Tipo identidade como o tipo de caminhos computacionais

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Defesa para obtenção do grau de mestre em Ciência da Computação - UFPE 2015.

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Tipo identidade como o tipo de caminhos computacionais

  1. 1. Tipo Identidade Como o Tipo de Caminhos Computacionais Defesa de Dissertação Aluno: Arthur Freitas Ramos Orientador: Ruy de Queiroz Avaliadores: Rafael Dueire Lins Edward Hermann Haeusler
  2. 2. Motivação • Matemática cada vez mais abstrata e complexa: necessidade de verificadores de prova • ZFC: Não construtiva e extensional • Teoria dos Tipos: Tipo Identidade como ponte entre computação e matemática • Abordagem mais intuitiva para o tipo identidade proposta por Ruy de Queiroz e Anjolina de Oliveira em 2011.
  3. 3. Teoria dos Tipos • Teoria construtiva proposta por Martin-Löf em 1971 • Utilizada em verificadores automáticos de provas matemáticas • Tipo como entidade básica • Notação básica: a : A • Exemplos: 2 : ℕ, 2 : épar(2) • Família de tipos: épar
  4. 4. Igualdade proposicional vs definicional • Definicional: f(x) ≡ x², f(3) ≡ 3² • f(3) ≡ 9? • Proposicional: Evidência p estabelece (f(3) ≡ 3²) =p 9 : ℕ • Evidência p é elemento de um tipo conhecido como tipo identidade. Notação: p : Idℕ (3²,9).
  5. 5. Tipo Identidade Intensional • Tipo das evidências p que servem como prova de igualdade proposicional entre dois objetos do mesmo tipo • Conexão com a matemática: ligação do extensional com o intensional • Teoria Homotópica dos Tipos: conexão semântica com a homotopia (caminhos) • HOFMANN - STREICHER 1994: Estrutura de Grupóide refuta princípio da unicidade de provas da igualdade • LUMSDAINE 2009: Estrutura de fraca
  6. 6. Tipo Identidade: Construção Formal
  7. 7. Tipo Identidade: Nova Abordagem • Proposto por Anjolina de Oliveira e Ruy de Queiroz em 2011 • Objetivo de ser mais intuitiva que a abordagem clássica • Baseada em Caminhos Computacionais, entidade proposta por Gabbay e Ruy de Queiroz em 1994 • Caminhos como estrutura sintática: Cálculo (ou álgebra) de caminhos • Principais objetivos: Detalhar essa nova abordagem e que o novo tipo identidade também induz uma estrutura de grupóide
  8. 8. Beta Igualdade • Dado termos P e Q do diz-se que se: • Redução : • Reduçao juntamente com : Teoria da
  9. 9. Teoria da Lambda-Beta-Eta Igualdade • Axiomas: • Regras de inferência:
  10. 10. Caminhos Computacionais • Composição de axiomas e regras de inferência s que estabelecem a igualdade proposicional entre dois termos a : A e b : A • Notação: a =s b : A • Composição feita através da regra de transitividade
  11. 11. Caminhos Computacionais: Exemplo • Caminho entre e : De obtemos o caminho De obtemos o caminho Para obtermos o caminho completo entre e , basta concatenar os dois caminhos usando a transitividade, obtém-se:
  12. 12. Tipo Identidade como o Tipo de Caminhos Computacionais: Formalização
  13. 13. Tipo Identidade como o Tipo de Caminhos Computacionais: Formalização
  14. 14. Exemplo de Uso: Simetria • Construção de :
  15. 15. Exemplo de uso: Transitividade • Construção de :
  16. 16. Sistema de Reescrita de Termos – LNDEQ-TRS • Reduções entre caminhos diferentes • Exemplos básicos: e ; e • Anjolina (1994) e Ruy & Anjolina (2011): Sistema de Reescrita de termos – LNDEQ-TRS • Total de 39 regras de redundância – 7 relevantes no presente trabalho
  17. 17. Redundâncias envolvendo simetria e reflexividade • Regras obtidas:
  18. 18. Redundâncias envolvendo transitividade • Regras obtidas:
  19. 19. Redundâncias envolvendo transitividade • Regra Obtida:
  20. 20. Igualdade rw • Cada regra de LNDEQ-TRS é chamada de regra rw (rw – reescrita) • De s para t em 1 regra: • De s para t em várias regras: • Igualdade rw s =rw t: sequência R0, ....., Rn ,com tal que: • Igualdade rw é relação de equivalência (é o fecho simétrico, reflexivo e transitivo)
  21. 21. LNDRW-TRS2 – Redundâncias de caminhos de caminhos • Redundâncias causadas pela igualdade rw • Possui uma versão para todas as reduções já vistas anteriormente. • Exemplo:
  22. 22. Igualdade rw2 • Igualdade rw2: semelhante à igualdade rw • Rw2 é classe de equivalência (análogo a rw) • Regra especial cd2:
  23. 23. Categoria Arw Induzida por Caminhos Computacionais • Objetos: termos a: A • Morfismos: Caminhos s entre objetos a,b: A. sse a =s b • Composição: • Identidade: • Categoria Fraca: Igualdade apenas a nível de igualdade rw • Associatividade: • Leis de identidade:
  24. 24. ARW é grupóide fraca • Provar que toda seta é isomorfismo • Basta provar que todo morfismo s tem inversa t • Faça :
  25. 25. Estrutura de segunda ordem: 2 - Arw • Categoria A2rw(a,b) para cada par de objetos de Arw • Objetos de A2rw(a,b) são caminhos s: a =s b e morfismos entre caminhos s, r são o conjunto de igualdades rw s =rw r • Associatividade e transitividade sustentadas fracamente a partir das regras rw2 (análogo a Arw) • Considerando classes de equivalência de rw2, igualdade se sustenta estritamente no segundo nível. Estrutura [2 – Arw] • [2 – Arw] forma uma bicategoria? E uma 2-grupóide fraca?
  26. 26. Bicategoria • Composição horizontal • Associatividade e identidade da composição horizontal • Lei da troca • Leis de coerência: Pentágono e triângulo de Mac Lane
  27. 27. [2 – Arw] é uma bicategoria • Composição horizontal : Dados: Definimos:
  28. 28. [2 – Arw] é uma bicategoria • Associatividade assoc de : Isomorfismo natural entre Dado por isomorfismo entre cada componente: • Identidade : Basta checar cada componente: Análogo para : basta usar trr
  29. 29. [2 – Arw] é uma bicategoria • Lei da troca:
  30. 30. [2 – Arw] é uma bicategoria • Leis de coerência:
  31. 31. [2 – Arw]: Resultados • Provado que [2 – Arw] é bicategoria • De [2 – Arw] ser uma bicategoria, A2rw grupóide fraca e Arw grupóide, conclui-se que [2 – Arw] é uma 2-grupóide fraca • Possível pensar em categorias fracas com maior número de níveis. Eventualmente alcançando uma categoria com infinitos níveis, a fraca
  32. 32. Conclusão • Teoria dos tipos importante como fundamento para computação e matemática • Tipo identidade como entidade central da teoria dos tipos • Nova abordagem para o tipo identidade baseada em caminhos computacionais • Grupóide induzida a partir de caminhos computacionais • Categorias de alta ordem induzidas por caminhos computacionais • Resultados compatíveis com os obtidos por Hofmann-Streicher para o tipo identidade tradicional
  33. 33. Trabalhos Futuros • Mapeamento de todas as regras rw2 • Estudo de possíveis categorias induzidas de ordem maior que 2 • Obter, para o tipo identidade baseado em caminhos, resultados semelhantes ao obtidos por Lumsdaine. Ou seja, mostrar que é possível induzir uma fraca

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