Estudio de Funciones

Estudio de Funciones
1º Dominio de Definicion = Df
f(x) =
h(x)
g(x)
AA f existe si y solo si h(x) ! 0
f(x) = h(x)
2n
AA f existe si y solo si h(x) $ 0
f(x) = loga h(x)
6 @ AA f existe si y solo si h(x) 2 0
f(x) = arcsen h(x)
6 @ AA f existe si y solo si - 1 # h(x) # 1
f(x) = arccos h(x)
6 @ AA f existe si y solo si - 1 # h(x) # 1
f(x) = arctag h(x)
6 @ AA f existe siempre Df = Dh
f(x) = h(x)
6 @g(x)
AA f existe si y solo si h(x) 2 0
2º Simetria o periocidad
1º f(- x) = f(x) ( f es una funcion par
2º f(- x) =- f(x) ( f es una funcion impar
3º f(x + a) = f(x) ( f es una funcion periodica de periodo a
3º Continuidad
a f es continua en a , lim
x"a
f(x) = f(a) = n d R
b f es continua en a , lim
x"a+
f(x) = lim
x"a-
f(x) = f(a) = n d R
la b se utiliza en funciones a trozos,tambien para ver si la funcion
es continua o no en el punto que esta excluido del dominio de definicion
casos de continuidad evitable
1 lim
x"a
f(x) ! f(a)
2 lim
x"a
f(x) = n y f(a) no existe
Teorema de BOLZANO
si
f a
^ h es de distinto signo que f b
^ h
f x
^ h es continua en a,b
6 @
( ( 7 c d a,b
@ 6tal que f c
^ h = 0
4º Derivabilidad
para que una funcion sea derivable en x = a antes tiene que ser continua en x = a
l
f a
^ h = lim
x"a x - a
f x
^ h - f a
^ h
ó
l
f a-
^ h = lim
h"0- h
f a + h
^ h - f a
^ h
l
f a+
^ h = lim
h"0+ h
f a + h
^ h - f a
^ h
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
si l
f a+
^ h = l
f a-
^ h & f es derivable en a
f derivable en a & f continua en a
f continua en a ( f derivable en a
en lo ultimo de este resumen de funciones se encuentra la tabla de derivadas
que habra que memorizar muy bien porque seran muy valiosos para los integrales
5º Corte con los ejes
** corte con el eje y
x = 0 , y = f(0)
** corte con el eje x
y = 0 , f(x) = 0 se resuelve sacando los valores de x

Algunos casos particulares
si y = h(x)
n
; y = 0 , h(x) = 0
si y = loga h(x)
6 @ ; y = 0 , h(x) = 1
si y = sen h(x)
6 @ ; y = 0 , h(x) = kr k d Z
si y = cos h(x)
6 @ ; y = 0 , h(x) =!
2
r + 2kr k d Z
si y = tag h(x)
6 @ ; y = 0 , h(x) =
h(x) = kr k d Z
h(x) !!
2
r + 2kr k d Z
*
si y = arcsen h(x)
6 @ ; y = 0 , h(x) = 0
si y = arccos h(x)
6 @ ; y = 0 , h(x) = 1
si y = arctan h(x)
6 @ ; y = 0 , h(x) = 0
6º Asintotas
*** Asintotas verticales
se fija en los puntos que estan excluidos de D f por ejemplo D f = R - a
" ,
pues si lim
x"a
f(x) = 3 ( x = a es la asintota vertical
se calcula :
lim
x"a+
f(x) =+3 ; lim
x"a-
f(x) =+3 asi ver el sentido de la curva respecto a la asintota vertical
(ver imagen de abajo para entenderlo).
- -
lim
x"a-
f(x) =+3 lim
x"a+
f (x) =+3
$ asintota vertical
a eje x
lim
x"a+
f(x) =-3 ; lim
x"a-
f(x) =-3 asi ver el sentido de la curva respecto a la asintota vertical
(ver imagen de abajo para entenderlo).
a eje x
$ asintota vertical
lim
x"a-
f(x) =-3 lim
x"a+
f (x) =-3
. .
** Asintota horizontal
se calcula (lim
x"3
f(x) = a ; a d R) ( y = a es la asintota horizontal
** Posicion de la curva respecto a la asintota Horizontal
si lim
x"+3
(f(x) - a) = b 1 0 & la curva va por debajo de la asintota cuando x "+3
si lim
x"-3
(f(x) - a) = b 1 0 & la curva va por debajo de la asintota cuando x "-3
(ver imagen de abajo para entenderlo)
Y
lim
x"-3
(f(x) - a) = b 1 0 lim
x"+3
(f(x) - a) = b 1 0
a
$ asintota Horizontal
X
eje y
eje y

si lim
x"+3
(f(x) - a) = b 2 0 & la curva va por encima de la asintota cuando x "+3
si lim
x"-3
(f(x) - a) = b 2 0 & la curva va por encima de la asintota cuando x "-3
(ver imagen de abajo para entenderlo)
Y
lim
x"-3
(f(x) - a) = b 2 0 lim
x"+3
(f(x) - a) = b 2 0
a
$ asintota Horizontal
X
Los puntos de corte entre f x
^ hy la asintota horizontal es: calcular f x
^ h = a & x = c & c,f c
^ h
^ hes el punto de corte.
** Asintota Oblicua
si a = 3 , es decir lim
x"3
f(x) = 3 & no hay asintota horizontal asin que habra que estudiar
la asintota oblicua que es de la forma y = mx + n tal que
m = lim
x"3 x
f(x)
; m ! 0 ; m ! 3
n = lim
x"3
(f(x) - mx) ; n ! 3
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
si
n = lim
x"3
f x
^ h - mx
6 @ = 3 & la curva tiene una rama parabolica de direccion la recta y = mx
m = lim
x"3 x
f(x)
= 0 & la curva tiene una rama parabolica de direccion el eje ox
m = lim
x"3 x
f(x)
= 3 & la curva tiene una rama parabolica de direccion el eje oy
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
*** Aveces es mejor hallar los puntos de corte entre la curva y la asintota oblicua que se hace de la
seguiente manera:
y = mx + n
y = f x
^ h
' ( f x
^ h = mx + n & x = c & c,f c
^ h
^ h es el punto de corte
*** Siempre hay que calcular la posicion de la curva respecto a la asintota oblicua
f x
^ h - mx + n
^ h 2 0 & la curva esta por encima de la asintota oblicua
o bien
lim
x"+3
f x
^ h - mx + n
^ h
6 @ = b 2 0 ; lim
x"-3
f x
^ h - mx + n
^ h
6 @ = b 2 0
lim
x"+3
f x
^ h - mx + n
^ h
6 @ = b 2 0
X
$ asintota oblicua y = mx + n
lim
x"-3
f x
^ h - mx + n
^ h
6 @ = b 2 0
f x
^ h - mx + n
^ h 1 0 & la curva esta por debajo de la asintota oblicua
o bien
lim
x"+3
f x
^ h - mx + n
^ h
6 @ = b 1 0 ; lim
x"-3
f x
^ h - mx + n
^ h
6 @ = b 1 0
lim
x"+3
f x
^ h - mx + n
^ h
6 @ = b 1 0
X
asintota oblicua y = mx + n "
lim
x"-3
f x
^ h - mx + n
^ h
6 @ = b 1 0
Observacion:
** si hay asintota horizontal & no hay oblicua
** si no hay asintota horizontal & puede que haya oblicua
Y

7º Monotonia,Puntos criticos
Maximo,Minimo,Creciente y Decreciente
Supongamos que D f = R - b
" ,
1 hallaremos l
f x
^ h
2 calcular l
f x
^ h = 0 ( x = a
3 hacer la tabla donde aparecen todos los valores excluidos de D f y los que anulan l
f x
^ h
_ i
x - 3 a b + 3 se coge un nº de los intervalos
l
f x
^ h 5 0 6 5 y se remplaza en l
f x
^ hpara ver si es
f x
^ h 3 f a
^ h 4 3 +& f es creciente 3
a,f a
^ h
^ h maximo -& f es decreciente 4
x - 3 a b + 3
l
f x
^ h 6 0 5 5
f x
^ h 4 f a
^ h 3 3
a,f a
^ h
^ h minimo
** si lo que queremos es hallar sólo los maximos y minimos
1 calcular l
f x
^ h
2 l
f x
^ h = 0 ( x = a
3 hallar m
f x
^ h,luego si
** m
f a
^ h 1 0 ( a,f a
^ h
^ hes un maximo
** m
f a
^ h 2 0 ( a,f a
^ h
^ hes un minimo
** m
f a
^ h = 0 y n
f a
^ h ! 0 ( a,f a
^ h
^ hes un punto de inflexion
** Ahora si n
f a
^ h = 0
......asi sucesivo
f
4
a
^ h 2 0 ( a,f a
^ h
^ hminimo
f
4
a
^ h 1 0 ( a,f a
^ h
^ hmaximo
*
8º Concavidad,Punto inflexion
1 calcular m
f x
^ h
2 hallar los valores que anulen m
f x
^ h = 0 ( x = a
3 ponemos la tabla de signos de m
f x
^ h donde aparecen los valores que anulen m
f x
^ h y los valores que s D f
* en los intervalos donde m
f x
^ h 2 0 & f x
^ hdirige su concavidad hacia la parte + del eje oy
* en los intervalos donde m
f x
^ h 1 0 & f x
^ hdirige su concavidad hacia la parte - del eje oy
a,f a
^ h
^ h es el punto de inflexion donde hay cambio de concavidad
^ h
x - 3 b a + 3
m
f x
^ h 5 5 0 6
f x
^ h , , f a
^ h +
a,f a
^ h
^ h es el punto de inflexion
porque hay cambio de concavidad
** Ecuacion de la recta tangente en x = a
y - f a
^ h = l
f a
^ h x - a
^ h A pendiente de la recta es mt = l
f a
^ h
** Ecuacion de la recta Normal en x = a
y - f a
^ h =
l
f a
^ h
-1
x - a
^ h A pendiente de la recta es mn =
l
f a
^ h
-1
** Observación: mt .mn =- 1

** ** Observación
** nos dan un punto a,b
^ h por el que pasa la funcion f x
^ h ( f a
^ h = b
** extremo en x = a ( l
f a
^ h = 0
** extremo en a,b
^ h ( l
f a
^ h = 0 y f a
^ h = b
** punto de inflexion en x = a ( m
f a
^ h = 0
** punto de inflexion en a,b
^ h ( m
f a
^ h = 0 y f a
^ h = b
-----------------------------------
Aprended la tabla de derivadas como si fuera 1 + 1 = 2
Tabla de Derivadas
1 y = k cte
^ h ( l
y = 0
2 y = f x
^ h
6 @n
( l
y = n. f x
^ h
6 @n-1
. l
f x
^ h
3 y = k.f x
^ h ( l
y = k. l
f x
^ h
4 y = f x
^ h ! g x
^ h ( l
y = l
f x
^ h ! l
g x
^ h
5 y = f x
^ h.g x
^ h ( l
y = l
f x
^ h.g x
^ h + f x
^ h. l
g x
^ h
6 y =
g x
^ h
f x
^ h
( l
y =
g x
^ h
6 @2
l
f x
^ h.g x
^ h - f x
^ h. l
g x
^ h
7 y = fog x
^ h ( l
y = l
f og x
^ h
6 @. l
g x
^ h
8 y = f-1
x
^ h ( l
y =
l
f of-1
x
^ h
1
9 y = loga
f x
^ h ( l
y =
f x
^ h
l
f x
^ h
Ln a
^ h
1
10 y = a
f x
^ h
( l
y = a
f x
^ h
. l
f x
^ h.Ln a
^ h
11 y = e
f x
^ h
( l
y = e
f x
^ h
. l
f x
^ h
12 y = senf x
^ h ( l
y = cosf x
^ h. l
f x
^ h
13 y = cosf x
^ h ( l
y =- senf x
^ h. l
f x
^ h
14 y = tagf x
^ h ( l
y =
cos
2
f x
^ h
1
l
f x
^ h = 1 + tag
2
f x
^ h
6 @. l
f x
^ h
15 y = cotgf x
^ h ( l
y =
sen
2
f x
^ h
-1
l
f x
^ h =- 1 + cotg
2
f x
^ h
6 @. l
f x
^ h
16 y = arcsenf x
^ h ( l
y =
1 - f x
^ h
6 @2
1
l
f x
^ h
17 y = arcosf x
^ h ( l
y =
1 - f x
^ h
6 @2
-1
l
f x
^ h
18 y = arctagf x
^ h ( l
y =
1 + f x
^ h
6 @2
1
l
f x
^ h
19 y = arcotgf x
^ h ( l
y =
1 + f x
^ h
6 @2
-1
l
f x
^ h
20 y = f x
^ h
6 @g x
^ h
A para esta formula se utiliza eLna
= a
asi que y = eln f x
^ h
7 A
g x
^ h
= eg x
^ hLnf x
^ h
AA solo queda aplicar formulas anteriores
Ahora veremos algunos ejercicios de distinta clase para saber como resolverlos.

**
**
**
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
( ) .
.
( ), ,
( ) .
,
: ,
.
,
: , .
lim
tan
lim
cos
tan
cos
cos
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o o
o
o
o
o
o
o
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Estudiar y dibujar la funci n f x x
x
Lnx
y halla el area comprendida
entre f x y el eje ox comprendida entre x e
x
Estudiar y dibujar la funci n f x
x
x
Estudiar y dibujar la funci n f x x x e y halla el area itada por la curva
de f x el eje ox y las rectas x x
Hallar las ecuaciones de la gente y la normal a la curva en el punto de abscisa x
x
Estudiar y dibujar la funci n f x
x x
x
entre f x y el eje ox comprendida entre x
sea f una funci n numerica de variable real x definida por f x
x
x
a Estudie la funci n f y haz la grafica de la funci n
b Calcule
x
dx
c Halla el area de la curva itada por las rectas y x y x
Estudiar y dibujar la funci n f x Ln x x
Halla el area comprendida entre f x y el eje ox comprendida entre las abscisas x y x
Sea f tal que f x senx
x
a estudiar la funci n y representar la grafica
b ecuaci n de la recta gente y la normal en el punto de abscisa x
c area comprendida entre la funci n el eje x y las rectas x y x
Sea f tal que f x x
x
Estudiar y graficar la funci n
Estudiar y dibujar la funci n f x x x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
1
1
1
4
2 4
0 6
0
2
2 4
1
1 2
1
1
1
1 2 4
2 3 1
2
3
4
2 2
3
1
2
0 2
1
1
2
R
R
x
x
2
2
2
2
2
2
4
2
2
$
$
!
# #
# #
r r
r
r
r r
= +
-
=
= -
+
=
-
= +
= =
=
=
-
=
=
+ +
+
-
=
-
+
-
=- = =
= - +
= =
-
= +
=
= =
- = -
+
= -
-
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
!
#
&
$
#

:
:
:
:
:
:
:
1 :
2 :
3 :
4 :
5 :
6 :
.
: , /
,
,
,
, ,
, ,
.
:
:
int
tan
cos
cos
tan
arccos
ln
ln
det min min
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Estudiar y dibujar la funcion f x x e
Calcula el Area del rec o comprendido entre la grafica de f y la recta y e x
f f x
f si x
xLnx si x
a Estudiar continuidad y la derivabilidad de f sobre
b estudiar la funcion y construir la frafica de f
c ecuacion de la recta gente en x
d area comprendida entre el eje de las abscisas y la funcion f
Estudiar y dibujar la funcion f x Ln senx
Estudiar y dibujar la funcion f x x
x sen x
Estudiar y dibujar la funcion f x Ln x x
Estudiar y dibujar la funcion f x
cx d si x
ax b si x
x x si x
a halla los valores de a b c y d para que f sea continua en
es derivable para los valores hallados
b estudia la funcion con los valores hallados
Estudiar y dibujar la funcion f x x
senx
Estudia la funcion f x x x x
Halla la recta gente en x y x
Estudiar y representar la funcion f x
x
x
sea la funcion f de variable real x definida por
f x x
Sea la funcion f de variable real x definida por
f x x Ln x
Estudia la funcion f x x
Sea la funcion x mx
er a el conjunto de valores de m para los cuales el do io de definicion es igual a
estudia la funcion para m y graficala
demostrar que la curva C admite un eje de simetria
Para m haz lo mismo
14
15
16
17
18
19
20
2
2
2
2
2
2
0
0 0 0
0
0
1
1
2
3 2
2 2
1
2
1
1
2 2 1
0 1
2
3
1
2 1
2
1
2 2
3
4 3
R
R
R
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
$
d
d
d ,
3
3
3 3
2
=
=
+ =
= =
+
=
=
= -
+
= - -
=
+ -
-
+
-
+ - - - +
=
= - -
= =
= -
= -
= - -
=
- +
=
=
Q Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
V V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
! !
! !
#
#
! !
$
&
&
$
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
G

1 Ejercicio:
Estudiar y dibujar la función f x
^ h =
x + 1
x - 2
^ h2
** Campo de existencia = dominio de definición
f x
^ h esxiste si y sólo si x + 1 ! 0 , x !- 1
luego D f = R - -1
" ,
** simetria
f -x
^ h =
-x + 1
-x - 2
^ h2
!! f x
^ h , luego f(x) no es ni par ni impar
** Corte con los ejes
- Eje x ( y = 0 (
x + 1
x - 2
^ h2
= 0 ( x - 2
^ h2
= 0 ( x = 2
luego 2,0
^ h es el punto de corte de la funcion con el eje x
- Eje y ( x = 0 ( y =
0 + 1
0 - 2
^ h2
( y = 4
luego 0,4
^ h es el punto de corte de la funcion con el eje y
** Asintotas
- Asintotas horizontales
lim
x"3
f(x) = lim
x"3 x + 1
x - 2
^ h2
= lim
x"3 x + 1
x
2
- 4x + 4
a k = lim
x"3 x
x
2
= lim
x"3
x =
lim
x"-3
x =-3
lim
x"+3
x =+3
*
como el limite no es un nº real finito ( no hay asintota horizontal
- Asintotas vertical (se fija en D f)
lim
x"-1
f(x) = lim
x"-1 x + 1
x - 2
^ h2
=
lim
x"-1- x + 1
x - 2
^ h2
=
0-
9
=-3
lim
x"-1+ x + 1
x - 2
^ h2
=
0+
9
=+3
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
- Asintotas oblicuas y ramas parabolicas
una asintota oblicua es de la forma y = mx + n siendo
n = lim
x"3
f(x) - mx
6 @
m = lim
x"3 x
f(x)
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
m = lim
x"3 x
f(x)
= lim
x"3 x
x + 1
x - 2
^ h2
= lim
x"3 x
2
+ x
x - 2
^ h2
= lim
x"3 x
2
+ x
x
2
- 4x + 4
= lim
x"3 x
2
x
2
= lim
x"3
1 = 1 = m
n = lim
x"3
f(x) - mx
6 @ = lim
x"3 x + 1
x - 2
^ h2
- x
; E = lim
x"3 x + 1
x
2
- 4x + 4 - x
2
- x
= lim
x"3 x
-5x
= -5 = n
luego la asintota oblicua es y = x - 5
Puntos de corte entre la curva y la asintota oblicua
y = x - 5
y =
x + 1
x - 2
^ h2
*
(
x + 1
x - 2
^ h2
= x - 5 , x
2
- 4x + 4 = x
2
- 4x - 5 , 4 =- 5 A absurdo
esto implica que la curva no corta la asintota oblicua
Posición de la curva respecto a la asintota oblicua
lim
x"3
f(x) - y
6 @ = lim
x"3 x + 1
x - 2
^ h2
- x - 5
^ h
; E = lim
x"3 x + 1
x
2
- 4x + 4 - x
2
+ 4x + 5
= lim
x"3 x + 1
9
= lim
x"3 x + 1
9
=
lim
x"-3 x + 1
9
= 0- $ f(x) esta por debajo de la asintota oblicua cuando x "-3
lim
x"+3 x + 1
9
= 0+ $ f(x) esta por encima de la asintota oblicua cuando x "+3
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
** Maximos,Minimos,int ervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f(x) =
x + 1
x - 2
^ h2
( l
f x
^ h =
x + 1
^ h2
2 x - 2
^ h x + 1
^ h - x - 2
^ h2
=
x + 1
^ h2
2 x
2
- x - 2
^ h - x
2
+ 4x - 4
=
x + 1
^ h2
x
2
+ 2x - 8
l
f x
^ h = 0 & x
2
+ 2x - 8 = 0 T = 4 - 4.1. -8
^ h = 36 & T = 6
x1 =
2
-2 - 6
=- 4 ( y =
-3
-6
^ h2
=- 12

x2 =
2
-2 + 6
= 2 ( y =
3
0
= 0
Ahora toca hacer la tabla donde aparecen los valores que anulan l
f y los excluidos de D f
x - 3 - 4 - 1 2 + 3 los signos se hallan cogiendo valores
l
f x
^ h + 0 - - 0 + al azar de los intervalos
f(x) 3 - 12 4 4 0 3
l
f -5
^ h =
16
7
2 0 A+ ; l
f -2
^ h =
1
-8
1 0 A- ; l
f 0
^ h =- 8 1 0 ; l
f 3
^ h =
16
7
2 0 A+
punto -4, - 12
^ h es un maximo , punto 2,0
^ h es un minimo
** Puntos de inf lexión y concavidad.
l
f (x) =
x + 1
^ h2
x
2
+ 2x - 8
( m
f x
^ h =
x + 1
^ h4
2x + 2
^ h x + 1
^ h2
- 2 x
2
+ 2x - 8
^ h x + 1
^ h
=
x + 1
^ h3
18
m
f x
^ h = 0 ,
x + 1
^ h3
18
= 0 ( 18 = 0 absurdo , luego no hay ningún valor que anule m
f x
^ h
Ahora toca hacer la tabla donde aparecen los valores que anulan m
f y los excluidos de D f
x - 3 - 1 + 3
m
f x
^ h - +
f x
^ h + ,
si m
f (x) 2 0 & f(x) dirige su concavidad hacia la parte + del eje oy
si m
f (x) 1 0 & f(x) dirige su concavidad hacia la parte - del eje oy

2 Ejercicio:
^ h =
x
Lnx
entre f(x) y el eje ox comprendida entre 1 # x # e.
f x
^ h esxiste si y sólo si
x 2 0
x ! 0
$ ( x ! R*
+
Luego D f = R*
+
** simetria
f -x
^ h =
-x
Ln -x
^ h
!- f(x) asi que f(x) no es ni par ni impar
- Eje x ( y = 0 ,
x
Lnx
= 0 , Lnx = 0 , x = 1
luego 1,0
^ hes el punto de corte entre la curva y el eje x
- Eje y ( x = 0 g D f
luego la funcion f(x) no corta el eje y
** Asintotas
lim
x"+3
f(x) = lim
x"+3 x
Lnx
=
+3
+3 forma indeterminada,aplicando l´hopital
lim
x"+3
f(x) = lim
x"+3 1
x
1
= lim
x"+3 x
1
=
+3
1
= 0
+
nos indica que la curva esta encima de la asintota
^ h
y = 0 es la asintota horizontal
- Asintotas vertical (se fija en D f= 0, + 3
@ 6)
lim
x"0+
f(x) = lim
x"0+ x
Lnx
= lim
x"0+ x
1
Lnx =+3. -3
^ h =-3
- Asintotas oblicuas no hay al haber asintota horizontal
^ h
** Maximos,Minimos,intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f(x) =
x
Lnx
( l
f (x) =
x
2
x
1
x - Lnx
=
x
2
1 - Lnx
l
f (x) = 0 ,
x
2
1 - Lnx
= 0 , 1 - Lnx = 0 , Lnx = 1 , x = e
x 0 e + 3 l
f (1) = 1 2 0 A +
l
f (x) + 0 - l
f (e
2
) =
e
4
-1
1 0 A -
f(x) 3
e
1
4
como se observa en la tabla e,
e
1
` j es el punto maximo
** Puntos de inflexión y concavidad.
l
f (x) =
x
2
1 - Lnx
( m
f (x) =
x
4
x
-1
x
2
- 2x 1 - Lnx
^ h
=
x
4
-x - 2x 1 - Lnx
^ h
=
x
3
-3 + 2Lnx
m
f (x) =
x
3
-3 + 2Lnx
= 0 ,- 3 + 2Lnx = 0 , Lnx =
2
3
, x = e 2
3
= e
3
y f(e 2
3
) =
e 2
3
Lne 2
3
=
2 e
3
3
luego el punto de inf lexion es ( e
3
,
2 e
3
3
)
x 0 e
3
+ 3
m
f (x) - 0 + asi que e
3
,
2 e
3
3
c m es el punto de inflexión
f(x) +
concava
S 2 e
3
3
,
convexa
S que es donde hay cambio de concavidad.

** Calculo del Area.
Area = f(x).dx =
1
e
# x
Lnx
.dx
1
e
# Integrando por partes
dv =
x
1
dx & v = Lnx
u = Lnx & du =
x
1
dx
* & Area =
x
Lnx
.dx
1
e
# = Lnx
^ h2
6 @1
e
-
x
Lnx
.dx
1
e
#
Area = Lnx
^ h2
- Area , 2.Area = Lnx
^ h2
, Area =
2
Lnx
^ h2
; E
1
e
=
2
1 - 0
8 B =
2
1
u
2

3 Ejercicio:
^ h =
x - 1
x + 1
** Campo de existencia
f x
x - 1 ! 0
x - 1
x + 1
$ 0
*
,
x ! 1
x - 1
x + 1
x - 1
x - 1
$ 0
)
,
x ! 1
x - 1
^ h2
x
2
- 1
$ 0
*
,
x ! 1
x
2
- 1 $ 0
%
,
x ! 1
x
2
$ 1
% , x
2
= 1 +
x =- 1
x = 1
$ luego x - 3 - 1 1 + 3
x
2
$ 1 # 1 $ 1
Por último Df = -3, - 1
@ @, 1, + 3
@ 6
- Eje x ( y = 0 ,
x - 1
x + 1
= 0 ,
x - 1
x + 1
= 0 , x + 1 = 0 , x =- 1
la curva corta el eje x en el punto -1,0
^ h
- Eje y ( x = 0 g Df lo que significa que la curva no corta el eje de ordenadas.
** Asintotas
- Asintota Horizontal.
lim
x"3
f(x) = lim
x"3 x - 1
x + 1
= lim
x"3 x - 1
x + 1
` j = lim
x"3 x
x
= 1
_ i = 1
luego la asintota horizontal es y = 1
- Posición de la curva respecto a la asintota horizontal
lim
x"3
f(x) - y
6 @ = lim
x"3 x - 1
x + 1 - 1
: C = lim
x"3 x - 1
x + 1 - 1
a k
x - 1
x + 1 + 1
x - 1
x + 1 + 1
J
L
K
K
K
K
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
O
O
O
O
R
T
S
S
S
S
S
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
W
W
W
W
W
= lim
x"3
x - 1
x + 1 + 1
x - 1
x + 1 - 1
J
L
K
K
K
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
O
O
O
R
T
S
S
S
S
S
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
W
W
W
W
W
lim
x"3
x - 1
x + 1 + 1
x - 1
2
J
L
K
K
K
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
O
O
O
R
T
S
S
S
S
S
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
W
W
W
W
W
=
lim
x"-3
x - 1
x + 1 + 1
x - 1
2
J
L
K
K
K
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
O
O
O
R
T
S
S
S
S
S
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
W
W
W
W
W
lim
x"+3
x - 1
x + 1 + 1
x - 1
2
J
L
K
K
K
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
O
O
O
R
T
S
S
S
S
S
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
W
W
W
W
W
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
=
lim
x"-3 2
0-
` j
8 B
lim
x"+3 2
0+
a k
: C
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
= 0- U la curva esta debajo de la asintota
0+ U la curva esta encima de la asintota
'
- Asintota vertical. se fija en D f " valores del borde de dominio
^ h
lim
x"1+ x - 1
x + 1
: C = lim
x"1+ 0
+
2
: C =+3 luego x = 1 es la asintota vertical
- Asintota oblicua. no hay oblicua porque hay asintota horizontal
** Maximos,Minimos,puntos de crecimiento y decrecimiento.
f x
^ h =
x - 1
x + 1
( l
f (x) =
2
1
x - 1
x + 1
` j 2
-1
x - 1
^ h2
x - 1
^ h - x + 1
^ h
< F =
x - 1
^ h2
-1
x + 1
x - 1
# 0 porque
x + 1
x - 1
$ 0 y
x - 1
^ h2
-1
1 0
luego f(x) es decreciente en todo D f,y como se ve l
f (x) no esta definida en x = 1
lim
x"-1-
l
f (x) = lim
x"-1- x - 1
^ h2
-1
x + 1
x - 1
=
4
-1
0-
-2
=
4
-1 +3
^ h =-3
esto nos indica que la curva tiene una tangente vertical en el punto -1,0
^ h
x - 3 - 1 1 + 3
l
f (x) - -
f(x) 4 0 4

4 Ejercicio:
^ h =
4 - x
2
x
f x
^ h esxiste si y sólo si 4 - x
2
2 0 , x
2
1 4 ,- 2 1 x 1 2
luego D f = -2,2
@ 6
** simetria
f -x
^ h =
4 - -x
^ h2
-x
=
4 - x
2
-x
=- f(x) ( f es una función impar
posee una simetria rotacional con respecto al origen de coordinadas
^ h
asi que es mas que suficiente hacer un estudio en el intervalo 0,2
6 6
- Eje x ( y = 0 ,
4 - x
2
x
= 0 , x = 0
luego el 0,0
^ h es el punto de corte entre la curva y el eje de las abscisas X
- Eje y ( x = 0 ( y =
4 - 0
2
0
= 0
luego el 0,0
^ h es el punto de corte entre la curva y el eje de las ordenadas Y
** Asintotas
- Asintotas horizontales: no hay ( ya que la funcion no esta definida en los 3)
- Asintotas oblicuas: no hay ( ya que la funcion no esta definida en los 3)
- Asintotas vertical (se fija en D f en los bordes , los limites)
como la funcion es impar y el D f se ha reducido a la mitad 0,2
6 6basta en hallar
lim
x"2-
f(x) = lim
x"2- 4 - x
2
x
=
0+
2
=+3 ( x = 2 es asintota vertical
y como la funcion es impar ( lim
x"-2+
f(x) =-3 ( x =- 2 es asintota vertical
f(x) =
4 - x
2
x
, f(x) = x. 4 - x
2
^ h 2
-1
( l
f x
^ h = 4 - x
2
^ h 2
-1
+ x.
2
-1
` j 4 - x
2
^ h 2
-3
-2x
^ h
, l
f x
^ h =
4 - x
2
1 +
4 - x
2
^ h 4 - x
2
x
2
=
4 - x
2
1
1 +
4 - x
2
^ h
x
2
; E haciendo division de polinomios
x
2
4 - x
2
g
x
2
- 4 - 1 asi que
4 - x
2
^ h
x
2
=- 1 +
4 - x
2
4
----
4
luego l
f x
^ h =
4 - x
2
1
4 - x
2
4
= 4 4 - x
2
^ h-1
4 - x
2
^ h 2
-1
= 4 4 - x
2
^ h 2
-3
=
4 - x
2
^ h3
4
2 0
( f(x) es creciente en todo el intervalo
- Tabla de valores:
x - 2 2
l
f x
^ h +
f(x) 3

l
f (x) = 4 4 - x
2
^ h 2
-3
( m
f x
^ h = 4.
2
-3
` j -2x
^ h 4 - x
2
^ h 2
-5
=
4 - x
2
^ h5
12x
m
f x
^ h = 0 ,
4 - x
2
^ h5
12x
= 0 , 12x = 0 , x = 0 ( f 0
^ h = 0
x - 2 0 2 m
f -1
^ h =
3
5
-12
1 0
m
f x
^ h - 0 + m
f 1
^ h =
3
5
12
2 0
f x
^ h + 0 ,
en el intervalo -2,0
@ @ f(x) dirige su concavidad hacia la parte negativa del eje oy.
en el intervalo 0,2
6 6 f(x) dirige su concavidad hacia la parte positiva del eje oy.
el punto 0,0
^ h es el punto de inf lexión de la curva

5 Ejercicio:
^ h = 2x
2
+ 4x
^ h.e-x
y halla el area limitada por la curva
de f(x),el eje ox y las rectas x = 0 , x = 6
Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva en el punto de abscisa x = 0
f x
^ h esxiste para 6 x d R,luego D f = R
- Eje x ( y = 0 , 2x
2
+ 4x
^ h.e-x
= 0 , x 2x + 4
^ h = 0 ,
2x + 4 = 0
x = 0
$ ,
x =- 2
x = 0
$
asi que la curva corta el eje x en 0,0
^ h y -2,0
^ h
- Eje y ( x = 0 ( y = 0
asi que la curva corta el eje y en 0,0
^ h
** Asintotas
lim
x"3
f(x) = lim
x"3
2x
2
+ 4x
^ h.e-x
6 @ =
lim
x"-3
2x
2
+ 4x
^ h.e-x
6 @ " B
lim
x"+3
2x
2
+ 4x
^ h.e-x
6 @ " A
*
A = lim
x"+3
2x
2
+ 4x
^ h.e-x
6 @ =+3.0 F.I (forma indeterminada)
lim
x"+3
2x
2
+ 4x
^ h.e-x
6 @ = lim
x"+3 e
x
2x
2
+ 4x
^ h
; E =
+3
+3
F.I aplicando la regla de l´Hopital queda asi
lim
x"+3 e
x
4x + 4
^ h
; E =
+3
+3
F.I aplicando la regla de l´Hopital
^ h = lim
x"+3 e
x
4
8 B = 0+
" asintota horizontal en eje x +
y significa que la curva esta encima del ox +
B = lim
x"-3
2x
2
+ 4x
^ h.e-x
6 @ = lim
x"-3
x
2
2 +
x
4
` j.e-x
8 B =+3. + 3 =+3 " no hay asintota horizontal en eje x -
- Asintotas vertical (se fija en D f) en los valores excluidos,como no hay ( no hay asintota vertical
f(x) = 2x
2
+ 4x
^ h.e-x
( l
f x
^ h = 4x + 4
^ h.e-x
- 2x
2
+ 4x
^ h.e-x
= -2x
2
+ 4
^ h.e-x
l
f x
^ h = 0 , -2x
2
+ 4
^ h.e-x
= 0 ,- 2x
2
+ 4 = 0 ,
x =- 2 $ f(- 2) = 4 - 4 2
^ he
2
x = 2 $ f( 2) = 4 + 4 2
^ he- 2
=
)
x - 3 - 2 2 + 3 l
f -2
^ h = -8 + 4
^ he
2
=- 4e
2
1 0
l
f x
^ h - 0 + 0 - l
f 0
^ h = 4 2 0
f x
^ h 4 2,35 3 -6,81 4 l
f 2
^ h =- 4e-2
1 0
punto - 2,2,35
^ h es un minimo , punto 2, - 6,81
^ h es un maximo
l
f (x) = -2x
2
+ 4
^ h.e-x
( m
f x
^ h =- 4x.e-x
- -2x
2
+ 4
^ h.e-x
= 2x
2
- 4x - 4
^ h.e-x
m
f x
^ h = 0 , 2x
2
- 4x - 4 = 0 , x
2
- 2x - 2 = 0 ,
x =
2
2 - 2 3
= 1 - 3 .- 0,73 $ f 1 - 3
^ h c- 3,86
x =
2
2 + 2 3
= 1 + 3 . 2,73 $ f 1 + 3
^ h c 1,683
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
x - 3 1 - 3
^ h 1 + 3
^ h + 3 m
f -1
^ h = 2e 2 0
m
f x
^ h + 0 - 0 + m
f 0
^ h =- 4 1 0
f x
^ h , -3,86 + 1,683 , m
f 3
^ h = 2e
-3
2 0
asi que los puntos -0,73 ; - 3,86
^ h y 2,73 ; 1,683
^ h son los puntos de inflexión
ver grafica de abajo

Grafica de la función
** area limitada por la curva de f(x),el eje ox y las rectas x = 0 , x = 6
Area = 2x
2
+ 4x
^ h.e-x
.dx
0
6
# integrando por partes
dv = e-x
.dx & v =- e-x
u = 2x
2
+ 4x & du = 4x + 4
^ h.dx
'
Area = - 2x
2
+ 4x
^ h.e-x
6 @0
6
+ 4x + 4
^ he-x
.dx
0
6
# resolviendo otra vez por partes
dv = e-x
.dx & v =- e-x
u = 4x + 4 & du = 4.dx
$
= - 2x
2
+ 4x
^ h.e-x
6 @0
6
+ - 4x + 4
^ h.e-x
6 @0
6
+ 4e-x
.dx
0
6
# = - 2x
2
+ 4x
^ h.e-x
6 @0
6
+ - 4x + 4
^ h.e-x
6 @0
6
+ - 4
^ h.e-x
6 @0
6
= -2x
2
- 8x - 8
^ h.e-x
6 @0
6
= -72 - 48 - 8
^ he-6
+ 8
6 @ = 7,68 u
2
** Ecuaciones de la tangente y la normal
Ecuacion de la recta tangente en x = a es y - f a
^ h = l
f a
^ h x - a
^ h
luego en x = 0 es y - f 0
^ h = l
f 0
^ h x - 0
^ h y como f 0
^ h = 2.0
2
+ 4.0
^ h.e-0
= 0 ; l
f 0
^ h = -2.0
2
+ 4
^ h.e-0
= 4
Ecuacion de la recta tangente queda de la seguiente manera y = 4x
Ecuacion de la recta Normal en x = a es y - f a
^ h =
l
f a
^ h
-1
x - a
^ h
Remplazando queda de la seguiente forma: 4y + x = 0

6 Ejercicio:
^ h =!
x
2 - x
f x
x ! 0
x
2 - x
$ 0
)
,
x ! 0
x
2 - x
x
x
$ 0
)
,
x ! 0
x
2
2 - x
^ hx
$ 0
*
,
x ! 0
2 - x
^ hx $ 0
'
2 - x
^ hx (
x = 2
x = 0
$
x - 3 0 2 + 3
x - 0 + 2 + luego D f = 0,2
@ @
2 - x
^ h + 2 + 0 -
2 - x
^ hx - 0 + 0 -
** simetria
! nos indica que la curva es simetrica respecto del eje ox.esto nos permite representar la curva
y =
x
2 - x
y después hallar su simetrica respecto de ox(como si doblaramos el folio sobre el eje x)
- Eje x ( y = 0 ,
x
2 - x
= 0 ,
x
2 - x
= 0 , 2 - x = 0 , x = 2
luego f(x) corta el eje x en el punto (2,0)
- Eje y ( x = 0 z D f , luego f(x) no corta el eje y
** Asintotas
- Asintotas horizontales no hay porque f(x) no esta definida cuando x " 3
- Asintotas oblicuas no hay porque f(x) no esta definida cuando x " 3
- Asintotas vertical
lim
x"0+
f(x) = lim
x"0+ x
2 - x
= lim
x"0+ x
2 - x
` j =
0+
2
=+3
luego x = 0 es la asintota vertical
f(x) =
x
2 - x
=
x
2 - x
` j2
1
( l
f x
^ h =
2
1
x
2 - x
` j 2
-1
x
2
-x - 2 - x
^ h
c m =
x
2
-1
2 - x
x
1 0
luego la función f(x) strictamente decreciente en el intervalo 0,2
@ 6
l
f x
^ h no esta definida en x = 2 , lim
x"2- x
2
-1
2 - x
x
a k = lim
x"2-
-
x
4
2 - x
^ h
x
a k = lim
x"2-
-
x
3
2 - x
^ h
1
c m
= lim
x"2-
-
x
3
2 - x
^ h
1
c m = -
0+
1
a k =-3 ( l
f 2
^ h " 3 ( la curva tiene una tangente vertical en 2,0
^ h
recuerde: pendiente de una recta vertical es 3
pendiente de una recta horizontal es 0
x 0 2
l
f x
^ h -
f x
^ h 4 0

l
f x
^ h =
x
2
-1
2 - x
x
=- x
3
2 - x
^ h
6 @ 2
-1
( m
f x
^ h =
2
1
x
3
2 - x
^ h
6 @ 2
-3
3x
2
2 - x
^ h - x
3
6 @ =
2
1
x
3
2 - x
^ h
6 @ 2
-3
6x
2
- 4x
3
6 @
m
f x
^ h =
x
3
2 - x
^ h
6 @3
3x
2
- 2x
3
m
f x
^ h = 0 ,
x
3
2 - x
^ h
6 @3
3x
2
- 2x
3
= 0 , 3x
2
- 2x
3
= 0 , x
2
3 - 2x
^ h = 0 ,
x =
2
3
x = 0 g D f
)
x 0
2
3
2 m
f x
^ h = 1 2 0
m
f x
^ h + 0 - m
f 1,75
^ h 1 0
f x
^ h ,
3
3
+
convexa concava
el punto
2
3
,
3
3
c m es el punto de inf lexion ya que hay cambio de concavidad

7 Ejercicio:
^ h = x
2x
hay que saber que 6 función de la forma f x
^ h
6 @g(x)
existe Ssi f(x) + do min io de definición de g(x)
6 @
asi que x
2x
esxiste si y sólo si x 2 0 y D(2x) = R : luego D f = R*
+
** simetria
no es simetrica ni respecto al origen de cordenadas ni respecto al eje oy(ni impar ni par),por estar definida solo para x 2 0.
** Corte con los ejes recuerda: a = e
Lna
siendo a 2 0
- Eje x ( y = 0 + x
2x
= 0 + e
Lnx2x
= 0 imposible que e
Lnx2x
sea nula
lo que significa que la ecuacion x
2x
= 0 no tiene solucion , asi que f(x) no corta el eje x.
- Eje y ( x = 0 g D f=R*
+ ( f x
^ hno corta el eje y
** Asintotas
- Asintotas vertical. se fija en D f en los bordes
^ h , recuerda: lim
x"a
a
f x
^ h
= a
lim
x"a
f x
^ h
lim
x"0+
f(x) = lim
x"0+
x
2x
= lim
x"0+
eLnx2x
= lim
x"0+
e2xLnx
= e lim
x"0+
2xLnx
sea A = lim
x"0+
2x.Lnx
^ h = 0. -3
^ h F.I forma indeterminada.
^ h
A = lim
x"0+
2x.Lnx
^ h = 2 lim
x"0+
x
1
Lnx
=
+3
-3
F.I forma indeterminada.
^ h aplicando L´hopital.
A = 2 lim
x"0+
x
1
Lnx
= 2 lim
x"0+
x
2
-1
x
1
=
x ! 0
?
- 2 lim
x"0+
x =- 2.0 = 0 ; luego lim
x"0+
f(x) = e0
= 1 & no hay assintota vertical.
lim
x"+3
f(x) = lim
x"+3
x
2x
= +3
^ h+3
=+3 ( no hay asintota horizontal
al no haber la asintota horizontal puede que exista la asintota oblicua
- Asintotas oblicua: es de la forma : y = mx + n siendo
n = lim
x"3
f(x) - mx
6 @
m = lim
x"3 x
f(x)
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
lim
x"+3 x
f(x)
= lim
x"+3 x
x
2x
= lim
x"+3
x
2x-1
= +3
^ h+3
=+3 ( no hay asintota oblicua
nos indica que la curva tiene una rama parabolica de direccion el eje oy.
f(x) = x
2x
= e
Lnx2x
= e
2xLnx
( l
f x
^ h = e
2xLnx
. 2xLnx
^ hl= e
2xLnx
. 2Lnx +
x
2x
` j = e
2xLnx
. 2Lnx + 2
^ h = 2x
2x
. Lnx + 1
^ h
luego l
f x
^ h = 2x
2x
. Lnx + 1
^ h , l
f x
^ h = 0 , 2x
2x
. Lnx + 1
^ h = 0 ( Lnx + 1 = 0 , Lnx =- 1 , e
Lnx
= e-1
, x = e-1
f(e-1
) = e-1
^ h2e-1
= e e
-2
x 0
e
1 + 3 l
f 1
^ h = 2 2 0
l
f x
^ h 0 l
f
e
2
1
a k = 2
e
2
1
a k
e2
2
-2 + 1
^ h 1 0
f x
^ h e e
-2
de 0,e-1
@ @ f(x) decrece 4 y de e-1
, + 3
6 6 f(x) creciente 3 y el punto
e
1
,e e
-2
` j es el minimo.
l
f (x) = 2x
2x
. Lnx + 1
^ h ( m
f x
^ h = 2 Lnx + 1
^ h 2x
2x
Lnx + 1
^ h
6 @ + 2x
2x
x
1
m
f x
^ h = 2x
2x
.
x
1 + 2 Lnx + 1
^ h2
8 B y como 2x
2x
2 0 , x
1
2 0 , 2 Lnx + 1
^ h2
$ 0
luego m
f x
^ h 2 0 (
no hay punto de inflexión
dirige su concavidad hacia el eje oy
%
7

8 Ejercicio:
^ h =
x
2
+ 2x + 4
x + 1
entre f(x) y el eje ox comprendida entre - 1 # x # 2.
** dominio de definición
f x
^ h esxiste si y sólo si x
2
+ 2x + 4 2 0 , x
2
+ 2x + 1 - 1 + 4 2 0 , x + 1
^ h2
+ 3 2 0
el resultado es verdadero para 6 valor de x asi que D f = R
** simetria
f -x
^ h !! f x
- Eje x ( y = 0 ,
x
2
+ 2x + 4
x + 1
= 0 , x + 1 = 0 , x =- 1 , luego f(x) corta eje x en -1,0
^ h
- Eje y ( x = 0 ( y =
0
2
+ 2.0 + 4
0 + 1
= 1 , luego f(x) corta eje y en 0,1
^ h
** Asintotas
- Asintotas horizontales recordad: a
2
= a , a =
-a si a # 0
a si a $ 0
$
lim
x"3
f(x) = lim
x"3 x
2
+ 2x + 4
x + 1
= lim
x"3
x
2
1 +
x
2 +
x
2
4
a k
x 1 +
x
1
` j
= lim
x"3
x 1 +
x
2 +
x
2
4
a k
x 1 +
x
1
` j
lim
x"3
f(x) = lim
x"3
x 1 +
x
2 +
x
2
4
a k
x 1 +
x
1
` j
=
lim
x"-3
-x 1 +
x
2 +
x
2
4
a k
x 1 +
x
1
` j
=- 1
lim
x"+3
x 1 +
x
2 +
x
2
4
a k
x 1 +
x
1
` j
= 1
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
quiere decir que cuando
x 1 0 la asintota horizontal es y =- 1
x 2 0 la asintota horizontal es y = 1
%
Posición de la curva respecto a la asintota horizontal. saber si f(x) - y
^ h es 1 ó 2 a cero
^ h
cuando x 2 0
f(x) - y
6 @ =
x
2
+ 2x + 4
x + 1 - 1
; E , sabemos que x
2
+ 2x + 4 = x + 1
^ h2
+ 3 2 x + 1 & 0 1
x + 1
^ h2
+ 3
x + 1
1 1
y como estamos trabando en R+
& 0 1
x + 1
^ h2
+ 3
x + 1
1 1 &
x + 1
^ h2
+ 3
x + 1 - 1 1 0
luego f(x) - y
^ h 1 0 ( la grafica de f x
^ h esta por debajo de y = 1 cuando x $ 0
cuando x 1 0
f(x) - y
6 @ =
x
2
+ 2x + 4
x + 1 + 1
; E , sabemos que x
2
+ 2x + 4 = x + 1
^ h2
+ 3 2 x + 1 &- 1 1
x + 1
^ h2
+ 3
x + 1
1 0,
y como estamos trabando en R-
&- 1 1
x + 1
^ h2
+ 3
x + 1
1 0 &
x + 1
^ h2
+ 3
x + 1 + 1 2 0
luego f(x) - y
^ h 2 0 ( la grafica de f x
^ h esta por encima de y =- 1 cuando x # 0
- Asintotas verticales: no hay al no haber bordes en dominio de definicion
- Asintotas horizontales: no hay porque existe la horizontal
f(x) =
x
2
+ 2x + 4
x + 1
( l
f x
^ h =
x
2
+ 2x + 4
x
2
+ 2x + 4 - x + 1
^ h
2 x
2
+ 2x + 4
2 x + 1
^ h
=
x
2
+ 2x + 4
x
2
+ 2x + 4
x
2
+ 2x + 4 -
x
2
+ 2x + 4
x + 1
^ h2
l
f x
^ h =
x
2
+ 2x + 4
^ h x
2
+ 2x + 4
3
2 0
asi que la función f x
^ h es creciente 3 en todo R y no tiene ni maximo ni minimo.
8

l
f (x) =
x
2
+ 2x + 4
^ h x
2
+ 2x + 4
3
, x
2
+ 2x + 4
^ h x
2
+ 2x + 4
^ hl= 2x + 2
^ h x
2
+ 2x + 4 + x
2
+ 2x + 4
^ h
2 x
2
+ 2x + 4
2 x + 1
^ h
x
2
+ 2x + 4
^ h x
2
+ 2x + 4
^ hl=
x
2
+ 2x + 4
2 x + 1
^ h x
2
+ 2x + 4
^ h
+
2 x
2
+ 2x + 4
2 x + 1
^ h x
2
+ 2x + 4
^ h
=
2
3
x
2
+ 2x + 4
2 x + 1
^ h x
2
+ 2x + 4
^ h
( m
f x
^ h =
x
2
+ 2x + 4
^ h2
x
2
+ 2x + 4
^ h
-3.3
x
2
+ 2x + 4
x + 1
^ h x
2
+ 2x + 4
^ h
=
x
2
+ 2x + 4
^ h2
x
2
+ 2x + 4
-9 x + 1
^ h
m
f x
^ h = 0 , x + 1
^ h = 0 , x =- 1 , f -1
^ h = 0
x - 3 - 1 + 3
m
f x
^ h + 0 - f -2
^ h 2 0
f x
^ h , 0 + f 0
^ h 1 0
convexa concava -1,0
^ h punto de inflexión.
area comprendida entre f(x) y el eje ox comprendida entre - 1 # x # 2
A =
x
2
+ 2x + 4
x + 1
c m.dx
-1
2
# , haciendo cambio variable u = x
2
+ 2x + 4 ( du = 2x + 2
^ h.dx = 2 x + 1
^ h.dx &
2
du
= x + 1
^ h
asi que A =
u
2
du
f p
-1
2
# =
2
1
u
^ h 2
-1
-1
2
# .du =
2
1
2
-1 + 1
1
u
^ h 2
-1 +1
= G
-1
2
=
2
1
2 u
^ h2
1
7 A-1
2
= x
2
+ 2x + 4
6 @-1
2
= 4 + 4 + 4 - 1 - 2 + 4
6
A = 12 - 3
^ h u
2
(- 1, 0)
y=1
y=-1
=

9 Ejercicio:
sea f una función numerica de variable real x definida por f x
^ h =
1 - x
1 + x
a Estudie la función f y haz la grafica de la función
b Calcule
1 - x
dx
2
4
#
c Halla el area de la curva lim itada por las rectas y =- 1 , x = 2 y x = 4
a estudio de la función y su grafica
f x
1 - x ! 0
x $ 0
' ,
x ! 1
x $ 0
' ,
x ! 1
x $ 0
$ , luego D f = R+
- 1
" ,
- Eje x ( y = 0 ,
1 - x
1 + x
= 0 , 1 + x = 0 , x =- 1 absurdo(imposible)
luego la función f x
^ h no corta el eje x
- Eje y ( x = 0 ( y =
1 - 0
1 + 0
= 1
luego 0,1
^ h es el punto de corte de la funcion con el eje y
** Asintotas
lim
x"+3
f(x) = lim
x"+3 1 - x
1 + x
= lim
x"+3 - x
x
= lim
x"+3
-1
^ h =- 1 & y =- 1 es la a sin tota horizontal
al existir la a sin tota horizontal ( no existe la a sin tota oblicua
- Posición de la curva respecto a la Asintotas horizontales. averiguar si f x
^ h - y
6 @ es 2 o 1 0
^ h
1º calculemos f x
^ h - y
6 @ =
1 - x
1 + x
+ 1 =
1 - x
2
con la ayuda de la tabla hallaremos su signo
x 0 1 + 3
- x 0 - - 1 -
1 - x 1 + 0 -
1 - x
2
2 + -
significa
si x d 1, + 3
6 6( f x
^ h - y
6 @ 1 0 ( la curva se encuentra debajo de la asintota y =- 1
si x d 0,1
6 6( f x
^ h - y
6 @ 2 0 ( la curva se encuentra encima de la asintota y =- 1
(
- Asintotas vertical (se fija en D f)
lim
x"1
f(x) = lim
x"1 1 - x
1 + x
d n =
lim
x"1- 1 - x
1 + x
d n =
0+
2
=+3
lim
x"1+ 1 - x
1 + x
d n =
0-
2
=-3
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
, luego x = 1 a sin tota vertical
f x
^ h =
1 - x
1 + x
( l
f x
^ h =
1 - x
^ h
2
2 x
1
1 - x
^ h - 1 + x
^ h
2 x
-1
c m
=
1 - x
^ h
2
2 x
1 -
2
1 +
2 x
1 +
2
1
=
1 - x
^ h
2
x
1
=
x 1 - x
^ h
2
1
asi que l
f x
^ h =
x 1 - x
^ h
2
1
2 0 ( la funcion f x
^ h es creciente en todo D f
y como se ve que la funcion l
f x
^ h no esta definida en x = 0 y f 0
^ h = 1, calculemos su limite.
lim
x"0+
l
f x
^ h = lim
x"0+
x 1 - x
^ h
2
1
=
0+
1
=+3 ( la curva tiene una tan gente vertical en el punto 0,1
^ h
9
1
- + x

l
f x
^ h =
x 1 - x
^ h
2
1
, antes de nada hallemos la derivada de x 1 - x
^ h
2
x 1 - x
^ h
2
7 Al=
2 x
1
1 - x
^ h
2
+ x .2. 1 - x
^ h.
2 x
-1
c m =
2 x
1
1 - x
^ h
2
- 1 - x
^ h = 1 - x
^ h
2 x
1 - x
^ h
- 1
< F
= 1 - x
^ h
2 x
1 - x - 2 x
^ h
< F =
2 x
1 - x
^ h 1 - 3 x
^ h
( m
f x
^ h =
x 1 - x
^ h
4
-
2 x
1 - x
^ h 1 - 3 x
^ h
=
2.x. x 1 - x
^ h
4
- 1 - x
^ h 1 - 3 x
^ h
m
f x
^ h = 0 , 1 - x
^ h 1 - 3 x
^ h = 0 (
1 - 3 x = 0
1 - x = 0
( ,
x =
9
1
x = 1 b D f
)
f
9
1
` j =
1 -
9
1
1 +
9
1
=
1 -
3
1
1 +
3
1
=
3
2
3
4
= 2
x 0
9
1
1 + 3 m
f
16
1
` j 1 0
m
f x
^ h - 0 + - m
f
4
1
` j 2 0
f x
^ h 1 + 2 , + m
f 4
^ h 1 0
concava convexa concava
el punto
9
1
,2
` j es el punto de inf lexión
b Calcular
1 - x
dx
2
4
# , haciendo cambio de variable
x " 4 & t " 2
x " 2 & t " 2
x = t
2
& dx = 2t.dt
*
1 - x
dx
2
4
# =
1 - t
2t.dt
2
2
# = -2 +
1 - t
2.dt
` j
2
2
# = -2.
2
2
# dt - 2
1 - t
-dt
` j
2
2
# = -2t
6 @ 2
2
- 2 Ln 1 - t
6 @ 2
2
=- 4 + 2 2 + 2Ln 1 - 2
c area de la curva limitada por las rectas y =- 1 , x = 2 y x = 4
segun la grafica de arriba la funcion y =- 1 esta encima de la funcion f x
^ h asi que
Area = A = -1 -
1 - x
1 + x
d n
2
4
# .dx =
1 - x
-1 + x - 1 - x
d n
2
4
# .dx =
1 - x
-2
c m
2
4
# .dx =- 2
1 - x
dx
2
4
#
En el apartado anterior
1 - x
dx
2
4
# =- 4 + 2 2 + 2Ln 1 - 2 luego
Area = A =- 2 -4 + 2 2 + 2Ln 1 - 2
^ h . 5,86864 u
2

10 Ejercicio:
^ h = Ln 2x
2
- 3x + 1
^ h
Halla el area comprendida entre f x
^ h y el eje ox comprendida entre las abscisas x =
2
3
y x = 4
f x
^ h esxiste si y sólo si 2x
2
- 3x + 1 2 0 , hallemos las raices de 2x
2
- 3x + 1 = 0
2x
2
- 3x + 1 = 0 , 3= b
2 - 4.a.c = 9 - 4.2.1 = 1 & 3 = 1 , luego x =
4
3 - 1
=
2
1
4
3 + 1
= 1
*
2x
2
- 3x + 1 = 0 + 2 x - 1
^ h x -
2
1
` j = 0 + x - 1
^ h 2x - 1
^ h = 0
ponemos la tabla de signos
x - 3
2
1
1 + 3
x - 1
^ h - - 0 +
2x - 1
^ h -
2
1 + +
x - 1
^ h 2x - 1
^ h + 0 - 0 +
luego D f = -3,
2
1
B 8, 1, + 3
@ 6
- Eje x ( y = 0 + Ln 2x
2
- 3x + 1
^ h = 0 + 2x
2
- 3x + 1 = 1 + 2x
2
- 3x = 0 + x 2x - 3
^ h = 0
+ x 2x - 3
^ h = 0 +
x =
2
3
x = 0
) luego los puntos de corte con el eje x son 0,0
^ h y
2
3
,0
` j
- Eje y ( x = 0 ( y = Ln 2.0
2
- 3.0 + 1
^ h = Ln +1
^ h = 0
luego el punto de corte con el eje y es 0,0
^ h
** Asintotas
lim
x"3
f(x) = lim
x"3
Ln 2x
2
- 3x + 1
^ h = lim
x"3
Ln x
2
^ h =
lim
x"-3
Ln x
2
^ h =+3
lim
x"+3
Ln x
2
^ h =+3
* & no hay a sin tota horizontal
- Asintotas verticales(se fija en D f en los bordes)
lim
x" 2
1
c m
-
f(x) = lim
x" 2
1
c m
-
Ln 2x
2
- 3x + 1
^ h = Ln0+
=-3
lim
x"1+
f(x) = lim
x"1+
Ln 2x
2
- 3x + 1
^ h = Ln0+
=-3
luego x =
2
1
y x = 1 son las asintotas verticales
n = lim
x"3
f(x) - mx
6 @
m = lim
x"3 x
f(x)
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
m = lim
x"3 x
f(x)
= lim
x"3 x
Ln 2x
2
- 3x + 1
^ h
=
3
3 F.I aplicando l´hopital
m = lim
x"3 1
2x
2
- 3x + 1
4x - 3
= lim
x"3 2x
2
- 3x + 1
4x - 3
= lim
x"3 2x
2
4x
= lim
x"3 2x
4
= 0
( la curva tiene una rama parabolica de dirección el eje ox
f(x) = Ln 2x
2
- 3x + 1
^ h ( l
f x
^ h =
2x
2
- 3x + 1
4x - 3
l
f x
^ h = 0 + 4x - 3 = 0 + x =
4
3
b D f
10

x - 3
2
1
4
3
1 + 3 l
f 0
^ h 1 0
l
f x
^ h - - 0 + + l
f 2
^ h 2 0
f(x) 4 3
Entonces f x
^ h decrece 4 en el int ervalo -3,
2
1
B 8 y crece 3 en el int ervalo 1, + 3
@ 6
pero como l
f x
^ h ! 0 en D f ( no tiene ni maximo ni minimo
f(x) = Ln 2x
2
- 3x + 1
^ h ( l
f x
^ h =
2x
2
- 3x + 1
4x - 3
( m
f x
^ h =
2x
2
- 3x + 1
^ h2
4 2x
2
- 3x + 1
^ h - 4x - 3
^ h2
( m
f x
^ h =
2x
2
- 3x + 1
^ h2
-8x
2
+ 12x - 5
=
2x
2
- 3x + 1
^ h2
-4 2x
2
- 3x + 1
^ h
es + en Df
6 7 8
4444444
4 4444444
4
- 1
1 0 en todo el dominio de definición.
esto nos indica que en el
1, + 3
@ 6 f x
^ h dirige su concavidad hacia la parte - del eje oy
-3,
2
1
B 8 f x
^ h dirige su concavidad hacia la parte - del eje oy
*
** area comprendida entre f x
^ h y el eje ox comprendida entre las abscisas x =
2
3
y x = 4
A = Ln 2x
2
- 3x + 1
^ h.dx
2
3
4
# dv = dx ( v = x
u = Ln 2x
2
- 3x + 1
^ h ( du =
2x
2
- 3x + 1
4x - 3
dx
)
A = x.Ln 2x
2
- 3x + 1
^ h
6 @
2
3
4
-
2x
2
- 3x + 1
4x
2
- 3x
dx
2
3
4
# = x.Ln 2x
2
- 3x + 1
^ h
6 @
2
3
4
- 2 +
2x
2
- 3x + 1
3x - 2
a k dx
2
3
4
#
A = x.Ln 2x
2
- 3x + 1
^ h
6 @
2
3
4
- 2 +
2x
2
- 3x + 1
4x - 3 - x + 1
a k dx
2
3
4
# = x.Ln 2x
2
- 3x + 1
^ h - 2x
6 @
2
3
4
-
2x
2
- 3x + 1
4x - 3 - x + 1
a k dx
2
3
4
#
A = x.Ln 2x
2
- 3x + 1
^ h - 2x - Ln 2x
2
- 3x + 1
^ h
6 @
2
3
4
+
x - 1
^ h 2x - 1
^ h
x - 1
a k dx
2
3
4
#
A = x - 1
^ h.Ln 2x
2
- 3x + 1
^ h - 2x
6 @
2
3
4
+
2
1
2x - 1
^ h
2.dx
2
3
4
#
A = x - 1
^ h.Ln 2x
2
- 3x + 1
^ h - 2x +
2
1
Ln 2x - 1
8 B
2
3
4
. 4,76 u
2

11 Ejercicio:
Sea f:
2
-r
,
2
3r
B 8$ R tal que f x
^ h =
1 + senx
cosx
** a estudiar la función y representar la grafica.
** b ecuación de la recta tangente y la normal en el punto de abscisa x =
2
r
** c area comprendida entre la función , el eje x y las rectas x = 0 y x =
2
r
a estudio de la función y la representación grafica.
** dominio de definición:
f x
^ h esxiste si y sólo si 1 + senx ! 0 asi que 1 + senx = 0 + senx =- 1 = sen
2
-r
_ i
senx = sen
2
-r
_ i (
x = r -
2
-r
_ i+ 2kr
x =
2
-r + 2kr
* +
x =
2
3r + 2kr b
2
-r
,
2
3r
B 8
x =
2
-r + 2kr b
2
-r
,
2
3r
B 8
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
k d Z
luego f(x) existe en todo
2
-r
,
2
3r
B 8
** Corte con los ejes Recuerda: cosa = cosb +
a =- b + 2kr
a = b + 2kr
$ siendo k d Z
- Eje x ( y = 0 ,
1 + senx
cosx
= 0 , cosx = 0 , cosx = cos
2
r
,
x =
2
-r + 2kr
x =
2
r + 2kr
k d Z
*
las posibles soluciones dentro de D f son: x =
2
-r
b D f x =
2
3r
b D f x =
2
r
d D f
asi que el punto
2
r
,0
_ i es el punto de corte entre eje x y f x
^ h
- Eje y ( x = 0 , f 0
^ h =
1 + sen0
cos0
= 1 ( que el punto 0,1
^ h es el punto de corte entre eje y e f x
^ h
** Asintotas
- Asintotas horizontales no hay porque x no esta definido para 3,o bien porque no aparece 3 en D f
- Asintotas oblicuas no hay por la misma razón que la anterior.
- Asintotas vertical(se fija en D f en los bordes) Recuerda: lim
x"a
f x
^ h = b significa que cuando x se acerca a a la y se acrca a b
lim
x" 2
-r
a k
+
f(x) = lim
x" 2
-r
a k
+ 1 + senx
cosx
_ i =
0
0
F.I aplicando l´Hopital
lim
x" 2
-r
a k
+
f(x) = lim
x" 2
-r
a k
+ cosx
-senx
_ i =
0+
1
=+3 para ver de donde sale 0+
ver grafica de cosx $
entonces x =
2
-r
es una asintota vertical
lim
x" 2
3r
c m
-
f(x) = lim
x" 2
3r
c m
- 1 + senx
cosx
_ i =
0
0
F.I aplicando l´Hopital
lim
x" 2
3r
c m
-
f(x) = lim
x" 2
3r
c m
- cosx
-senx
_ i =
0-
1
=-3 para ver de donde sale 0-
ver grafica de cosx $
entonces x =
2
3r
es una asintota vertical
** Maximos,Minimos,intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Recuerda: -1 # senx # 1
f(x) =
1 + senx
cosx
( l
f x
^ h =
1 + senx
^ h2
-senx 1 + senx
^ h - cosx cosx
^ h
=
1 + senx
^ h2
-senx - 1
=
1 + senx
^ h2
- 1 + senx
^ h
=
1 + senx
^ h
-1
porque x !
2
-r
y como en D f - 1 1 senx 1 1 asi que l
f x
^ h 1 0 ( f x
^ hes decreciente en todo el intervalo
2
-r
,
2
3r
B 8.
l
f (x) =
1 + senx
^ h
-1
( m
f x
^ h =
1 + senx
^ h
cosx
m
f x
^ h = 0 , cosx = 0 , cosx = cos
2
r
,
x =-
2
r + 2kr
x =
2
r + 2kr
* siendo k d Z , x =
2
r + kr siendo k d Z
11

las soluciones posibles son: -
2
r
b D f ,
2
r
d D f ,
2
3r
b D f ..........la unica solucion d D f es
2
r
x -
2
r
2
r
2
3r
m
f x
^ h + 0 -
f(x) , 0 +
convexa concava y el punto
2
r
,0
_ i es punto de inflexión.
LA GRAFICA
b Ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x =
2
r
Ecuacion de la recta tangente en x =
2
r
es de la forma: R: y - f
2
r
_ i = l
f
2
r
_ i x -
2
r
_ i
y como f
2
r
_ i = 0 ; l
f
2
r
_ i =
2
-1
asi que R: y =
2
-1
x -
2
r
_ i
b Ecuación de la recta normal en el punto de abscisa x =
2
r
Ecuacion de la recta Normal en x =
2
r
es de la forma: S: y - f
2
r
_ i =
l
f
2
r
_ i
-1
x -
2
r
_ i
y como f
2
r
_ i = 0 ; l
f
2
r
_ i =
2
-1
asi que S: y = 2 x -
2
r
_ i
c area comprendida entre la función , el eje x y las rectas x = 0 y x =
2
r
sea A = area = f x
^ h
0
2
r
# .dx =
1 + senx
cosx
0
2
r
# .dx = Ln 1 + senx
^ h
6 @0
2
r
= Ln2 u
2

12 Ejercicio:
Sea f: -r,r
6 @ $ R tal que f x
^ h =
1 - cos x
1 + cos x
Estudiar y graficar la función.
D f = x/x d -r,r
6 @ y 1 - cos x
^ h ! 0 y
1 - cosx
1 + cosx
$ 0
$ .
* 1 - cosx ! 0 , cos x ! 1 = cos 0 , cos x ! cos 0 ,
x !- 0 + 2kr
x ! 0 + 2kr
% , x ! 2kr siendo k d Z
*
1 - cosx
1 + cosx
$ 0 ,
1 - cosx
1 + cosx
1 + cosx
1 + cosx
$ 0 ,
1 - cos
2
x
1 + cos x
^ h2
$ 0 ,
sen
2
x
1 + cosx
^ h2
$ 0 verdadero siempre.
asi que el D f = -r,0
6 6, 0,r
@ @
** simetria
f -x
^ h =
1 - cos -x
^ h
1 + cos -x
^ h
=
1 - cosx
1 + cosx
= f x
^ h ( la función f x
^ h es par.asi que basta con hacer
un estudio en el intervalo 0,r
@ @ sabiendo que una función par es simetrica con respecto al eje y
- Eje x ( y = 0 ,
1 - cosx
1 + cosx
= 0 ( 1 + cosx = 0 , cosx =- 1 = cosr ,
x =-r + 2kr
x = r + 2kr
$ con k d Z
x = 2k + 1
^ hr con k d Z los valores posibles en el D f son r y - r
luego los puntos de corte con el eje x son r,0
^ h y -r,0
^ h
- Eje y ( x = 0 b D f ( f x
^ h no corta el eje y
** Asintotas
- Asintotas horizontales: no hay porque 3 b D f
- Asintotas oblicuas: no hay porque 3 b D f
- Asintotas verticales:(se fija en D f en los bordes)
lim
x"0+
f(x) = lim
x"0+ 1 - cosx
1 + cosx
= lim
x"0+ 1 - cosx
1 + cosx
=
0+
2
=+3 $
sale el 0+
V
ver de donde
6 7 8
444 444
luego por ser f x
^ h par & lim
x"0-
f(x) =+3
** Maximos,Minimos,intervalos de crecimiento y de decrecimiento.recordad: -1 # cos x # 1
f(x) =
1 - cosx
1 + cosx
=
1 - cosx
1 + cosx
` j
2
1
( l
f x
^ h =
2
1
1 - cosx
1 + cosx
` j
- 2
1
1 - cosx
^ h2
-senx 1 - cos x
^ h - 1 + cos x
^ hsenx
=
& l
f x
^ h =
1 + cos x
1 - cos x
` j
1 - cosx
^ h2
-senx
=-
1 + cosx
1 - cosx
1 - cosx
^ h4
sen
2
x
=-
1 + cosx
1 - cosx
1 - cosx
^ h4
1 - cosx
^ h 1 + cosx
^ h
con x ! r ( l
f x
^ h =-
1 - cosx
^ h2
1
=-
1 - cosx
1
1 0 ( f es decreciente
lim
x"r-
l
f x
^ h = lim
x"r-
-
1 - cosx
1
` j =
2
-1
luego la función f es derivable a la izquierda de r & l
f r
^ h =
2
-1
Tabla de variación
x 0 r x - r 0 r
l
f x
^ h - ( l
f x
^ h - -
f(x) 4 f(x) 4 4
12

13 Ejercicio:
^ h = x
2
- 2x
f x
^ h esxiste si y sólo si x
2
- 2x $ 0 para ello vamos a estudiar su signo.
x
2
- 2x = 0 , x x - 2
^ h = 0 ( x =
2
0
$
x - 3 0 2 + 3
x - 0 + 2 +
x - 2
^ h - - 2 - 0 +
x x - 2
^ h + 0 - 0 +
luego D f = -3,0
@ @, 2, + 3
6 6
- Eje x ( y = 0 , x
2
- 2x = 0 , x x - 2
^ h = 0 ( x =
2
0
$
asi que la curva corta el eje x en los puntos 0,0
^ h y 2,0
^ h
- Eje y ( x = 0 , f 0
^ h = 0 luego la curva corta el eje y en el punto 0,0
^ h
** Asintotas
- Asintotas horizontales Recuerda: lim
x"a
f x
^ h = lim
x"a
f x
^ h
lim
x"3
f(x) = lim
x"3
x
2
- 2x
^ h = lim
x"3
x
2
^ h =+3 ( no hay asintota horizontal
- Asintotas vertical (se fija en D f bordes excluidos) como no hay & no hay asintota vertical
n = lim
x"3
f(x) - mx
6 @
m = lim
x"3 x
f(x)
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
m = lim
x"3 x
f(x)
= lim
x"3 x
x
2
- 2x
= lim
x"3 x
x 1 -
x
2
=
lim
x"+3 x
x 1 -
x
2
= lim
x"-3
- 1 -
x
2
a k
lim
x"+3 x
x 1 -
x
2
= lim
x"+3
1 -
x
2
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
m =
lim
x"-3
- 1 -
x
2
a k =- 1 $ cuando x "-3 m =- 1
lim
x"+3
1 -
x
2
= 1 $ cuando x "+3 m = 1
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
n = lim
x"+3
x
2
- 2x - x
^ h = lim
x"+3
x
2
- 2x - x
^ h
x
2
- 2x + x
^ h
x
2
- 2x + x
^ h
= G = lim
x"+3
x. 1 -
x
2 + 1
a k
-2x
= G = lim
x"+3
1 -
x
2 + 1
a k
-2
= G =- 1
n = lim
x"-3
x
2
- 2x + x
^ h = lim
x"-3
x
2
- 2x + x
^ h
x
2
- 2x - x
^ h
x
2
- 2x - x
^ h
= G = lim
x"-3
-x. 1 -
x
2 + 1
a k
-2x
= G = lim
x"-3
1 -
x
2 + 1
a k
2
= G = 1
asi que en
OX negativo la asintota oblicua es y =- x + 1
OX positivo la asintota oblicua es y = x - 1
%
Posición de la curva respecto a la asintota oblicua
OX positivo
lim
x"+3
f(x) - y
6 @ = lim
x"+3
x
2
- 2x
^ h - x - 1
^ h
6 @ = lim
x"+3
x
2
- 2x
^ h - x - 1
^ h
6 @
x
2
- 2x
^ h + x - 1
^ h
6 @
x
2
- 2x
^ h + x - 1
^ h
6 @
) 3
= lim
x"+3 x
2
- 2x
^ h + x - 1
^ h
6 @
x
2
- 2x - x - 1
^ h2
6 @
= lim
x"+3
x 1 -
x
2
a k+ x 1 -
x
1
` j
: C
x
2
- 2x - x - 1
^ h2
6 @
= lim
x"+3
x 1 -
x
2 + 1 -
x
1
` j
a k
: C
-1
=
+3
-1
= 0-
lim
x"+3
f(x) - y
6 @ = 0-
1 0 ( la curva se encuentra por debajo de la asintota oblicua en ox + .
13

OX negativo
lim
x"-3
f(x) - y
6 @ = lim
x"-3
x
2
- 2x
^ h - -x + 1
^ h
6 @ = lim
x"-3
x
2
- 2x
^ h - -x + 1
^ h
6 @
x
2
- 2x
^ h + -x + 1
^ h
6 @
x
2
- 2x
^ h + -x + 1
^ h
6 @
) 3
= lim
x"-3 x
2
- 2x
^ h + -x + 1
^ h
6 @
x
2
- 2x - -x + 1
^ h2
6 @
= lim
x"-3
-x 1 -
x
2
a k- x 1 -
x
1
` j
: C
x
2
- 2x - -x + 1
^ h2
6 @
== lim
x"-3
-x 1 -
x
2 + 1 -
x
1
` j
a k
: C
-1
=
+3
-1
lim
x"-3
f(x) - y
6 @ = 0-
1 0 ( la curva se encuentra por debajo de la asintota oblicua en ox - .
f(x) = x
2
- 2x ( l
f x
^ h =
2 x
2
- 2x
2x - 2
=
x
2
- 2x
x - 1
como se ve l
f x
^ h no esta definida ni en x = 0 ni en x = 2
lim
x"0-
l
f x
^ h = lim
x"0-
x
2
- 2x
x - 1
= lim
x"0-
x x - 2
^ h
x - 1
=
0+
-1
=-3 , f(0) = 0
luego el punto 0,0
^ h la curva tiene una recta tangente vertical.
lim
x"2+
l
f x
^ h = lim
x"2+
x
2
- 2x
x - 1
= lim
x"2+
x x - 2
^ h
x - 1
=
0+
1
=+3 , f(2) = 0
luego el punto 2,0
^ h la curva tiene una recta tangente vertical.
l
f x
^ h =
x
2
- 2x
x - 1
= 0 , x - 1 = 0 , x = 1 b D f luego l
f x
^ h no se anula en D f
x - 3 0 2 + 3
l
f x
^ h - + l
f -1
^ h 1 0
f(x) 4 0 0 3 l
f 3
^ h 2 0
la función f no tiene nio maximo ni minimo

14 Ejercicio:
^ h = x
2
e
x
Calcula el Area del recinto comprendido entre la gráfica de f y la recta y = e.x
f x
^ h esxiste siempre ya que las funciones x
2
y e
x
sus dominios es R , luego D f = R
** simetria
f -x
^ h = -x
^ h2
e-x = x
2
e-x
!! f x
- Eje x ( y = 0 , x
2
e
x
= 0 , x
2
= 0 , x = 0
asi que la curva corta el eje x en 0,0
^ h
- Eje y ( x = 0 , y = 0
2
e
0
= 0
luego la curva corta el eje y en 0,0
^ h
** Asintotas
lim
x"3
f(x) = lim
x"3
x2
ex
^ h =
lim
x"-3
x2
ex
^ h =+3.0 F.I forma indeterminada
^ h
lim
x"+3
x2
ex
^ h =+3. + 3 =+3
*
lim
x"-3
x2
ex
^ h = lim
x"-3 e-x
x2
a k =
hopital
?
lim
x"-3 -e-x
2x
` j =
hopital
?
lim
x"-3 e-x
2
` j = 0
asi que para el eje x - negativo
^ h la curva tiene una asintota horizontal y = 0
Posición de la curva respecto a la asintota horizontal
x2
ex
- 0 = x2
ex
$ 0 verdadero , luego la curva se encuentra por encima de la asintota.
- Asintotas vertical (se fija en D f) no hay.
en el eje x negativo no hay asintota oblicua porque hay horizontal;asi que queda por ver
si la hay en la parte del eje x positivo.
m = lim
x"+3 x
f x
^ h
a k = lim
x"+3 x
x2
ex
a k = lim
x"+3
xex
^ h =+3
( la curva tiene una rama parabolica de dirección el eje oy +
f(x) = x
2
ex
( l
f x
^ h = 2xex
+ x
2
ex
= ex
x
2
+ 2x
^ h
l
f x
^ h = 0 , x
2
+ 2x = 0 , x x + 2
^ h = 0 , x =
-2
0
$
x - 3 - 2 0 + 3 l
f -3
^ h = 3e-3
2 0
l
f x
^ h + 0 - 0 + l
f -1
^ h =- e-1
1 0
f(x) 3 e
2
4
4 0 3 l
f 1
^ h = 3e
1
2 0
creciente decreciente creciente
maximo -2,
e
2
4
a k minimo 0,0
^ h
l
f x
^ h = ex
x
2
+ 2x
^ h ( m
f x
^ h = ex
x
2
+ 2x
^ h + ex
2x + 2
^ h = ex
x
2
+ 4x + 2
^ h
m
f x
^ h = 0 , x
2
+ 4x + 2 = 0 T = b
2
- 4.a.c = 16 - 4.1.2 = 8 & T = 2 2
x =
2a
-b - T
=
2
-4 - 2 2
=- 2 - 2
2a
-b + T
=
2
-4 + 2 2
=- 2 + 2
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
14

x - 3 - 2 - 2 - 2 + 2 + 3 m
f -4
^ h = 2 2 0
m
f x
^ h + 0 - 0 + m
f -1
^ h =- 1 1 0
f(x) , 0,38 + 0,191 , m
f 0
^ h = 2 2 0
convexa concava convexa
los puntos de inflexión son -2 - 2, 6 + 4 2
^ he-2- 2
^ hy -2 + 2, 6 - 4 2
^ he-2+ 2
_ i
** Area del recinto comprendido entre la gráfica de f y la recta y = ex
lo 1º es hallar la intersección de las dos funciones.
x
2
ex
= e.x , x xe
x
- e
^ h = 0 ,
xe
x
= e
x = 0
$ ,
x = 1
x = 0
$ son los limites inferior y superior.
A = funcion arriba - funcion de abajo
^ h
a
b
# dx = e.x - x
2
ex
^ h.dx
0
1
# =
2
e
x
2
7 A0
1
- x
2
ex
.dx
0
1
#
A =
2
e
x
2
7 A0
1
- x
2
ex
.dx
0
1
# dv = ex
.dx & v = ex
u = x
2
& du = 2x.dx
%
A =
2
e
x
2
- x
2
ex
7 A0
1
+ 2x.ex
.dx
0
1
# dv = ex
.dx & v = ex
u = x & du = dx
$
A =
2
e
x
2
- x
2
ex
+ 2xex
7 A0
1
- 2ex
.dx
0
1
# =
2
e
x
2
- x
2
ex
+ 2xex
- 2ex
7 A0
1
= -
2
e + 2
_ iu2

15 Ejercicio:
f: 0, + 3
6 6$ R / f x
^ h =
f 0
^ h = 0 si x = 0
xLnx si x 2 0
%
a Estudiar continuidad y la derivabilidad de f sobre 0, + 3
6 6
b estudiar la función y construir la fráfica de f
c ecuacion de la recta tangente en x = 1
d area comprendida entre el eje de las abscisas y la función f
** a Estudiar continuidad y la derivabilidad de f sobre 0, + 3
6 6
Continuidad:
x.lnx es continua en 0, + 3
@ 6
lim
x"0+
f x
^ h = lim
x"0+
x.Lnx
^ h = 0. - 3 F.I
lim
x"0+
x.Lnx
^ h = lim
x"0+
x
1
Lnx
e o =
+3
-3
F.I
lim
x"0+
x
1
Lnx
e o =
aplicando L´Hopital
?
lim
x"0+
x
2
-1
x
1
=- x
J
L
K
K
K
K
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
O
O
O
O
= 0 = f 0
^ h ( f es continua en x = 0
luego la función f es continua en todo el dominio 0, + 3
6 6
derivabilidad:
f x
^ h = x.Lnx ( l
f x
^ h = Lnx +
x
x
= 1 + Lnx si x ! 0
calculemos la derivabilidad en x = 0
lim
x"0+ x - 0
f x
^ h - f 0
^ h
= lim
x"0+ x - 0
x.Lnx - 0
= lim
x"0+
Lnx =-3 & f no es derivable en x = 0
luego f es derivable en 0, + 3
@ 6
b estudio de la función y construir la fráfica de f
- Eje x ( y = 0 , x.Lnx = 0 aqui no puede decir que x = 0 porque Ln0 no existe
^ h ( Lnx = 0 ( x = 1
y como sabemos también que f 0
^ h = 0 & x = 0 es otra solución
luego los puntos de corte entre la curva y el x son 0,0
^ h y 1,0
^ h
- Eje y ( x = 0 y f 0
^ h = 0 ( corte entre la curva y el eje y es 0,0
^ h.
** Asintotas
lim
x"+3
f(x) = lim
x"+3
x.Lnx =+3 ( no hay asintota horizontal.
- Asintotas oblicuas
lim
x"+3 x
f(x)
= lim
x"+3 x
x.Lnx
= lim
x"+3
Lnx =+3 & no hay oblicua
y que la curva tiene una rama parabolica de dirección el eje y +
- Asintotas verticales se fija en D f en los bordes
^ h
como la función esta definida en 0 asi que no hay asintota vertical
f(x) = x.Lnx ( l
f x
^ h = Lnx +
x
x
= 1 + Lnx siendo x ! 0
l
f x
^ h = 0 , 1 + Lnx = 0 , Lnx =- 1 , x = e-1
y f e-1
^ h = e-1
.Lne-1
=- e-1
x 0 e-1
+ 3
l
f x
^ h - 0 +
f(x) 0 4 - e-1
3
decreciente creciente
e-1
, - e-1
^ hMinimo
15

c ecuacion de la recta tangente en x = 1
la ecuación de una recta tangente en x = a es de la forma: r:y - f a
^ h = l
f a
^ h x - a
^ h
l
f x
^ h = 1 + Lnx & l
f 1
^ h = 1 + Ln1 = 1 , f(x) = x.Lnx & f(1) = 1.Ln1 = 0
r: y = x - 1 ecuación de la recta tangente en x = 1
d area comprendida entre el eje de las abscisas y la función f
para ello lo 1º es sacar puntos de int er sec ción entre el eje de las abscisas y = 0 y la f
si x 2 0 ( f(x) = 0 , x.Lnx = 0 , Lnx = 0 , x = 1
si x = 0 ( f(0) = 0 & x = 0
luego lim ite inf erior es 0 y el sup erior es 1
Area = A = función arriba - función de abajo
^ h fijandonos en la grafica se concluye que:
a
b
#
Area = A = 0 - xLnx
^ h
0
1
# dx =- xLnx.
0
1
# dx pero resulta que la función g x
^ h = x.Lnx
no esta definida en 0 ( que la int egral es impropia luego A = lim
a"0
xLnx.
a
1
# dx
I = x.Lnx.dx resolviendo por partes
#
dv = x.dx & v =
2
1
x
2
u = Lnx & du =
x
1
dx
*
I =
2
1
x
2
.Lnx -
2
1
x.dx =
# 2
1
x
2
.Lnx -
4
1
x
2
asi que
Area =- lim
a"0 2
1
x
2
.Lnx -
4
1
x
2
8 Ba
1
=- lim
a"0
-
4
1
` j -
2
1
a
2
.Lna -
4
1
a
2
` j
8 B =
4
1 + lim
a"0 2
1
a
2
.Lna -
4
1
a
2
` j
Area =
4
1 + lim
a"0 2
1
a
2
.Lna
` j
F.I
6 7 8
444444 444444
=
4
1 +
2
1
lim
a"0
a
2
1
Lna
e o
=
4
1 +
2
1
lim
a"0
a
2
1
a
1
J
L
K
K
K
K
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
O
O
O
O
=
4
1 +
2
1
lim
a"0
a
^ h
Area =
4
1
u
2

16 Ejercicio:
^ h = Ln senx
^ h
f x
^ h esxiste si y sólo si senx 2 0 , x d 0 + 2kr,r + 2kr
@ 6 siendo k d Z ver figura de abajo
luego D f = x/x d 0 + 2kr,r + 2kr
@ 6con k d Z
" ,
** simetria
f x + 2r
^ h = Ln sen x + 2r
^ h
^ h = Ln senx
^ h = f x
^ h luego la funcion es periodica de periodo 2r.
asi que es mas que suficiente reducir el int ervalo de trabajo a 0,r
@ 6ya que f es periodica.
** Corte con los ejes recordad:
sena = senb ,
a = r - b + 2kr
a = b + 2kr
$ siendo k d Z
cosa = cosb ,
a =- b + 2kr
a = b + 2kr
$ siendo k d Z
- Eje x ( y = 0 , Ln senx
^ h = 0 , senx = 1 = sen
2
r
,
x = r -
2
r
2
r
G
+ 2kr
x =
2
r + 2kr
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
siendo k d Z
asi que la funcion corta el eje x en ..........,x =
2
-3r
,x =
2
r
,x =
2
5r
,x =
2
9r
etc.
como la funcion es periodica y estamos trabajando en 0,r
@ 6este int ervalo lo corta en
2
r
.
- Eje y ( x = 0 b D f
** Asintotas
ya que hemos reducido el D f a 0,r
@ 6y como no aparece el 3 & no hay asintotas horizontales.
- Asintotas vertical (se fija en D f " 0,r
@ 6en los bordes)
lim
x"0+
f(x) = lim
x"0+
Ln senx
^ h = Ln 0+
^ h =-3 ver imag
^ h.
lim
x"r-
f(x) = lim
x"r-
Ln senx
^ h = Ln 0+
^ h =-3 ver imag
^ h.
luego x = 0 y x = r son a sin totas verticales en 0,r
@ 6
conclusion x = 2kr y x = r + 2kr = 2k + 1
^ hr son las a sin totas verticales en D f .
ya que hemos reducido el D f a 0,r
@ 6y como no aparece el 3 & no hay asintotas oblicuas.
f(x) = Ln senx
^ h ( l
f x
^ h =
senx
1
cos x =
senx
cos x
= cotgx
l
f x
^ h = 0 ,
senx
cosx
= 0 , cosx = 0 = cos
2
r
,
x =-
2
r + 2kr
x =
2
r + 2kr
* siendo k d Z
16

aqui la solucion va dando saltos de r rad. ver imag.
asi que la solución es x =
2
r
en 0,r
@ 6y en el D f x =
2
r + kr con k d Z
x 0
2
r
r
l
f x
^ h + 0 -
f(x) 3 0 4
luego la función crece en 0,
2
r
A A en D f crece en los int ervalos 2kr,
2
r + 2kr
A A k d Z
luego la función decrece en
2
r
,r
7 7 en D f decrece en los intervalos
2
r + 2kr,r + 2kr
A A k d Z
l
f (x) =
senx
cosx
( m
f x
^ h =
sen
2
x
-sen
2
x - cos
2
x
=
sen
2
x
-1
1 0 ( f es concava
GRAFICA de la función
1º haremos la frafica en el intervalo 0,r
@ 6y después la de 2r,3r
@ 6, la de -2r,r
@ 6....etc.
siempre guiandonos por el D f .

17 Ejercicio:
^ h =
1 - cos x
cos 2x
^ h + sen
2
x
f x
^ h esxiste si y sólo si 1 - cosx ! 0 , cosx ! 1 = cos0 ,
x =- 0 + 2kr
x = 0 + 2kr
$ , x = 2kr , k d Z
luego D f = x/x d R - 2kr
" ,,siendo k d Z
" ,
** simetria
f x + 2r
^ h =
1 - cos x + 2r
^ h
cos 2x + 4r
^ h + sen
2
x + 2r
^ h
=
1 - cosx
cos 2x
^ h + sen
2
x
= f x
^ h
asi que la función f es periodica de periodo 2r,luego es suficiente hacer el estudio sobre 0,2r
6 @
y como se ve en el dominio de definición 2kr g D f asi que el estudio sera sobre 0,2r
@ 6
- Eje x ( y = 0 ,
1 - cosx
cos 2x
^ h + sen
2
x
= 0 , cos 2x
^ h + sen
2
x = 0 , cos
2
x - sen
2
x + sen
2
x = 0
, cos
2
x = 0 , cosx = 0 = cos
2
r
,
x =-
2
r + 2kr
x =
2
r + 2kr
* , con k d Z
, x =
2
r + kr
ver imag abajo
6 7 8
444444 444444
, con k d Z ya que la solución va saltando de r en r.
pero como estamos trabajando en 0,2r
@ 6asi que la solucion es x =
2
3r
2
r
*
- Eje y ( x = 0 b 0,2r
@ 6( tampoco pertenece al D f ( no corta el eje y
** Asintotas
- Asintotas horizontales y oblicuas $ no hay ya que el intervalo 0,2r
@ 6no esta el 3.
- Asintotas vertical (se fija en 0,2r
@ 6en los bordes)
lim
x"0+
f(x) = lim
x"0+ 1 - cosx
cos 2x
^ h + sen
2
x
=
0+
1
=+3 ver Imag.
lim
x" 2r
^ h-
f(x) = lim
x" 2r
^ h- 1 - cosx
cos 2x
^ h + sen
2
x
=
0+
1
=+3
recordad: sen2x = 2senx. cos x cos 2x = cos
2
x - sen
2
x cos
2
x + sen
2
x = 1
-1 # senx # 1 -1 # cos x # 1
sena = senb ,
a = r - b + 2kr
a = b + 2kr
$ k d Z
cos a = cos b ,
a =- b + 2kr
a = b + 2kr
$ k d Z
----------------------------
17

f(x) =
1 - cosx
cos 2x
^ h + sen
2
x
( l
f x
^ h =
1 - cos x
^ h2
-2sen2x + 2senx. cos x
^ h
-2senx.cosx
6 7 8
44444444444444 44444444444444
1 - cos x
^ h - cos 2x + sen
2
x
^ h
cos2x
6 7 8
444444444 444444444
.senx
l
f x
^ h =
1 - cosx
^ h2
-2senx. cos x + 2senx. cos
2
x - cos
2
x.senx
=
1 - cosx
^ h2
-2senx. cos x + senx. cos
2
x
l
f x
^ h =
1 - cos x
^ h2
positivo
1 2 3
44444
4 44444
4
senx. cos x -2 + cos x
^ h
negativo
6 7 8
444444 444444
el signo de l
f x
^ h depende del signo senx. cos x
l
f x
^ h = 0 ,
-2 + cosx = 0 " imposible
senx.cosx = 0
% ( senx.cosx = 0 (
cos x = 0 = cos
2
r
senx = 0 = sen0
)
cosx = cos
2
r
,
x =-
2
r + 2kr
x =
2
r + 2kr
4 , x =
2
r + kr
*
senx = sen0 ,
x = r + 2kr
x = 2kr
. , x = kr
$
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
siendo k d Z
asi que las soluciones en 0,2r
@ 6son
2
r
,r,
2
3r
l
f x
^ h =
1 - cosx
^ h2
positivo
1 2 3
44444
4 44444
4
senx.cosx -2 + cosx
^ h
negativo
6 7 8
444444 444444
f
2
r
_ i = 0 , f r
^ h =
2
1
, f
2
3r
` j = 0
x 0
2
r
r
2
3r
2r
l
f x
^ h - 0 + 0 - 0 +
f(x) 4 0 3 2
1
4 0
decreciente creciente decreciente
punto minimo
2
r
,0
_ i punto maximo r,
2
1
` j $ en 0,2r
@ 6
punto minimo
2
r + 2kr,0
_ i punto maximo r + 2kr,
2
1
` j $ en D f
Gráfica de f x
^ h

18 Ejercicio:
^ h = Ln 3x
2
- x - 2
f x
^ h esxiste si y sólo si 3x
2
- x - 2 ! 0 , x - 1
^ h 3x + 2
^ h ! 0 , x !
3
-2
1
)
luego D f = R - 1,
3
-2
$ . , todas las funciones de valor absoluto son en realidad funciones a trozos.
asi que averiguemos esa función: pero antes averiguemos el signo de 3x
2
- x - 2 = x - 1
^ h 3x + 2
^ h
x - 3
3
-2
1 + 3
x - 1
^ h - - 0 +
3x + 2
^ h - 0 + +
3x + 2
^ h x - 1
^ h + 0 - 0 +
por ultimo f x
^ h =
f2 x
^ h = Ln - 3x + 2
^ h x - 1
^ h
6 @ si x d
3
-2
,1
B 8= Df2
f1 x
^ h = Ln 3x + 2
^ h x - 1
^ h
6 @ si x d -3,
3
-2
B 8, 1, + 3
@ 6= Df1
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
** Corte con los ejes se estudia por separado f1 y f2
^ h
f1 x
^ h = Ln 3x + 2
^ h x - 1
^ h
6 @ , Df1 = -3,
3
-2
B 8, 1, + 3
@ 6
- Eje x ( y = 0 , f1 x
^ h = 0 , Ln 3x + 2
^ h x - 1
^ h
6 @ = 0 , 3x
2
- x - 2 = 1 , 3x
2
- x - 3 = 0
x =
6
1 - 37
.- 0,85 d Df1
6
1 + 37
. 1,18 d Df1
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
luego los puntos de corte con el eje x son
6
1 + 37
,0
c my
6
1 + 37
,0
c m
- Eje y ( x = 0 b Df1 ( no corta el eje y.
f2 x
^ h = Ln - 3x + 2
^ h x - 1
^ h
6 @ , Df2 =
3
-2
,1
B 8
- Eje x ( y = 0 , f2 x
^ h = 0 , Ln - 3x + 2
^ h x - 1
^ h
6 @ = 0 ,- 3x
2
+ x + 2 = 1 ,- 3x
2
+ x + 1 = 0
x =
-6
-1 - 13
. 0,76 d Df2
-6
-1 + 13
.- 0,434 d Df2
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
luego los puntos de corte con el eje x son
-6
-1 + 13
,0
c my
-6
-1 - 13
,0
c m
- Eje y ( x = 0 ( f 0
^ h = Ln2 . 0,693 luego punto de corte con el eje y es 0,Ln2
^ h
** Asintotas se estudia por separado f1 y f2
^ h
f1 x
^ h = Ln 3x + 2
^ h x - 1
^ h
6 @ , Df1 = -3,
3
-2
B 8, 1, + 3
@ 6
lim
x"3
f(x) = lim
x"3
3x
2
- x - 2
6 @ = lim
x"3
x
2
3 -
x
1 -
x
2
2
: C =+3 ( no hay asintota horizontal.
- Asintotas verticales(se fija en D f1)
lim
x" 3
-2
c m
-
Ln 3x
2
- x - 2
6 @ = lim
x" 3
-2
c m
-
Ln 3x + 2
^ h x - 1
^ h
6 @ = Ln 0-
3
-2 - 1
` j
8 B = Ln 0+
6 @ =-3
lim
x"1+
Ln 3x
2
- x - 2
6 @ = lim
x"1+
Ln 3x + 2
^ h x - 1
^ h
6 @ = Ln 5 . 0+
6 @ = Ln 0+
6 @ =-3
f2 x
^ h = Ln - 3x + 2
^ h x - 1
^ h
6 @ , Df2 =
3
-2
,1
B 8
no hay asintota horizontal.por no existir 3 en Df2
- Asintotas verticales(se fija en D f2)
lim
x"
3
-2
c m
+
Ln -3x
2
+ x + 2
6 @ = lim
x"
3
-2
c m
+
Ln - 3x + 2
^ h x - 1
^ h
6 @ = Ln -0+
3
-2 - 1
` j
8 B = Ln 0+
6 @ =-3
lim
x"1-
Ln -3x
2
+ x + 2
6 @ = lim
x"1-
Ln - 3x + 2
^ h x - 1
^ h
6 @ = Ln -5 . 0-
6 @ = Ln 0+
6 @ =-3
ver imagen de abajo para ver sentido de la curva respecto a las asintotas verticales.
18

** Maximos,Minimos,intervalos de crecimiento y de decrecimiento. se estudia por separado f1 y f2
^ h
*** f1 x
^ h = Ln 3x + 2
^ h x - 1
^ h
6 @ , Df1 = -3,
3
-2
B 8, 1, + 3
@ 6
f1 (x) = Ln 3x
2
- x - 2
6 @ ( l
f 1 x
^ h =
3x
2
- x - 2
6x - 1
l
f 1 x
^ h =
3x
2
- x - 2
6x - 1
= 0 , 6x - 1 = 0 , x =
6
1
b D f1
En el intervalo -3,
3
-2
B 8, 1, + 3
@ 6 , 3x
2
- x - 2 2 0
estudiemos el signo de 6x - 1
^ h
6x - 1
^ h 2 0 si x d 1, + 3
@ 6( l
f 1 x
^ h 2 0 ( f1 creciente.
6x - 1
^ h 1 0 si x d -3,
3
-2
B 8( l
f 1 x
^ h 1 0 ( f1 decreciente.
*
*** f2 x
^ h = Ln - 3x + 2
^ h x - 1
^ h
6 @ , Df2 =
3
-2
,1
B 8
f2 (x) = Ln -3x
2
+ x + 2
6 @ ( l
f 2 x
^ h =
-3x
2
+ x + 2
-6x + 1
l
f 2 x
^ h =
-3x
2
+ x + 2
-6x + 1
= 0 ,- 6x + 1 = 0 , x =
6
1
d D f2
En el intervalo
3
-2
,1
B 8 , - 3x
2
+ x + 2 2 0 , estudiemos el signo de -6x + 1
^ h
x
3
-2
6
1
1
-6x + 1
^ h + 0 -
l
f 2 x
^ h 3 0 4
** Construcción de la Gráfica.
ln2
x=1
x=- 2/3
- 0,44
- 0,85
- 1 1
0,76 1,18
1
- 1

19 Ejercicio:
^ h =
cx + d si x d -2,
2
-1
B 8
ax + b si x d
2
-1
,1
B 8
x
2
+ x - 2 si x d -3, - 2
@ @, 1, + 3
6 6
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
a halla los valores de a,b,c y d para que f sea continua en R
¿es derivable para los valores hallados?
b estudia la función con los valores hallados.
a hallar los valores de a,b,c y d para que f sea continua en R
la función f esta formada por polinomios, luego los únicos puntos de posible discontinuidad son los bordes laterales.
- 2- d -3, - 2
@ @, 1, + 3
6 6( f x
^ h = x
2
+ x - 2
lim
x"-2-
f x
^ h = lim
x"-2-
x
2
+ x - 2
6 @ = lim
x"-2-
x - 1
^ h x + 2
^ h
6 @ = 0
- 2+
d -2,
2
-1
B 8( f x
^ h = cx + d
lim
x"-2+
f x
^ h = lim
x"-2+
cx + d
6 @ =- 2c + d
como la función es continua ( lim
x"-2+
f x
^ h = lim
x"-2-
f x
^ h (- 2c + d = 0 ( d = 2c
1+
d -3, - 2
@ @, 1, + 3
6 6( f x
^ h = x
2
+ x - 2
lim
x"1+
f x
^ h = lim
x"1+
x
2
+ x - 2
6 @ = lim
x"1+
x - 1
^ h x + 2
^ h
6 @ = 0
1-
d 2
-1
,1
B 8( f x
^ h = ax + b
lim
x"1-
f x
^ h = lim
x"1-
ax + b
6 @ = a + b
como la función es continua ( lim
x"1+
f x
^ h = lim
x"1-
f x
^ h ( a + b = 0 ( a =- b
2
-1 -
d -2,
2
-1
B 8( f x
^ h = cx + d
lim
x" 2
-1-
f x
^ h = lim
x"
2
-1-
cx + d
6 @ =
2
-1
c + d
2
-1 +
d 2
-1
,1
B 8( f x
^ h = ax + b
lim
x" 2
-1+
f x
^ h = lim
x" 2
-1+
ax + b
6 @ =
2
-1
a + b
como f es continua & lim
x"
2
-1+
f x
^ h = lim
x"
2
-1-
f x
^ h = f
2
-1
` j =
2
-3
, luego
2
-1
c + d =
2
-1
a + b =
2
-3
2
-1
c + d =
2
-3
2
-1
a + b =
2
-3
a =- b
d = 2c
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
,
d =- 2
c =- 1
b =- 1
a = 1
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
] , Por último f x
^ h =
-x - 2 si x d -2,
2
-1
B 8
x - 1 si x d
2
-1
,1
B 8
x
2
+ x - 2 si x d -3, - 2
@ @, 1, + 3
6 6
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
¿ derivabilidad para los valores hallados?
f x
^ h =
-x - 2 si x d -2,
2
-1
B 8
x - 1 si x d
2
-1
,1
B 8
x
2
+ x - 2 si x d -3, - 2
@ @, 1, + 3
6 6
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
( l
f x
^ h =
-1 si x d -2,
2
-1
B 8
1 si x d
2
-1
,1
B 8
2 x
2
+ x - 2
2x + 1
si x d -3, - 2
@ 6, 1, + 3
@ 6
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
19

f es derivable en todo el dominio solo falta averiguar si lo es en los laterales del dominio.
1+
d -3, - 2
@ @, 1, + 3
6 6( f x
^ h = x
2
+ x - 2
lim
x"1+ x - 1
f x
^ h - f 1
^ h
= lim
x"1+ x - 1
x
2
+ x - 2 - 0
= lim
x"1+ x - 1
x - 1
^ h x + 2
^ h
en 1+
x - 1
^ h x + 2
^ h 2 0 ( x - 1
^ h x + 2
^ h = x - 1
^ h x + 2
^ h asi que
lim
x"1+ x - 1
x - 1
^ h x + 2
^ h
= lim
x"1+
x - 1
^ h
x + 2
^ h
=
0+
3
=+3 & no es derivable en 1 ;pero aún asi calculemos lim en 1-
1-
d
2
-1
,1
B 8( f x
^ h = x - 1
lim
x"1- x - 1
f x
^ h - f 1
^ h
= lim
x"1- x - 1
x - 1 - 0
= lim
x"1-
1 = 1 aunque llegara a ser 3 no seria derivable.
- 2-
d -3, - 2
@ @, 1, + 3
6 6( f x
^ h = x
2
+ x - 2
lim
x"-2- x + 2
f x
^ h - f -2
^ h
= lim
x"-2- x + 2
x
2
+ x - 2 - 0
= lim
x"-2- x + 2
x - 1
^ h x + 2
^ h
en - 2- x - 1
^ h x + 2
^ h 2 0 ( x - 1
^ h x + 2
^ h = - x - 1
^ h - x + 2
^ h asi que
lim
x"-2- x + 2
x - 1
^ h x + 2
^ h
= lim
x"-2- - x + 2
^ h
^ h
2
- x + 2
^ h - x - 1
^ h
= lim
x"-2- - x + 2
^ h
- x - 1
^ h
=
0+
3
=+3
asi que ya podemos decir que f no es derivable en - 2
2
-1 +
d 2
-1
,1
B 8( f x
^ h = x - 1
l
f -
2
1 -
` j = lim
x"-
2
1-
x +
2
1
f x
^ h - f
2
-1
` j
= lim
x"-
2
1-
x +
2
1
x - 1 +
2
1 + 1
= lim
x"-
2
1-
x +
2
1
x +
2
1
= 1
2
-1 -
d -2,
2
-1
B 8( f x
^ h =- x - 2
l
f -
2
1 +
` j = lim
x"-
2
1 +
x +
2
1
f x
^ h - f
2
-1
` j
= lim
x"-
2
1 +
x +
2
1
-x - 2 -
2
1 + 2
= lim
x"-
2
1 +
x +
2
1
-x -
2
1
=- 1
como l
f -
2
1 +
` j ! l
f -
2
1 -
` j ( f no es derivable en x =-
2
1
b estudio la función con los valores hallados.
f x
^ h =
f3 x
^ h =- x - 2 si x d -2,
2
-1
B 8
f2 x
^ h = x - 1 si x d
2
-1
,1
B 8
f1 x
^ h = x
2
+ x - 2 si x d -3, - 2
@ @, 1, + 3
6 6
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
** corte con los ejes se estudia por separado - por intervalos
^ h
en -3, - 2
@ @, 1, + 3
6 6( f x
^ h = f1 x
^ h = x
2
+ x - 2
eje x ( y = 0 , x
2
+ x - 2 = 0 , x
2
+ x - 2 = 0 , x - 1
^ h x + 2
^ h = 0 , x =
-2
1
$
luego 1,0
^ hy 2,0
^ h son los puntos de corte entre la curva y el eje x
eje y ( x = 0 b -3, - 2
@ @, 1, + 3
6 6( f1 no corta el eje y
-----------------------
en
2
-1
,1
B 8( f x
^ h = f2 x
^ h = x - 1
eje x ( y = 0 , x - 1 = 0 , x = 1 ( 1,0
^ h punto de corte entre f2 y el eje x.
eje y ( x = 0 ( f2 0
^ h =- 1 ( 0, - 1
^ h punto de corte entre f2 y el eje y.
-----------------------
en -2,
2
-1
B 8( f x
^ h = f3 x
^ h =- x - 2
eje x ( y = 0 ,- x - 2 = 0 , x =- 2 ( -2,0
^ h punto de corte entre f3 y el eje x.
eje y ( x = 0 b -2,
2
-1
B 8( f3 no corta el eje y.

**Asintotas seestudiaporseparado - porintervalos
^ h
AsintotaHorizontal
*** en -3, - 2
@ @, 1, + 3
6 6( fx
^h = f1 x
^h = x
2
+ x - 2
lim
x"3
f1 x
^h = lim
x"3
x
2
+ x - 2 = lim
x"3
x 1 +
x
1 -
x
2
2
=
lim
x"-3
-x
^h =+3
lim
x"+3
x
^h =+3
* ( nohayasintotahorizontal.
*** en
2
-1
,1
B 8y en -2,
2
-1
B 8 nohayasintotahorizontal.pornoexistir 3
AsintotaVertical
lim
x"-2-
fx
^h = lim
x"-2-
f1 x
^h = lim
x"-2-
x
2
+ x - 2 = lim
x"-2-
x - 1
^ h x + 2
^ h = 0
lim
x"-2+
fx
^h = lim
x"-2+
f3 x
^h = lim
x"-2+
-x - 2
^ h = 0
_
`
a
b
b
b
b
b
b
b
b
b
& nohayvertical
lim
x"1+
fx
^h = lim
x"1+
f1 x
^h = lim
x"1+
x
2
+ x - 2 = lim
x"1+
x - 1
^ h x + 2
^ h = 0
lim
x"1-
fx
^h = lim
x"1-
f2 x
^h = lim
x"1-
x - 1
^ h = 0
_
`
a
b
b
b
b
b
b
b
b
b
& nohayvertical
lim
x"
2
-1+
fx
^h = lim
x"
2
-1+
f2 x
^h = lim
x"
2
-1+
x - 1
^ h =-
2
3
lim
x" 2
-1-
fx
^h = lim
x" 2
-1-
f3 x
^h = lim
x" 2
-1-
-x - 2
^ h =-
2
3
_
`
a
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
& nohayvertical
**Maximo,minimo,crecimiento,decrecimiento
fx
^h =
-x - 2 six d -2,
2
-1
B 8
x - 1 six d
2
-1
,1
B 8
x
2
+ x - 2 six d -3, - 2
@ @, 1, + 3
6 6
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
( l
fx^h =
l
f 3 x
^h =- 1 six d -2,
2
-1
B 8
l
f 2 x
^h = 1 six d
2
-1
,1
B 8
l
f 1 x
^h =
2x
2
+ x - 2
2x + 1
six d -3, - 2
@ 6, 1, + 3
@ 6
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
l
f 1 x
^h =
2x
2
+ x - 2
2x + 1
= 0 , 2x + 1 = 0 , x =
2
-1
g -3, - 2
@ @, 1, + 3
6 6
como2x
2
+ x - 2 2 0en -3, - 2
@ 6, 1, + 3
@ 6 asiqueelsignode l
f 1 x
^h dependedelsignode2x + 1
Enconclusi ón
l
f 1 x
^h 1 0en -3, - 2
@ 6 ( f decreciente , l
f 1 x
^h 2 0en1, + 3
@ 6 ( f creciente
l
f 2 x
^h 2 0en
2
-1
,1
B 8( f creciente , l
f 3 x
^h 1 0en -2,
2
-1
B 8( f decreciente

20 Ejercicio:
^ h =
x
senx
f x
^ h esxiste si y sólo si x ! 0 , luego D f = R*
** simetria
f -x
^ h =
-x
^ h
sen -x
^ h
=
- x
^ h
-sen x
^ h
=
x
senx
= f x
^ h ( la función es par,asi que vamos a hacer
un estudio sobre el intervalo 0, + 3
@ 6ya que la función es simetrica respecto al eje de ordenadas.
- Eje x ( y = 0 ,
x
senx
= 0 , senx = 0 = sen0 , x = kr siendo k d Z*
- Eje y ( x = 0 b D f ( la curva no corta el eje y
** Asintotas
- Asintotas horizontales Recordad: no existe lim
x"3
de senx y cosx pero si que estan acotados
-1 # cosx # 1
-1 # senx # 1
$
lim
x"+3 x
senx
= ??? útilizando el metodo de la guardia civil
sabemos que - 1 # senx # 1 y x d 0, + 3
@ 6 luego
x
-1
#
x
senx
#
x
1
x
-1
#
x
senx
#
x
1
( lim
x"+3 x
-1
# lim
x"+3 x
senx
# lim
x"+3 x
1
( 0 # lim
x"+3 x
senx
# 0
luego podemos confirmar que lim
x"+3 x
senx
= 0 ( y = 0 es la asintota horizontal.
- Asintotas vertical (se fija en D f " ya que f es par nos fijaremos en 0, + 3
@ 6)
lim
x"0+ x
senx
=
0
0
F.I aplicando L´Hopital $ lim
x"0+ x
senx
= lim
x"0+ 1
cosx
= 1
y como f es par podemos concluir que lim
x"0- x
senx
= 1
por último f no tiene asintota vertical en x = 0
f(x) =
x
senx
( l
f x
^ h =
x
2
x.cosx - senx
l
f x
^ h = 0 ,
x
2
x.cosx - senx
= 0 , x.cosx - senx = 0 , x =
cosx
senx
= tagx
para resolver la ecuación x = tagx es haciendo la grafica de las dos funciones g x
^ h = x y h x
^ h = tagx
la solución son los puntos de intersección de las curvas de las funciones g y h
viendo las graficas de h y g se ve que tienen infinitas soluciones,pero siempre
seguiendo una pauta en
2
-r
,
2
r
7 Ahay una solución,en
2
r
,
2
3r
8 Bhay una solución
en
2
3r
,
2
5r
8 Bhay una solución,en
2
5r
,
2
7r
8 Bhay una solución,......asi sucesevamente hasta el 3
se observa que siempre tenemos un intervalo de longitud r lo que nos indica que siempre hay una solución
de la ecuacion en el intervalo
2
-r + kr,
2
r + kr
7 A siendo k d Z*
Tabla de variación
x 0
2
3r
- b
_ i
2
5r
- c
_ i
2
7r
- c
_ i..................
l
f x
^ h - 0 + 0 - 0 + ..........
f(x) 4 3 4 3 ..............
20

,
,
, ,
:
,
,
,
,
,
:
sin
sin
sin
sin
sin
sin
tan
min
sin
sin
sin
sin
la funcion f existe si y solo si x x x x x x x
x
x corte eje y x f x y
x luego C corta eje oy en el punto
x corte eje x y x x x x x x x
x x luego C corta eje ox en el punto
asi que x x x
f x
x
x
x x x
x x x
x x x
x
x
x
x x porque x
como f x esto implica que la recta y es la a tota horizontal cuando x tiende al
f x x x x x x x x x porque x
f x x x no tiene a tota horizontal cuando x tiende al
asi que veamos si tiene a tota oblicua cuando x tiende a
son de la forma y mx n siendo m x
f x
y n f x mx
m x
f x
x
x x x
x
x x x
x
x x x
x
x x
m Ahora toca calcular n f x mx
n f x x x x x x x x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x
x
luego la recta y x es la a tota oblicua
f x y x x x x x x x x x x x x x x
eso implica que la a tota oblicua y x no corta la curva hallemos su posicion respecto a C
f x y x x x x x x x x x x
en el apartado anterior cuando hallemos el valor de n aparece x x x asi que
f x y x x x luego f x y f x y
esto implica que la curva C esta por encima de la a tota oblicua y x
Estudia la funcion f x x x x
Halla la recta gente en x y x
x x x x x x
x x x
x x x
x x
x x
x x x
Respuesta
Campo de existencia Do io de definicion y corte con los ejes
A totas
a tota horizontal
A tota oblicua
Puntos de corte entre la a tota oblicua y la funcion y su posicion respecto a la curva
1
0 1 0 1 0 1
0
0 1 0 0
0 1 0 0
1 1 0 0 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1
2
1
1 1
1
1 1
1
1
1 1
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1 1 1 1
1
2
2 2
1
1
1
1
1 1 1
1
1
2
1
2
1
2 2
1
2 2
1
2
1
2
1
4
1
0 4
1
2 2
1
2 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0 0
2 2
1
0 1
f
f
x x x
x x x x
x
x
x x x x
x
x x
x x x x
x
x
x
x x x x
x x x
absurdo
f
x x x x
x
x x
f
2
2 2 2
2 2
2
2 2
2
2
2 2 2
2
2
2 2
2 2 2 2
2
2 2
2 2 2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
lim lim lim
lim lim lim lim
lim
lim
lim lim lim lim
lim
lim lim
lim lim lim lim lim
lim
lim lim lim lim
lim lim lim
lim lim lim lim
lim
lim lim
, 8 +
& +
& + + +
,
+ $
$
+
+ + & + +
,
d ,
3 3
3 3
3
3
3
3 3
3
2 2
$ $
$
- - - = =
=
- + = = =
- + +
- - - - + = = - = - =
- + - +
- - +
= = =
=
+
-
=
+ -
- +
=
+ -
=
+ -
+ -
= = +
= = +
= = - - = + - =- -
= + - =- -
-
= + = = -
= =
- -
=
- -
=
- -
=
+ -
= = -
= - = - - - = - - - = - - -
- + -
- + -
- + -
- +
=
- - -
=
- - -
= - =-
= -
= - - = - - - = - - - = - - = - + =
= -
- = - - - + = - - - + = - - - +
- - - =
- = - - - + = + = -
= -
= - -
= =
- - - -
- -
- -
-
-
- -
=
$ $ $
$ $ $ $
$
$
$ $ $ $
$
$ $
$ $ $ $ $
$
$ $ $ $
$ $ $
$ $ $ $
$
$ $
.
3 3 3
3 3 3 3
3
3
3 3 3 3
3
3 3
3 3 3 3 3
3
3 3 3 3
3 3 3
3 3 3 3
3
3 3
+ + +
+ + + +
+
+
- - - -
-
- - - -
=-
-
-
- - - -
- - -
-
- - - -
-
-
- -
-
+
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
R
Q
S
R
Q
Q
S
R
Q
R
Q
S
R
R
Q
Q
S
Q
Q
R
R
R
Q
Q
Q
Q
Q
S
Q
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
W
X
W
V
V
X
W
V
X
W
V
V
W
V
W
X
V
V
W
W
V
V
W
V
V
V
X
V
"
"
"
#
"
"
#
"
"
"
#
"
#
#
"
#
"
"
%
%
%
% %
%
&
%
%
&
%
&
&
%
&
%
%
&
G
L
M
O
21

,
.
,
,
, ,
, .
,
, ,
exp
tan
tan
int
la funcion x x y x x x son continuas sobre D y como la funcion es continua en entonces
la funcion x x x composicion de dos funciones continuas es continua sobre D por seguiente
la funcion x x x x es continua sobre D
la funcion x x es derivable sobre D y la funcion x x x es derivable sobre D
como la funcion es derivable sobre y como la funcion x x x es es positiva o nula sobre D
luego x x x es derivable sobre D menos los ceros de la funcion es decir que la funcion es derivable
derivable sobre
hallemos la resion de f f x x x x f x x x x x x
f x
x x
x
f x
x x
x
x x x x x x x
es absurdo esto nos indica que la funcion f x
x f
f f
f
creciente decreciente
x
f x f
x
x x x
x
x x x
x
x x x
x
la curva de la funcion f C admite en el punto de abscisa x una media gente paralela al eje OY
x
f x f
x
x x x
x
x x x
x
x
x
x
x
x
luego C admite en el punto de abscisa x una media gente paralela al eje de las ordenadas oy
continuidad y derivabilidad
Maximos Minimos ervalos de crecimiento y de decrecimiento
Tangente en x y x
0
0 1
1 1 2
1 2 1
1
2
2 1
0
2
2 1
1 2 1 2 4 4 1 4 4 1 0
1 0 0
0 1 1 1
1 1
2 1
1
2
3
0
2 1
4 2
4 1
1
2
2
1 2 0
0 1
0
0 1
1
1
1
1 1
1
0
1
1
1
1
1
1 1
1
1 1
1
1
1
1
0
1
1
0 1
R
f
f
f
f f
f
f
x x x
x
x x
f
x x x x
x
f
2
2
2
2
2
2
2 2 2
1 2 2
1
2 2
2 2 2
0 0
2
0 0 0
1 1
2
1 1
1
lim lim lim lim lim
lim lim lim lim
lim
7 7
7
7
7 7
7
7
&
+ + & +
3 4
,
3
3 3
3 3
3
3
2
1
!
-
-
- -
-
+ -
-
- +
= - - = - - = - - -
= -
-
-
=
-
-
= - = - - + = - =
=
- + - = -
+
- -
= +
+ - = -
-
-
= - = -
-
-
=
- -
=
- -
=
+ -
= + - =+
=
-
-
= -
- - -
= -
- - -
= -
- -
-
-
-
= - =-
=
= =
" " " " "
" " " "
"
+
-
=-
+
- - - - -
+ + + +
+
l l
l l
l
l
l l
l
Q
Q
Q
Q
Q
T
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q Q
S
Q
Q
V
V
V
V
V
Y
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V V V
X
V
#
" "
"
"
#
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&
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%
%
&
L

, ,
,
. ,
.
, ,
.
, :
:
.
:
:
sin
sin
sin
sin
min
sin
int
sin
sin
sin
f x existe si y solo si x x asi que D
f x
x
x
x
x
f x que la curva no es simetrica ni respecto del origen de coordenadas eje ox
ni respecto del origen de ordenadas eje oy
y x
x
x asi que el punto es el punto de corte entre C y el eje ox
x y asi que el punto es el punto de corte entre C y el eje oy
f x
x
x
x
x
y es la a tota horizontal
f x y x
x
x
x cuando x C esta debajo de la a tota y
x cuando x C esta encima de la a tota y
f x
x
x
y f x
x
x
asi que x es una a tota vertical
no existe ya que existe la horizontal
f x
x
x
f x
x
x x
x
x
f la funcion f x es creciente
f en todo el do io de definicion D
f x
x
x
f x
x
f x
x
x
x
x
x
x
f concava C dirige su concavidad hacia la parte del eje oy
f convexa C dirige su concavidad hacia la parte del eje oy
Respuesta
Estudiar y representar la funcion f x
x
x
Campo de existencia
Simetria
corte con los ejes
a totas
Maximos Minimos y ervalos de crecimientos
Concavidad
eje x
eje y
a tota horizontal
posicion de la A H respecto a C
a tota vertical
a tota oblicua
1
2 0 2 2 2 2
2
2
3
2
3
3
0 2
3
0 0 0 0
0 2 0
3 0
0 0 0
4
2
3 3
3 3
2
3 3
2
6
2
6 6
0 0 3
2
6 6
0 0 3
2
3
0
6
2
3
0
6
2
5
2
3
2
3 2 3 1
2
6
0
2
6 2
3
2
6
2
6 2 2 1
2
12 2
2
12
2
2
3
R
4
f
f
f
x x x
x
f
x
f
x x x x
f
f
f
f
2 2 2 2
2 2
2 4 3
lim lim lim
lim
lim
lim lim lim lim
+
&
& + +
& +
&
& "
& "
(
3 3
,
!
,
, + +
3 3
3 3
3 3
3 3
3 3
3 3
1
2
2
! !
!
- = - = - +
- =
- -
-
= +
-
= - = =
= = - =
= - = - =- =-
- = - - - = -
- = - = + =-
- = + = - =-
= - = =+ = - = =-
=
= - = -
- - -
= -
- +
+ +
= - = - = -
- - -
= -
-
= -
- +
+ - +
-
= -
$ $ $
"
"
$ $ $ $
3 3 3
3
3
+
-
-
+
+ -
- - + +
l
l
l m
m
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
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Q
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Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V V
V
V
V
V
V
" "
% %
E H
22

:
,
, .
,
,
,
,
,
,
, ,
, , ,
,
:
:
:
, :
:
arccos
arccos arccos
arccos cosarccos cos
arccos cos cos
cos
arccos
arccos arccos
arccos
arccos arccos
arccos arccos
arccos
arccos arccos
int
arccos
int
int
sea la funcion f de variable real x definida por
f x x
f x existe Ssi f x x x x x
asi que D
f x x x f x asi que la funcion f es una funcion par luego podemos
restringir el estudio de la funcion sobre el conjunto
Eje x y x x x x
asi que el punto es el punto de corte entre C y el eje ox
Eje y x y y y
asi que el punto es el punto de corte entre C y el eje oy
y ar f x y
f x
f x
f x x f x
x
x
x x
x
x x
x
x x
x
f x existe si y solo si
x
x
x x ya que x
luego x f x
x
derivabilidad de f a la derecha de x
f x f
x
x
x
x
F I aplicando l hopital
x
derivabilidad de f a la izquierda de
x
f x f
x
x
x
x
F I aplicando l hopital
x
f x x y f x
x
x
f x f f
f x
la funcion f es creciente en el ervalo y por ser unaa funcion par f es tambien en
f x x f x
x
f x
x
x
en
x
f x por ser una funcion par asi que f es en
f x el ervalo
Respuesta
Campo de existencia D
Periocidad
Corte con los ejes
Maximo Minimo e ervalos de crecimientos
Concavidad
5
1
1
1 1 1 1 1 2 0 0 2 2 2
2 2
2
1 1
0 2
3
0 1 0 1 0 1 1 0
0 0
0 1 1 0 0
0 0
4
1
1
1 1
2
1 1 2
2
2
2
2
2
2
0
0
0 2
2
2
0 0
0 1 1 0
1
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 1
2
1
0
1
0
0
2
2
0
2
1
2
2
0 2
0 1 0 2 1 2
0
0 2 2 0
1
2
2
2
2
0 0 2
0 2
2 0
f
f
f
x x
x x
x x
x x
f
2
2 2 2
2 2
2 2 2
2
2
2 2 2 4 4 2 2
2
0 0
2
0
2
0
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 3
lim lim
lim lim
lim lim
lim lim
+ + + +
, + + + +
, + + +
(
(
(
(
3
& 3
!
d
,
,
6
3
2
!
!
# # # # # # # # # #
$
r r
r
r
= -
- - - - - -
= -
- = - - = - =
= - = - = - = =
= = = = =
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-
-
= - =
- -
- -
=
- - +
=
- +
=
- +
=
=
- +
-
-
=
- - -
=
-
= =
- +
= =
-
-
=
-
- - -
=
-
- -
=
- -
= =
- +
= =+
= - =
- +
+ = = = - =
-
= - =
- +
=
- +
+
-
$ $
$ $
$ $
$ $
- +
+ +
+ +
- -
- -
l
l
l
l
l
l
l
l m
m
Q
Q
Q
Q
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Q
Q
Q
Q
Q
R
R
Q
T
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
R
R R
R
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
W
V
W
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V Y
V
W
W W
W
"
!
"
!
"
"
"
"
" "
"
%
%
$
$
%
%
%
%
%
G
23

:
,
,
. ,
,
:
:
. .
:
:
lim
ln ln
sin
sin
sin
ln sin
sin
sin
Sea la funcion f de variable real x definida por
f x x Ln x
Estudia la funcion
calcula la superficie de la parte del plano itado por la curva C eje de las abscisas y las rectas
x y x
f x existe Ssi x x luego D
Observacion mucho cuidado
nunca nunca se debe hacer calculos ni simplificar la funcion y despues hallar D
imaginaros si llegaramos a hacerlo fijaros cual seria el D
f x x Ln x x Ln x llamamosla g x x Ln x
asi que g x existe Ssi x x luego D
por conseguiente D D asi que mucho cuidado
Eje y x y D no hay punto de corte entre C y el eje oy
Eje x y x Ln x x x x x e x A
ver la imagen de las dos funciones e y x
la solucion a la ecuacion A son x o bien x y como las dos soluciones al D
podemos concluir que no hay punto de corte entre C y el eje ox
A tota Horizontal
f x x Ln x x Ln x no hay a tota horizontal
A tota vertical
f x x Ln x x es la a tota vertical
A tota oblicua
x
f x
x x
Ln x
x no hay oblicua
esto nos indica que la curva tiene una rama parabolica de direccion el eje oy
Respuesta
Campo de existencia D
Corte con los ejes
A totas
2 1
1
2
2 3
1
1 0 1 1
2 1 1 1
1 0 1 1 1
2
0 0
0 2 1 0 2 1 1 1
1
0 1 2
3
2 1 1 1
2 1 1 2 0 1 2 1
2
1
2 1
1
f
f
f
f
g
g f
f f
x
x
f
f
x x x
x x
x x x
aplicar L hopital
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2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
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ln
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ln ln ln
ln ln ln
ln ln ln ln ln ln
ln ln
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f x x x x x x x x x x
x x x x
x luego D
x
x f negativo
f f
f
decrece crece
f x x x f x x x f x d x
x
x
f
f
concava C derige su concavidad hacia la parte positiva del eje oy
A x x dx x dx x dx
x
B
B x dx egrando por partes
dv dx v x
u x du x
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B x x
x
x
dx x x
x
x
dx x x x dx
B x x x x dx x x x x
A
x
x x x x
u
Maximos Minimos e ervalos de crecimiento
Concavidad
Calculo de erficie
4
2 1 2 1
2
0 2 1
2
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2
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2
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1
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1 1 1 1 1
1
1 1
1 1 1
3 2 1 2 2 1 9 3
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3
19
2 4 2 3
25
4 2 3
25
4 0 69 5 56
f
Minimo
f
2
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2 2
2 1
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ln ln
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ln ln int
int
int
max min
min
sin
Estudia la funcion f x x
Respuesta
f x existe Ssi x x luego D
f x x x f x f es una funcion par podemos restringer el estudio de la
al ervalo
Eje x y x x x puntos de corte entre eje x y la curva son y
Eje y x D luego la curva no corta el eje y
A tota Horizontal
f x x x como f es par f x
lo que implica que no hay a tota horizontal
A tota Vertical
f x x x como f es par f x
lo que implica que x es la a tota vertical
f x x x ya que trabajamos en el ervalo
f x x ya que x
x
f x f es strictamente creciente en el ervalo
f x y por ser par lo es en el ervalo
no hay ni imo ni imo
f x
x
f x dirige su concavidad hacia la parte negativa del eje oy
x
f x
f x
Do io de definicion
Simetria
Corte con los ejes
A totas
Maximo Minimo
Concavidad
0 0
0
0 0 1 1 1 0 1 0
0
0
0
1
0 0
0
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0
1
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ln
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ln
ln
ln
ln ln
ln ln
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sin
inf
Sea la funcion f x x mx
er a el conjunto de valores de m para los cuales el do io de definicion es igual a
estudia la funcion para m y graficala
Para m haz lo mismo
Respuesta
los valores de m para los cuales D
f x existe Ssi x mx x mx
m m x
m m
m
m m m
asi que si m D
f x x x
como D
eje x y x x x x x x
asi que la curva C corta el eje x en el punto
eje y x y luego C corta el eje y en el punto
A tota Horizontal f x x x x no hay A H
A tota oblicua x
f x
x
x x
x
x x x
F I
Aplicando L hopital x
f x
x x
x
x
x
x
C tiene una rama parabolica de direccion el eje ox
f x x x f x
x x
x
f x x
x
f x
f x
Decrece Crece
Minimo
f x x x f x
x x
x
f x
x x
x x x x
x
x x
f x
x
x x
f x x x x
x
x el signo de f depende de x x
f x f f
f x
puntos de lexion
Campo de existencia
Corte con los ejes
A totas
Maximo Minimo
Puntos de lexion
2
1
2 2
3
4 3
1
2 0 4 4 2 0 2 4 2 0
4 2 0 8 8 8 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
0 2 2 0 2 2 1 1 0 1
1 0
0 2 0 2
2 2 1
2 2
1
2 2
2 2
2 2 2 2
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1
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2 2
2 2 2 2 2 2 2
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1 1
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ln
ln ln
ln ln ln
ln
ln
ln ln
sin ln sin
sin ln ln ln
ln ln ln
sin
ln
sin
f x x x para hallar el eje de simetria hagamos un cambio de variable
para que f x sea una funcion par
f x x x x sustituyendo x por X la funcion queda asi
f X X y f X X X f X luego f es par
en conclusion el eje de simetria es X x x
Grafica de f
f x x x
f x existe Ssi x x x x
x
x
x
x x
asi que D
Eje x y x x x x x x
x
D
D
y puntos de corte entre la curva y el eje x
Eje y x y en conclusion el punto es punto de corte entre la curva y el eje y
A tota Horizontal x x x no hay a tota horizontal
A tota Vertical x x x x A vertical
x x x x A vertical
A tota Oblicua x
f x
x
x x
F I aplicando L hopital
x x
x
x
x
x C tiene una rama parabolica de direccion el eje ox
Campo de existencia
Corte con los ejes
A totas
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2 2
2 2 1 1 1
1 1 1
1 1
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f x x x D
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f x no nos enteresa ya que
f x ervalo D
decrece crece
f x
x x
x
f x
x x
x x
asi que su signo depende de x x hallemos su signo
x x x x x x x
se concluye que f x no hay puntos de lexion
x
f x
f x
Veamos si C admite un eje de simetria
f x x x x x x asi que remplazando x por X
f x X es una funcion par ya que f X f X asi que X x x eje simetria
Maximo Minimo
Puntos de lexion
3 2
3 2
2 3
0 2 3 0 2
3
1 2
3
2
1 2
3 2
2 3
3 2
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ln
sin
sin ln
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ln
ln ln
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ln
ln
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ln ln
ln ln
ln
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ln
ln
ln
ln
ln
ln ln ln ln ln ln
ln
ln
ln
ln ln
ln
ln
ln ln
ln
ln
ln ln ln
ln
inf
sin
max min
inf
Estudia la funcion f x
x
x
Respuesta
f x existe Ssi x
x existe
x e
x
D e e
eje y x D C no corta el eje y
eje x y x
x
x x C corta el eje x en
A tota Horizontal f x
x
x
f x
x
x y es la a tota horizontal
A tota vertical f x
x
x
x
x
f x
x
x
f x
x
x vea la grafica de x
salen los ceros
para entender de donde
asi que x e es una a tota vertical
f x
x
x
f x
x
x x x x
x
x
x x
f x
x x
el signo de f depende del signo de x como estamos trabajando en D e e
se concluye que f x strictamente creciente a decir que no hay imos ni imos
f x
x
x
f x
x x
x x
dx
d x x
x x x x x x x x
f x
x x
x
x x
x x
x x
x
f x x x x e D
x e e f x
x x
x
signo de f depende de
f x x asi que x x
f x x e x e
e punto de lexion
Campo de existencia
Corte con los ejes
A totas
imo imo
Puntos de lexion
1
1 1 0
0 0
2 0
0 1 0 0 1 1 0
3 1
1
1
1 1 1
1 1
1
1
1 1 1 01
1
0
1
1 1 0 99
1
0
1
4 1 1
1 1 1
1
1
1
1
1
1 0
0
5 1 1
1
1
1
1 2 1 1
1 2 2 2 1
1
1
1
1 1
1
1
0 1 0 1
0
1
1
0 1 1 0 1
2
1
1 1
2
1
f
f f
f
x x
x x x
x x x
x e x e
x e x e
f
f
0 0 0
2 2 2
2
2
2
2
2 2 2
2 4
2
2 4 2 3
1
1
2 4
2
2 2 2
1
1
lim lim
lim lim lim
lim lim lim
lim lim
lim lim
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3
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l
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m
m
m m
m
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G
G
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b
b
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27

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sin
sin
max min
sin
inf
Estudia la funcion f x
e
e
Respuesta
f x existe Ssi e e x luego D
Eje x y e
e
e imposible ya que e C no corta eje x
Eje y x D C no corta eje y
A tota Horizontal f x
e
e
e e
e
y A H
A tota Vertical
e
e
e
e
vea la grafica de e para ver de donde salen los ceros y
f x
e
e
f x
e
e
f es strictamente decreciente
no hay ni imo ni imo
f x
e
e e e e e
e
e e
el signo de f depende de e e
e e e e e e x x
x
f x
f x
Campo de Existencia
Corte con los ejes
A titas
Maximo Minimo
Puntos de lexion
1
2
1 1 0 1 0 0
2 0 1
2
0 0 0
0
3 1
2
1
1
2
2 2
1
2
0 9 1
2
0
2
1
2
1 1 1
2
0
2
4
1
2
1
2
0
5
1
2 1 4 1
1
2 2
2 2
2 2 2 1 0 1 0 1 2 0 0
0
R
x
x
x x
f
x
x
x x
f
f f
x x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x x x
x
x x
x x
x x x x x x
0
0
2
4
2
4
3
3
3 2 2 2
2 2
lim lim lim
lim
lim
+ +
, + + &
, &
(
( & &
(
+ + + +
3 4
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3
3
3 3
2
1
2 2 2 2 2
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-
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-
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- - + -
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-
-
- = - -
- +
- +
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3 3 3
3
3
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+
-
+
-
+
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m m
m
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Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
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V
V
V
V
V
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28

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min
sin sin
sin
inf
sin
inf
Estudia la funcion f x x x
Respuesta
D ya que f x es un polinomio
f x x x x x f x f es una funcion impar es simetrica del origen O
asi que podemos restringir el do io a
Eje x y x x x x
x
x
x
significa que la curva corta el eje x en
Eje y x y C corta el eje y en
A tota Horizontal x x x x no hay a tota horizontal
A tota Oblicua x
f x
x
x x
x
x
asi que la curva tiene una rama parabolica de direccion el eje oy
f x x x f x x x f x x x
x
x
x
x f
f x f
f x
Max Min
f x x x f x x x f x x x
f x x x x x x y
f f es impar
f
x
f x
f x
hay tres puntos de lexion
Campo de Existencia
Simetria
Corte con los ejes
A totas
Maximo Minimo
Puntos de lexion
3
1
2
3 3 0 0
0
3 0 3 0 3 0
3
3
0
3 0 0 0 3 0
0 0 0 0
4 3 1
3
3
5
3 5 9 0 5 9 0
5
3 5
1 34
5
3 5
1 34
0
1 34 0 1 34
5
3 5
2 9
5
3 5
2 9
2 9 0 2 9
1 34 2 9 1 34 2 9
5 3 5 9 20 18
20 18 0 2 10 9 0
10
3 10
0 95
10
3 10
0 95
0
10
3 10
1 8
10
3 10
100 10
567
1 8
0 95 0 0 95
0 0 0
1 8 0 1 8
0 95 1 8 0 0 0 95 1 8
R
f
f
x x
x x x
5 3
5 3 5 3
5 3 3 2
5 3 5
2
5 3 5
5 3 4 2 2 2
5 3 4 2 3
3 2
lim lim
lim lim lim
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3
3
3
3 3
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