סיכום בנושא לוגיקה למדעי המחשב. דיאגרמת ון, פעולות בין קבוצות , תכונות וחוק הדואליות.

1. ‫דיאגראמת ון‬
‫ג'ון ון (באנגלית: ‪ 4 ;John Venn‬באוגוסט 4381 – 4 באפריל 3291 ), מתמטיקאי ולוגיקן בריטי.‬
‫דיאגרמת ון היא תרשים המבטא קשרים בין קבוצות.‬
‫כלל בסיסי לשימוש בדיאגרמת ון הוא שחיתוך מבוטא באמצעות השטח המשותף לשתיים או יותר מהקבוצות‬
‫ואיחוד מיוצג על ידי כל השטח השייך לפחות לאחת הקבוצות. בדרך כלל אין קשר בין גודל העיגול (או כל שטח‬
‫אחר) ובין גודל הקבוצה המיוצגת.‬
‫שימוש נפוץ לדיאגרמת ון הוא פישוט של ביטויים לוגיים ארוכים. ניתן לעשות זאת בקלות באמצעות התייחסות‬
‫גרפית לקשרים הנתונים ותיאור מחדש של אותו חלק בגרף בצורה פשוטה.‬
‫דיאגראמת ון אינה מהווה כלי להוכחה !‬ ‫‪‬‬
‫העולם‬

2. ‫פעולות בין קבוצות‬
‫איחוד בין קבוצות‬
‫הגדרה: תהינה ‪ A, B‬קבוצות.‬
‫האיחוד של ‪( A, B‬מסומן ‪ ) A  B‬הוא הקבוצה שנמצאים בה האיברים מ ‪ A‬וכן האיברים מ ‪. B‬‬
‫בסימון פורמאלי‬
‫}‪A  B  {x | x  A  x  B‬‬
‫לוח השתייכות עבור "איחוד"‬
‫‪x A‬‬ ‫‪xB‬‬ ‫‪x A B‬‬
‫1‬ ‫1‬ ‫1‬
‫1‬ ‫0‬ ‫1‬
‫0‬ ‫1‬ ‫1‬
‫0‬ ‫0‬ ‫0‬
‫דוגמא:‬
‫}3,2,1{ ‪A ‬‬
‫}4,3{ ‪B ‬‬
‫}4,3,2,1{ ‪ B ‬‬
‫‪A‬‬ ‫‪‬‬
‫האיחוד‬
‫תכונות של "איחוד"‬
‫‪A A  A‬‬ ‫1)‬
‫‪AØ  A‬‬ ‫2)‬
‫‪A B  B  A‬‬ ‫3)‬
‫) ‪( A  B)C  A  ( B  C‬‬ ‫4)‬
‫‪( A  B  A  B  B‬אפיון של הכלה באמצעות איחוד)‬ ‫5)‬
‫הערה: התכונות 4-1 נובעות ישירות מהתכונות המקבילות בלוגיקה.‬

3. ‫לדוגמא‬
‫הוכחה לתכונה מס' 3:‬
‫‪A  B  {x | x  A  x  B}  {x | x  B  x  A}  B  A‬‬
‫הוכחה לתכונה מס' 5:‬
‫לפי דיאגראמת ון ניתן לראות‬
‫‪A B  B‬‬
‫הוכחה פורמאלית:‬
‫היות והקשר הוא "אם ורק אם", נפעל בשני כיוונים:‬
‫)‪ (‬נתון ‪ A  B‬וצ"ל ‪A  B  B‬‬
‫נוכיח את השוויון ע"י הכלה דו כיוונית:‬
‫ברור מהגדרת איחוד ש ‪ B‬מוכל באיחוד: ‪. B  A  B‬‬
‫כעת, נוכיח ש ‪A  B  B‬‬
‫ניקח איבר כללי כלשהו ‪ , x  A  B‬לכן, עפ"י הגדרת איחוד: ‪ x  A‬או ‪. x  B‬‬
‫אם ‪ , x  B‬סיימנו, אחרת, ‪: x  A‬‬
‫מהנתון ש ‪ A  B‬נובע מיידית ש ‪ x  B‬שוב, ולכן בכל מקרה קיבלנו ‪ x  B‬ומכאן שהוכחנו ‪. A  B  B‬‬
‫משתי ההכלות יחד קיבלנו ש ‪. A  B  B‬‬
‫)‪ (‬נתון ‪ A  B  B‬וצ"ל ‪A  B‬‬
‫כדי להוכיח הכלה, יהי ‪ x  A‬איבר כלשהו וצריך להראות ש ‪. x  B‬‬
‫אם ‪ , x  A‬עפ"י הגדרת "איחוד", ‪ . x  A  B‬עפ"י הנתון ‪ , A  B  B‬מכאן נובע ש ‪ x  B‬והוכחנו כנדרש.‬
‫-סוגר הוכחה (5)-‬

4. ‫חיתוך בין קבוצות‬
‫הגדרה: תהינה ‪ A, B‬קבוצות.‬
‫החיתוך של הקבוצות יסומן ‪ , A  B‬הוא קבוצת האיברים המשותפים ל ‪ A‬ול ‪. B‬‬
‫בסימון פורמאלי‬
‫}‪A  B  {x | x  A  x  B‬‬
‫לוח השתייכות עבור "חיתוך"‬
‫‪x A‬‬ ‫‪xB‬‬ ‫‪x A B‬‬
‫1‬ ‫1‬ ‫1‬
‫1‬ ‫0‬ ‫0‬
‫0‬ ‫1‬ ‫0‬
‫0‬ ‫0‬ ‫0‬
‫דוגמא:‬
‫}3,2,1{ ‪A ‬‬
‫}4,3{ ‪B ‬‬
‫}3{ ‪ B ‬‬
‫‪A‬‬ ‫‪‬‬
‫החיתוך‬
‫תכונות של "חיתוך"‬
‫‪A A  A‬‬ ‫1)‬
‫‪AØ  Ø‬‬ ‫2)‬
‫‪A B  B  A‬‬ ‫3)‬
‫) ‪( A  B)  C  A  ( B  C‬‬ ‫4)‬
‫‪( A  B  A  B  A‬אפיון של הכלה באמצעות חיתוך)‬ ‫5)‬
‫הערה: התכונות 4-1 נובעות ישירות מהתכונות המקבילות בלוגיקה.‬
‫(הוכחה לתכונה מס' 5 ניתן למצוא באתר)‬
‫לפי דיאגראמת ון ניתן לראות‬
‫‪A B  A‬‬

5. ‫הפרש בין קבוצות‬
‫הגדרה: תהינה ‪ A, B‬קבוצות.‬
‫ההפרש בין הקבוצות יסומן ‪ A  B‬או ‪ , A B‬הוא קבוצת האיברים שנמצאים ב ‪ A‬ולא נמצאים ב ‪. B‬‬
‫בסימון פורמאלי‬
‫}‪A  B  {x | x  A  x  B‬‬
‫לוח השתייכות עבור "הפרש"‬
‫‪x A‬‬ ‫‪xB‬‬ ‫‪x A B‬‬
‫1‬ ‫1‬ ‫0‬
‫1‬ ‫0‬ ‫1‬
‫0‬ ‫1‬ ‫0‬
‫0‬ ‫0‬ ‫0‬
‫דוגמא:‬
‫}3,2,1{ ‪A ‬‬
‫}4,3{ ‪B ‬‬
‫}2,1{ ‪ ‬‬
‫‪AB‬‬
‫ההפרש‬
‫תכונות של "הפרש"‬
‫‪A A Ø‬‬ ‫1)‬
‫‪AØ A‬‬ ‫2)‬
‫)‪A  B  A  ( A  B‬‬ ‫3)‬
‫‪( A  B  Ø A  B ‬אפיון של הכלה באמצעות הפרש)‬ ‫4)‬
‫לפי דיאגראמת ון ניתן לראות‬
‫‪A B Ø‬‬

6. ‫הפרש סימטרי בין קבוצות‬
‫הגדרה: תהינה ‪ A, B‬קבוצות.‬
‫ההפרש הסימטרי בין הקבוצות יסומן ‪ , AB‬הוא האיברים שאינם משותפים ל ‪ A‬ול ‪. B‬‬
‫בסימון פורמאלי‬
‫}‪AB  {x | x  A  B  x  A  B‬‬
‫לוח השתייכות עבור "הפרש סימטרי"‬
‫‪x A‬‬ ‫‪xB‬‬ ‫‪x  AB‬‬
‫1‬ ‫1‬ ‫0‬
‫1‬ ‫0‬ ‫1‬
‫0‬ ‫1‬ ‫1‬
‫0‬ ‫0‬ ‫0‬
‫דוגמא:‬
‫}3,2,1{ ‪A ‬‬
‫}4,3{ ‪B ‬‬
‫}4,2,1{ ‪ ‬‬
‫‪AB‬‬
‫ההפרש‬
‫הסימטרי‬
‫תכונות של "הפרש סימטרי"‬
‫1) ‪AB  BA‬‬
‫2) )‪AB  ( A  B)  ( A  B‬‬
‫3) )‪AB  ( A B)  ( B A‬‬
‫הוכחה לתכונה מס' 1:‬
‫‪A B  B  A‬‬
‫‪AB  {x | x  A  B  x  A  B} ‬‬ ‫לפי ההגדרה ‪{x | x  B  A  x  B  A}  BA‬‬
‫‪A B  B  A‬‬
‫הוכחה לתכונה מס' 3:‬
‫נוכיח ע"י לוח השתייכות: נראה שהקבוצות המופיעות בשני צדי השוויון – יש להן אותו לוח השתייכות.‬
‫‪x A‬‬ ‫‪xB‬‬ ‫‪x  AB‬‬ ‫)‪x  A  B x  B  A x  ( A  B)  ( B  A‬‬
‫1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬
‫1‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫1‬
‫0‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫1‬
‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬
‫אותה העמודה – שוויון בין הקבוצות‬

7. ‫קבוצות זרות‬
‫הגדרה: תהינה ‪ A, B‬קבוצות.‬
‫נאמר ש ‪ A, B‬זרות אם ‪A  B  Ø‬‬
‫דוגמא: }1{}3,2{ זרות.‬
‫תכונות פילוג ובליעה‬
‫פילוג‬
‫)‪A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C‬‬ ‫1)‬
‫) ‪A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C‬‬ ‫2)‬
‫בליעה‬
‫‪A  ( A  B)  A‬‬ ‫3)‬
‫‪A  ( A  B)  A‬‬ ‫4)‬
‫שתי הוכחות לתכונה מס' 1:‬
‫א) ע"י לוח השתייכות (דומה למה שעשינו רבות בלוגיקה).‬
‫ב) הוכחה ע"י איבר כללי: ברצוננו להשוות ) ‪A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬
‫הגדרת‬
‫‪x  A  (B  C) ‬‬
‫איחוד‬
‫הגדרת‬
‫‪( x  A)  ( x  B  C ) ‬‬
‫חיתוך‬
‫שקילות‬
‫לוגית‬
‫‪( x  A)  (( x  B )  ( x  C )) ‬‬
‫של‬
‫פילוג‬
‫הגדרת‬
‫‪(( x  A)  ( x  B ))  (( x  A)  ( x  C )) ‬‬
‫איחוד‬
‫הגדרת‬
‫‪( x  ( A  B ))  ( x  ( A  C )) ‬‬
‫חיתוך‬
‫) ‪( x  ( A  B)  ( A  C‬‬
‫לכן הוכחנו: )‪x  A  ( B  C )  x  ( A  B)  ( A  C‬‬
‫ולכן: )‪A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C‬‬
‫קבוצה אוניברסאלית‬
‫קבוצה אוניברסאלית מסומנת ‪ , u‬היא קבוצת כל האיברים הרלוונטיים לדיון.‬
‫הרבה פעמים היא נקבעת בהתאם להקשר.‬

8. ‫משלים של קבוצה‬
‫הגדרה: תהי ‪ A‬קבוצה.‬
‫המשלים ‪ complement‬של ‪ , A‬יסומן ‪ A‬או ‪ , A‬הוא קבוצת כל האיברים שאינם נמצאים ב ‪ A‬ונמצאים ב ‪u‬‬
‫‪c‬‬
‫האוניברסאלית.‬
‫בסימון פורמאלי‬
‫‪Ac  {x | x  A}  u  A‬‬
‫‪Ac  u  A‬‬
‫לוח השתייכות עבור "משלים"‬
‫‪A‬‬ ‫‪Ac‬‬
‫1‬ ‫0‬
‫0‬ ‫1‬
‫דוגמאות:‬
‫1)‬
‫}01,...,1{ ‪u ‬‬
‫}7,5,3,2{ ‪A ‬‬
‫}01,9,8,6,4,1{ ‪ ‬‬
‫‪Ac‬‬
‫המשלים‬
‫2)‬
‫‪uZ‬‬
‫זוגיים ‪A ‬‬
‫אי ‪ ‬זוגיים ‪ ‬‬
‫‪c‬‬
‫‪A‬‬
‫המשלים‬
‫תכונות של "משלים" וכן תכונות נוספות‬
‫‪( Ac ) c  A‬‬ ‫1)‬
‫‪uc Ø‬‬ ‫2)‬
‫‪Øc u‬‬ ‫3)‬
‫‪A  Ac  u‬‬ ‫4)‬
‫‪A  Ac  Ø‬‬ ‫5)‬
‫‪ ( A  B) c  Ac  B c‬דה מורגן‬ ‫6)‬
‫‪ ( A  B) c  Ac  B c‬דה מורגן‬ ‫7)‬
‫אם ‪ A  B‬אז ‪B c  Ac‬‬ ‫8)‬
‫‪A  B  A  Bc‬‬ ‫9)‬
‫הערה: הוכחת כל התכונות למעט 8, ניתן לבצע ע"י איבר כללי וע"י טבלת השתייכות.‬

9. ‫הוכחה לתכונה מס' 8:‬
‫נתון ‪ , A  B‬צ"ל ‪B  A‬‬
‫מהנתון: ‪ x  A  x  B‬תמיד אמת‬
‫עפ"י זהות לוגית: ‪: P  Q  Q  P‬‬
‫)‪( x  B)  ( x  A‬‬
‫תמיד אמת‬
‫)‪( x  B)  ( x  A‬‬
‫) ‪( x  B c )  ( x  Ac‬‬
‫‪ B c  Ac‬‬
‫הוכחה לתכונה מס' 9:‬
‫הגדרה‬ ‫משלים‬ ‫חיתוך‬
‫‪A  B  {x | x  A  x  B}  {x | x  A  x  Bc }  {x | x  A  Bc }  A  Bc‬‬
‫‪‬‬
‫חוק הדואליות לקבוצות‬
‫אם נתונה זהות הקושרת בין קבוצות, המכילה רק את הפעולות "איחוד" ו"חיתוך", וסימן ה"משלים" מופיע רק על‬
‫הקבוצות הבסיסיות, אז ניתן לקבל זהות חדשה ע"י הפעולות הבאות:‬
‫א) כל קבוצה תהפוך למשלימתה‬
‫ב) כל איחוד יהפוך לחיתוך ולהיפך‬
‫לדוגמא:‬
‫פילוג ‪A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ) I‬‬
‫אז הזהות שתתקבל מתוך הדואליות תהיה:‬
‫פילוג ‪Ac  ( B c  C c )  ( Ac  B c )  ( Ac  C c ) II‬‬