Thesis-Diego Valdez

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EM GESTÃO E TECNOLOGIA
CAMPUS SOROCABA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇ ÃO EM ECONOMIA
Diego Valdez de Faria
EFEITOS FREQUÊNCIA E SELEÇ ÃO NA
INFLAÇ ÃO BRASILEIRA
Sorocaba
2016

Diego Valdez de Faria
EFEITOS FREQUÊNCIA E SELEÇ ÃO NA
INFLAÇ ÃO BRASILEIRA
Disserta¸cão apresentada como parte das exigências
para a obten¸cão do grau de Mestre em Econo-
mia do Programa de Pós-Gradua¸cão em Eco-
nomia da Universidade Federal de São Carlos
– Campus de Sorocaba.
Sorocaba, 29 de novembro de 2016.
Área de Concentra¸cão: Economia
Orienta¸cão:
Prof. Dr. Adelson Martins Figueiredo
Profa
Dra
Maria S´ılvia de Assis Moura
Sorocaba
2016

VALDEZ DE FARIA, DIEGO
EFEITOS FREQUÊNCIA E SELEÇÃO NA INFLAÇÃO BRASILEIRA /
DIEGO VALDEZ DE FARIA. -- 2016.
127 f. : 30 cm.
Dissertação (mestrado)-Universidade Federal de São Carlos, campus
Sorocaba, Sorocaba
Orientador: Prof. Dr. Adelson Martins Figueiredo, Profa. Dra. Maria
Sílvia de Assis Moura
Banca examinadora: Profa. Dra. Clélia Maria de Castro Toloi, Profa. Dra.
Maria Aparecida Silva Carvalho
Bibliografia
1. Ajuste nominal incompleto. 2. Espectro Evolucionário. 3. Inflação
Brasileira. I. Orientador. II. Universidade Federal de São Carlos. III. Título.
Ficha catalográfica elaborada pelo Programa de Geração Automática da Secretaria Geral de Informática (SIn).
DADOS FORNECIDOS PELO(A) AUTOR(A)

Dedico este trabalho aos ´avidos por conhecimento e aqueles que os apoiam seja por
meio de incentivos ou de cr´ıticas construtivas e a Raphael Silva Lopes dos Santos, amigo
e companheiro sem o qual a realiza¸c˜ao deste trabalho seria imposs´ıvel.

Agradecimentos
Agrade¸co à minha fam´ılia em especial a minha mãe Nidia Valdez e minhas tias Diane
Valdez e Dorly Carla Valdez. Sua determina¸cão e resistência em meio às dificuldades são
o que ilumina minhas noites de trabalho e estudo, meus trajetos rodoviários em busca de
mais conhecimento e minha resiliência em face das adversidades.
Aos professores do Programa de Pós Gradua¸cão em Economia Aplicada da Universidade
Federal de São Carlos pelo apoio, compreen¸cão, cr´ıticas e ajuda. Em especial aos orien-
tadores Dr. Adelson Martins Figueiredo e Dra
Maria S´ılvia de Assis Moura pelo apoio
intelectual e moral bem como pela constante paciência.
Às pesquisadoras Dra
Clélia Maria de Castro Toloi, Dra
Adriana Bruscato Bortoluzzo,
Dra
Maria Aparecida Silva Oliveira e Dra
Andrea Rodrigues Ferro pelas recomenda¸cões,
esclarecimentos e corre¸cões.
Agrade¸co à CAPES e a Universidade Federal de São Carlos pela oportunidade e pelo fo-
mento.
Agrade¸co também à Câmara de Comercializa¸cão de Energia Elétrica pelo apoio na fase
final desta monografia flexibilizando e disponibilizando horários livres para que eu pudesse
me dedicar às atividades do mestrado.

“Mathematical reasoning may be regarded rather schematically as the exercise of a
combination of two facilities, which we may call intuition and ingenuity”
Alan Turing
“Data before analysis. Analysis before policy or prescription”
Simon Kuznets

Resumo
FARIA, Diego Valdez de. Efeitos Frequência e Sele¸cão na Infla¸cão Brasileira. 2016. 127
p. Disserta¸cão (Mestrado em Economia) – Universidade Federal de São Carlos, Sorocaba,
2016.
A demora na observa¸cão dos efeitos efetivos de estabiliza¸cão da infla¸cão quando do em-
prego de medidas de controle da mesma é uma das principais preocupa¸cões das autoridades
monetárias principalmente as de pa´ıses em desenvolvimento onde tais medidas são custosas
à popula¸cão. Uma das poss´ıveis causas para a demora da estabiliza¸cão na infla¸cão no curto
prazo pode estar ligada às friçcões de ajuste de pre¸cos que por vezes resultam em ajustes
nominais incompletos. Modelos que os consideram, como o de pre¸cos escalonados e o Ss,
resultam em comportamentos com significativa estrutura periódica. O presente trabalho
tem como objetivo evidenciar empiricamente a contribui¸cão da estrutura periódica criada
pelo ajuste de pre¸cos na apari¸cão de memória de curto prazo nos ajustes de pre¸cos e assim
na infla¸cão, especialmente através dos efeitos “frequência”, teorizado por Caplin e Spulber
(1987), e o efeito “sele¸cão” presentes nos modelos Ss apresentados por Danziger (1999)
ou Golosov e Lucas (2007). A metodologia utiliza ferramentas de análise em espectro de
frequências para separa¸cão das componentes em frequências de ajuste de pre¸cos e teste de
Fisher para separa¸cão dos componentes oriundos de comportamento periódico daqueles que
são fruto de choques aleatórios. Também foi realizada a verifica¸cão de existência do efeito
sele¸cão por meio da compara¸cão dos momentos de quebra da estrutura de pre¸cos e de uma
variável que capta as expectativas de varia¸cão da infla¸cão. O trabalho revelou a existência
de periodicidade, possivelmente fruto de ajustes incompletos, atrelada aos pre¸cos em todo
o per´ıodo do plano Real. A estrutura periódica, ou espectral, mostrou-se bastante ade-
quada à análise de modelos de ajuste de pre¸cos como o Ss especialmente quando abordada
pela ótica de uma estrutura de espectro evolucionário.
Palavras-chave: Friçcões de Ajuste de Pre¸co. Modelos Ss. Espectro Evolucionário. Infla¸cão
Brasileira. Ajuste nominal incompleto.

Abstract
The delay in observing the effects on inflation after implementing monetary measures is
one of the main concerns of monetary authorities, especially those in developing countries
where such measures are costly for the population. One of the possible causes for delayed
inflation stabilization in the short run may be linked to price adjustment frictions that
sometimes result in incomplete nominal adjustments. Models that consider it, such as
staggered and Ss price adjustment models, have strong periodic behavior. This study aims
to empirically demonstrate the effects and contribution of the periodic structure created
by the price adjustment in the appearance and maintenance of short-term memory in price
adjustments and thus in inflation, especially through the ”frequency”effects, theorized by
Caplin and Spulber (1987) And the ”selection”effect present in the Ss models presented by
Danziger (1999) or Golosov and Lucas (2007). The methodology uses frequency spectrum
analysis tools such Discrete-Time Fourier Transform to separate the components of price
adjustment frequency and Fisher test to characterize those frequencies that can be inter-
preted as periodic behavior separating them from those that are result of random shocks.
This research also verifies the existence of selection effect by comparing the structural bre-
aking periods in price index structure along with structural breaking periods of a variable
that captures future inflation expectations. The work revealed the existence of periodicity,
possibly due to incomplete adjustments, linked to prices throughout the period of the Real
Plan. The periodic or spectral structure proved to be well suited to the analysis of price
adjustment models such as the Ss, especially when approached from the perspective of an
evolutionary spectrum structure.
Keywords: Staggered Price Adjustment. Price Stickiness. Ss Models. Evolutionary Spec-
trum. Brazilian inflation. Incomplete nominal adjustment.

Lista de Figuras
2.1 Posi¸cão relativa de agentes em rela¸cão ao intervalo Ss . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Exemplo de dinâmica de ajuste em agentes com frequências diferentes. . . 39
2.3 Referencial circular dos modelos Ss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Altera¸cão na base e posi¸cão relativa de cada agente nos modelos Ss . . . . 41
2.5 Efeito dos ajustes periódicos de cada agente em ´ındices de pre¸cos . . . . . 42
2.6 Referencial circular no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.7 Compensa¸cão de fases e distribui¸cão uniforme de agentes de mesma frequência 44
2.8 Posi¸cão relativa provável de um agente no intervalo Ss . . . . . . . . . . . 45
2.9 Representa¸cão distribui¸cão de probabilidade mista do ajuste de pre¸cos . . . 46
2.10 Altera¸cão na distribui¸cão dos ajustes com representa¸cão polar . . . . . . . 47
2.11 Natureza periódica do modelo Ss com efeito sele¸cão . . . . . . . . . . . . . 48
2.12 Altera¸cão da distribui¸cão do ru´ıdo gaussiano na presen¸ca de senoides . . . 50
3.1 Correspondência tempo-frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 Polui¸cão causada pela tendência determin´ıstica no espectro de frequências . 55
3.3 Representa¸cão do efeito cerca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Representa¸cão do efeito alias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5 Altera¸cão na distribui¸cão da TFTD na presen¸ca de senoides verdadeiras . . 59
3.6 Teste de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.7 Equivalência dual do filtro Dolph-Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.8 Equivalência dual do filtro DPSS/Kaiser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.9 Visualiza¸cão do espectro evolucionário e surgimento de senoides verdadeiras 65
3.10 Exemplo de aplica¸cão do teste de Quebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.11 Representa¸cão do avan¸co de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1 Fun¸cão de auto correla¸cão da infla¸cão medida pelo IPCA . . . . . . . . . . 73
4.2 Séries a serem submetidas ao teste de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3 Quadrado da amplitude da senoide em cada série de dados . . . . . . . . . 75
4.4 Participa¸cão do quadrado da amplitude no total da janela . . . . . . . . . 76

4.5 Teste de Fisher em TFTD com janela de 96 meses . . . . . . . . . . . . . . 77
4.6 Teste de Fisher em TFTD no IPCA diferenciado com janela de 48 meses . 78
4.7 Teste de Fisher em TFTD no IPCA diferenciado com janela de 24 meses . 78
4.8 Distribui¸cão das frequências de ajuste de pre¸co após Agosto de 1994 . . . . 79
4.9 Teste de quebra conjunta entre infla¸cão real e expectativas . . . . . . . . . 82
4.10 Previsão do IPCA diferenciado utilizando ARIMA . . . . . . . . . . . . . . 84
4.11 Previsão do IPCA diferenciado utilizando análise harmônica . . . . . . . . 84
4.12 Verifica¸cão dos res´ıduos após a previsão do IPCA diferenciado . . . . . . . 85
4.13 Previsão do log-retorno do IPCA utilizando ARIMA . . . . . . . . . . . . . 86
4.14 Previsão do log-retorno do IPCA utilizando análise harmônica . . . . . . . 86
4.15 Verifica¸cão dos res´ıduos após a previsão do log-retorno do IPCA . . . . . . 87
A.1 Exemplos da Correspondência Tempo-Frequência . . . . . . . . . . . . . . 100
B.1 Reconstru¸cão da série após a aplica¸cão do filtro HP . . . . . . . . . . . . . 102
E.1 Janela de suaviza¸cão de Kaiser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Lista de Tabelas
4.1 Resumo das séries previstas - Série de pre¸cos diferenciada. . . . . . . . . . 85
4.2 Compara¸cão entre métodos de previsão - log-retorno do IPCA. . . . . . . . 87
C.1 Exemplo de dados de expectativa divulgados pelo BCB . . . . . . . . . . . 104

Lista de Abreviaturas
ADF Augmented Dickey-Fuller (Teste)
AR Auto-Regressivo
ARFIMA Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average
ARIMA Autoregressive Integrated Moving Average (Modelo)
ARMA Autoregressive Moving Average (Modelo)
BCB Banco Central do Brasil
CUSUM Cumulative Sum (Teste)
DF Dickey-Fuller (Teste)
DF-GLS Dickey-Fuller - Generalized Least Squares (Teste)
DPSS Digital Prolate Spheroidal Sequence
FFT Fast Fourier Transform
FGV Funda¸cão Getúlio Vargas
HP Hodrick and Prescott (Filtro)
IBGE Instituto Brasileiro de Geografia e Estat´ıstica

IGP-DI Índice Geral de Pre¸cos - Disponibilidade Interna
IGP-M Índice Geral de Pre¸cos do Mercado
IPCA Índice Nacional de Pre¸cos ao Consumidor Amplo
JB Jarque-Bera (Teste)
KPSS Kwiatkowski, Phillips, Schmidt e Shin (Teste)
MdAPE Median Absolute Percentage Error
PIB Produto Interno Bruto
PP Phillips e Perron (Teste)
RMSE Root Mean Square Error
SARIMA Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average
SS Square Sum
TFTC Transformada de Fourier de Tempo Cont´ınuo
TFTD Transformada de Fourier de Tempo Discreto
VAR Vetor Auto-Regressivo
VEC Vector Error Correction

Sumário
1. INTRODUÇ ÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2. REVISÃO DA LITERATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1 DINÂMICA EM MODELOS NOVO-KEYNESIANOS E EFEITOS FREQUÊNCIA
E SELEÇ ÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 MODELOS SS PELA PERSPECTIVA PERIÓDICA . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1 Efeito Frequência pela Perspectiva de Ciclos Senoidais . . . . . . . . 38
2.2.2 Efeito Sele¸cão pela Perspectiva de Ciclos Senoidais . . . . . . . . . . 45
2.3 MOVIMENTOS PERIÓDICOS E VIÉS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.1 Periodicidade em Economia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.2 Problemas Relacionados à Presen¸ca de Periodicidade . . . . . . . . . 49
2.3.3 Estacionariedade e Espectro Evolucionário . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3. METODOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1 IDENTIFICAÇ ÃO DA ESTRUTURA DE FREQUÊNCIA DE AJUSTES DE
PREÇO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1.1 Retirada de Tendência Determin´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1.2 Aliasing e Vazamento na TFDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.3 Testes de Fisher e Whittle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.4 Aplica¸cão de Suaviza¸cão na TFDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.1.5 Teste de Fisher em Estruturas Evolucionárias . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 ESTIMAÇ ÃO DE DATAS DE QUEBRAS ESTRUTURAIS E EFEITO SELEÇ ÃO 64
3.2.1 Teste CUSUM sobre Componentes C´ıclicos para Efeito Sele¸cão . . . 65
3.2.2 Tratamento Inicial dos Dados de Expectativa . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3 ESTIMAÇ ÃO DE VALORES FUTUROS DA INFLAÇ ÃO . . . . . . . . . . . 70
3.3.1 Modelos ARIMA/ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1 TESTE DE FISHER E SEUS RESULTADOS NA SÉRIE DE PREÇOS . . . . 73
4.1.1 Evidências do Efeito Frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.2 Distribui¸cão de Frequências de Ajuste da Infla¸cão . . . . . . . . . . . 79
4.2 TESTE DE ESPECTRO EVOLUCIONÁRIO E EFEITO SELEÇ ÃO . . . . . 81
4.3 COMPARAÇ ÃO DE EFICIÊNCIA DO MODELO EM DIVERSOS MOMENTOS
DA SÉRIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3.1 Previsão da Série de Índice de Pre¸cos Diferenciada . . . . . . . . . . . 83
4.3.2 Previsão do Logaritmo da Série de Pre¸cos Diferenciada (Log-retorno) 85
5. CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Apêndice 97
A. CORRESPONDÊNCIA TEMPO - FREQUÊNCIA . . . . . . . . . . . . 99
B. USO DE FILTRO HP EM SÉRIES OSCILATÓRIAS . . . . . . . . . . . 101
C. SÉRIE DE EXPECTATIVAS DO IPCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
D. TABELAS COM VALORES VERIFICADOS NO TESTE DE FISHER 105
D.1 SÉRIE DE PREÇOS DO IPCA DIFERENCIADA 1 VEZ. . . . . . . . . . . . 105

D.2 LOG RETORNO DA SÉRIE DE PREÇOS DO IPCA. . . . . . . . . . . . . . 108
D.3 SÉRIE DE VALORES C´ıCLICOS FILTRADOS PELO FILTRO HP. . . . . . . 111
E. UTILIZAÇ ÃO DE JANELA DE SUAVIZAÇ ÃO . . . . . . . . . . . . . 115
E.1 SÉRIE DE PREÇOS DO IPCA DIFERENCIADA 1 VEZ. . . . . . . . . . . . 115
F. COMPARAÇ ÃO DE MÉTODOS ARIMA E HARMÔNICO . . . . . . 119
F.1 SÉRIE DE PREÇOS DO IPCA DIFERENCIADA 1 VEZ. . . . . . . . . . . . 119
F.2 SÉRIE DE PREÇOS DO IPCA - LOG-RETORNO. . . . . . . . . . . . . . . . 124

Cap´ıtulo 1
Introdu¸cão
O comportamento e controle da infla¸cão é seguramente um dos assuntos que cau-
sam os debates mais acirrados entre economistas, pol´ıticos, gestores públicos e agentes
econômicos em geral tendo como um dos focos da discordância o comportamento de curto
prazo ocorrido nos pre¸cos seguida a ado¸cão de choques monetários, sejam estes expansio-
nistas ou contracionistas.
A infla¸cão e a defla¸cão são por defini¸cão as varia¸cões positiva e negativa ocorridas
de forma persistentes nos ´ındices de pre¸cos em uma economia e para facilitar o seu monito-
ramento são criados ´ındices que agrupam conjuntos de pre¸cos ponderados pela relevância
de seus respectivos produtos a segmentos espec´ıficos do mercado. Como exemplo tem-se o
Índice Nacional de Pre¸cos ao Consumidor Amplo (IPCA)1
e o Índice Geral de Pre¸cos do
Mercado (IGP-M)2
.
A origem da infla¸cão, mais destacada que a defla¸cão, é entendida de formas diferen-
tes entre economistas. Baseando-se nas teorias clássica e mais diretamente na neoclássica
a infla¸cão seria uma resposta natural de variáveis nominais (pre¸cos, salários e câmbio) às
varia¸cões de quantidade de moeda, ou meio de pagamento, presente na economia. Esta
seria a única forma de, excluindo-se as flutua¸cões de pre¸cos passageiras decorrentes de ajus-
tes na procura e demanda, haver modifica¸cão nos valores nominais dos pre¸cos. A moeda
seria assim dotada de neutralidade não influenciando variáveis reais da economia tais como
emprego, produ¸cão ou consumo, independência esta que ficou conhecida como dicotomia
clássica, consequência direta da neutralidade (Romer, 1993).
Com a publica¸cão de “Teoria Geral do Emprego do Juro e da Moeda” por John
Maynard Keynes em 1936, a neutralidade da moeda passou a ser questionada. A mo-
eda passava assim, após a introdu¸cão do conceito de custo da moeda representado pela
taxa de juros, a influenciar na decisão sobre investimentos em produ¸cão e desta forma na
1
O IPCA foi criado em 1980 sendo aferido mensalmente pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Es-
tat´ıstica (IBGE). Este é composto de pre¸cos de produtos e servi¸cos pertinentes a aproximadamente 90%
da popula¸cão brasileira e, por conta de sua abrangência, é o ´ındice oficial de pre¸cos brasileiro.
2
O IGP-M é aferido pela Funda¸cão Getúlio Vargas (FGV) também mensalmente desde sua cria¸cão em
1989, tem maior participa¸cão de elementos pertinentes a constru¸cão civil sendo, por esse motivo, o mais
utilizado como referência na renegocia¸cão de contratos de aluguel.

26 Cap´ıtulo 1. INTRODUÇ ÃO
própria produ¸cão enfraquecendo a pretensa neutralidade monetária. A moeda ganharia
vida própria e assim uma dinâmica autoalimentada e não neutra.
Sob a influência de Keynes uma gera¸cão de economista direcionou suas pesquisas
para os efeitos, diretos ou indiretos, da não neutralidade. Phillips (1958) por exemplo,
determinou a existência de uma correla¸cão inversa entre a infla¸cão e o´ındice de desemprego
através de dados econômicos do Reino Unido pertencentes aos anos de 1861 a 1957. Esta
rela¸cão seria representada no que passou a ser conhecida por curva de Phillips embasando
inúmeras pol´ıticas econômicas que buscavam modos de otimizar a rela¸cão entre desemprego
e infla¸cão se poss´ıvel moderando estas duas variáveis.
Durante a década de 1970 os cenários de recessão compostos de alta infla¸cão e de-
semprego na maioria dos pa´ıses de economia de mercado mostrou a fragilidade emp´ırica da
rela¸cão estabelecida por Phillips. Neste contexto, a no¸cão de neutralidade se fortaleceu com
o resgate da teoria quantitativa da moeda aperfei¸coada por Milton Friedman e Edmund
Phelps lan¸cando as bases do que ficou conhecido como escola monetarista, e da subse-
quente interpreta¸cão novo clássica fundamentada sobre pressupostos neoclássicos como a
neutralidade da moeda, tendo entre seus representantes Robert Lucas Jr, que aperfei¸coou
o que veio a ser conhecido como “expectativas racionais”.
As escolas monetarista e novo clássica foram desde então as mais enfáticas na defesa
da neutralidade monetária relegando à dinâmica da moeda e seu impacto na economia real
papel pouco relevante. O ponto principal de defesa baseia-se no conceito de que mesmo
havendo choques monetários, altera¸cão quantitativa nos meios de pagamento por meio de
a¸cões governamentais, os agentes econômicos antecipariam tais a¸cões alterando seus pre¸cos
de modo que os efeitos de uma expansão monetária desapareceriam imediatamente após a
sua execu¸cão, não afetando positivamente a produ¸cão de bens que seria uma das inten¸cões
dos gestores públicos responsáveis pela expansão. Estas a¸cões racionais e antecipadas são
o fundamento das “expectativas racionais”. Tal conceito permitiu a constru¸cão da versão
aceleracionista da curva de Phillips adicionando o conceito de taxa natural de desemprego
ressaltando a ineficiência de medidas monetárias ou fiscais na manuten¸cão do desemprego
abaixo da citada taxa natural pela consequente acelera¸cão da infla¸cão que traria a taxa de
desemprego novamente a seu n´ıvel natural (Gordon, 2011).
Apesar de oferecer maior aderência emp´ırica explicando o surgimento da infla¸cão
em casos onde há aumento nos meios de pagamento por meio de medidas fiscais e do
aumento da d´ıvida pública, a manuten¸cão de n´ıveis de infla¸cão persistentes mesmo quando
do emprego de medidas de conten¸cão de despesas e diminui¸cão de meios de pagamento,
classificadas como medidas ortodoxas e defendidas como solu¸cão para deter a infla¸cão
por monetaristas e novo clássicos, demonstrou que a solu¸cão teórica não condizia com o
resultado prático em inúmeros pa´ıses que as adotaram. Um exemplo foi o Brasil que aplicou
nos anos de 1981 e 1983 a ortodoxia combinando conten¸cão salarial, controle de gastos do

Cap´ıtulo 1. INTRODUÇ ÃO 27
governo, aumento de arrecada¸cão de impostos, eleva¸cão das taxas de juros internas para
a contra¸cão da liquidez real, resultando supreendentemente no aumento da infla¸cão em
patamares de 100% para 200% ao ano já em 1983 mantendo-se neste patamar até 1985
mesmo com a diminui¸cão abrupta do déficit público já observada em 1984 (Carneiro e
Modiano, 2014).
As preocupa¸cões em torno de comportamentos persistentes na infla¸cão passaram a
ser o centro das discussões nas pesquisas econômicas desde então como vemos em Arida e
Resende (1985), Bacha (1987) , Lopes (1985) e Pastore (1994). O Brasil foi centro de um
fenômeno de alta persistência da infla¸cão conhecido como Infla¸cão Inercial onde os ajustes
de pre¸cos eram diários e em ordem de dois d´ıgitos percentuais ao mês, caracter´ıstica de
um grave descontrole monetário conhecido como hiperinfla¸cão. Uma poss´ıvel explica¸cão
para a existência da mesma tinha caráter estruturalista que, em termos gerais, tentava
explicar o seu surgimento por meio da heterogeneidade dos agentes econômicos em seus
respectivos poderes de negocia¸cão de contratos e pre¸cos. Grupos com maior poder de
negocia¸cão poderiam negociar seus contratos mais rapidamente sendo seguidos por setores
e grupos com menor poder de negocia¸cão que também renegociariam seus termos de modo
a restabelecer seu estado relativo anterior criando assim uma continuidade no reajuste de
pre¸cos e salários.
Outra explica¸cão mais bem aceita foi elaborada a partir da existência de elevada
indexa¸cão tanto formal como informal em contratos e pre¸cos o que produzia o reajuste
cont´ınuo dos valores nominais de bens e servi¸cos. No entanto, a falta de explica¸cão ade-
quada para comportamentos persistentes no curto prazo, mesmo em per´ıodos de baixo ou
nenhum n´ıvel de indexa¸cão, ainda buscava melhor explica¸cão pois colocava em xeque a
neutralidade da moeda ao menos no curto prazo.
Finalmente, como sintetizou Mankiw (1991), uma nova linha de teóricos conhecida
como Novo Keynesiana, aceitando a existência das expectativas racionais, a influência da
varia¸cão na quantidade de meios de pagamento no crescimento da infla¸cão e a necessidade
de microfundamentar a teoria macroeconômica, compreendeu que parte dos comporta-
mentos persistentes da infla¸cão presentes e evidentes no curto prazo, teriam rela¸cão com a
existência de friçcões de ajustes entre os pre¸cos nominais.
O conceito de friçcões envolve a impossibilidade de ajustes automáticos de pre¸cos
tendo em vista o próprio custo que o precificador teria para alterá-lo. Alguns valores
nominais teriam “rigidez” nominal no curto prazo. Um exemplo seria o custo decorrente
da troca de cardápios em um restaurante que precise aumentar os pre¸cos. Caso o valor
do custo de troca dos cardápios, ou custo de menu, fosse maior que a perda de receita
causada pela manuten¸cão dos pre¸cos seu reajuste seria inviabilizado acumulando preju´ızos
que seriam compensados em momentos futuros como é explicado em Ball, Mankiw e Romer
(1987).

Neste sentido podemos citar os trabalhos de Mankiw (1985), Ball e Romer (1990)
cuja análise da influência de custos de menu foram mais diretas e mais adiante o trabalho de
Blanchard (1982) que procurou demonstrar a conexão temporal entre a heterogeneidade de
agentes e suas atua¸cões na forma¸cão de pre¸cos. Blanchard (1982) direcionou seus esfor¸cos
para a falta de sincronismo, causada pela impossibilidade real dos agentes de mercado
alterarem os pre¸cos continuamente, como fonte de comportamento de curto prazo. Tais
autores foram seguidos por Fischer (1977) e Taylor (1999) na tentativa de demonstra¸cão
e modelagem do comportamento de ajuste de pre¸cos dos agentes submetidos à friçcões
nominais.
Fischer (1977) e Taylor (1999) detalharam os efeitos da heterogeneidade dos agentes
em rela¸cão ao momento da tomada de decisão e ajuste de pre¸cos. Com pequenas exce¸cões
os dois modelos, conhecidos como modelos de pre¸cos escalonados, são praticamente iguais.
Grupos de agentes são divididos da mesma forma: Metade altera seus pre¸cos em um
momento e a outra metade faz a mesma a¸cão no momento seguinte levando em conta as
expectativas futuras de pre¸co. O primeiro modelo considera que os agentes fixam seus
pre¸cos de forma igual para os dois per´ıodos seguintes e o segundo modelo considera que se
fixam os novos pre¸cos para o per´ıodo seguinte e pré-determinam o do per´ıodo posterior.
A consequência comum dos dois modelos é de que mesmo que as expectativas orientem
os agentes a otimizar os pre¸cos dos per´ıodos posteriores há uma chance de haver aumento
não previsto nos meios de pagamento no per´ıodo seguinte à decisão sobre os pre¸cos o que
prejudicaria a neutralidade da moeda já que os choques monetários positivos poderiam
causar assim aumento do consumo.
Extrapolando o fator temporal Calvo (1983) propôs considerar os momentos de
tomada de decisão dos agentes em uma escala cont´ınua. Os agentes seriam então re-
presentados pelo peso gerado a partir da somatória de probabilidade em que os mesmos
efetivariam sua decisão de ajuste modificando a média dos pre¸cos da economia. A proba-
bilidade de um agente atuar na média de pre¸cos pela sua contribui¸cão individual seguiria
um processo de Poisson onde vemos embutido o conceito de frequência média de decisão
expresso pela distribui¸cão de probabilidades de Poisson que exige o termo de frequência
de a¸cões no tempo3
. Por simplifica¸cão foi assumida uma frequência média de decisão re-
presentando o efeito periódico do ajuste de forma única para todos os agentes. O modelo
deu origem ao que ficou conhecida como Curva de Phillips novo Keynesiana que passou a
considerar as friçcões de pre¸cos, ou custos de menu, na dinâmica dos pre¸cos no curto prazo
e por conseguinte na dinâmica da infla¸cão.
Quando consideramos os modelos novo keynesianos de pre¸cos escalonados deve-
se ter em mente uma crescente preocupa¸cão com a dinâmica dos agentes em torno da
3
Processos de Poisson são processos estocásticos em tempo cont´ınuo onde a probabilidade de Nt
(ocorrência de N eventos decorrido um tempo t) ser igual a um valor n depende da frequência de ocorrência
dos eventos,λ, tendo distribui¸cão de probabilidades na forma P(Nt = n) = e−λ.t
λ.tn
n!

capacidade real de executar altera¸cão de pre¸cos. A frequência de decisão ou de ajuste,
impl´ıcita na fórmula de probabilidade de Poisson empregada por Calvo, deve ser percebida
como o reconhecimento dos limites reais que cada agente tem em decidir sobre a altera¸cão
de seus pre¸cos, não somente de aplica¸cão de suas decisões que é representada pelos custos
de menu (Mankiw, 1985; Sheshinski e Weiss, 1977). Este conceito, de frequência
de decisão dos agentes, é fundamental para a compreensão dos modelos apresentados em
seguida e resgata a preocupa¸cão de Blanchard com o sincronismo de decisão dos agentes e
suas implica¸cões na continuidade de curto nos ´ındices de infla¸cão.
Ainda considerando os efeitos das friçcões na dinâmica de ajuste de pre¸cos Caplin e
Spulber publicaram um artigo em 1987 no qual explicitamente consideram a dependência
da frequência de decisão dos agentes na dinâmica de ajuste de pre¸cos. Os pesquisadores
partiram de um modelo de ajuste de pre¸cos parecido com os de pre¸cos escalonados e
conhecido como modelo Ss. Tal modelo reconhece a necessidade de ajustes de pre¸cos de
forma discreta4
sendo que tais ajustes são realizados de acordo com um pre¸co ótimo de
referência sobre o qual a diferen¸ca do pre¸co praticado pelo agente se mantém5
.
Segundo Caplin e Spulber (1987), apesar de o conjunto de agentes poder formar uma
estrutura cont´ınua em rela¸cão ao momento em que alteram os pre¸cos há o entendimento
de que cada agente pode ter uma frequência diferente de ajuste e de que tal estrutura
influenciaria na execu¸cão parcelada de maneira não homogênea dos ajustes o que estenderia
os efeitos dos choques monetários por algum tempo. Tal conceito é considerado por Romer
(2012) como efeito frequência. Por simplifica¸cão dos autores os agentes são distribu´ıdos
de forma igual entre as poss´ıveis frequências de decisão. O resultado do estudo foi o
de neutralidade da moeda no curto prazo pois, a despeito da existência de friçcões e
heterogeneidade entre os agentes na forma¸cão de pre¸cos, o efeito final de tais elementos
nos pre¸cos desaparecia em dados agregados.
Há, contudo, a imposi¸cão de uma simplifica¸cão restritiva feita por Caplin e Spulber
e que permaneceu nas pesquisas que se seguiram. A considera¸cão de que os agentes são
distribu´ıdos de maneira uniforme entre as poss´ıveis frequências forma uma estrutura que
leva inexoravelmente ao resultado da neutralidade da moeda. Caso a distribui¸cão dos
agentes tenha um formato com densidade maior em pontos espec´ıficos a não neutralidade
da moeda no curto prazo poderia ser verificada (Romer, 2012, p. 336).
Golosov e Lucas (2007) e mais diretamente Danziger (1999) adicionariam ainda
um segundo componente idiossincrático ao modelo Ss de forma a captar as expectativas
dos agentes. Com isso a distribui¸cão uniforme dos agentes dentro de cada frequência de
ajuste, proposta inicialmente por Caplin e Spulber (1987), poderia sofrer influência das
4
Discreto neste caso guarda o significado contrário a “cont´ınuo”, ou seja, ajuste não automático de
pre¸cos e que é executado em parcelas a cada espa¸co de tempo incorrendo em ajustes incompletos no curto
prazo.
5
O modelo Ss é explicado detalhadamente no item 2.2.

expectativas dos agentes de mercado deslocando o seu “centro de massa” de probabilidades
de acordo com a existência de choques monetários elevados. Havendo um choque monetário
não esperado ou maior que o racionalmente antecipado a probabilidade de os agentes
decidirem no próximo per´ıodo por um pre¸co menor diminuiria afetando o equil´ıbrio da
expectativa em torno do valor que escolheriam no estado estacionário, onde os efeitos
dos choques monetários anteriores já não mais existiriam. As diferen¸cas nas expectativas
seriam compreendidas pelos autores como um efeito de “sele¸cão” das expectativas.
A despeito de sua importância, a estrutura de composi¸cão de frequências de ajuste
entre os agentes, intrinsicamente ligada ao comportamento de curto prazo dos pre¸cos, ou
mesmo a rela¸cão dos agentes com mesma frequência de decisão ainda não foram mensurados
para o Brasil, sendo somente pré-determinada por simplifica¸cões como em Caplin e Spulber
(1987) ou Caplin e Leahy (1991) no caso da distribui¸cão em frequência ou Golosov e Lucas
(2007) e Danziger (1999) no caso do efeito sele¸cão.
A caracteriza¸cão e análise da estrutura espectral poderia oferecer ainda a vantagem
de medir os comportamentos periódicos possivelmente oriundos de processos de decisão
dos agentes tendo em vista que comportamentos humanos tendem a ser mais estacionários
no plano de frequências e assim previs´ıveis, como demostrado por Warner (1998), especial-
mente quando consideradas as limita¸cões impostas em cenários reais de decisão ou mesmo
a racionalidade limitada (Fehr e Tyran, 2007; Kahneman, 2003). Ademais, fenômenos
tradicionalmente tidos como pouco relevantes ou mesmo desconhecidos na dinâmica de
forma¸cão de pre¸cos podem se manifestar mais explicitamente por meio de suas carac-
ter´ısticas periódicas como visto em Lamounier (2001).
A hipótese principal deste trabalho é de que os efeitos frequência e sele¸cão têm
grande rela¸cão com a apari¸cão de memória na infla¸cão de curto prazo, enfraquecendo a
hipótese de neutralidade da moeda também no curto prazo e de que tal influência pode
ser observada através dos comportamentos periódicos inerentes ao mecanismo de forma¸cão
de pre¸cos quando este é submetido a condi¸cões reais da economia como as friçcões de
ajuste de pre¸cos. A incompletude imediata dos ajustes poderia ainda ser mal interpretada
pelos agentes como ineficiência das medidas de estabiliza¸cão da infla¸cão diminuindo a
confian¸ca na autoridade monetária e fortalecendo a sele¸cão de expectativas com maiores
taxas de infla¸cão o que levaria a efetiva estabiliza¸cão a ser mais custosa e demorada. A
origem da periodicidade que emerge dos modelos de ajuste de pre¸cos e suas consequências
são explicadas no cap´ıtulo dois, através do modelo Ss, que também revisa duas vertentes
metodológicas importantes para compreensão das técnicas detalhadas no terceiro cap´ıtulo.
O objetivo deste trabalho é verificar a existência de componentes periódicos, carac-
ter´ısticos do efeito frequência, oriundos dos mecanismos de altera¸cão dos pre¸cos e que são
a materializa¸cão dos ajustes incompletos originados pela rigidez nominal. Sendo demons-
trada a existência de periodicidade a pretensa neutralidade da moeda seria enfraquecida e

a dinâmica de curto prazo dos pre¸cos ganharia a devida importância passando a ser me-
lhor prevista com o conhecimento dos componentes periódicos que em cenários transitórios
são os mais relevantes na determina¸cão do tempo para efetiva estabilidade da infla¸cão.
Para comprovar a existência de componentes periódicos será necessário separar os efeitos
dos choques aleatórios daqueles dos comportamentos periódicos através de métodos de
análise espectral. Também será necessário verificar se existem quebras em tais compo-
nentes periódicos que indiquem um efeito de sele¸cão de expectativas dos agentes sobre a
infla¸cão através de técnicas adequadas à natureza oscilatória da variável, explicadas no
cap´ıtulo três. Como objetivo secundário da pesquisa será analisada a possibilidade do uso
dos componentes periódicos encontrados para realizar a previsão da série de infla¸cão.

Cap´ıtulo 2
Revisão da Literatura
O Brasil tem assistido há mais de duas décadas ao debate sobre o custo da pol´ıtica
de controle monetário e sobre a falta de tal controle o que tem direcionado, ao menos
economicamente, a ascensão e queda de grupos pol´ıticos. A incerteza gerada pela ado¸cão
de medidas incorretas ou com impacto brando e demorado tem custo pol´ıtico e econômico
altos e desta forma devem ser evitadas melhorando ao máximo o conhecimento da dinâmica
de curto prazo dos efeitos das pol´ıticas a serem adotadas.
A incerteza sobre a origem ou ausência de respostas imediatas nos pre¸cos seguida
a choques monetários ainda divide economistas multiplicando as discussões e as poss´ıveis
solu¸cões para a estabiliza¸cão da infla¸cão. Isso ocorre porque os efeitos de tal estado tran-
sitório, estado entre a execu¸cão e a observa¸cão dos efeitos permanentes dos choques, podem
não ser neutros para o restante da economia, sendo assim um indicativo da eficiência da
pol´ıtica econômica. Entender os componentes que articulam a dinâmica de curto prazo,
onde pode haver ajustes nominais incompletos, passa pela compreensão de como o com-
portamento periódico imposto pelos agentes pode ser incutido através do modo como os
ajustes de pre¸cos são realizados.
Assim, será realizada tanto a apresenta¸cão dos modelos Ss, com a caracteriza¸cão de
seu comportamento periódico por meio de elementos senoidais, como os efeitos frequência
e sele¸cão, que podem emergir dos ajustes quando estes são realizados com a presen¸ca de
rigidez nominal. Será feito ainda um aprofundamento dos conceitos envolvendo o plano de
frequências (espectral), sua caracter´ıstica, ferramentas e aplica¸cão em variáveis econômicas.
2.1 Dinâmica em Modelos Novo-Keynesianos e Efeitos Frequência e
Sele¸cão
Pereira e Rego (1989) classificam a infla¸cão em três tipos: infla¸cão comum, infla¸cão
inercial e hiperinfla¸cão. Na primeira a distin¸cão de um fator dito “mantenedor” e outro
dito “acelerador” não seriam relevantes. Na segunda, que se manifestaria em patamares
inflacionários superiores a 3 pontos percentuais mensais o fator mantenedor do ´ındice

34 Cap´ıtulo 2. REVIS ÃO DA LITERATURA
de infla¸cão ganharia importância de modo que pudesse assim ser diferenciado dos que
acelerariam a infla¸cão. Por último, a hiperinfla¸cão, apesar de não ter um limite numérico
inferior espec´ıfico, estaria presente em economias com ausência de credibilidade em ´ındices
internos e medidas de controle.
Pereira e Rego (1989) citam ainda a existência de duas linhas teóricas sobre a com-
posi¸cão da infla¸cão. Na primeira, monetarista/ novo-clássica, as expectativas racionais,
ditas forward-looking, têm papel central na cria¸cão e varia¸cão dos ´ındices de pre¸co. A
segunda, estruturalista, apesar de levar em considera¸cão as expectativas, entende que a
forma¸cão destas últimas é influenciada em grande parte pelos ´ındices inflacionários anteri-
ores no que pode ser compreendido como expectativas adaptativas.
Excetuando-se as visões monetarista/novo-clássica e estruturalista, houve na mesma
época dos trabalhos de Pereira e Rego (1989) a teoriza¸cão de modelos que buscaram ex-
plicar a dinâmica dos pre¸cos, e assim da infla¸cão no curto prazo, através da dinâmica de
agentes quando estes eram expostos a imperfei¸cões ou friçcões nos ajustes de pre¸cos. Mais
próxima à posi¸cão estruturalista de contraposi¸cão à neutralidade completa da moeda de-
fendida por economistas monetaristas e novo-clássicos, a escola novo keynesiana aceitou a
influência das expectativas e a neutralidade da moeda no longo prazo rejeitando-a, porém,
no curto prazo (Mankiw, 1991).
O conceito de friçcões em pre¸cos resultaria na rigidez de curto prazo de valores
nominais como o pre¸co. Os termos de rigidez, nominal ou real, friçcões e seu papel na
não neutralidade são bem definidos em Ball e Romer (1990) mas já são apresentados
por Mankiw (1985) com a introdu¸cão do conceito de custo de menu e anteriormente em
Sheshinski e Weiss (1977) com a apresenta¸cão de custos nos ajustes de pre¸cos.
Fischer (1977) foi um dos primeiros a apresentar a possibilidade de que a moeda
não fosse neutra mesmo com as expectativas racionais defendidas por Milton Friedman. A
existência de diferen¸cas intertemporais na tomada de decisão dos agentes e a existência de
imperfei¸cões não previstas nos modelos de origem clássica, como as friçcões, teriam papel
preponderante na dinâmica de altera¸cão de pre¸cos. Segundo o autor, os ajustes de pre¸cos
teriam uma forma determinada, quase mecânica, de execu¸cão e a decisão dos pre¸cos poderia
ser realizada anteriormente aos próprios ajustes. Os agentes predefiniriam os pre¸cos em um
per´ıodo inicial, t0, para os per´ıodos seguintes, t1 e t2, com base nas expectativas de infla¸cão.
Os per´ıodos seriam fixos e haveria ao menos dois grupos de agentes, homogêneos em rela¸cão
a decisão de pre¸cos, mas que seriam separados pelo momento de decisão sobre os ajustes.
O primeiro grupo, com metade dos agentes, realizaria a decisão no tempo t0 e o segundo
grupo realizaria a decisão no momento seguinte. Esta forma de dinâmica resultaria em um
pre¸co médio pt composto pelos pre¸cos dos dois grupos em que as expectativas de aumento
de base monetária formadas em tempos anteriores, Et−2 e Et−1 , teriam relevância. O
parâmetro φ captaria a contribui¸cão do acréscimo não esperado na base monetária para a

Se¸cão 2.1. DIN ÂMICA EM MODELOS NOVO-KEYNESIANOS E EFEITOS FREQUÊNCIA E SELEÇ ÃO 35
altera¸cão dos pre¸cos. Quanto maior fosse φ mais os pre¸cos seriam afetados pela altera¸cão
não esperada de meios de pagamento, mt, em circula¸cão:
pt = Et−2.mt +
φ
1 + φ
(Et−1.mt − Et−2.mt) (2.1)
Blanchard (1982) propôs que a dinâmica de altera¸cão de pre¸cos seria ainda afetada
pela falta de sincronismo, não sendo realizada de forma cont´ınua e corroborando com as
hipóteses de Fischer. Estas duas constata¸cões seriam diretamente responsáveis pela não
neutralidade da moeda no curto prazo.
Calvo (1983) resgataria tanto a forma escalonada de altera¸cão de pre¸cos de Fischer
como expandiria a no¸cão de falta de sincronismo apresentada por Blanchard, generalizando
a fórmula de probabilidade binomial de decisão dos agentes na determina¸cão de pre¸cos que
passaria a ser entendida de forma cont´ınua como um processo de Poisson. A somatória
das probabilidades em uma distribui¸cão de poisson representaria o peso de cada agente
que já teria agido até um tempo determinado para a altera¸cão dos pre¸cos na média do
mercado. Há uma importante contribui¸cão na formula¸cão estabelecida por Calvo para
uma mudan¸ca de paradigma e percep¸cão da existência de periocidade no modo com que os
agentes tanto decidem como aplicam os ajustes de pre¸co, mesmo que o autor não explicite a
mesma: As diferen¸cas entre os agentes são estabelecidas pelo seu comportamento captado
de acordo com a frequência em que decidem sobre os pre¸cos estando presente na fórmula da
distribui¸cão de probabilidades do processo de Poisson. Há no entanto uma generaliza¸cão
feita de forma a simplificar a modelagem: Mesmo havendo uma frequência diferente para
cada agente seus efeitos poderiam, segundo o autor, ser agregados por uma frequência
média. As conclusões do autor são ainda de que tal comportamento incorreria em inércia
na infla¸cão e entre seus resultados há a formula¸cão da curva de Phillips novo-keynesiana.
Mais adiante Taylor (1999) resgataria a forma escalonada de altera¸cão de pre¸cos
apresentada por Fischer alterando-a de forma que os agentes de fato fixariam seus pre¸cos
no tempo inicial, em lugar de somente predefini-los para dois per´ıodos posteriores. Esta
simplifica¸cão auxiliaria na modelagem dos pre¸cos para verifica¸cão emp´ırica. Os efeitos das
friçcões e rigidez nominal seriam mantidos bem como a não neutralidade da moeda.
Finalmente, Caplin e Spulber (1987) , ainda tendo em vista a presen¸ca de rigidez nos
pre¸cos, introduziram formalmente o conceito de frequência de ajuste de pre¸cos explicando
que a forma¸cão de pre¸cos dependeria somente da distribui¸cão de frequências de ajuste dos
pre¸cos.
The index is assumed to depend only on the frequency distribution over
nominal prices. Because firms have menu costs of price adjustment, prices
may remain dispersed in the long run. Thus, the set of observed prices at

any date may be described by a time-dependent frequency distribution
function. (Caplin e Spulber, 1987, p. 3).
A altera¸cão nos pre¸cos se dariam sempre que a diferen¸ca entre o pre¸co vigente con-
trolado pelo agente e o n´ıvel de pre¸cos médio chegasse a um valor limite estabelecendo
um intervalo onde o pre¸co se manteria r´ıgido. Modelos deste tipo são conhecidos como
modelos Ss (Romer, 2012). Índices de pre¸cos teriam uma dinâmica originada predomi-
nantemente de forma endógena seguindo uma fórmula que levaria em considera¸cão a fun¸cão
de distribui¸cão tempo/frequência Gt(p). Sendo pi o pre¸co individual determinado por um
agente, p seria o pre¸co médio do grupo de agentes com mesma frequência de ajuste e P(t)
o pre¸co médio no tempo t resultante da somatória de todas as contribui¸cões das altera¸cões
efetuadas pelos agentes até o per´ıodo em questão e sua rela¸cão seria expresa como:
P(t) = p.Gt(p) (2.2)
Há contudo a suposi¸cão de que os agentes seriam distribu´ıdos uniformemente entre
as poss´ıveis frequências de ajuste. O resultado no trabalho é de que na somatória os efeitos
das friçcões desapareceriam e desta forma a moeda se manteria neutra não havendo efeitos
significantes na dinâmica da infla¸cão. Contudo o resultado de neutralidade pode ser fruto
da escolha da distribui¸cão uniforme dos agentes nas diversas frequências de ajustes como
pode ser visto no Apêndice A.
Aceitando a existência de custos de menu e mesmo a presen¸ca de frequências de
ajustes Danziger (1999) e Golosov e Lucas (2007) inseriram as expectativas dos agentes
como um componente adicional que influenciaria no ajuste de pre¸cos. A estrutura em
frequência dos ajustes poderia ainda sofrer altera¸cão deslocando-se de seu valor central
conforme houvesse um choque monetário diferente do esperado. Os autores interpretam
as estrutura proposta por Caplin e Spulber (1987) como sendo estacionária no tempo e
onde haveria equil´ıbrio entre agentes que diminuem ou aumentam os valores nominais
mantendo a média do ajuste de pre¸cos próxima a zero, valor central inicial, no equil´ıbrio
estacionário. Em caso de choques monetários mais abruptos do que o esperado uma quan-
tidade considerável de agentes que inicialmente estariam dispostos a reduzir seus pre¸cos
poderia escolher aumentá-los acelerando a infla¸cão. Tal mudan¸ca resultaria no aumento ou
diminui¸cão anormal no valor dos ajustes de pre¸co que acelerariam a infla¸cão no momento
seguinte aos choques. Romer (2012) classifica esta altera¸cão como efeito Sele¸cão.
2.2 Modelos Ss Pela Perspectiva Periódica
Há uma incontestável mudan¸ca de paradigma com a no¸cão de frequência de decisão
ou ajuste fortalecida por Blanchard (1982) e Calvo (1983) mas finalmente formalizada por

Se¸cão 2.2. MODELOS SS PELA PERSPECTIVA PERI ÓDICA 37
Caplin e Spulber (1987) nos modelos Ss. A dinâmica de forma¸cão de pre¸cos passaria a
depender da frequência com que cada agente toma sua decisão sobre a mudan¸ca de pre¸cos
que, somadas as contribui¸cões individuais, resultaria na dinâmica da infla¸cão e em alguma
persistência da mesma. O modo como esta se comporta dependeria então diretamente da
distribui¸cão de tais frequências entre os agentes econômicos. O modelo Ss apresentado por
Caplin e Spulber em 1987 pode ser expresso, sem perdas de generaliza¸cão, à partir de um
modelo composto diretamente pela somatória de componentes senoidais e dessa forma a
série passa a ser classificada como oscilatória.
Nos modelos Ss o agente estabelece um intervalo de referência com valores m´ınimo,
s, e máximo, S, nos quais a diferen¸ca entre o pre¸co Pn por ele praticado e um valor ótimo P∗
n
devem ser mantidos. Caso tal diferen¸ca chegue ao valor de referência m´ınimo, s, o agente
realiza a altera¸cão de pre¸co para Pn+1 = Pn +r sendo r um valor de referência estabelecido
de forma a minimizar perdas decorrentes da infla¸cão levando em considera¸cão os custos de
ajuste de pre¸cos o que contribui na prática para a eleva¸cão dos´ındices dos pre¸cos agregados
que sejam compostos pelo produto cujo pre¸co foi reajustado. Em Caplin e Leahy (1999)
temos a adi¸cão mais clara da possibilidade de redu¸cão de pre¸cos provocada pela mesma
sistemática de reajuste nos casos onde o valor da diferen¸ca entre os pre¸cos ótimo e o
praticado sejam superiores a S. As duas situa¸cões podem ser simplificadas visualmente
pela Figura 2.1. O ponto A onde se encontra inicialmente o pre¸co praticado pelo agente
se mantêm no intervalo inicial [s, S]. No ponto A’ o pre¸co ótimo está acima do valor limite
implicando em uma redu¸cão de pre¸co pelo agente tendo em vista a poss´ıvel perda derivada
da maior competitividade de concorrentes que mantiveram seus pre¸cos menores que o do
agente em questão. No ponto A” temos a situa¸cão oposta onde o agente terá que aumentar
o pre¸co praticado de forma a evitar as perdas inflacionárias e contribuindo para o aumento
efetivo do ´ındice de pre¸cos.
Figura 2.1: Posi¸cão relativa de agentes em rela¸cão ao intervalo [s, S]
Fonte: Elaborado pelo autor
Como exemplo da dinâmica periódica imposta por modelos Ss tomemos 3 agentes,
A1, A2 e A3 com intervalos [s, S] iguais a A1 = [2, 10], A2 = [4, 12] e A3 = [2, 12].
Os dois primeiros teriam a mesma diferen¸ca entre os valores s e S, ∆S = (S − s) =
8, e então levariam o mesmo tempo para realizar altera¸cões em seus pre¸cos o que é a
defini¸cão de frequência de ajuste. A3 teria ∆S = 10 levando assim a um per´ıodo maior
para a realiza¸cão de ajustes. A Figura 2.2 demonstra a dinâmica de altera¸cão de pre¸cos
onde se ajustam os pre¸cos nominais de acordo com a estima¸cão dos pre¸cos ótimos P∗
=

{94, 96, 98, 100, 102, 104, 106, 108}.Com tais pre¸cos ótimos os agentes A1, A2 e A3 calculam
a diferen¸ca entre o pre¸co por eles praticado e o pre¸co de referência.
Para ao agente A1, que inicia praticando pre¸co de 100 unidades monetárias, o
valor cr´ıtico m´ınimo s á atingido somente quando o valor de referência é de 98 unidades
monetárias permitindo-o realizar o reajuste de modo a otimizar seu benef´ıcio a despeito do
custo de que o mesmo terá para decidir e executar a mudan¸ca nos pre¸cos. O mesmo Agente
somente poderá reajustar seus pre¸cos sem perder competitividade na próxima vez que o
valor m´ınimo entre o novo pre¸co, 108 unidades, e o pre¸co de referência for de duas unidades,
valor m´ınimo de seu intervalo [s,S] que é de 2 unidades, quando o valor de referência for
de 106 unidades monetárias. O agente A2, apesar de ter um intervalo [s,S] diferente do
agente A1, levará o mesmo tempo entre dois reajustes dado que a diferen¸ca ∆S é a mesma
do agente A1. A2 executará os ajustes no momento imediatamente anterior a A1 quando
os valores do pre¸co de referência forem 96 e 104.
O agente A3 mesmo tendo valor m´ınimo de seu intervalo [s,S] igual ao do agente A1
tem custo de ajuste maior que este último, seja por custos da troca f´ısica de pre¸cos ou por
custos relacionados à aquisi¸cão de informa¸cões pertinentes e necessárias para tomar sua
decisão de ajuste, e assim o intervalo de tempo que o mesmo necessita para reajustar seus
pre¸cos é maior. Em resumo, o custo de ajuste próximo dos agentes A1 e A2 leva os mesmo
a reajustarem seus pre¸cos com mesma frequência mesmo que em momentos diferentes. A3
, por ter custo de ajuste diferente de A1 e A2 terá frequência de ajuste de pre¸cos diferente
dos mesmos e neste caso, com custo de ajuste maior, levará mais tempo para reajustar
seus pre¸cos.
2.2.1 Efeito Frequência pela Perspectiva de Ciclos Senoidais
Tal comportamento no ajuste de pre¸cos se repete indefinidamente e desta forma,
como observado já em Caplin e Spulber (1987), tem caracter´ıstica c´ıclica periódica podendo
mesmo ser representado como na Figura 2.3 em que a posi¸cão do agente em rela¸cão ao
intervalo se apresenta visualmente por meio do deslocamento em torno do per´ımetro de
um c´ırculo podendo ser facilmente expresso por fun¸cões senoidais caso se opte por uma
representa¸cão polar do ajuste de pre¸cos.
Cada agente, mesmo podendo decidir por valores m´ınimos e máximo diferentes,
estaria submetido à mesma diferen¸ca ∆S = (S−s) caso os custos de ajuste de pre¸cos fossem
próximos dada a hipótese de que os custos de ajustes estariam diretamente relacionados
ao tempo necessário para ajustá-los. Desta forma agentes com custos de ajuste próximos,
composto a princ´ıpio pelo custo de menu, terão ∆S próximas e assim responderão às
varia¸cões de base monetária com ajustes em frequências de ajuste similares qualquer que
seja a velocidade da varia¸cão na base monetária, possibilitando o seu agrupamento em
faixas de frequência de ajuste.

Figura 2.2: Exemplo de dinâmica de ajuste em agentes com frequências diferentes.
Figura 2.3: Referencial circular dos modelos Ss
Fonte: Caplin e Spulber (1987)
A rela¸cão com o tempo se faz através da base monetária que pode variar temporal-
mente influenciando no pre¸co ótimo:
P∗
(t) = γ.M(t) (2.3)

Sendo:
P∗(t) - Pre¸co ótimo do bem no momento t;
γ - Coeficiente que determina o pre¸co em rela¸cão ao total de moeda em circula¸cão;
M(t) - Base monetária ou moeda em circula¸cão.
Logo a varia¸cão da diferen¸ca entre os valores ótimo e praticado se faz diretamente
proporcional à varia¸cão da base monetária:
∆p(t) = P(t) − P∗
(t) = P(t) − γ.M(t) (2.4)
Sendo:
P∗(t) - Pre¸co ótimo do bem no momento t;
P(t) - Pre¸co praticado no tempo t pelo agente analisado;
γ - Coeficiente que determina o pre¸co em rela¸cão ao total de moeda em circula¸cão;
M(t) - Base monetária.
A percep¸cão da dinâmica esperada pelos modelos Ss em rela¸cão à varia¸cão da base
monetária bem como da natureza periódica resultante do modelo podem ser observadas
da Figura 2.4. Nela a altera¸cão da base monetária é mantida a taxas constantes em
rela¸cão ao tempo para facilitar a exemplifica¸cão tanto para agentes com custo de ajuste
similares, representados pelas cores vermelho e azul, como para aqueles com custos de
ajuste diferentes.
Na por¸cão superior da Figura 2.4 temos a varia¸cão da base monetária que, para
facilitar a abstra¸cão, cresce de forma fixa no tempo observado. Na por¸cão posterior temos a
varia¸cão da posi¸cão relativa ao intervalor [s,S] para 3 agentes distintos: Em azul e vermelho
os agentes A1 e A2 respectivamente têm ∆S iguais mas iniciam seus movimentos de ajuste
de pre¸co em momentos diferentes. Em verde o agente A3 teria maior custo de ajuste
que impõe, por proporcionalidade, menor predisposi¸cão à mudan¸ca de pre¸cos conforme se
altera a base monetária tendo assim maior intervalo [s,S] que os dois primeiros. A proje¸cão
no tempo do intervalo [s,S] em vista do aumento da base monetária é a mesma para os
primeiros dois agentes e igual a T1 e T2, sendo T1 = T2. O per´ıodo de ajuste é maior para
o terceiro agente sendo igual a T3.
O efeito final sobre o ´ındice de pre¸cos pode ser visualizado na Figura 2.5 onde a
primeira parte do gráfico demonstra os ajustes de pre¸cos realizados pelos diversos agentes
de acordo com suas frequências de ajuste e na por¸cão inferior o efeito sobre o ´ındice
de pre¸cos. Ainda na por¸cão inferior da Figura 2.5 é poss´ıvel notar que mesmo com os
ajustes de pre¸co sendo executados de maneira determin´ıstica a dinâmica resultante de tais
a¸cões no ´ındice de pre¸cos aparenta ser formada por tendência determin´ıstica e choques

Figura 2.4: Altera¸cão na base e posi¸cão relativa de cada agente nos modelos Ss
aleatórios. Neste caso a aparente variância dos dados, que poderia ser interpretada como
decorrente da soma de um componente de tendência com um de choque aleatório, deveria
ser corretamente interpretada como a soma de dois componentes determin´ısticos: tendência
determin´ıstica e elementos periódicos também determin´ısticos.
Caso se opte pela representa¸cão circular, remetendo à ilustra¸cão de Caplin e Spulber
(1987), podemos representar os ajustes em um plano cartesiano complexo com coordenadas
polares incorrendo diretamente na abstra¸cão senoidal como vemos na Figura 2.6:
Para os agentes A1 e A2 os pre¸cos novos seriam expressos de forma cont´ınua em
rela¸cão a sua posi¸cão no c´ırculo1
[s, S] por:
Agente A1: p1(t) = b1. sin (
2π
T1
.t + φ1) (2.5)
Agente A2: p2(t) = b2. sin (
2π
T2
.t + φ2) (2.6)
1
Considerando ∆S = 2π de forma a manter o referencial circular (Polar).

Figura 2.5: Efeito dos ajustes periódicos de cada agente em ´ındices de pre¸cos
Figura 2.6: Referencial circular no tempo
Nota-se que os agentes diferem somente pelo ângulo φ e a amplitude b que representa
a varia¸cão de pre¸co ponderada pelo peso do agente dada sua influência na média geral de
pre¸cos, já que T1 = T2. Já para o agente A3:

p3(t) = b3. sin (
2π
T3
.t + φ3) (2.7)
A somatória dos efeitos do ajuste de pre¸co de cada grupo de agentes com a mesma
frequência pode ser expressa por:
PTn (t) = bi. sin (
2π
Tn
.t + φi) = aTn . sin (
2π
Tn
.t + θn) (2.8)
Onde:
aTn - Amplitude da senoide correspondente à soma de todos os ajustes realizados com
per´ıodo Tn.
θn - Defasagem inicial resultante da soma ponderada de defasagens de ajustes de mesmo
per´ıodo Tn.
n - Índice que enumera os n agentes a terem seus ajustes de pre¸cos considerados no
momento t.
Uma importante observa¸cão deve ser feita à partir da equa¸cão 2.8: A disposi¸cão dos
agentes de cada grupo de frequências de ajuste em torno do c´ırculo é de grande importância
para a composi¸cão tanto da amplitude como do ângulo da senoide que representa a soma
dos efeitos de ajuste do grupo de agentes na mesma frequência. Caso os agentes estejam
distribu´ıdos de forma uniforme na faixa [s ,S] os efeitos senoidais seriam menos percept´ıveis
tendo em vista que se torna poss´ıvel a compensa¸cão dos efeitos de um agente pelo de outro
agente em posi¸cão imediatamente oposta em suas disposi¸cões a ajuste de pre¸cos. Esta
compensa¸cão faria a natureza periódica dos ´ındices de pre¸cos ficar impercept´ıvel pois os
ajustes dos agentes seriam agrupados igualmente em cada amostragem do ´ındice de pre¸cos.
No exemplo da Figura 2.2.1, abaixo, temos dois agentes no mesmo momento: A1 ajustou os
pre¸cos enquanto A2 demorará mais algum tem para ajustar os pre¸cos. Este efeito acontece
de forma cont´ınua caso os agentes sejam um grande número e estejam distribu´ıdos de modo
uniforme sendo, em termos senoidais, uma compensa¸cão de fase.
Finalmente pode-se expressar a dinâmica do ´ındice de pre¸cos como a soma dos com-
ponentes senoidais resultantes de cada conjunto de agentes agrupados pelas suas frequências
de ajuste de pre¸co formando o modelo de pre¸cos idealizado por Caplin e Spulber cuja
dinâmica de varia¸cão dos ´ındices de pre¸cos depende somente da distribui¸cão de frequências
de ajuste remetendo finalmente à própria defini¸cão de série de Fourier de tempo discreto
que é a composi¸cão linear de diferentes séries periódicas senoidais de frequências distintas o
que facilita a interpreta¸cão do ´ındice de pre¸cos P(t) como uma série oscilatória com estru-
tura espectral definida podendo assim ser submetida à métodos de decomposi¸cão espectral
tal qual a transformada de Fourier:

Figura 2.7: Compensa¸cão de fases e distribui¸cão uniforme de agentes de mesma frequência
P(t) = PTn (t) = aTn . sin (
2π
Tn
.t + θn) (2.9)
Onde:
aTn - Amplitude da senoide correspondente à soma de todos os ajustes realizados com
per´ıodo Tn.
θn - Defasagem inicial resultante da soma ponderada de defasagens de ajustes de mesmo
per´ıodo Tn.
n - Índice que enumera os n agentes a terem seus ajustes de pre¸cos considerados no
momento t.
A despeito de sua importância, a verifica¸cão imp´ırica de tão importante composi¸cão
de frequências, ou a constata¸cão de sua uniformidade como proposta inicialmente por
Caplin e Spulber (1987), ainda é alvo de poucos estudos o que pode se dever à dificuldade
em se tratar uma estrutura dependente de frequências, ou de resposta em frequência, com
os mecanismos até então empregados em economia onde métodos de análise espectral ainda
são pouco utilizados.
Esta ausência de ferramentas de análise em frequência pode ser facilmente suprida
pelo uso de métodos de decomposi¸cão harmônica, base do que é conhecido em engenharia
elétrica e estat´ıstica não paramétrica como análise espectral. Uma técnica muito conhecida
e bem difundida para análise de composi¸cão e assim distribui¸cão de componentes em
frequência é a transformada de Fourier de tempo discreto (TFTD) na qual se baseiam
todos os sistemas de comunica¸cão e modelagem de eletrônicos existentes.
A formula¸cão da mecânica de altera¸cão de pre¸cos proposta por Fischer, Calvo, Tay-
lor ou Caplin e Spulber tem suas diferen¸cas no plano temporal, contudo, quando analisadas
pela perspectiva espectral passam a ser compreendidas como estruturas semelhantes cuja

diferen¸ca advém somente da estrutura de distribui¸cão de frequências correspondentes às
frequências de decisão dos agentes.
2.2.2 Efeito Sele¸cão pela Perspectiva de Ciclos Senoidais
Danziger (1999) e mesmo Golosov e Lucas (2007) argumentam ainda que conside-
rando que os agentes fa¸cam uso do modelo Ss para o ajuste de pre¸cos, mesmo em momentos
de infla¸cão considerável há uma quantidade significativa de agentes que cortam seus pre¸cos.
Há ainda a possibilidade de os agentes não aumentarem seus pre¸cos mesmo ao se atingir
um valor mais baixo do que o m´ınimo da faixa, s. Há ainda a possibilidade de os agentes
não reajustarem para menor os valores em caso de ser atingido o valor máximo S da faixa
[s, S]. Supõem-se contudo que quando mais próximo de valores S, maior é a probabilidade
de os agentes optarem pela diminui¸cão de pre¸co e , da mesma forma, quanto mais próximo
de s maior a probabilidade de os agentes aumentarem seus pre¸cos. Tal probabilidade se-
ria expressa por um componente estocástico cuja distribui¸cão teria valores m´ınimo A e
máximo B.
Figura 2.8: Posi¸cão relativa provável de um agente no intervalo Ss
Fonte: Elaborado pelo autor de acordo com os textos de Danziger (1999) e Golosov e Lucas (2007)
Utilizando a mesma representa¸cão da Figura 2.1 e adicionando o componente es-
tocástico podemos demonstrar 3 situa¸cões vislumbradas por Danziger (1999) e Golosov
e Lucas (2007): Na por¸cão superior vemos que mesmo que o agente esteja na posi¸cão A
existe a probabilidade de o mesmo presumir que na verdade estaria na posi¸cão A” dispa-
rando assim o mecanismo de aumento de pre¸cos. Da mesma forma o agente poderia estar

já próximo ao valor máximo do intervalo de forma se tornar mais sucept´ıvel a corrigir o
valor para um menor pre¸co, o que pode ser demonstrado pela segunda por¸cão da 2.8. No
último caso o agente tem pouca probabilidade de alterar seus pre¸cos.
Em regime estacionário os agentes escolheriam entre alterar ou manter os valores
praticados seguindo uma fun¸cão de probabilidades cuja distribui¸cão se pareceria como na
Figura 2.9. Entre S e s a probabilidade de o agente não alterar seus pre¸cos tem valor
1
B−A
que integrada em todo o intervalo resulta em S−s
B−A
. No ponto K há uma “massa
de probabilidade” 1 − S−s
B−A
que representa probabilidade de o agente alterar seus pre¸co
componado assim uma distribui¸cão mista de probabilidades.
Figura 2.9: Representa¸cão distribui¸cão de probabilidade mista do ajuste de pre¸cos
Fonte: Romer (2012)
Em casos onde há altera¸cão nas expectativas racionais, provocadas por exemplo por
choques inesperados na base monetária logo após ser realizado um ajuste de pre¸cos, haveria
um deslocamento da distribui¸cão de probabilidades. No exemplo encontrado em Romer
(2012), após um choque monetário positivo, unitário e inesperado, os agentes estariam
menos dispostos a cortarem os pre¸cos mesmo se já estivessem próximos ao valor máximo
S do intervalo. Esta altera¸cão na probabilidade pode ser representada pela Figura 2.10
onde a mesma sofre altera¸cão deslocando-se em dire¸cão a valores mais próximos do valor
de referência s o que em outras palavras tornaria o conjunto de agentes mais dispostos
a aumentar seus pre¸cos no próximo momento de ajuste. Tal como no conjunto geral de
agentes esta altera¸cão na probabilidade impactaria na disposi¸cão dos agentes que não mais
estariam uniformemente distribu´ıdos em rela¸cão ao conjunto formado pelos ajustes de
mesma frequência e influenciando assim no valor do ângulo final da equa¸cão 2.8 que pode
ser percebido através da varia¸cão no módulo da componente espectral. Na Figura 2.10
a região em vermelho passa a ter probabilidade próxima a zero tornando menos provável
um equil´ıbrio entre agentes dispostos a diminuir pre¸cos e a aumentá-los. A falta deste
equil´ıbrio aumentaria a percep¸cão da periodicidade dos ajustes de pre¸co.
Uma importante diferen¸ca de ordem prática entre os modelos Ss apresentados por

Figura 2.10: Altera¸cão na distribui¸cão dos ajustes com representa¸cão polar
Fonte: Elaborado pelo autor com base no exemplo presente em Romer (2012)
Caplin e Spulber e o apresentado por Danziger ou Golosov e Lucas. No primeiro a altera¸cão
de pre¸co acontece deterministicamente e somente no final do per´ıodo de cada ciclo. Já nos
últimos é poss´ıvel calcular continuamente o provável valor do ´ındice de pre¸cos que pondera
os valores a serem praticados pelos agentes de acordo com a maior ou menor predisposi¸cão
a alterarem seus pre¸cos seja para aumentá-los ou para diminu´ı-los de acordo com a posi¸cão
no intervalo [s, S].
Apesar de fazer pouca referência ao efeito da frequência os trabalhos de Danziger
ou Golosov e Lucas não deixam de trazer mais uma demonstra¸cão da natureza periódica
do modelo Ss que neste caso se manifesta através da fun¸cão de probabilidade apresentada
como vemos na Figura 2.11. Ao ser integrada no tempo, considerando por simplifica¸cão a
mesma varia¸cão constante de base monetária já apresentada na Figura 2.4, o modelo passa
a apresentar o mesmo comportamento periódico discreto já previsto em Caplin e Spulber.
Tendo em vista que a altera¸cão de pre¸co só se concretiza nos momentos descritos
pela fun¸cão de probabilidade de altera¸cão (em verde), pode-se utilizar uma fun¸cão de
probabilidade periódica aproximadamente retangular para ponderar os valores de ajustes
a serem aplicados.
Presumindo-se que a estrutura das frequências de ajustes de cada agente seria esta-
cionária o efeito sele¸cão formalizado em Golosov e Lucas (2007) seria captado pela altera¸cão
no valor dos módulos da componente senoidal, matematicamente expresso como um número
complexo, que representa a frequência do ajuste de pre¸cos efetuada pelos agentes. Há, no
entanto, a possibilidade de a altera¸cão ser resultado de uma perturba¸cão gaussiana. Para
verificar a real altera¸cão do componente espectral os métodos de verifica¸cão de quebra de
estrutura apresentados em Ben A¨ıssa, Boutahar e Jouini (2004), Ahamada e Ben A¨ıssa

Figura 2.11: Natureza periódica do modelo Ss com efeito sele¸cão
(2005) e Artis, Bladen-Hovell e Nachane (1992) seriam adequados para captar o dito efeito
sele¸cão. Os valores poderiam ser comparados aos da série de expetativas gerada semanal-
mente pelo Banco Central do Brasil que compõem o relatório Focus com expectativas de
consumo, confian¸ca e infla¸cão entre outras.
2.3 Movimentos Periódicos e Viés
A rela¸cão entre periodicidade e persistência nos movimentos dos pre¸cos é assunto
ainda pouco explorado. A existência de periodicidade em séries econômicas e financeiras
é um fato amplamente conhecido mas geralmente é abordado pela ótica da sazonalidade.
Já a busca por referências na análise univariada da infla¸cão levam normalmente a estudos
sobre a ordem de integra¸cão da variável, seja ela inteira ou fracionária.
2.3.1 Periodicidade em Economia
Pesquisas econômicas sobre comportamento periódico são encontradas principal-
mente com a temática da sazonalidade que é entendida como a repeti¸cão de comportamento
temporal com per´ıodo de ordem igual ou inferior ao anual. A existência de periodicidade
anual é amplamente conhecida e aceita sendo que tal comportamento é regido em sua mai-
oria por fenômenos naturais como a alternância de esta¸cões do ano definidas por varia¸cões
atmosféricas e astronômicas que resultam em padrões periódicos para planta¸cão e colheita
de diversas culturas bem como em comportamentos socioculturais. Tal varia¸cão periódica

Se¸cão 2.3. MOVIMENTOS PERI ÓDICOS E VIÉS 49
tem seus efeitos tanto na oferta de bens, como o caso da sazonalidade agr´ıcola, como na
demanda de bens ou servi¸cos como passagens aéreas, produtos festivos, brinquedos, etc.,
no entanto, seria a sazonalidade o único tipo de ciclo periódico existente em variáveis
compostas por pre¸cos?
Lamounier (2001), dedicando-se a análise de dados sobre o pre¸co spot do café,
encontra nos mesmos três ciclos não sazonais: Um bienal, um no intervalo de 22 a 44 meses
e outro de 60 meses. Os dois primeiros tipos de ciclo estariam ligados às caracter´ısticas
biológicas do café e seu replantio.
Explorando outros contextos econômicos que não o agr´ıcola, onde a sazonalidade é
marcante, a existência de ciclos também pôde ser verificada em variáveis econômicas agre-
gadas como a taxa de desemprego com ciclos de 8 anos e taxa de juros nos estados Unidos
com ciclos de 7 anos em Gil-Alana (2007), taxa de desemprego na região metropolitana de
São Paulo com forte sazonalidade em Marques e Fava (2011), ´ındice de bolsa de valores
Australiana com ciclos de 3, 6 e 12 anos em McKenzie (2001), ´ındice da bolsa Dow Jones
com ciclos de 2 meses e de 4 anos em Peters (1994) e finalmente a taxa de infla¸cão na zona
do Euro com ciclos de 6 anos em Caporale e Gil-Alana (2011). Ainda assim não foram
encontradas maiores referências sobre a rela¸cão de periodicidade da infla¸cão brasileira.
2.3.2 Problemas Relacionados à Presen¸ca de Periodicidade
Caso os ajustes de pre¸co sejam realizados com modelos próximo ao Ss é perfeita-
mente poss´ıvel a apari¸cão de comportamentos periódicos na variável de pre¸cos e assim na
infla¸cão. Em casos de a periodicidade existente não ser somente a sazonal, onde a dessa-
zonaliza¸cão é em geral suficiente para corre¸cão e modelagem da série, é necessário ter em
mente poss´ıveis problemas que podem surgir na modelagem da série.
Não bastasse a poss´ıvel existência de estruturas faltantes na modelagem das variáveis,
em caso de a periodicidade ser ignorada, a mera existência de componentes periódicos,
matematicamente representados por senoides, pode causar viés em análises estat´ısticas.
Bierens (2001) chega a classificar a periodicidade como sendo uma raiz unitária do tipo
complexo. A razão para tal classifica¸cão é de que as consequências do viés causado pela
periodicidade são as mesmas das tradicionais ra´ızes unitárias de tendência e drift deter-
min´ısticos:
1 – Correla¸cão incorreta em estudos de inferência multivariada;
2 – Estima¸cão incorreta de distribui¸cão estat´ıstica.
Adicionalmente pode haver interpreta¸cão incorreta da amplitude da componente
periódica representada pela senoide como sendo atribu´ıda à variância derivada de choques
aleatórios o que é equiparado à altera¸cão na autocorrela¸cão causada quando há componen-
tes de tendência e drift estocásticos.

Como forma de demonstrar a interferência de senoides na distribui¸cão estat´ıstica
de variáveis com choques gaussianos na Figura 2.12 são simulados 4 processos contendo
ciclos periódicos e ru´ıdo gaussiano. Na primeira linha vemos o sinal da variável no tempo,
na segunda a distribui¸cão da variável no tempo e na última linha a distribui¸cão somente
do componente periódico. Nelas é poss´ıvel notar a dramática altera¸cão que a variância
sofre com a sucessiva amplifica¸cão da caracter´ıstica periódica da variável. O componente
periódico inicialmente se acomoda rapidamente causando pouca altera¸cão na estrutura da
variável na por¸cão intermediária da figura. Com o aumento do tempo que a componente
periódica leva para se acomodar, da esquerda para a direita, é poss´ıvel notar a altera¸cão
provocada na distribui¸cão da variável que vai criando lóbulos laterais na por¸cão final da
calda da distribui¸cão gaussiana “engordando” e distorcendo a estat´ıstica de normalidade
do teste Jarque–Bera.
Figura 2.12: Altera¸cão da distribui¸cão do ru´ıdo gaussiano na presen¸ca de senoides
0 100 200 300 400
−1.00.00.51.0
Tempo de Acomodação = 50
Amostras
sinal
Dist. do Sinal Completo
JB(p−value) = 0.0254
Densidade
−3 −2 −1 0 1 2 3
020406080
Dist. do Comp Periódico
JB(p−value) = 0
Densidade
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
050100150200
0 100 200 300 400
−1.00.00.51.0
Amostras
sinal
Densidade
−3 −2 −1 0 1 2 3
020406080
JB(p−value) = 0
Densidade
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
050100150200
0 100 200 300 400
−1.00.00.51.0
Amostras
sinal
Densidade
−3 −2 −1 0 1 2 3
020406080
Densidade
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
050100150200
0 100 200 300 400
−1.00.00.51.0
Tempo de Acomodação = inf
Amostras
sinal
Densidade
−3 −2 −1 0 1 2 3
020406080
JB(p−value) = 0
Densidade
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
050100150200
Modelagens com métodos como VAR, VEC, ARIMA, SARIMA, ARFIMA pode-
riam ser enviesados na presen¸ca da periodicidade. A presen¸ca de senoides em série de
tempo acarretaria na perda da propriedade de estacionariedade fraca, caracter´ıstica básica
para prosseguir em estudos de inferência, e seria a partir da´ı classificada como oscilatória

Se¸cão 2.3. MOVIMENTOS PERI ÓDICOS E VIÉS 51
(Bruscato e Toloi, 2004). Especificamente para a infla¸cão, a discrepância em sua
modelagem poderia causar imprecisão nos mecanismos de controle através da pol´ıtica mo-
netária.
2.3.3 Estacionariedade e Espectro Evolucionário
A maioria dos estudos que tem como propósito modelar a persistência da infla¸cão
tem como alvo a verifica¸cão das estruturas de longo prazo da mesma, explicadas em grande
parte pela existência de comportamentos de tendência e saltos compondo o que podemos
chamar de arcabou¸co I(1) – I(0) e de forma mais geral o estudo de ordens de integra¸cão
fracionária que fazem refinamento da ordem de integra¸cão da variável com estrutura auto
regressiva e devem ser entendidas como uma primeira expansão da temática de integra¸cão
temporal (Marques, 2007).
O arcabou¸co I(1) – I(0), é composto pela metodologia Box-Jenkins, modelos ARIMA
e suas deriva¸cões foi a mais bem sucedida desde a década de 1960 dominando o cenário
acadêmico desde então. Sua caracter´ıstica principal é a identifica¸cão e corre¸cão de séries
não estacionárias no tempo e marcadas pela presen¸ca de tendências, determin´ısticas ou
estocásticas, e drifts (saltos) que foram largamente encontrados em séries econômicas. A
etapa principal de estacionariza¸cão da série é feita pela identifica¸cão do grau de integra¸cão
da série. Com este objetivo foram criados os testes DF, ADF, DF-GLS, Phillips Perron,
entre outros Bueno (2011). O objetivo geral de tais testes é rejeitar ou não a hipótese de
existência na integra¸cão da série para em um passo seguinte derivar a mesma no intento
de torná-la estacionária e assim prosseguir na modelagem por correla¸cão univariada ou
multivariada. O modelo ARIMA pôde ser ampliado para conter informa¸cões de sazonali-
dade tornando-se conhecido como SARIMA. Testes de estima¸cão de sazonalidade podem
ser feitos como visto em Burridge e Taylor (2004) e Penna (2009) e mais adiante houve o
que pode ser considerado como um refinamento do modelo de integra¸cão da série que passa
a considerar ordens de integra¸cão menores que a unidade contribuindo grandemente para
a compreensão da memória longa das séries temporais, superando o comprovado baixo
poder dos testes anteriores de raiz unitária que tinham tendência de refutar a existência de
integra¸cão quando sua ordem fosse próxima, mas não igual, à unidade (Marques, 2007).
Paralelamente ao desenvolvimento do arcabou¸co I(1) – I(0), uma linha metodológica
dedicou-se a superar a caracter´ıstica não estacionária de modo a manter a perspectiva
espectral em séries estocásticas não estacionárias com especial interesse em variáveis com
comportamento oscilatório. Os trabalhos de Priestley (Priestley, 1965; Beamish e
Priestley, 1981; Priestley e Heravi, 1986; Priestley, 1988) foram a principal
fonte de referência desde então. O autor pôde caracterizar as séries não estacionárias como
tendo um espectro de frequência “evolucionário” demonstrando suas propriedades.
O trabalho original de Priestley em 1965 lan¸cou as bases formais do espectro evo-

lucionário, ou espectro evolutivo, que na visão do autor representava uma modelagem
pertinente à maioria dos processos observados até então, aproximadamente oscilatórios e
um resumo da formaliza¸cão do espectro evolucionário pode ser verificado de forma didática
em Bruscato e Toloi (2004) onde as autoras detalham as demais contribui¸cões de pesqui-
sadores que sucederam Priestley na temática espectral evolucionária. As autoras ainda
formulam e aplicam com sucesso um teste de dependência temporal, em outras palavras
“quebra estrutural”, baseado em propriedade do espectro evolucionário de forma a clas-
sificar as variáveis em estacionárias e não estacionárias simultaneamente no espectro de
frequência e no plano temporal. O teste utiliza simula¸cão em vários tipos de estrutura (pu-
ramente gaussiana, AR(2) estacionária na frequência, AR(2) evolucionária, entre outras),
aplicando em seguida em dados de qualidade do ar, mortalidade e humidade.
A base dos procedimentos pertinentes ao espectro evolucionário são as transforma-
das do tempo para a frequência entre elas a Transformada de Fourier de tempo cont´ınuo
(TFTC) e a de tempo discreto (TFTD) que podem ser encontradas em livros como Hamil-
ton (1994), Robert H. Shumway (2011), Morettin e Toloi (2006) e Warner (1998) de onde
podemos retirar as fórmulas da TFTC (2.10) e TFTD(2.11) :
Xω =
π
−π
X(t)e−iωt
.dt (2.10)
Xk =
n−1
j=0
X(n)e
−i2πnk
N , onde k = 0, . . . , N − 1 (2.11)
Especial aten¸cão deve ser dada ao trabalho Rebecca em Warner (1998). A autora
é uma das primeiras a aplicar em inúmeros trabalhos técnicas de análise espectral. Seu
foco de estudo é sobretudo comportamental e provê amplamente exemplos de como os
fenômenos periódicos permeiam o comportamento humano. Neste sentido a autora apre-
senta o teste proposto em Fisher (1929) de forma a identificar os poss´ıveis componentes
senoidais diferenciando-os daqueles que são simples fruto da transforma¸cão linear do ru´ıdo
gaussiano.
Ainda levando em considera¸cão as caracter´ıstica do espectro de frequências Ben
A¨ıssa, Boutahar e Jouini (2004) e Ahamada e Ben A¨ıssa (2005), seguindo a metodolo-
gia proposta por Artis, Bladen-Hovell e Nachane (1992) conseguiram estimar quebras nos
´ındices inflacionários dos Estados Unidos comparando-os com tradicionais de quebra. Os
resultados nos dois trabalhos indicam que métodos baseados em análise espectral empre-
gados são robustos e as datas de quebras estimadas correspondem a eventos econômicos
importantes que influenciaram no comportamento dos ´ındices de infla¸cão do citado pa´ıs.

Cap´ıtulo 3
Metodologia
A metodologia será dividida em três partes: A primeira corresponde à identifica¸cão
dos componentes periódicos significativos, correspondente à estrutura em frequência dos
ajustes de pre¸cos geradora da dinâmica de forma¸cão da infla¸cão e assim da inércia infla-
cionária. A segunda parte será a responsável por identificar poss´ıveis quebras na estrutura
em frequência tanto dentre os componentes senoidais significativos quanto nos componentes
sem comportamento periódico significativo. A quebra, quando verificada, será um indica-
dor do efeito sele¸cão e os momentos onde a mesma ocorrer serão comparados aos valores
de expectativa futura de infla¸cão divulgados pelo Banco Central do Brasil. A terceira e
última parte é dedicada a previsão de valores futuros da série de pre¸cos tendo como base a
estima¸cão da estrutura espectral da série de pre¸cos do IPCA que será comparada com um
método de previsão baseado em modelagem ARIMA diretamente realizado sobre a série
temporal.
3.1 Identifica¸cão da Estrutura de Frequência de Ajustes de Pre¸co
A transformada de Fourier é um dos métodos mais indicados para estima¸cão de
componentes periódicos que, em séries reais, materializam comportamentos repetidos com
frequências fixas no tempo tal como a frequência de ajuste de pre¸cos. Sua aplica¸cão e
propriedades são encontradas em Morettin e Toloi (2006), Hamilton (1994) e Oppenheim,
Schafer e Buck (1999), dentre outras obras de referência dedicadas aos processos oscilatórios
e à modelagem de sistemas em frequências e fenômenos estat´ısticos que têm como base a
representa¸cão no plano das frequências ou representa¸cão espectral.
Como exemplifica¸cão da dualidade do tempo-frequência temos na Figura 3.1 um
processo oscilatório contendo dois componentes periódicos senoidais com per´ıodos T1 = 6
meses e T2 = 4 meses. A amostra tem 48 meses e os processos se mantêm estacionários
na frequência. Na por¸cão superior temos a variável composta pela somatória das senoides
que passará pela TFTD de modo a revelar seus coeficientes estruturais. Em seguida temos
o periodograma, representa¸cão visual do espectro da variável, onde se veem dois picos nas
frequências que correspondem 6 e 4 meses cujos valores serão utilizados como base para

54 Cap´ıtulo 3. METODOLOGIA
estima¸cão da senoide 1
.
Figura 3.1: Correspondência tempo-frequência
Como a estrutura do exemplo se mantém estacionária na frequência podemos obter
os coeficientes de amplitude e ângulo inicial das senoides tanto realizando a TFTD sobre
todo o per´ıodo como sobre uma parcela, necessariamente consecutiva no tempo, contendo
ao menos dois per´ıodos inteiros de cada um dos componentes de interesse (para T1, m´ınimo
de 12 per´ıodos e T2 com 8 per´ıodos).
Em variáveis que contenham ru´ıdo estocástico, gaussiano por exemplo, nem sempre
os valores do periodograma indicam senoides verdadeiras sendo necessária a utiliza¸cão do
teste proposto por Fisher (1929) de modo a verificar a probabilidade de o componente
estimado vir a representar uma senoide verdadeira diferenciando-a dos componentes frutos
da transforma¸cão linear do ru´ıdo gaussiano que podem ser chamados de “casu´ısticos”.
O teste passa primeiramente pelo janelamento da série e transformada de Fou-
rier através do algoritmo FFT2
. Anteriormente à aplica¸cão da TFTD, ou equivalente, é
necessário eliminar a tendência determin´ıstica dos dados tendo em vista que os valores
1
TFTD produz para cada frequência um número complexo cujo valor absoluto do vetor é a amplitude
da senoide e o valor do ângulo corresponde ao ângulo de defasagem da senoide.
2
FFT (Fast Fourrier Transform) é uma implementa¸cão da Transformada de Fourier de Tempo Dis-
creto (TFTD) com vantagens computacionais que eliminam a estima¸cão de subprocessos com valores já
conhecidos diminuindo o tempo da estima¸cão e a utiliza¸cão de recursos computacionais.

Se¸cão 3.1. IDENTIFICAÇ ÃO DA ESTRUTURA DE FREQUÊNCIA DE AJUSTES DE PREÇO 55
tabelados em Russell (1985) têm como pressuposto a série oscilatória sem componentes de
tendência determin´ıstica o que é feito geralmente pela diferencia¸cão da série.
Nos casos em que a estrutura espectral se alterada ao longo do tempo (espectro
evolucionário) a estima¸cão dos componentes periódicos deverá ser feita levando-se em conta
a validade local (dentro do subconjunto da amostra) da estrutura espectral no que poderia
ser entendido como um “retrato” da estrutura válida somente para um tempo espec´ıfico.
3.1.1 Retirada de Tendência Determin´ıstica
O teste de Fisher deve ser executado em séries sem a presen¸ca de tendência deter-
min´ıstica ou a mesma influenciaria nos valores da média enviesando as estat´ısticas do teste.
Este viés se materializa no dom´ınio da frequência pelo aumento dos pesos das componen-
tes de frequência mais baixas como exemplificado pela Figura 3.2 onde no lado esquerdo
vamos um processo oscilatório sem tendência determin´ıstica e à direita o mesmo processo
com tendência determin´ıstica onde se nota que a tendência “polui” com valores altos a
por¸cão referente às baixas frequências do periodograma. Como vemos em Granger (1966)
a maioria das variáveis macroeconômicas contém tal estrutura e assim são pass´ıveis de viés
no teste de Fisher caso não passem por um processo de retirada da tendência.
Figura 3.2: Polui¸cão causada pela tendência determin´ıstica no espectro de frequências
Fonte: Elaborado pelo autor com dados simulados como em Warner (1998) pag. 170
O modo mais imediato de se retirar a tendência determin´ıstica é por meio da de-
riva¸cão da variável, procedimento que não afeta os componentes periódicos quando a es-
trutura é estacionária na frequência dado que:

d sin (x.t)
dt
= x. cos (x.t) = x. sin (x.t +
π
4
) (3.1)
No caso de séries sem quebras aparentes ou com elevada continuidade é poss´ıvel
fazer uso do filtro HP para eliminar os componentes da tendência. Inicialmente proposto
por Robert Hodrick e Edward Prescott na década de 1990, o filtro é um reconhecido
meio de separa¸cão entre os componentes de tendência e componentes c´ıclicos, sejam estes
casu´ısticos ou periódicos. Apesar de seu uso ser majoritariamente direcionado à variável de
produto interno bruto na estima¸cão do hiato do produto interno o mesmo não se restringe
ao citado uso sendo aplicável em quaisquer variáveis que tenham distribui¸cão aproximada-
mente gaussiana (Hodrick e Prescott, 1997). Exemplo de seu uso generalista pode
ser encontrado em Allen (1997).
Deve-se, contudo, levar em considera¸cão que somente componentes com per´ıodo
entre 6 e 32 pontos terão sua amplitude preservada após a separa¸cão dos componentes
c´ıclicos como vemos em Conway e Frame (2000). Adicionalmente, a aplica¸cão de filtro HP
altera a fase dos componentes c´ıclicos como exemplificado no apêndice B, impossibilitando
a sua utiliza¸cão na fase de estima¸cão do parâmetro para fim de modelagem final e previsão
da série oscilatória.
3.1.2 Aliasing e Vazamento na TFDT
Seguida à retirada da tendência deve-se estimar os componentes pela TFTD nos
dados da janela escolhida. A janela de dados é um subconjunto de dados da série temporal
a ser analisada na transformada de Fourier onde deve ser mantida a estrutura temporal, ou
seja, entre o primeiro e o último dado da série pertencentes à janela a ordena¸cão temporal
é mantida não sendo admitida a exclusão parcial dos dados entre os extremos escolhidos
da mesma. A escolha do tamanho da janela deve ser feita de modo a evitar o efeito de
vazamento espectral (Spectral Leakeage), conhecido também por espalhamento espectral
que pode distorcer a proporcionalidade das componentes do espectro. Devem ser utilizadas
janelas contendo per´ıodos completos dos componentes pretendidos caso haja inicialmente
alguma frequência de interesse. Nos casos onde haja mais de uma frequência de interesse
deve-se optar por janela de tamanho múltiplo de N que se define como o m´ınimo múltiplo
comum entre os valores dos per´ıodos das frequências de interesse, ou realizar mais de um
procedimento de decomposi¸cão espectral.
Na Figura 3.3, temos a mesma variável utilizada para demonstra¸cão da Figura 3.1.
Contudo quando é utilizada uma janela de dados com 45 pontos, per´ıodo não múltiplo
inteiro de T1 ou T2, o espectro é alterado de forma que a amplitude que seria atribu´ıda
às frequências de 4 e 6 pontos “vaza” para as frequências vizinhas. Outra limita¸cão que

Figura 3.3: Representa¸cão do efeito cerca
deve se ter em mente é que a frequência máxima que pode ser estimada por meio da
TFTD corresponde à metade da frequência de observa¸cão dos dados. Como exemplo
dados mensais só poderão ser utilizados para estimar ciclos bimestrais e dados semestrais
só poderão gerar estimativas de dados anuais. Em termos numéricos uma janela com
tamanho N, e assim frequência de observa¸cão ou amostragem Fa = 1
N
, só poderá obter
valores de componentes periódicos menores ou iguais a 1
2N
. Frequências maiores que
estas sofrerão estimativas enviesadas pelo que é conhecido como Aliasing que é entendido
como a capacidade de uma frequência sub amostrada ser estimada aparentando ter outra
frequência como representado pela Figura 3.4 em que a senoide original, em negrito, é
amostrada a uma frequência menor que a necessária para sua correta aferi¸cão o que resulta
em um Alias, em azul, de frequência diferente da correta a ser estimada em negrito.
3.1.3 Testes de Fisher e Whittle
Após a estima¸cão dos dados espectrais pela aplica¸cão da transformada de Fourier
é poss´ıvel construir um periodograma como visto em Hamilton (1994), Morettin e Toloi
(2006) e de forma dirigida à análise de pre¸cos em Lamounier (2001). Contudo, muitos
valores estimados podem ser simples fruto casu´ıstico, derivados do ru´ıdo gaussiano, quando
é analisada uma variável real geralmente submetida a erros de medi¸cão e choques aleatórios.

Figura 3.4: Representa¸cão do efeito alias
Fonte: Elaborado pelo autor com dados simulados como em Warner (1998) pag. 19
Caso a variável apresente senoides estas têm maior probabilidade de serem representadas
pelos componentes de maior amplitude.
A inspe¸cão visual do periodograma com objetivo de identificar os componentes
c´ıclicos periódicos é o método imediato e em geral, para variáveis cujo comportamento
tem pouca participa¸cão de choques aleatórios, mais utilizado (Lamounier, 2001). Em
contextos de grande volume de dados e presen¸ca de ru´ıdo gaussiano a inspe¸cão visual
pode ser inviável. Desta forma é poss´ıvel utilizar o teste desenvolvido inicialmente por
Fisher e generalizado posteriormente por Whittle (1952) para separar as componentes que
possam representar senoides verdadeiras. O procedimento é explicado em Warner (1998)
ou Morettin e Toloi (2006). Há uma diferen¸ca no modo de se proceder o teste nestas
duas últimas obras sendo considerada a correta a apresentada em Morettin e Toloi (2006)
que além de corrigir o procedimento adotado em Warner (1998) utiliza n´ıvel descritivo
para apresentar os resultados do teste permitindo a interpreta¸cão do mesmo de acordo
com o n´ıvel de significância escolhido pelo leitor do trabalho. O exemplo apresentado por
Warner (1998) no entanto ajuda de forma visual a interpreta¸cão do teste de Fisher sendo
perfeitamente correto para análise do componente periódico mais significativo da série e
será abordado a seguir para em seguida ser apresentada uma generaliza¸cão realizada por
Whittle e o modo de cálculo mais sofisticado e preciso apresentado em Morettin e Toloi
(2006).
A Figura 3.5 mostra duas séries geradas com ru´ıdo gaussiano. Na da esquerda
somente o ru´ıdo está presente, dessa forma a distribui¸cão dos res´ıduos no plano temporal
tem forma gaussiana e a correspondente representa¸cão no plano espectral, feita com o
módulo dos coeficientes complexos calculados pela FFT, se mantém com uma distribui¸cão
gama3
. Na série da direita foi adicionado um componente c´ıclico periódico. O mesmo
3
Caso seja feita a distribui¸cão somente do componente real, e não do módulo dos coeficientes resultantes

não afeta significativamente a distribui¸cão dos res´ıduos no plano temporal. Contudo,
quando são aferidos os valores no plano espectral nota-se claramente a presen¸ca de um
pico na frequência correspondente ao ciclo introduzido. Em alguns casos tal diferen¸ca
não é facilmente notada pela inspe¸cão visual dos componentes da FFT mas a distribui¸cão
dos seus res´ıduos mostra claramente a existência de dois conjuntos de valores, um mais
à esquerda corresponde aos res´ıduos dos componentes casu´ısticos, e o que representa os
ciclos senoidais periódicos facilmente encontrado no canto direito do gráfico da distribui¸cão.
Esta é a representa¸cão gráfica do teste de Fisher onde o componente mais à direita do
gráfico de distribui¸cão dos componentes espectrais tem maior chance de não pertencerem
à distribui¸cão, no caso gama, à esquerda.
Figura 3.5: Altera¸cão na distribui¸cão da TFTD na presen¸ca de senoides verdadeiras
0 100 200 300 400
−55
Ruído Gaussiano
Amostras
Sinal
0 100 200 300 400
−10010
Ruído Gaussiano + 3 Componentes Periódicos
Amostras
Sinal
0 100 200 300 400
0100
FFT Ruído Gaussiano
Frequências Periódicas
Amplitude
0 100 200 300 400
0150
FFT Ruído Gaussiano + 3 Componentes Periódicos
Frequências Periódicas
Amplitude
Resíduos sem Comp. Periódicos
Densidade
−5 0 5 10
Resíduos com Comp. Periódicos
Densidade
−10 −5 0 5 10
Distribuição Espectral do Ruído Gaussiano
Densidade
0 50 100 150
Distribuição Espectral Alterada por Comp. Periódicos
Densidade
0 50 100 150 200 250 300
O objetivo do teste elaborado inicialmente por Fisher é verificar se cada pico cor-
responde ou não à amplitude de uma senoide verdadeira por ter valor muito maior que a
dos outros componentes o que pode ser avaliado visualmente por meio da distribui¸cão dos
da FFT, a distribui¸cão para um ru´ıdo gaussiano no tempo é também um ru´ıdo gaussiano no espectro.

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