1. Chuyeân ñeà Löôïng giaùc
Chuyeân ñeà LÖÔÏNG GIAÙC (LTÑH)
A) Caùc coâng thöùc löôïng giaùc :
1) Heä thöùc cô baûn :
sinx cosx
(1) sin2 x + cos2 x = 1 (2) tanx = (3) cot x =
cosx sin x
1 1
(4) tan x.cot x = 1 (5) = 1 + tan2 x (6) = 1 + cot 2x
cos x
2
sin x
2
2) Cung lieân keát :
• Cung ñoái : sin ( − x ) = − sinx cos( − x ) = cosx
tan ( − x ) = − tanx cot ( −x ) = − cot x
• Cung buø : sin ( π − x ) = sin x cos( π − x ) = − cosx
tan ( π − x ) = − tanx cot ( π − x ) = − cot x
π  π 
• Cung phuï : sin  − x ÷ = cosx cos − x ÷ = sin x
2  2 
 π   π 
tan  − x ÷ = cotx cot  − x ÷ = tan x
2  2 
• Cung hôn keùm π : sin ( π + x ) = − sinx cos( π + x ) = − cosx
tan ( π + x ) = tan x cot ( π + x ) = cot x
π π  π 
• Cung hôn keùm : sin  + x ÷ = cosx cos + x ÷ = − sinx
2 2  2 
 π   π 
tan  + x ÷ = − cotx cot  + x ÷ = − tan x
2  2 
3) Coâng thöùc coäng :
sin ( a ± b) = sinacosb ± cosasin b
cos( a ± b) = cosacosb m sinasin b
tana ± tan b
tan ( a ± b) =
1 m tanatan b
4) Coâng thöùc nhaân ñoâi – nhaân ba – haï baäc :
• Coâng thöùc nhaân ñoâi : sin2a = 2sinacosa
cos2a = cos2 a − sin2 a = 2cos2 a − 1 = 1 − 2sin2 a
2tana
tan2a =
1 − tan2 a
• Coâng thöùc nhaân ba : sin3a = 3sina − 4sin3 a
cos3a = 4cos3 a − 3cosa
1 − cos2a 1 + cos2a
• Coâng thöùc haï baäc : sin2 a = cos2 a =
2 2
x
5) Coâng thöùc tính sinx, cosx, tanx theo tan :
2
x
Ñaët t = tan 2 ,x ≠ π + k2π , ta coù :

2. Chuyeân ñeà Löôïng giaùc
2t 1− t 2 2t
sin x = cosx = tan x =
1+ t 2
1+ t 2
1− t 2
6) Coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång :
1
cosacosb =  cos( a − b) + cos( a + b) 
2 
1
sinasin b =  cos( a − b) − cos( a + b) 
2 
1
sinacosb = sin ( a − b) + sin ( a + b) 
2 
7) Coâng thöùc bieán ñoåi toång thaønh tích :
a+ b a− b a+ b a− b
sina + sin b = 2sin cos sina − sin b = 2cos sin
2 2 2 2
a+ b a− b a+ b a− b
cosa + cosb = 2cos cos cosa − cosb = −2sin sin
2 2 2 2
sin ( a + b) sin ( a − b)
tana + tan b = tana − tan b =
cosacosb cosacosb
 π  π
sina + cosa = 2 sin  a + ÷ sina − cosa = 2 sin  a − ÷
 4  4
B) Phöông trình löôïng giaùc :
1) Phöông trình löôïng giaùc cô baûn :
 x = α + k2π  x = α + k2π
sin x = sin α ⇔  ( k ∈ ¢ ) cosx = cosα ⇔  ( k∈¢ )
 x = π − α + k2π  x = −α + k2π
tan x = tan α ⇔ x = α + kπ ( k ∈ ¢ ) cot x = cot α ⇔ x = α + kπ ( k ∈ ¢ )
π π
sin x = 0 ⇔ x = kπ sin x = 1 ⇔ x = + k2π sin x = −1 ⇔ x = − + k2π
2 2
π
cosx = 0 ⇔ x = + kπ cosx = 1 ⇔ x = k2π cosx = −1 ⇔ x = π + k2π
2
Ñaëc bieät :
π π
tan x = 0 ⇔ x = kπ tanx = 1 ⇔ x = + kπ tan x = −1 ⇔ x = − + kπ
4 4
π π π
cotx = 0 ⇔ x = + kπ cotx = 1 ⇔ x = + kπ cotx = −1 ⇔ x = − + kπ
2 4 4
2) Phöông trình löôïng giaùc coå ñieån (baäc nhaát ñoái vôùi sinx vaø cosx) :
Daïng : as n x + cosx = (a,b ≠
i b c 0)
Caùch giaûi : Chia caû 2 veá pt cho a2 + b2 khi ñoù
a b c
pt ⇔ sin x + cosx =
a +b
2 2
a +b
2 2
a + b2
2
Ta coù :
a b c c
= cosϕ, = sin ϕ,pt ⇔ sin x cosϕ + cosx sin ϕ = ⇔ sin ( x + ϕ ) =
a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2

3. Chuyeân ñeà Löôïng giaùc
x
Coøn 2 caùch khaùc, 1 caùch laø chia caû 2 veá cho a, 1 caùch laø ñaët t = tan 2
Quan troïng : Ñieàu kieän ñeå pt löôïng giaùc coå ñieån coù nghieäm laø : a2 + 2 ≥ 2
b c
3) Phöông trình löôïng giaùc ñaúng caáp : laø phöông trình löôïng giaùc coù baäc caùc soá
haïng baèng nhau hoaëc baäc caùch nhau 2 ñôn vò.
Ví duï : PT coù daïng : as n2 x + s n x cosx + cos x =
laø pt löôïng giaùc ñaúng caáp
2
i b i c d
Caùch giaûi : Chia 2 TH
π
• TH1 : cosx = 0 ⇔ x = 2 + kπ (k ∈ ¢ ) . Thay vaøo pt neáu :
π
sin2 x = 1: Nhaä nghieä x = + kπ
n m
2
π
sin2 x ≠ 1: Loaï nghieä x = + kπ
i m
2
2
• TH2 : cosx ≠ 0. Chia caû 2 veá pt cho cos x, ta ñöôïc 1 pt baäc 2 theo tanx.
Coøn 1 caùch khaùc : Neáu pt coù daïng asin x + bsin x cosx + ccos x = d , ta coøn coù theå
2 2
duøng coâng thöùc haï baäc vaø coâng thöùc nhaân ñoâi ñeå ñöa pt veà daïng coå ñieån
4) Phöông trình löôïng giaùc ñoái xöùng ñoái vôùi sinx vaø cosx : laø phöông trình coù
chöùa sinx ± cosx vaø sinxcosx :
 π
• Caùch giaûi pt a( sin x + cosx ) + bsin x cosx = c : Ñaët t = sin x + cosx = 2 sin  x + 4 ÷ thì t ≤ 2
 
t −1
2
Khi ñoù : t = 1 + 2sin x cosx ⇒ sin x cosx =
2
. Theá vaøo ñöôïc 1 pt baäc 2 theo t, giaûi pt
2
baäc 2 theo t, (chæ nhaän nghieäm thoûa ñk), roài giaûi tieáp pt cô baûn
 π
• Caùch giaûi pt a( sin x − cosx ) + bsinx cosx = c : Ñaët t = sin x − cosx = 2 sin  x − 4 ÷ thì t ≤ 2
 
1− t 2
Khi ñoù : t = 1 − 2sin x cosx ⇒ sin x cosx =
2
.
2
Caùc chuù yù khaùc :
2 2
• Khi phöông trình ñeà baøi coù tanx + cotx vaø tan x + cot x, ta giaûi baèng caùch ñaët
t = tan x + cot x vôùi ñieàu kieän t ≥ 2
1 1 1
• Khi phöông trình coù sin x + sinx vaøsin x + sin2 x , ta giaûi baèng caùch ñaët t = sin x + sin x vôùi
2
ñk t ≥ 2
1 1 1
• Khi phöông trình coù cosx + cosx vaøcos x + cos2 x , ta giaûi baèng caùch ñaët t = cosx + cosx vôùi
2
ñk t ≥ 2

4. Chuyeân ñeà Löôïng giaùc
Baøi taäp giaûi phöông trình löôïng giaùc
x x
1) 3sin + cos = 2 15)
2 2
2) 2sin x + 3 sin2x = 3
2
( 1+ sin2 x ) cosx + ( 1 + cos2 x ) sinx = 1+ sin2x
16) 2sin2 2x + sin7x − 1 = sin x
3) sin8x − cos6x = 3 ( sin6x + cos8x ) 2
 x x
4)
3 − 3 cos2x
= cosx
17)  sin 2 + cos 2 ÷ + 3 cosx = 2
 
2sin x
2 ( cos x + sin x ) − sin x cosx
6 6
5) 18) =0
( )
2sin x + 3 + 3 sin x cosx +
2
( )
3 − 1 cos x = −1
2 2 − 2sin x
 x
x x 19) cot x + sin x  1 + tanx tan ÷ = 4
6) 4sin2 + 3 3 sin x − 2cos2 = 4  2
2 2
20) cos 3x cos2x − cos x = 0
2 2
7) 3sin x + 5cos x − 2cos2x − 4sin2x = 0
2 2
1 1 π

8) 4 ( sin x + cos x ) = cosx + 3sin x 21) − = 2 2 cos x + ÷
3 3
cosx sin x  4
9) sin2x − 12 ( sinx − cosx ) + 12 = 0 x π
10) sin3 x + cos3 x = 1 22) ( )
2 − 3 cosx − 2sin2  − ÷
 2 4 =1
11) tan x + cot x = 2 ( sin x + cosx ) 2cosx − 1
23) 3cos4x − 8cos6 x + 2cos2 x + 3 = 0
12) 2cos3 x + cos2x + sin x = 0
24) tan2 x + cot 2 x + 2 ( tan x + cot x ) = 6
13) ( 2cosx − 1) ( 2sin x + cosx ) = sin2x − sin x
 1   1 
cos2x 1 25) 4  sin2 x + 2 ÷− 4  sin x + −7= 0
14) cot x − 1 = + sin2 x − sin2x  sin x   sinx ÷

1 + tan x 2
Xaùc ñònh m ñeå phöông trình : 2 ( sin x + cos x ) + cos4x − 2sin2x − m = 0 coù ít nhaát moät
4 4
26)
 π
nghieäm thuoäc ñoaïn  0, 2 
 
2sin x + cosx + 1
27) Tìm a ñeå phöông trình sau coù nghieäm : sin x − 2cosx + 3 = a