Ejercicios para cumplir con la asignatura programada para el 21-05-2015 Matemática IV.

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
FACULTAD DE INGENIERIA
CABUDARE. EDO. LARA
Estudiantes:
Jesus Arroyo CI: 25143483
Maria Vegas CI: 23814971
José Nieves CI: 25854232
Profesor: José Morillo

2. 1- EFECTUAR LAS OPERACIONES INDICADAS
    3
1
65
71253
43
3224










i
iiii
SOLUCIÓN:
Sea i2= -1
(
(4(𝑖2)𝑖 − 2) + (𝑖2)2(𝑖)(2(𝑖4)3 − 3(𝑖2)3 𝑖)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
|3(𝑖2)2 𝑖 − 46|
)
Entonces
(
(−4𝑖 − 2) + 𝑖(2(1)3 − 3(−1)3 𝑖)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
|3(−1)2 𝑖 − 46|
) = (
(−4𝑖 − 2) + 𝑖(2 + 3𝑖)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
|3𝑖 − 46|
)
= (
(−4𝑖 − 2) + 𝑖(2 − 3𝑖)
|3𝑖 − 46|
)
= (
(−4𝑖−2)+(2𝑖+3)
|3𝑖−46|
) = (
(−4𝑖−2)+(2𝑖+3)
√(46)2+32
) =
(
−4𝑖−2+2𝑖+3
4096
)
= (
1−2𝑖
4096
)
Así
Z=(
1−2𝑖
4096
)
1
3
=
(1−2𝑖)
1
3
(4096)
1
3
=
(1−2𝑖)
1
3
64

3. 2- DESCRIBIR Y BOSQUEJAR EL LUGAR GEOMETRICO DEFINIDO POR
2-a:
 zzz Im3
Solución
Sea 𝑧 = (𝑥 + 𝑖𝑦) , 𝑧̅ = (𝑥 + 𝑖𝑦)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑥 − 𝑖𝑦) y 𝐼𝑚(𝑧) = 𝑦
Así
𝑧𝑧̅ = (𝑥 + 𝑖𝑦)(𝑥 − 𝑖𝑦) = (x2
− i2
y2) = (x2
+ y2
)
Entonces
𝑧𝑧̅ < 3𝐼𝑚(𝑧) ⇔ (x2
+ y2) < 3 ⇔ x2
+ y2
− 3y < 0 ⇔ x2
+ y2
− 3y +
9
4
<
9
4
⇔ x2
+
(y −
3
2
)2
< (
3
2
)
2
Gráficamente
y
x

4. 2.b:
Solución
Consideremos i2
= -1
𝐼𝑚(𝑧) = 𝑦 ,
𝑧̅ = (𝑥 + 𝑖𝑦)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑥 − 𝑖𝑦)
𝑒 𝑖8𝑧̅
= 𝑒 𝑧̅
= 𝑒 𝑥
𝑒−𝑖𝑦
= 𝑒 𝑥(cos 𝑦 − isen 𝑦)
De modo que
|𝑒 𝑖8𝑧̅
| = |𝑒 𝑥(cos 𝑦 − isen 𝑦)| = |𝑒 𝑥
cos 𝑦 − 𝑖𝑒 𝑥
isen 𝑦 | =√(𝑒 𝑥 cos 𝑦)2 + (𝑒 𝑥 sen 𝑦)2
=√𝑒2𝑥((cos 𝑦)2 + (sen 𝑦)2) = 𝑒 𝑥
Dado que:
𝐼𝑚(𝑧) = 𝑦 = |𝑒 𝑖8𝑧̅
| = 𝑒 𝑥
Luego y= 𝑒 𝑥
   zi
ez
8
Im 

5. y= 𝑒 𝑥
Gráficamente
1
X

6. 3- DEMOSTRAMOS QUE:
zsensenzzsen 3
4
1
4
33

Demostración
(sin 𝑧)3
= (
𝑒 𝑖𝑧−𝑒−𝑖𝑧
2𝑖
)
3
=
(𝑒 𝑖𝑧−𝑒−𝑖𝑧)
3
(2𝑖)3
= −
1
8𝑖
(𝑒3𝑖𝑧
− 3𝑒2𝑖𝑧
𝑒−𝑖𝑧
+ 3𝑒 𝑖𝑧
𝑒−2𝑖𝑧
− 𝑒−3𝑖𝑧
)
= −
1
8𝑖
(𝑒3𝑖𝑧
− 3𝑒 𝑖𝑧
+ 3𝑒−𝑖𝑧
− 𝑒−3𝑖𝑧
)
= −
1
8𝑖
(−3𝑒 𝑖𝑧
+ 3𝑒−𝑖𝑧
) −
1
8𝑖
(𝑒3𝑖𝑧
− 𝑒−3𝑖𝑧
)
=
3
4
(
𝑒 𝑖𝑧−𝑒−𝑖𝑧
2𝑖
) −
1
4
(
𝑒3𝑖𝑧−𝑒−3𝑖𝑧
2𝑖
)
=
3
4
𝑠𝑒𝑛(𝑧) −
1
4
𝑠𝑒𝑛(3𝑧)
Entonces (sin 𝑧)3
=
3
4
𝑠𝑒𝑛(𝑧) −
1
4
𝑠𝑒𝑛(3𝑧)

7. 4- EXPRESAR LA FUNCIÒN
     zzzizf lnIm3
317

EN LA FORMA
     yxiVyxUzfw ,, 
Solución
Consideremos:
𝑧 = (𝑥 + 𝑖𝑦)
𝐼𝑚(𝑧) = 𝑦 ,
|𝑧| = √𝑥2 + 𝑦2
𝑖2
= −1
ln 𝑧 = ln |𝑧| + 𝑖𝐴𝑟𝑔(𝑧) = ln |𝑧| + 𝑖 tan−1
(
𝑦
𝑥
)
La definición de logaritmo principal
𝑊(𝑢 + 𝑖𝑣) = 𝑓(𝑧) = 3𝑖17
|𝑧|[𝐼𝑚(𝑧)]3
ln 𝑧 = 3𝑖√𝑥2 + 𝑦2 𝑦3
(ln |𝑧| + 𝑖 tan−1
(
𝑦
𝑥
))
= 3𝑖√𝑥2 + 𝑦2 𝑦3
(ln √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑖 tan−1
(
𝑦
𝑥
))
=
3𝑖
2
√𝑥2 + 𝑦2 𝑦3
ln(𝑥2
+ 𝑦2) − 3√𝑥2 + 𝑦2 𝑦3
tan−1
(
𝑦
𝑥
)
Por esto
𝑊(𝑢 + 𝑖𝑣) = 𝑓(𝑧) = −3√𝑥2 + 𝑦2 𝑦3
tan−1
(
𝑦
𝑥
) +
3𝑖
2
√𝑥2 + 𝑦2 𝑦3
ln(𝑥2
+ 𝑦2)
= 𝑈(𝑥, 𝑦 ) + 𝑖𝑉(𝑥, 𝑦)

8. Donde 𝑈(𝑥, 𝑦 ) = −3√𝑥2 + 𝑦2 𝑦3
tan−1
(
𝑦
𝑥
)
Y 𝑉(𝑥, 𝑦 ) =
3𝑖
2
√𝑥2 + 𝑦2 𝑦3
ln(𝑥2
+ 𝑦2)

9. 5- DEMOSTRAR SI LA FUNCIÓN   iz
eizf 15
3 ES ANALITICA
Solución
Sea 𝑒 𝑖𝑧
= 𝑒 𝑖(𝑥+𝑖𝑦)
= 𝑒 𝑖𝑥−𝑦)
= 𝑒−𝑦
𝑒 𝑖𝑥
= 𝑒−𝑦(cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑥)
𝑖15
= (𝑖2)7
𝑖 = (−1)7
𝑖 = −𝑖
𝒇(𝒛) = 𝟑 𝑖15
𝑒𝑖𝑧 = −3𝑖 𝑒−𝑦(cos 𝑥 + 𝑖sin 𝑥) = 3 𝑒−𝑦 sin 𝑥 − 3𝑖 𝑒−𝑦 cos 𝑥
Para que 𝒍𝒂𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 sea analítica debe satisfacer las ecuaciones de cauchy-Riemann esto es:
1)
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
2)
𝜕𝑣
𝜕𝑥
= −
𝜕𝑢
𝜕𝑦
Se observa que se cumple
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 3 𝑒−𝑦 cos 𝑥 𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= 3 𝑒−𝑦 cos 𝑥
Esto quiere decir que se cumple la condición
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
Luego verificamos otra condición
𝜕𝑣
𝜕𝑥
= −
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑥
= 3 𝑒−𝑦 sen 𝑥 𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −3 𝑒−𝑦 sen 𝑥 ⇔ −
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 3 𝑒−𝑦 sen 𝑥
Precisamente
𝜕𝑣
𝜕𝑥
= 3 𝑒−𝑦 sen 𝑥 = − 𝜕𝑢
𝜕𝑦
Dicha función es analítica y cumple las ecuaciones de cauchy-Riemann