2. INTRODUCCIÓN
Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.
En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer
cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible
medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.
El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el
teodolito.
Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún
ángulo- , podremos determinar los restantes.
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la
altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia
sombra medía tanto como su estatura
2
3. • NOCIONES PREVIAS
• SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS. RADIÁN.
• RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO
AGUDO.
• R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º, 45º Y 60º.
• RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA
• R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º
• CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA.
3
4. NOCIONES PREVIAS
1. a. Proporcionalidad de segmentos y
semejanza
b.TEOREMA DE TALES
2. TEOREMA DE PITÁGORAS
5. 1.a. Proporcionalidad de
segmentos y semejanza
Las sombras de los dos árboles son proporcionales a
las respectivas alturas
H
s
S
h
S. árbol
pequeño (s)
Sombra del árbol grande (S)
A
H
B
h
A’
B’
s
O
S
OB'
OA'
h
H
BB'
AA'
k (razón de proporcion
alidad)
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.)
en uno de sus viajes a Egipto
midió la altura de una pirámide
aprovechando el momento en
que su propia sombra medía
tanto como su estatura
5
6. 1.b. TEOREMA DE TALES
r
Si varias paralelas determinan
segmentos iguales sobre una
recta r, determinan también
segmentos
iguales
sobre
cualquier otra recta r’ a la que
corten
E’
D’
C’
B’
E’’
D’’
C’’
A’
B’’
O
A
O
A
C
D
E
r’
A’
TEOREMA DE TALES:
B’
B
OA
OB
B
OA'
AB
o tambien
OB'
OB
A' B'
OB'
Los segmentos determinados por
rectas paralelas en dos rectas
concurrentes son proporcionales.
6
7. Medida de ángulos
Los ángulos pueden medirse en tres sistemas:
Sistema sexagesimal
Sistema centesimal
(En la calculadora MODE DEG)
(En la calculadora MODE GRAD)
Radianes (En la calculadora MODE RAD)
Ángulo
completo
Ángulo
llano
Ángulo
recto
Un
grado
Un
minuto
SEXAGESIMAL
360º
180º
90º
60’
60”
CENTESIMAL
400g
200g
100g
RADIANES
2
100m 100s
/2
7
8. Expresa los siguientes ángulos en los tres
sistemas de medida
S.sexagesimal
60 º
210º
50g
S. centesimal
Radianes
S.sexagesimal
S. centesimal
Radianes
60g
100g
2π/3
5π/6
140º
240º
350g
90g
7π/8
25g
3
8
10. RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS (R.T.)
B
Los triángulos ABC, A’B’C y A”B”C son semejantes
B`
B”
A
A`
porque tienen los ángulos iguales.
A”
C
En consecuencia los lados son proporcionales :
AB
BC
A' B'
B' C
A" B"
B" C
ˆ
sen C
BC
AB
AC
BC
A' C
B' C
A" C
B" C
ˆ
cos C
BC
AC
B' C
A' C
B" C
A" C
ˆ
sec C
AB
AC
A' B'
A' C
A" B"
A" C
ˆ
tg C
AC
AB
A' C
A' B'
A" C
A" B"
ˆ
cot g C
B' C
A' B'
B" C
A" B"
ˆ
cos ec C
10
11. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.)
DE UN ÁNGULO AGUDO
B
Sea ABC un triángulo rectángulo en A.
a
Se definen seis razones trigonométricas
c
Cateto adyacente o contiguo a C
A
C
b
ˆ
sen C
cateto opuesto
hipotenusa
c
a
ˆ
cos C
cateto adyacente
hipotenusa
b
a
ˆ
cos ec C
ˆ
tg C
cateto opuesto
cateto adyacente
c
b
ˆ
cot g C
ˆ
sec C
hipotenusa
cateto adyacente
ˆ
sec C
a
b
1
ˆ
cos C
hipotenusa
cateto opuesto
a
c
ˆ
cos ec C
cateto adyacente
cateto opuesto
b
c
ˆ
cot g C
1
ˆ
sen C
1
ˆ
tg C
11
12. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO
B
Sea ABC un triángulo rectángulo en A.
a
ˆ
tg C
c
Cateto adyacente o contiguo a C
A
ˆ
sen C
ˆ
sec C
b
a
ˆ
cos C
ˆ
tg C
c
a
c
b
a
b
ˆ
cos ec C
c
a
b
a
ˆ
sen C
ˆ
cos C
ˆ
cot g C
ˆ
cot g C
b
c
a
a
b
a
a
c
b
a
c
a
1
ˆ
cos C
a
a
c
a
1
ˆ
sen C
ˆ
cos C
ˆ
sen C
ˆ
cos C
ˆ
sen C
ˆ
sec C
C
b
ˆ
sen C
ˆ
cos C
1
ˆ
cos C
1
ˆ
cos ec C
ˆ
sen C
ˆ
cot g C
1
ˆ
tg C
12
13. VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS RAZONES
TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO
En todo triángulo rectángulo los catetos son
menores que la hipotenusa.
B
a
0<c<a
Es decir:
C
En consecuencia:
A
C
b
ˆ
sen C
c
a
1
ˆ
sec C
ˆ
0 cos C
b
a
1
ˆ
cos ec C
0
0
0<b<a
ˆ
tg C
c
b
0
a
b
ˆ
cot g C
1
a
c
1
b
c
13
15. R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (1)
C
Sea ABC un triángulo equilátero
Es decir, cada uno de sus tres ángulos mide
60º
l
l
Trazamos una altura CH
A
En el triángulo CHB, rectángulo en H el ángulo B mide
60º
y el ángulo C mide
30º
El lado BH mide
B
H
l
l/2
C
Podemos calcular x en función de l, aplicando el Tª de Pitágoras
x2
l
2
2
l2
x2
2
x2
l2
l
4
4l
2
l
x
4
3l
4
3l
4
l
60º
2
x2
30º
x
2
2
x
l
3
2
H
B
l/2
15
16. R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (2)
sen 60º
l 3
2
l
cos 60º
l
2
l
C
l 3
2
30º
l
l 3
2l
l
2l
3
2
sen 30º
1
2
cos 30º
60º
H
B
l/2
tg 60º
sen 60º
cos 60º
Observa que:
sen 60º = cos 30º
sec 60º
3
2
1
2
1
cos 60º
2 3
2
3
tg 30º
sec 30º
2
l
2
l
l
2l
l 3
2
l
1
2
3
2
1
2
l 3
2l
3
2
2
2 3
1
cos 30º
1
3
3
3
2
3
cos 60º = sen 30º
tg 60º = cotg 30º
cos ec 60º
cotg60º = tg 30º
sec 60º =cosec30º
Cosec 60º =sec30º
cot g 60º
1
sen 60º
1
tg 60º
2
3
1
3
cos ec 30º
3
3
cot g 30º
1
sen 30º
1
tg 30º
2
3
3
3 3
3
3
16
17. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (1)
C
D
Sea ABCD un cuadrado
Es decir, cada uno de sus cuatro ángulos mide 90º
l
Trazamos la diagonal AC
En el triángulo ABC, rectángulo en B, el ángulo A mide
45º
y el ángulo C mide
A
B
l
45º
C
Podemos calcular x en función de l, aplicando el
Tª de Pitágoras
x
2
2
l
x
2
l
x
2 l
2
45º
l
45º
x
2
2
2 l
x
l
2
A
l
B
17
18. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (2)
C
l
sen 45º
l 2
1
2
2
2
45º
l
cos 45º
tg 45º
l 2
l
l
1
2
l
2
2
1
l
45º
A
1
2
2 2
cos 45º
2
2
1
2
cos ec 45º
2
sen 45º
2
sec 45º
cot g 45º
2
1
tg 45º
1
1
1
2
l
B
Observa que:
sen 45º = cos 45º
tg 45º = cotg 45º
sec 45º =cosec45º
18
19. R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
y 90º
C
Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A
Si el ángulo B mide α grados,
90º
a
b
90º
el ángulo C mide
α
B
sen (90º
cos 90º
tg 90º
)
c
c
a
cos
sec 90º
b
a
sen
cos ec 90º
1
sen 90º
cot g
cot g 90º
1
tg 90º
c
b
1
cos 90º
1
sen
A
cos ec
1
cos
sec
1
cot g
tg
19
20. R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
y
2
C
Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A
Si el ángulo B mide α radianes,
2
a
b
el ángulo C mide
2
α
B
sen (
2
cos
tg
2
2
c
a
)
b
a
c
b
cos
sen
cot g
sec
1
2
cos ec
cot g
c
cos
1
sen
2
1
2
sen
tg
1
cos
cos ec
sec
2
1
2
A
2
1
cot g
tg
20
21. RELACIÓN FUNDAMENTAL DE
TRIGONOMETRÍA sen2
cos2
1
Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de
Pitágoras, tenemos:
b
2
c
2
a
Si dividimos la expresión anterior por a2
2
b
a2
2
a
a2
Expresándolo de otra forma:
b
a
2
c
a
a
2
c
a2
C
2
2
b
α
B
c
A
1
O lo que es lo mismo:
Que normalmente expresaremos
de la forma:
2
sen
2
sen
cos
2
cos
1
2
1
21
22. OTRAS RELACIONES FUNDAMENTALES
C
Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de
Pitágoras, tenemos:
b
2
c
2
a
2
Si dividimos la expresión anterior por
b
b2
2
b2
o por
c
b2
c
c2
b2
c2
2
a
b2
b
α
B
2
a
c2
c2
A
a2
c2
Expresándolo de otra forma:
1
cot g
2
1 cot g2
cos ec
cos ec 2
2
1
tg
1 tg2
2
sec
2
sec 2
22
23. R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º
Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno
va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo tanto
sen 90º = 1
Y
A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0
sen
Observa que al ir disminuyendo el
ángulo hasta 0º el seno va
disminuyendo, hasta llegar a ser 0,
mientras que el coseno va
aumentando hasta valer 1. Es decir,
P(x,y)
sen
sen
sen
cos 90º = 0
sen
sen 0º = 0
radio=1
O
cos
X
cos 0º = 1
23
24. Circunferencia goniométrica
1.
R.T. DE ÁNGULO CUALQUIERA
2.
VALORES Y SIGNO DEL SENO Y DEL COSENO DE UN
ÁNGULO
3.
VALORES Y SIGNO DE LA TANGENTE Y DE LA
COTANGENTE
4.
R.T. DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
5.
R.T. DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º
6.
R.T. DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360º
7.
R.T. DE ÁNGULOS OPUESTOS
25. CIRCUNFERENCIA
GONIOMÉTRICA
Trazamos una circunferencia de radio 1 y centro en el origen de un
sistema de coordenadas
Uno de los lados del ángulo
Y
deberá coincidir con el
semieje positivo de las x, el
vértice en el origen de
coordenadas y el otro lado
donde corresponda
a
O
1
X
A esta circunferencia donde
situaremos los ángulos la
llamaremos circunferencia
goniométrica.
25
26. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
UN ÁNGULO CUALQUIERA
Y
sen
ordenada
radio
y'
r
y
1
y
x
1
x
Q(x’,y’)
P(x,y)
cos
abscisa
radio
x'
r
a
O
1
r
X
tg
ordenada
abscisa
y'
x'
y
x
A partir de ahora trabajaremos
con la circunferencia de radio 1
(Circunferencia goniométrica)
26
27. SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO
CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.
Y1
B
cos
-1
A
b
g
a
cos
cos
cos
0
1
1 sen
1
X
1
1 cos
1
sen
O
sen
-1
sen
sen
El seno y el coseno de cualquier
ángulo toma valores mayores o
iguales a –1 y menores o iguales a 1
d
C
D
+ +
_ _
_ +
_ +
SIGNO DEL SENO
27
SIGNO DEL COSENO
-1
28. TANGENTE Y COTANGENTE DE UN ÁNGULO
CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.
cotg
Y
cotg
cotg
cotg
B
tg
A
b
a
1
d
La tangente y la
cotangente de un
ángulo puede tomar
cualquier valor .
D
tg
tg
O
C
tg
tg
g
X
cot g
_ +
_
+
TANGENTE Y
COTANGENTE
28
29. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 120º
Y1
A
A’
En la circunferencia goniométrica dibujamos
120º (quitamos 60º a 180º)
Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que
representan sus razones trigonométricas.
y
y
120º
60º
60º
-x
-1
O
cos120º
x
1
sec 120º
2
cos ec 120º
x
cos 60º
X
tg 120º
-1
3
2
sen 60º
sen120º y
2 3
3
y
x
y
x
cot g120º
1
2
3
tg 60º
3
3
29
30. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 135º
Y1
En la circunferencia goniométrica dibujamos
135º (quitamos 45º a 180º)
A’
A
45º
-1
y
135º
y
Dibujamos el ángulo de 45º y las
líneas que representan sus razones
trigonométricas.
45º
-x
O
x
cos135º
1
2
2
sen 45º
sen135º y
x
cos 45º
2
2
tg 45º
1
X
tg 135º
y
x
y
x
-1
sec 135º
2
cos ec 135º
2
cot g135º
1
30
31. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 150º
Y1
En la circunferencia goniométrica dibujamos
150º (quitamos 30º a 180º)
A’
A
150º
y
x
-x
O
cos150º
1
-1
sec 150º
cos ec 150º 2
x
cos 30º
3
2
tg 30º
3
3
X
tg 150º
2 3
3
1
2
sen 30º
sen150º y
y
30º
30º
-1
Dibujamos el ángulo de 30º y las
líneas que representan sus razones
trigonométricas.
y
x
y
x
cot g150º
3
31
32. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
a y 180º- a
ay
p-a
Y1
En la circunferencia goniométrica
dibujamos a y 180º- a
A
A’
180º-a
y
-x
-1
sen 180º
y
a
a
O
sen
y
x
cos 180º
1
cos
x
X
tg 180º
y
x
y
x
tg
-1
sen
sen
cos
cos
tg 180º
tg
32
33. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 210º
En la circunferencia goniométrica dibujamos
210º (añadimos 30º a 180º).
Y1
Dibujamos el ángulo de 30º y las líneas que
representan sus razones trigonométricas.
A
sen 210º
210º
y
sen 30º
x
cos 30º
y
cos 210º
30º
-1
-y
-x 30º
O
x
1
X
A’
tg 210º
y
x
y
x
tg 30º
1
2
3
2
3
3
-1
sec 210º
2 3
3
cos ec 210º
2
cot g 210º
3
33
34. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 225º
En la circunferencia goniométrica dibujamos
225º (añadimos 45º a 180º).
Y1
Dibujamos el ángulo de 45º y las líneas que
representan sus razones trigonométricas.
45º
-1
1
O
45º
2
2
2
2
y
cos 225º
225º
-x
sen 45º
sen 225º
x
cos 45º
y
x
tg 45º
1
cot g 225º 1
34
X
-y
tg 225º
y
x
-1
sec 225º
2
cos ec 225º
2
35. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 240º
Y1
En la circunferencia goniométrica dibujamos
240º (añadimos 60º a 180º).
Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que
representan sus razones trigonométricas.
sen 240º
240º
-1
1
O
X
cos 240º
tg 240º
-1
sec 240º
2
cos ec 240º
2 3
3
3
2
sen 60º
1
2
cos 60º
3
tg 60º
cot g 240º
3
3
35
36. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º
a y 180º+ a
ay
p+a
Y1
En la circunferencia goniométrica
dibujamos a y 180º+a
A
sen 180º
sen
cos 180º
180º+a
y
x
cos
y
-1
-y
-x
a
a
O
x
1
X
A’
y
x
tg 180º
y
x
tg
-1
sen
sen
cos
cos
tg
tg
36
37. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 300º
Y1
En la circunferencia goniométrica
dibujamos 300º (quitamos 60º a 360º).
sen 300º
-1
1
O
3
2
cos 300º
300º
sen 60º
cos 60º
1
2
X
tg 300º
-1
sec 300º 2
cos ec 300º
2 3
3
3
tg 60º
cot g 300º
3
3
37
38. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 315º
Y1
En la circunferencia goniométrica
dibujamos 315º (quitamos 45º a
360º).
sen 315º
cos 315º
2
2
2
2
sen 45º
cos 45º
315º
-1
1
O
X
tg 315º
tg 45º
1
cot g 315º
1
-1
sec 315º
2
cos ec 315º
2
38
39. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 330º
(las mismas que las de –30º)
Y1
En la circunferencia goniométrica
dibujamos 330º (quitamos 30º a
360º).
sen 330º
cos 330º
1
O
sec 330º
2 3
3
cos 30º
tg 330º
-1
1
2
3
2
sen 30º
tg 30º
X
3
3
-1
cos ec 330º
2
cot g 330º
3
39
40. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS QUE SUMAN 360º
a y 360º-a
a y 2 p-a
Y1
En la circunferencia goniométrica
dibujamos a y 360º- a
A
360º-a
-1
y
sen
x
sen 360º
cos
y
O
a
a
x
cos 360º
1
X
-y
A’
y
x
tg 360º
y
x
tg
-1
sen 2
sen
cos 2
cos
tg 2
tg
40
41. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
OPUESTOS
ay -a
Y1
En la circunferencia
goniométrica dibujamos a y - a
A
y
sen
x
sen
cos
y
-1
O
a
-a
x
cos
1
-y X
A’
y
x
tg
y
x
tg
-1
sen
sen
cos
cos
tg
tg
41
42. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE UN ÁNGULO MAYOR DE
UNA CIRCUNFERENCIA
Y1
360º k,
2k ,
k
k
Las razones trigonométricas de un
ángulo mayor que una circunferencia
( a+360ºk, donde k es un número
entero) son las mismas que las del
ángulo a
2p+
A
sen 2
sen
cos 2
cos
y
a
-1
O
x
1
X
tg 2
tg
-1
sen 360º
sen
cos 360º
cos
tg 360º
tg
42
43. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 270º
a y 270º+a
y
Y1
3
2
En la circunferencia goniométrica
dibujamos a y 270º+ a
A
270º+a
O
y
x
-x
3
sen
2
cos
y
sen
y
a
-1
x
sen 270º
-1
cos
cos 270º
1
X
x
y
tg 270º
x
y
cot g
A’
cos
3
2
sen
tg
3
2
cot g
43
44. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Y1
a y 90º - a
y
2
A’
En la circunferencia goniométrica
dibujamos a y 90º- a
x
A
-1
O
cos
y
sen
y
a
y
x
cos 90º
90º-a
sen 90º
x
1
X
x
y
tg 90º
cot g
-1
sen
2
cos
cos
2
sen
tg
2
cot g
44
45. SENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el seno
va creciendo, de 0 a 1.
Y
sen 0º = 0
1
sen 90º = 1
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el seno
va decreciendo, de 1 a 0.
sen 180º = 0
-1
O
1X
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el seno
va decreciendo, de 0 a -1.
sen 270º = -1
-1
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el seno va creciendo, de -1 a 0.
sen 360º = 0
45
46. COSENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º
el coseno va decreciendo, de 1 a 0.
Y
cosen 0º = 1
1
cosen 90º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el
coseno va decreciendo, de 0 a -1.
cosen 180º = -1
-1
O
1X
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el
coseno va creciendo, de -1 a 0.
cosen 270º = 0
-1
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de 0 a 1.
cosen 360º = 1
46
47. TANGENTE DE 0º , 90º,180º, 270º y
360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º
a 90º la tangente va decreciendo, de 0 a + ∞.
Y
tg 0º = 0
1
tg 90º
+ ∞.
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la
tangente va creciendo, de - ∞. a 0.
tg 90º
-1
O
1X
-∞
tg 180º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el
tangente va creciendo, de 0 a +∞. .
tg 270º
-1
+ ∞.
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el
coseno va creciendo, de - ∞ a 0.
tg 270º
-∞
tg 360º = 0
47
48. COTANGENTE DE 0º , 90º,180º,
270º y 360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º
la cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0
+∞
cotg 0º
Y
cotg 90º =0
1
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la
cotangente va creciendo, de 0 a - ∞
cotg 180º
-1
O
-1
1X
-∞
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º
la cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0
cotg 180º
+∞
cotg 270º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º la cotangente va decreciendo, de
0a-∞
cotg 360º
-∞
48
49. VALORES Y SIGNO QUE TOMAN LAS RAZONES
TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO
1 sen
1
cos ec
1 cos
1
sec
SIGNO DEL SENO Y
DE LA COSECANTE
1
cos ec
sec
1
1
cot g
tg
+ +
_ _
1
_ +
_ +
SIGNO DEL COSENO
Y DE LA SECANTE
_ +
_
+
SIGNO DE LA
TANGENTE Y
COTANGENTE
49
64. INTRODUCCIÓN
Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.
En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer
cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible
medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.
El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el
teodolito.
Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún
ángulo- , podremos determinar los restantes.
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la
altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia
sombra medía tanto como su estatura
64
65. 1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA
Y DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS
2. R.T. DEL ÁNGULO DOBLE.
3. R.T. DEL ÁNGULO MITAD
4. TEOREMA DEL SENO
5. TEOREMA DEL COSENO
6. ÁREA DE UN TRIÁNGULO. FÓRMULA DE
HERON
66. SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
B
M
Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b.
Trazamos AB perpendicular a OA y obtenemos el
triángulo rectángulo OAB.
Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB.
Trazamos MN y BM.
Y
BP
OB
sen
AM AN
OB
AB cos
A
O
P
N
sen
OB sen
cos
OA sen
OB
OB cos
OB
sen
X
sen
cos
cos
sen
66
67. COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
B
M
Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b.
Trazamos AB perpendicular a OA y y obtenemos el
triángulo rectángulo OAB.
Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB.
Trazamos MN y BM.
Y
OP
OB
cos
ON NP
OB
OA cos
A
OB cos
O
P
N
ON BM
OB
AB sen
OB
cos
OB sen
OB
sen
X
cos
cos
cos
sen
sen
67
68. COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
(otra forma de deducir la fórmula)
cos
sen
sen
sen
2
cos
cos
cos
cos
2
cos
2
cos
cos
sen
cos
sen
sen
cos
2
2
sen
sen
sen
sen
sen
68
69. TANGENTE DE LA SUMA DE DOS
ÁNGULOS
tg
Simplificando
sen
cos
sen
cos
cos
cos
sen
cos
tg
sen
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
sen
cos
sen
cos
sen
sen
cos
sen
cos
sen
sen
Si dividimos numerador
y denominador por
cosa.cosb
tg
tg
1 tg tg
cos
cos
sen
cos cos
tg
tg
1 tg tg
sen
sen
69
70. R.T. DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)
sen
sen
cos
cos
sen
1
sen
cos
sen
cos
sen
sen
cos
cos
sen
cos
tg
sen
sen
cos
cos
sen
tg
tg
1 tg tg
sen
cos
cos
tg
cos
cos
cos
sen
sen
tg
tg
1 tg
tg
tg
tg
1 tg tg
70
71. R.T. DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS
ÁNGULOS
sen
sen
cos
cos
sen
sen
sen
cos
cos
sen
cos
cos
cos
sen
sen
cos
cos
cos
sen
sen
tg
tg
tg
tg
1 tg tg
tg
tg
1 tg tg
71
72. R.T. DEL ÁNGULO DOBLE
(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)
sen 2
sen
sen
cos
cos
sen
2 sen
cos
cos 2
cos
cos
cos
sen
sen
cos2
sen2
tg 2
tg
tg
1 tg tg
tg
sen 2
cos 2
tg 2
2tg
1 tg2
2 sen cos
cos2
sen2
2tg
1 tg2
72
73. R.T. DEL ÁNGULO MITAD
(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. Del ángulo doble)
cos 2
cos2
sen2
2sen2
sen
cos 2
2
cos2
cos
sen
2
cos
2
1 cos 2
1 cos 2
2
sen2
2 cos2
2
1 cos
2
1 cos
2
1 sen2
sen
cos2
1 cos 2
1 cos 2
2
tg
2
sen2
1 cos2
cos
1 cos
1 cos
tg
1 2sen2
1 cos 2
2
2 cos2
1
1 cos 2
2
1 cos 2
1 cos 2
73
75. TEOREMA
DEL SENO
Los lados de un triángulo son proporcionales a
a
b
c
los senos de los
ˆ
ˆ
ˆ
ángulos opuestos.
sen A sen B sen C
El Teorema del seno sirve para relacionar los
lados de un triángulo con los ángulos opuestos.
C
Consideremos un triángulo ABC.
Trazamos la altura correspondiente al vértice C.
Los triángulos AHC y BHC son rectángulos.
Entonces:
hC
hC
ˆ
b sen A
ˆ
a sen B
ˆ
b sen A
a
ˆ
sen A
b
ˆ
a sen B
hC
b
ˆ
sen B
hA
A
c
Del mismo modo, si trazamos la altura
correspondiente al vértice A:
hA
hA
ˆ
b sen C
ˆ
c sen B
ˆ
b sen C
a
ˆ
c sen B
b
ˆ
sen B
H
B
c
ˆ
sen C
75
76. Medida de los ángulos en una
circunferencia
Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente
A
180º-
180º-
B
C
360º-(180º180º360º - 360º +
76
77. Medida de los ángulos en una
circunferencia
Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia,
son iguales
90º
180º
Todos los ángulos
inscritos que abarcan
un
diámetro,
son
rectos.
77
78. Consecuencia del TEOREMA DEL SENO
a
ˆ
sen A
b
ˆ
sen B
c
ˆ
sen C
2R
Consideremos un triángulo ABC y R el radio de la
circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
A
B
a
Trazamos el diámetro CA’ y unimos A’ con
B. El triángulo A’BC es rectángulo (Todo
ángulo que abarca un diámetro es recto).
a
ˆ
sen A'
2R
sen 90º
2R
1
A’
C
2R
Los ángulos A y A’ son iguales (Todos los ángulos inscritos que abarcan
el mismo arco son iguales). Luego:
a
ˆ
sen A
a
ˆ
sen A '
2R
La constante de proporcionalidad entre los lados de un triángulo
y los senos de los ángulos opuestos es igual al diámetro de la
circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
78
79. Consecuencia del TEOREMA DEL SENO
Área de un triángulo
La superficie del triángulo ABC es:
S
1
c hc
2
C
En el triángulo AHC :
ˆ
sen A
hC
b
ˆ
hC b sen A
b
a
hC
Sustituyendo en la primera expresión:
S
1
ˆ
c b sen A
2
A
c
H
B
79
80. Consecuencia del TEOREMA DEL SENO
Área de un triángulo
Sea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de radio R.
La superficie del triángulo ABC es:
1
ˆ
c b sen A
2
S
C
Por el Teorema del seno :
a
ˆ
sen A
2R
ˆ
sen A
a
2R
S
a
R
Sustituyendo en la primera expresión:
1
a
c b
2
2R
b
S
A
c
B
a b c
4R
80
81. TEOREMA DEL
COSENO
El cuadrado de un lado es igual a la suma
de los cuadrados de los otros dos lados
menos el doble producto de estos lados por
el coseno del ángulo correspondiente
Aplicando el Tª de Pitágoras en el triángulo BHC:
a2
h2
c m
C
2
h2 c 2 2cm m2
(en AHC)
b
a
h
b
2
2
m
c
2
2cm m
2
b2 m2 c 2 2cm m2
b2 c 2 2cm
(Como en AHC
m = b . cos A)
Análogamente (trazando las
otras alturas) obtendríamos:
m
A
c-m
c
H
b2
ˆ
b2 c 2 2 b c cos A
ˆ
a2 c 2 2 a c cos B
c2
ˆ
a2 b2 2 a b cos C
B
a2
81
82. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO
Clasificación de triángulos
En un triángulo ABC, el Tª del coseno dice que:
ˆ
b2 c 2 2 b c cos A
a2
C
b
a
Si A < 90º
B
cos A >0
a2
b2 c 2
A
c
C
b
A
a
Si A = 90º
cos A = 0
a2
b2 c 2
( Teorema de Pitágoras )
c
B
a
Si A > 90º
C
cos A < 0
a2
b
b2 c 2
B
c
A
82
83. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO
Área de un triángulo. Fórmula de Herón
S
La superficie del triángulo ABC es:
ˆ
2S c b sen A
4S2
1
ˆ
c b sen A
2
ˆ
c 2 b2 sen2 A
ˆ
c 2 b2 1 cos2 A
2
2
2 2
b c a
2
2
2
2
2 ˆ
c 2 b2 c 2 b2
c b c b cos A
4 b2 c 2
2
2
2
2
2 2
C
4 c b
b c a
4
2bc b2
b c
2
c 2 a2 2bc b2 c 2
4
2
a a
4
2
b c
2
a2
b
hC
a
A
B
c
H
Por el Tª del coseno
ˆ
cos A
b2
c 2 a2
2b c
83
84. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO
Área de un triángulo. Fórmula de Herón
La superficie del triángulo ABC es:
ˆ
2S c b sen A
ˆ
4S2 c 2 b2 sen2 A
...
1
ˆ
S
c b sen A
2
2
b c
a2 a2 b c
4
C
2
b
b c a b c a a b c a b c
4
2p 2 p a 2 p c 2 p b
4
4p p a
S2
p p a
Si a+b+c=2p
p c
p c
p b
p b
S
(p será el semiperímetro)
A
a
hC
c
B
H
FÓRMULA
DE HERÓN
p p a
p b
b+c-a=2p-2a=2(p-a)
p c
....
84
85. Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones
entre los lados y los ángulos de un triángulo.
La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se
puede acceder directamente.
Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene
aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el
estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el
flujo de la corriente alterna,...
La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y
se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A partir
del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los
conocimientos descubiertos por griegos e hindúes.
La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en
Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el
escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac
Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos.
85
