1. 当我学习 stochasticprocesses 的时候，发现很多同学（包括我自己）一开始都觉得看不懂。如
果说以前学的数学是 1+1=2 这样子直观的话，stochasticprocesses（随机过程）就好像展开了
的泰勒等式。不过我想说的是，只要好好体会布朗运动是怎么一步步总结成为随机过程的基本
组成元素的话，就会发现其实这门课是很严谨的数学推导结论。所以，不要害怕，只要功夫
深，你懂的。
再多交代一下写本文的缘由和背景。我们 stochasticprocessesincontinuoustime 这门课老师用
了约十节课三十个课时上完了，把基本的内容都过了一遍（内容基本上就是 elementary
stochasticcalculuswithfinance inviewbyThomasMikosch 整本书，也就是本文的主要总结内
容），前后时间约为一个月。老师推荐了三本书，分别是：
第一本就是本文的主角，原因当然是因为页数少，只有 200+，像第二本的差不多 600 页真的
啃不动。第一本主要是介绍和总结 stochasticcalculus 主要的原理，比较简练；第二本则是
stochasticprocesses 的圣经，基本上还是要啃的，只是早晚的问题；第三本则是跟金融比较相
关了，老师介绍说是关于这些数学式子背后的金融理论和金融思想的，所以我就没有（时间和
精力）去看了。
本文主要做的事情有两个，1.在第一本书的基础上再总结和加上自己的一些心得体会，希望能
让这些原理更加容易理解。2.就是说知识这种东西，不用很快就会忘记了，所以趁还有印象，
先写下来吧。
整本书有 4 章：
1. Preliminaries
2. The stochasticintegral
3. Stochasticdifferentialequations
4. Applicationsof stochasticcalculusinfinance
先写第一章，主要是介绍相关的概率知识，布朗运动，条件期望，还有 martingales。
那么开始吧。

2. 1.1 Basic ConceptsfromProbabilityTheory
1.1.1 RandomVariables
随机变量这个想讲的比较少了，比较要注意的就是 p.d.f 和 c.d.f 的定义。比较有趣的是 normal
distribution 的 p.d.f
另外如何通过 uniformdistribution 和 normaldistribution 的 c.d.f 产生 p.d.f 也是有趣的。听说
excel 产生随机的𝑁(0,1)变量就是用这个。
接下来就是期望值的定义。
1.1.2 Randomvectors
注意 marginal 的定义。另外如果能记住下面这个就最好了。

3. 1.1.3 Independence andDependence
记住这个，如果 cov(X,Y)=0，不代表 XandY are independent; 但是反过来是成立的。因为
cov(X,Y)=0 只是说明 XandYare LINEARLYindependent。
1.2 StochasticProcesses
定义
随机过程有两个变量，ꙍ和 t。
1. 当 t 是常量，𝑋𝑡 = 𝑋𝑡( 𝜔), 𝜔 ∈ Ω是一个随机变量
2. 当𝜔 ∈ Ω是常量，𝑋𝑡 = 𝑋𝑡( 𝜔), 𝑡 ∈ T是一个关于时间的函数
1.3 BrownianMotion
1.3.1 DefiningProperties
定义.
经常用到的结论有

4. 1.3.2 ProcessesDerivedfromBrownianMotion
布朗桥，这个挺有意思的，开始和结束都是 0，但是中间过程是个随机过程。不过暂时没有需
要用到这个。定义
这个也经常用到
Mean 和 variance 分别是
要求能够推导。推导过程有时间的话会慢慢补上。
1.3.3 Simulationof BrownianSamplePaths
没有真的很懂这个部分的内容，求指导。我们的老师用 excel 模拟了一次，不过书内容介绍了
比模拟更多的东西。

5. 1.4 Conditional Expectation
这个很重要，希望能多花点时间。如果一次看不懂，请多看一次。
1.4.1 Conditional ExpectationunderDiscrete Condition
讲了一些关于概率和条件期望的东西，很多结论都会在以后会用到。下面这个图比较有意思
左边的点线是一个 c.d.f，实线是期望值，当然很容易得到E( 𝑋) = 0.5
右边的点线还是一个 c.d.f，实线则是条件期望值，𝐸(𝑋|𝐴)会随着条件改变而改变，是个关于𝐴
的函数。
经常用到的结论
1.4.2 About 𝜎-Fields
定义

6. 1.4.3 The General Conditional Expectation
下面这个结论非常有意思
如果Z = 𝐸(𝑋|ℱ)，我们知道σ(Z) ⊂ ℱ，Z包含的信息不可能比ℱ多。这个结论比较直观，但是
第二个结论就显得非常有趣，对任何一个集合A ⊂ ℱ，都有期望值E(X𝐼𝐴) = 𝐸(𝑍𝐼𝐴)。可以参照
这个

7. 特别的，当𝐼𝐴 = Ω，我们有E(X) = E(𝐸( 𝑋|ℱ))
证明
1.4.4 Rulesforthe Calculationof Conditional Expectations
这三个都挺好理解的。

8. 假如信息流ℱ包含了所有关于X的信息，那么条件期望值就是X本身。所以在做题目的时候需要
时刻注意信息流。
假如信息流ℱ包含了所有关于X的信息，可以把X当作已知量，放在期望里面和外面都可以。
挺有意思的，证明如下

9. 当时就觉得这个挺高级的，如果以后有同学靠这个推导出一个很牛逼的理论我一点都不会觉得
奇怪的。
1.4.5 The ProjectionPropertyof Conditional Expectations

10. 这个在计量经济（econometrics）里面也有涉及到，求教有同学懂得怎么很通俗的解释这个平
面还有投影的吗？
1.5. Martingales
这个只要知道定义就差不多了，还需要了解在金融定价上面是怎么利用这个定义的。
1.5.1 DefiningProperties
信息流定义，大概就是说任何时候的应该有的信息都已经有了。
还是定义

11. 1.5.2 Examples
两个比较重要的例子，一个是布朗运动是 martingales;另一个则是 transformation
布朗运动是 martingales
算，就是扎扎实实的把期望值算出来就好，前面学到的 normal distributionp.d.f 派上用场了。
Transformation
套用老师的课件
这个E(Z) = 1是很重要的，因为必须要满足
ℚ(Ω) = ∫ 𝑍(𝜔) 𝑑ℙ(ω)
Ω
= ∫ 𝑑𝑍( 𝜔)ℙ(ω) = ∫ 𝑑ℚ(ω) = 1
ΩΩ
另外就是 transform 的一个重要应用就是它

12. 举个栗子，Black-Scholesmodel
的解是
那么接下来就有下面这个成立了
这里𝐷( 𝑡) 𝑆( 𝑡)就是 martingales
一个很重要的结论有 martingales 的期望值间的差是 0，就是说
E[ 𝐷( 𝑡 + 1) 𝑆( 𝑡 + 1)] − 𝐸[ 𝐷( 𝑡) 𝑆( 𝑡)] = 𝐸[ 𝐷( 𝑡 + 1) 𝑆( 𝑡 + 1) − 𝐷( 𝑡) 𝑆( 𝑡)] = 0
这个在金融产品里面有些时候会用到。
好不容易草草写了第一章，不知道什么时候才能写到第二章，努力吧。