Los espacios vectoriales son el elemento fundamental del álgebra. Gracias a ellos podemos trabajar con polinomios, vectores, funciones desde un punto de visto del álgebra y realizar combinaciones lineales, calcular bases, subespecios etc...
Usos y desusos de la inteligencia artificial en revistas científicas
Tema 3 Álgebra Lineal: Espacios Vectoriales
1. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Espacios vectoriales
Estudios de Ingenier´ıa
Juan Gabriel Gomila
Frogames
juangabriel@frogames.es
10 de febrero de 2016
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
2. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
´Indice
1 Conjuntos libres y ligados
Combinaciones lineales
Dependencia e independencia lineal
Rango de un conjunto de vectores
2 Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio vectorial
Dimensi´on y coordenadas de una base
3 Cambio de base
El cambio de base
Matriz de cambio de base
4 Subespacios vectoriales
Concepto de subespacio vectorial
5 Bases ortogonales y ortonormales
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
3. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Combinaciones lineales
Dependencia e independencia lineal
Rango de un conjunto de vectores
1 Conjuntos libres y ligados
Combinaciones lineales
Dependencia e
independencia lineal
Rango de un conjunto de
vectores
2 Espacios vectoriales de
dimensi´on finita
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio
vectorial
Dimensi´on y coordenadas
de una base
3 Cambio de base
El cambio de base
Matriz de cambio de base
4 Subespacios vectoriales
Concepto de subespacio
vectorial
5 Bases ortogonales y
ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on
de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un
vector sobre un subespacio
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
4. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Combinaciones lineales
Dependencia e independencia lineal
Rango de un conjunto de vectores
1 Conjuntos libres y ligados
Combinaciones lineales
Dependencia e
independencia lineal
Rango de un conjunto de
vectores
2 Espacios vectoriales de
dimensi´on finita
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio
vectorial
Dimensi´on y coordenadas
de una base
3 Cambio de base
El cambio de base
Matriz de cambio de base
4 Subespacios vectoriales
Concepto de subespacio
vectorial
5 Bases ortogonales y
ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on
de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un
vector sobre un subespacio
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5. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Combinaciones lineales
Dependencia e independencia lineal
Rango de un conjunto de vectores
Combinaciones lineales
Combinaci´on lineal
Recu´erdese que dados p vectores u1, u2, · · · , up ∈ Kn y los
escalares α1, α1, · · · , αp ∈ K una combinaci´on lineal de esos p
vectores es un vector dado por una expresi´on de la forma:
α1u1 + α2u2 + · · · + αpup ∈ Kn
Ejercicios
Expr´esese el vector (2, −4) como una combinaci´on lineal de los
vectores (1, 1) y (−2, 0).
Sol:(2, −4) = −4(1, 1) − 3(−2, 0).
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6. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Combinaciones lineales
Dependencia e independencia lineal
Rango de un conjunto de vectores
Combinaciones lineales
Ejercicios
Expr´esese el vector (4, −11) como una combinaci´on de los vectores
(2, −3) y (4, −6).
Sol: no tiene soluci´on.
Ejercicios
Expr´esese el vector (4, −11) como una combinaci´on de los vectores
(2, −1) y (1, 4).
Sol:(4, −11) = 3(2, −1) − 2(1, 4).
Ejercicios
Pru´ebese que el vector (1, 0) no se puede expresar como una
combinaci´on lineal de (2, −3) y (4, −6)
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7. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Combinaciones lineales
Dependencia e independencia lineal
Rango de un conjunto de vectores
Combinaciones lineales
Ejercicios
Expr´esese el vector (4, −5, 6) como una combinaci´n lineal de los
vectores (2, −3, 5) y (−1, 3, 2).
Sol: no tiene soluci´on
Ejercicios
Expr´esese el vector (4, −5, 7) como una combinaci´on lineal de los
vectores (0, −3, 5), (1, 0, −3) y (−1, 3, 4).
Sol:(4, −5, 7) = 31
9 (0, −3, 5)52
9 (1, 0, −3) + 16
9 (−1, 3, 4).
Ejercicios
Expr´esese, si es posible, el vector (0, 0, 0) como una combinaci´on
lineal de (−1, 3, 1), (1, 0, −3) y (−1, 3, 4), distinta de (0, 0, 0).
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8. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Combinaciones lineales
Dependencia e independencia lineal
Rango de un conjunto de vectores
Dependencia e independencia lineal
Dependencia lineal
Dados el conjunto ed vectores u1, u2, · · · , up ∈ Kn d´ıcese que son
linealmente dependientes si alguno de ellos se puede expresar como
una combinaci´on lineal del resto. Son LD si:
∃1 ≤ i ≤ p :
k=i
αkuk = ui
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9. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Combinaciones lineales
Dependencia e independencia lineal
Rango de un conjunto de vectores
1 Conjuntos libres y ligados
Combinaciones lineales
Dependencia e
independencia lineal
Rango de un conjunto de
vectores
2 Espacios vectoriales de
dimensi´on finita
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio
vectorial
Dimensi´on y coordenadas
de una base
3 Cambio de base
El cambio de base
Matriz de cambio de base
4 Subespacios vectoriales
Concepto de subespacio
vectorial
5 Bases ortogonales y
ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on
de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un
vector sobre un subespacio
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10. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Combinaciones lineales
Dependencia e independencia lineal
Rango de un conjunto de vectores
Dependencia e independencia lineal
Ejercicios
D´ıgase si el conjunto de vectores (2, −4, 0), (1, 1, 1) y (−1, 2, 0) es
linealmente dependiente.
Ejercicios
D´ıgase si el conjunto de vectores (−1, 6, 5), (1, 0, −3) y (−1, 3, 4)
es linealmente dependiente.
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11. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Combinaciones lineales
Dependencia e independencia lineal
Rango de un conjunto de vectores
Dependencia e independencia lineal
Independencia lineal (II)
Dado el conjunto de vectores u1, u2, · · · , up ∈ Kn d´ıcese que son
linealmente dependientes si la ecuaci´on vectorial
p
i=1
αi ui = 0
tiene infinitas soluciones, y por tanto los escalares αi ∈ K pueden
tener valores no nulos.
Ejercicios
D´ıgase si el conjunto de vectores (2, −4, 0), (1, 1, 1) y (−1, 2, 0) es
linealmente dependiente.
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12. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Combinaciones lineales
Dependencia e independencia lineal
Rango de un conjunto de vectores
Dependencia e independencia lineal
Independencia lineal
Dado el conjunto de vectores u1, u2, · · · , up ∈ Kn d´ıcese que son
linealmente independientes si no es posible expresarlos como una
combinaci´on lineal del resto. Son LI si:
∃1 ≤ i ≤ p :
k=i
αkuk = ui
Ejercicios
D´ıgase si el conjunto de vectores (2, −4, 0), (1, 1, 1) y (−1, 2, 1) es
linealmente independiente.
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13. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Combinaciones lineales
Dependencia e independencia lineal
Rango de un conjunto de vectores
Dependencia e independencia lineal
Dependencia lineal (II)
Dado el conjunto de vectores u1, u2, · · · , up ∈ Kn d´ıcese que son
linealmente independientes si la ecuaci´on vectorial
p
i=1
αi ui = 0
tiene como ´unica soluci´on la soluci´on trivial, es decir
αi = 0∀1 ≤ i ≤ p.
Ejercicios
D´ıgase si el conjunto de vectores (2, −4, 0), (1, 1, 1) y (−1, 2, 1) es
linealmente independiente.
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14. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Combinaciones lineales
Dependencia e independencia lineal
Rango de un conjunto de vectores
Dependencia e independencia lineal
Ejercicios
Demu´estrese que el conjunto (1, 1) y (1, 0) es LI.
Ejercicios
Demu´estrese que el conjunto (1, 1) y (0, 1) es LI.
Ejercicios
Demu´estrese que el conjunto (1, 1), (1, 0) y (0, 1) es LD.
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15. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Combinaciones lineales
Dependencia e independencia lineal
Rango de un conjunto de vectores
1 Conjuntos libres y ligados
Combinaciones lineales
Dependencia e
independencia lineal
Rango de un conjunto de
vectores
2 Espacios vectoriales de
dimensi´on finita
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio
vectorial
Dimensi´on y coordenadas
de una base
3 Cambio de base
El cambio de base
Matriz de cambio de base
4 Subespacios vectoriales
Concepto de subespacio
vectorial
5 Bases ortogonales y
ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on
de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un
vector sobre un subespacio
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16. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Combinaciones lineales
Dependencia e independencia lineal
Rango de un conjunto de vectores
Rango de un conjunto de vectores
Definici´on
Dado el conjunto de vectores u1, u2, · · · , up ∈ Kn, d´ıcese que
tienen rango r ≤ p si existe como m´ınimo un subconjunto de r
vectores linealmente independientes entre ellos y no existe ninguno
de r + 1 vectores que sea linealmente independiente. Es decir, es el
n´umero m´aximo de vectores linealmente independientes que
pueden extraerse del conjunto.
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17. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Combinaciones lineales
Dependencia e independencia lineal
Rango de un conjunto de vectores
Rango de un conjunto de vectores
Un m´etodo para calcular el rango de un conjunto de vectores
consiste en construir una matriz utilizando los vectores como
columnas (o filas) y definir el rango de la matriz como el rango de
sus vectores columna (o fila). Ya se ha aprendido c´omo calcular el
rango de una matriz en el Tema 1. Ahora se pondr´a en pr´actica
para calcular el rango de vectores.
Definici´on
El rango de una matriz A coincide con el n´umero de vectores fila o
columna linealmente independientes.
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18. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio vectorial
Dimensi´on y coordenadas de una base
1 Conjuntos libres y ligados
Combinaciones lineales
Dependencia e
independencia lineal
Rango de un conjunto de
vectores
2 Espacios vectoriales de
dimensi´on finita
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio
vectorial
Dimensi´on y coordenadas
de una base
3 Cambio de base
El cambio de base
Matriz de cambio de base
4 Subespacios vectoriales
Concepto de subespacio
vectorial
5 Bases ortogonales y
ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on
de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un
vector sobre un subespacio
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19. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio vectorial
Dimensi´on y coordenadas de una base
1 Conjuntos libres y ligados
Combinaciones lineales
Dependencia e
independencia lineal
Rango de un conjunto de
vectores
2 Espacios vectoriales de
dimensi´on finita
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio
vectorial
Dimensi´on y coordenadas
de una base
3 Cambio de base
El cambio de base
Matriz de cambio de base
4 Subespacios vectoriales
Concepto de subespacio
vectorial
5 Bases ortogonales y
ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on
de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un
vector sobre un subespacio
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20. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio vectorial
Dimensi´on y coordenadas de una base
Espacios vectoriales
Hasta ahora se han visto ejemplos de espacios de R2 y R3, pero la
gran mayor´ıa de definiciones que se han presentado se han dado
para espacios Kn arbitrarios. Veremos que la estructura de estos
espacios es una de las m´as importantes en el mundo del ´algebra: el
espacio vectorial.
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21. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio vectorial
Dimensi´on y coordenadas de una base
Espacios vectoriales
Definici´on
Un espacio vectorial sobre un cuerpo K es un conjunto E no vac´ıo
y cerrado con las siguientes operaciones definidas:
1 Ley de composici´on interna
∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E
2 Ley de composici´on externa
∀x ∈ E, α ∈ K ⇒ αx ∈ E
que cumplen las siguientes condiciones:
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22. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio vectorial
Dimensi´on y coordenadas de una base
Espacios vectoriales
Definici´on
La ley de composici´on interna ha de cumplir:
Propiedad conmutativa: x + y = y + x∀x, y ∈ E
Propiedad asociativa:
x + (y + z) = (x + y) + z∀x, y, z ∈ E
Elemento neutro de la suma: ∃0 ∈ E : x + 0 = x∀x ∈ E
Existencia del opuesto: ∀x ∈ E∃ − x ∈ E : x + (−x) = 0
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23. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio vectorial
Dimensi´on y coordenadas de una base
Espacios vectoriales
Definici´on
La ley de composici´on externa ha de cumplir:
Propiedad asociativa: α(βx) = (αβ)x∀x ∈ E, α, β ∈ K
Elemento neutro del producto: ∃1 ∈ K : 1x = x∀x ∈ E
Propiedad distributiva del producto respecto de la suma de
vectores:
α(x + y) = αx + αy∀x, y ∈ E, α ∈ K
Propiedad distributiva del producto respecto de la suma de
escalares:
(α + β)x = αx + βx∀x, ∈ E, α, β ∈ K
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24. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio vectorial
Dimensi´on y coordenadas de una base
Espacios vectoriales
Ejemplos de espacios vectoriales
El espacio Rn formado por los vectores de n componentes
(x1, x2, · · · , xn)
El conjunto Pn(K) = {anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 : ai ∈
K ∀0 ≤ i ≤ n}.
El espacio M2×2(K) de las matrices 2 × 2 con coeficientes
sobre K.
El conjunto de las matrices continuas definidas sobre un
cuerpo K
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25. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio vectorial
Dimensi´on y coordenadas de una base
Espacios vectoriales
No son espacios vectoriales
El conjunto de matrices 3 × 2 con coeficientes enteros
(M3×2(Z))
El conjunto de polinomios de grado exactamente igual a 3 con
coeficientes reales.
¿Por qu´e?
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26. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio vectorial
Dimensi´on y coordenadas de una base
1 Conjuntos libres y ligados
Combinaciones lineales
Dependencia e
independencia lineal
Rango de un conjunto de
vectores
2 Espacios vectoriales de
dimensi´on finita
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio
vectorial
Dimensi´on y coordenadas
de una base
3 Cambio de base
El cambio de base
Matriz de cambio de base
4 Subespacios vectoriales
Concepto de subespacio
vectorial
5 Bases ortogonales y
ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on
de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un
vector sobre un subespacio
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27. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio vectorial
Dimensi´on y coordenadas de una base
Sistema generador
Definici´on
Dado un conjunto de vectores u1, u2, · · · , un ∈ E d´ıcese que
forman un sistema generador del espacio vectorial E si cualquier
vector u ∈ E se puede expresar como una combinaci´on lineal de
ellos, es decir:
∀u ∈ E, ∃α1, α2, · · · , αn : u =
n
i=1
αi ui
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28. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio vectorial
Dimensi´on y coordenadas de una base
Sistema generador
Ejercicio 1
a Expr´esese el vector (−5, 15) como una combinaci´on lineal de
(1, −3) y (2, −6).
b Expr´esese el vector (a, b) como una combinaci´on lineal de
(1, −3) y (2, −6).
c ¿Se puede formar con los vectores (1, −3) y (2, −6) un
sistema generador de R2? ¿Por qu´e?
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29. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio vectorial
Dimensi´on y coordenadas de una base
Sistema generador
Ejercicio 2
a Expr´esese el vector (4, −11) como una combinaci´on lineal de
(2, −1) y (1, 4).
b Expr´esese el vector (a, b) como una combinaci´on lineal de
(2, −1) y (1, 4).
c ¿Se puede formar con los vectores (1, −3) y (2, −6) un
sistema generador de R2? ¿Por qu´e?
d Obt´engase el vector (−7, 3) como una combinaci´on lineal de
(2, −1) y (1, 4).
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30. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio vectorial
Dimensi´on y coordenadas de una base
Sistema generador
Ejercicio 3
a Raz´onese si los vectores (1, 1), (−2, 3) y (0, −1) forman un
sistema generador de R2.
b Obt´engase el vector (−7, 3) como una combinaci´on lineal de
(1, 1), (−2, 3) y (0, −1).
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31. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio vectorial
Dimensi´on y coordenadas de una base
Sistema generador
Ejercicio 4
a Compru´ebese si los vectores del ejercicio 2, (2, −1) y (1, 4)
son LI.
b Compru´ebese si los vectores del ejercicio 3, (1, 1), (−2, 3) y
(0, −1) son LI.
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32. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio vectorial
Dimensi´on y coordenadas de una base
1 Conjuntos libres y ligados
Combinaciones lineales
Dependencia e
independencia lineal
Rango de un conjunto de
vectores
2 Espacios vectoriales de
dimensi´on finita
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio
vectorial
Dimensi´on y coordenadas
de una base
3 Cambio de base
El cambio de base
Matriz de cambio de base
4 Subespacios vectoriales
Concepto de subespacio
vectorial
5 Bases ortogonales y
ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on
de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un
vector sobre un subespacio
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33. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio vectorial
Dimensi´on y coordenadas de una base
Base de un espacio vectorial
Cuando se tiene un conjunto de vectores que son sistema
generador de un espacio vectorial E y sean adem´as LI, d´ıcese que
estos vectores constituyen una base del espacio.
Definici´on
D´ıcese que un conjunto de vectores u1, u2, · · · , un ∈ E son una
base de E si:
u1, u2, · · · , un es un sistema generador de E.
u1, u2, · · · , un son linealmente independientes.
Por ejemplo, los vectores del ejercicio 2 son una base de R2, pero
en cambio los del ejercicio 3 no son una base de R2.
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34. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio vectorial
Dimensi´on y coordenadas de una base
Base de un espacio vectorial
Teorema
Si u1, u2, · · · , un ∈ E es una base del espacio vectorial E, entonces
cualquier vector u ∈ E se puede expresar como una combinaci´on
lineal de u1, u2, · · · , un de manera ´unica.
∀u ∈ E, ∃! α1, α2, · · · , αn ∈ K : u =
n
i=1
αi ui
Corolario
Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo
n´umero de vectores.
Por ejemplo, las bases de K2 tienen 2 elementos, las de K3 tienen
3...
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35. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio vectorial
Dimensi´on y coordenadas de una base
Base de un espacio vectorial
Ejercicios
Determ´ınese si los vectores (2, −4, 0), (1, 1, 1) y (-1,2,0) forman
una base de R3.
Sol: no, ya que son LD.
Ejercicios
Determ´ınese si los vectores (2, 1, 0), (1, −1, 1) y (0,2,-3) forman
una base de R3.
Sol: s´ı, ya que son 3 vectores LI de R3.
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36. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio vectorial
Dimensi´on y coordenadas de una base
Base de un espacio vectorial
Un espacio vectorial tiene infinitas bases. En cada espacio vectorial
hay una que tiene unas caracter´ısticas especiales. La denominada
base can´onica.
La base can´onica
En R2, la base can´onica es {e1, e2} con
e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)
En R3, la base can´onica es {e1, e2, e3} con
e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)
N´otese que los vectores de la base can´onica son unitarios y
ortogonales entre s´ı.
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37. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio vectorial
Dimensi´on y coordenadas de una base
1 Conjuntos libres y ligados
Combinaciones lineales
Dependencia e
independencia lineal
Rango de un conjunto de
vectores
2 Espacios vectoriales de
dimensi´on finita
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio
vectorial
Dimensi´on y coordenadas
de una base
3 Cambio de base
El cambio de base
Matriz de cambio de base
4 Subespacios vectoriales
Concepto de subespacio
vectorial
5 Bases ortogonales y
ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on
de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un
vector sobre un subespacio
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
38. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio vectorial
Dimensi´on y coordenadas de una base
Dimensi´on de una base
Como el n´umero de elementos de una base de un espacio vectorial
dado E es ´unico, tiene sentido definir la dimensi´on de E.
Dimensi´on de un espacio vectorial
Dado un espacio vectorial E, se define su dimensi´on dim(E) como
el n´umero de vectores que conforman cualquiera de sus bases.
Por ejemplo, R2 tiene dimensi´on 2 ya que las bases tienen 2
elementos, R3 tiene dimensi´on 3, etc...
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
39. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio vectorial
Dimensi´on y coordenadas de una base
Coordenadas de un vector en una base
Coordenadas
Dado un espacio vectorial E con una base B = {u1, u2, · · · , un} y
un vector u ∈ E, se sabe que existen unos ´unicos escalares
α1, α2, · · · , αn tales que:
u = α1u1 + α2u2 + · · · + αnun
estos escalares se denominan coordenadas del vector u en la base
B.
u = (α1, α2, · · · , αn)B
Cada vector tiene coordenadas ´unicas en cada base del espacio al
que pertenece, pero como hay infinitas bases, tendr´a infinitos
conjuntos de coordenadas asociadas.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
40. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio vectorial
Dimensi´on y coordenadas de una base
Coordenadas de un vector en una base
Ejercicios
Dadas las dos bases B1 = {(2, 4, 0), (1, 0, 1), (−1, 2, 0)} y
B2 = {(2, 1, 0), (1, −1, 1), (0, 2, −3)} calc´ulense las coordenadas
del vector u = (3, −5, 1) en ambas bases.
Sol
u =
−1
8
, 1,
−9
4 B1
= (−2, 7, 2)B2
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
41. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio vectorial
Dimensi´on y coordenadas de una base
Coordenadas de un vector en una base
Si se nos facilitan las coordenadas de un vector sin especificar la
base, se sobreentiende que se trata de la base can´onica. Tambi´en
reciben el nombre de coordenadas cartesianas y son las que en el
Tema 2 hemos definido como las componentes de un vector.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
42. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de base
Matriz de cambio de base
1 Conjuntos libres y ligados
Combinaciones lineales
Dependencia e
independencia lineal
Rango de un conjunto de
vectores
2 Espacios vectoriales de
dimensi´on finita
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio
vectorial
Dimensi´on y coordenadas
de una base
3 Cambio de base
El cambio de base
Matriz de cambio de base
4 Subespacios vectoriales
Concepto de subespacio
vectorial
5 Bases ortogonales y
ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on
de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un
vector sobre un subespacio
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
43. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de base
Matriz de cambio de base
1 Conjuntos libres y ligados
Combinaciones lineales
Dependencia e
independencia lineal
Rango de un conjunto de
vectores
2 Espacios vectoriales de
dimensi´on finita
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio
vectorial
Dimensi´on y coordenadas
de una base
3 Cambio de base
El cambio de base
Matriz de cambio de base
4 Subespacios vectoriales
Concepto de subespacio
vectorial
5 Bases ortogonales y
ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on
de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un
vector sobre un subespacio
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
44. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de base
Matriz de cambio de base
Cambio de base
Se sabe que todo vector de un espacio vectorial tiene asociado un
conjunto de escalares que dependen de la base y que se denominan
coordenadas o componentes del vector en esa base. Tambi´en
hemos visto que estas coordenadas son ´unicas en cada base pero
distintas cuando cambian de base.
Partiendo de este punto el problema que se nos plantea es el de
calcular las coordenadas de un vector en cierta base ˆB dadas las
coordenadas del mismo en otra base B.
Si una de las dos bases es la can´onica ya hemos visto que el
problema es relativamente sencillo, v´ease el ´ultimo ejercicio de la
secci´on anterior. Si las dos bases son arbitrarias, se necesitar´a
conocer la relaci´on entre ambas bases y la resoluci´on ser´a un poco
m´as elaborada.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
45. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de base
Matriz de cambio de base
Cambio de base
Ejercicios
Dado el vector u de coordenadas (−2, 3, 5)B en la base:
B = {(2, 4, 0), (1, 0, 1), (−1, 2, 0)}
Calc´ulense sus coordenadas en la base can´onica C.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
46. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de base
Matriz de cambio de base
Cambio de base
Soluci´on
(−2, 3, 5)B = −2 · (2, 4, 0)C + 3 · (1, 0, 1)C + 5 · (−1, 2, 0)C
= (−6, 2, 3)C = −6 · (1, 0, 0) + 2 · (0, 1, 0) + 3 · (0, 0, 1)
Sol
u = (−6, 2, 3)C
Donde C es la base can´onica del espacio.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
47. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de base
Matriz de cambio de base
Cambio de base
Ejercicio
Dadas las bases Bu = {u1, u2, u3} y Bv = {uv , uv , uv } de un
espacio vectorial de dimensi´on 3 sabemos que:
v1 = 2u1 − u2 + u3
v2 = − u2 + 2u3
v3 = −u1 + u2 − 3u3
¿Cu´ales son las coordenadas de los vectores vi en a base Bu?
¿Y las de ui en la base Bv ? (Pista: empl´eese Gauss).
Calc´ulense las coordenadas del vector x en la base Bu sabiendo que
en la base Bv tiene coordeadas (1, −1, 0).
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
48. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de base
Matriz de cambio de base
Cambio de base
Soluci´on
Seg´un la definici´on, las coordenadas de vi en Bu, son los escalares
que acompa˜nan a los vectores u1, u2, u3 que genera vi :
v1 = 2u1 + (−1)u2 + 1u3 = (2, −1, 1)Bu
v2 = 0u1 + (−1)u2 + 2u3 = (0, −1, 2)Bu
v3 = (−1)u1 + 1u2 + (−3)u3 = (−1, 1, −3)Bu
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49. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de base
Matriz de cambio de base
Cambio de base
Soluci´on
Para calcular las coordenadas de los vectores de Bu en la base Bv ,
se han de expresar los vectores ui como una combinaci´on lineal de
los vectores vi . N´otese que la relaci´on del enunciado se provee con
el orden cambiado. Queda hallar los ui en funci´on de los vi , cosa
que se puede hacer empleando Gauss con ui como inc´ognita y vi
como t´erminos independientes. La soluci´on se obtiene al operar
sistema:
u1 =
1
3
, −
2
3
, −
1
3
, u2 = −
2
3
, −
5
3
, −
4
3
, u3 = −
1
3
, −
1
3
, −
2
3
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
50. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de base
Matriz de cambio de base
Cambio de base
Soluci´on
Se sabe que x = (1, −1, 0)Bv = 1v1 + (−1)v2 + 0v3,
x = 1(2u1 − u2 + u3) + (−1)(−u2 + 2u3) + 0(−u1 + u2 − 3u3)
= 2u1 − u3 = (2, 0, −1)Bu
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
51. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de base
Matriz de cambio de base
Cambio de base
Soluci´on
N´otese pues que:
2u1 − u3 = v1 + (−1)v2
As´ı se puede decir que si se conocen expl´ıcitamente las
coordenadas de vi i de ui en la base can´onica, y las sustituimos en
la expresi´on anterior, se obtendr´a una igualdad: las coordenadas del
vector x en la base can´onica.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
52. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de base
Matriz de cambio de base
Cambio de base
Ejercicios
Dadas las bases Bu = {u1, u2, u3} y Bv = {uv , uv , uv } de un
espacio vectorial de dimensi´on 3 y sabi´endose que:
v1 = 2u1 − u2 + u3
v2 = − u2 + 2u3
v3 = −u1 + u2 − 3u3
Consid´erese el vector x = (2, 0, −1)Bu y calc´ulense sus coordenadas
en la base Bv .
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53. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de base
Matriz de cambio de base
Cambio de base
Soluci´on
x = av1 + bv2 + cv3 =
a(2u1 − u2 + u3) + b(−u2 + 2u3) + c(−u1 + u2 − 3u3) =
(2a − c)u1 + (−a − b − c)u2 + (a + 2b − 3c)u3
Deber´ıa ser:
x = 2u1 + 0u2 + (−1)u3
Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales resultante de igular
ambas expresiones (ya que las coordenadas de un vector en una
base son ´unicas) se obtiene:
x = (1, −1, 0)Bv = (2, 0, −1)Bu
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
54. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de base
Matriz de cambio de base
Cambio de base
En los ejercicios anteriores se ha visto que la notaci´on para
expresar las coordenadas de un vector se puede hacer en forma de
matriz fila o columna. Si se conocen las coordenadas de un vector
en una base se pueden emplear las operaciones matriciales ya
conocidas para pasar de una base a otra sin mayor complicaci´on.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
55. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de base
Matriz de cambio de base
Cambio de base
T´enganse los vectores de la base Bv en la base Bu dados por:
v1 = 2u1 − u2 + u3
v2 = − u2 + 2u3
v3 = −u1 + u2 − 3u3
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
56. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de base
Matriz de cambio de base
Cambio de base
Expresi´on que en forma matricial tiene la forma (I):
2 −1 1
0 −1 2
−1 1 −3
·
u1
u2
u3
=
v1
v2
v3
u1 u2 u3 ·
2 0 −1
−1 −1 1
1 2 −3
= v1 v2 v3
En la matriz superior, las filas son las coordenadas de los vectores
v1, v2 i v3 en la base Bu. En la matriz inferior, las columnas son las
coordenadas de los vectores v1, v2 i v3 en la base Bu.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
57. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de base
Matriz de cambio de base
Cambio de base
Por otro lado, se puede expresar el vector x en ambas bases de la
siguiente manera:
x = 1v1+(−1)v2+0v3 = (v1, v2, v3)
1
−1
0
Bv
= (1, −1, 0)
v1
v2
v3
x = 2u1+0u2+(−1)u3 = (u1, u2, u3)
2
0
−1
Bu
= (2, 0, −1)
u1
u2
u3
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
58. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de base
Matriz de cambio de base
Cambio de base
Como ya se sabe, el resultado de operar en ambas expresiones
ser´ıan las coordenadas del vector en la base can´onica (por
unicidad), por lo tanto se pueden igualar las expresiones:
x = (v1, v2, v3)
1
−1
0
Bv
= (u1, u2, u3)
2
0
−1
Bu
o
x = (2, 0, −1)
u1
u2
u3
= (1, −1, 0)
v1
v2
v3
2u1 − u3 = 1v1 + (1)v2 + 0v3 (eq 2)
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
59. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de base
Matriz de cambio de base
Cambio de base
Empleando las relaciones establecidas por (I):
u1 u2 u3 ·
2 0 −1
−1 −1 1
1 2 −3
= v1 v2 v3
Y sustituyendo en la ecuaci´on (II):
x = (v1, v2, v3)
1
−1
0
Bv
= (u1, u2, u3)
2
0
−1
Bu
Se obtiene:
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
60. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de base
Matriz de cambio de base
Cambio de base
Se obtiene:
x = u1 u2 u3 ·
2 0 −1
−1 −1 1
1 2 −3
1
−1
0
Bv
=
u1 u2 u3 ·
2
0
−1
Bu
Si se comparan ambos miembros se halla que por unicidad de
coordenadas de un vector en la misma base (en este caso Bu):
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
61. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de base
Matriz de cambio de base
Cambio de base
2 0 −1
−1 −1 1
1 2 −3
1
−1
0
Bv
=
2
0
−1
Bu
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
62. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de base
Matriz de cambio de base
1 Conjuntos libres y ligados
Combinaciones lineales
Dependencia e
independencia lineal
Rango de un conjunto de
vectores
2 Espacios vectoriales de
dimensi´on finita
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio
vectorial
Dimensi´on y coordenadas
de una base
3 Cambio de base
El cambio de base
Matriz de cambio de base
4 Subespacios vectoriales
Concepto de subespacio
vectorial
5 Bases ortogonales y
ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on
de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un
vector sobre un subespacio
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
63. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de base
Matriz de cambio de base
Cambio de base
En general
Dado un vector x de coordenades Xv (vector columna) en la base
Bv (vector fila) y las coordenadas Xu (vector columna) en la base
Bu (vector fila) entonces se puede escribir:
x = Bv · Xv = Bu · Xu
Si la relaci´on entre las bases dadas por Bu · P = Bv se sustituyen
en la expresi´on del vector x:
x = (Bu · P) · Xv = Bu · Xu
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
64. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de base
Matriz de cambio de base
Cambio de base
En general
Empleando la propiedad asociativa:
x = Bu · (P · Xv ) = Bu · Xu
Se obtiene que Xu = P · Xv
La matriz P se denomina la matriz de cambio de base Bv a la base
Bu.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
65. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de base
Matriz de cambio de base
Cambio de base
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
66. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de base
Matriz de cambio de base
Matriz de cambio de base
Matriz de cambio de base
Dado un espacio vectorial de dimensi´on n y dos bases diferentes Bu
y Bv . Se denomina matriz de cambio de base de Bv a Bu a la
matriz P las columnas de la cual son las coordenadas de la base
Bv en la base Bu.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
67. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de base
Matriz de cambio de base
Matriz de cambio de base
Ejercicios
Dadas las bases Bu = {u1, u2, u3} y Bv = {v1, v2, v3}, y el vector x
de coordenadas (2, 1, 0) en la base Bv , calc´ulense sus coordenadas
en la base Bu sabiendo que:
v1 = 2u1 − u2 + u3
v2 = − u2 + 2u3
v3 = −u1 + u2 − 3u3
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
68. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de base
Matriz de cambio de base
Matriz de cambio de base
Sol
P =
2 0 −1
−1 −1 1
1 2 −3
Donde Bv = Bu · P
x = (4, −3, 4)Bu
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
69. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de base
Matriz de cambio de base
Matriz de cambio de base
Ejercicios
Expr´esese el vector (−1, 0, 4) de la base can´onica en la base
B = {(1, 3, −1), (−1, 1, 0), (0, 2, 0)} de R3 calculando previamente
la matriz de cambio de base necesaria.
Pista: P es la matriz que porta la base can´onica a B, la cual tiene
como columnas los vectores de la base can´onica expresados en la
base B. este problema es m´as sencillo si se busca la matriz Q que
porta B a la base can´onica (sus columnas ser´an los vectores de B
en la base can´onica que son ellos mismos) y que resulta ser la
inversa de P.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
70. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de base
Matriz de cambio de base
Matriz de cambio de base
Sol
P = Q−1
=
0 0 −1
−1 0 −1
1/2 1/2 2
Donde XB = P · Xe
x = −4, −3,
15
2 B
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
71. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Concepto de subespacio vectorial
1 Conjuntos libres y ligados
Combinaciones lineales
Dependencia e
independencia lineal
Rango de un conjunto de
vectores
2 Espacios vectoriales de
dimensi´on finita
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio
vectorial
Dimensi´on y coordenadas
de una base
3 Cambio de base
El cambio de base
Matriz de cambio de base
4 Subespacios vectoriales
Concepto de subespacio
vectorial
5 Bases ortogonales y
ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on
de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un
vector sobre un subespacio
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
72. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Concepto de subespacio vectorial
1 Conjuntos libres y ligados
Combinaciones lineales
Dependencia e
independencia lineal
Rango de un conjunto de
vectores
2 Espacios vectoriales de
dimensi´on finita
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio
vectorial
Dimensi´on y coordenadas
de una base
3 Cambio de base
El cambio de base
Matriz de cambio de base
4 Subespacios vectoriales
Concepto de subespacio
vectorial
5 Bases ortogonales y
ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on
de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un
vector sobre un subespacio
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
73. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Concepto de subespacio vectorial
Subespacio vectorial
Definici´on
Sea F ⊆ E un subconjunto no vac´ıo del espacio vectorial E sobre
un cuerpo K. D´ıcese que F es un subespacio vectorial de E si y
solo si se verifica:
La suma de dos elementos de F es otro elemento F
∀x, y ∈ F ⇒ x + y ∈ F
El producto de un escalar por un elemento F es otro elemento
de F
∀x ∈ F, α ∈ K ⇒ αx ∈ F
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
74. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Concepto de subespacio vectorial
Subespacio vectorial
Subespacios triviales
Si E es un K-espacio vectorial, se verifica siempre que E y {0} son
subespacios vectoriales de E. Se denominan subespacios vectoriales
triviales o impropios.
Corolario
Si S es un subespacio vectorial de E, entonces 0 ∈ S.
Este corolario solo se puede emplear rec´ıprocamente ya que si se
comprueba que por alguna raz´on 0 /∈ S, entonces este conjunto no
puede ser nunca un subespacio vectorial.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
75. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Concepto de subespacio vectorial
Subespacio vectorial
Ejercicios
Compru´ebese que el siguiente conjunto es un subespacio vectorial
de R3:
F = {(x, y, z) ∈ R3
: x + y + z = 0}
Nota: compru´ebese primero si F contiene el vector cero y, si as´ı es,
compru´ebense las dos condiciones de la definici´on de subespacio.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
76. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Concepto de subespacio vectorial
Subespacio vectorial
Ecuaciones de un subespacio vectorial
Un subespacio vectorial F de un espacio vectorial E queda
identificado si:
Se conoce una base de F
Se conoce un sistema generador de F
A partir de sus ecuaciones par´ametricas
A partir de las equacions cartesianas o impl´ıcitas (un sistema
homog´eneo las inc´ognitas del cual son las coordenadas del
vector gen´erico).
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
77. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Concepto de subespacio vectorial
Subespacio vectorial
Ejercicios
Identif´ıquese el subespacio F del ejercicio anterior de todas las
formas posibles:
F = {(x, y, z) ∈ R3
: x + y + z = 0}
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
78. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Concepto de subespacio vectorial
Subespacio vectorial
Obtener una base de un subespacio vectorial
Se parte de las ecuaciones par´ametricas del subespacio.
Se expresa el vector gen´erico como combinaci´on lineal de
vectores.
En primer lugar se consiguen tantos sumandos como
par´ametros tenga el subespacio y se separan en vectores
diferentes
Se extrae un escalar de cada uno de los vectores y se deja
expresado como combinaci´on lineal
Los vectores que aparecen en la combinaci´on lineal son un
sistema generador del subespacio.
Se extrae del conjunto de vectores un subconjunto linealmente
independiente con tantos vectores como indique el rango. Se
tiene as´ı una base del subespacio.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
79. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Concepto de subespacio vectorial
Subespacio vectorial
Ejercicios
Obt´engase la dimensi´on, las ecuaciones par´ametricas y una base
del subespacio F1 dado por:
F1 = {(x, y, z) ∈ R3
: 2x −y +3z = 0, −x +y −z = 0, x −2y = 0}
Pista: Comi´encese por hacer Gauss al sistema de ecuaciones
lineales.
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80. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Concepto de subespacio vectorial
Subespacio vectorial
Ejercicios
Obt´engase la dimensi´on, las ecuaciones par´ametricas y una base
del subespacio F2 dado por:
F2 = {(α + β, α + β, α + β + γ, 0) : α, β, γ ∈ R}
Pista: Comi´encese por hacer Gauss al sistema de ecuaciones
lineales.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
81. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio
1 Conjuntos libres y ligados
Combinaciones lineales
Dependencia e
independencia lineal
Rango de un conjunto de
vectores
2 Espacios vectoriales de
dimensi´on finita
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio
vectorial
Dimensi´on y coordenadas
de una base
3 Cambio de base
El cambio de base
Matriz de cambio de base
4 Subespacios vectoriales
Concepto de subespacio
vectorial
5 Bases ortogonales y
ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on
de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un
vector sobre un subespacio
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
82. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio
Bases ortogonales y ortonormales
Base ortogonal
Dada una base B = {u1, u2, · · · , un} de un espacio vectorial E,
d´ıcese ortogonal si sus elementos son ortogonales dos a dos:
ui · uj = 0∀i = j
Base ortonormal
Dada una base B = {u1, u2, · · · , un} de un espacio vectorial E,
d´ıcese ortonormal si sus elementos son ortogonales dos a dos y
adem´as son unitarios:
ui · uj = 0 ∀i = j
ui · ui = 1 ∀i
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83. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio
1 Conjuntos libres y ligados
Combinaciones lineales
Dependencia e
independencia lineal
Rango de un conjunto de
vectores
2 Espacios vectoriales de
dimensi´on finita
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio
vectorial
Dimensi´on y coordenadas
de una base
3 Cambio de base
El cambio de base
Matriz de cambio de base
4 Subespacios vectoriales
Concepto de subespacio
vectorial
5 Bases ortogonales y
ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on
de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un
vector sobre un subespacio
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84. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Este m´etodo permite contruir una base ortogonal a partir de una
base cualquiera del espacio vectorial. Primero se realizar´a la
contrucci´on para un espacio vectorial de dos dimensiones:
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85. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Caso 2D
Sea B = {v1, v2} una base de un espacio vectorial de dos
dimensiones. A partir de los vectores de esta base se construir´a una
nueva B = {w1, w2} que ser´a ortogonal y del mismo espacio.
1 Se toma w1 = v1 como primer vector de la nueva base.
2 El segundo vector ser´a una combinaci´on lineal v1 y v2 para
asegurarse de que la nueva base genera el mismo subespacio
vectorial. As´ı, se descompone:
v2 = u1 + u2 : u1||v1 u2 ⊥ v1
En particular u2 = v2 − tv1 = v2 − tw1 y ser´a el siguiente
vector de nuestra nueva base: w2. Solo resta encontrar t.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
86. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
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87. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Caso 2D
Se tiene que w1 ⊥ w2. Se impone la condici´on de que
w2 = v2 − tw1 y el producto escalar con w1 = v1 ha de ser cero:
w1 · w2 = w1 · (v2 − tw1) = w1 · v2 − w1w1 = 0
Por lo tanto:
t =
w1 · v2
w1 · w1
w2 = v2 −
w1 · v2
w1 · w1
w1
Entonces Br = {w1, w2} es una base ortogonal que genera el
mismo subespacio que B = {v1, v2}.
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
88. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Caso general
Sea B = {v1, v2, · · · , vn} una base de un espacio vectorial de n
dimensiones E. A partir de los vectores de esta base se construir´a
una nueva Br = {w1, w2, · · · , wn} que ser´a ortogonal y del mismo
espacio.
1 Se toma w1 = v1 como primer vector de la nueva base.
2 El segundo vector ser´a una combinaci´on lineal v1 y v2 de la
forma w2 = v2 − tw1, al cual se impondr´a la condici´on de que
w1 ⊥ w2. Operando se obtiene:
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
89. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Caso general
t =
w1 · v2
w1 · w1
w2 = v2 −
w1 · v2
w1 · w1
w1
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
90. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Caso general
Sea B = {v1, v2, · · · , vn} una base de un espacio vectorial de n
dimensiones E. A partir de los vectores de esta base se construir´a
una nueva Br = {w1, w2, · · · , wn} que ser´a ortogonal de E.
3 Para calcular el tercer vector, se procede de la misma forma:
el tercer vector w3 ser´a una combinaci´on lineal de v1, v2 y v3
de la forma w2 = v3 − t1w1 − t2w2, a la cual se impondr´an las
condiciones w1 ⊥ w3 i w2 ⊥ w3 . Operando se obtiene:
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
91. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Caso general
t1 =
w1 · v3
w1 · w1
t2 =
w2 · v2
w2 · w2
w3 = v3 −
w1 · v3
w1 · w1
w1 −
w2 · v3
w2 · w2
w2
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92. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Caso general
4 An´alogamente:
w4 = v4 −
w1 · v4
w1 · w1
w1 −
w2 · v4
w2 · w2
w2 −
w3 · v4
w3 · w3
w3
n Y con el fin de hallar el ´ultimo:
wn = vn −
n−1
i=1
wi · vn
wi · wi
wi
n+1 Finalmente, si se designa una base ortonormal, basta dividir
cada vector por su norma.
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93. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Ejercicios
Calc´ulese una base ortogonal del subespacio vectorial generado por
los vectores
u1 = (1, 1, 0, 1), u2 = (0, 0, 1, 1), u3 = (2, 0, −1, 0)
Sol:
(1, 1, 0, 1), (1, 1, −3, −2), (1, −1, 0, 0)
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94. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio
1 Conjuntos libres y ligados
Combinaciones lineales
Dependencia e
independencia lineal
Rango de un conjunto de
vectores
2 Espacios vectoriales de
dimensi´on finita
Espacios vectoriales
Sistema generador
Base de un espacio
vectorial
Dimensi´on y coordenadas
de una base
3 Cambio de base
El cambio de base
Matriz de cambio de base
4 Subespacios vectoriales
Concepto de subespacio
vectorial
5 Bases ortogonales y
ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on
de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un
vector sobre un subespacio
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95. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio
Vector ortogonal a un subespacio
Vector ortogonal a un subespacio
Un vector u ∈ E es ortogonal a un subespacio vectorial S ⊆ E si y
solo si:
u · x = 0 ∀ x ∈ S
Teorema
Un vector u ∈ E es ortogonal a un subespacio vectorial S ⊆ E si y
solo si es ortogonal a todos los vectores de una base de S.
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96. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio
Proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio
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97. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio
Proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio
Teorema
Dos subespacios V y W de E son ortogonales si:
∀x ∈ V ∀y ∈ W ⇒ x · y = 0
Teorema
Para que dos subespacios V y W sean ortogonales, es suficiente
con que los vectores de una base de V sean ortogonales a los
vectores de una base de W .
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98. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio
Proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio
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99. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio
Proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio
Projecci´on ortogonal
Como se recordar´a, el vector proyecci´on ortogonal de un vector u
sobre otro v, se expresa como:
Pu(v) =
u · v
v · v
v =
u · v
||v||2
v
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100. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio
Proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio
Proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio
Dado S un subespacio vectorial de un espacio vectorial E, todo
vector u ∈ E se descompone de manera ´unica en:
u = uS + u0
Con uS ∈ S y u0 ∈ S⊥. En particular, el vector uS ∈ S se
denomina vector proyecci´on ortogonal de u sobre S.
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101. Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on finita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
M´etodo de diagonalizaci´on de Gram-Schmidt
Proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio
Proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio
Proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio
Si se toma en S una base ortogonal {s1, s2, · · · , sr }, la proyecci´on
de u sobre S viene dada por:
Pu(v) = uS =
r
i=1
u · si
||si ||2
si
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