Formulas coordenadas

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Formulas coordenadas

  1. 1. SISTEMAS DE COORDENADAS - RESUMO ELECTROMAGNETISMO 2º ano do MIEEC Autor: Paulo A. Sá Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (MIEEC) da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto (FEUP) Setembro de 2014
  2. 2. COORDENADAS CARTESIANAS (x,y,z): versores : iˆ, ˆj, kˆ raio vector de posição : r  xiˆ  yˆj  zkˆ  vector : A A i A j A k x y z  ˆ  ˆ  ˆ  elemento infinitesimal de volume : dV  dxdydz elementos infinitesimais de superfície : dS dxdyk dS dxdzj dS dydzi z y x ˆ ˆ ˆ       elemento infinitesimal de deslocamento : dl  dxiˆ  dyˆj  dzkˆ  relação com as coordenadas cilíndricas :          u k u sen i j u i sen j z r ˆ ˆ ˆ ˆ cos ˆ ˆ cos ˆ ˆ      relação com as coordenadas esféricas :             u sen i j u i sen j sen k u sen i sen sen j k r ˆ ˆ cos ˆ ˆ cos cos ˆ cos ˆ ˆ ˆ cos ˆ ˆ cos ˆ               k z f j y f i x f gradf f ˆ ˆ ˆ              z A y A x A divA A x y z               k y A x A j x A z A i z A y A A A A x y z i j k rotA A z y x z y x x y z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ                                                   2 2 2 2 2 2 2 z f y f x f lapf f           
  3. 3. COORDENADAS CILÍNDRICAS (r,φ,z) : versores : r z uˆ ,uˆ ,uˆ  raio vector de posição : r z r  ruˆ  zuˆ  vector : r r z z A  A uˆ  A uˆ  A uˆ    elemento infinitesimal de volume : dV  rdrddz elementos infinitesimais de superfície : z z r r dS rdrd u dS drdzu dS rd dzu ˆ ˆ ˆ           elemento infinitesimal de deslocamento : r z dl  druˆ  rd uˆ  dzuˆ    relação com as coordenadas cartesianas :       z z y rsen x r  cos         z r r k u j sen u u i u sen u ˆ ˆ ˆ ˆ cos ˆ ˆ cos ˆ ˆ       r z u z f u f r u r f gradf f ˆ ˆ 1 ˆ                z A A r r rA r divA A r z                1 ( ) 1  z r z r r z r z r z u A r rA r u r A z A u z A A r A rA A r z u ru u r rotA A ˆ 1 ( ) ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 1                                                           2 2 2 2 2 2 1 1 z f f r r f r r r lapf f                  
  4. 4. COORDENADAS ESFÉRICAS (r, θ, φ) : versores :   u u u r ˆ , ˆ , ˆ raio vector de posição : r r  ruˆ  vector :     A A u A u A u r r  ˆ  ˆ  ˆ  elemento infinitesimal de volume : dV r sendrdd 2  elementos infinitesimais de superfície :           dS rdrd u dS rsen drd u dS r sen d d ur r ˆ ˆ ˆ 2       elemento infinitesimal de deslocamento :   dl dru rdu rsendu r  ˆ  ˆ  ˆ  relação com as coordenadas cartesianas :            cos cos z r y rsen sen x rsen                             k u sen u j sen sen u sen u u i sen u u sen u r r r ˆ cos ˆ ˆ ˆ ˆ cos ˆ cos ˆ ˆ cos ˆ cos cos ˆ ˆ      u f rsen u f r u r f gradf f r ˆ 1 ˆ 1 ˆ                                A rsen A sen r rsen r A r divA A r 1 ( ) 1 ( ) 1 2 2                            u A r rA r rA u r A r sen u A A sen rsen A rA rsen A r u ru rsen u r sen rotA A r r r r r ˆ 1 ( ) ( ) ˆ 1 1 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 1 2                                            2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1                              f r sen f sen r r sen f r r r lapf f
  5. 5. COORDENADAS CILÍNDRICAS:
  6. 6. COORDENADAS ESFÉRICAS:
  7. 7. TRANSFORMAÇÃO VARIÁVEIS VERSORES COMPONENTES VECTORIAIS Cartesianas → cilíndricas            z z x y arctg r x y ( ) 2 2           u k u sen i j u i sen j z r ˆ ˆ ˆ ˆ cos ˆ ˆ cos ˆ ˆ               z z x y r x y A A A A sen A A A A sen      cos cos Cilíndricas → cartesianas       z z y rsen x r  cos         z r r k u j sen u u i u sen u ˆ ˆ ˆ ˆ cos ˆ ˆ cos ˆ ˆ               z z y r x r A A A A sen A A A A sen       cos cos Cartesianas → esféricas                ( ) ( ) 2 2 2 2 2 x y arctg z x y arctg r x y z               u sen i j u i sen j sen k u sen i sen sen j k r ˆ ˆ cos ˆ ˆ cos cos ˆ cos ˆ ˆ ˆ cos ˆ ˆ cos ˆ                                         cos cos cos cos cos cos x y x y z r x y z A A sen A A A A sen A sen A A sen A sen sen A Esféricas → cartesianas            cos cos z r y rsen sen x rsen                             k u sen u j sen sen u sen u u i sen u u sen u r r r ˆ cos ˆ ˆ ˆ ˆ cos ˆ cos ˆ ˆ cos ˆ cos cos ˆ ˆ                             A A A sen A A sen sen A sen A A A sen A A sen z r y r x r cos cos cos cos cos cos

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