طبعة جديدة ومنقحة حل تمارين الكتاب شرح المواضيع الرياضية بالتفصيل وبأسلوب واضح ومفهوم لجميع المستويات حلول الاسألة الوزارية اعداد الدكتور أنس ذياب خلف email: anasdhyiab@gmail.com

1. ‫العلمي‬ ‫السادس‬ ‫للصف‬
–
‫الأحيائي‬
‫ال‬ ‫الفصل‬
‫ثاني‬
‫المخروطية‬ ‫القطوع‬
‫داد‬‫ع‬‫ا‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
2021 - 2022

3. CONIC SECTIONS 1
‫المخروطية‬ ‫القطوع‬
‫من‬ ‫انواع‬ ‫ثالثة‬ ‫فيتكون‬ ‫مختلفة‬ ‫بمسنويات‬ ‫قائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫سطح‬ ‫قطع‬ ‫من‬ ‫المخروطية‬ ‫القطوع‬ ‫تتكون‬
: ‫القطوع‬

. ‫مولداته‬ ‫الحد‬ ‫مواز‬ ‫بمستو‬ ‫المخروط‬ ‫قطع‬ ‫من‬ ‫ويتكون‬ : ‫المكافئ‬ ‫القطع‬

‫المخروط‬ ‫قطع‬ ‫من‬ ‫ويتكون‬ : ‫الناقص‬ ‫القطع‬
. ‫مولداته‬ ‫احد‬ ‫وال‬ ‫قاعدته‬ ‫يوازي‬ ‫ال‬ ‫بمستو‬

. ‫القائم‬ ‫المخروط‬ ‫محور‬ ‫يوازي‬ ‫بمستو‬ ‫المخروط‬ ‫قطع‬ ‫من‬ ‫ويتكون‬ : ‫الزائد‬ ‫القطع‬
: ‫المخروطي‬ ‫للقطع‬ ‫العامة‬ ‫المعادلة‬
(𝒙 − 𝒙𝟏)𝟐
+ (𝒚 − 𝒚𝟏)𝟐
= 𝒆𝟐
.
|𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄|
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
‫حيث‬
e
. ‫للقطع‬ ‫المركزي‬ ‫االختالف‬ ‫هي‬

‫ببؤره‬ ‫ويحدد‬ ‫الخاصة‬ ‫معادلته‬ ‫القطوع‬ ‫انواع‬ ‫من‬ ‫نوع‬ ‫ولكل‬
) ‫ببؤرتين‬ ‫(أو‬
.
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ :‫أوال‬
: ‫حاالت‬ ‫اربعة‬ ‫وله‬

‫تنتمي‬ ‫وبؤرته‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫السينات‬ ‫لمحور‬
‫الموجب‬
: ‫هي‬
𝒚𝟐
= 𝟒𝒑𝒙, ∀𝒑 > 𝟎

‫الدليل‬ ‫معادلة‬
:
𝒙 = −𝒑

: ‫البؤره‬
𝑭(𝒑, 𝟎)

4. CONIC SECTIONS 2

‫وبؤرته‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫لمحور‬ ‫تنتمي‬
‫السالب‬ ‫السينات‬
: ‫هي‬
𝒚𝟐
= − 𝟒𝒑𝒙, ∀𝒑 > 𝟎

: ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
𝒙 = 𝒑

: ‫البؤره‬
𝑭(−𝒑, 𝟎)

‫وبؤرته‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫تنتمي‬
‫الصادات‬ ‫لمحور‬
‫الموجب‬
: ‫هي‬
𝒙𝟐
= 𝟒𝒑𝒚, ∀𝒑 > 𝟎

: ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
𝒚 = −𝒑

: ‫البؤره‬
𝑭(𝟎, 𝒑)

‫وبؤرته‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫تنتمي‬
‫الصادات‬ ‫لمحور‬
‫السالب‬
: ‫هي‬
𝒙𝟐
= −𝟒𝒑𝒚, ∀𝒑 > 𝟎

: ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
𝒚 = 𝒑

: ‫البؤره‬
𝑭(𝟎, −𝒑)

5. CONIC SECTIONS 3
:‫مثال‬
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البؤرة‬ ‫جد‬
𝒚𝟐
= 𝟒𝒙
𝑦2
= 4𝑥
𝑦2
= 4𝑝𝑥
⇒ 4𝑝𝑥 = 4𝑥 ⇒ 4𝑝 = 4 ⇒ 𝑝 =
4
4
= 1
∴ 𝐹(𝑝, 0) = 𝐹(1,0) ‫البؤره‬
𝑦 = −𝑝 ⇒ 𝑦 = −1 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
===========================================================
:‫مثال‬
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البؤرة‬ ‫جد‬
𝒚𝟐
= −𝟖𝒙
.
𝑦2
= −8𝑥
𝑦2
= −4𝑝𝑥
⇒ −4𝑝𝑥 = −8𝑥 ⇒ 4𝑝 = 8 ⇒ 𝑝 =
8
4
= 2
∴ 𝐹(−𝑝, 0) = 𝐹(−2,0) ‫البؤره‬
𝑦 = 𝑝 ⇒ 𝑦 = 2 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
===========================================================
:‫مثال‬
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البؤرة‬ ‫جد‬
𝒚𝟐
= −𝟒𝒙
. ‫ارسمه‬ ‫ثم‬
𝑦2
= −4𝑥
𝑦2
= −4𝑝𝑥
⇒ −4𝑝𝑥 = −4𝑥 ⇒ −4𝑝 = −4
⇒ 𝑝 =
−4
−4
= 1
𝑥 = 1 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
∴ 𝐹(−𝑝, 0) = 𝐹(−1,0) ‫البؤره‬

‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫من‬ ‫المسائل‬ ‫لحل‬
‫بمقارنة‬ ‫نقوم‬
‫السؤال‬ ‫في‬ ‫المعطاة‬ ‫المعادلة‬
‫القي‬ ‫بالمعادلة‬
‫اسية‬
‫ونستخرج‬ ‫للقطع‬
p
. ‫والدليل‬ ‫البؤرة‬ ‫نكتب‬ ‫ثم‬

‫اشارة‬
‫الدليل‬ ‫اشارة‬ ‫عكس‬ ‫دائما‬ ‫البؤرة‬
.
‫بالمقارنة‬
‫بالمقارنة‬
‫بالمقارنة‬

6. CONIC SECTIONS 4
‫م‬
:‫ثال‬
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البؤرة‬ ‫جد‬
𝒚𝟐
= 𝟒𝒙
. ‫ارسمه‬ ‫ثم‬
𝑦2
= 4𝑥
𝑦2
= 4𝑝𝑥
⇒ 4𝑝𝑥 = 4𝑥 ⇒ 4𝑝 = 4 ⇒ 𝑝 =
4
4
= 1
𝑥 = 1 ‫معادلة‬
‫الدليل‬
∴ 𝐹(𝑝, 0) = 𝐹(1,0) ‫البؤره‬
𝑦2
= 4𝑥 ⇒ 𝑦 = ±2√𝑥
===========================================================
:‫مثال‬
: ‫علم‬ ‫اذا‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
‫أ‬
)
( ‫بؤرته‬
0
,
3
.‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬ )
𝐹(𝑝, 0) = 𝐹(3,0)
⇒ 𝑝 = 3
𝑦2
= 4𝑝𝑥 ⇒ 𝑦2
= 4(3)𝑥 ⇒ 𝒚𝟐
= 𝟏𝟐𝒙
‫ب‬
)
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
𝟐𝒙 − 𝟔 = 𝟎
. ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬
2𝑥 − 6 = 0
2𝑥 = 6 ⇒ 𝑥 =
6
2
= 3
∴ 𝑥 = 3 ⇒ 𝑝 = 3
𝑦2
= −4𝑝𝑥 = −4(3)𝑥 = −12𝑥
𝑥 1 2
𝑦
= ±2√𝑥
±2 ±2√2
‫بالمقارنة‬

7. CONIC SECTIONS 5
‫تمرين‬
2
/
b
:
: ‫المكافئ‬ ‫للقطع‬ ‫والدليل‬ ‫المحور‬ ‫ومعادلتي‬ ‫والرأس‬ ‫البؤره‬ ‫جد‬
2𝑥 + 16𝑦2
= 0
2𝑥 + 16𝑦2
= 0 ⇒ 16𝑦2
= −2𝑥 ⇒ 𝑦2
= −
1
8
𝑥
𝑦2
= −
1
8
𝑥
𝑦2
= −4𝑝𝑥
⇒ −
1
8
𝑥 = −4𝑝𝑥 ⇒ −
1
8
= −4𝑝 ⇒ 𝑝 =
1
32
𝑥 = 𝑝 ⇒ 𝑥 =
1
32
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
∴ 𝐹(−𝑝, 0) = 𝐹 (−
1
32
, 0) ‫البؤره‬
========================================================
: ‫مثال‬
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البؤرة‬ ‫جد‬
𝟑𝒙𝟐
− 𝟐𝟒𝒚 = 𝟎
.
3𝑥2
− 24𝑦 = 0 ⇒ 3𝑥2
= 24𝑦 ⇒ 𝑥2
= 8𝑦
𝑥2
= 8𝑦
𝑥2
= 4𝑝𝑦
⇒ 8𝑦 = 4𝑝𝑦 ⇒ 8 = 4𝑝 ⇒ 𝑝 = 2
⇒ 𝐹(0,2) ‫البؤره‬
𝑦 = −𝑝
⇒ 𝑦 = −2 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
‫بالمقارنة‬
‫بالمقارنة‬

8. CONIC SECTIONS 6
‫م‬
: ‫ثال‬
‫جد‬
‫معادلة‬
‫المكافئ‬ ‫القطع‬
( ‫بؤرته‬ )‫أ‬ : ‫علم‬ ‫اذا‬
5
,
0
‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬ )
𝑭(𝟎, 𝒑) = 𝑭(𝟎, 𝟓)
⇒ 𝑝 = 5
𝑥2
= 4𝑝𝑦 ⇒ 𝑥2
= 4(5)𝑦
⇒ 𝑥2
= 20𝑦 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫الدليل‬ ‫معادلة‬ ) ‫ب‬
y=7
. ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬
𝑦 = 7 ⇒ 𝑝 = 7
𝑥2
= −4𝑝𝑦 ⇒ 𝑥2
= −4(7)𝑦
⇒ 𝑥2
= −28𝑦 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
==========================================================
‫تمرين‬
1
/
:‫د‬
‫دليله‬ ‫معادلة‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
4y-3=0
. ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬
4𝑦 − 3 = 0 ⇒ 4𝑦 = 3 ⇒ 𝑦 =
3
4
⇒ 𝑝 =
3
4
𝑥2
= −4𝑝𝑦 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
𝑥2
= −4 (
3
4
) 𝑦 ⇒ 𝑥2
= −3𝑦 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
𝐹(0, −
3
4
) ‫البؤرة‬

9. CONIC SECTIONS 7
: ‫مثال‬
( ‫بالنقطتين‬ ‫يمر‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
4
,
2
‫و‬ )
(2,-4)
. ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬
. ‫الموجب‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬ ‫بؤرته‬ ‫ان‬ ‫نالحظ‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫رسم‬ ‫من‬ **
(2,-4) (2,4) ‫للقطع‬ ‫تنتمي‬ ‫النقاط‬
𝑦2
= 4𝑝𝑥 ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫القياسية‬
(−4)2
= 4𝑝(2) ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫بالتعويض‬
⇒ 16 = 8𝑝 ⇒ 𝑝 =
16
8
= 2
∴ 𝑝 = 2
𝑦2
= 4𝑝𝑥 ⇒ 𝑦2
= 4(2)𝑥
⇒ 𝑦2
= 8𝑥 ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫المكافئ‬
===========================================================
:‫مثال‬
‫بالنقطة‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ويمر‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
(3,-5)
.
: ‫معلوم‬ ‫غير‬ ‫البؤرة‬ ‫موقع‬ ‫ألن‬ ‫القياسية‬ ‫للمعادلة‬ ‫احتماالن‬ ‫يوجد‬ **
‫السالب‬ ‫السينات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬ ‫البؤرة‬ :‫األولى‬ ‫الحالة‬
𝑦2
= −4𝑝𝑥
𝑥 = 3 ‫الدليل‬
‫اليسار‬ ‫نحو‬ ‫تتجه‬ ‫القطع‬ ‫فتحة‬ ‫اذا‬ , ‫الموجب‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬
∴ 𝐹(−𝑝, 0) = 𝐹(−3,0) ⇒ 𝑝 = 3
⇒ 𝑦2
= −4(3)𝑥 ⇒ 𝑦2
= −12𝑥 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫الموجب‬ ‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬ ‫البؤرة‬ :‫الثانية‬ ‫الحالة‬
𝑥2
= 4𝑝𝑦
𝑦 = −5 ‫الدليل‬
∴ 𝐹(0, 𝑝) = 𝐹(0,5) ⇒ 𝑝 = 5
⇒ 𝑥2
= 4(5)𝑦 ⇒ 𝑥2
= 20𝑦 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬

10. CONIC SECTIONS 8
‫تمرين‬
4
:
‫بالنقطة‬ ‫يمر‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫كان‬ ‫اذا‬
(-3,4)
‫معادلته‬ ‫فجد‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫والرأس‬
‫الموجب‬ ‫السينات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬ ‫البؤرة‬ :‫األولى‬ ‫الحالة‬
𝑦2
= 4𝑝𝑥 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
𝑥 = −3 ‫الدليل‬
∴ 𝐹(𝑝, 0) = 𝐹(3,0) ⇒ 𝑝 = 3
⇒ 𝑦2
= 4(3)𝑥 ⇒ 𝑦2
= 12𝑥 : ‫هي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫اذا‬
‫السالب‬ ‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬ ‫البؤرة‬ :‫الثانية‬ ‫الحالة‬
𝑥2
= −4𝑝𝑦 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
𝑦 = 4 ‫الدليل‬
∴ 𝐹(0, −𝑝) = 𝐹(0, −4) ⇒ 𝑝 = 4
⇒ 𝑥2
= −4(4)𝑦 ⇒ 𝑥2
= −16𝑦 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫اذا‬
:‫هي‬
=========================================================
‫تمرين‬
5
:
‫معادلته‬ ‫مكافئ‬ ‫قطع‬
𝑨𝒙𝟐
+ 𝟖𝒚 = 𝟎
‫بالنقطة‬ ‫ويمر‬
(1,2)
‫قيمة‬ ‫جد‬
A
‫ودليله‬ ‫بؤرته‬ ‫جد‬ ‫ثم‬
. ‫القطع‬ ‫وارسم‬
‫النقطة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ /‫الحل‬
(1,2)
: ‫معادلته‬ ‫تحقق‬ ‫فهي‬ ‫اذا‬ ‫للقطع‬ ‫تنتمي‬
𝐴(1)2
+ 8(2) = 0 ⇒ 𝐴 + 16 = 0 ⇒ 𝐴 = −16
∴ −16𝑥2
+ 8𝑦 = 0 ⇒ −16𝑥2
= −8y
⇒ 𝑥2
=
−8
−16
y ⇒ 𝑥2
=
1
2
y
𝑥2
= 4𝑝𝑦 ⇔ 𝑥2
=
1
2
y ‫بالمقارنة‬
4𝑝 =
1
2
⇒ 𝑝 =
1
2
(
1
4
) =
1
8

11. CONIC SECTIONS 9
∴ 𝑦 = −
1
8
‫الدليل‬
⇒ 𝐹(0,
1
8
) ‫البؤرة‬
===========================================================
:‫مثال‬
‫بؤرته‬ ‫أن‬ ‫علم‬ ‫اذا‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ , ‫التعريف‬ ‫بستخدام‬
(√𝟑, 𝟎)
.‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫والرأس‬
/ ‫الحل‬
𝑀𝐹 = 𝑀𝑄
⇒ √(𝑥 − √3)
2
+ (𝑦 − 0)2
= √(𝑥 − (−√3)) 2 + (𝑦 − 𝑦) 2
⇒ √𝑥2 − 2√3𝑥 + 3 + 𝑦2 = √𝑥2 + 2√3𝑥 + 3
⇒ 𝑥2
− 2√3𝑥 + 3 + 𝑦2
= 𝑥2
+ 2√3𝑥 + 3
⇒ 𝑦2
= 4√3𝑥
=========================================================
‫تمرين‬
6
:
‫بؤرته‬ )‫أ‬ :‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ , ‫التعريف‬ ‫باستخدام‬
(7,0)
. ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬
𝐴𝐵 = √(𝑥2 − 𝑥1) 2 + (𝑦2 − 𝑦1) 2
𝑀𝐹 = 𝑀𝑄
⇒ √(𝑥 − 7)2 + (𝑦 − 0)2
= √(𝑥 − (−7)) 2 + (𝑦 − 𝑦) 2
⇒ √𝑥2 − 14𝑥 + 49 + 𝑦2 = √𝑥2 + 14𝑥 + 49
⇒ 𝑥2
− 14𝑥 + 49 + 𝑦2
= 𝑥2
+ 14𝑥 + 49
⇒ 𝑦2
= 28𝑥

12. CONIC SECTIONS 10
‫الدليل‬ ‫معادلة‬ )‫ب‬
𝒚 = √𝟑
.
𝑦 = √3 ⇒ 𝐹(0, −√3)
𝑀𝐹 = 𝑀𝑄
⇒ √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − (−√3))
2
= √(𝑥 − 𝑥) 2 + (𝑦 − √3) 2
⇒ √𝑥2 + 𝑦2 + 2√3𝑦 + 3 = √𝑦2 − 2√3𝑦 + 3
⇒ 𝑥2
+ 𝑦2
+ 2√3𝑦 + 3 = 𝑦2
− 2√3𝑦 + 3
⇒ 𝑥2
= −4√3𝑦

13. CONIC SECTIONS 11
‫الناقص‬ ‫القطع‬ : ً‫ا‬‫ثاني‬
‫وله‬ ‫وبؤرتين‬ ‫وقطبين‬ ‫رأسين‬ ‫من‬ ‫ويتكون‬ ‫بيضوي‬ ‫شكل‬ ‫له‬
‫حالتين‬
:‫البؤرتين‬ ‫موقع‬ ‫حسب‬

: ‫األولى‬ ‫الحالة‬
( ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
𝑎2
‫تحت‬
𝑥2
)
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 ‫القطع‬ ‫معادلة‬
𝐹1(𝑐, 0), 𝐹2(−𝑐, 0) ‫البؤرتان‬
𝑉1(𝑎, 0), 𝑉2(−𝑎, 0) ‫الراسان‬
𝑀1(0, 𝑏), 𝑀2(0, −𝑏) ‫القطبان‬

‫الحالة‬
‫الثانية‬
‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬ :
‫الصادات‬
(
𝑎2
‫تحت‬
𝑦2
)
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
= 1 ‫القطع‬ ‫معادلة‬
𝐹1(0, 𝑐), 𝐹2(0, −𝑐) ‫البؤرتان‬
𝑉1(0, 𝑎), 𝑉2(0, −𝑎) ‫الراسان‬
𝑀1(𝑏, 0), 𝑀2(−𝑏, 0) ‫القطبان‬
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2
𝐴 = 𝑎𝑏𝜋 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫مساحة‬
𝑃 = 2𝜋√
𝒂𝟐+𝒃𝟐
𝟐
‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫محيط‬
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
√𝑎2−𝑏2
𝑎
‫للقطع‬ ‫المركزي‬ ‫االختالف‬

14. CONIC SECTIONS 12
:‫مثال‬
‫والرأس‬ ‫البؤرتين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫واحداثي‬ ‫المحورين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫جد‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬
‫ي‬
. ‫المركزي‬ ‫واالختالف‬ ‫ن‬
1.
𝑥2
25
+
𝑦2
16
= 1
Sol
𝑥2
25
+
𝑦2
16
= 1
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1 ⟹ 𝑎2 = 25 ⟹ 𝑎 = 5, 𝑏
2
= 16 ⟹ 𝑏 = 4
2a= 2(5)=10 ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ , 2𝑏 = 2(4) = 8 ‫المحور‬ ‫طول‬
‫الصغير‬
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √25 − 16 = √9 = 3
𝐹1(𝑐, 0) ⟹ 𝐹1(3,0), 𝐹2(−𝑐, 0) ⟹ 𝐹2(−3,0) ‫البؤرتان‬
𝑉1(𝑎, 0) ⟹ 𝑉1(5,0), 𝑉2(−𝑎, 0) ⟹ 𝑉2(−5,0) ‫الراسان‬
𝑀1(0, 𝑏) ⟹ 𝑀1(0,4) ‫و‬ 𝑀2(0, −𝑏) ⟹ 𝑀2(0, −4) ‫القطبان‬
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
3
5
‫المركزي‬ ‫االختالف‬
==========================================================
2. (4𝑥2 + 3𝑦2 =
4
3
) ×
3
4
⟹ 3𝑥2 +
9
4
𝑦2 = 1
𝑥2
1
3
+
𝑦2
4
9
= 1
𝑥2
𝑏2 +
𝑦2
𝑎2 = 1 ⟹ 𝑎2 =
4
9
⟹ 𝑎 =
2
3
, 𝑏
2
=
1
3
⟹ 𝑏 =
1
√3
2a= 2(
2
3
)=
4
3
‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ , 2𝑏 = 2 (
1
√3
) =
2
√3
‫المحور‬ ‫طول‬
‫الصغير‬
‫بالمقارنة‬
‫بالمقارنة‬

15. CONIC SECTIONS 13
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √
4
9
−
1
3
= √
1
9
=
1
√9
=
1
3
𝐹1(0, 𝑐) ⟹ 𝐹1 (0,
1
3
), 𝐹2(0, −𝑐) ⟹ 𝐹2 (0, −
1
3
) ‫البؤرتان‬
𝑉1(0, 𝑎) ⟹ 𝑉1 (0,
2
3
) , 𝑉2(0, −𝑎) ⟹ 𝑉2 (0, −
2
3
) ‫الراسان‬
𝑀1(𝑏, 0) ⟹ 𝑀1 (
1
√3
, 0) , 𝑀2(−𝑏, 0) ⟹ 𝑀2 (−
1
√3
, 0) ‫القطبان‬
𝒆 =
𝒄
𝒂
=
𝟏
𝟑
𝟐
𝟑
=
𝟑
𝟔
=
𝟏
𝟐
‫المر‬ ‫االختالف‬
‫كزي‬
===========================================================
‫تمرين‬
1
:
‫والرأس‬ ‫البؤرتين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫واحداثي‬ ‫المحورين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫جد‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬
‫ي‬
‫واالختالف‬ ‫ن‬
. ‫المركزي‬
a. 𝒙𝟐
+ 𝟐𝒚𝟐
= 𝟏
𝑥2
1
+
𝑦2
1
2
= 1
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1 ⟹ 𝑎2 = 1 ⟹ 𝑎 = 1, 𝑏
2
=
1
2
⟹ 𝑏 =
1
√2
2a= 2(1)= 2 , 2𝑏 = 2 (
1
√2
) =
2
√2
= √2
𝑦 = 0 , 𝑥 = 0
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √1 −
1
2
= √
1
2
=
1
√2
‫بالمقارنة‬

16. CONIC SECTIONS 14
𝐹1(𝑐, 0) ⟹ 𝐹1 (
1
√2
,0), 𝐹2(−𝑐, 0) ⟹ 𝐹2 (−
1
√2
,0)
𝑉1(𝑎, 0) ⟹ 𝑉1(1,0), 𝑉2(−𝑎, 0) ⟹ 𝑉2(−1,0)
𝑀1(0, 𝑏) ⟹ 𝑀1 (0,
1
√2
) 𝑀2(0, −𝑏) ⟹ 𝑀2 (0, −
1
√2
)
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
1
√2
1
=
1
√2
==========================================================
b. 9𝒙𝟐
+ 𝟏𝟑𝒚𝟐
= 117 ⟹
9𝑥2
117
+
13𝑦2
117
= 1
𝑥2
13
+
𝑦2
9
= 1
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1 ⟹ 𝑎2 = 13 ⟹ 𝑎 = √13, 𝑏
2
= 9 ⟹ 𝑏 = 3
2a= 2(√13)= 2 √13 , 2𝑏 = 2(3) = 6
𝑦 = 0 , 𝑥 = 0
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √13 − 9 = √4 = 2
𝐹1(𝑐, 0) ⟹ 𝐹1(2 ,0), 𝐹2(−𝑐, 0) ⟹ 𝐹2(−2,0)
𝑉1(𝑎, 0) ⟹ 𝑉1(√13, 0), 𝑉2(−𝑎, 0) ⟹ 𝑉2(−√13, 0)
𝑀1(0, 𝑏) ⟹ 𝑀1(0,3) 𝑀2(0, −𝑏) ⟹ 𝑀2(0, −3)
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
2
√13

17. CONIC SECTIONS 15
:‫مثال‬
: ‫يلي‬ ‫كما‬ ‫وراساه‬ ‫بؤرتاه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
Ex. 𝑭𝟏(𝟑, 𝟎), 𝑭𝟐(−𝟑, 𝟎) , 𝑽𝟏(𝟓, 𝟎) , 𝑽𝟐(−𝟓, 𝟎)
𝑐 = 3 ⟹ 𝑐2
= 9, 𝑎 = 5 ⟹ 𝑎2
= 25
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
9 = 25 − 𝑏2
⟹ 𝑏2
= 25 − 9 = 16 ⟹ 𝑏 = 4
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1 ‫الم‬
‫عادلة‬
‫ل‬ ‫القياسية‬
‫الناقص‬ ‫لقطع‬
∴
𝑥2
25
+
𝑦2
16
= 1 ‫م‬
‫عادلة‬
‫ا‬
‫الناقص‬ ‫لقطع‬
===================================================
:‫مثال‬
‫المحورين‬ ‫على‬ ‫محوراه‬ ‫وينطبق‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
‫طوله‬ ً‫ا‬‫جزء‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫من‬ ‫ويقطع‬ ‫االحداثيين‬
8
‫جزءا‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫ومن‬ ‫وحدات‬
‫طوله‬
12
‫ب‬ ‫المسافة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ , ‫وحدة‬
. ‫ومحيطه‬ ‫منطقته‬ ‫ومساحة‬ ‫البؤرتين‬ ‫ين‬
2𝑏 = 8 ⟹ 𝑏 = 4 ⟹ 𝑏2
= 16
2𝑎 = 12 ⟹ 𝑎 = 6 ⟹ 𝑎2
= 36
∴
𝑥2
16
+
𝑦2
36
= 1 ‫القطع‬ ‫معادلة‬
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √36 − 16 = √20 ⟹ 𝑐 = 2√5
2𝑐 = 2(2√5) = 4√5 ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬
𝐴 = 𝑎𝑏𝜋 = 6(4)𝜋 = 24𝜋 ‫القطع‬ ‫مساحة‬
𝑃 = 2𝜋√
𝑎2+𝑏2
2
= 2𝜋√
36+16
2
= 2𝜋√
52
2
= 2𝜋√26 ‫م‬
‫حيط‬
‫القطع‬

‫السينات‬ ‫محور‬ ‫من‬ ‫يقطع‬
8
‫طول‬ ‫اذا‬ , ‫وحدات‬
‫الكبير‬ ‫المحور‬
2b
=
8
.

‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫من‬ ‫يقطع‬
12
‫طول‬ ‫اذا‬ ,‫وحدة‬
‫الصغير‬ ‫المحور‬
2a
=
12

18. CONIC SECTIONS 16
‫تمرين‬
2
:
‫جد‬
‫المعادلة‬
‫القياسية‬
‫للقطع‬
‫الناقص‬
‫الذي‬
‫مركزه‬
‫في‬
‫نقطة‬
‫االصل‬
‫في‬
‫كل‬
‫مما‬
‫يأتي‬
:
a) 𝑭𝟏(𝟓 , 𝟎), 𝑭𝟐(−𝟓, 𝟎)
𝑐 = 5 ⟹ 𝑐2
= 25
2𝑎 = 12 ⟹ 𝑎 = 6 ⟹ 𝑎2 = 36
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
25 = 36 − 𝑏2
⟹ 𝑏2
= 36 − 25
= 11 ⟹ 𝑏 = √11
∴
𝑥2
36
+
𝑦2
16
= 1
===================================================
b. 𝑭𝟏(𝟎 , 𝟐), 𝑭𝟐(𝟎, −𝟐)
𝑐 = 2 ⟹ 𝑐2
= 4
𝑏 = 4 ⟹ 𝑏
2
= 16
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
4 = 𝑎2
− 16 ⟹ 𝑎2
= 16 + 4 = 20 ⟹ 𝑎 = √20
∴
𝑥2
16
+
𝑦2
20
= 1
C
.
‫احدى‬
‫بؤرتيه‬
‫تبعد‬
‫عن‬
‫نهايتي‬
‫محوره‬
‫الكبير‬
‫بالعددين‬
5
,
1
‫الترتيب‬ ‫على‬ ‫وحدة‬
: ‫احتماالن‬ ‫يوجد‬ ‫اذا‬ , ‫البؤرتين‬ ‫موقع‬ ‫يحدد‬ ‫لم‬ ‫انه‬ ‫بما‬ /‫الحل‬
1
)
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
2𝑎 = 5 + 1 ‫الرأسين‬ ‫عن‬ ‫البؤرة‬ ‫بعدي‬ ‫مجموع‬
= 6 ⟹ 𝑎 = 3
2015-1

‫عند‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫يتقاطع‬
𝒙 = ±𝟒
‫اذا‬ ,
b=4

19. CONIC SECTIONS 17
𝑐 = 𝑎 − (‫االقل‬ ‫البعد‬ ) = 3 − 1 = 2 ⟹ 𝑐 = 2
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
4 = 9 − 𝑏2
⟹ 𝑏2
= 9 − 4 = 5
∴
𝒙𝟐
𝟗
+
𝒚𝟐
𝟓
= 𝟏
2
)
‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
‫الصادات‬
∴
𝒙𝟐
𝟓
+
𝒚𝟐
𝟗
= 𝟏
===================================================
d
.
= ‫المركزي‬ ‫االختالف‬
𝟏
𝟐
= ‫الصغير‬ ‫محوره‬ ‫وطول‬
12
. ‫وحدة‬
: ‫احتماالن‬ ‫يوجد‬ ‫اذا‬ , ‫البؤرتين‬ ‫موقع‬ ‫يحدد‬ ‫لم‬ ‫انه‬ ‫بما‬ /‫الحل‬
1
)
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
2𝑏 = 12 ⟹ 𝑏 = 6 ⟹ 𝑏2
= 6
𝑒 =
𝑐
𝑎
⟹ 𝑎 =
𝑐
𝑒
=
𝑐
1
2
= 2𝑐 ∴ 𝑎 = 2𝑐
𝑎2
= 4𝑐2
...(1)
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
…(2) ⟹ 4𝑐2 = 36 + 𝑐2 ⟹ 4𝑐2 − 𝑐2 = 36 ⟹ 3𝑐2 = 36
𝑐2
= 12 ⟹ 𝑎2
= 4(12) = 48 ( ‫في‬ ‫بالتعويض‬
1
)
∴
𝑥2
48
+
𝑦2
36
= 1

20. CONIC SECTIONS 18
2
)
‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
‫الصادات‬
∴
𝑥2
36
+
𝑦2
48
= 1
e
)
= ‫بؤرتيه‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬
8
= ‫الصغير‬ ‫محوره‬ ‫ونصف‬ ‫وحدات‬
3
.‫وحدات‬
‫لم‬ ‫انه‬ ‫بما‬ /‫الحل‬
: ‫احتماالن‬ ‫يوجد‬ ‫اذا‬ , ‫البؤرتين‬ ‫موقع‬ ‫يحدد‬
1
)
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
2𝑐 = 8 ⟹ 𝑐 = 4 ⟹ 𝑐2
= 16 ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬
𝑏 = 3 ⟹ 𝑏2
= 9 ‫يساوي‬ ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ ‫نصف‬
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
⟹ 𝑎2
= 9 + 16 = 25
∴
𝑥2
25
+
𝑦2
9
= 1
2
)
‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
‫الصادات‬
∴
𝑥2
9
+
𝑦2
25
= 1
===================================================
‫تمرين‬
3
:
:‫علم‬ ‫اذا‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ , ‫التعريف‬ ‫باستخدام‬
‫النقطتان‬ ‫بؤرتاه‬ .‫أ‬
(𝟎, ±𝟐)
‫النقطتان‬ ‫ورأساه‬
(𝟎, ±𝟑)
.‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬
𝑭𝟏(𝟎, 𝟐), 𝑭𝟐(𝟎, −𝟐) ‫البؤرتان‬
𝑽𝟏(𝟎, 𝟑), 𝑽𝟐(𝟎, −𝟑) ‫الرأسان‬
𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2𝑎 = 2(3) = 6
√(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 2)2 + √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 + 2)2 = 6
√𝑥2 + (𝑦 − 2)2 = 6 − √𝑥2 + (𝑦 + 2)2

21. CONIC SECTIONS 19
𝑥2
+ (𝑦 − 2)2
= 36 − 12√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 + 𝑥2
+ (𝑦 + 2)2
𝑥2
+ 𝑦2
− 4𝑦 + 4 = 36 − 12√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 + 𝑥2
+ 𝑦2
+ 4𝑦 + 4
−4𝑦 = 36 − 12√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 + 4𝑦
12√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 = 36 + 8𝑦 ÷ 4
3√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 = 9 + 2𝑦
9(𝑥2
+ (𝑦 + 2)2) = 81 + 36𝑦 + 4𝑦2
⟹ 9𝑥2 + 9𝑦2
+ 36𝑦 + 36 = 81 + 36𝑦 + 4𝑦2
⟹ 9𝑥2 + 9𝑦2
− 4𝑦2 = 81 − 36
⟹ 9𝑥2 + 5𝑦
2
= 45 ÷ 45
∴
𝑥2
5
+
𝑦2
9
= 1
===================================================
‫بين‬ ‫المسافة‬ )‫ب‬
= ‫البؤرتين‬
6
‫الثابت‬ ‫والعدد‬ ‫وحدات‬
10
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫تقعان‬ ‫والبؤرتان‬
. ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬
2𝑐 = 6 ⟹ 𝑐 = 3 ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬
2𝑎 = 10 ⟹ 𝑎 = 5 = ‫الثابت‬ ‫العدد‬
10
𝐹1(−3,0), 𝐹2(3,0) ‫البؤرتان‬
𝑉1(−5,0), 𝑉2(5,0) ‫الرأسان‬
𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2𝑎 = 10
√(𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 0)2 + √(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 0)2 = 10
√(𝑥 + 3)2 + 𝑦2 = 10 − √(𝑥 − 3)2 + 𝑦2

22. CONIC SECTIONS 20
(𝑥 + 3)2
+ 𝑦2
= 100 − 20√(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 + (𝑥 − 3)2
+ 𝑦2
𝑥2
+ 6𝑥 + 9 + 𝑦2
= 100 − 20√(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 + 𝑥2
− 6𝑥 + 9 + 𝑦2
6𝑥 = 100 − 20√(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 − 6𝑥
20√(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 = 100 − 12𝑥 ÷ 4
5√(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 = 25 − 3𝑥
25((𝑥 − 3)2
+ 𝑦2) = 625 − 150𝑥 + 9𝑥2
⟹ 25𝑥2 − 9𝑥2 − 150𝑥 + 225 + 25𝑦2 = 625 − 150𝑥
⟹ 16𝑥2 + 25𝑦2 = 625 − 225 ⟹ 16𝑥2 + 25𝑦
2
= 400 ÷ 400
∴
𝑥2
25
+
𝑦2
16
= 1
==========================================================
‫تمرين‬
4
:
‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫هي‬ ‫بؤرتيه‬ ‫واحدى‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬
𝒚𝟐
+ 𝟖𝒙 = 𝟎
‫بالنقطة‬ ‫يمر‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫ان‬ ‫علما‬
(𝟐√𝟑, √𝟑)
.
𝑦2
+ 8𝑥 = 0 ⟹ 𝑦2
= −8𝑥
𝑦2
= −8𝑥
𝑦2
= −4𝑝𝑥 −4𝑝𝑥 = −8𝑥 ⟹ 4𝑝 = 8 ⟹ 𝑝 = 2 ⟹ 𝐹(−2,0)
𝐹1(−2,0), 𝐹2(2,0) ⟹ 𝑐 = 2, 𝑐2 = 4
𝑎2
= 𝑏2
+ 4 …. (1)
(2√3, √3) ⟹
(2√3)
2
𝑎2
+
(√3)
2
𝑏2
= 1 ⟹
12
𝑎2
+
3
𝑏2
= 1 × (𝑎2
𝑏2
)
12𝑏2
+ 3𝑎2
= 𝑎2
𝑏2
… (2)
12𝑏2
+ 3(𝑏2
+ 4) = (𝑏2
+ 4)𝑏2

‫ثم‬ ‫السؤال‬ ‫في‬ ‫المعطاة‬ ‫المعادلة‬ ‫بترتيب‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫اوال‬ ‫نجد‬
. ‫بالقياسية‬ ‫مقارنتها‬

‫النقطة‬ ‫ومنها‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬ ‫نحدد‬ ‫ذلك‬ ‫بعد‬
c
‫رقم‬ ‫معادلة‬ ‫ونكون‬
1
.

‫بالنقطة‬ ‫يمر‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫ان‬ ‫بما‬
(𝟐√𝟑, √𝟑)
‫معادلته‬ ‫تحقق‬ ‫فهي‬ ‫اذا‬ ,
‫ن‬
‫ع‬
‫معا‬ ‫اليجاد‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫وضها‬
‫د‬
‫لة‬
2
.

23. CONIC SECTIONS 21
12𝑏2
+ 3𝑏2
+ 12 = 𝑏4
+ 4𝑏2
⟹ 𝑏4
− 11𝑏2
− 12 = 0
(𝑏2
− 12)(𝑏2
+ 1) = 0 ⟹ 𝑏2
= −1 𝑜𝑟 𝑏2
= 12
∴ 𝑎2
= 12 + 4 = 16
∴
𝑥2
16
+
𝑦2
12
= 1
===================================================
‫تمرين‬
5
:
‫جد‬
‫معادلة‬
‫القطع‬
‫الناقص‬
‫الذي‬
‫مركزه‬
‫نقطة‬
‫االصل‬
‫وبؤرتاه‬
‫على‬
‫محور‬
‫السينات‬
‫ويمر‬
‫بالنقطتين‬
(𝟑, 𝟒), (𝟔, 𝟐)
.
(3)2
𝑎2
+
(4)2
𝑏2
= 1 ⟹
9
𝑎2
+
16
𝑏2
= 1 … (1)
(6)2
𝑎2
+
(2)2
𝑏2
= 1 ⟹
36
𝑎2
+
4
𝑏2
= 1 … (2)
36
𝑎2
+
64
𝑏2
= 4
−
36
𝑎2
∓
4
𝑏2
= −1
60
𝑏2 = 3 ⟹ 𝑏2
=
60
3
= 20 ( ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫بالتعويض‬
1
)
9
𝑎2
+
16
20
= 1 ⟹
9
𝑎2
+
4
5
= 1 ⟹
9
𝑎2
= −
4
5
+ 1 ⟹
9
𝑎2
=
1
5
⟹ 𝑎2
= 45
𝑥2
45
+
𝑦2
20
= 1
× 4

‫بالنقطين‬ ‫يمر‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫ان‬ ‫بما‬
(𝟑, 𝟒), (𝟔, 𝟐)
‫فهما‬ ‫اذا‬ ,
‫تحقق‬
‫ان‬
‫معادلته‬
‫ن‬
‫ع‬
‫وضه‬
‫م‬
‫م‬ ‫في‬ ‫ا‬
‫القطع‬ ‫عادلة‬
‫الناقص‬
‫قيم‬ ‫اليجاد‬
a , b
.

24. CONIC SECTIONS 22
‫تمرين‬
6
:
‫جد‬
‫معادلة‬
‫القطع‬
‫الناقص‬
‫الذي‬
‫مركزه‬
‫نقطة‬
‫االصل‬
‫وبؤرتاه‬
‫نقطتا‬
‫تقاطع‬
‫المنحني‬
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
− 𝟑𝒙 = 𝟏𝟔
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ويمس‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬
𝒚𝟐
= 𝟏𝟐𝒙
.
/‫الحل‬
‫نعوض‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫المنحني‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫اليجاد‬
x=0
‫ونجد‬
y
.
𝑥 = 0 ⟹ (0)2
+ 𝑦2
− 3(0) = 16 ⟹ 𝑦2
= 16 ⟹ 𝑦 = ±4
(𝟎, 𝟒), (𝟎, −𝟒) ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬ ⟹ 𝑐 = 4 ‫التقاطع‬ ‫نقطتي‬ ‫هما‬ ‫البؤرتان‬
𝑦2
= 12𝑥
𝑦2
= 4𝑝𝑥 ⟹ 4𝑝𝑥 = 12𝑥 ⟹ 4𝑝 = 12 ⟹ 𝑝 = 3 ⟹ 𝑥 = −3
⟹ (−3,0) ⟹ (3,0), (−3,0) ‫هما‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫قطبا‬ ‫اذا‬ , ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫يمس‬
⟹ 𝑏 = 3, 𝑏
2
= 9
𝑎2
= 𝑐2
+ 𝑏2
= 16 + 9 = 25
𝑥2
9
+
𝑦2
25
= 1
===================================================
‫تمرين‬
7
:
‫جد‬
‫معادلة‬
‫القطع‬
‫الناقص‬
‫الذي‬
‫بؤرتاه‬
‫تنتميان‬
‫الى‬
‫محور‬
‫السينات‬
‫ومركزه‬
‫في‬
‫نقطة‬
‫االصل‬
‫محوره‬ ‫وطول‬
‫الكبير‬
‫ضعف‬
‫طول‬
‫محوره‬
‫الصغير‬
‫ويقطع‬
‫القطع‬
‫المكافئ‬
𝒚𝟐
+ 𝟖𝒙 = 𝟎
‫عند‬
‫النقطة‬
‫التي‬
= ‫السيني‬ ‫احداثيها‬
-2
.
/‫الحل‬
‫النقطة‬ ‫نعوض‬
2
-
x=
. ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫اليجاد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫في‬
𝑦2
+ 8𝑥 = 0 ⟹ 𝑦2
+ 8(−2) = 0
⟹ 𝑦2 − 16 = 0 ⟹ 𝑦2 = 16 ⟹ 𝑦 = ±4
2𝑎 = 2(2𝑏) ‫ض‬ = ‫الكبير‬ ‫محوره‬ ‫طول‬
‫ع‬
‫اذا‬ , ‫الصغير‬ ‫ف‬
= 4𝑏 ⟹ 𝑎 = 2𝑏 ⟹ 𝑎2
= 4𝑏2
… (1)
𝑥 = −2, 𝑦 = 4 ( ‫في‬ ‫التعويض‬ ‫ثم‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوضهما‬
1
)
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 ⟹
(−2)2
𝑎2
+
(4)2
𝑏2
= 1 ⟹
4
4𝑏2
+
16
𝑏2
= 1 ⟹
1
𝑏2
+
16
𝑏2
= 1

25. CONIC SECTIONS 23
⟹
17
𝑏
2
= 1 ⟹ 𝑏
2
= 17
𝑎2
= 4(17) = 68
𝑥2
68
+
𝑦2
17
= 1
===================================================
‫تمرين‬
8
:
‫معادلته‬ ‫ناقص‬ ‫قطع‬
𝒉𝒙𝟐
+ 𝒌𝒚𝟐
= 𝟑𝟔
‫محوريه‬ ‫طولي‬ ‫مربعي‬ ‫ومجموع‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬
‫يساوي‬
60
‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫هي‬ ‫بؤرتيه‬ ‫واحدى‬ ‫وحدة‬
𝒚𝟐
= 𝟒√𝟑𝒙
‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫ما‬ .
h,k
‫؟‬
:‫الحل‬
ℎ𝑥2
+ 𝑘𝑦2
= 36 ⟹
𝑥2
36
ℎ
+
𝑦2
36
𝑘
= 1 ⟹ 𝑎2
=
36
ℎ
, 𝑏2
=
36
𝑘
𝑦2
= 4√3𝑥
𝑦2
= 4𝑝𝑥 4𝑝 = 4√3 ⟹ 𝑝 = √3
𝑂(0, √3)
𝐹1(0, √3), 𝐹2(0, −√3) ⟹ 𝑐 = √3 ⟹ 𝑐2
= 3
(2𝑎)2
+ (2𝑏)2
= 60 ⟹ 4𝑎2
+ 4𝑏2
= 60 ⟹ 𝑎2
+ 𝑏2
= 15 … (1)
𝑎2
− 𝑏2
= 𝑐2
⟹ 𝑎2
− 𝑏2
= 3 … (2)
𝑎2
+ 𝑏2
= 15 … (1)
𝑎2
− 𝑏2
= 3 … (2)
2𝑎2
= 18 ⟹ 𝑎2
= 9
𝑏2
= 15 − 𝑎2
= 15 − 9 = 6

26. CONIC SECTIONS 24
𝑎2
=
36
ℎ
⟹ ℎ =
36
𝑎2
=
36
9
= 4
𝑏2
=
36
𝑘
⟹ 𝑘 =
36
𝑏2
=
36
6
= 6
===================================================
‫تمرين‬
9
:
‫جد‬
‫معادلة‬
‫القطع‬
‫الناقص‬
‫الذي‬
‫مركزه‬
‫نقطة‬
‫االصل‬
‫واحدى‬
‫بؤرتيه‬
‫هي‬
‫بؤرة‬
‫القطع‬
‫المكافئ‬
𝒙𝟐
= 𝟐𝟒𝒚
‫ومجموع‬
‫طولي‬
‫محوريه‬
( 36 )
‫وحدة‬
.
/‫الحل‬
𝑥2
= 24𝑦
𝑥2
= 4𝑝𝑦 4𝑝𝑦 = 24𝑦 ⟹ 4𝑝 = 24 ⟹ 𝑝 = 6 ⟹ 𝐹(0, −6)
𝐹1(0,6), 𝐹2(0, −6) ⟹ 𝑐 = 6, 𝑐2 = 36
𝑎2
= 𝑏2
+ 36 …. (1)
2𝑎 + 2𝑏 = 36 ⟹ 𝑎 + 𝑏 = 18 ⟹ 𝑎 = 18 − 𝑏 … (2) ‫محوريه‬ ‫طولي‬ ‫مجموع‬
(18 − 𝑏)2
= 𝑏2
+ 36 ⟹ 324 − 36𝑏 + 𝑏2
− 𝑏2
= 36 ( ‫نعوض‬
1
(‫في‬ )
2
)
⟹ 324 − 36 = 36𝑏 ⟹ 36𝑏 = 288 ⟹ 𝑏 =
288
36
= 8 ⟹ 𝑏
2
= 64
𝑎2
= 𝑏2
+ 36 ⟹ 𝑎2
= 64 + 36 ⟹ 𝑎2
= 100
𝑥2
64
+
𝑦2
100
= 1

. ‫بالقياسية‬ ‫مقارنتها‬ ‫ثم‬ ‫السؤال‬ ‫في‬ ‫المعطاة‬ ‫المعادلة‬ ‫بترتيب‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫اوال‬ ‫نجد‬

‫النقطة‬ ‫ومنها‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬ ‫نحدد‬ ‫ذلك‬ ‫بعد‬
c
‫رقم‬ ‫معادلة‬ ‫ونكون‬
1
.

27. CONIC SECTIONS 25
‫تمرين‬
10
:
‫بؤرتيه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
𝑭𝟏(𝟒, 𝟎), 𝑭𝟐(−𝟒, 𝟎)
‫والنقطة‬
P
‫تنتمي‬
‫المثلث‬ ‫محيط‬ ‫ان‬ ‫بحيث‬ ‫الناقص‬ ‫للقطع‬
𝑷𝑭𝟏𝑭𝟐
‫يساوي‬
24
. ‫وحدة‬
Sol
𝐹1(4,0), 𝐹2(−4,0)
⟹ 𝑐 = 4
𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 + 𝐹1𝐹2 = 24 … (1)
𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 = 2𝑎, ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
𝐹1𝐹2 = 2𝑐 ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬
2𝑎 + 2𝑐 = 24 ⟹ 𝑎 + 𝑐 = 12 ⟹ 𝑎 + 4 = 12 ⟹ 𝑎 = 12 − 4 = 8 ⟹ 𝑎2 = 64
𝑏2
= 𝑎2
− 𝑐2
⟹ 𝑏2
= 64 − 16 = 48
𝑥2
64
+
𝑦2
48
= 1

28. CONIC SECTIONS 26
‫الزائد‬ ‫القطع‬
‫موقع‬ ‫حسب‬ ‫حالتان‬ ‫وله‬
: ‫البؤرتين‬

‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫تقعان‬ ‫البؤرتان‬ : ‫األولى‬ ‫الحالة‬
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
𝐹1(𝑐, 0), 𝐹2(−𝑐, 0) ‫البؤرتان‬
𝑉1(𝑎, 0), 𝑉2(−𝑎, 0) ‫الرأسان‬
𝑀1(0, 𝑏), 𝑀2(0, −𝑏) ‫القطبان‬
2𝑐 = 𝐹1𝐹2
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
===========================================================

‫ال‬
‫حالة‬
‫الثانية‬
‫محور‬ ‫على‬ ‫تقعان‬ ‫البؤرتان‬ :
‫الصادات‬
𝑦2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 1 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
𝐹1(0, 𝑐), 𝐹2(0, −𝑐) ‫البؤرتان‬
𝑉1(0, 𝑎), 𝑉2(0, −𝑎) ‫الرأسان‬
𝑀1(𝑏, 0), 𝑀2(−𝑏, 0) ‫القطبان‬
2𝑐 = 𝐹1𝐹2
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
𝑒 =
𝑐
𝑎
> 1 ‫المركزي‬ ‫االختالف‬
2𝑎 ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
2𝑏 ‫المحور‬ ‫طول‬
‫المرافق‬

29. CONIC SECTIONS 27
‫والرأسين‬ ‫البؤرتين‬ ‫عين‬ :‫مثال‬
‫الزائد‬ ‫للقطع‬ ‫والمرافق‬ ‫الحقيقي‬ ‫المحورين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫وطول‬
𝒙𝟐
𝟔𝟒
−
𝒚𝟐
𝟑𝟔
= 𝟏
. ‫ارسمه‬ ‫ثم‬
Sol ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫مع‬ ‫بالمقارنة‬
𝑥2
64
−
𝑦2
36
= 1
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
⟹ 𝑎2
= 64 ⟹ 𝑎 = 8, 𝑏2
= 36
⟹ 𝑏 = 6
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 = √64 + 36 = √100 = 10
𝐹1(10,0), 𝐹2(−10,0) ‫البؤرتان‬
𝑉1(8,0), 𝑉2(−8,0) ‫الرأسان‬
2𝑎 = 2(8) = 16 ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
2𝑏 = 2(6) = 12 ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
===========================================================
:‫مثال‬
= ‫الحقيقي‬ ‫محوره‬ ‫وطول‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
6
‫واالختالف‬ ‫وحدات‬
= ‫المركزي‬
2
. ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫والبؤرتان‬
2𝑎 = 6 ⟹ 𝑎 = 3 ⟹ 𝑎2
= 9 = ‫الحقيقي‬ ‫محوره‬ ‫طول‬
6
𝑒 =
𝑐
𝑎
‫المركزي‬ ‫االختالف‬ ‫قانون‬ ‫باستخدام‬
⟹ 2 =
𝑐
3
⟹ 𝑐 = 2(3) = 6 ⟹ 𝑐2
= 36
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
⟹ 𝑏2
= 𝑐2
− 𝑎2
= 36 − 9 = 27
𝑥2
9
−
𝑦2
27
= 1

30. CONIC SECTIONS 28
: ‫مثال‬
‫المرافقة‬ ‫محوره‬ ‫وطول‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
4
‫هما‬ ‫وبؤرتاه‬ ‫وحدات‬
‫النقطتان‬
𝑭𝟏(𝟎, √𝟖), 𝑭𝟐(𝟎, −√𝟖)
.
Sol
2𝑏 = 4 ⟹ 𝑏 = 2 ⟹ 𝑏2
= 4 ‫المرافق‬ ‫محوره‬ ‫طول‬ ‫ان‬ ‫بما‬
4
, ‫وحدات‬
‫اذا‬
𝐹1(0, √8), 𝐹2(0, −√8) ⟹ 𝑐 = √8 ⟹ 𝑐2
= 8
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
⟹ 𝑎2
= 𝑐2
− 𝑏2
= 8 − 4 = 4
𝒚𝟐
𝟒
−
𝒙𝟐
𝟒
= 𝟏
===========================================================
‫تمرين‬
1
:
‫عين‬
‫كل‬
‫من‬
‫البؤرتين‬
‫والرأسين‬
‫ثم‬
‫جد‬
‫طول‬
‫كل‬
‫من‬
‫المحورين‬
‫واالختالف‬
‫المركزي‬
‫للقطوع‬
‫االتية‬ ‫الزائدة‬
:
a) 𝟏𝟐𝒙𝟐
− 𝟒𝒚𝟐
= 𝟒𝟖
Sol
12𝑥2
− 4𝑦2
= 48 ÷ 48
𝑥2
4
−
𝑦2
12
= 1
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
⟹ 𝑎2
= 4 ⟹ 𝑎 = 2 ⟹ 2𝑎 = 2(2) = 4 ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
𝑏2
= 12 ⟹ 𝑏 = √12 ⟹ 2𝑏 = 2(√12) = 2√12 ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 = √12 + 4 = √16 = 4
𝐹1(4,0), 𝐹2(−4,0) ‫البؤرتان‬
𝑉1(2,0), 𝑉2(−2,0) ‫الرأسان‬
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
4
2
= 2 > 1 ‫المركزي‬ ‫االختالف‬

31. CONIC SECTIONS 29
b) 𝟏𝟔𝒙𝟐
− 𝟗𝒚𝟐
= 𝟏𝟒𝟒
16𝑥2
− 9𝑦2
= 144 ÷ 144
𝑥2
9
−
𝑦2
16
= 1
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
⟹ 𝑎2
= 9 ⟹ 𝑎 = 3, 2𝑎 = 2(3) = 6 ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
𝑏2
= 16 ⟹ 𝑏 = √16 ⟹ 𝑏 = 4, 2𝑏 = 2(4) = 8 ‫المحور‬ ‫طول‬
‫المرافق‬
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 = √9 + 16 = √25 = 5
===========================================================
‫تمرين‬
2
:
‫اكتب‬
‫معادلة‬
‫القطع‬
‫الزائد‬
‫في‬
‫الحاالت‬
‫االتية‬
‫ثم‬
‫ارسم‬
‫القطع‬
:
‫أ‬
.
‫النقطتان‬ ‫هما‬ ‫البؤرتان‬
(±𝟓, 𝟎)
‫عند‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫ويتقاطع‬
𝒙 = ±𝟑
‫نقطة‬ ‫ومركزه‬
. ‫االصل‬
/‫الحل‬
𝐹1(5,0), 𝐹2(−5,0) : ‫هما‬ ‫البؤرتان‬ ‫اذا‬
𝑉1(3,0), 𝑉2(−3,0) ‫القطع‬ ‫رأسي‬ ‫هما‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطتي‬
𝐹1(5,0), 𝐹2(−5,0) ⟹ 𝑐 = 5 ⟹ 𝑐2
= 25
𝑉1(3,0), 𝑉2(−3,0) ⟹ 𝑎 = 3 ⟹ 𝑎2
= 9
𝑏2
= 𝑐2
− 𝑎2
= 25 − 9 = 16
𝑥2
9
−
𝑦2
16
= 1

32. CONIC SECTIONS 30
‫ب‬
.
‫طول‬
‫محوره‬
‫الحقيقي‬
( 12 )
‫وحدة‬
‫وطول‬
‫محوره‬
‫المرافق‬
( 10 )
‫وحدات‬
‫وينطبق‬
‫محوراه‬
‫المحورين‬ ‫على‬
‫االحداثيين‬
‫ومركزه‬
‫نقطة‬
‫االصل‬
.
/‫الحل‬
2𝑎 = 12 ‫الحقيقي‬ ‫محوره‬ ‫طول‬
⟹ 𝑎 = 6 ⟹ 𝑎2
= 36
⟹ 𝑉1(6,0), 𝑉2(−6,0)
2𝑏 = 10 ‫المرافق‬ ‫محوره‬ ‫طول‬
⟹ 𝑏 = 5 ⟹ 𝑏2
= 25
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 = √36 + 25 = √61
⟹ 𝐹1(√61, 0), 𝐹2(−√61, 0) ‫البؤرتان‬
**
:‫احتمالين‬ ‫فناخذ‬ ‫البؤرتان‬ ‫موقع‬ ‫يحدد‬ ‫لم‬ ‫انه‬ ‫بما‬
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬ :ً‫ال‬‫او‬
𝑥2
36
−
𝑦2
25
= 1 ‫القطع‬ ‫معادلة‬
ً‫ا‬‫ثاني‬
‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬ :
‫الصادات‬
𝑦2
36
−
𝑥2
25
= 1 ‫القطع‬ ‫معادلة‬

33. CONIC SECTIONS 31
.‫جـ‬
‫مركزه‬
‫نقطة‬
‫االصل‬
‫وبؤرتاه‬
‫على‬
‫محور‬
‫الصادات‬
‫وطول‬
‫محوره‬
‫المرافق‬
𝟐√𝟐
‫وحدة‬
= ‫المركزي‬ ‫واختالفه‬
3
.
/‫الحل‬
2𝑏 = 2√2 ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
⟹ 𝑏 = √2 ⟹ 𝑏2
= 2
𝑒 =
𝑐
𝑎
⟹ 3 =
𝑐
𝑎
⟹ 𝑐 = 3𝑎 … (1)
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
⟹ 9𝑎2
= 𝑎2
+ 2
⟹ 9𝑎2
− 𝑎2
= 2 ⟹ 8𝑎2
= 2
⟹ 𝑎2
=
1
4
⟹ 𝑎 =
1
2
⟹ 𝑐 = 3𝑎 = 3 (
1
2
) =
3
2
⟹ 𝑉1 (0,
1
2
) , 𝑉2 (0, −
1
2
) ‫الرأسان‬
⟹ 𝐹1 (0,
3
2
) , 𝐹2 (0, −
3
2
) ‫البؤرتان‬
⟹
𝑦2
1
4
−
𝑥2
2
= 1
==========================================================

34. CONIC SECTIONS 32
‫تمرين‬
3
:
‫جد‬
‫باستخدام‬
‫تعريف‬
‫معادلة‬
‫القطع‬
‫الزائد‬
‫الذي‬
‫مركزه‬
‫نقطة‬
‫االصل‬
‫وبؤرتيه‬
𝑭𝟏(𝟐√𝟐, 𝟎), 𝑭𝟐(−𝟐√𝟐, 𝟎)
‫والق‬ ‫االحداثيين‬ ‫المحورين‬ ‫على‬ ‫محوراه‬ ‫وينطبق‬
‫ي‬
‫مة‬
‫يساوي‬ ‫بؤرتيه‬ ‫عن‬ ‫نقطة‬ ‫اية‬ ‫بعدي‬ ‫بين‬ ‫للفرق‬ ‫المطلقة‬
4
. ‫وحدات‬
𝐹1(2√2, 0), 𝐹2(−2√2, 0) ⟹ 𝑐 = 2√2
⟹ 𝑐2
= 4(2) = 8
|𝑃𝐹1 − 𝑃𝐹2| = 4 ‫الق‬
‫ي‬
‫بؤرتيه‬ ‫عن‬ ‫نقطة‬ ‫اية‬ ‫بعدي‬ ‫بين‬ ‫للفرق‬ ‫المطلقة‬ ‫مة‬
√(𝑥 − 2√2)2 + (𝑦 − 0)2 − √(𝑥 + 2√2)
2
+ (𝑦 − 0)2 = ±4
√(𝑥 − 2√2)2 + (𝑦 − 0)2 − √(𝑥 + 2√2)
2
+ (𝑦 − 0)2 = ±4
√(𝑥 − 2√2)2 + 𝑦2 = ±4 + √(𝑥 + 2√2)
2
+ 𝑦2
(𝑥 − 2√2)2
+ 𝑦2
= 16 ± 8√(𝑥 + 2√2)
2
+ 𝑦2 + (𝑥 + 2√2)
2
+ 𝑦2
𝑥2
− 4√2𝑥 + 8 + 𝑦2
= 16 ± 8√(𝑥 + 2√2)
2
+ 𝑦2 + 𝑥2
+ 4√2𝑥 + 8 + 𝑦2
−8√2𝑥 = 16 ± 8√(𝑥 + 2√2)
2
+ 𝑦2 ÷ 8
−√2𝑥 − 2 = ±√(𝑥 + 2√2)
2
+ 𝑦2
2𝑥2
+ 2√2𝑥 + 4 = 𝑥2
+ 2√2𝑥 + 8 + 𝑦2
2𝑥2
− 𝑥2
= 𝑦2
+ 8 − 4 ⟹ 𝑥2
− 𝑦2
= 4 ÷ 4
𝑥2
4
−
𝑦2
4
= 1

35. CONIC SECTIONS 33
‫تمرين‬
4
:
‫قطع‬
‫زائد‬
‫طول‬
‫محوره‬
‫الحقيقي‬
( 6)
‫وحدات‬
‫واحدى‬
‫بؤرتيه‬
‫هي‬
‫بؤرة‬
‫القطع‬
‫المكافئ‬
‫الذي‬
‫رأسه‬
‫االصل‬ ‫نقطة‬
‫ويمر‬
‫بالنقطتين‬
(1, ±2√5)
‫جد‬
‫معادلتي‬
‫القطع‬
‫المكافئ‬
‫الذي‬
‫رأسه‬
‫نقطة‬
‫االصل‬
‫والقطع‬
‫الزائد‬
‫الذي‬
‫مركزه‬
‫نقطة‬
.‫االصل‬
2𝑎 = 6 ‫الحقيقي‬ ‫محوره‬ ‫طول‬
⟹ 𝑎 = 3 ⟹ 𝑎2 = 9
(1, ±2√5) ‫معادلته‬ ‫تحققان‬ ‫النقطتين‬ ‫اذا‬ , ‫بالنقطتين‬ ‫يمر‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫ان‬ ‫بما‬
(2√5)
2
= 4𝑝(1) ⟹ 20 = 4𝑝 ⟹ 𝑝 = 5
O(0,5) ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫بؤرة‬
𝑦2
= 4𝑝𝑥 ⟹ 𝑦2
= 4(5)𝑥 ⟹ 𝑦2
= 20𝑥 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
𝐹1(5,0), 𝐹2(−5,0) ⟹ 𝑐 = 5 ⟹ 𝑐2 = 25
𝑏2
= 𝑐2
− 𝑎2
= 25 − 9 = 16
𝑥2
9
−
𝑦2
16
= 1 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
===========================================================
‫تمرين‬
5
:
‫ومعادلته‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫زائد‬ ‫قطع‬
𝒉𝒙𝟐
− 𝒌𝒚𝟐
= 𝟗𝟎
‫الحقيقي‬ ‫محوره‬ ‫وطول‬
𝟔√𝟐
‫وحدة‬
‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬ ‫على‬ ‫تنطبقان‬ ‫وبؤرتاه‬
𝟗𝒙𝟐
− 𝟏𝟔𝒚𝟐
= 𝟓𝟕𝟔
‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬
h,k
. ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬ ‫التي‬
Sol
9𝑥2
− 16𝑦2
= 576 ⟹
𝑥2
64
+
𝑦2
36
= 1
𝑥2
64
+
𝑦2
36
= 1
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1

36. CONIC SECTIONS 34
⟹ 𝑎2
= 64, 𝑏2
= 36
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
⟹ 𝑐2
= 64 − 36 = 28 ⟹ 𝑐 = 2√7 ⟹ 𝑐2
= 4(7) = 28
⟹ 𝐹1(2√7, 0), 𝐹2(−2√7, 0)
2𝑎 = 6√2 ⟹ 𝑎 = 3√2 ⟹ 𝑎2
= 9(2) = 18
𝑏2
= 𝑐2
− 𝑎2
⟹ 𝑏2
= 28 − 18 = 10
ℎ𝑥2
− 𝑘𝑦2
= 90 ⟹
𝑥2
90
ℎ
−
𝑦2
90
𝑘
= 1
⟹ 𝑎2
=
90
ℎ
, 𝑏2
=
90
𝑘
𝑎2
=
90
ℎ
⟹ ℎ =
90
𝑎2
=
90
18
= 5
𝑏2
=
90
𝑘
⟹ 𝑘 =
90
𝑏2
=
90
10
= 9
==========================================================
‫تمرين‬
6
:
‫اكتب‬
‫معادلة‬
‫القطع‬
‫الزائد‬
‫الذي‬
‫مركزه‬
‫نقطة‬
‫االصل‬
‫اذا‬
‫علمت‬
‫ان‬
‫احد‬
‫راسيه‬
‫يبعد‬
‫عن‬
‫البؤرتين‬
‫بالعددين‬
1
‫و‬
9
‫وحدات‬
‫على‬
‫الترتيب‬
‫وينطبق‬
‫محوراه‬
‫على‬
‫المحورين‬
‫االحداثيين‬
.
2𝑐 = 9 + 1
= 10 ⟹ 𝑐 = 5 ⟹ 𝑐2
= 25
𝑎 = 𝑐 − 1 ‫االقل‬ ‫البعد‬ = 5 − 1 = 4 ⟹ 𝑎2
= 16
𝑏2
= 𝑐2
− 𝑎2
⟹ 𝑏2
= 25 − 16 = 9
⟹
𝑥2
16
−
𝑦2
9
= 1
⟹
𝑦2
16
−
𝑥2
9
= 1
‫احد‬ ‫ان‬ ‫بما‬
‫راسيه‬
‫يبعد‬
‫عن‬
‫بالعددين‬ ‫البؤرتين‬
1
‫و‬
9
‫تساوي‬ ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬ ‫اذا‬ ,
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫تقعان‬ ‫البؤرتان‬
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫تقعان‬ ‫البؤرتان‬

37. CONIC SECTIONS 35
‫تمرين‬
7
:
‫جد‬
‫معادلة‬
‫القطع‬
‫الناقص‬
‫الذي‬
‫بؤرتاه‬
‫هما‬
‫بؤرتا‬
‫القطع‬
‫الزائد‬
‫الذي‬
‫معادلته‬
𝒙𝟐
− 𝟑𝒚𝟐
= 𝟏𝟐
‫محوريه‬ ‫طولي‬ ‫بين‬ ‫والنسبة‬
𝟓
𝟑
. ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬
/‫الحل‬
𝑥2
− 3𝑦2
= 12 ⟹
𝑥2
12
−
𝑦2
4
= 1
𝑎2
= 12, 𝑏2
= 4
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
⟹ 𝑐2
= 12 + 4 = 16 ⟹ 𝑐 = 4
⟹ 𝐹1(4,0), 𝐹2(−4,0) ‫البؤرتان‬
2𝑎
2𝑏
=
5
3
‫محوريه‬ ‫طولي‬ ‫بين‬ ‫النسبة‬
⟹
𝑎
𝑏
=
5
3
⟹ 𝑎 =
5
3
𝑏 … (1) {2𝑎 > 2𝑏}
𝑎2
= 𝑐2
+ 𝑏2
⟹ (
5
3
𝑏)
2
= 16 + 𝑏2
⟹
25
9
𝑏2
= 16 + 𝑏2
× 9
⟹ 25 𝑏2
− 9𝑏2
= 144 ⟹ 16𝑏2
= 144 ⟹ 𝑏2
=
144
16
= 9
⟹ 𝑎2
=
25
9
𝑏2
=
25
9
(9) = 25
𝑥2
25
+
𝑦2
9
= 1

38. CONIC SECTIONS 36
‫تمرين‬
8
:
‫النقطة‬
P(6,L)
‫ومعادلته‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬
𝒙𝟐
− 𝟑𝒚𝟐
= 𝟏𝟐
.
‫أ‬ :‫من‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫جد‬
-
‫قيمة‬
L
/‫الحل‬
. ‫معادلته‬ ‫تحقق‬ ‫فهي‬ ‫القطع‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬ ‫النقطة‬ ‫ان‬ ‫بما‬
𝑝(6, 𝐿) ⟹ (6)2
− 3𝑙2
= 12 ⟹ (6)2
− 3𝐿2
= 12
⟹ 36 − 12 = 3𝐿2
⟹ 𝐿2
=
24
3
= 8 ⟹ 𝐿 = 2√2
‫ب‬
.
‫طول‬
‫نصف‬
‫القطر‬
‫البؤري‬
‫للقطع‬
‫المرسوم‬
‫في‬
‫الجهة‬
‫اليمنى‬
‫من‬
‫النقطة‬
P
.
𝑥2
− 3𝑦2
= 12 ⟹
𝑥2
12
−
𝑦2
4
= 1
𝑎2
= 12, 𝑏2
= 4
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
⟹ 𝑐2
= 12 + 4 = 16 ⟹ 𝑐 = 4
⟹ 𝐹1(4,0), 𝐹2(−4,0)
𝑃𝐹1 = √(6 − 4)2 + 8 = √4 + 8 = √12 = 2√3 units
𝑃𝐹2 = √(6 + 4)2 + 8 = √100 + 8 = √108 = 6√3 units
===========================================================
‫تمرين‬
9
:
‫جد‬
‫معادلة‬
‫القطع‬
‫الزائد‬
‫الذي‬
‫بؤرتاه‬
‫هما‬
‫بؤرتي‬
‫القطع‬
‫الناقص‬
𝒙𝟐
𝟗
+
𝒚𝟐
𝟐𝟓
= 𝟏
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ويمس‬
𝒙𝟐
+ 𝟏𝟐𝒚𝟐
=
.

39. CONIC SECTIONS 37
9.
𝑥2
9
+
𝑦2
25
= 1
𝑎2
= 25, 𝑏2
= 9
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
⟹ 𝑐2
= 25 − 9 = 16
⟹ 𝑐 = 4
⟹ 𝐹1(0,4), 𝐹2(0, −4) ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬
𝑥2
+ 12𝑦2
= 0 ⟹ 𝑥2
= −12𝑦2
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫من‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫رأسي‬ ‫ايجاد‬ ‫يمكن‬
𝑥2
= −12𝑦2
𝑥2
= −4𝑝𝑦2
⟹ 4𝑝 = 12 ⟹ 𝑝 = 3
⟹ 𝑦 = 3, 𝑂(0, −3)
⟹ 𝑉1(0,3), 𝑉2(0, −3) ‫الراسان‬
𝑎 = 3 ⟹ 𝑎2
= 9
𝑏2
= 𝑐2
− 𝑎2
⟹ 𝑏2
= 16 − 9 = 7
𝑦2
9
−
𝑥2
7
= 1

40. CONIC SECTIONS 38
‫اح‬‫ج‬‫ن‬‫ل‬‫ا‬‫ى‬‫ل‬‫ا‬‫ق‬‫ي‬
‫ر‬‫ط‬‫د‬‫ج‬‫ت‬‫م‬‫ل‬‫ا‬‫اذ‬
‫ق‬‫ي‬
‫ر‬‫ط‬‫ل‬‫ا‬‫ت‬‫ن‬‫ا‬‫ع‬‫ن‬‫ص‬‫ا‬‫ف‬