A dissertação discute uma nova abordagem para o tipo identidade baseada em caminhos computacionais. Provou-se que os caminhos computacionais induzem uma bicategoria fracamente, denominada [2-Arw], que é uma 2-grupóide fraca, compatível com resultados anteriores sobre o tipo identidade. A nova abordagem pode induzir categorias de ordem maior, eventualmente alcançando uma categoria com infinitos níveis de tipo identidade.

1. Tipo Identidade Como o Tipo de
Caminhos Computacionais
Defesa de Dissertação
Aluno: Arthur Freitas Ramos
Orientador: Ruy de Queiroz
Avaliadores: Rafael Dueire Lins
Edward Hermann Haeusler

2. Motivação
• Matemática cada vez mais abstrata e complexa: necessidade de
verificadores de prova
• ZFC: Não construtiva e extensional
• Teoria dos Tipos: Tipo Identidade como ponte entre computação e
matemática
• Abordagem mais intuitiva para o tipo identidade proposta por Ruy de
Queiroz e Anjolina de Oliveira em 2011.

3. Teoria dos Tipos
• Teoria construtiva proposta por Martin-Löf em 1971
• Utilizada em verificadores automáticos de provas matemáticas
• Tipo como entidade básica
• Notação básica: a : A
• Exemplos: 2 : ℕ, 2 : épar(2)
• Família de tipos: épar

4. Igualdade proposicional vs definicional
• Definicional: f(x) ≡ x², f(3) ≡ 3²
• f(3) ≡ 9?
• Proposicional: Evidência p estabelece (f(3) ≡ 3²) =p 9 : ℕ
• Evidência p é elemento de um tipo conhecido como tipo identidade.
Notação: p : Idℕ (3²,9).

5. Tipo Identidade Intensional
• Tipo das evidências p que servem como prova de igualdade proposicional entre
dois objetos do mesmo tipo
• Conexão com a matemática: ligação do extensional com o intensional
• Teoria Homotópica dos Tipos: conexão semântica com a homotopia (caminhos)
• HOFMANN - STREICHER 1994: Estrutura de Grupóide refuta princípio da
unicidade de provas da igualdade
• LUMSDAINE 2009: Estrutura de fraca

6. Tipo Identidade: Construção Formal

7. Tipo Identidade: Nova Abordagem
• Proposto por Anjolina de Oliveira e Ruy de Queiroz em 2011
• Objetivo de ser mais intuitiva que a abordagem clássica
• Baseada em Caminhos Computacionais, entidade proposta por Gabbay e
Ruy de Queiroz em 1994
• Caminhos como estrutura sintática: Cálculo (ou álgebra) de caminhos
• Principais objetivos: Detalhar essa nova abordagem e que o novo tipo
identidade também induz uma estrutura de grupóide

8. Beta Igualdade
• Dado termos P e Q do diz-se que se:
• Redução :
• Reduçao juntamente com : Teoria da

9. Teoria da Lambda-Beta-Eta Igualdade
• Axiomas:
• Regras de inferência:

10. Caminhos Computacionais
• Composição de axiomas e regras de inferência s que estabelecem a
igualdade proposicional entre dois termos a : A e b : A
• Notação: a =s b : A
• Composição feita através da regra de transitividade

11. Caminhos Computacionais: Exemplo
• Caminho entre e :
De obtemos o caminho
De obtemos o caminho
Para obtermos o caminho completo entre e , basta
concatenar os dois caminhos usando a transitividade, obtém-se:

12. Tipo Identidade como o Tipo de Caminhos
Computacionais: Formalização

13. Tipo Identidade como o Tipo de Caminhos
Computacionais: Formalização

14. Exemplo de Uso: Simetria
• Construção de :

15. Exemplo de uso: Transitividade
• Construção de :

16. Sistema de Reescrita de Termos – LNDEQ-TRS
• Reduções entre caminhos diferentes
• Exemplos básicos: e ; e
• Anjolina (1994) e Ruy & Anjolina (2011): Sistema de Reescrita de
termos – LNDEQ-TRS
• Total de 39 regras de redundância – 7 relevantes no presente trabalho

17. Redundâncias envolvendo simetria e
reflexividade
• Regras obtidas:

18. Redundâncias envolvendo transitividade
• Regras obtidas:

19. Redundâncias envolvendo transitividade
• Regra Obtida:

20. Igualdade rw
• Cada regra de LNDEQ-TRS é chamada de regra rw (rw – reescrita)
• De s para t em 1 regra:
• De s para t em várias regras:
• Igualdade rw s =rw t: sequência R0, ....., Rn ,com tal que:
• Igualdade rw é relação de equivalência (é o fecho simétrico, reflexivo
e transitivo)

21. LNDRW-TRS2 – Redundâncias de caminhos de
caminhos
• Redundâncias causadas pela igualdade rw
• Possui uma versão para todas as reduções já vistas anteriormente.
• Exemplo:

22. Igualdade rw2
• Igualdade rw2: semelhante à igualdade rw
• Rw2 é classe de equivalência (análogo a rw)
• Regra especial cd2:

23. Categoria Arw Induzida por Caminhos
Computacionais
• Objetos: termos a: A
• Morfismos: Caminhos s entre objetos a,b: A. sse a =s b
• Composição:
• Identidade:
• Categoria Fraca: Igualdade apenas a nível de igualdade rw
• Associatividade:
• Leis de identidade:

24. ARW é grupóide fraca
• Provar que toda seta é isomorfismo
• Basta provar que todo morfismo s tem inversa t
• Faça :

25. Estrutura de segunda ordem: 2 - Arw
• Categoria A2rw(a,b) para cada par de objetos de Arw
• Objetos de A2rw(a,b) são caminhos s: a =s b e morfismos entre
caminhos s, r são o conjunto de igualdades rw s =rw r
• Associatividade e transitividade sustentadas fracamente a partir das
regras rw2 (análogo a Arw)
• Considerando classes de equivalência de rw2, igualdade se sustenta
estritamente no segundo nível. Estrutura [2 – Arw]
• [2 – Arw] forma uma bicategoria? E uma 2-grupóide fraca?

26. Bicategoria
• Composição horizontal
• Associatividade e identidade da composição horizontal
• Lei da troca
• Leis de coerência: Pentágono e triângulo de Mac Lane

27. [2 – Arw] é uma bicategoria
• Composição horizontal :
Dados:
Definimos:

28. [2 – Arw] é uma bicategoria
• Associatividade assoc de : Isomorfismo natural entre
Dado por isomorfismo entre cada componente:
• Identidade :
Basta checar cada componente:
Análogo para : basta usar trr

29. [2 – Arw] é uma bicategoria
• Lei da troca:

30. [2 – Arw] é uma bicategoria
• Leis de coerência:

31. [2 – Arw]: Resultados
• Provado que [2 – Arw] é bicategoria
• De [2 – Arw] ser uma bicategoria, A2rw grupóide fraca e Arw grupóide,
conclui-se que [2 – Arw] é uma 2-grupóide fraca
• Possível pensar em categorias fracas com maior número de níveis.
Eventualmente alcançando uma categoria com infinitos níveis, a
fraca

32. Conclusão
• Teoria dos tipos importante como fundamento para computação e
matemática
• Tipo identidade como entidade central da teoria dos tipos
• Nova abordagem para o tipo identidade baseada em caminhos
computacionais
• Grupóide induzida a partir de caminhos computacionais
• Categorias de alta ordem induzidas por caminhos computacionais
• Resultados compatíveis com os obtidos por Hofmann-Streicher para o
tipo identidade tradicional

33. Trabalhos Futuros
• Mapeamento de todas as regras rw2
• Estudo de possíveis categorias induzidas de ordem maior que 2
• Obter, para o tipo identidade baseado em caminhos, resultados
semelhantes ao obtidos por Lumsdaine. Ou seja, mostrar que é
possível induzir uma fraca