Este documento discute tensão e deformação em materiais. Primeiro define tensão como a intensidade da força aplicada em uma área. Em seguida, descreve os nove componentes de tensão que atuam em um elemento de volume e como representá-los. Também explica como transformar tensões entre sistemas de coordenadas diferentes e como encontrar as tensões principais em um plano. Por fim, define deformação, discute os tipos de deformação e como representá-las em notação tensorial.

1. Tensão x Deformação

2. Tensão
 Tensão é definida como a intensidade de uma força F
em um ponto
 σ = ∂F/∂ A quando ∂ A → 0
 A é a área onde atua a força F;
 Se a tensão é a mesma em todos os pontos
 σ = F/A

3. Tensão
 Existem 9 componentes de tensão atuando em um
elemento de volume:

4. Tensão
 As componentes com subscritos repetidos são
tensões normais enquanto as com subscritos
diferentes são tensões de cisalhamento;
 Quando a notação tensorial não é requerida
costuma-se representar as tensões de cisalhamento
com a letra grega  e a tensão normal por 
 σx ≡ σxx e τxy ≡ σxy

5. Tensão
 Estado de tensão em notação tensorial

6. Transformação de Tensões
 A força Fy na direção y´ é Fy´ = Fy cos  e a área
normal a y é Ay´ = Ay/ cos , então
 y´ = Fy´/Ay´ = Fy cos  /(Ay/ cos  ) = σy cos2 e
 y´x´ = Fx´/Ay´ = Fy sin  /(Ay/ cos  ) = σy cos  sen 

7. Transformação de Tensão
lim e ljn são os cossenos dos ângulos entre os eixos i e m e j e n respectivamente.

8. Transformação de Tensão

9. Transformação de Tensão

10. Tensões Principais
É sempre possível encontrar um plano onde as tensões de cisalhamento são nulas

11. Tensões Principais

13. Fazendo  x´y’ = 0 temos o ângulo entre o plano xy e o plano onde atuam as tensões
principais

15. Círculo de Mohr

17. Deformação
 Quantidade de deformação em um corpo sem os
efeitos de rotação e translação.
 Deformação de engenharia ou nominal
e = ( l− l0)/ l0 = l/ l0.
Deformação verdadeira ou logarítmica
dε = dl/l
Integrando a expressão tem-se
ε = ln(l/ l0 ) = ln(1 + e)

18. Deformação
 Expandindo em séries a expressão tem-se
 ε = e − e2/2 + e3/3! − · · ·
 Quando e → 0, ε → e

20. Deformação

21. Deformação

23. Deformação

24. Deformação
exx = (A´D´ − AD)/AD = A´D´/AD − 1.
eyy = ∂v/∂ y
ezz = ∂w/∂z

25. Deformação

26. Tensor Deformação
Definindo
Pode ser escrito na forma tensorial
Podem ser transformados para diferentes eixos como as tensões

27. Deformação- Círculo de Mohr
As deformações principais podem ser obtidas pela equação do círculo de Mohr
As deformações em outros planos podem ser obtidas usando as equações:

28. Exercícios
 1. Consider an aluminum single crystal under a stress state, x = 250 psi, y = - 50
psi, z = yz = zx = xy = 0, where x = [100], y = [010] and z = [001].
 A.What is the resolved shear stress, nd, on the (111) plane in the direction? i.e.
with n = [111], d = =
 B. What is the resolved shear stress on the plane in the [101] direction?

 Solução
 . nd = x lxn lxd + y lyn lyd = 250(1/√3)(1/√2) + (-
50)(1/√3)(-1/√2) = 122.5 psi
 B. nd = x lxn lxd + y lyn lyd = 250(1/√3)(1/√2) + (-
50)(1/√3)(0/√2) = 102. psi