Formulas Coordenadas

1. SISTEMAS DE COORDENADAS - RESUMO
ELECTROMAGNETISMO
2º ano do MIEEC
Autor: Paulo A. Sá
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (MIEEC)
da
Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto (FEUP)
Setembro de 2014

2. COORDENADAS CARTESIANAS (x,y,z):
versores : iˆ, ˆj, kˆ
raio vector de posição : r  xiˆ  yˆj  zkˆ

vector : A A i A j A k x y z
 ˆ  ˆ  ˆ

elemento infinitesimal de volume : dV  dxdydz
elementos infinitesimais de superfície :
dS dxdyk
dS dxdzj
dS dydzi
z
y
x
ˆ
ˆ
ˆ






elemento infinitesimal de deslocamento : dl  dxiˆ  dyˆj  dzkˆ

relação com as coordenadas cilíndricas :




  
 
u k
u sen i j
u i sen j
z
r
ˆ ˆ
ˆ ˆ cos ˆ
ˆ cos ˆ ˆ
 
 

relação com as coordenadas esféricas :



  
  
  
u sen i j
u i sen j sen k
u sen i sen sen j k r
ˆ ˆ cos ˆ
ˆ cos cos ˆ cos ˆ ˆ
ˆ cos ˆ ˆ cos ˆ
 
    
    


k
z
f
j
y
f
i
x
f
gradf f ˆ ˆ ˆ








  
 
z
A
y
A
x
A
divA A x y z








  
  
k
y
A
x
A
j
x
A
z
A
i
z
A
y
A
A A A
x y z
i j k
rotA A z y x z y x
x y z
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
 


 







 








  


 














  
  
2
2
2
2
2
2
2
z
f
y
f
x
f
lapf f








  

3. COORDENADAS CILÍNDRICAS (r,φ,z) :
versores : r z uˆ ,uˆ ,uˆ 
raio vector de posição : r z r  ruˆ  zuˆ

vector : r r z z A  A uˆ  A uˆ  A uˆ  

elemento infinitesimal de volume : dV  rdrddz
elementos infinitesimais de superfície :
z z
r r
dS rdrd u
dS drdzu
dS rd dzu
ˆ
ˆ
ˆ


 






elemento infinitesimal de deslocamento : r z dl  druˆ  rd uˆ  dzuˆ  

relação com as coordenadas cartesianas :






z z
y rsen
x r

cos




 
 
z
r
r
k u
j sen u u
i u sen u
ˆ ˆ
ˆ ˆ cos ˆ
ˆ cos ˆ ˆ


 
 
r z u
z
f
u
f
r
u
r
f
gradf f ˆ ˆ
1
ˆ








    
 
z
A A
r r
rA
r
divA A r z








  

   1 ( ) 1 
z
r z r
r
z
r z
r z
u
A
r
rA
r
u
r
A
z
A
u
z
A A
r
A rA A
r z
u ru u
r
rotA A ˆ
1 ( )
ˆ ˆ
1
ˆ ˆ ˆ
1
 


 







 








  


 














  
  





  
2
2
2
2
2
2 1 1
z
f f
r r
f
r
r r
lapf f





 







  


4. COORDENADAS ESFÉRICAS (r, θ, φ) :
versores :   u u u r ˆ , ˆ , ˆ
raio vector de posição : r r  ruˆ

vector :     A A u A u A u r r  ˆ  ˆ  ˆ

elemento infinitesimal de volume : dV r sendrdd 2 
elementos infinitesimais de superfície :
 
 

 
  
dS rdrd u
dS rsen drd u
dS r sen d d ur r
ˆ
ˆ
ˆ 2






elemento infinitesimal de deslocamento :   dl dru rdu rsendu r  ˆ  ˆ  ˆ

relação com as coordenadas cartesianas :







 
 
cos
cos
z r
y rsen sen
x rsen



 
  
  

 
 
 
    
    
k u sen u
j sen sen u sen u u
i sen u u sen u
r
r
r
ˆ cos ˆ ˆ
ˆ ˆ cos ˆ cos ˆ
ˆ cos ˆ cos cos ˆ ˆ
    
u
f
rsen
u
f
r
u
r
f
gradf f r ˆ
1
ˆ
1
ˆ








  
 
  


 








  
A
rsen
A sen
r rsen
r A
r
divA A r 1 ( ) 1 ( ) 1 2
2
  
  

 


 
 
   

 

 


u
A
r
rA
r
rA u
r
A
r sen
u
A
A sen
rsen
A rA rsen A
r
u ru rsen u
r sen
rotA A
r r
r
r
r
ˆ
1 ( )
( ) ˆ
1 1
ˆ
1
ˆ ˆ ˆ
1
2









 








 
















  
  
2
2
2 2 2
2
2
2 1 1 1
  

  

 







 







  
f
r sen
f
sen
r r sen
f
r
r r
lapf f

5. COORDENADAS CILÍNDRICAS:

6. COORDENADAS ESFÉRICAS:

7. TRANSFORMAÇÃO VARIÁVEIS VERSORES COMPONENTES VECTORIAIS
Cartesianas
→ cilíndricas



 




 
z z
x
y
arctg
r x y
( )
2 2





  
 
u k
u sen i j
u i sen j
z
r
ˆ ˆ
ˆ ˆ cos ˆ
ˆ cos ˆ ˆ
 
 





  
 
z z
x y
r x y
A A
A A sen A
A A A sen
 
 
 cos
cos
Cilíndricas
→ cartesianas 





z z
y rsen
x r

cos




 
 
z
r
r
k u
j sen u u
i u sen u
ˆ ˆ
ˆ ˆ cos ˆ
ˆ cos ˆ ˆ


 
 




 
 
z z
y r
x r
A A
A A sen A
A A A sen
 
 


cos
cos
Cartesianas
→ esféricas
 


 






  
( )
( )
2 2
2 2 2
x
y
arctg
z
x y
arctg
r x y z





  
  
  
u sen i j
u i sen j sen k
u sen i sen sen j k r
ˆ ˆ cos ˆ
ˆ cos cos ˆ cos ˆ ˆ
ˆ cos ˆ ˆ cos ˆ
 
    
    





  
  
  
 
    
    


cos
cos cos cos
cos cos
x y
x y z
r x y z
A A sen A
A A A sen A sen
A A sen A sen sen A
Esféricas
→ cartesianas 






 
 
cos
cos
z r
y rsen sen
x rsen



 
  
  

 
 
 
    
    
k u sen u
j sen sen u sen u u
i sen u u sen u
r
r
r
ˆ cos ˆ ˆ
ˆ ˆ cos ˆ cos ˆ
ˆ cos ˆ cos cos ˆ ˆ



 
  
  
 
    
    

 
 
A A A sen
A A sen sen A sen A
A A sen A A sen
z r
y r
x r
cos
cos cos
cos cos cos