplicativo
desenvolvido no software MATLAB, o qual foi validado usando um moto-esmeril.
JESUS, K. M. S (2010) Apresenta um trabalho que visa contribuir com estudo do
desenvolvimento de uma metodologia de diagnóstico de defeito para máquina hidrogeradora
número 3 da Usina Hidrelétrica de Coaracy Nunes, localizada no estado do Amapá, neste
trabalho também será utilizado análise de sinais de corrente para fornecer indicações
similares. O objetivo principal desse estudo é apresentar uma metodologia de diagnóstico de
defeito em máquinas elétricas através dos sinais de vibrações e correlação com a análise da
corrente do estator.
2.5 REVISÃO SOBRE INSTRUMENTAÇÃO E LABVIEW
O LabVIEW (Laboratory Virtual Instrument Engineering Workbench) usa uma
linguagem de programação chamada G. Essa linguagem possui diretivas como PASCAL e C,
mas que ao invés de utilizar comandos na forma de texto para gerar as linhas de código, usa
uma linguagem de programação gráfica, ou seja, o programa é feito na forma de um diagrama
de blocos. Utilizando uma estrutura de programação orientada pelo fluxo de dados e
hierárquica, o LabVIEW torna simples a implementação de sistemas complexos que
englobem aquisição e manipulação de dados ou ainda o controle de equipamentos através do
computador. Além disso, o LabVIEW inclui diversas bibliotecas compostas por componentes
contendo funções para aplicações específicas (algoritmos de análise estatística, processamento
e geração de sinais, etc.).
A NATIONAL INSTRUMENT (2000) apresenta em seus manuais de Labview todo
procedimento para criar os instrumentos virtuais (VI’s), estes correspondem às rotinas
desenvolvidas na linguagem de programação gráfica (Linguagem G). Estes instrumentos
virtuais podem ser programas simples para efetuar simples operações, mas podem também ser
programas mais complexos capazes de fazer aquisição e tratar sinais.
PRADO, S. G. D. (2004) trata desde o conceito até o procedimento de sistemas
especialistas. Em seu estudo aborda os principais aspectos a serem seguidos para que um

33
sistema ou programa desenvolvido em qualquer linguagem de programação possa ser
classificado como especialista.
SOUZA, W. S. (2005) desenvolveu um aplicativo em Labview para monitoramento de
máquinas rotativas com módulo de balanceamento de rotores. Em seu estudo descreveu a
teoria relativa ao desbalanceamento e seus efeitos de vibração, bem como instrumentação
virtual.
3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
3.1 INTRODUÇÃO
As respostas dinâmicas de máquinas rotativas tem sido objeto de investigação por
parte de um grande número de pesquisadores. Os objetivos que merecem destaque nesse
grande esforço são: caracterização das frequências, modo próprio de vibrar e o estudo das
respostas a diferentes excitações (defeitos).
A compreensão destas características permite ao projetista alterar determinados
parâmetros do projeto, tais como materiais e dimensões de modo a alterar seu comportamento
convenientemente proporcionando ao projeto redução de custo, durabilidade e melhora na
performance. Do ponto de vista operacional o estudo das respostas das máquinas rotativas às
diferentes excitações viabiliza o monitoramento da condição (saúde) dos equipamentos.
O conhecimento prévio de parâmetros de projeto como dimensões e dados de
materiais se faz necessário para formulação de um modelo matemático que represente de
maneira razoável um sistema real. E ainda dispor de hipóteses simplificadoras a fim de
viabilizar o modelo numérico sem prejuízo de suas características de comportamento. Deste
modo quase sempre é necessário a validação do modelo teórico com o modelo experimental.
O modelo experimental construído a partir do método de elementos finitos, que
discretiza um sistema continuo num conjunto de elementos que, individualmente, são
considerados contínuos produz bons resultados no estudo de problemas estruturais, com
aplicação em muitos programas comerciais que realizam análises estática e dinâmica de
sistemas mecânicos. Dentre os mais conhecidos destaca-se o ANSIS, que produz resultados

34
confiáveis e é uma ferramenta que permite um grande número de análise sobre o
comportamento do modelo.
3.2 FUNDAMENTOS DE DINÂMICA DE ROTORES
3.2.1 Introdução
Neste tópico será abordada a fundamentação teórica referente aos fenômenos que são
observados em um sistema rotodinâmico composto de um motor elétrico acoplado a um
sistema de eixo e dois mancais de rolamentos e um rotor rígido, esses elementos compõe a
bancada rotodinâmica que por sua vez reproduz o comportamento de uma máquina rotativa
quando em operação. Os rotores, em geral, possuem capacidade de gerar grandes quantidades
de energia mecânica, porém, para tanto, necessitam atingir altas velocidades de rotação em
seus eixos que, por consequência, geram cargas que poderão resultar em problemas de
vibração e instabilidade de rotores. Na análise do comportamento dinâmico devem-se avaliar:
as velocidades críticas e a necessidade de troca da velocidade de operação do motor de modo
a evitar essas velocidades críticas; as frequências naturais decorrentes de vibrações torcionais;
balanceamento, se necessário; e amplitudes de vibração quando em funcionamento.
3.2.2 Modelos Massa Mola
Uma forma mais simplificada para determinação da primeira velocidade crítica de
um sistema rotor/mancais é feito através da análise de um sistema massa mola:
Para um caso onde a rigidez do eixo e do rotor é muito superior à dos mancais,
conforme a Fig. 3.1 abaixo, tem-se que a rigidez equivalente é:

35
Fonte - PEREIRA (2003)
(3.1)
e a massa equivalente:
(3.2)
Para um caso onde a rigidez do rotor e dos mancais é muito superior à do eixo,
conforme a Fig. 3.2 abaixo, tem-se que a rigidez equivalente é:
Figura 3.2 - Sistema rotor mancais
(3.3)
e a massa equivalente:
(3.4)
Figura 3.1 - Sistema rotor mancais

36
Onde somente uma parcela da massa viga contribui para a massa equivalente do
sistema.
De posse disso, pode-se elaborar um sistema físico adotando modelo de parâmetros
concentrados, conforme a Fig. 3.3:
Figura 3.3 - Modelo físico
Porém, esse modelo é somente indicado para análises mais simplificadas de dinâmica
de rotores, pois admite movimento somente em uma direção, enquanto que rotores
apresentam movimentos em pelo menos duas direções, formando órbitas em diferentes
formas.
3.2.3 Desbalanceamento de Rotores
As principais fontes de vibração e causas de falhas em equipamentos rotativos na
indústria são devidas ao desbalanceamento. O desbalanceamento é geralmente causado pela
variação entre o centro de massa e o centro de giro de um sistema rotativo, causado por uma
não uniformidade da distribuição de massa (Fig. 3.4). Este desbalanceamento pode ser
desenvolvido devido às tolerâncias de montagem e devido às deflexões da linha de eixo
durante a operação da máquina (MAGNOLI, 2005).

37
Figura 3.4 – Representação de um desbalanceamento mecânico.
Fonte – PINHEIRO, 2013
3.2.4 Rotor de Laval
Quando uma máquina rotativa está submetida a excessivas vibrações, se faz
necessário analisar não somente o seu comportamento dinâmico, mas também as causas que
levam a esse acontecimento. Geralmente, essa análise é feita utilizando modelos
simplificados, representativos do fenômeno. O modelo mais simples de se estudar durante a
análise da dinâmica de rotores é o chamado Rotor De Laval. Comumente utiliza-se esse
modelo para estudar alguns fenômenos que ocorrem durante a operação dessas máquinas,
como o movimento de precessão, efeito giroscópico e limite de estabilidade, além das
velocidades críticas de rotação.
Sendo o movimento de precessão definido como a rotação da linha de centro do eixo
rotativo, em relação à linha que une os mancais, este fenômeno pode ser criado devido ao
desbalanceamento de massas, efeito giroscópico e tipo de amortecimento, entre outros. Se o
movimento de precessão ocorrer no mesmo sentido de rotação do eixo, conforme Fig. 3.5a
abaixo, a precessão é denominada direta (forward whirl). Caso o movimento de precessão
ocorra no sentido contrário ao de rotação do eixo, conforme Fig. 3.5b abaixo, a precessão é
denominada retrógrada (backward whirl). Se a velocidade de precessão for igual à do eixo de
rotação, ela é chamada de síncrona, caso contrário, assíncrona (MESQUITA, 2004).

38
(a) (b)
Fonte – PEREIRA, 2003
O giro síncrono é o movimento realizado normalmente por um rotor desbalanceado
que está sincronizado com o movimento de rotação do eixo. No entanto, o giro pode ser
assíncrono, onde o movimento do rotor desbalanceado não está sincronizado com o
movimento de rotação do eixo.
Visualizando-se um rotor a partir de uma de suas extremidades, conforme Fig. 3.6a
abaixo, onde o elemento hachurado representa a massa desbalanceadora, à taxa de variação
temporal do ângulo é a velocidade de giro e o ângulo permanece constante. Conclui-se
que a velocidade do giro é igual à velocidade de rotação do eixo , portanto, este fenômeno
é chamado de giro síncrono. Analisando-se a Fig. 3.6b, onde a taxa de variação do ângulo
̇ é a velocidade de rotação do rotor, relativa à velocidade de giro V, conclui-se que a
velocidade do rotor é a soma da taxa de variação temporal do ângulo com a taxa
variação temporal do ângulo . Neste caso, a velocidade de giro, ̇, e a velocidade do rotor,
, não são as mesmas, este fenômeno é chamado de giro assíncrono.
Figura 3.5 - (a) Precessão direta (forward whirl); (b) precessão retrógrada (backward whirl)

39
(a) (b)
Os problemas mais destrutivos encontrados em dinâmica de rotores são decorrentes
de giros assíncronos.
A Fig. 3.7 mostra como a amplitude do giro síncrono aumenta com a aproximação da
velocidade crítica e, após a passagem pela velocidade crítica, diminui e se aproxima
assintoticamente do deslocamento estático, d, do desbalanceamento nas velocidades
supercríticas (acima das velocidades críticas). Desta forma, em altas velocidades, a amplitude
em giro síncrono pode ser pequena com o balanceamento do rotor.
Figura 3.7 - Amplitude do giro síncrono
Figura 3.6 - (a) Representação do giro síncrono, (b) Representação do giro assíncrono

40
Figura 3.8 - Fase do giro síncrono
Através da análise do gráfico pode-se perceber que em velocidades próximas da
velocidade crítica, o parâmetro mais importante para a redução da amplitude é o
amortecimento. A Fig. 3.7 também fornece a definição de velocidade crítica: velocidade na
qual a resposta síncrona devido ao desbalanceamento é máxima.
A Fig. 3.8 demonstra a razão pela qual a amplitude se aproxima assintoticamente do
deslocamento estático, d, do desbalanceamento. Quando a velocidade crítica é atravessada, o
ângulo β passa por 90° e se aproxima de 180° nas velocidades supercríticas. Assim, para altas
velocidades, o centro de massa M gira internamente à órbita realizada pelo disco, e o centro
do disco C gira em torno do centro de massa M com uma amplitude igual ao deslocamento
estático d do desbalanceamento. Este fenômeno é chamado de inversão da velocidade crítica.
Observa-se que o centro de massa M se mantém externamente à órbita realizada pelo disco
nas baixas velocidades ( √ ), e o desbalanceamento está defasado de 90° do vetor
velocidade de giro V na velocidade crítica não amortecida, conforme equação abaixo:
√ (3.5)

41
3.2.5 Rotor Isotrópico
Inicialmente será considerado um modelo do rotor De Laval isotrópico, apoiado por
mancais com rigidez muito superior à do eixo, e este de seção transversal circular possuindo
massa desprezível, com um disco rígido posicionado no meio do eixo, permanecendo na
posição perpendicular durante o movimento de rotação do conjunto.
A Fig. 3.9 mostra esse modelo, negligenciando inicialmente o efeito giroscópico, em
que O é o ponto de interseção entre a linha que une os mancais e o plano de rotação, C é o
centro geométrico do disco, G o centro de massa, m a massa do disco, ε a excentricidade, p a
deflexão do eixo (amplitude de vibração) e a velocidade de rotação.
Figura 3.9 – Rotor De Laval.
Fonte - ADAPTADO DE MESQUITA, 2004
Para este modelo, consideram-se as forças atuantes como sendo a força elástica
restauradora do eixo e a força de amortecimento viscoso. O sistema é considerado como tendo
um grau de liberdade (GDL) em cada coordenada y e z, com as forças atuando no centro de
gravidade do disco, na posição yc, zc, conforme a Fig. 3.9. As equações do movimento para
cada coordenada são dadas através da equação:
̈ ̇ (3.6)
̈ ̇ (3.7)

42
As soluções das equações (3.6) e (3.7), em regime permanente, são apresentadas,
respectivamente, através das equações:
√
( ( )) (3.8)
√
( ( )) (3.9)
em que:
é a razão entre frequências;
√ é a frequência natural do sistema em ambas as direções;
é o fator de amortecimento.
Nas condições acima, observa-se que, como as amplitudes são iguais, o movimento
do ponto C (movimento de precessão) é uma órbita circular em O, em torno da linha que une
os mancais.
3.2.6 Rotor Anisotrópico
Em alguns casos, as máquinas rotativas são apoiadas por mancais flexíveis e de
rigidezes diferentes nas direções perpendiculares e . Neste caso, a rigidez equivalente é
determinada através da associação, em série, da rigidez do eixo e a rigidez resultante da
associação, em paralelo, das rigidezes de cada mancal na direção em questão:
(3.10)
(3.11)

43
O amortecimento equivalente é obtido da mesma forma:
(3.12)
(3.13)
Onde as equações do movimento neste caso são:
̈ ̇ (3.14)
̈ ̇ (3.15)
Apesar de o sistema continuar apresentando apenas um grau de liberdade em cada
direção, as frequências naturais passam a ser:
√ (3.16)
√ (3.17)
3.2.7 Diagrama de Campbell e efeito giroscópico
No estudo do comportamento dinâmico de máquinas rotativas, o principal objetivo
está na determinação das velocidades angulares críticas. Segundo Rao (2009), diz-se que
existe uma velocidade crítica quando a frequência de rotação de um eixo é igual a uma das
frequências naturais do eixo. Quando isso ocorre, o rotor sofre grandes deflexões e a força
transmitida aos mancais pode causar a falha destes.

44
Para representar tais velocidades, se utiliza um diagrama, no qual a velocidade de
rotação se relaciona com as frequências naturais do sistema, indicando graficamente suas
velocidades angulares críticas. Com isso, fica claro que as velocidades angulares críticas de
uma máquina rotativa não podem ser confundidas com as frequências naturais da mesma.
Igualmente, vale ressaltar que, além das forças variarem com a rotação, as
frequências naturais podem variar, também, em função da velocidade de rotação, em função
das propriedades hidrodinâmicas dos mancais de guia, do desbalanceamento e do efeito
giroscópico. Segundo Silva (2004), as características dinâmicas do rotor estão dadas pelos
parâmetros modais encontrados em “todo” o diagrama de Campbell. Traçando-se uma reta a
45º no diagrama, podem-se retirar as rotações críticas. Análises semelhantes podem ser feitas
com outros tipos de excitação, conforme Lalanne (1990).
Na Fig. 2.10 é exibido, da esquerda para a direita, o diagrama de Campbell sem e
com o efeito giroscópico, para rotores de mancais anisotrópicos, respectivamente. Este efeito
pode ser observado matematicamente através da equação de movimento do sistema, na forma
matricial apresentada abaixo:
[ ]{ ̈} [ ] [ ] { ̇} [ ]{ } { } (3.18)
em que:
[M]: matriz de massa [kg];
[C]: matriz de amortecimento [N.s/m];
[G]: matriz de efeito giroscópico [N.s/m];
[K]: matriz de rigidez [N/m];
{x}: vetor de deslocamento [m];
{F}: vetor de força [N].
Observa-se na equação (3.18) que a matriz de efeito giroscópico multiplica o vetor
velocidade; isto pode levar a um entendimento de que o efeito giroscópico é menos
perceptível em máquinas rotativas de baixa rotação.

45
Figura 3.10 – Diagramas de Campbell de máquinas rotativas com mancais isotrópicos e anisotrópicos.
Fonte – MESQUITA, 2004
Este efeito não surge em sistemas modelados como massa pontual ou quando o
disco, centralizado no eixo, se movimenta perpendicularmente à linha que une os mancais
(Fig 3.11).
Figura 3.11 – Modelos com massa pontual (a) e disco centralizado (b).
(a) (b)
Fonte – MESQUITA, 2004.
Se o disco não permanece perpendicular à linha que une os mancais, o efeito
giroscópico surge. Isto ocorre quando o rotor, com momento de inércia significativo, não
estiver centralizado no eixo como observado na Fig. (3.12).
Figura 3.12 – Exemplos do efeito giroscópico atuando nos sistemas.
Fonte – MESQUITA, 2004.

46
Quando o disco inclina e um pequeno movimento de oscilação angular da massa do
disco ocorre em torno do centro do eixo, surge o efeito giroscópico e, neste caso, as
frequências naturais passam a variar em função da velocidade de rotação da máquina,
conforme as Equações (3.19) e (3.20).
Neste sentido, o efeito giroscópico faz com que as frequências naturais dos modos de
flexão dependam da velocidade de rotação do eixo, fazendo com que o diagrama de Campbell
tenha linhas não paralelas ao eixo das abscissas, como visto na Fig. 3.10, à direita.
[ ( ) ] (3.19)
[ ( ) ] (3.20)
em que:
pJ : momento polar de inércia de massa [kg.m²].
Se o rotor não estiver girando ( ), não existirá efeito giroscópico e a frequência natural
será dada por:
√ (3.21)
em que:
š : momento transversal de inércia de massa [kg.m²];
: rigidez angular [N/m.rad].

47
3.2.8 Método de Rayleigh-Ritz
Os elementos básicos de um rotor são, geralmente, o disco, o eixo e os mancais.
Entretanto, os desequilíbrios de massa, que não podem ser totalmente evitados, também
devem ser considerados. As expressões da energia cinética são necessárias, muitas vezes, para
caracterizar o disco, o eixo e a massa desbalanceada. A energia de deformação (energia
potencial) é utilizada para caracterizar o eixo. As forças provenientes dos mancais são
utilizadas para calcular o seu trabalho virtual e, em seguida, as forças correspondentes, que
atuam sobre o eixo são obtidas.
As equações que caracterizam um rotor são geralmente fornecidas através dos
seguintes passos:
 A energia cinética T, energia de deformação U e o trabalho virtual das forças externas
são calculados para cada elemento do sistema;
 Em seguida, um método numérico é escolhido, como o método de Rayleigh-Ritz,
utilizado para descrever o comportamento de sistemas com pequenos números de
graus de liberdade (GDL), ou o MEF para aplicações de engenharia;
 E, finalmente, resolve-se a equação de Lagrange, geralmente apresentada da seguinte
forma:
( ̇
) (3.22)
Em que (1 ≤ i ≤ N) representa o número de graus de liberdade, enquanto qi
representa as coordenadas independentes generalizadas, tal como as forças Fqi.
3.2.9 O Disco
O disco é geralmente considerado como sendo rígido. Neste sentido, somente sua
energia cinética é caracterizada. Na Fig. 3.13, R0(X Y Z) representa o referencial inercial,
enquanto R(x y z) é fixado no disco. O sistema de coordenadas xyz está relacionado com o
sistema de coordenadas XYZ através dos três ângulos (ψ θ ϕ).

48
Para determinar a orientação do disco, a primeira rotação é determinada através do
ângulo ψ que gira em torno do eixo Z. Em seguida, através do ângulo θ, em torno do eixo x e,
finalmente, por ϕ em torno do eixo y.
Figura 3.13 – Sistemas de coordenadas de referência para um disco acoplado a um eixo flexível.
Fonte – LALANNE, 1990
A partir da análise da figura acima, pode-se deduzir o vetor velocidade instantânea
de rotação do disco no sistema de referencia (x, y, z) como sendo (VANCE,1988):
⁄
̇ ⃗ ̇⃗ ̇ ⃗ (3.23)
Na equação anterior, , ’ e são vetores. Os eixos (X, Y, Z) formam o sistema de
coordenadas fixo (ou inercial), os eixos (x’ y’ z’) formam um sistema de coordenadas
intermediário e os eixos (x, y, z) formam o sistema de coordenadas fixo no disco (ou de
referência). A energia cinética do disco sobre seu centro de massa O é calculada utilizando o
sistema R, na Fig. 3.13. Neste sistema, o vetor velocidade angular torna-se:
⁄
[ ] [
̇ ̇
̇ ̇
̇ ̇
] (3.24)

49
Considera-se u e w como sendo as coordenadas do centro do disco O em relação a
R0, através da coordenada constante ao longo do eixo Y. Além disso, a massa do disco é MD
e seu tensor inercial em relação à origem O, nas direções principais, x y z são representados
por:
[ ] (3.25)
Onde são momentos de inércia de massa do disco com relação ao
sistema de coordenadas de referência, conforme Fig. 3.14 abaixo:
Figura 3.14: Momentos de inércia de massa do disco no sistema de referência
Fonte: PEREIRA, 2003
A expressão para a energia cinética do disco é, então:
̇ ̇ ( ) (3.26)
A equação acima pode ser simplificada, quando considerado um disco simétrico
(IDx=IDz), com ângulos (θ,ψ) muito pequenos e velocidade angular constante ( ̇ =Ω), que
fazem com que a Eq. (3.26) seja substituída por:

50
̇ ̇ ( ̇ ̇ ) ( ̇ ) (3.27)
Os deslocamentos u, w e as rotações são coordenadas ditas generalizadas. Na
Eq. (3.27), o termo ( ) é constante e, por isso, não tem influência na representação do
comportamento dinâmico do disco, pois somente representa a energia do disco girando a uma
determinada velocidade. O último termo (2Ω ̇ θ) representa o efeito giroscópico ou efeito de
Coriolis.
3.2.10 O Eixo
O eixo é modelado como uma viga de seção transversal circular e é caracterizado
através das suas energias, cinética e de deformação.
3.2.10.1 Energia Cinética
A formulação geral da energia cinética do eixo é determinada como uma extensão da
equação da energia cinética do disco. Para um elemento de comprimento L, a expressão da
energia cinética será:
∫ ̇ ̇ ∫ ( ̇ ̇ ) ∫ ̇ (3.28)
Em que ρ é a massa específica do eixo, S é a área de sua seção transversal, suposta
constante ao longo de seu comprimento e J é o momento de inércia da área da seção
transversal do eixo sobre sua linha neutra, também suposta constante.
A primeira integral da Eq. (3.28) representa a energia cinética de uma viga em
flexão. A segunda integral representa o efeito secundário referente à inércia de rotação da
viga. O termo (ρJLΩ²) é uma constante e, por isso, não tem influência na representação do

51
comportamento dinâmico. Finalmente, a última integral representa o efeito da aceleração de
Coriolis (efeito giroscópico).
3.2.10.2 Energia de Deformação
As notações seguintes serão utilizadas para referenciar o centro geométrico do eixo,
modelado aqui como sendo uma viga, em relação a um sistema de coordenadas arbitrário
visto na Fig. 3.15, no qual C é o centro geométrico da viga. P(x,z) é um ponto arbitrário
pertencente à seção transversal da viga e E é uma propriedade do eixo denominado módulo de
elasticidade. Os parâmetros σ e ε representam a tensão e deformação da viga,
respectivamente. Finalmente, u* e w* são os deslocamentos do centro geométrico em relação
aos respectivos eixos x, z.
Fig. 3.15 – Campo de deslocamento em um ponto qualquer de um eixo flexível.
Fonte – LALANNE, 1990
A deformação longitudinal do ponto P é determinada pela Eq. (3.29).
( ) ( ) (3.29)
que pode ser reescrita através da Eq. (3.30).
(3.30)

52
Em que contém os termos lineares, enquanto que os não lineares. A energia de
deformação é determinada pela equação abaixo:
∫ (3.31)
onde, o símbolo “t” representa a transposição dos coeficientes da matriz.
A Eq. (3.32) representa a relação entre a tensão e deformação:
(3.32)
que, substituindo na Eq. (3.31), fornece:
∫ ( ) (3.33)
Devido à simetria da seção transversal da viga em relação aos eixos x e z, a integral
referente ao segundo termo da Eq. (3.33) torna-se nula, como visto na Eq. (3.34), e como o
terceiro termo da integral da Eq. (3.33) é de segunda ordem, ele é negligenciado.
∫ (3.34)
∫ ∫ ( ) (3.35)
∫ ∫ [ ( ) ( ) ] (3.36)

53
Devido à simetria, a integral do terceiro termo da Eq. (3.36) é nula. Utilizando a
equação do momento de inércia da seção transversal da viga em relação à x, z, Eq. (3.37) e
Eq. (3.38), tem-se na Eq. (3.39), uma nova equação para a energia de deformação.
∫ (3.37)
∫ (3.38)
∫ [ ( ) ( ) ] (3.39)
Se o eixo estiver submetido a uma força axial constante, F0 haverá, então, uma
segunda contribuição para a energia de deformação do eixo dada pela Eq. (3.40).
∫ (3.40)
Devido à simetria, o primeiro termo sob a integral vai desaparecer ao longo da área
da seção transversal da viga e, assim, utilizando a equações (3.29) e (3.30) tem-se:
∫ [( ) ( ) ] (3.41)
A soma das energias de deformação U1 e U2 descritas anteriormente são dadas pela
Eq. (3.42).
∫ [ ( ) ( ) ] ∫ [( ) ( ) ] (3.42)

54
Para evitar os termos periódicos explícitos como as funções do tempo, devido às
propriedades dos mancais, as energias de deformação são expressas como funções de u e w,
componentes do deslocamento analisados no sistema RO.
(3.43)
(3.44)
Utilizando as equação (3.43) e (3.44), que podem ser deduzidas com o auxílio da
Fig.3.13, a Eq. (3.42) é escrita como:
∫ [ ( ) ( ) ] ∫ [( )
( ) ] (3.45)
Finalmente, para um caso mais comum de um eixo simétrico, a energia de
deformação torna-se:
∫ [( ) ( ) ] ∫ [( ) ( ) ] (3.46)
3.2.10.3 Rigidez dos Mancais
Seguindo a Metodologia desenvolvida por Harris (1991), um parâmetro de projeto
comum para rolamentos de filme de óleo é a rigidez, que é definido a seguir:
(3.47)

55
A relação carga-deflexão básica, para cada elemento rolante elástico, é definida pela
teoria da tensão de contato de Hertz como:
(3.48)
Onde Qj é a carga normal resultante no j-ésimo elemento rolante, Kcd é a constante
carga-deflexão para o contato pista interna-elemento rolante-pista externa, cuja formulação
matemática é apresentada no Apêndice I, e n uma constante, que para o caso de rolamento de
esfera assume o valor de 3/2 e para rolamento de rolo 10/9.
No geral:
(3.49)
O cálculo do carregamento máximo atuante no elemento rolante é resultante da
combinação de carregamentos radiais e axiais. depende das deformações de contato
e medidos ao longo das linhas de contatos das pistas externa e interna,
respectivamente.
De acordo com a Eq. (3.49) descrita acima, pode-se afirmar que:
( ) (3.50)
( ) (3.51)
A deflexão radial do mancal é, por tanto:
[ ] [ ] (3.52)
Ou:
[ ] [ ]
(3.53)

56
Onde inclui o efeito da força centrífuga.
Em vez de uma abordagem mais rigorosa para deflexão de rolamentos descrita
acima, Palmgren utilizou uma série de fórmulas para determinar as deflexões dos mancais
para condições específicas de carregamento. Para velocidades baixas e moderadas, os
rolamentos de esferas de sulco profundo e contato angular estão sujeitos a carregamentos
radiais que provocam somente deflexões radiais, ou seja, não há deflexões axiais.
(3.54)
Para determinar a rigidez de um mancal de rolamento em particular submetido a um
determinado tipo de carregamento, deve-se primeiro determinar a distribuição do
carregamento entre os elementos rolantes e em seguida, relacionar o elemento de carga
máxima no rolamento com a força aplicada. O que se torna simples para rolamentos de uma
única fileira de esferas radiais com folga nominal.
Para um rolamento de suporte rígido sujeito a um carregamento radial, a deflexão
radial para qualquer posição angular do elemento rolante é dada por:
(3.55)
Em que é o deslocamento do anel radial para e é o diâmetro de folga.
Reorganizando a equação acima em:
[ ] (3.56)
Onde:
( ) (3.57)
A partir da equação acima a extensão angular da zona de carga é determinada pelo
diâmetro de folga de forma que:

57
( ) (3.58)
a partir da Eq. (2.49):
( ) (3.59)
portanto, a partir da Eq. (2.56) e da equação acima:
[ ] (3.60)
Para que haja equilíbrio estático, o carregamento radial aplicado deve ser igual á
soma das componentes verticais dos carregamentos dos elementos do rolamento:
∑ (3.61)
ou:
(3.62)
em que:
∫ [ ] (3.63)
a partir da Eq. (3.49):
( ) (3.64)
portanto:
( ) (3.65)

58
Para um dado mancal com uma dada folga submetido a um dado carregamento pode
ser resolvido de forma iterativa. Primeiro assume-se o valor de e calculado pela Eq.
(3.65). O valor de pode ser encontrado através da Tabela (3.1).
Tab. 3.1: Distribuição de carga integral
ϵ Ponto de contato Linha de contato ϵ Ponto de contato Linha de contato
0 1/Z 1/Z 0,8 0,2559 0,2658
0,1 0,1156 0,1268 0,9 0,2576 0,2628
0,2 0,1590 0,1737 1,0 0,2546 0,2523
0,3 0,1892 0,2055 1,25 0,2289 0,2078
0,4 0,2117 0,2286 1,67 0,1871 0,1589
0,5 0,2288 0,2453 2,5 0,1339 0,1075
0,6 0,2416 0,2568 5,0 0,0711 0,0544
0,7 0,2505 0,2636 ∞ 0 0
Fonte: TEDRIC, 1991
para rolamentos de esferas submetidos á um carregamento radial puro e zero de folga
Stribeck, conclui-se que:
(3.66)
levando-se em consideração o diâmetro de folga nominal do mancal de rolamento, pode-se
fazer a seguinte aproximação:
(3.67)
substituindo na Eq. (2.54), temos:
(3.68)
A partir das equações (2.67) e (2.68), pode-se determinar a rigidez do mancal como:

59
(3.69)
Onde:
Z – número de elementos rolantes;
D – diâmetro das esferas;
– ângulo de contato;
– deflexão radial.
3.3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA DE ANÁLISE DE SINAIS
3.3.1 Introdução
As ferramentas matemáticas existentes em análise de sinais apresentam soluções para
muitos problemas mecânicos e em alguns casos auxiliam para sua compreensão. Esta área de
estudo tem contribuído bastante para o bom desempenho da indústria no tocante a produção,
qualidade e segurança, pois é essencial no acompanhamento do comportamento dinâmico das
máquinas rotativas. As formulações matemáticas utilizadas em análises de sinais são suporte
para várias técnicas de análises, como: técnica do envelope, sepstrum, fator de crista, nível
global, espectro de frequência e outros. Essas técnicas possibilitam a identificação e
quantificação de defeitos nos componentes das máquinas rotativas, essas informações são
amplamente exploradas por software especialistas onde passam por tratamentos estatísticos
que resultam em laudos técnicos a respeito da saúde das máquinas e probabilidade de falha.
3.3.2 Revisão de Análise de Sinais
Um processo   txk para -∞  t  ∞ é dito processo aleatório quando não pode ser
descrito por uma relação matemática explicita. Cada sinal x(t) mostrado no tempo é único e
representa um dos possíveis resultados do sistema.

60
As propriedades estatísticas importantes em um único sinal aleatório são:
1. Valores de médias quadráticas;
2. Funções de densidades de probabilidade;
3. Função autocorrelação;
4. Função densidade espectral.
Um sinal aleatório será considerado estacionário se suas propriedades estatísticas não
variarem em relação ao tempo.
O valor da média x e da variância
2
x para um sinal estacionário, representa nesta
ordem a tendência central e a dispersão dos dados.
A média quadrática
2
x que é dado pela variância mais o quadrado da média representa
uma medida que combina tendência central e dispersão.
As propriedades estatísticas conjuntas importantes em pares de sinais aleatórios são:
1. Função densidade de probabilidade conjunta;
2. Função correlação cruzada;
3. Função densidade espectral cruzada;
4. Função resposta em frequência;
5. Função coerência.
A função de densidade de probabilidade permite:
 A indicação de efeitos não lineares e
 Análise de valores extremos.
As medidas de correlação permitem:
 Medidas de intervalo de tempo, detecção de periodicidade;
 Análise de ruído;
 Propagação de trajetórias e velocidades;
 Determinação das propriedades do sistema a partir dos dados de saída e de
entrada;
 Obtenção das respostas do sistema a partir de suas características e dados de
entrada;

61
 Identificação de energia, fontes de ruídos e vibração.
3.3.3 Análise no Domínio do Tempo
Dado  txk , um conjunto de amostras, pode-se estimar um sinal médio através da
equação:
 



N
i
i
tx tx
NN
0
1
)(
1
lim (3.70)
Se o sinal médio não variar para o conjunto de amostras  txk , colhidas em tempos
arbitrários, o sinal é dito estacionário ou estocástico. Por outro lado define-se o valor médio
do sinal através da equação:
 dttx
T
T
N
x 

0
1
lim (3.71)
Se o valor médio x calculado para diferentes  tx for invariante, o sinal  tx será
chamado ergótico. A equação (3.72) assim define a média quadrática:
 dttx
T
T
N
x 

0
2 1
lim (3.72)
O valor da média x e da variância
2
x para um sinal estacionário, representa nesta
ordem a tendência central e a dispersão dos dados.

62
A média quadrática
2
x que é dado pela variância mais o quadrado da média representa
uma medida que combina tendência central e dispersão.
As funções de correlação são aplicadas para amostras defasadas por um intervalo de
tempo arbitrário.
A função de auto correlação é definida pela equação:
     


N
i
ii
N
xx txtx
N
tR
1
111 ,
1
lim,  (3.73)
onde  é a defasagem entre as amostragens dos sinais. Se o processo é ergótico, qualquer
amostra é representativa do sinal médio, logo:
     


T
T
T
xx dttxtx
T
tR  ,
2
1
lim, (3.74)
Se a defasagem entre os sinais for nula, tem-se:
   
   
    2
2
2
;
;
2
1
0 lim
yxxxy
yxxyy
T
TT
xx
RC
RC
dttx
T
R




 
(3.75)
Normalizando a função de auto correlação pelo valor médio quadrático  0xxR , obtêm-
se a função auto correlação normalizada.
 
 
 0xx
xx
R
R 
  (3.76)

63
Removendo o quadrado do valor médio das funções de autocorrelação, obtêm-se as
funções de auto covariância, através das seguintes equações.
   
   
    yxxy
x
xxxxx
RCxy
RyyCyy
RC






2
2
(3.77)
Estendendo esses conceitos para sinais de variáveis diferentes, obtêm-se as funções de
correlações cruzadas:
     
     
 
 
   00
2
1
2
1
yyxx
xy
T
T
T
T
T
T
xy
RR
R
dttytx
T
LimRyx
dttytx
T
LimR













(3.78)
3.3.4 Análise no Domínio da Frequência
Um sinal aleatório pode ser caracterizado no domínio do tempo, pelas funções de auto
correlação, e que dois sinais distintos podem ser analisados através da auto correlação
cruzada. Com tudo, em algumas aplicações, torna-se mais prático trabalhar no domínio da
frequência, pois a visualização das propriedades dos sinais é direta e facilita a compreensão
do fenômeno.

64
3.3.4.1 Função Densidade de Potência
Assumindo que um sinal seja periódico, o mesmo pode ser representado em série de
Fourier, ou seja:
  tjn
n
neCtx 0



 (3.79)
Onde:
 
T
dtetx
T
C
T
tjn
n



2
1
0
0
0



(3.80)
A potência do enésimo componente é simétrico com relação a origem e é dado por:
C
22
22
2 nn
n
CC
C  
(3.81)
Considerando apenas um lado da simetria, define-se a potência por unidade de banda ou.
Densidade de Potência =
⁄
(3.82)
Cuja unidade é a relação amplitude ao quadrado por Hertz.
Para sinais aleatórios não periódicos, a série de Fourier não pode ser aplicada
diretamente. A estratégia empregada nesses casos consiste em gerar artificialmente sinais
periódicos , a partir do processo aleatório, removendo assim o impedimento para o uso
da equação (4.10) que pode ser escrita como:

65
  



n
tj
np Ctx 0
(3.83)
onde:
 
T
dtetx
T
C
T
T
tj
pn
p



2
1
0
2
2

 


(3.84)
Fazendo TCX nn  , tem-se o par:
 
  







n
tjn
np
T
T
tj
pn
T
eXtx
dtetxX
10
0
2
2


(3.85)
Da seção anterior tem-se que a função densidade de potência espectral pode ser
representada pela equação (4.17)
Densidade de Potência 21
nX
T
 (3.86)
Fazendo as seguintes considerações:

66
   
 

XX
n
txtx
df
T
n
p




0
1
(3.87)
O par de transformada de Fourier pode ser reescrito como:
   
   








dteXtx
dtetxX
tj
tj




(3.88)
A densidade de potência, equação (4.17), torna-se:
    *
2
1
XX
TT
Xn
 (3.89)
onde o * indica complexo conjugado.
A densidade de potência espectral é definida como:
      



 

com
XX
T
LimS
T
xx
*1
(3.90)
A densidade de potência mensurável é definida como:

67
    xxxx SG 2 (3.91)
onde 0    +∞. A figura (4.1) mostra a relação entre essas duas grandezas.
Fig. (3.16) Gráfico da Densidade Teórica x Densidade Mensurável
A densidade espectral cruzada calculada entre dois sinais é dada por:
     
     

XY
T
LimS
YX
T
LimS
T
yx
T
xy
*
*
1
1




(3.92)
3.3.4.2 Transformada Rápida de Fourier
Trata-se de uma ferramenta computacional amplamente utilizada no tratamento de
dados mensurados.
0.5
1
Frequência
Fonte: ARQUIVO PRÓPRIO, 2013

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